天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷
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根据题意先将抛物线 关于原点作中心对称得到解析式为 ，再将抛物线关于 轴作轴对称得到解析式为 ，最后给出答案即可.
【详解】解：先将抛物线 关于原点作中心对称变换，得到 ，整理得 ；
再将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到 ，整理得 ；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为 .
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
18.已知 ， .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若“ ，使得 ”为真命题，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先化简得到 ，再将 代入求集合 即可；
（2）先化简得到 和 ，再转化已知条件得到 ，最后建立不等式求 的取值范围；
13.设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是________.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先化简确定集合A，再根据 分 和 两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 是 的子集，
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述，m的取值范围是 ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】由图象得：图像的开口向上，所以 ，
图象的对称轴在 轴的右侧，所以 ，
又图象与 轴的交点在负半轴，所以 ，
所以 ，故①错误；
从图象观察得，当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，代入得 ，
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期
开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.设全集 ，已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 以及集合 的补集 ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】因为 或 ，所以 ，
①当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
②当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
故选：D.
【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10.设集合 ， ， ， ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， 都有 （ 表示两个数 ， 中的较大者），则 的最大值为（）
A B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出 或 ，最后求 即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，
所以 或 ，
故选：D
【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.
5.命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立” 否定为（）
当 即 时， 或 ，使得 成立，则 解得 ，所以 ；
综上所述： ，
故答案为： .
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．
14.已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
先解方程，得到 或 ，再分别代入所求式子，即可得出结果.
【详解】由 得 ，解得 或 ，
当 时， ；
当 时， .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.
【详解】因为集合 ， ， A={0,3}，故m= -3.
12.集合 满足 ，则集合 的个数有________个.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意先求出所有的集合 ，再确定个数即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以集合 的个数有3个.
故答案为：3
【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
所以 成立，故②正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故③正确；
综上得结论正确的是②③，
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
7.已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ .其中结论正确的个数为（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】取特殊值代入，当 时，满足 但 ，所以不充分；
当 时，满足 ，但 ，所以不必要；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．
4.已知全集 ，设集合 ， ，则 （）
A.Hale Waihona Puke Baidua，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C. a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
【答案】D
【解析】
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
假设存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，则
所以 ，解得 ，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符合题意；
所以存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，此时 的取值范围是 .
【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
9.菱形 的边长为6， ，如果点 是菱形内一点，且 ，则线段 的长为（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断点 在对角线 上，再分“点 在线段 上”和“点 在线段 上”两种情况讨论分别求线段 的长.
【详解】解：因为点 是菱形内一点，且 ，所以点 在对角线 上，设对角线 与 的交点为 ，所以点 可能在线段 上，也有可能在线段 上，
故满足条件的两个元素的集合有9个；
故选：B．
【点睛】 本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____.
【答案】-3
【解析】
15.已知 或 ， ， ，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到 ，根据 是 的必要不充分条件，得到 是 的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为 或 ，所以 ；
又 ， ， 是 的必要不充分条件，
所以 是 的真子集，
因此 （不能同时取等号），解得 .
（3）先判断存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到 ，最后建立不等式求 的取值范围.
【详解】解：因为 ，所以 ，
（1）当 时，解得 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为“ ，使得 ”为真命题，所以 ，
所以 或 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
（3）存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，
即有 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．
2.已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 得到， 是 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为集合 满足 ，所以 ，又 ，
A选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，排除；
故答案为：
【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.
16.设 ，若只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先判断函数 单调递增，再由题意建立方程组求解 的值即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 ，
所以函数 单调递增，
因为只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，
所以 ，解得：
故答案为：2.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17.已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】 或
【解析】
【分析】
求出集合 ，对集合 中的元素个数进行分类讨论，结合 可得出实数 所满足的等式或不等式，进而可求得实数 的取值范围.
A. 8B.9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“ （ 表示两个数 ， 中的较大者），”的把握，即可得答案．
【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，有10个，
但 、 只能取一个；
19.设全集 ，集合 ， 对任意实数 恒成立 ， ，求实数 的范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再化简得到 ，最后分 ， 和 三种情况讨论求实数 的范围.
【详解】解：因为 ，对任意实数 恒成立 ，
所以 或 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以
则
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
B选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，，排除；
C选项， 不是集合 的子集，且 也不是 的子集，不满足题意，排除；
D选项， 包含集合 ，故满足题意，正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.
3.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
【详解】 ， ，
对于方程 ， ，且 .
①当 时， ，可得 ，合乎题意；
②当集合 中只有一个元素时， ，可得 ，此时 ，合乎题意；
③当集合 中有两个元素时， ，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
【详解】因为 ， ，
若 ，则只需 ，解得
故选：C.
