圆有关定理

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圆的性质与定理

圆的性质与定理圆是几何学中的重要概念之一，具有许多独特的性质与定理。

本文将探讨圆的性质与定理，帮助读者更好地理解和应用圆的相关知识。

一、圆的定义圆是由平面上所有到一个固定点距离相等的点构成的集合。

这个固定点称为圆心，到圆心距离相等的线段称为半径。

用符号"O"表示圆心，符号"r"表示半径，圆的表示方法为“⭕O(r)”。

二、圆的基本性质1. 圆的任意两点与圆心的距离相等。

2. 圆的半径是其上任意一条线段的长度。

三、圆的定理1. 切线定理在圆上，从圆外一点引一条切线，切点与切线上这个点连线构成的角为直角。

2. 弧与角定理圆上的弧都对应着一定的角度，且弧度与弧长之间存在以下关系：弧长 = 半径 ×弧度。

3. 弧的夹角定理两条弧的夹角等于它们所对应的圆心角的一半。

4. 弧的角度定理圆的一周对应的弧长为360度。

5. 弦定理在圆上，连接两点形成的线段叫做弦。

当两条弦的交点在圆内时，交点两侧弦的长度之积等于交点所在的直径的长度之积。

6. 弧的角平分线定理一条弧的角平分线等于它所对应的圆心角的一半。

7. 弦切定理在圆上，连接圆内一点与该点和圆心之间交点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。

8. 弧切定理在圆上，连接圆内一点与该点所在的弧上两点形成的弦，与从该点引出的切线垂直。

9. 弧线辅助角定理圆上两点和圆心连线形成的角等于这两点所对应的圆弧的一半。

10. 垂径定理在圆上，从圆心引一条与弦垂直的线段，该线段叫做垂径。

垂径恰好平分弦。

11. 弦心角定理弦心角等于它所对应的弧的一半。

12. 圆的对称性圆具有无穷多个对称轴，其中最重要的是直径，即通过圆心且与圆上两点相连形成的线段。

综上所述，圆是由所有到圆心距离相等的点构成的集合，它具有许多独特的性质与定理。

通过了解和应用这些性质与定理，我们可以更好地理解圆的特点，解决与圆相关的几何问题。

无论是平面几何还是立体几何等领域，圆的性质与定理都是基础且重要的知识点。

圆公共弦定理证明

圆公共弦定理证明圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

圆的相关定理

圆幂定理定义圆幂=PO^2-R^2（该结论为欧拉公式）所以圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD。

统一归纳：过任意不在圆上的一点P引两条直线L1、L2，L1与圆交于A、B（可重合，即切线），L2与圆交于C、D（可重合），则有PA·PB=PC·PD。

相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）相交弦说明几何语言：若弦AB、CD交于点P则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的例中项几何语言：若AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC^2=PA·PB（相交弦定理推论）切割线定理定义从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

是圆幂定理的一种。

几何语言：∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等几何语言：∵PT是⊙O切线，PBA，PDC是⊙O的割线∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）由上可知:PT∧2（平方）=PA·PB=PC·PD证明切割线定理证明:设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT^2=PA·PB证明：连接AT, BT∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)∠P=∠P(公共角)∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)则PB：PT=PT：AP即：PT^2=PB·PA割线定理定义从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。

