天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)月考数学试卷(3月份)(附答案详解)
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）月考数学试卷（3月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列命题中，正确命题的个数是( )①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |． A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. 下列各式不能化简为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 的是( )A. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ −QC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. QC ⃗⃗⃗⃗⃗ −QP ⃗⃗⃗⃗⃗ +CQ ⃗⃗⃗⃗⃗D. PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 3. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数).则△ABC 的形状是( ) A. 正三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形4. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，若c ⃗ 与d⃗ 反向，则实数λ的值为( )A. 1B. −12C. 1或−12D. −1或−125. 在△ABC 中，D 是AB 边的中点，点E 在BC 边上且BE =2EC ，则ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗−23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −16AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 6. 如图，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为30°，若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ∈R)，则λμ等于( ) A. √32 B. 2√33C. 12 D. 27. △ABC 所在平面内一点P 满足CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则cos2θ=( )A. √23B. −√23C. 13D. −138. 已知点O 是△ABC 所在平面内的一定点，P 是平面ABC 内一动点，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，则点P 的轨迹一定经过△ABC 的( )A. 垂心B. 重心C. 内心D. 外心二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是边BC ，CA ，AB 上的中线，它们交于点G ，则下列选项正确的是( )A. BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ B. AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AG ⃗⃗⃗⃗⃗ D. GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ 10. 已知向量e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)，若向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ，则可使λ1λ2<0成立的a⃗ 可能是( ) A. (1,0) B. (0,1) C. (−1,0) D. (0,−1)11. 已知△ABC ，一下各式可以确定P 点在线段BC 延长线上的是( )A. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗B. AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x <0)C. PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC⃗⃗⃗⃗⃗ D. CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 在△OAB 中，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =4OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ，BC 的交点为M ，过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则λ+μ的不可能取到的值为( )A. 2+√37B. 3+√37C. 3+2√37D. 4+2√37三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知两点A(2,−1)，B(5,3)，则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是______ ．14. 若P 是△ABC 内部一点，且满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 与△ABC 的面积之比为______ ．15. 如图，O 为直线A 0A 2019外一点，若A 0，A 1，……，A 2019中任意两相邻两点的距离相等，设OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其结果为______．16. 在△ABC 中，E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，且满足P 为线段EF 上的任一点，实数x ，y 满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，设△ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，S 3，记Si S =λi (i =1,2,3)，则λ2⋅λ3为取到最大值时，x ，y 的值分别为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知a ⃗ =(x +3,x 2−3x −4)，A(1,2)，B(3,2)．(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，求x 的值； (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //a ⃗ ，求x 的值．18. △ABC 中，点A(2,1)、B(1,3)、C(5,5)．(1)若四边形ABCD 为平行四边形，求D 点坐标． (2)若D 在线段BC 上，且S △ABD =2S △ACD ，求|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |．19. 已知向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，x ⃗ =a ⃗ +(t +1)b ⃗ ，y⃗ =−1k a ⃗ +1t b ⃗ ． (1)写出平面向量基本原理的内容，并由此说明a ⃗ ,b ⃗ 能否成为一组基底； (2)若对于任意非0实数t ，x ⃗ 与y ⃗ 均不共线，求实数k 的取值范围．20. 在平行四边形ABCD 中，M 为BC 的中点，CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ND ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ ，b ⃗ 表示AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求实数λ的值，使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线．21. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a⃗ =(−1,2)，点A(8,0)，B(n,t)，C(ksinθ,t)，θ∈R ．(1)若k =t ，θ=30°，求|a ⃗ −OC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)若向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0，求f(θ)=tsinθ的值域．22.如图，在△ABC的边上各自做匀速运动的点D，E，F，当t=0时分别从点A，B，C出发，以各自的定速度向点B，C，A前进，当t=1时分别到达点B，C，A．(1)证明：在运动过程中(t∈[0,1])，△DEF的重心保持不变；(2)若△ABC的面积为S，求△DEF的面积的最小值(t∈[0,1])．答案和解析1.【答案】B【解析】解：向量既有大小也有方向，∴单位向量的方向不相同或相反便不共线，∴命题①错误； 长度相等而方向不同的向量不相等，∴命题②错误； 共线的单位向量方向不相同的也不相等，∴命题③错误； 与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是：±a⃗ |a ⃗ |，∴命题④正确． 故选：B ．根据向量的定义即可判断命题①②③都错误，与非零向量a ⃗ 共线的单位向量是±a⃗ |a ⃗ |，从而判断命题④正确，这样即可得出正确的选项．本题考查了向量的定义，单位向量的定义，相等向量和共线向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ −BQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：D ．直接利用向量的表示，求出结果即可． 本题考查向量的加减运算，基本知识的考查．3.【答案】D【解析】解：△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×BC ⃗⃗⃗⃗⃗ (其中k 是非零常数)， 如图所示；∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |−AC⃗⃗⃗⃗⃗|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ×(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k AB⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ |AC⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴(1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k +1|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴1|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+k =k +1|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=0， ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |， ∴△ABC 是等腰三角形． 故选：D ．根据题意画出图形，利用共线定理求出|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |，判断△ABC 是等腰三角形． 本题考查了平面向量的线性运算问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，且向量c ⃗ =λa ⃗ +b ⃗ ，d ⃗ =a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ，c ⃗ 与d ⃗ 反向， ∴存在实数k 使c ⃗ =k d ⃗ (k <0)， 于是λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]. 整理得λa ⃗ +b ⃗ =k a ⃗ +(2λk −k)b ⃗ ． 由于向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，所以有{λ=k2λk −k =1， 整理得2λ2−λ−1=0， 解得λ=1或λ=−12． 又因为k <0，所以λ<0， 故λ=−12． 故选：B ．由题意存在实数k 使λa ⃗ +b ⃗ =k[a ⃗ +(2λ−1)b ⃗ ]，k <0，由向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，得2λ2−λ−1=0，由此能求出结果．本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量共线的性质的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵D 为AB 边的中点，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵BE =2EC ，∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )−12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．由D 为AB 边的中点，得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由BE =2EC ，得EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据平面向量的三角形运算法则求解即可．本题考查平面向量的基本定理，涉及向量的三角形法则．属基础题．6.【答案】D【解析】解：如图所示：根据平行四边形法则将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向进行分解，则由题意可得OD =λ，CD =μ，∠COD =30°，∠OCD =90°，∠Rt △OCD 中，sin∠COD =sin30°=12=CDOD =μλ， ∴λμ=2， 故选：D ．将向量OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 沿OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后解三角形即可得到答案．对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．7.【答案】C【解析】解：∵PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2θCA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θCB⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴sin 2θ=13，cos 2θ=23∴cos2θ=cos 2θ−sin 2θ=23−13=13．故选：C ．根据平面向量的基本定理，求得sin 2θ和cos 2θ的值，根据二倍角公式求解即可． 本题考查平面向量的基本定理和二倍角公式，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的合理应用．8.【答案】B【解析】解：如图，设D 是BC 的中点，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)， ∴OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴点P 的轨迹是射线AD ， ∵AD 是△ABC 中BC 边上的中线， ∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 故选：B ．设D 是BC 的中点，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,+∞)，知OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以点P 的轨迹是射线AD ，故点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心． 本题考查三角形五心的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．9.【答案】AB【解析】解：由三角形重心性质得BG =2GE ，所以BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，A 正确； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×32AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，B 正确； 由重心性质得，DG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，C 错误； 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AG ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，D 正确． 故选：AB ．由已知结合三角形的重心及向量的线性表示分别检验各选项即可判断． 本题主要考查了三角形的重心及向量的线性表示，属于中档题．10.【答案】AC【解析】解：e 1⃗⃗⃗ =(−1,2)，e 2⃗⃗⃗ =(2,1)， ∴向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(−λ1,2λ1)+(2λ2,λ2)， =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)， 若使λ1λ2<0成立，a⃗ =(1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， a⃗ =(−1,0)，则2λ1+λ2=0，满足题意， a⃗ =(0,−1)，则2λ2−λ1=0，不满足题意， 故选：AC ．向量a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ =(2λ2−λ1,2λ1+λ2)，结合选项进行分析即可求解． 本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础试题．11.【答案】BC【解析】解：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则B ，C ，P 三点共线，当0<x <1时，P 在线段BC 上， 当x >1时，P 在CB 延长线上，当x <0时，P 在BC 延长线上，A 错误，B 正确；PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在BC 延长线上，C 正确； CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可知P ，C ，B 三点共线且P 在CB 延长线上，D 错误． 故选：BC ．结合向量的共线定理分别检验各选项即可判断．本题主要考查了平面象限的线性运算及向量共线定理，属于基础题．12.【答案】ABC【解析】解：由A ，M ，D 三点共线，可得存在实数t 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−t)OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(1−t)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 同理由C ，M ，B 三点共线，可得存在实数m 使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(1−m)OA⃗⃗⃗⃗⃗ +m OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{t =14(1−m)12(1−t)=m ，解得{m =37t =17，∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =xλOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yμOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则{xλ=17yμ=37，即{7x =1λ7y =3μ， 则1λ+3μ=7，故λ+μ=17(λ+μ)(1λ+3μ)=17(1+3+μλ+3λμ)≥4+2√37． 故选：ABC ．由已知可得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =17OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +37OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若过M 作动直线l 分别交线段AC ，BD 于E ，F 两点，若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (λ,μ>0)，则1λ+3μ=7，再由基本不等式可得答案． 本题考查的知识点是平面向量在几何中的应用，三点共线的充要条件，基本不等式的应用，属于中档题．13.【答案】(35,45)【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，∴与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量是AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=(35,45)． 故答案为：(35,45)．可求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后代入AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可求出与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向的单位向量的坐标． 本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量的长度的方法，单位向量的定义，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】13【解析】解：因为PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 设AB 的中点为O ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 为△ABC 的重心，根据重心的性质可得C 到AB 的距离为P 到AB 的距离的3倍， 故S △ABPS△ABC=13．由已知结合向量的加法及减法运算进行化简，然后结合三角形的重心性质可求． 本题主要考查了向量的线性表示及三角形重心的性质的应用，属于基础题．15.【答案】1010(a ⃗ +b ⃗ )【解析】解：设A 0A 2019的中点为A ，则A 也是A 1A 2018，A 2A 2017，……，A 1009A 1010的中点，由向量的中点坐标公式可得，OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ ， 同理，OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ， ∴OA 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯…+OA 2019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1010(a ⃗ +b ⃗ )． 故答案为：1010(a ⃗ +b ⃗ )．设A 0A 2019的中点为A ，可知OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2018⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 2017⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⋯…=OA 1009⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA 1010⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，进而得解．本题考查平面向量的几何运算，主要考查向量的中点坐标公式，属于基础题．16.【答案】2，2【解析】解：因为E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，则EF//BC ，故点P 到BC 的距离等于三角形ABC 的BC 边上的高的15，则S 1=15S ，所以S 2+S 3=45S ，λ2+λ3=45， 由此可得λ2λ3≤(λ2+λ32)2=425，当且仅当λ2=λ3=25时取等号，此时P 为EF 的中点，延长AP 交BC 于点D ，则D 为BC 的中点， 则AP⃗⃗⃗⃗⃗ =4PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ， 所以x =y =2，故当λ2λ3取得最大值时，x ，y 的值分别为2，2.， 故答案为：2，2．利用E ，F 分别为AB ，AC 上的靠近B ，C 的五等分点，得出EF//BC ，且则S 1=15S ，再根据基本不等式以及平面向量基本定理即可求解．本题考查了平面向量在三角形中的应用，涉及到利用基本不等式求解最值的问题，属于中档题．17.【答案】解：(1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，所以有{x +3=2x 2−3x −4=0⇒x =−1，(2)x 2−3x −4=0即可，解得x =−1或4．【解析】(1)先表示AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，然后结合向量相等的条件可求x ； (2)由已知结合向量平行的坐标表示即可直接求解．本题主要考查了向量相等条件及平行的坐标表示，属于基础题．18.【答案】解：(1)设D(x,y)，由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得(x −2,y −1)=(4,2) 解得D(6,3)；(2)解：因为S △ABD =2S △ACD ，所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2)+23(4,2)=(53,103)， 所以|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(53)2+(103)2=5√53．【解析】(1)先设D 的坐标，然后由AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 结合向量的坐标运算即可求解； (2)由已知条件可转化为BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后结合向量的坐标表示可求AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再由模长公式即可求解．本题主要考查了向量的线性运算的坐标表示，属于基础题．19.【答案】解：(1)平面向量基本定理的内容：如果e 1⃗⃗⃗ 、e 2⃗⃗⃗ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一a ⃗ ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a ⃗ =λ1e 1⃗⃗⃗ +λ2e 2⃗⃗⃗ ． 因为向量a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−2,1)，所以a ⃗ ,b ⃗ 不共线， 所以a ⃗ ,b ⃗ 可以成为一组基底； (2)假设x ⃗ //y ⃗ ， 则由对应系数成比例可得t+1k+1t=0，即t 2+t +k =0，向量x ，y 不共线，则对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)， 而函数−(t 2+t)=−(t +12)2+14，当t =−12时，−(t 2+t)的最大值为14， 所以k >14，即实数k 的取值范围为(14,+∞).