圆有关定理

切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理

以及与圆有关的比例线段

１．切线长概念

切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2.切线长定理

如图1对于切线长定理，应明确(1)若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2)若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（３）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形;(4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；(5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

３．弦切角(如图2)：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AＢ切⊙O于P，PC、ＰＤ为弦，图中几个弦切角呢?(四个)∠APC,∠APD,∠ＢＰＤ,∠BPC

4.弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角。即如上图中∠APC=∠CＤP等

证明:如图2，连接CD、OC、OP,因为∠CPＯ=∠PCO,所以∠COP=180︒-2∠CPO而∠ＣPO＝9０︒－∠APC,故∠COP=2∠5.弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角,圆内角，圆外角。

6．遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

7．与圆有关的比例线段

定理图形已知结论证法

相交

弦定

理

⊙O

中,AB、

ＣＤ为

弦,交于

P．

PA·ＰB=PＣ·PD

连结AC、ＢD,∠C＝∠B,∠A=∠D,

所以△APC∽△DPB

相交

弦定

理的

推论

⊙O中，

AB为直

径，Ｃ

D⊥ＡＢ

于P．

PC2=PA·PB

用相交弦定理．

切割

线定

理

⊙O

中,PT切

⊙O于T,

割线PB

交⊙O于

A

PT2=ＰA·PＢ

连结TＡ、TB,则∠PTA=∠B(弦

切角等于同弧圆周角）所以

△PTA∽△PBＴ，所以

PT2=PＡ·PB

图1 图2

切割

线定

理推

论

PB、PD

为⊙O的

两条割

线,交⊙

Ｏ于Ａ、

C

PA·PＢ＝PC·ＰD

过P作PT切⊙O于T,用两次切割

线定理

圆幂

定理

⊙O中，

割线ＰＢ

交⊙O于

Ａ，CD

为弦

Ｐ'C·P'D=r2-OP＇２

PA·ＰB=OP２－r2

ｒ为⊙O的半径

延长P＇O交⊙O于M,延长OＰ'

交⊙O于N，用相交弦定理证;过

P作切线用切割线定理勾股定理

证

8.圆幂定理:过一定点Ｐ向⊙O作任一直线，交⊙O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数||(R 为圆半径）,因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

例1.如图1,正方形ABCD的边长为1，以BC为直径。在正方形内作半圆O，过Ａ作半圆切线,切点为F,交ＣＤ于E,求DE：AＥ的值。

图1

例2.⊙O中的两条弦ＡＢ与CD相交于Ｅ,若AＥ=6cm，ＢE＝２cm，CD=7cｍ,求CE。

图2

例3．已知PＡ是圆的切线，PＣB是圆的割线,则:

:2

2PB

AC

AB ________。

例4.如图3，P是⊙O外一点，PＣ切⊙O于点C,PAB是⊙Ｏ的割线,交⊙Ｏ于A、B两点,如果PA:ＰB＝１：４,PC=１2ｃm,⊙Ｏ的半径为１0cｍ,则圆心O到AB的距离是___＿____＿__cm。

图3

例5．如图4,ＡB为⊙Ｏ的直径,过B点作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点Ｅ，ＡE的延长线交BC于点Ｄ,求证：

（1)CB CD CE •=2

;(２）若A Ｂ＝ＢＣ=2厘米，求CE 、CD 的长。

图4

例6.如图5,AB 为⊙O 的直径，弦CD ∥AB ，AE 切⊙Ｏ于Ａ,交ＣD 的延长线于Ｅ。求证:DE AB BC •=2

图5

例7.如图6,PA 、P Ｃ切⊙Ｏ于A 、Ｃ,PDB 为割线。求证：AD·BC ＝CD·AB

图6

例8．如图7,在直角三角形ABC 中，∠A ＝90°,以AB 边为直径作⊙Ｏ，交斜边BC 于点Ｄ,过Ｄ点作⊙O 的切线交AC 于Ｅ。求证：BC ＝２ＯE 。

图７

例９.如图8，在正方形ABCD 中，A Ｂ=１，⋂

AC 是以点Ｂ为圆心，AB 长为半径的圆的一段弧。点Ｅ是边AD 上的任意一点（点E 与点A 、D 不重合),过E 作⋂

AC 所在圆的切线,交边D Ｃ于点F,Ｇ为切点。 当∠ＤE Ｆ＝45°时,求证:点G 为线段EF 的中点；

图8

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、选择题

1.已知:PA 、PB 切⊙O 于点A 、B ，连结AB,若A Ｂ=８，弦A Ｂ的弦心距3,则PA=( ）

A ．２0／3 B.25/3 C. 5 D. ８

2.下列图形一定有内切圆的是（ ）

Ａ.平行四边形 Ｂ.矩形

Ｃ.菱形 D.梯形 3.已知：如图1直线MN 与⊙Ｏ相切于C,AB 为直径，∠CA Ｂ＝40°，则∠MCA 的度数( )

图１ Ａ． ５0° B. 40° C. 60° D ． 55° 4.圆内两弦相交,一弦长8c ｍ且被交点平分,另一弦被交点分为1:4,则另一弦长为（ )

Ａ. ８ｃm B. １0ｃm C ． １２ｃm D ． 1６cm

5.在△A ＢC 中，D 是B Ｃ边上的点,AD ＝22c ｍ，B Ｄ=３c ｍ,DC=４cm ，如果Ｅ是AD 的延长线与△AB Ｃ的外接圆的交点,那么D Ｅ长等于( ）

Ａ. 32ｃm Ｂ. 23ｃm C. 22cm D. 33ｃm 6. ＰＴ切⊙O 于T,CT 为直径,D 为OC 上一点，直线PD 交⊙O 于B 和A,Ｂ在线段P Ｄ上,若ＣD ＝2，AD ＝3，BD ＝4，则PB 等于( ）

A. ２０ B ． 10 Ｃ. 5 Ｄ.

二、填空题

7. AB 、C Ｄ是⊙O 切线,AB ∥CD,ＥF 是⊙O 的切线，它和ＡＢ、CD 分别交于E 、Ｆ,则∠ＥOF=____＿___＿__＿_度。

８.已知:⊙Ｏ和不在⊙O 上的一点P,过P 的直线交⊙O 于A 、Ｂ两点，若ＰA·PB=24,ＯP=５，则⊙O 的半径长为_＿____＿＿_＿_＿_。

9.若PA 为⊙O 的切线，Ａ为切点,PB Ｃ割线交⊙O 于B 、Ｃ,若BC ＝2０,PA=310，则PC 的长为_＿______＿＿＿＿_。

１０.正△ＡBC 内接于⊙O,Ｍ、Ｎ分别为ＡB 、AC 中点,延长MN 交⊙O 于点D,连结BD 交A Ｃ于P,则

PA

PC

=＿_＿__＿___＿_＿_。 三、解答题

11.如图2，△ＡB Ｃ中,ＡC ＝2cm,周长为８cm,F 、K 、N 是△A ＢC 与内切圆的切点，DE 切⊙O 于点M,且DE ∥ＡC,求DE 的长。