与圆相关的定理

与圆相关的定理就说圆周角定理吧。

圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半。

想象一下，圆就像一个大舞台，圆心角在舞台中央大大咧咧地站着，而圆周角呢，在边上小心翼翼地瞅着圆心角。

这个定理就像是它们之间的小秘密，不管这个圆是大是小，这个秘密都不会变哦。

这就好像是无论在大公司还是小团队里，一些基本的规则就是规则，不会因为规模而改变呢。

还有切线长定理。

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

这就好比是两个小伙伴，从圆外面的同一个地方出发，朝着圆冲过去，想要紧紧抱住圆，结果它们抱住圆的那一小段长度居然是一样的。

是不是很神奇呀？就像两个人同时去争取一个东西，最后得到的成果居然是一样公平的，圆可真是个公正的裁判呢。

圆幂定理也很有意思。

相交弦定理、切割线定理、割线定理都是它的组成部分。

相交弦定理就像是两个好朋友在圆里面交叉握手，它们各自线段长度的乘积是相等的。

这就好像两个人互相分享东西，虽然东西的形式不同，但价值是一样的。

切割线定理呢，就像是一个勇敢的小线段，从圆外冲向圆，它和圆外部分与圆内部分的关系也有着固定的规律。

这就好比我们在生活中，当我们朝着一个目标前进的时候，我们和目标之间的关系也是有着某种规律的，只要我们努力去发现。

在我们的生活中，圆到处都是。

车轮是圆的，因为圆的这个特性，车子才能平稳地跑起来。

盘子、碗好多也是圆的。

这些圆的东西就在我们身边，它们身上的定理也像是隐藏的小魔法一样。

我们学习这些定理的时候，就像是在探索圆的小世界里的宝藏。

有时候可能会觉得有点难，就像在迷宫里找路一样，但是一旦找到了，就会特别有成就感。

圆的定理不仅仅是数学知识，更像是一个个有趣的小故事，在等着我们去讲述、去分享呢。

圆的十大定理

圆的十大定理一、圆上三点确定一个圆的定理一个圆的确定需要三个不共线的点。

这三个点可以用来确定圆心和半径，从而确定一个唯一的圆。

二、垂径定理如果一条直线通过圆心，则该直线将圆分成两个相等的部分，且该直线与圆的两部分都垂直。

这个定理是圆的几何性质中的基本定理之一。

三、圆心角定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，反之亦然。

这个定理是圆的基本性质之一，是几何学中重要的定理之一。

四、圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

这个定理在几何学中非常重要，是解决许多与圆相关的问题的基础。

五、直径所对的圆周角为直角定理直径所对的圆周角是直角。

这个定理是基本的几何性质之一，也是解决许多问题的基础。

六、圆内接四边形的对角互补定理圆内接四边形的对角互补，即一个内角等于它的对角的补角。

这个定理是解决与圆相关的四边形问题的关键之一。

七、切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

这个定理在解决与圆相关的比例问题中非常有用。

八、相交弦定理若两弦交替相交于圆内，则这两弦与圆的交点所形成的线段长度的乘积等于这两弦长的乘积的一半。

这个定理在解决与弦和交点相关的问题中非常有用。

九、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角的一半。

这个定理在研究弦、切线和角度之间的关系时非常有用。

十、两圆连心线段垂直平分两圆公共弦定理两个相交圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

这个定理是解决与两个相交圆的公共部分相关的问题的基础。

与圆有关的定理

与圆有关的定理
圆的定理：1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

2、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

3、切线定理：垂直
于过切点的半径；经过半径的外端点，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

1、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线
长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