【解析】(1)写出平面向量基本定理的内容，然后依次即可判断向量a ，b 是否可以成为一组基底；(2)先假设向量x ，y 共线，然后建立等式关系，若不共线，问题转化为对任意非0实数t 都无解，所以k >−(t 2+t)max ， 求出最大值即可．本题考查了平面向量基本定理，涉及到恒成立问题，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．20.【答案】(1)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ ， AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13a ⃗ +b ⃗ ， (2)解：AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +12b ⃗ −λ(13a ⃗ +b ⃗ )=(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在t ∈R 使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −λAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即(1−13λ)a ⃗ +(12−λ)b ⃗ =t(b ⃗ −a ⃗ )， 又∵a ⃗ ,b⃗ 不共线，∴{1−13λ=−t12−λ=t ，(此处也可由对应系数成比例直接得到)解得λ=98．【解析】(1)根据向量加法运算法则进行转化即可． (2)根据向量共线定理建立方程进行求解即可．本题主要考查向量基本定理的应用，利用向量加法法则和向量共线定理是解决本题的关键，是中档题．21.【答案】解：(1)OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k),a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1−k2,2−k)，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(1+k2)2+(2−k)2=√54k 2−3k +5=√54(k −65)2+165，∴k =65时，|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值为4√55； (2)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ksinθ−8,t)，∵向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量a ⃗ 共线，常数k >0， ∴t =−2ksinθ+16，∴f(θ)=tsinθ=−2ksin 2θ+16sinθ=−2k(sinθ−4k )2+32k，①当0<4k <1即k >4时，当sinθ=4k 时，f(θ)=tsinθ取得最大值32k ；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k −16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]．②当4k ≥1即0<k ≤4时，当sinθ=1时，f(θ)=tsinθ取得最大值−2k +16；sinθ=−1时，f(θ)=tsinθ取得最小值−2k +16，此时函数f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]． 综上所述，当k >4时f(θ)的值域为[−2k −16,32k ]；0<k ≤4时f(θ)的值域为[−2k −16,−2k +16]．【解析】(1)根据k =t ，θ=30°即可得出OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(k2,k)，然后即可得出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√54k 2−3k +5，然后配方即可求出|a ⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值； (2)根据AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与a ⃗ 共线即可得出t =−2ksinθ+16，从而可得出f(θ)=−2k(sinθ−4k )2+32k，然后可讨论k ：0<4k <1时，可求出f(θ)的最大值和最小值，从而得出此时的f(θ)的值域；同样，当4k ≥1时，可求出f(θ)的值域．本题考查了根据向量的坐标求向量的长度的方法，根据点的坐标求向量的坐标的方法，共线向量的坐标关系，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】(1)证明：设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，由题意，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ， 则λ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ BC⃗⃗⃗⃗⃗ =CF⃗⃗⃗⃗⃗ FA⃗⃗⃗⃗⃗ =t 1−t，由定比分点坐标公式可得，D(tx B +(1−t)x A ,ty B +(1−t)y A )， E(tx C +(1−t)x B ty C +(1−t)y B )， F(tx A +(1−t)x C ,ty A +(1−t)y C )，由三角形重心坐标公式有，x 0=13(x D +x E +x F ),y 0=13(y D +y E +y F )， 把D 、E 、F 的坐标代入x 0，y 0中，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即在运动过程中，△DEF 的重心保持不变； (2)解：∵ADAB =t,AFAC =1−t ，∴S △DFA ：S △ABC =(AD ⋅AF)：(AB ⋅AC)=t(1−t)，即S △DFA =t(1−t)S ， 同理，S △EFC =S △DEB =t(1−t)S ，∴S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S =[3(t −12)2+14]S,t ∈[0,1]，当t =12时，S △DEF 的面积取得最小值14S ．【解析】(1)设A(x A ,y A )，B(x B ,y B )，C(x C ,y C )，△DEF 的重心O(x 0,y 0)，在同一时刻t ，D 、E 、F 分，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所成的比相同，设为λ，求得△DEF 的重心坐标为(x A +x B +x C 3,y A ,y B ,y C3)，它与t 无关，即可．(2)ADAB =t,AFAC =1−t ，求出S △DEF =S △ABC −(S △DFA +S △DEB +S △EFC )=(3t 2−3t +1)S 利用二次函数求解最值即可．本题考查向量在几何中点应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．。
2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。
2020-2021学年天津市部分区高一上学期期末考试练习数学试卷(解析版)
天津市部分区2020-2021学年高一上学期期末考试练习试卷一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集{}2,1,0,1,2,3U=--，集合{}2,0,1,2A=-，{}1,0,3B=-，则集合()UA B⋃=（）A. {}1,2B.{}1,0,1-C. 1,0,1,2D.2,0,1,2『答案』D『解析』因为全集{}2,1,0,1,2,3U=--，集合{}2,0,1,2A=-，{}1,0,3B=-，所以{}U2,1,2B=-，所以(){}U2,0,1,2A B=-，故选：D2. 命题“()0,x∃∈+∞，0ln2xx=”的否定是（）A.()0,x∀∉+∞，ln2xx= B. ()0,x∀∈+∞，ln2xx≠C.()0,x∃∉+∞，0ln2xx=D.()0,x∃∈+∞，0ln2xx≠『答案』B『解析』根据特称命题的否定是全称命题可知，“()0,x∃∈+∞，0ln2xx=”的否定是“()0,x∀∈+∞，ln2xx≠”.故选：B.3. 已知角α的终边过点()12,5P-，则()sinπα+=（）A. 1213 B.1213-C.513 D.513-『答案』C『解析』角α的终边过点()12,5P-，则13OP==所以5sin 13α-=，又()5sin πsin 13αα+=-=故选：C4. 设α∈R ，则“1a <-”是“2560a a -->”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』因为2560a a -->，解得6a >或1a <-，因为()()(),1,16,-∞--∞-⋃+∞∴ “1a <-”是“2560a a -->”的充分不必要条件．故选：A ．5. 已知，0.32=a ，0.3log 2b =，0.2log 0.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. c b a <<B. b c a <<C. a b c <<D. c a b <<『答案』B『解析』因为指数函数2x y =在定义域内是增函数，所以0.30221a =>=； 由于对数函数0.3log y x =在定义域内是减函数，所以0.30.3log 2log 10b =<=；由于对数函数0.2log y x=在定义域内是减函数，所以0.20.20.20log 1log 0.3log 0.21c =<=<=，所以b c a <<.故选：B.6. 为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点（ ）A. 向左平行移动π12个单位长度 B. 向右平行移动π12个单位长度 C. 向左平行移动π24个单位长度D. 向右平行移动π24个单位长度『答案』C『解析』由于ππsin 2sin 248y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππsin 2sin 6221y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故为了得到函数πsin 24y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有的点向左平移π24个单位长度得πππsin 2sin 2sin 2248412y x x x π⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦. 故选：C.7. 已知ππ2α<<，且π3sin 45α⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos α的值为（ ）A.B.C. 10D. 10-『答案』D『解析』因为ππ2α<<，所以π3π5π,444α⎛⎫+∈⎪⎝⎭， 又π3sin 45α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以π4cos 45α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以ππππππcos cos cos cos sin sin 444444αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭43525210=-⨯+⨯=-.故选：D8. 已知扇形的圆心角为150°，其弧长为πcm ，则这个扇形的面积为（ ）A. 23πcm 4B. 23πcm 5C. 25πcm 6D. 26πcm 5『答案』B『解析』设扇形的半径为R ，扇形的圆心角为150°，即5π6所以弧长为5ππ6=R ，则65R =这个扇形的面积为1163ππ2255=⨯⨯=lR故选：B9. 已知函数()f x为偶函数，当10x-<<时，()()()33log1log1x xf x=+--，则12f⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A. -1B. -2C. 1D. 2『答案』A『解析』函数()f x为偶函数，则()()f x f x-=所以33331113log1112log1log log1 22222f f⎛⎫⎛⎫--+=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫=-=⎪⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎝故选：A10. 已知函数()241,11,12xx x xf xx⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩若关于x方程()f x m=恰有三个不同的实数解，则实数m的取值范围是（）A ()0,3B.[)2,3C.10,2⎛⎤⎥⎝⎦ D.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭『答案』D『解析』根据函数()241,11,12xx x xf xx⎧---<-⎪=⎨⎛⎫≥-⎪ ⎪⎝⎭⎩，作出函数图象，如图.方程()f x m=恰有三个不同的实数解，即函数()f x的图象与y m=的图象有三个交点如图，()112f-=，当112m≤<时，函数()f x的图象与y m=的图象有三个交点故选：D.二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11. 函数πtan23y x⎛⎫=+⎪⎝⎭，()ππ122≠+∈kx k Z的最小正周期为______.『答案』π2『解析』πtan(2)3=-y x，∴其最小正周期π2=T．所以函数πtan(2)3=-y x，ππ()122≠+∈kx k Z的最小正周期为：π2．故『答案』为：π2 .12. 已知e为自然对数的底数.计算：10.254128lg2ln100⨯++=______.『答案』1『解析』()11110.25324424128lg22lg102ln100e-⨯++=⨯++13 441222222112=⨯-+⨯=-+=故『答案』为：1.13.10πsin3=______.『答案』『解析』10πsin3=ππsin3πsin33⎛⎫+=-=⎪⎝⎭故『答案』为：14. 函数()()πsin 0,0,2ωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭f x A x A 在一个周期内的图象如图所示，则此函数的『解析』式()f x =______.『答案』π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 『解析』由振幅得：A=由图象可得：754πππ88⎛⎫=-= ⎪⎝⎭T ，∴2πω==T 2，∴ysin （2x +φ）， 当7π8=x 时，y＝，∴732ππ82ϕ⨯+=，π4ϕ∴=-，∴『解析』式为：π24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 15. 有下列命题：①当0a >，且1a ≠时，函数()11x f x a -=-的图象恒过定点()1,0 ②cos2tan30⋅<； ③幂函数()1f x x -=在()0,+∞上单调递减；④已知0a >，0b >，则的最大值为12其中正确命题的序号为______(把正确的『答案』都填上)『答案』①③『解析』①由于函数f （x ）＝a x （a ＞0，且a ≠1）的图象恒过定点（0，1），所以当0a >，且1a ≠时，函数()11x f x a -=-的图象恒过定点()1,0正确；②由于232π<<<π，所以cos20,tan30<<，所以cos2tan30⋅>，故②错误；③幂函数()1f x x-=在()0,∞+上单调递减正确；222a ab a b+++≤=当且仅当a a b=+，即0b=时等号成立，此时有12≤，即的最大值为12，但条件中0b>，所以此命题错误.故『答案』为：①③.三､解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.16. 已知1cos3α=，且α是第四象限角.（1）求sin2α和cos2α的值；（2）求πtan4α⎛⎫-⎪⎝⎭的值；『解』（1）1cos3α=，由22sin cos1αα+=得，228sin1cos9αα=-=，又α是第四象限角，sinα∴==，sin22sin cosααα∴==，22cos2cos sin=-ααα79=-.（2）由（1）可知sintancosααα==-πtan tanπ4tanπ41tan tan4ααα-⎛⎫∴-=⎪⎝⎭+⋅97+==.17. 已知函数()()log 52a f x x =-，其中0a >，且1a ≠.（1）求()f x 的定义域； （2）求()f x 的零点； （3）比较()1f -与()1f 的大小『解』（1）由520x ->，得52x <，所以函数()f x 的定义域为5,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. （2）令()0f x =，即()log 520a x -=，则521x -=，所以2x =，所以函数()f x 的零点为2.（3）()()()1log 52log 7a a f -=--=，()()1log 52log 3a a f =-=，当1a >时，函数log a y x=是增函数，所以log 7log 3a a >，即()()11f f ->.当01a <<时，函数log a y x=是减函数，所以log 7log 3a a <，即()()11f f -<.18. 某公司为了发展业务，制订了一个激励销售人员的奖励方案：①当销售利润不超过10万元时，不予奖励；②当销售利润超过10万元，但不超过20万元时，按销售利润的20%予以奖励；③当销售利润超过20万元时，其中20万元按20%予以奖励，超过20万元的部分按40%予以奖励.设销售人员的销售利润为x 万元，应获奖金为y 万元.（1）求y 关于x 的函数『解析』式，并画出相应的大致图象； （2）若某销售人员获得16万元的奖励，那么他的销售利润是多少？『解』（1）根据题意，可得函数的『解析』式为：()001020%10202020%+2040%20x y x x x x ⎧≤≤⎪=<≤⎨⎪⨯-⨯>⎩，即0,0100.2,10200.44,20x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩，图象如下所示：（2）由（1）可知，当1020x <≤时，20.24y x <=≤，164y =>，20x ∴>，令0.4416x -=，解得：50x =，故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.19. 已知函数()2πcos 26x f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，x ∈R .（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.『解』()2ππcos 2cos sin 2sin 66x x x f x =++-)12sin 21cos 22x x x =+-1sin 222x x =πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）2ππ2T ==，所以()f x 的最小正周期为π.由πππ22π,2π322x k k ⎡⎤-∈-+⎢⎥⎣⎦，∈k Z ，可得π5ππ,π1212x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，∈k Z ， ()f x ∴的单调递增区间为()π5ππ,π1212⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ； （2）因为()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间ππ-,124⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 又π142f ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，π142f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为-1.。
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年天津市南开中学高一上学期月考数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )A. B. C. D.2.设，且则( )A. B. C. D.3.若集合，，则的充要条件是( )A. B. C. D.4.设命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，5.不等式中等号成立的条件是 ( )A. B. C. D.6.已知集合，，若，则a的取值范围为( )A. B.C. D.7.正实数a，b满足，，则的最小值为( )A. B. C. D.8.命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是( )A. B. C. D.9.已知命题，，命题，，若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围是.( )A. B.C.或 D.10.若关于x的方程的两个实数根，，集合，，，，则关于x的不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.设a，，若集合，则__________.12.试用列举法表示集合：__________；13.不等式的解集为__________.14.已知实数，当取得最小值时，则的值为__________.15.若两个正实数x，y满足，且不等式有解，则实数m的取值范围是__________.16.若函数的最小值为0，则m的取值范围为__________.三、解答题：本题共3小题，共36分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题10分设全集为，集合，，求，，；若，求实数a的取值范围.18.本小题12分解关于x的不等式：19.本小题14分已知且，记m为的最大值，记n为ab的最大值.求的值;若，且对任意，恒成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】C 【解析】【分析】本题考查交集运算，属于基础题.根据交集的定义求解即可.【解答】解：因为 ，，所以.故选：2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查不等式的性质，属于基础题.运用不等式的性质，结合特例法逐一判断即可.【解答】解：A ：当 时，显然不成立，因此本选项不正确；B ：当 时， 没有意义，因此本选项不正确；C ：若 ，显然，但是不成立，因此本选项不正确；D ：由 ，因此本选项正确，故选：D 3.【答案】D 【解析】【分析】本题考查充要条件及含参数的集合关系问题，属于基础题.利用充要条件及两个集合的关系即可得出答案.【解答】解：因为集合 ，，且，所以，故选：4.【答案】B 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，属于基础题.根据全称量词命题的否定是特称量词命题可得答案.【解答】解：命题p：，，则为， .故选：5.【答案】C【解析】【分析】本题考察基本不等式，属于基础题.易知取等时解出x即可.【解答】解：故选6.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集及集合包含关系的判断，分类讨论含参数的集合包含关系，属于中档题.由可以得到，从而对集合B分类讨论即可求解参数a的范围.【解答】解：已知，又因为，，即，①当时，满足，此时，解得；②当时，由，得，解得；综上所述， .故选：7.【答案】A【解析】【分析】本题考查由基本不等式求最值，属于基础题.由题意可得，，再利用基本不等式求解即可．【解答】解：，，且，，当且仅当，即，时，等号成立，即的最小值为 .故选：8.【答案】C【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的应用，属于中档题.求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.【解答】解：由可得，当时，，所以，所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，故选：C9.【答案】C【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决恒成立及一元二次方程问题，属于中档题.若命题p为真命题，利用基本不等式求出的最小值即可得到a的取值范围，若命题q为真命题，则由即可求出a的取值范围，再取两者的交集即可.【解答】解：命题p：为真命题，对任意恒成立，又，，当且仅当，即时，等号成立，，命题，，为真命题，，或，命题p，q都是真命题，或 .故选：C10.【答案】A【解析】【分析】本题考查一元二次方程与一元二次不等式解集的关系，涉及集合的混合运算，属于中档题.根据一元二次不等式的解法，可知的解集在两根之外，讨论两根大小，然后根据集合的运算即可求解.【解答】解：当，则的解集为或，，，，，所以或 .当，则的解集为或，，，，，所以或，综上，故选：11.【答案】0【解析】【分析】本题考查集合相等，属于中档题.利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案．【解答】解：由题意可知：，因为，则，可得，则，可得，且满足，所以 .故答案为：12.【答案】【解析】【分析】本题考查集合的表示方法，属于基础题.求解x 的范围，然后表示成描述法即可.【解答】解：由题意可得： .故答案为： .13.【答案】【解析】【分析】本题考查分式不等式的解法，属于基础题.根据分式不等式求解方法进行求解即可．【解答】解：不等式等价于，解得，所以原不等式的解集为 .故答案为： .14.【答案】4 【解析】【分析】本题考查利用基本不等式求最值，属于中档题.先利用配凑法根据基本不等式求最值，根据取等条件得 ，即 即得.【解答】解：根据题意可得，，因 ，所以，，所以即，当且仅当时等号成立，此时，解得，则 .故答案为： 415.【答案】【解析】【分析】本题考查利用基本不等式解决有解问题，属于中档题.由已知结合基本不等式中“1”的代换求解的最小值，然后结合存在性问题与最值关系的转化，解一元二次不等式即可.【解答】解：因为两个正实数x，y满足，所以，所以，当且仅当即时，等号成立.因为有解，所以，即，解得或，即实数m的取值范围是 .故答案为： .16.【答案】【解析】【分析】本题考查由函数的最值求参，属于较难题.根据题意，讨论，求得时，取得最小值 0 ，去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围.【解答】解：当时，，当时，取得最小值 0 ，满足条件；当时，，当时，可得，当时，，，当时，，当时，取得最小值0，此时；当时，，由题意可得恒成立，不满足.则m的取值范围为 .故答案为：17.【答案】解：因为，，根据并集、补集的概念可得，或，或，所以，或 .若，则，解得，若，则，且或，解得，所以实数a的取值范围是 .【解析】本题考查集合的运算，属于中档题.根据集合A、B利用集合的交集、并集、补集的运算即可求得结果.分集合C为空集和C不为空集两种情况分类讨论，利用交集运算的概念得到a的范围.18.【答案】解：，时，，解集为时，不等式无解；时，，解集为时，不等式为，解集为；时，不等式的解集为或，综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是【解析】本题考查了含有参数的一元二次不等式的解法，解题关键在于对参数的分类讨论，注意参数的正负情况对于解集的影响，属于中档题.分类讨论，进行求解即可.19.【答案】解：因为，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，当且仅当时取等号，所以ab的最大值为1，即，因为，所以，所以，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为2，即，由题可得，令，则，故 .对任意，，则恒成立，因为a为正数，所以所以，此时，所以，当时，等号成立，此时成立，所以的最大值为第11页，共11页【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值，一元二次不等式恒成立问题，属于难题.利用基本不等式结合已知可求得，则 ，从而可求出 n 的值，再结合完全平方公式可求出 m ；令，则 ，得 ，根据 时， ，求得 的关系，从而可得 的取值范围，根据 取最大值的的值检验不等式 恒成立，即可求得结果.。
2020-2021学年天津市天津一中高一上学期期末考试数学试题 Word版
三、解答题：本大题共4小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17.已知函数 .
