微分方程在物理中的应用

微分方程在大学物理中的应用

一．质点运动学和牛顿运定律中的运用

1.质点运动：a=dV/dt

“dV/dt”是“速度随时间的变化率”-----就是加速度。（微分、又称“速度V的导数”）

写成表达式：a=dV/dt---------(1)

X表示位移，“dX/dt”就是“位移随时间的变化率”-----就是速度。

写成表达式：V=dX/dt---------(2)

把（1）代入(2)得：a=(d^2 X)/(dt^2)-------这就是“位移对时间”的“二阶导数”。

实际上，(d^2 v)/(dt^2)就是“dv/dt （加速度）”对时间再次“求导”的结果。

d(dV/dt)/dt 就是把“dV/dt”再次对时间求导。-------也可以说成是“速度V对时间t的二阶导数”。

典型运用：圆周运动向心加速度公式推导（微分思想）

2.牛顿第二定律：F=d p/dt=d(m v)/dt=md v/dt=ma

动量为p的物体，在合外力F的作用下，其动量随时间的变化率应当等于物体的合外力。

典型运用：自由落体运动公式的推导

f=d(mv)/dt,得mg=mdv/dt,得g=dv/dt=ds^2/d^2t,求s t关系用右边的，把下面的分母乘过去，积分两次，就得到0.5gt^2=s;

例题：一物体悬挂在弹簧上做竖直振动，其加速度a=-ky，式中k为常量，y是以平衡位置为原点所测得的坐标。假设振动的物体在坐标y0处的速度为v0，试求速度v与坐标y的函数关系式。

3.简谐运动（单摆复摆问题）：弹簧振子的运动为例，

回复力：F= -kx

加速度：a=F/m=-kx/m

对于给定的弹簧振子有w^2=k/m

则有a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x

其解为x=Acos(wt+h)

然后v=dx/dt,a=dv/dt推导出相应公式。(物理书上原文)

下面我们求一下a=dv/dt=d^2 v/dt^2= -w^2x的解。

还有在动量守恒定律、能量守恒定律以及刚体转动中等各个反面的运用。