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8.在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】解：先将抛物线 关于原点作中心对称变换，得到 ，整理得 ；
再将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到 ，整理得 ；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为 .
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
18.已知 ， .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若“ ，使得 ”为真命题，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先化简得到 ，再将 代入求集合 即可；
（2）先化简得到 和 ，再转化已知条件得到 ，最后建立不等式求 的取值范围；
13.设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是________.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先化简确定集合A，再根据 分 和 两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 是 的子集，
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述，m的取值范围是 ．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】由图象得：图像的开口向上，所以 ，
图象的对称轴在 轴的右侧，所以 ，
又图象与 轴的交点在负半轴，所以 ，
所以 ，故①错误；
从图象观察得，当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，代入得 ，
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期
开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.设全集 ，已知集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 以及集合 的补集 ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】因为 或 ，所以 ，
①当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
②当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
故选：D.
【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10.设集合 ， ， ， ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， 都有 （ 表示两个数 ， 中的较大者），则 的最大值为（）
A B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出 或 ，最后求 即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，
所以 或 ，
故选：D
【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.
5.命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立” 否定为（）
当 即 时， 或 ，使得 成立，则 解得 ，所以 ；
综上所述： ，
故答案为： .
【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．
14.已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
先解方程，得到 或 ，再分别代入所求式子，即可得出结果.
【详解】由 得 ，解得 或 ，
当 时， ；
当 时， .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.
【详解】因为集合 ， ， A={0,3}，故m= -3.
12.集合 满足 ，则集合 的个数有________个.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意先求出所有的集合 ，再确定个数即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以集合 的个数有3个.
故答案为：3
【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
所以 成立，故②正确；
当 时， ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，故③正确；
综上得结论正确的是②③，
故选：C.
【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题.
7.已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ .其中结论正确的个数为（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】取特殊值代入，当 时，满足 但 ，所以不充分；
当 时，满足 ，但 ，所以不必要；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．
4.已知全集 ，设集合 ， ，则 （）
A.Hale Waihona Puke Baidua，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C. a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
【答案】D
【解析】
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
假设存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，则
所以 ，解得 ，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符合题意；
所以存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，此时 的取值范围是 .
【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
9.菱形 的边长为6， ，如果点 是菱形内一点，且 ，则线段 的长为（）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断点 在对角线 上，再分“点 在线段 上”和“点 在线段 上”两种情况讨论分别求线段 的长.
【详解】解：因为点 是菱形内一点，且 ，所以点 在对角线 上，设对角线 与 的交点为 ，所以点 可能在线段 上，也有可能在线段 上，
故满足条件的两个元素的集合有9个；
故选：B．
【点睛】 本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____.
【答案】-3
【解析】
15.已知 或 ， ， ，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到 ，根据 是 的必要不充分条件，得到 是 的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为 或 ，所以 ；
又 ， ， 是 的必要不充分条件，
所以 是 的真子集，
因此 （不能同时取等号），解得 .
（3）先判断存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到 ，最后建立不等式求 的取值范围.
【详解】解：因为 ，所以 ，
（1）当 时，解得 ；
（2）因为 ，所以 ，
因为“ ，使得 ”为真命题，所以 ，
所以 或 ，解得 ，
所以 的取值范围是 ，
（3）存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，
即有 ．
故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．
2.已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 得到， 是 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为集合 满足 ，所以 ，又 ，
A选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，排除；
故答案为：
【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.
16.设 ，若只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先判断函数 单调递增，再由题意建立方程组求解 的值即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 ，
所以函数 单调递增，
因为只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，
所以 ，解得：
故答案为：2.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17.已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】 或
【解析】
【分析】
求出集合 ，对集合 中的元素个数进行分类讨论，结合 可得出实数 所满足的等式或不等式，进而可求得实数 的取值范围.
A. 8B.9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“ （ 表示两个数 ， 中的较大者），”的把握，即可得答案．
【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，有10个，
但 、 只能取一个；
19.设全集 ，集合 ， 对任意实数 恒成立 ， ，求实数 的范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再化简得到 ，最后分 ， 和 三种情况讨论求实数 的范围.
【详解】解：因为 ，对任意实数 恒成立 ，
所以 或 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以
则
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
B选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，，排除；
C选项， 不是集合 的子集，且 也不是 的子集，不满足题意，排除；
D选项， 包含集合 ，故满足题意，正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.
3.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
【详解】 ， ，
对于方程 ， ，且 .
①当 时， ，可得 ，合乎题意；
②当集合 中只有一个元素时， ，可得 ，此时 ，合乎题意；
③当集合 中有两个元素时， ，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 或 .
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
【详解】因为 ， ，
若 ，则只需 ，解得
故选：C.
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8.在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】