（1）若 时，求满足 的实数 的值；
（2）若存在 ，使 成立，求实数 取值范围.
【答案】（1） ；（2）
18.函数 的一段图象如图所示
（1）求 的解析式；
（2）求 单调增区间，并指出 的最大 D.
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. __________．
12.已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的中心角的弧度数是__________．
13.已知函数 为定义在区间 上的奇函数，则 __________， _________．
14.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范闱为
14.若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范闱为
__________．
【答案】
15.若将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是_________．
① 的最小正周期为 ② 在区间 上单调递减
③ 不是函数 图象的对称轴④ 在 上的最小值为
【答案】①③④
16.设函数 ，则 _______；若方程 有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_______．
A. B. C. D.
【答案】C
3.已知 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】C
4.函数 与 ，其中 ，且 ，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
5.已知函数 最小正周期为 ，且 的图象过点 ，则方程 所有解的和为（）
A. B. C. D.
2020-2021学年天津市南开中学高一(下)期中数学试卷附详细解析参考答案
2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷附详细解析参考答案一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
本大题共10小题，每小题4分，共40分.1．（4分）在平行四边形ABCD中，+﹣＝（）A．B．C．D．2．（4分）已知＝（1，2），＝（4，3），则（﹣）•＝（）A．﹣30B．﹣15C．﹣10D．53．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列条件使△ABC有两解的是（）A．b＝2，c＝1，A＝30°B．a＝8，B＝45°，C＝65°C．a＝3，c＝2，A＝30°D．a＝3，b＝4，B＝45°4．（4分）下列命题中正确的是（）A．两个平面可以有且仅有一个公共点B．两两相交的直线一定共面C．如果一条直线与两个相交的平面均平行，那么这条直线与这两个相交平面的交线也平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的任意直线平行5．（4分）已知在正四面体ABCD中，点E为棱AD的中点，则异面直线CE与BD成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．（4分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tan B＝ac，则角B的值（）A．B．C．或D．或7．（4分）我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”又寄托南开人“面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神．如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45°后的正方形组合而成，已知向量，，则向量＝（）A．2+3B．（2+）+3C．（2+）+（2+）D．（1+）+（2+）8．（4分）为解决我校午餐拥挤问题，高一某班同学提出创想，计划修建从翔宇楼四楼直达北院食堂二楼的空中走廊﹣﹣“南开飞云”，现结合以下设计草图提出问题：已知A，D 两点分别代表食堂与翔宇楼出入口，C点为D点正上方一标志物，AE对应水平面，现测得∠CAD＝15°，∠CBD＝45°，AB＝50m，CD＝25m，设∠DAE＝θ，则cosθ＝（）A．B．C．D．9．（4分）已知，是平面内两个夹角为的单位向量，设，为同一平面内的两个向量，若＝+，|﹣|＝，则|﹣|的最大值为（）A．B．C．D．10．（4分）在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝5，AD＝2，CD＝1，且•＝7，设点P为BC边上的任一点，则•的最小值为（）A．B．C．3D．﹣15二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11．（4分）i是虚数单位，则＝．12．（4分）已知向量＝（1，），＝（，﹣3），则与的夹角大小为．13．（4分）已知向量＝（2，1），＝（0，1），＝（4，3），若λ为实数，且（λ+）⊥，则λ＝．14．（4分）已知正四棱柱的体积为24，底面边长为2，则该正四棱柱的外接球的表面积为．15．（4分）已知△ABC为等边三角形，AB＝2，设点P，Q满足＝（1﹣λ），＝λ，其中λ∈R，若•＝﹣，则λ＝．16．（4分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝，角B为锐角，向量＝（2sin B，﹣）与＝（cos2B，cos B）共线，且sin A+sin C＝2sin A sin C，则△ABC的周长为．三、解答题：本大题共3小题，每小题12分，共36分.17．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为棱DD1的中点．（Ⅰ）求证：BD1∥平面ACE；（Ⅱ）求异面直线AE与BD1所成角的余弦值．18．（12分）如图，已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一点．（Ⅰ）如图（1）．（ⅰ）求•+•的值；（ⅱ）求•+•+•+•的值；（Ⅱ）如图（2），若点M，N满足＝2，＝2．点P是线段MN的中点，点Q 是平面上动点，且满足2＝λ+（1﹣λ），其中λ∈R，求•的最小值．19．（12分）南开园自然环境清幽，栖居着多种鸟类，热爱动物的南鸢同学独爱其中形貌雅致的蓝膀香鹊，于是她计划与生物兴趣小组的同学一起在翔宇楼前广场一角架设一台可转动镜头的相机，希望可以捕捉到这种可爱鸟儿的飘逸瞬间．南鸢同学设计了以下草图，为简化模型，假设广场形状为正方形，边长为1，已知相机架设于A点处，其可捕捉到图象的角度为45°，即∠P AQ＝45°，其中P，Q分别在边BC，CD上，记∠BAP＝θ（0°≤θ≤45°）．（Ⅰ）南鸢同学的数学老师很欣赏她的计划，并根据她的设计草图编制了此刻你正在思考的这道期中考试试题，设AC与PQ相交于点R，当θ＝30°时，请你求出：（ⅰ）线段DQ的长为多少？（ⅱ）线段AR的长为多少？（Ⅱ）为节省能源，南鸢同学计划在广场上人员较多的时段关闭相机镜头的自动转动功能，为使相机能够捕捉到的面积（即四边形APCQ的面积，记为S）最大，θ应取何值？S的最大值为多少？2020-2021学年天津市南开中学高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
2020-2021学年天津市第二南开学校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市第二南开学校高一（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共9小题，共36.0分）1. 已知全集U ={0,1，2，3，4，5}，集合M ={0,3，5}，N ={1,4，5}，则集合M ∪(∁U N)=( )A. {5}B. {0,3}C. {0,2，3，5}D. {0,1，3，4，5}2. 设a ∈R ，则“a ≥2”是“a 2−3a +2≥0”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3. 设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则￢p 为( )A. ∀n ∈N ，n 2>2nB. ∃n ∈N ，n 2≤2nC. ∀n ∈N ，n 2≤2nD. ∃n ∈N ，n 2=2n4. 下列函数中，与函数y =x +1是同一个函数的是( )A. y =(√x +1)2B. y =√x 33+1C. y =x 2x+1D. y =√x 2+15. 已知函数y =f(x +1)定义域是[−2,3]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52]B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]6. 已知函数f(x)在[−5,5]上是偶函数，且在[0,5]上是单调函数，若f(−4)<f(−2)，则下列不等式一定成立的是( )A. f(−1)<f(3)B. f(2)<f(3)C. f(−3)<f(5)D. f(0)>f(1)7. 已知函数f(x)是定义在区间[−a,a](a >0)上的奇函数，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的最大值与最小值之和为( )A. 0B. 1C. 2019D. 40388. 已知f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，而且f(x)是减函数，如果f(m −2)+f(2m −3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A. (1,53)B. (−∞,53)C. (1,3)D. (53,+∞)9. 若函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A. [1,+∞)B. (1,+∞)C. (−∞,1)D. (−∞,1]二、单空题（本大题共6小题，共18.0分）10. 函数y =−x 2+4x +3，x ∈[0,3]的单调递增区间是______．11. 已知a ，b ∈R ，若{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}，则a 2019+b 2019=______． 12. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f(x)=x 2+1，则f(−2)+f(0)=______． 13. 函数y =3x+1x−2的值域为______ ．14. 若对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立，则a 的取值范围是 ．15. 已知f(x)={12x +1,x ≤0−(x −1)2,x >0，使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共5小题，共46.0分）16. 根据定义证明函数f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增．17. 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x x 2+2；(2)f(x)=√1+x +√1−x ．18. 根据所给条件，分别求下列函数的解析式：(1)已知函数f(x +1)=x 2−2x ，求f(x)的解析式；(2)若f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，求函数f(x)的解析式．19.已知函数f(x)=x2+2ax−1．(1)若f(1)=2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值；(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值；(3)若f(x)在(−∞,4]上是减函数，求实数a的取值范围．20.设函数f(x)=x+a，x∈[0,+∞)x+1(1)当a=2时，求函数f(x)的最小值；(2)当0<a<1时，求函数f(x)的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵全集U={0,1，2，3，4，5}，集合M={0,3，5}，N={l,4，5}，∴∁U N={0,2，3}，则M∪(∁U N)={0,2，3，5}．故选C由全集U以及N，求出N的补集，找出M与N补集的并集即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：由a2−3a+2≥0，得a≤1或a≥2．即由a≥2可得a2−3a+2≥0，反之不一定成立．故“a≥2”是“a2−3a+2≥0”的充分非必要条件．故选：A．求解一元二次不等式，再结合充分必要条件的判定得答案．本题考查充分必要条件的判定，考查一元二次不等式的解法，是基础题．3.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得到结论．【解答】解：存在量词命题的否定是全称量词命题，命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C．4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查判断两个函数是否为同一函数，判断的标准就是判断两个函数的定义域和对应法则是否相同．根据两个函数的定义域相同，对应法则也相同，即可判断是同一函数．【解答】解：对于A，函数y=(√x+1)2=x+1的定义域为{x|x≥−1}，和y=x+1(∈R)的定义域不同，不是同一函数；3+1=x+1的定义域为R，和y=x+1的定义域相同，对应法则对于B，函数y=√x3也相同，是同一函数；+1=x+1的定义域为{x|x≠0}，和y=x+1的定义域不同，不对于C，函数y=x2x是同一函数；对于D，函数y=√x2+1=|x|+1的定义域为R，和y=x+1的对应法则不相同，不是同一函数．故选B．5.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数的定义域及其求法，给出了函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求解y=f[g(x)]的定义域，只要让g(x)∈[a,b]，求解x即可．根据题目给出的函数y=f(x+1)定义域，求出函数y=f(x)的定义域，然后由2x−1在f(x)的定义域内求解x即可得到函数y=f(2x−1)定义域．【解答】解：∵函数y=f(x+1)定义域为[−2,3]，∴x∈[−2,3]，则x+1∈[−1,4]，即函数f(x)的定义域为[−1,4]，再由−1≤2x−1≤4，得：0≤x≤5，2].∴函数y=f(2x−1)的定义域为[0,52故选：A．6.【答案】D【解析】解：由题意可得，函数f(x)在[−5,0]上也是单调函数，再根据f(−4)<f(−2)，可得函数f(x)在[−5,0]上是单调增函数，故函数f(x)在[0,5]上是单调减函数，故f(0)>f(1)，故选：D．由条件判断函数在[0,5]上是单调减函数，可得f(0)>f(1)，从而得出结论．本题主要考查偶函数的单调性规律，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)是定义在区间[−a,a](a>0)上的奇函数，则f(x)的图象关于原点对称，若g(x)=f(x)+2019，则g(x)的图象关于点(0,2019)对称，即f(x)+f(−x)=2019×2=4038，则g(x)的最大值与最小值之和为4038，故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f(x)的图象关于原点对称，即可得g(x)的图象关于点(0,2019)对称，据此分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数的对称性，属于基础题．8.【答案】A【解析】【分析】本题可先由函数奇偶性得到函数解析式满足的条件，再化简原不等式，利用函数单调性得到自变量的大小关系，解不等式，得到本题结论．本题考查了函数的奇偶性、单调性和定义域，本题难度不大，属于基础题．【解答】∵f(x)是定义域(−1,1)的奇函数，∴−1<x<1，f(−x)=−f(x)．∵f(x)是减函数，∴f(m−2)+f(2m−3)>0可转化为f(m−2)>−f(2m−3)，∴f(m −2)>f(−2m +3)， ∴{−1<m −2<1−1<2m −3<1m −2<−2m +3， ∴1<m <53..故选A ．9.【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=2|x −a|+3={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，∵函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调， ∴a >1．∴a 的取值范围是(1,+∞)． 故选：B ．求出函数f(x)={2x −2a +3,x ≥a−2x +2a +3,x <a ，由函数f(x)=2|x −a|+3在区间[1,+∞)上不单调，能求出a 的取值范围．本题考查实数的取值范围的求法，考查单调性等基础知识，是基础题．10.【答案】[0,2]【解析】解：根据二次函数的性质可知，y =−x 2+4x +3的开口向下，对称轴x =2， 所以x ∈[0,3]的单调递增区间[0,2]． 故答案为：[0,2]由已知结合二次函数的性质即可直接求解．本题主要考查了二次函数性质的简单应用，属于基础试题．11.【答案】−1【解析】解：∵{a,ba ,1}={a 2,a +b,0}， ∴b =0，∴{a,0，1}={a 2，a ，0}， 则1=a 2，解得，a =−1或a =1(舍去)．则a2019+b2019=−1．故答案为：−1．由题意，a≠0，则b=0，代入化简求出a，可求a2019+b2019．本题考查了集合内元素的特征，互异性与无序性，是基础题．12.【答案】−5【解析】【分析】本题考查了奇函数的定义，函数的概念，是一道典型的计算题，属于基础题．本题利用奇函数的定义，和函数解析式求解函数值．【解析】解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，f(−x)=−f(x)，∴f(0)=0，f(−2)=−f(2)，又∵当x>0时，f(x)=x2+1，∴f(−2)+f(0)=−f(2)+f(0)=−4−1+0=−5，故答案为：−5．13.【答案】{y∈R|y≠3}【解析】分离常数法：解：化简函数y=3x+1x−2=3(x−2)+7x−2=3+7x−2∵7x−2≠0∴y≠3所以：{y∈R|y≠3}故答案为：{y∈R|y≠3}反函数法：解：化简函数：y=3x+1x−2⇔y(x−2)=3x+1⇔x(y−3)=1+2y⇔x=1+2yy−3分式中分母不等于0，∴y≠3所以：{y ∈R|y ≠3} 故答案为：{y ∈R|y ≠3}当函数的是分数型结构函数时，并且分子分母都是一次函数时，求值域可以采用：反函数法和分离常数法．本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择，要熟悉每种方法解什么题型．此题属于基础题．14.【答案】[15,+∞)【解析】 【分析】本题考查了利用基本不等式求最值，不等式恒成立问题，属于中档题． 根据x +1x ≥2，代入x x 2+3x+1中求得x x 2+3x+1的最大值为15，进而a 的范围可得． 【解答】 解：∵x >0，∴x +1x ≥2(当且仅当x =1时取等号)，∴xx 2+3x+1=1x+1x+3≤12+3=15，当且仅当x =1时取等号， 即xx 2+3x+1的最大值为15，因为对任意x >0，xx 2+3x+1≤a 恒成立， 所以a ≥15， 故答案为[15,+∞)．15.【答案】[−4,2]【解析】解：∵f(x)≥−1， ∴{x ≤012x +1≥−1或{x >0−(x −1)2≥−1∴−4≤x ≤0或0<x ≤2， 即−4≤x ≤2．∴使f(x)≥−1成立的x 的取值范围是[−4,2]， 故答案为：[−4,2]．此是一分段函数型不等式，解此类不等式应在不同的区间上分类求解，最后再求它们的并集．本题考点是分段函数，是考查解分段函数型的不等式，此类题的求解应根据函数的特点分段求解，最后再求各段上符合条件的集合的并集．16.【答案】证明：任取2<x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1+4x 1−x 2−4x 2=(x 1−x 2)+4(x 2−x 1)x 1x 2=(x 1−x 2)(1−4x 1x 2)=(x 1−x 2)x 1x 2−4x 1x 2<0，∴f(x 1)<f(x 2)，故f(x)=x +4x 在(2,+∞)上单调递增【解析】先设2<x 1<x 2，然后根据作差法比较f(x 1)与f(x 2)的大小即可判断． 本题主要考查了函数单调性的定义在单调性判断中的应用，属于基础试题．17.【答案】解：(1)f(x)=xx 2+2，其定义域为R ，有f(−x)=−xx 2+2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，(2)f(x)=√1+x +√1−x ，有{1+x ≥01−x ≥0，则有−1≤x ≤1，即函数的定义域为[−1,1]，关于原点对称，f(−x)=√1−x +√1+x =f(x)， 则f(x)是偶函数．【解析】本题考查函数奇偶性的判断，注意函数的定义域，属于基础题． (1)分析可知函数的定义域为R ，结合f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性; (2)由函数的解析式可知x 满足{1+x ≥01−x ≥0，求解科的函数的定义域，根据f(−x)与f(x)的关系判断函数的奇偶性．18.【答案】解：(1)令x +1=t ，则x =t −1，∴f(t)=(t −1)2−2(t −1)=t 2−4t −1，∴f(x)=x 2−4x −1；(2)∵f(x)是奇函数∴f(−x)=−f(x)对任意的x 都成立，∴f(0)=0，当x <0时，f(x)=−x 2+2x −2，∴设x >0，则−x <0，f(−x)=−(−x)2+2(−x)−2=−x 2−2x −2=−f(x)， ∴x >0时，f(x)=x 2+2x +2，∴f(x)={x 2+2x +2,x >00,x =0−x 2+2x −2,x <0．【解析】(1)利用换元法即可求出函数的解析式．(2)设x >0时，−x <0，利用f(x)=−f(−x)可求f(x)．本题考查了函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．19.【答案】(12分)解：(1)由题可知，f(1)=1+2a −1=2，即a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2≥−2，故当x =−1时，函数f(x)min =−2．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=(−x)2+2a(−x)−1=f(x)=x 2+2ax −1，即4ax =0，故a =0．(3)函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数， ∴4≤−a ，即a ≤−4，故实数a 的取值范围为(−∞,−4]．【解析】(1)由f(1)=2，解得a =1，此时函数f(x)=x 2+2x −1=(x +1)2−2，由此可得函数f(x)的最小值．(2)若f(x)为偶函数，则有对任意x ∈R ，都有f(−x)=f(x)，由此求得实数a 的值．(3)由于函数f(x)=x 2+2ax −1的单调减区间是(−∞,−a]，而f(x)在(−∞,4]上是减函数，可得4≤−a ，由此求得实数a 的取值范围本题主要考查二次函数的性质应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=x+2x+1=x+1+2x+1−1≥2√2−1，当且仅当x+1=2x+1，即x=√2−1时取等号，∴f(x)min=2√2−1．(2)当0<a<1时，任取0≤x1<x2，f(x1)−f(x2)=(x1−x2)[1−a(x1+1)(x2+1)]，∵0<a<1，(x1+1)(x2+1)>1，∴1−a(x1+1)(x2+1)>0，∵x1<x2，∴f(x1)<f(x2)，即f(x)在[0,+∞)上为增函数，∴f(x)min=f(0)=a．【解析】本题主要考查了函数的最值的求解，以及函数单调性的判断与证明，同时考查了计算能力，属于中档题．(1)当a=2时，将函数f(x)变形，然后利用基本不等式即可求出函数f(x)的最小值；(2)先任取0≤x1<x2，然后作差f(x1)−f(x2)，判定其符号即可判定函数f(x)在[0,+∞)上的单调性，从而求出函数的最小值．。
