第十二章：微分方程与差分方程小结
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本章小结
一、基本概念：
微分方程；
微分方程的阶；
微分方程的解 —— 特解 、通解;
初始条件；初值问题。
二、一阶常微分的解法
1.可分离变量的微分方程. 解法：1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 2. 齐次方程. 解法： 3. 一阶线性微分方程 解法： 通解公式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dp y p , dy
四、 二阶常系数齐次线性微分方程
y py qy 0 2 解法： 特征方程 r pr q 0
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根 r 1 , 2 i
实根 r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
五、 二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x )
解法：用代数方法(待定系数法)求非齐次线性微分 方程的一个特解：
(1) f ( x ) Pm ( x )e x ,
(2) f (x)=ex[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]
dy y 可写成 f( ) dx x
三、可降阶的高阶微分方程 1、 y(n) = f (x) 型：
解法： 连续积分n次；
2、 y" = f (x,y') 型： 解法：
因变量换元： y，降阶为 p f ( x, p)。 p
Байду номын сангаас
3、 y" = f (y,y') 型： 解法：
dy 新因变量 p , dx
一、基本概念：
微分方程；
微分方程的阶；
微分方程的解 —— 特解 、通解;
初始条件；初值问题。
二、一阶常微分的解法
1.可分离变量的微分方程. 解法：1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解. 2. 齐次方程. 解法： 3. 一阶线性微分方程 解法： 通解公式
dy P ( x ) y Q( x ) dx
dp y p , dy
四、 二阶常系数齐次线性微分方程
y py qy 0 2 解法： 特征方程 r pr q 0
特征根的情况 通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根 r 1 , 2 i
实根 r1
y C1e r x C 2 e r x y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
1 2 2
五、 二阶常系数非齐次线性微分方程
y py qy f ( x )
解法：用代数方法(待定系数法)求非齐次线性微分 方程的一个特解：
(1) f ( x ) Pm ( x )e x ,
(2) f (x)=ex[Pl(x)cosx+Pn(x)sinx]
dy y 可写成 f( ) dx x
三、可降阶的高阶微分方程 1、 y(n) = f (x) 型：
解法： 连续积分n次；
2、 y" = f (x,y') 型： 解法：
因变量换元： y，降阶为 p f ( x, p)。 p
Байду номын сангаас
3、 y" = f (y,y') 型： 解法：
dy 新因变量 p , dx