2、切线短定理：从铅直一点至圆的两条切线的长成正比，那点与圆心的连线平分切
线的夹角。

4、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积
相等。

5、垂径定理：旋转轴弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

6、弦切角定理：弦切角等于对应的圆周角。

(弦切角就是切线与弦所夹的角）。

7、圆心角定理：在同圆或等圆中，成正比的圆心角所对弧成正比，面元的弦成正比，面元的弦的弦心距成正比。

8、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

9、平行弦定理：圆内两条弦平行，被交点分为的两条线段长的乘积成正比。

10、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。

11、定理：任何正多边形都存有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆就是同心圆。

12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

13、定理：把圆分为n(n≥3)：。

圆的性质及相关定理

圆的性质及相关定理圆是几何学中的一个基本概念，是由平面上所有距离等于定值的点构成的图形。

在这篇文章中，我们将探讨圆的性质及相关定理，帮助读者更好地理解和应用圆的知识。

一、圆的基本性质1. 圆心和半径：每个圆都有一个圆心和一个半径。

圆心是圆上所有点的中心位置，通常用字母O表示。

半径是从圆心到圆上的任意点的距离，通常用字母r表示。

2. 直径：直径是通过圆心的任意两点间的线段。

直径的长度等于半径的两倍。

3. 弧：圆上两点之间的弧是连接这两点的圆上的一部分。

圆上的弧可以根据其长度分为弧长和弧度。

4. 弦：弦是连接圆上任意两点的线段。

直径是最长的弦。

5. 弧度和角度：弧度是一个与圆的半径相关的度量单位，用符号rad表示。

角度是以度为单位的度量，用符号°表示。

二、圆的定理1. 切线定理：从圆外一点引一条切线，切线与半径的连线垂直。

2. 切线与弦定理：切线和弦的交点处的角等于从该点到弦的两个割线所夹的弧对应的角。

3. 弧中角定理：在同一个圆上，弧所对的圆心角相等，而弧所对的弦所夹的角则相等。

4. 圆心角定理：在同一个圆上，圆心角是其所对弧的两倍。

5. 弧长定理：同样大小的圆心角所对应的弧长相等。

6. 切割圆定理：如果有两个弧相交于圆心，它们所对的圆心角互补（和为180°）。

三、应用示例1. 计算圆的面积：圆的面积公式为A = πr²，其中A表示面积，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

2. 计算圆的周长：圆的周长公式为C = 2πr，其中C表示周长，π是一个近似值，约等于3.14，r为半径。

3. 判断点是否在圆内：计算点到圆心的距离，如果小于半径，则点在圆内。

4. 判断两个圆是否相交：计算两个圆心之间的距离，如果小于两个半径之和，则两个圆相交。

总结：本文介绍了圆的基本性质和相关定理。

通过学习圆的性质，我们可以更好地理解和应用圆的知识，解决与圆相关的几何问题。

希望本文对读者有所帮助，并在几何学学习中起到指导作用。

圆的12条常用结论

圆的12条常⽤结论垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

如图，AB 是圆O 的⼀条弦，CD 是直径，如果CD ⊥AB 于点M ，则AM=BM ，AC=CB ；如果AM=BM ，则CD ⊥AB ，AC=CB。

同⼀条弧所对的圆周⾓等于它所对的圆⼼⾓的⼀半。

如图①②③，下⾯仅证明图③⼀种情况。

已知：如图，∠BAC 是弧BC 所对的圆周⾓，∠BOC 是弧BC 所对的圆⼼⾓求证：∠BAC=1/2∠BOC01垂径定理02圆周⾓与圆⼼⾓关系证明：连接O 、A 与B 、C ，则△OAC 为等腰三⾓形则∠COA=180°-2∠OAC=180°-2（∠BAC+∠BAO ）⼜因为均为等腰三⾓形所以∠BOA+2∠BAO=180°即（∠BOC+∠COA ）+2∠BAO=180°即[∠BOC+180°-2（∠BAC+∠BAO ）]+2∠BAO=180°化简得∠BAC=1/2∠BOC同圆或等圆中，如果两个圆周⾓、两个圆⼼⾓、两条弧、两条弦、两条弦⼼距这五个量中只要有⼀组量相等，那么它们所对的其余各组量也分别相等。

直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓；90°的圆周⾓所对的弦是直径。

如图，圆O 的两条弦AB 、CD 相交与点E ，则AE·EB=CE·ED圆的切线垂直于过其切点的半径；经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。

切线与弦所夹的⾓等于它们所夹的弧所对的圆周⾓。

如图，AB 切O 于点A ，AC 是O 的⼀条弦，D 为圆上⼀点，则∠BAC=∠ADC03五等关系04直径（或半圆）所对的圆周⾓是直⾓05相交弦定理06切线垂直于过切点的半径07弦切⾓定理证明：连接OA 、OC ，则OA ⊥AB ，即∠BAC+∠OAC ＝90°⼜因为在等腰△OAC 中，∠OAC=1/2（180°-∠AOC ）=90°-1/2∠AOC所以∠BAC+90°-1/2∠AOC=90°即∠BAC=1/2∠AOC所以∠BAC=∠ADC如图，AB 切O 于点B ，过A 点的割线分别交O 于点C 、D ，则AB²=AC·AD 证明：连接BC 、BD ，由弦切⾓定理可知∠ABC=∠BDA⼜因为 ∠A=∠A所以△ABC ∽△ADB所以AB/AD=AC/AB 即AB²=AC·AD08切割线定理如图，AB 、AC 均是O 的切线，则AB=AC 如图，AB ∥CD ，则AC=BD共斜边的两直⾓三⾓形共圆，如图①②对⾓互补的四边形四个顶点共圆。