天津市南开中学2020-2021学年高一上学期开学考试数学试卷 Word版含解析
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A. {}1,0,1- B.1,0,1,2C. {}1,1-D. {}1,2-【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合A 以及集合A 的补集UA ，再根据集合的交集运算即可求出．【详解】因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ．【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C. {}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤【答案】D 【解析】 【分析】 根据AB A =得到，A 是B 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.【详解】因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除； B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型. 3. “x y <”是“x y <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】利用取特殊值法判断即可.【详解】取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y >，所以不充分； 当x 1,y 2==-时，满足x y <，但x y >，所以不必要； 故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件. 故选：D.【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题． 4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x =-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C. {}23x x <≤D.{2x x ≤-或}1x ≥【答案】D 【解析】 【分析】先求出{}13P x x =≤≤，再求出R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，最后求()RPQ 即可.【详解】解：因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤， 因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.5. 命题“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为（）A. ∀a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立B. ∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立C. ∃a，b>0，a＋1b<2和b＋1a<2至少有一个成立D. ∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立【答案】D【解析】【分析】将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.【详解】“∀a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2至少有一个成立”的否定为：∃a，b>0，a＋1b≥2和b＋1a≥2都不成立.故选：D【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.6. 二次函数2y ax bx c=++的图象如图所示，对称轴是直线1x=.下列结论：①0abc<；②30a c+>；③()220a c b+-<.其中结论正确的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【答案】C【解析】根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.【详解】由图象得：图像的开口向上，所以>0a ， 图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <， 又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <， 所以>0abc ，故①错误；从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -， 又12ba-=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-， 又+>a c b ，所以()22+0a c b -<，故③正确； 综上得结论正确的是②③， 故选：C .【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，属于基础题. 7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ） A. 1a ≥B. 23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据两集合交集不为空集，可直接列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】因为{}1A x x =≥-，1212B xa x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ） A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++C. 223y x x =--+D.223y x x =++【答案】C 【解析】 【分析】根据题意先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称得到解析式为2y x 2x 3=-++，再将抛物线关于y 轴作轴对称得到解析式为223y x x =--+，最后给出答案即可.【详解】解：先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++；再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+；所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P 是菱形内一点，且PB PD ==段AP 的长为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】先判断点P在对角线AC上，再分“点P在线段OA上”和“点P在线段OC上”两种情况讨论分别求线段AP的长.【详解】解：因为点P是菱形内一点，且23 PB PD==，所以点P在对角线AC上，设对角线AC与BD的交点为O，所以点P可能在线段OA上，也有可能在线段OC上，①当点P在线段OA上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA=，又因为23PD=，在Rt PDO△中，223OP PD OD=-=，此时23AP=，②当点P在线段OC上时，如图.因为菱形ABCD的边长为6，60C=︒，所以3OD=，33OA =又因为23PD=Rt PDO△中，223OP PD OD=-，此时3AP=故选：D.【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.10. 设集合{}1,3,5,6,9M=，1S，2S，，kS都是M的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i iS a b=，{}{}(),,,1,2,3,,j j jS a b i j i j k=≠∈都有max,max,j ji ii i j ja ba bb a b a⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max,x y表示两个数x，y中的较大者），则k的最大值为（）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，首先分析出M 的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），”的把握，即可得答案．【详解】根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个； 故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ． 【点睛】本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2U C A =，则实数m =_____.【答案】-3 【解析】【详解】因为集合{}0,1,2,3U =， {}1,2U C A =，A={0,3}，故m= -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意先求出所有的集合A ，再确定个数即可.【详解】解：因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =， 所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.【答案】][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 【解析】 【分析】先化简确定集合A ，再根据A B ⊇分B =∅和B ≠∅两种情况进行讨论，最后解不等式确定m 的取值范围．【详解】解：因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤， 因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦． 故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题． 14. 已知2514x x -=，则()()()212111x x x ---++=________ 【答案】15 【解析】 【分析】先解方程，得到7x =或2x =-，再分别代入所求式子，即可得出结果. 【详解】由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-， 当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=； 当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=. 故答案为：15.【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________. 【答案】102m -≤≤ 【解析】 【分析】先由题意，得到:13x α⌝≤≤，根据β是α⌝的必要不充分条件，得到[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.【详解】因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：102m -≤≤ 【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.【答案】2 【解析】 【分析】先判断函数1y cx =+单调递增，再由题意建立方程组求解a 的值即可.【详解】解：因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >， 所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a =故答案为：2.【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围.【答案】{1a a =或}1a ≤- 【解析】 【分析】求出集合A ，对集合B 中的元素个数进行分类讨论，结合B A ⊆可得出实数a 所满足的等式或不等式，进而可求得实数a 的取值范围. 【详解】{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意；②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A ===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力，属于中等题.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）{}13B x x =-≤≤；（2）[4,12]-；（3）[0,8].【解析】【分析】（1）先化简得到{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再将1m =代入求集合B 即可；（2）先化简得到{}210A x x =-≤≤和{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，再转化已知条件得到A B ⋂≠∅，最后建立不等式求m 的取值范围；（3）先判断存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，再通过假设并转化已知条件得到B A ，最后建立不等式求m 的取值范围. 【详解】解：因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅，所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤，所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意； 所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.19. 设全集I R =，集合{}220,A x x x m m R =-+<∈，{2440,B a R ax ax =∈+-<对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围. 【答案】(3,)-+∞【解析】【分析】 先由题意求出{}10B a a =-<<，再化简得到{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈，最后分1m =，1m 和1m <三种情况讨论求实数m 的范围. 【详解】解：因为{2440B a R ax ax =∈+-<，对任意实数x 恒成立}.， 所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,A x x x m m R =-+<∈，所以{}220,I A x x x m m R =-+≥∈ 则{}2(1)1,I A x x m m R =-≥-∈当10m -=即1m =时，{}1I A x x =≠，此时()I A B ≠∅成立，符合题意； 当10m -<即1m 时，I A R =，此时()I A B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1I A x x =≥或1x ≤，使得()I A B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<；综上所述：3m >-，故答案为：(3,)-+∞.【点睛】本题考查利用一元二次不等式的解集求参数范围、根据集合分运算结果求参数范围，是中档题.。
天津市南开中学2020-2021学年高三(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．（5分）已知集合A＝{x||x﹣2|＜1}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩（∁R B）＝（）A．{x|0＜x≤2}B．{x|﹣1≤x＜1或2≤x＜3}C．{x|1＜x＜2}D．{x|2≤x＜3}2．（5分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）设a＝ln3，b＝3，c＝3﹣2，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞b＞a4．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）5．（5分）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD 上，若•＝，则•的值是（）A．2﹣B．1C．D．27．（5分）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log354）＝（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知函数f，若F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点x1，x2，x3，…，x m，则f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝（）A．4042B．4041C．4040D．40399．（5分）若曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝（a＞0）存在公切线，则实数a的取值范围（）A．（0，1）B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．（5分）已知复数（i为虚数单位），则|z|＝．11．（5分）（x﹣）6的展开式的常数项是（应用数字作答）．12．（5分）已知函数f（x）＝，若f（x﹣4）＜f（2x﹣3），则实数x的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）＝log2（2x+）+3，当x∈[﹣2，2]时，则函数f（x）的最大值与最小值之和是．14．（5分）已知函数f（x）＝的最小值为2m，则实数m的值为．15．（5分）已知m∈R，函数f（x）＝，g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1，若函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，则实数m的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（14分）已知函数f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx（ω＞0）的周期为π．（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（2）若x0∈[，]，且f（x0）＝，求sin2x0的值．17．（15分）已知函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数．（1）求a的值；（2）解不等式f（log2x）≥3；（3）若不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．18．（15分）如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD＝CD＝DP＝2PQ ＝2AB＝2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面MPC；（Ⅱ）求二面角Q﹣PM﹣C的正弦值；（Ⅲ）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PMQ所成的角为，求线段QN的长．19．（15分）已知函数f（x）＝+alnx﹣2（a＞0）．（1）若曲线y＝f（x）在点P（1，f（1））处的切线与直线x+2y﹣2＝0垂直，求a的值．（2）若对于任意x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，试求a的取值范围；（3）记g（x）＝f（x）+x﹣b（b∈R）．当a＝1时，函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1，其中a∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，斜率为k的直线l与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中x1＜x2，证明：；（3）是否存在k∈Z，使得f（x）+ax﹣2＞k（1﹣）对任意x＞l恒成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年天津市南开中学高三（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共9小题，共45分）1．【分析】分别求出A与B中不等式的解集确定出A与B的补集，再找出两集合的交集即可．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣1＜x﹣2＜1，解得：1＜x＜3，即A＝（1，3），由B中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）＜0，故B的补集对应不等式为：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1 或x≥2，即∁R B＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），则A∩（∁R B）＝[2，3），故选：D．2．【分析】不等式的基本性质，“a＞b”⇒“ac2＞bc2”必须有c2＞0这一条件．