余弦定理证明过程

余弦定理证明过程(精选多篇)

余弦定理证明过程ma=√ -ac*cosb)

=√

由b =a +c -2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式：

ma=√

=√

证毕。

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c对边为c，∠b对边为b，∠a对边为a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=²+²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=/2ac

2

如右图，在abc中，三内角a、b、c 所对的边分别是a、b、c.以a为原点，ac 所在的直线为x轴建立直角坐标系，于是c点坐标是，由三角函数的定义得b 点坐标是.∴cb=.现将cb平移到起点为原点a，则ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根据三角函数的定义知d点坐标是，asin)即d点坐标是,∴ad=而ad=cb∴=∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可证asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而

由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可证b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和余弦定理证明完毕。3△abc 的三边分别为a,b,c,边bc,ca,ab上的中线分别为,mc,应用余弦定理证明:

mb=

mc=ma=√ -ac*cosb)

=√

由b =a +c -2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入上述ma表达式：

ma=√

=√

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√ -ac*cosb)

=√

由b =a +c -2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a +2c -2b ，代入

上述ma表达式：

ma=√

=√

证毕。