与圆有关的20个定理

与圆有关的20个定理圆是几何学中非常重要的一个图形，其形状和性质在数学和实际生活中有广泛的应用。

以下是与圆有关的20个定理的集合，包括圆的基本性质、圆与其他几何图形的关系和圆上的特殊点和线。

1. 定理1：周长公式圆的周长公式是C = 2πr，其中C表示圆的周长，r表示圆的半径，π是一个常数，大约为3.14。

这个公式可以使用圆的直径d而不是半径r来表达：C = πd。

2. 定理2：面积公式圆的面积公式是A = πr²，其中A表示圆的面积，r表示圆的半径。

与周长公式一样，也可以使用圆的直径来表达圆的面积：A = (π/4)d²。

3. 定理3：圆周的弧度弧度是一种测量角度的单位，它是定义为一个圆弧所对应的圆心角的度数除以360度的比例。

例如，如果一个圆弧所对应的圆心角是90度，则该圆弧的弧度是1/4。

4. 定理4：内切圆内切圆是一个圆，恰好与给定的多边形的内部相切，且每个边都是它的切线。

内切圆的半径称为内切圆半径，且由公式r = A/P得出，其中A是多边形的面积，P是多边形的周长。

5. 定理5：外接圆外接圆是一个圆，它恰好与给定的多边形的每个顶点相切。

外接圆的半径称为外接圆半径且可以由a²+b²=c²公式或者P=2πr公式来计算。

6. 定理6：圆柱体的侧面积一个圆柱体的侧面积是由公式A=2πrh得出的，其中r是圆柱体的半径，h是圆柱体的高。

7. 定理7：球的表面积球的表面积是由公式A=4πr²得出的，其中r是球的半径。

8. 定理8：圆锥的侧面积一个圆锥的侧面积是由公式A=πrl得出的，其中r是圆锥的底面半径，l是圆锥的斜线长度。

9. 定理9：勾股定理勾股定理是一个直角三角形的定理，它表明a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边，c是斜边。

10. 定理10：圆的切线对于给定的一个圆，一个切线是从圆外的一点切到圆上的一点。

圆的各种定理

圆的各种定理一、垂径定理1. 定理内容- 垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧。

- 用符号语言表示：设圆O中，直径CD⊥弦AB于点E，则AE = BE，widehat{AD}=widehat{BD}，widehat{AC}=widehat{BC}。

2. 推论- 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

- 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

- 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

二、弧、弦、圆心角定理1. 定理内容- 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

- 符号语言：在⊙ O中，若∠ AOB=∠ COD，则widehat{AB}=widehat{CD}，AB = CD。

2. 推论- 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

- 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。

三、圆周角定理1. 定理内容- 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

- 符号语言：在⊙ O中，∠ BAC是widehat{BC}所对的圆周角，∠ BOC是widehat{BC}所对的圆心角，则∠ BAC=(1)/(2)∠ BOC。

2. 推论- 同弧或等弧所对的圆周角相等。

- 半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90^∘的圆周角所对的弦是直径。

- 圆内接四边形的对角互补。

即四边形ABCD内接于⊙ O，则∠ A+∠ C = 180^∘，∠ B+∠ D=180^∘。

四、切线的性质定理1. 定理内容- 圆的切线垂直于经过切点的半径。

- 符号语言：直线l是⊙ O的切线，切点为A，则OA⊥ l。

五、切线的判定定理1. 定理内容- 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

- 符号语言：点A在⊙ O上，OA是半径，直线l⊥ OA于点A，则直线l是⊙O的切线。

六、切线长定理1. 定理内容- 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

圆的常用定理

圆的常用定理垂径定理1．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

2．平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

相交弦定理圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。

弦切角定理⑴定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。

⑵弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。

如图，P A是⊙O的切线，A是切点，AB是弦，则∠P AB＝∠ACB。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