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．3．【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a＝ln3＞lne＝1，b＝3＜＝0，c＝3﹣2＝，∴a＞c＞b．故选：C．4．【分析】据函数零点的判定定理，判断f（1），f（2），f（3），f（4）的符号，即可求得结论．【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．5．【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，故排除A和B．当x＝时，函数的值也为0，故排除C．故选：D．6．【分析】根据题意，可分别以边AB，AD所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，然后可得出点A，B，E的坐标，并设F（x，2），根据即可求出x值，从而得出F点的坐标，从而求出的值．【解答】解：据题意，分别以AB、AD所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，则：A（0，0），B（，0），E（，1），设F（x，2）；∴；∴x＝1；∴F（1，2），；∴．故选：C．7．【分析】根据题意，由f（x+4）＝f（x）可得函数f（x）是周期为4的周期函数，由此可得f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由3＜log354＜4，则f（log354）＝f（log354﹣4）＝f（log3），又由f（x）为奇函数，则f（log3）＝﹣f（﹣log3）＝﹣f（log3），当x∈（0，1）时，f（x）＝3x，则f（log3）＝＝，则f（log354）＝﹣f（log3）＝﹣，故选：A．8．【分析】本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和．【解答】解：∵F（x）＝f（x）﹣sin（2020πx）﹣1在区间[﹣1，1]上有m个零点，∴f（x）﹣1＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m个零点，即g（x）＝f（x）﹣1＝与h（x）＝sin（2020πx）在区间[﹣1，1]上有m 个交点，∵T＝＝且h（x）关于原点对称，在区间[﹣1，1]上h（x）max＝1，h（x）min＝﹣1∵g（x）＝f（x）﹣1＝又∴在区间[﹣1，1]上g（x）max＝g（）＝，g（x）min＝g（﹣）＝﹣且g（x）关于原点对称．∵根据g（x）和h（x）函数图象特点易知在h（x）一个周期内，g（x）和h（x）图象有两个交点．∵T＝∴在（0，1]内共有1010个周期，∴g（x）和h（x）图象共有2020个交点，∵g（x）和h（x）图象都关于原点对称，∴g（x）和h（x）图象在[﹣1，0）U（0，1]共有4040个交点，再加上（0，0）这个交点．∵g（x）关于原点对称，设x1，x2为关于原点对称的两个交点横坐标，∴g（x1）+g（x2）＝0，即f（x1）﹣1+f（x2）﹣1＝0，即f（x1）+f（x2）＝2，∴f（x1）+f（x2）+f（x3）+…+f（x m）＝×2+f（0）＝4040+1＝4041．故选：B．9．【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解．再由导数即可进一步求得a的取值范围．【解答】解：y＝x2在点（m，m2）的切线斜率为2m，y＝（a＞0）在点（n，e n）的切线斜率为e n，如果两个曲线存在公共切线，那么：2m＝e n．又由斜率公式得到，2m＝，由此得到m＝2n﹣2，则4n﹣4＝e n有解，由y＝4x﹣4，y＝e x的图象有交点即可．设切点为（s，t），则e s＝4，且t＝4s﹣4＝e s，即有切点（2，4），a＝，故a的取值范围是：a≥．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，共30分）10．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z＝＝＝＝1+i，则|z|＝．故答案为：．11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．【解答】解：由于（x﹣）6展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，求得r＝3，可得（x﹣）6展开式的常数项为﹣8＝﹣160，故答案为：﹣160．12．【分析】首先判定函数的单调性，然后去掉f（x﹣4）＜f（2x﹣3）中的“f”，从而可求x的范围．【解答】解：f（x）＝ln（x+1）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）≥f（0）＝0，∵f（x﹣4）＜f（2x﹣3）∴0≤x﹣4＜2x﹣3或，解得x≥4或＜x＜4；故实数x的取值范围为：（，+∞）．故答案为：（，+∞）．13．【分析】利用奇函数最值之和为定值0即可求解．【解答】解：令h（x）＝log2（2x+），由h（﹣x）＝log2（﹣2x+），∴h（﹣x）+h（x）＝0，h（x）是奇函数，而y＝2x+，y＝log2x在（0，+∞）递增，故h（x）在（0，+∞）递增，故h（x）在R递增，则f（x）min＝h（x）min+3，f（x）max＝h（x）max+3∴f（x）min+f（x）max＝h（x）min+3+h（x）max+3＝6，故答案为：6．14．【分析】根据函数的单调性求出函数的最小值，得到关于m的方程，解出即可．【解答】解：x≥0时，f（x）＝2x+1+2m在[0，+∞）递增，f（x）min＝f（0）＝2+2m＞2m，不是最小值，x＜0时，f（x）＝2x2﹣mx，对称轴x＝，m≥0时，f（x）在（﹣∞，0）递减，f（x）＜f（0）＝0，不合题意，m＜0时，f（x）在（﹣∞，）递减，在（，0）递增，故f（x）min＝f（）＝﹣＝2m，解得：m＝﹣16，故答案为：﹣16．15．【分析】由题意画出函数y＝f（x）的图象，令g（x）＝t，可知要使函数y＝f（g（x））﹣m有4个零点，则g（x）与y＝t有4个交点，则函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，再分别讨论m的正负性即可．【解答】解：函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝t，y＝f[g（x）]﹣m＝f（t）﹣m，因为函数y＝f[g（x）]﹣m有4个零点，所以函数g（x）与y＝t有4个交点，因为g（x）＝x2﹣2x+2m﹣1＝（x﹣1）2+2m﹣2≥2m﹣2，所以t≥2m﹣2，故函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，①当m＜0时，y＝m与函数f（t）至多一个交点，故舍去；②当m＝0时，t1＝2，t2＝﹣，满足t1＞t2＞﹣2，故成立；③当m＞0时，要使得函数f（t）与y＝m有两个交点t1，t2，且满足t1＞t2＞2m﹣2，则，解得，综上m的取值范围是（）∪{0}，故答案为：（）∪{0}．三、解答题（本大题共5小题，共75分）.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的关系式．（2）利用角的变换的应用和和角公式的应用求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝sin（2ωx﹣）+2cos2ωx＝＝．由于函数的最小正周期为π，所以ω＝2．故．令（k∈Z），解得（k∈Z），故函数的单调递增区间为[]（k∈Z）．（2）由于x0∈[，]，所以，由于f（x0）＝，所以，解得，所以，故．则＝＝．17．【分析】（1）由奇函数的定义知f（﹣x）＝﹣f（x），列方程求出a的值；（2）由a的值写出f（x）的解析式，画出函数f（x）的图象，根据图象判断函数的单调性，把不等式f（log2x）≥3化为0＞log2x≥﹣1，求出解集即可；（3）问题等价于不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立，求出g（x）＝﹣1﹣在x∈[1，2]的最小值，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝a﹣（a∈R）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即a﹣＝﹣a+，所以2a＝+＝+2•＝＝﹣2，解得a＝﹣1；（2）a＝﹣1时，f（x）＝﹣1﹣，且2x﹣1≠0，所以x≠0；由函数f（x）是定义域（﹣∞，0）∪（0，+）上的奇函数，且在每个区间内单调递增，如图所示；令f（x）＝3，得﹣1﹣＝3，解得x＝﹣1；所以不等式f（log2x）≥3可化为0＞log2x≥﹣1；解得≤x＜1，所以不等式的解集为[，1）．（3）不等式f（x）﹣m＞0对任意x∈[1，2]恒成立，化为不等式m＜﹣1﹣对任意x∈[1，2]恒成立；g（x）＝﹣1﹣，x∈[1，2]；由g（x）在x∈[﹣1，2]上是单调减函数，且g（x）min＝﹣1﹣＝﹣3，所以m＜﹣3，即实数m的取值范围是（﹣∞，﹣3）．18．【分析】（Ⅰ）连接EM，证明P ABQ是平行四边形．证明EF∥MC，即可证明EF∥平面MPC．（Ⅱ）建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．求出平面PMQ的法向量，平面MPC的法向量，通过空间向量的数量积求解二面角Q﹣PM﹣C的正弦值．（Ⅲ）设，即，求出平面PMQ的法向量，利用空间向量的数量积求解λ，推出结果．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）连接EM，因为AB∥CD，PQ∥CD，所以AB∥PQ，又因为AB＝PQ，所以P ABQ 为平行四边形．由点E和M分别为AP和BQ的中点，可得EM∥AB且EM＝AB，因为AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，所以CF∥AB且CF＝AB，可得EM∥CF且EM＝CF，即四边形EFCM为平行四边形，所以EF∥MC，又EF⊄平面MPC，CM⊂平面MPC，所以EF∥平面MPC．（Ⅱ）因为PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，可以建立以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系．依题意可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），P（0，0，2），Q （0，1，2），M（1，1，1）.设为平面PMQ的法向量，则，即，不妨设z＝1，可为，设为平面MPC的法向量，则，即，不妨设z＝1，可得.，于是．所以，二面角Q﹣PM﹣C的正弦值为．（Ⅲ）设，即，则N（0，λ+1，2﹣2λ）．从而．由（Ⅱ）知平面PMQ的法向量为，由题意，，即，整理得3λ2﹣10λ+3＝0，解得或λ＝3因为0≤λ≤1所以．所以，．19．【分析】（1）根据题意可得直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，那么切线的斜率为2，根据导数的几何意义可得f′（1）＝2，进而解得a的值．（2）对f（x）求导数，分析单调性，得f（x）的最下值，对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，⇒f（x）最小值大于2（a﹣1）即可解得答案．（3）对g（x）求导分析单调性，若函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，则，解得b的取值范围．【解答】解：（1）直线x+2y﹣2＝0的斜率为﹣，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为f′（x）＝﹣+，所以f′（1）＝﹣+＝2，所以a＝4．（2）f′（x）＝﹣+＝，由f′（x）＞0解得x＞，由f′（x）＜0解得0＜x＜，所以f（x）在区间（，+∞）上单调递增，在区间（0，）上单调递减，所以，当x＝时，函数f（x）取得最小值，y min＝f（），因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以f（）＞2（a﹣1）即可，则+aln﹣2＞2（a﹣1），由aln＞a解得0＜a＜．所以a的取值范围是（0，）．（3）依题意得g（x）＝+lnx+x﹣2﹣b，则g′（x）＝，由g′（x）＞0，解得x＞1，由g′（x）＜0，解得0＜x＜1，所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数，又因为函数g（x）在区间[e﹣1，e]上有两个零点，所以，即，解得1＜b≤+e﹣1，所以b的取值范围是（1，+e﹣1]．20．【分析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）把a＝1代入函数解析式，然后利用分析法把证明，转化为证＜＜．分别令，k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），再由导数证明1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1）得答案；（3）由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，求导后分k≤0和k＞0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】（1）解：∵f′（x）＝，x＞0，∴当a＜0时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上是增函数．当a＞0时，x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，）上为增函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）在（，+∞）上为减函数．综上所述，当a＜0时，f（x）的增区间为（0，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，），f（x）的单调减区间为（，+∞）；（2）当a＝1时，f（x）＝lnx﹣x+1，∴，∴．要证，即证＜＜，∵x2﹣x1＞0，即证＜＜．令，即证＜lnt＜t﹣1（t＞1）．令k（t）＝lnt﹣t+1（t＞1），由（1）知，k（t）在（1，+∞）上单调递减，∴k（t）＜k（1）＝0，即lnt﹣t+1＜0，则lnt＜t﹣1．①令h（t）＝lnt+﹣1（t＞1），则h′（t）＝，∴h（t）在（1，+∞）上单调递增，则h（t）＞h（1）＝0，即lnt＞1﹣（t＞1）．②综①②得：1﹣＜lnt＜t﹣1（t＞1），即；（3）解：由已知f（x）+ax﹣2＞k（1一）即为x（lnx﹣1）＞k（x﹣2），x＞1，即x（lnx﹣1）﹣kx+2k＞0，k＞1．令g（x）＝x（lnx﹣1）﹣kx+2k，x＞1，则g′（x）＝lnx﹣k，当k≤0时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，+∞）上为增函数，由g（1）＝﹣1﹣k+2k＝k﹣1＞0，则k＞1，矛盾．当k＞0时，由lnx﹣k＞0，解得x＞e k，由lnx﹣k＜0，解得1＜x＜e k，故g（x）在（1，e k）上是减函数，在（e k，+∞）上是增函数，∴。
2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题Word版含解析
2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁U（A∪B）中元素个数为（）A．4 B．5 C．6 D．72．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为；最大值为．13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x2，x3，且x1+x2+x3=﹣，则a= ．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．16．已知集合A={x|2x﹣6≤2﹣2x≤1}，B={x|x∈A∩N}，C={x|a≤x≤a+1}．（Ⅰ）写出集合B的所有子集；（Ⅱ）若A∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．2020-2021学年天津市南开区高一上学期期末考试数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，则∁（A∪B）中元素个数为（）UA．4 B．5 C．6 D．7【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据已知中集合U={n|n∈N*且n≤9}，A={2，5}，B={1，2，4，5}，结合集合并集，补集的定义，可得答案．【解答】解：∵A={2，5}，B={1，2，4，5}，∴A∪B={1，2，4，5}，又∵集合U={n|n∈N*且n≤9}={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，（A∪B）={3，6，7，8，9}，∴∁U故∁（A∪B）共有5个元素，U故选：B．2．与α=+2kπ（k∈Z）终边相同的角是（）A．345°B．375°C．﹣π D．π【考点】终边相同的角．【分析】把化成15°，再根据终边相同的角之间相差周角的整数倍，即可得答案．【解答】解：由α=+2kπ（k∈Z），得与角α终边相同的角是：，360°+15°=375°．故选：B．3．sin80°cos70°+sin10°sin70°=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接由三角函数的诱导公式化简求值即可得答案．【解答】解：sin80°cos70°+sin10°sin70°=cos10°cos70°+sin10°sin70°=．故选：C．4．下列函数中是奇函数的是（）A．y=x+sinx B．y=|x|﹣cosx C．y=xsinx D．y=|x|cosx【考点】函数奇偶性的判断．【分析】运用奇偶性的定义，即可判断出奇函数的函数．【解答】解：A，y=x+sinx，有f（﹣x）=﹣x﹣sinx=﹣f（x），为奇函数；B，y=|x|﹣cosx，f（﹣x）=|﹣x|﹣cos（﹣x）=f（x），为偶函数；C，y=xsinx，f（﹣x）=（﹣x）sin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；D，y=|x|cosx，f（﹣x）=|﹣x|cos（﹣x）=f（x），为偶函数．故选：A．5．已知cosθ＞0，tan（θ+）=，则θ在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由两角和的正切公式化简tan（θ+）=，求出tanθ的值，结合条件和三角函数值的符号判断出θ所在的象限．【解答】解：由题意得，tan（θ+）=，所以=，即，解得tanθ=＜0，则θ在第二或四象限，由cosθ＞0得，θ在第一或四象限，所以θ在第四象限，故选：D．6．函数f（x）=log2x+x﹣4的零点在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法的定义．【分析】判断f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．根据函数的零点存在性定理得出答案．【解答】解：f（x）=log2x+x﹣4，在（0，+∞）上单调递增．∵f（2）=1+2﹣4=﹣1＜0，f（3）=log23﹣1＞0∴根据函数的零点存在性定理得出：f（x）的零点在（2，3）区间内∴函数f（x）=log2x+x﹣4的零点所在的区间为（2，3），故选：C．7．若偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，设a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 【考点】对数值大小的比较．【分析】由f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），能求出结果．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，∵log0.53=＜=﹣1，log23﹣1=log21.5∈（0，1），a=f（1），b=f（log0.53），c=f（log23﹣1），∴b＜a＜c．故选：B．8．如图，正方形ABCD边长为1，从某时刻起，将线段AB，BC，CD，DA分别绕点A，B，C，D 顺时针旋转相同角度α（0＜α＜），若旋转后的四条线段所围成的封闭图形面积为，则α=（）A．或B．或C．或D．或【考点】扇形面积公式．【分析】由题意可得旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，得：（cosα﹣sinα）2=，进而解得cosα﹣sinα=±，cosα+sinα=，联立解得cos α=，利用特殊角的三角函数值即可得解．【解答】解：如图所示，旋转后的四条线段所围成的封闭图形为正方形，边长为cosα﹣sinα，由题意可得：（cosα﹣sinα）2=，可得：cosα﹣sinα=±①，2sinαcosα=又0＜α＜，可得：cosα+sinα==，②所以：由①②可得：cosα=．故α=或．故选：A．9．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），则下列说法错误的是（）A．函数f（﹣x）的最小正周期为πB．函数f（﹣x）图象的对称轴方程为x=+（k∈Z）C．函数f（﹣x）图象的对称中心为（+，0）（k∈Z）D．函数f（﹣x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin （﹣2x+），再进行验证，即可得出结论．【解答】解：由题意，ω=2，函数f（x）=Asin（ωx+φ）的周期为π，φ=，f（﹣x）=Asin（﹣2x+），x=+，﹣2x+=kπ+，f（﹣x）=Asin（﹣2x+）≠0，故选C．10．设函数f（x）=，则下列说法正确的是（）①若a≤0，则f（f（a））=﹣a；②若f（f（a））=﹣a，则a≤0；③若a≥1，则f（f（a））=；④若f（f（a））=，则a≥1．A．①③B．②④C．①②③D．①③④【考点】分段函数的应用．【分析】根据已知中函数f（x）=，逐一分析给定四个结论的真假，可得答案．【解答】解：当a≤0时，则f（f（a））==﹣a，故①正确；当a≥1时，f（f（a））==，故③正确；当0＜a＜1，f（f（a））=log0.5（log0.5a）∈R，故此时存在0＜a＜1，使得f（f（a））=﹣a也存在0＜a＜1，使得f（f（a））=，故②④错误；故选：A二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分）.11．函数f（x）=的定义域为（﹣1，0）∪（0，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据对数函数以及分母不为0，求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：，解得：x＞﹣1且x≠0，故函数的定义域是（﹣1，0）∪（0，+∞），故答案为：（﹣1，0）∪（0，+∞）．12．函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x的最小正周期为π；最大值为．【考点】同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法．【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及最大值得出结论．【解答】解：函数f（x）=2cos2x•tanx+cos2x=2sinxcosx+cos2x=sin2x+cos2x=sin（2x+）的最小正周期为=π，最大值为，故答案为：π，13．如果将函数f（x）=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位，函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，二者能够完全重合，则φ的最小值为．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）的图象，将函数g（x）=cos（2x﹣）图象向右平移φ个长度单位后，可得函数y=cos[2（x﹣φ）﹣]=cos（2x﹣2φ﹣）=sin[﹣（2x﹣2φ﹣）]=sin（﹣2x+2φ）=sin（2x﹣2φ+）的图象，二者能够完全重合，由题意可得，即：2x+2φ=2x﹣2φ++2kπ，k∈Z，解得：φ=kπ+，（k∈Z）=．当k=0时，φmin故答案为：．14．如图所示，已知A，B是单位圆上两点且|AB|=，设AB与x轴正半轴交于点C，α=∠AOC，β=∠OCB，则sinαsinβ+cosαcosβ= ．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用差角的余弦公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，∠OAC=β﹣α，∵A，B是单位圆上两点且|AB|=，∴sinαsinβ+cosαcosβ=cos（β﹣α）=cos∠OAC==，故答案为．15．设函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a=0有三个不等实根x 1，x 2，x 3，且x 1+x 2+x 3=﹣，则a= ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】如图所示，画出函数f （x ）的图象，不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×，又x 1+x 2+x 3=﹣，可得x 3，代入a即可得出a ．【解答】解：如图所示，画出函数f （x ）的图象， 不妨设x 1＜x 2＜x 3，则x 1+x 2=2×=﹣3，又x 1+x 2+x 3=﹣， ∴x 3=． ∴a==．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共50分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 16．已知集合A={x|2x ﹣6≤2﹣2x ≤1}，B={x|x ∈A ∩N}，C={x|a ≤x ≤a+1}． （Ⅰ）写出集合B 的所有子集；（Ⅱ）若A ∩C=C ，求实数a 的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；子集与真子集．【分析】（Ⅰ）根据题意，解2x ﹣6≤2﹣2x ≤1可得集合A ，又由B={x|x ∈A ∩N}，即可得集合B ，进而由子集的定义可得集合B 的子集；（Ⅱ）根据题意，分析可得C 是A 的子集，进而有：，解可得a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）对于集合A ，因为2x ﹣6≤2﹣2x ≤1，则x ﹣6≤﹣2x ≤0， 解可得：0≤x ≤2．即A={x|0≤x≤2}，又由B={x|x∈A∩N}，则B={0，1，2}；故B的子集有∅、{0}、{1}、{2}、{0，1}、{0，2}、{1，2}、{0，1，2}；（Ⅱ）若A∩C=C，则C是A的子集，则必有：，解可得：0≤a≤1，即a的取值范围是：[0，1]．17．已知函数f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，并给出证明；（Ⅱ）若θ为第一象限角，且f（θ+）=，求cos（2θ+）的值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数，由函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，求出f（x）和f（﹣x）即可证得结论；（Ⅱ）由已知条件求出，再由θ为第一象限角，求出，然后利用三角函数的诱导公式化简计算即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）结论：函数f（x）为定义在R上的偶函数．证明：函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（x）=cos（x﹣）﹣sin（x﹣）=f（﹣x）=．因此，函数f（x）为定义在R上的偶函数；（Ⅱ）∵f（θ+）=，∴．由于θ为第一象限角，故，∴cos（2θ+）===．18．设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，∴f（0）=0，若x＜0，则﹣x＞0，∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，则函数f（x）的解析式f（x）=；（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），则函数f（x）在R上是减函数，则m2+2m＜﹣m，即m2+3m＜0，则﹣3＜m＜0，即m的取值范围是（﹣3，0）．19．设某等腰三角形的底角为α，顶角为β，且cosβ=．（Ⅰ）求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，求m的取值范围．【考点】函数的值域．【分析】（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，利用cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1求sinα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域与函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域相同，得出y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，即可求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题意，β=π﹣2α，∴cosβ==﹣cos2α=2sin2α﹣1∵α∈（0，），∴sinα=；（Ⅱ）由题意，函数f（x）=tanx在[﹣，α]上单调递增，∵α∈（0，），sinα=，∴cosα=，∴tanα=2，∴函数f（x）=tanx在[﹣，α]上的值域为[﹣，2]，∴函数g（x）=2sin（2x﹣）在[0，m]上的值域为[﹣，2]，∴y=sinx在[﹣，2m﹣]上的取值范围是[﹣，1]，∴≤2m﹣≤，∴≤m≤．20．函数f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1（ω＞0），其图象上有两点A（s，t），B（s+2π，t），其中﹣2＜t＜2，线段AB与函数图象有五个交点．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[x1，x2]和[x3，x4]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，且满足等式x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2），求x1、x4所有可能取值．【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的诱导公式化简即可得答案；（Ⅱ）求出函数f（x）的最值即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=4sinωx•cos（ωx+）+1====，由于|AB|=2π，且线段AB与函数f（x）图象有五个交点，因此，故ω=1；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，函数f（x）=，由题意知，因此x4﹣x3=x2﹣x1=（x3﹣x2）=．即，．∵函数f（x）在[x1，x2]上单调递增，在[x2，x3]上单调递减，∴f（x）在x2处取得最大值，即=2．，即．∴=．=．。
【免费】南开中学高一数学第一学期第一次月考试卷(含答案)
南开中学高一数学第一学期第一次月考试卷（含答案）本试题卷分选择题和非选择题两部分。
满分150份，考试时间120分钟。
选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{1,2,3}的真子集共有A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个2．已知集合2{|40}A x x x =∈-<R ，{|28}x B x =∈<R ，则A B =A ．(0,4)B ．(3,4)C ．(0,3)D ．(,3)-∞3．下列函数中与函数y x =相同的是A ．2y x =B ．y =C ．y =D ．2x y x=4．在映射:f A B →中，{(,)|,}A B x y x y ==∈R ，且:(,)(,)f x y x y x y →-+， 则与A 中的元素(1,2)-对应的B 中元素为 A ．(3,1)-B ．(1,3)C ．(1,3)--D ．(3,1)5．已知函数2()41f x x mx =-+在区间(,2)-∞-上是减函数，在区间[2,)-+∞上是增函数，则(1)f =A ．21B ．11-C ．13D ．3-6．已知函数()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b=+的图象是A ．B ．C ．D ．7．已知函数1()3()3x x f x =-， 则()f xA ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数8．已知()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且32()()1f x g x x x -=++， 则(1)(1)f g += A ．3-B ．1-C ．1D ．39．已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是A ．12(,)33B ．12[,)33C ．12(,)23D ．12[,)2310．设()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，又(3)0f -=，则()0x f x ⋅<的解集是A ．{}|303x x x -<<>或B ．{}|303x x x <-<<或C ．{}|33x x x <->或D ．{}|3003x x x -<<<<或非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7个小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
2020-2021学年天津市南开中学高一上学期开学考试数学试卷(解析版)
天津市南开中学2020-2021学年 高一上学期开学考试试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 设全集U =R ，已知集合{}2|20A x x x =-->，{}1,0,1,2,3B =-，则()UA B ⋂=（ ） A.{}1,0,1- B.1,0,1,2C.{}1,1-D.{}1,2-『答案』B 『解析』因为(){}{(1)202A x x x x x =+-=或}1x <-，所以{}U1|2A x x -=≤≤，即有(){}U1,0,1,2A B ⋂=-．故选：B ． 2. 已知集合{}23A x x =-≤≤，集合B 满足A B A =，则B 可能为（ ）A. {}13x x -<≤B. {}23x x -<<C.{}32x x -≤≤D.{}33x x -≤≤『答案』D『解析』因为集合B 满足AB A =，所以A B ⊆，又{}23A x x =-≤≤，A 选项，{}13x x -<≤显然是集合A 的子集，不满足题意，排除；B 选项，{}23x x -<<显然是集合A 的子集，不满足题意，，排除；C 选项，{}32x x -≤≤不是集合A 的子集，且A 也不是{}32x x -≤≤的子集，不满足题意，排除； D 选项，{}33x x -≤≤包含集合A ，故满足题意，正确.故选：D.3. “x y <”是“x y<”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』D『解析』取特殊值代入，当4,0x y =-=时，满足x y <但x y>，所以不充分；当1,2==-x y 时，满足x y<，但x y >，所以不必要；故“x y <”是“x y <”的既不充分也不必要条件.故选：D.4. 已知全集R ，设集合{}2430P x x x =-+≤，{}240Q x x=-<，则()RP Q =（ ）A {}23x x ≤≤B. {}13x x <<C.{}23x x <≤ D.{2x x ≤-或}1x ≥『答案』D 『解析』因为{}2430P x x x =-+≤，所以{}13P x x =≤≤，因为{}240Q x x =-<，所以{}22Q x x =-<<，则R{|2Q x x =≤-或2}x ≥，所以(){R 2P Q x x ⋃=≤-或}1x ≥，故选：D5. 命题“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为（ ） A. ∀a ，b >0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 B. ∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2都不成立 C. ∃a ，b >0，a ＋1b <2和b ＋1a <2至少有一个成立 D. ∃a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2都不成立『答案』D『解析』“∀a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2至少有一个成立”的否定为： ∃a ，b >0，a ＋1b ≥2和b ＋1a ≥2都不成立.6. 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，对称轴是直线1x =.下列结论： ①0abc <；②30a c +>；③()220a cb +-<.其中结论正确的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个『答案』C『解析』由图象得：图像的开口向上，所以>0a ，图象的对称轴在y 轴的右侧，所以0b <，又图象与y 轴的交点在负半轴，所以0c <，所以>0abc ，故①错误； 从图象观察得，当1x =-时，>0y ，所以+>0a b c -，又12b a -=，所以2b a =-，代入得()2+>0a a c --， 所以30a c +>成立，故②正确；当1x =时，0y <，所以++0a b c <，即+a c b <-，又+>a c b ，所以()22+0a cb -<，故③正确；综上得结论正确的是②③，故选：C.7. 已知集合{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭，若A B ⋂≠∅，则a 的取值范围是（ ）A. 1a ≥B.23a ≥C. 0a ≥D.203a ≤≤『解析』因为{}1A x x =≥-，1212B x a x a ⎧⎫=≤≤-⎨⎬⎩⎭， 若A B ⋂≠∅，则只需211a -≥-，解得0a ≥ 故选：C.8. 在平面直角坐标系中，先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）A. 223y x x =-+-B. 2y x 2x 3=-++ C. 223y x x =--+ D.223y x x =++ 『答案』C『解析』先将抛物线223y x x =+-关于原点作中心对称变换， 得到2[()2()3]y x x =--+--，整理得2y x 2x 3=-++； 再将抛物线2y x 2x 3=-++关于y 轴作轴对称变换，得到2()2()3y x x =--+-+，整理得223y x x =--+； 所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为223y x x =--+. 故选：C9. 菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，如果点P是菱形内一点，且PB PD ==线段AP 的长为（ ）A.B.C.D.『答案』D『解析』因为点P是菱形内一点，且PB PD ==P 在对角线AC 上，设对角线AC 与BD 的交点为O ，所以点P 可能在线段OA 上，也有可能在线段OC 上， ①当点P 在线段OA 上时，如图.因为菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，所以3OD =，OA =又因为PD =Rt PDO △中，OP =AP =②当点P 在线段OC 上时，如图.因为菱形ABCD 的边长为6，60C =︒，所以3OD =，OA =又因为PD =Rt PDO △中，OP =AP = 故选：D. 10. 设集合{}1,3,5,6,9M =，1S ，2S ，，kS 都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的{},i i i S a b =，{}{}(),,,1,2,3,,j j j S a b i j i j k =≠∈都有max ,max ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭（()max ,x y 表示两个数x ，y 中的较大者），则k 的最大值为（ ） A. 8B. 9C. 10D. 11『答案』B『解析』根据题意，对于M ，含2个元素的子集{1,3}，{1,5}，{1,6}，{1,9}，{3,5}，{3,6}，{3,9}，{5,6}，{5,9}，{6,9}，有10个，但{1,3}、{3,9}只能取一个；故满足条件的两个元素的集合有9个； 故选：B ．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 设集合{}0,1,2,3U =，集合{}2|0A x U x mx =∈+=，若{}1,2UCA =，则实数m=_____.『答案』-3 『解析』因为集合{}0,1,2,3U =，{}1,2U C A =，A ={0,3}，故m = -3.12. 集合A 满足{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭，则集合A 的个数有________个. 『答案』3『解析』因为{}1,3 **15,,A x y x N y N x ⎧⎫⊆=∈∈⎨⎬⎩⎭， 所以{}1,3 {}1,3,5,15A ⊆，所以{}13,5A =,，{}1,3,15A =，{}1,3,5,15A =，所以集合A 的个数有3个. 故答案为：3 13. 设集合{}116A x x =-≤+≤，{}121B x m x m =-<<+，若A B ⊇，则m 的取值范围是________.『答案』][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．『解析』因为{}116A x x =-≤+≤，所以{|25}A x x =-≤≤，因为A B ⊇，所以B 是A 的子集，当B =∅时，则121m m -≥+，解得2m ≤-，符合题意；当B ≠∅时，则12215121m m m m -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩，解得12m -≤≤，符合题意；综上所述，m 的取值范围是][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．故答案为：][(,21,2⎤-∞-⋃-⎦．14. 已知2514xx -=，则()()()212111x x x ---++=________『答案』15『解析』由2514x x -=得()()720x x -+=，解得7x =或2x =-，当7x =时，()()()22121116138115x x x ---++=⨯-+=；当2x =-时，()()()()212111351115x x x ---++=-⨯--+=.故答案为：15.15. 已知:3x α>或1x <，124m x m β+≤≤+:，m R ∈，若β是α⌝的必要不充分条件，则m 的取值范围是________.『答案』12m -≤≤『解析』因为:3x α>或1x <，所以:13x α⌝≤≤；又124m x m β+≤≤+:，m R ∈，β是α⌝的必要不充分条件， 所以[]1,3是[]1,24m m ++的真子集，因此11243m m +≤⎧⎨+≥⎩（不能同时取等号）， 解得102m -≤≤.故答案为：12m -≤≤16. 设0a >，若只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，则a =________.『答案』2『解析』因为10cx y -+=，所以1y cx =+，因为0c >，所以函数1y cx =+单调递增，因为只有一个正的常数c ，使得对于任意的{}3x x a x a ∈≤≤，都有{}2y y a y a ∈≤≤满足方程10cx y -+=，所以1231a ca a ca =+⎧⎨=+⎩，解得：2a = 故答案为：2.三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分） 17. 已知{}240A x x x =+=，(){}222110B x x a x a =+++-=，若B A ⊆，求a 的取值范围. 『解』{}{}2404,0A x x x =+==-，(){}222110B x x a x a =+++-=，对于方程()222110x a x a +++-=，()()()22414181a a a ∆=+--=+，且B A ⊆.①当B =∅时，∆<0，可得1a <-，合乎题意； ②当集合B 中只有一个元素时，0∆=，可得1a =-，此时{}{}200B x x A===⊆，合乎题意；③当集合B 中有两个元素时，B A =，则()221410a a ⎧+=⎨-=⎩，解得1a =.综上所述，实数a 的取值范围是{1a a =或}1a ≤-.18. 已知{}28200A x x x =--≤，{}2B x x m =-≤.（1）当1m =时，求集合B ；（2）若“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，求m 的取值范围；（3）是否存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 『解』因为{}2B x x m =-≤，所以{}22B x m x m =-≤≤+≠∅，（1）当1m =时，解得{}13B x x =-≤≤；（2）因为{}28200A x x x =--≤，所以{}210A x x =-≤≤，因为“x A ∃∈，使得x B ∈”为真命题，所以A B ⋂≠∅， 所以2210m -≤+≤或2210m -≤-≤，解得412m -≤≤， 所以m 的取值范围是[4,12]-，（3）存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件， 假设存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，则B A所以21022m m +≤⎧⎨-≥-⎩，解得08m ≤≤， 当0m =时，{}22B x x =-≤≤，符合题意；当8m =时，{}610B x x =≤≤，符合题意；所以存在实数m ，使“x A ∈”是“x B ∈”必要不充分条件，此时m 的取值范围是[0,8].19. 设全集=I R ，集合{}220,=-+<∈A x x x m m R ，{2440,=∈+-<B a ax ax R 对任意实数x 恒成立}.，()I A B ≠∅，求实数m 的范围.『解』因为{2440=∈+-<B a ax ax R ，对任意实数x 恒成立}.，所以20(4)4(4)0a a a <⎧⎨-⨯-<⎩或040a =⎧⎨-<⎩，解得10a -<≤，则{}10B a a =-<≤， 因为{}220,=-+<∈A x x x m m R ，所以{}220,=-+≥∈I A x x x m m R 则{}2(1)1,=-≥-∈IA x x m m R当10m -=即1m =时，{}1IA x x =≠，此时()IA B ≠∅成立，符合题意；当10m -<即1m 时，=I A R ，此时()IA B ≠∅成立，符合题意；当10m ->即1m <时，{1IA x x =≥+或1x ≤，使得()IA B ≠∅成立，则11>-解得3m >-，所以31m -<<； 综上所述：3m >-.。