如图，PT是⊙O的切线，T是切点，P AB、PCD是割线，则PT2＝P A·PB，P A·PB＝PC·PD。

【例1】如图，AB为⊙O的直径，过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC 于点D。

⑴求证：CE2＝CD·CB；⑵若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的长。

【例2】⑴如图，PC是半圆的切线，且PB＝OB，过B的切线交PC于D，若PC＝6，则⊙O半径为______，CD∶DP＝______。

⑵如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，P是BA延长线上的点，连结PC交⊙O于F，如果PF＝7，FC＝13，且P A∶AE∶EB＝2∶4∶1，那么CD的长是________。

【例3】如图，同心圆O，AC、DF交小圆于B、E两点，求证：AB·AC＝DE·DF。

所有圆定理

10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.
(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．
11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.
(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.
16.同一个弧有无数个相对的圆周角.
17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.
18.圆的圆.
20.直径是圆中最长的弦.
21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.
垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧）
圆周角定理
弦切角定理（定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角））

初中数学圆常用定理

初中数学圆常用定理
圆常用定理是我们初中数学学习中的重要知识点之一。

在学习圆的相关内容时，圆常用定理可以帮助我们更好地解决一些实际问题，也为我们日后的学习打下了重要的基础。

圆常用定理总共有三个，分别是：切线定理、弦切定理、弦长定理。

切线定理指出：在圆的切点处，切线与半径垂直。

也就是说，若以 $O$ 为圆心，$P$ 为切点，则 $\angle OPA=90^{\circ}$。

利用切线定理，我们可以解决一些与圆相关的实际问题，比如计算弧长、面积等。

弦切定理指出：若有一条与圆相交的弦 $AB$ 和一条切线 $CD$，则 $\angle ACD=\angle CBD$。

也就是说，弦切定理可以帮助我们找到两个相交角度相等的角。

弦长定理指出：若有一条与圆相交的弦 $AB$，则 $AB$ 的长度等于它所对应的两条弓长之和的一半。

也就是说，我们可以通过弦长定理计算出任意一条弦的长度。

总的来说，圆常用定理虽然简单，但却是圆的基础定理，是我们后续学习更深层次的圆的知识的前提。

因此，我们应该重视这些定理的学习，努力掌握它们的应用方法，从而更好地解决数学问题。

圆的性质和定理

圆的性质和定理圆是几何中的重要概念之一，它具有许多独特的性质和定理。

在本文中，我们将探讨圆的基本性质以及一些与圆相关的重要定理。

一、圆的性质1. 定义：圆是由平面上与一定点的距离相等的所有点组成的集合。

圆心是圆上所有点的中心，半径是从圆心到圆上任意一点的距离。

2. 圆周率：圆的周长与直径的比值被定义为圆周率π（pi），它是一个无理数，约等于3.14159。

根据这个定义，圆的周长C可以表示为C = 2πr，其中r是圆的半径。

3. 直径和半径的关系：直径是一条通过圆心的线段，它的长度等于半径的两倍。

换句话说，d = 2r，其中d代表直径，r代表半径。

4. 弧和弦：在圆上，弧是圆上的一段弯曲的部分，而弦则是连接圆上两个点的线段。

任何一条弦对应的弧都是唯一确定的，且弦总是小于或等于圆的直径。

5. 弦的性质：如果两条弦互相垂直，则它们所对应的弧互补。

二、圆的定理1. 弧度制和角度制：在计量角度时，常见的有两种制度，一种是弧度制，另一种是角度制。

弧度制是以圆的半径为单位，角度制是以度为单位。

两者之间的转换关系是2π弧度等于360度。

2. 弧度与圆周角的关系：一条弧所对应的圆周角的弧度数等于这条弧所对应的圆心角的弧度数。

这个定理揭示了圆弧度的重要性，为许多相关问题的解决提供了便利。

3. 切线定理：与圆相切的直线（切线）与半径的相交点处的角是一个直角。

4. 弧长和扇形面积：弧长是弧上的一部分的长度，可以由弧度数乘以半径得到。

扇形面积是由相邻两条半径和其所夹的弧组成的图形的面积，它可以通过半径和所夹的圆心角的弧度数计算得出。

5. 割线定理：在与圆相交的直线上，两个相交点分割的弦的乘积等于这条直线外部线段与这条直线在圆上的切点分割的弦的乘积。

总结：圆具有许多独特的性质和定理，对于几何学的研究和应用有着重要的意义。

掌握了圆的性质和定理，我们可以更好地理解和解决与圆相关的问题。

在实际应用中，圆的性质和定理也被广泛应用于建筑、机械、地理等领域，为问题的解决提供了有效的方法和准确的计算依据。

圆的所有公式定理

圆的所有公式定理圆，这可是数学世界里超级有趣的一部分！咱们从小学到高中，跟圆相关的公式定理那可不少。

先来说说圆的周长公式C = 2πr 或者C = πd 。