2020-2021学年天津市某校高一(上)期中数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上。
1. 设全集U={−1, −2, −3, −4, 0}，集合A={−1, −2, 0}，B={−3, −4, 0}，则(∁U A)∩B=( )A.{0}B.{−3, −4}C.{−1, −2}D.⌀【答案】B【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先计算集合C U A，再计算(C U A)∩B．【解答】解：∵A={−1, −2, 0}，B={−3, −4, 0}，∴∁U A={−3, −4}，∴(∁U A)∩B={−3, −4}．故选B．2. 已知a，b，c为实数，则下列结论正确的是（）A.若ac>bc>0，则a>bB.若a>b>0，则ac>bcC.若a>b，c>0，则ac>bcD.若a>b，则ac2>bc2【答案】C【考点】不等式的概念【解析】根据不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】A．当c<0时，不等式不成立，故A不正确；B．当c<0时，不等式不成立，故B不正确；C．∵a>b，c>0，∴ac>bc，故C正确；D．当c＝0时，不等式不成立，故D不正确，3. 已知命题p:∃x0∈R，x02−x0+14≤0，则￢p为（）A.∃x0∈R，x02−x0+14>0 B.∃x0∈R，x02−x0+14<0C.∀x∈R，x2−x+14≤0 D.∀x∈R，x2−x+14>0【答案】D【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】>0，特称命题的否定是全称命题得￢p:∀x∈R，均有x2−x+144. 若不等式4x2+(m−1)x+1>0的解集为R，则实数m的取值范围是（）A.m>5或m<−3B.m≥5或m≤−3C.−3≤m≤5D.−3<m<5【答案】D【考点】其他不等式的解法【解析】根据不等式4x2+(m−1)x+1>0的解集为R，可得△＝(m−1)2−16<0，解出m的范围即可．【解答】因为不等式4x2+(m−1)x+1>0的解集为R，所以△＝(m−1)2−16<0，所以m2−2m−15<0，所以−3<m<5，所以m的取值范围为(−3, 5)．5. 已知函数f(x)的定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，下列选项能表示f(x)的图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【考点】函数的概念及其构成要素【解析】根据函数的定义，我们根据唯一性可判断C答案表示的不是函数的图象，而由函数的图象我们易判断出A、B、D三个函数图象对应函数的定义域和值域，进而可以判定答案C表示的不是函数的图象，因为其不函数定义中B中有唯一的元素和A中元素对应；A、B表示的图象是函数，其值域为B＝{y|0≤y≤2}，故也不满足要求；D表示的图象是函数，其定义域A＝{x|0≤x≤2}，值域B＝{y|1≤y≤2}，故满足要求；6. 设函数f(x)是一次函数，f[f(x)]＝4x−3，则f(1)＝（）A.3或1B.1C.1或−1D.−3或1【答案】B【考点】函数解析式的求解及常用方法【解析】设一次函数f(x)＝ax+b，由题意可得ab的方程组，解方程组可得．【解答】设一次函数f(x)＝ax+b，则f[f(x)]＝a(ax+b)+b＝a2x+ab+b，∵对一切实数x满足f[f(x)]＝4x−3，∴，解得或，∴f(x)＝2x−1或f(x)＝−2x+3∴f(1)＝1或f(1)＝1，故选：B．7. 已知f(x)＝−x2+2ax+3与函数g(x)＝|x−3a|在区间[1, 2]上都是减函数，则a的取值范围为（）A.[，1]B.[1, +∞)∪(−∞，]C.（，1)D.[1, +∞)∪(−∞，）【答案】A【考点】函数单调性的性质与判断二次函数的图象二次函数的性质对于f(x)，由二次函数的性质，求f(x)在区间[1, 2]上是减函数时a的取值范围，而g(x)＝|x−3a|＝，由此可得g(x)在区间[1, 2]上是减函数时a的取值范围，综合可得答案．【解答】根据题意，f(x)＝−x2+2ax+3，为开口向下的二次函数，其对称轴为x＝a，若f(x)在区间[1, 2]上是减函数，必有a≤1，g(x)＝|x−3a|＝，在区间(−∞, 3a]上为减函数，若g(x)在区间[1, 2]上是减函数，必有3a≥2，即a≥，综上，a的取值范围为[，1]．8. 已知f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)＝x3+x+1，则当x<0时，（）A.f(x)＝x3+x−1B.f(x)＝−x3−x−1C.f(x)＝x3−x+1D.f(x)＝−x3−x+1【答案】A【考点】函数奇偶性的性质与判断函数解析式的求解及常用方法【解析】根据题意，设x<0，则−x>0，由函数的解析式可得f(−x)＝(−x)3+(−x)+1＝−x3−x+1，结合函数的奇偶性分析可得答案．【解答】根据题意，设x<0，则−x>0，则f(−x)＝(−x)3+(−x)+1＝−x3−x+1，又由函数f(x)为奇函数，则f(x)＝−f(−x)＝x3+x−1，9. 幂函数f(x)＝(m2−6m+9)x m2−3m+1在(0, +∞)上单调递增，则m的值为（）A.2B.3C.4D.2或4【答案】C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】根据幂函数的定义与性质，列出不等式与方程，即可求出m的值．【解答】由题意得：{m2−6m+9=1m2−3m+1>0，解得{m=2m=4m<3−√52m>3+√52，∴m＝4．10. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈[0, +∞)，(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，且f(2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集是（）A.(−2, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−∞, −2)∪(0, 2)D.(−∞, −2)∪(2, +∞)【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断【解析】由题意可知f(x)在[0, +∞)上是减函数，再根据对称性和f(2)＝0得出f(x)在各个区间的函数值符号，从而得出答案．【解答】∵f(x2)−f(x1)x2−x1<0在∈[0, +∞)上恒成立，∴f(x)在[0, +∞)上是减函数，又f(2)＝0，∴当x>2时，f(x)<0，当0≤x<2时，f(x)>0，又f(x)是偶函数，∴当x<−2时，f(x)<0，当−2<x<0时，f(x)>0，∴xf(x)<0的解为(−2, 0)∪(2, +∞)．11. 已知a，b>0，且满足a2+ab＝1，则3a+b的最小值为（）A. B. C.2 D.2【答案】C【考点】基本不等式及其应用【解析】利用a和b的关系进行代换与基本不等式即可得出．【解答】∵a2+ab＝1，∴．即3a+b＝＝．当且仅当a ＝时取等号．∴ 3a +b 的最小值为12. 若函数f(x)={(2b −1)x +b −1,x >0−x 2+(2−b)x,x ≤0在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是（ ） A.(12,+∞)B.[1, 2]C.(12,2]D.(−12,2] 【答案】B【考点】函数单调性的性质与判断【解析】根据增函数定义及一次函数、二次函数的单调性即可由条件得到{2b −1>02−b 2≥0(2b −1)⋅0+b −1≥−02+(2−b)⋅0，解该不等式组便可得出实数b 的取值范围． 【解答】f(x)在R 上为增函数；∴ {2b −1>02−b 2≥0(2b −1)⋅0+b −1≥−02+(2−b)⋅0；解得1≤b ≤2；∴ 实数b 的取值范围是[1, 2]．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，将答案填写在答题纸上.若全集U ＝R ，集合M ={x|x 2>4},N ={x|x+1x−3<0}，则M ∩N ＝________，∁U N ＝________．【答案】(2, 3),(−∞, −1]∪[3, +∞)【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合M ，N ，然后进行交集、补集的运算即可．【解答】∵ M ＝{x|x <−2, 或x >2}，N ＝{x|−1<x <3}，∴ M ∩N ＝(2, 3)，∁U N ＝(−∞, −1]∪[3, +∞)．若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．【答案】a <3【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据：“x>3”是“x>a“的充分不必要条件即可得出．【解答】“x>3”是“x>a“的充分不必要条件，∴a<3．若关于x的函数y=√kx2−6kx+8的定义域是R，则k的取值范围是________．【答案】[0,8 9 ]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由定义域为R，得被开方数大于等于0一定成立，再由二次函数的性质解得．【解答】解：∵函数y=√kx2−6kx+8的定义域是R，∴kx2−6kx+8≥0，x∈R恒成立①当k=0时，8≥0成立②当k>0时，△=(−6k)2−4×k×8≤0得0<k≤89由①②得0≤k≤89故答案为：[0, 89]已知函数f(x)＝x2−2x+2，x∈[0, 3]，则函数的值域为________．【答案】[1, 5]【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】利用二次函数在x∈[0, 3]的单调性的性质即可求得答案．【解答】解；∵f(x)＝x2−2x+2＝(x−1)2+1，∴其对称轴x＝1穿过闭区间[0, 3]，∴函数在x∈[0, 3]时，f(x)min＝f(1)＝1，又f(x)在[0, 1]上递减，在[1, 3]递增，f(0)＝2，f(3)＝5，f(0)<f(3)，∴函数在x∈[0, 3]时，f(x)max＝5，∴该函数的值域为[1, 5]．故答案为：[1, 5]．已知两个正实数x，y满足+＝1，且恒有x+2y>m2+7m，则实数m的取值范围________．【答案】(−8, 1)【考点】基本不等式及其应用【解析】由已知x+2y＝(x+2y)（）＝4+可求最小值，然后由x+2y>m2+7m恒成立可知(x+2y)min>m2+7m，即可求解．【解答】∵x>0，y>0，且+＝1，∴x+2y＝(x+2y)（）＝4+＝8当且仅当且+＝1，即y＝2，x＝4时取最小值8∵x+2y>m2+7m，∴8>m2+7m，解可得，−8<m<1，设定义在[−2, 2]上的偶函数，f(x)在区间[0, 2]上单调递减，若f(1−m)<f(m)，则．实数m的取值范围是________<12【答案】−1≤m【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】由题条件知函数在[0, 2]上是减函数，在[−2, 0]上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将f(1−m)<f(m)转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m的取值范围【解答】∵函数是偶函数，∴f(1−m)＝f(|1−m|)，f(m)＝f(|m|)，∵定义在[−2, 2]上的偶函数f(x)在区间[0, 2]上单调递减，f(1−m)<f(m)，∴0≤|m|<|1−m|≤2，得−1≤m<1．2三、解答题：本大题共3小题，共28分，将解题过程及答案填写在答题纸上.已知集合A＝{x|1≤2x−1≤7}，函数f(x)＝的定义域为集合B．（1）求A∩B；（2）求∁R(A∪B)；（3）若M＝{x|x≤m}，求M∪B＝R时m的取值范围．【答案】∵集合A＝{x|1≤2x−1≤7}＝{x|1≤x≤4}，函数f(x)＝的定义域为集合B．∴B＝{x|x<−1或x>3}，∴A∩B＝{x|3<x≤4}．由（1）得A∪B＝{x|x<−1或x≥1}，∴∁R(A∪B)＝{x|−1≤x<1}．∵M＝{x|x≤m}，M∪B＝R，∴m≥3，∴m的取值范围是[3, +∞)．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∩B．（2）先求出A∪B，由此能求出∁R(A∪B)．（3）由M＝{x|x≤m}，M∪B＝R，能求出m的取值范围．【解答】∵集合A＝{x|1≤2x−1≤7}＝{x|1≤x≤4}，函数f(x)＝的定义域为集合B．∴B＝{x|x<−1或x>3}，∴A∩B＝{x|3<x≤4}．由（1）得A∪B＝{x|x<−1或x≥1}，∴∁R(A∪B)＝{x|−1≤x<1}．∵M＝{x|x≤m}，M∪B＝R，∴m≥3，∴m的取值范围是[3, +∞)．已知函数f(x)＝ax2+bx+c(a>0, b∈R, c∈R)，若函数f(x)的最小值是f(−1)＝0，且f(0)＝1．（1）设g(x)＝，求g(1)+g(−1)的值；（2）在（1）的条件下求g(x)在区间[t, t+2](t∈R)的最大值．【答案】∵，∴，则f(x)＝(x+1)2而g(x)＝，∴g(x)＝，得g(1)＝4，g(−1)＝0，∴g(1)+g(−1)＝4；当t+2≤−1，即t≤−3时，g(x)在区间[t, t+2]上单调递增，；当t<−1<t+2<0，即−3<t<−2时，g(x)在区间[t, −1]上单调递增，在区间[−1, t+2]上单调递减，g(x)max＝g(−1)＝0；当t≥−2时，．综上，当t≤−3时，；当−3<t<−2时，g(x)max＝0；当t≥−2时，．【考点】函数的最值及其几何意义【解析】（1）由已知可得关于a，b，c的方程，求得a，b，c的值，则f(x)的解析式可求，进一步求得g(x)，则g(1)+g(−1)的值可求；（2）画出函数g(x)的图象，对t分类求得g(x)在区间[t, t+2](t∈R)的最大值．【解答】∵，∴，则f(x)＝(x+1)2而g(x)＝，∴g(x)＝，得g(1)＝4，g(−1)＝0，∴g(1)+g(−1)＝4；当t+2≤−1，即t≤−3时，g(x)在区间[t, t+2]上单调递增，；当t<−1<t+2<0，即−3<t<−2时，g(x)在区间[t, −1]上单调递增，在区间[−1, t+2]上单调递减，g(x)max＝g(−1)＝0；当t≥−2时，．综上，当t≤−3时，；当−3<t<−2时，g(x)max＝0；当t≥−2时，．已知所数f(x)＝x|x−a|−1(x∈R)．（1）当a＝2时，求函数f(x)的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当x>2时，f(x)≥kx−2k−2恒成立，求实数k的取值范围．（3）当a∈(0, 3)，求函数y＝f(x)在x∈[1, 2]上的最小值ℎ(a)．【答案】当a＝2时，f(x)＝x|x−2|−1={x(x−2)−1=x2−2x−1,x≥2−x(x−2)−1=−x2+2x−1,x<2，对应的图象如图，则函数的单调递增区间为(−∞, 1],[2, +∞)．在（1）的条件下f(x)＝x|x−2|−1，当x>2时，f(x)＝x(x−2)−1，若f(x)≥kx−2k−2恒成立，即x(x−2)−1≥kx−2k−2恒成立，即x2−2x+1≥k(x−2)，即k≤x2−2x+1x−2恒成立，设t＝x−2，则t>0，则x＝t+2，则x 2−2x+1x−2=(t+2)2−2(t+2)+1t=t2+2t+1t=t+1t+2，∵t>0，∴t+1t +2≥2+2√t⋅1t=2+2＝4，当且仅当t=1t，即t＝1时，取等号．∴k≤4，即实数k的取值范围是(−∞, 4]．f(x)={x 2−ax−1,x≥a−x2+ax−1,x<a，①当0<a≤1时，x≥1≥a，此时f(x)＝x2−ax−1的对称轴为x=a2≤12<1，则f(x)在[1, 2]上递增，则最小值ℎ(a)＝f(1)＝1−a−1＝−a，②当1<a≤2时，x＝a时取得最小值ℎ(a)＝f(a)＝−1，③当2<a<3时，x≤2<a，此时f(x)＝−x2+ax−1，对称轴为x=a2∈(1, 32)，f(1)＝a−2，f(2)＝2a−5，∵2a−5−(a−2)＝a−3<0，∴2a−5<a−2，即此时函数的最小值ℎ(a)＝f(2)＝2a−5．综上ℎ(a)={−a,0<a≤1−1,1<a≤22a−5,2<a<3．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）当a＝2时，求出函数的解析式，结合分段函数的性质进行求解即可（2）根据不等式恒成立，利用参数分离法进行求解（3）结合分段函数的表达式，讨论二次函数的对称轴与区间的关系进行求解即可．【解答】当a＝2时，f(x)＝x|x−2|−1={x(x−2)−1=x2−2x−1,x≥2−x(x−2)−1=−x2+2x−1,x<2，对应的图象如图，则函数的单调递增区间为(−∞, 1],[2, +∞)．在（1）的条件下f(x)＝x|x−2|−1，当x>2时，f(x)＝x(x−2)−1，若f(x)≥kx−2k−2恒成立，即x(x−2)−1≥kx−2k−2恒成立，即x2−2x+1≥k(x−2)，即k≤x2−2x+1x−2恒成立，设t＝x−2，则t>0，则x＝t+2，则x 2−2x+1x−2=(t+2)2−2(t+2)+1t=t2+2t+1t=t+1t+2，∵t>0，∴t+1t +2≥2+2√t⋅1t=2+2＝4，当且仅当t=1t，即t＝1时，取等号．∴k≤4，即实数k的取值范围是(−∞, 4]．f(x)={x 2−ax−1,x≥a−x2+ax−1,x<a，①当0<a≤1时，x≥1≥a，此时f(x)＝x2−ax−1的对称轴为x=a2≤12<1，则f(x)在[1, 2]上递增，则最小值ℎ(a)＝f(1)＝1−a−1＝−a，②当1<a≤2时，x＝a时取得最小值ℎ(a)＝f(a)＝−1，③当2<a<3时，x≤2<a，此时f(x)＝−x2+ax−1，对称轴为x=a2∈(1, 32)，f(1)＝a−2，f(2)＝2a−5，∵2a−5−(a−2)＝a−3<0，∴2a−5<a−2，即此时函数的最小值ℎ(a)＝f(2)＝2a−5．综上ℎ(a)={−a,0<a≤1−1,1<a≤22a−5,2<a<3．。
2020-2021学年天津市六校高一上学期期末考试联考数学试卷(解析版)