这里的 C 表示圆的周长，r 是半径，d 是直径，π呢，就是那个约等于 3.14159 的神奇常数。

就像我之前去买自行车，车轮就是个圆呀。

我在选车的时候就在想，这车轮转一圈能走多远，这不就得用周长公式来算嘛。

圆的面积公式S = πr² 也很重要。

有一次我去帮朋友规划花园，他想要一个圆形的花坛，我就得用这个公式算出多大面积能种多少花。

还有圆的弧长公式L = nπr/180 ，其中 L 是弧长，n 是圆心角度数。

我记得有一次参加数学兴趣小组活动，老师出了一道题，是关于一个扇形窗户的弧长计算，大家都绞尽脑汁，最后用这个公式轻松搞定。

圆的扇形面积公式S = nπr²/360 ，这个在解决实际问题中也经常用到。

比如说设计一个圆形的舞台，上面有扇形的装饰区域，要计算装饰区域的面积就得靠它。

另外，圆的切线定理也很有意思。

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

这个定理在解决一些几何证明题的时候可管用了。

还有垂径定理，垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的两条弧。

我记得有一次在辅导一个小朋友做作业，就碰到了这样的题目，一开始他怎么都不明白，我就给他画了个大大的圆，一点点给他解释，最后他终于搞懂了，那开心的样子我到现在都记得。

在学习圆的这些公式定理的过程中，我发现其实它们就像是打开数学世界里一个个神秘宝箱的钥匙。

每次用这些公式定理解决一个问题，就好像找到了宝箱里的宝贝一样，那种成就感真的让人特别满足。

而且，这些公式定理不仅仅在数学课本里有用，在我们的日常生活中也随处可见。

比如建筑设计中的圆形拱门、公园里的圆形喷泉，甚至是我们吃的披萨，切成扇形的时候也能用到相关的知识。

所以啊，别小看这一个个关于圆的公式定理，它们的用处可大着呢！只要我们认真去学，去用，就能发现数学的乐趣和魅力。

圆的定理

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．3．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）4．切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角）5．垂径定理（垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧）圆周角定理弦切角定理（定义弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半. (弦切角就是切线与弦所夹的角））3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧.。

圆的定理

1、不在同一直线上的三点确定一个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

3、圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

4、圆是定点的距离等于定长的点的集合。

5、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合。

6、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合。

7、同圆或等圆的半径相等。

8、到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆。

9、定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

10、推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等。

11、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

12、①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r13、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

14、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

15、推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

16、推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

17、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

18、圆的外切四边形的两组对边的和相等外角等于内对角。

19、如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

20、①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）④两圆内切d=R-r（R＞r）⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）21、定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

22、定理把圆分成n（n≥3）：（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形。

有关初中圆的定理[精选.]

1．圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；围绕圆心旋转任意一个角度α，都能够与原来的重合．2．顶点在圆心的角叫做圆心角．圆心到弦的距离叫做弦心距．圆幂定理（相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理）切线长定理垂径定理圆周角定理弦切角定理四圆定理3．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．4．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．5．把整个圆周等分成360份，每一份弧是1°的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．6.圆是中心对称图形，即圆绕其对称中心(圆心)旋转180°后能够与原来图形重合，这一性质不难理解．圆和其他中心对称图形不同，它还具有旋转不变性，即围绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．7.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧8.（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧9.圆的两条平行弦所夹的弧相等10.(1)一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(2)同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.(3)半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.(4)如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.11.(1)圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.(2)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.(4)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弦.(5)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.(6)圆的两条平行弦所夹的弧度数相等.12.圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．13.平分弦(不是直径)的直径垂直与弦,并且平分弦所对的两条弧.14.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等,所对的弦的弦心距也相等.15.在同圆或等圆中,相等的弦所对的弧相等,所对的圆心角相等,所对的弦的弦心距也相等.16.同一个弧有无数个相对的圆周角.17.弧的比等于弧所对的圆心角的比.18.圆的内接四边形的对角互补或相等.19.不在同一条直线上的三个点能确定一个圆.20.直径是圆中最长的弦.21.一条弦把一个圆分成一个优弧和一个劣弧最新文件仅供参考已改成word文本。

与圆有关的几个定理

A F
E
B
O
D
C
难点概念：三角形的外接圆和内切圆：
A
A
O
I
C
B
C
B
实质
性质
三角形的三角形三边垂直到三角形各顶
外心
平分线的交点点的距离相等
三角形的三角形三内角角到三角形各边
内心
平分线的交点的距离相等
特别的:
等边三角形的外心与内心重合. 内切圆半径与外接圆半径的比是1:2.
A
O
B
D
C
同如图，从⊙O外一点P作⊙O的两条切线，分别步切⊙O于A 、B，在AB上任取一点C作⊙O的切线自分别交PA 、PB于D 、E 测
M└
若 ① CD是直径
●O
② CD⊥AB
可推得
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
D
基本模型“垂径定理、直角三角形”
(2）垂径定理以及推论
C
(1)直径 (过圆心的线)；(2)垂直弦； A M└
B
(3) 平分弦；
(4)平分劣弧；
●O
(5)平分优弧.
知二得三
D
注意: “ 直径平分弦则垂直弦.” 这句话对吗?
A．35°
B.70°
C．110° D.140°
二、点和圆的位置关系
.o .p r
Op＜r Op=r Op＞r
.p .o
.o
.p
点p在⊙o内点p在⊙o上点p在⊙o外
三.直线与圆的位置关系
r ●O ┐d
相交
r ●O
d ┐ 相切
1、直线和圆相交
d < r;
2、直线和圆相切 3、直线和圆相离

圆的三大基本定理

圆的三大基本定理
哎呀呀，同学们，你们知道圆吗？圆可是个超级神奇的图形呢！今天我就来给大家讲讲圆的三大基本定理，保证让你们大开眼界！
先来说说第一个定理——圆心角定理。

这就好比我们玩的击鼓传花游戏，圆心就是那个敲鼓的人，而从圆心出发的那些角，就像是传到不同人手里的花。

假如在同一个圆中，有两个圆心角，一个大，一个小，那它们所对的弧长是不是也不一样呀？那肯定不一样嘛！就像跑得快的同学和跑得慢的同学，跑同样的时间，跑的距离能一样吗？圆心角越大，所对的弧就越长，这是不是很有趣？
再讲讲圆周角定理。

想象一下，圆就像一个大蛋糕，圆周上的角就像是切蛋糕的刀痕。

如果一个角的顶点在圆周上，那它和圆心角之间可有着神秘的关系呢！同弧所对的圆周角是圆心角的一半，这就好像是一个大蛋糕被平均分成了两份，其中一份就是圆周角能吃到的，另一份是圆心角能吃到的。

这难道不神奇吗？
最后说说圆内接四边形定理。

圆内接四边形，就像是在圆这个大家庭里住的四个小伙伴。

它们的对角互补，这就好像是这四个小伙伴，有的喜欢白天活动，有的喜欢晚上活动，刚好互补，多和谐呀！要是不互补，那不就乱套啦？
同学们，圆的这三大基本定理是不是超级有意思？它们就像是打开圆这个神秘世界的三把钥匙。

我们通过它们能更深入地了解圆，发现圆的美妙之处。

以后我们在做数学题的时候，遇到和圆有关的问题，就可以用这三个定理来解决啦！
所以呀，大家一定要把这三个定理牢牢记住，它们可是我们探索圆的世界的好帮手！。