天津市六校2020-2021学年高一上学期期末考试联考试卷一､选择题(本题共9小题，每题4分，共36分) 1. 设集合{}2540A x x x =-+≤∣，{2}∣=∈≤B x x N ，则A B =（ ）A. {12}xx <≤∣ B. {}1,2C.{}0,1D.{}0,1,2『答案』B 『解析』{}{}2540|14A x x x x x =-+≤=≤≤∣， {}{2}0,1,2∣=∈≤=B x x N ，所以{}1,2A B =，故选：B.2. 已知命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，则p ⌝为（ ）A.00x ∃≤，使得()0011x x e +≤ B.00x ∃>，使得()0011x x e +≤C. 0x ∀>，总有()11x x e +≤D. 0x ∀≤，使得()11x x e +≤『答案』B『解析』因为全称命题的否定是特称命题，命题p ：0x ∀>，总有()11xx e +>，所以p ⌝：00x ∃>，使得()0011x x e +≤，故选：B.3. 设α∈R ，则“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件『答案』A『解析』由1cos 2α=可得：π2π3α=+k 或5π2π3α=+k ，可得π2π,|3αα=+∈⎧⎫⎨⎬⎩⎭k k Z π|2π3αα⎧=+⎨⎩k 或5π2π3，α⎫=+∈⎬⎭k k Z ，所以“π2π3α=+k ，∈k Z ”是“1cos 2α=”的充分不必要条件，故选：A.4. 函数()1cos f x x xx ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（ππ-≤≤x 且0x ≠）的图象可能为（ ）A. B.C. D.『答案』D『解析』因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x -=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取π=x ，则11(π)(π)cos π(π)0ππ=-=--<f ，故选D. 5. 设0.5log 0.6a =，0.6log 1.2b =，0.61.2c =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. c a b <<D. b c a <<『答案』B 『解析』0.5.50.5log 1log 0.6log 0.5<<，即01a <<，0.60.6log 1.2log 10b =<=，0.601.21.21c =>=，因此，b a c <<.故选：B. 6. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A.(],4-∞B.()4,-+∞ C. []4,4- D.(]4,4-『答案』C『解析』因为()()212log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上为减函数，所以有23y x ax a =-+在区间()2,+∞上为增函数， 且230=-+>y x ax a 在()2,+∞上恒成立； 因此，只需2222230aa a ⎧≤⎪⎨⎪-+≥⎩，解得44a -≤≤.故选C7. 若π02＜＜α，π02-＜＜β，π1cos()43α+=，πcos()42β-=，则cos()2βα+=（ ）A.B.3-C.D.9-『答案』C『解析』ππcos()cos[()()]2442ββαα+=+-- ππcos()cos()442βα=+-ππsin()sin()442βα++-，因为π02＜＜α，π02-＜＜β，所以ππ3π(,)444α+∈，πππ(,)4242β-∈，因为π1cos()43α+=，πcos()42β-，所以πsin()43α+=，πsin()42β-，则1cos()233339βα+=⨯+=．故选：C8. 已知函数π()sin()0,0,||2ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭f x A x A 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ）①函数()y f x =的图象关于点π-,06⎛⎫⎪⎝⎭对称②函数()y f x =的图象关于直线5π12=-x 对称③函数()y f x =在2ππ-,-36⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减④该图象向右平移3π个单位可得2sin 2y x =的图象A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①②④『答案』A『解析』由函数的图象可得2A =，周期ππ4-π312⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭T 所以2π2π2πω===T ， 当π12=x 时函数取得最大值，即ππ2sin 221212ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ， 所以ππ22π+()122ϕ⨯+=∈k k Z ，则π2π+3ϕ=k ， 又||2ϕπ<，得 π=3ϕ，故函数π()2sin(2)3=+f x x ，对于①，当π6=-x 时，πππ()2sin(2()+)0663-=⨯-=f ，正确； 对于②，当5π12=-x 时，π()2sin(2(5π))235π1212=⨯+--=-f ，正确；对于③，令ππ3π2π+22π+()232≤+≤∈k x k k Z 得π7ππ+π+()1212≤≤∈k x k k Z ， 所以函数的单调递减区间为π7ππ+,π+()1212⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦k k k Z ， 2πππ7π,π+,π+()361212⎡⎤⎡⎤--⊄∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦k k k Z ，所以不正确；对于④，向右平移π3个单位，ππππ()2sin(2())2sin(2)3333-=-+=-f x x x ，所以不正确； 故选：A.9. 设函数21,2()7,2x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若互不相等的实数a ，b ，c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c++的取值范围是（ ） A.()8,9B.()65,129C.()64,128D.()66,130『答案』D『解析』画出函数()f x 的图象如图所示．不妨令a b c <<，则1221ab-=-，则222ab+=．结合图象可得67c <<，故67222c<<．∴66222130a b c<++<．故选：D ．二､填空题(本题共5小题，每小题4分，共20分)10. 已知扇形的圆心角为2π3，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 『答案』2π『解析』由于扇形的圆心角为2π3α=，扇形的面积为3π，则扇形的面积22112π3π223α==⨯⨯=S r r ，解得：3r =， 此扇形所含的弧长2π32π3α==⨯=l r . 故『答案』为：2π. 11. 已知函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，且点A 在角α的终边上，则tan α的值为__________.『答案』3 『解析』由函数log (1)6(0,1)a y x a a =-+>≠的图象恒过点A ，则A 点坐标为(2,6)，由点A 在角α的终边上，可得6tan 32y x α===，故『答案』为：3.12. 设函数()2010x bx c x f x x ⎧++≥=⎨<⎩，若(4)(0)f f =，(2)2f =，则函数()()g x f x x=-的零点的个数是__________.『答案』2『解析』因为(4)(0)f f =，所以当0x ≥时，函数图象关于2x =对称，所以22b=-，解得4b =-，又(2)482f c =-+=，解得6c =，所以()246010x x x f x x ⎧-+≥=⎨<⎩， 令()()0g x f x x =-=，即()f x x =，在同一坐标系中作出(),y f x y x ==的图象，如图所示：由图象知，函数(),y f x y x ==的图象交点有2个， 所以()()g x f x x =-的零点的个数有2个， 故『答案』为：213. 对任意的π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，不等式221421sin cos x θθ+≥-恒成立，则实数x 的取值范围是__________．『答案』[]4,5-『解析』()22222222221414cos 4sin sin cos 5sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭59+=，所以21x - 945x ≤∴-≤≤14. 已知函数273(0)()323(0)x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-++>⎩，()cos 4g x x x =++，若对任意[3,3]t ∈-，总存在π0,2⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦s ，使得()()f t a g s +≤成立，则实数a 的取值范围为__________.『答案』(],2-∞『解析』对于函数f （x ），当x ≤0时，f （x ）733x =+单调递增，由﹣3≤t ≤0，可得f （t ）∈[﹣4，3]，当x ＞0时，f （x ）＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， 由0＜t ≤3，可得f （t ）∈[0，4]， ∴对任意t ∈[﹣3，3]，f （t ）∈[﹣4，4]，对于函数g （x）=x +cos x +4＝2sin （x π+6）+4，∵s ∈[0，π2]，∴s π+6∈[π6，23π]，∴g （s ）∈[5，6]，∴对于s ∈[0，π2]，使得g （s ）∈[5，6]，∵对任意t ∈[﹣3，3]，总存在s ∈[0，π2]，使得f （t ）+a ≤g （s ）成立，故()()()maxmaxf t ag s +≤，∴a +4≤6，解得a ≤2，故『答案』为：(],2-∞三､解答题(本大题共5小题，共64分) 15.设函数y =的定义域为A ，集合{}220B x x x =-≤∣.（1）求集合A ，B ，并求A B R；（2）若集合{}21C x a x a =≤≤+∣，且BC C =，求实数a 的取值范围.『解』（1）因为2102log (1)0x x x ->⎧⇒≥⎨-≥⎩，所以{2}A xx =≥∣， 又{}220{02}B x x x x x =-≤=≤≤∣∣，{0∣=<B x x R或2}x >，所以{2}∣=>A B x x R；（2）因为B C C =，所以C B ⊆，当C =∅时，21a a >+，解得1a >，符合题意；当C ≠∅时，则12200112a a a a a +≥⎧⎪≥⇒≤≤⎨⎪+≤⎩；综上：a 的取值范围是[0,)+∞.16. 已知πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f .（1）化简()f α，并求π3⎛⎫⎪⎝⎭f ；（2）若tan 2α=，求224sin 3sin cos 5cos αααα--的值；（3）求函数2π()2()12⎛⎫=-++⎪⎝⎭g x f x f x 的值域. 『解』（1）由题意可得πsin(2π)cos 2()πcos tan(π)2ααααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭f sin (sin )cos sin tan ααααα-⋅-==⋅，故ππ1cos 332⎛⎫==⎪⎝⎭f ； （2）∵tan 2α=，故224sin 3sin cos 5cos αααα--22224sin 3sin cos 5cos sin cos αααααα--=+ 224tan 3tan 51tan 1ααα--==+；（3）因为()cos f αα=， 所以22π()2cos cos 12cos sin 12⎛⎫=-++=++ ⎪⎝⎭g x x x x x 22sin sin 3x x =-++21252sin 48x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 因为sin [1,1]x ∈-，所以当1sin 4x =时，max 25()8g x =，当sin 1x =-时，min ()0g x =所以()g x 的值域为250,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦.17. 某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x 百台这种仪器，需另投入成本f (x )万元，()f x =2550500,040,100,25003013000,40,100.⎧++<<∈⎪⎨+-≥∈⎪⎩x x x x x x x x N N 假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.（1）求利润g (x )（万元）关于产量x （百台）的函数关系式； （2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润. 『解』（1）由题意可知，当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝300x -5x 2-50x -500-1000＝-5x 2+250x -1500；当x ≥40，100x ∈N 时，25002500()300301300010002000g x x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭ 综上，252501500,040,100,()25002000(),40,100.⎧-+-<<∈⎪=⎨-+≥∈⎪⎩x x x x g x x x x x N N （2）当0＜x ＜40，100x ∈N 时，g (x )＝-5x 2+250x -1500＝-5(x -25)2+1625， 且当x ＝25时，g (x )取得最大值1625；当x ≥40，100x ∈N 时，2500()2000()1900g x x x =-+≤，当且仅当x ＝50时，g (x )取得最大值1900.综上，当x ＝50，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.18.已知函数2()cos cos (0)f x x x x ωωωω=->周期是π2. （1）求()f x 的『解析』式，并求()f x 的单调递增区间；（2）将()f x 图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移π6个单位，最后将整个函数图像向上平移32个单位后得到函数()g x 的图像，若π2π63≤≤x 时，()2g x m -<恒成立，求m 得取值范围.『解』（1）2()cos cos f x x x x ωωω=-12(cos 21)22x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由2ππ22ω==T ，解得2ω= 所以，π1()sin 462⎛⎫=-- ⎪⎝⎭f x x ∵πππ2π-4-2π+262≤≤k x k ，∴π2π2π-42π+33≤≤k x k ∴ππππ21226-≤≤+k k x ， ∴()f x 的单调递增区间为ππππ,21226⎡⎤⎢⎥⎣-+⎦k k ，∈k Z （2）依题意得π()sin 216⎛⎫=++ ⎪⎝⎭g x x 因为|()|2g x m -<，所以()2()2g x m g x -<<+ 因为当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()2()2g x m g x -<<+恒成立 所以只需max min [()2][()2]g x m g x -<<+转化为求()g x 的最大值与最小值 当π2π,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x 时，()y g x =单调减函数 所以max π()1126⎛⎫==+= ⎪⎝⎭g x g ，()min 2π1103⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭g x g ， 从而max [()2]0g x -=，min [()2]2g x +=，即02m <<.所以m 的取值范围是()0,2.19. 已知函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图象过点()1,0，2()()2f x g x x e =-.（1）求函数()f x 的『解析』式；（2）若函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点，求整数k 的值； （3）设0m >，若对于任意1,x m m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()ln(1)g x m <--，求m 的取值范围.『解』（1）函数()ln()()=+∈f x x a a R 的图像过点()1,0， 所以ln(1)0a +=，解得0a =，所以函数()f x 的『解析』式为()ln f x x =.（2）由（1）可知()2ln ln(2)ln 2y x x k x kx =+-=-，(1,2)x ∈， 令()2ln 20x kx -=，得2210x kx --=， 设2()21h x x kx =--，则函数()ln(2)y f x x k =+-在区间()1,2上有零点， 等价于函数()y h x =在()1,2上有零点，所以(1)10(2)720h k h k =-<⎧⎨=->⎩，解得712k <<， 因为k Z ∈，所以k 的取值为2或3.（3）因为0m >且1m m >，所以1m 且101m <<，因为2()22()22(1)1f x g x x e x x x =-=-=--， 所以()g x 的最大值可能是()g m 或1g m ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 因为22112()2g m g m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22122m m m m ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 112m m m m ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭21(1)0m m m m -⎛⎫=-⋅> ⎪⎝⎭ 所以2max ()()2g x g m m m ==-， 只需max ()ln(1)g x m <--，即22ln(1)m m m -<--， 设2()2ln(1)(1)h m m m m m =-+->，()h m 在(1,)+∞上单调递增， 又(2)0h =，∴22ln(1)0m m m -+-<，即()(2)h m h <，所以12m <<， 所以m 的取值范围是()1,2.。
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故选：B．
【点睛】本题主要考查集合的交集和补集运算，以及一元二次不等式的解法，属于容易题．
2.已知集合 ，集合 满足 ，则 可能为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 得到， 是 的子集，根据选项，逐项判断，即可得出结果.
【详解】因为集合 满足 ，所以 ，又 ，
A选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，排除；
B选项， 显然是集合 的子集，不满足题意，，排除；
C选项， 不是集合 的子集，且 也不是 的子集，不满足题意，排除；
D选项， 包含集合 ，故满足题意，正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查由交集的结果确定集合，考查集合的包含关系，属于基础题型.
3.“ ”是“ ”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
故答案为：
【点睛】本题主要考查由命题的必要不充分条件求参数，属于基础题型.
16.设 ，若只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，则 ________.
【答案】2
【解析】
【分析】
先判断函数 单调递增，再由题意建立方程组求解 的值即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，因为 ，
所以函数 单调递增，
A. a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
B. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
C. a，b>0，a＋ <2和b＋ <2至少有一个成立
D. a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立
【答案】D
【解析】
【分析】
将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到.
【详解】因为 ， ，
若 ，则只需 ，解得
故选：C.
【点睛】本题主要考查由集合交集的结果求参数，属于基础题型.
8.在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于原点作中心对称变换，再将所得的抛物线关于 轴作轴对称变换，那么经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】因为集合 ， ， A={0,3}，故m= -3.
12.集合 满足 ，则集合 的个数有________个.
【答案】3
【解析】
【分析】
根据题意先求出所有的集合 ，再确定个数即可.
【详解】解：因为 ，
所以 ，
所以 ， ， ，
所以集合 的个数有3个.
故答案为：3
【点睛】本题考查含有特定元素的子集个数，是基础题.
A B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 ，再求出 或 ，最后求 即可.
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 或 ，
所以 或 ，
故选：D
【点睛】本题考查求解一元二次不等式、集合的交并补混合运算，是基础题.
5.命题“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立” 否定为（）
2020~2021学年天津南开区天津市南开中学高一上学期
开学考试数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1.设全集 ，已知集合
【解析】
【分析】
先求出集合 以及集合 的补集 ，再根据集合的交集运算即可求出．
【详解】因为 或 ，所以 ，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据图像观察出图像的开口方向，对称轴，特殊点的函数值的正负，以及最小值，逐一判断可得选项.
【详解】由图象得：图像的开口向上，所以 ，
图象的对称轴在 轴的右侧，所以 ，
又图象与 轴的交点在负半轴，所以 ，
所以 ，故①错误；
从图象观察得，当 时， ，所以 ，
又 ，所以 ，代入得 ，
①当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
②当点 在线段 上时，如图.
因为菱形 的边长为6， ，所以 ， ，
又因为 ，在 中， ，此时 ，
故选：D.
【点睛】本题考查几何图形中的计算问题，是基础题.
10.设集合 ， ， ， ， 都是 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 ， 都有 （ 表示两个数 ， 中的较大者），则 的最大值为（）
A. 8B.9C. 10D. 11
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，首先分析出M的所有含2个元素的子集数目，进而对其特殊的子集分析排除，注意对“ （ 表示两个数 ， 中的较大者），”的把握，即可得答案．
【详解】根据题意，对于M，含2个元素的子集 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，有10个，
但 、 只能取一个；
18.已知 ， .
（1）当 时，求集合 ；
（2）若“ ，使得 ”为真命题，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
【分析】
（1）先化简得到 ，再将 代入求集合 即可；
（2）先化简得到 和 ，再转化已知条件得到 ，最后建立不等式求 的取值范围；
故满足条件的两个元素的集合有9个；
故选：B．
【点睛】 本题考查对集合的特定子集的数目的确定，能否找出集合的所有子集并在其中找出满足条件的所有子集是解决本题的关键，考查推理能力，是中档题．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11.设集合 ，集合 ，若 ，则实数 _____.
【答案】-3
【解析】
【详解】“ a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2至少有一个成立”的否定为：
a，b>0，a＋ ≥2和b＋ ≥2都不成立.
故选：D
【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.
6.二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 .下列结论：① ；② ；③ .其中结论正确的个数为（）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
假设存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，则
所以 ，解得 ，
当 时， ，符合题意；当 时， ，符合题意；
所以存在实数 ，使“ ”是“ ”必要不充分条件，此时 的取值范围是 .
【点睛】本题考查根据集合的运算结果求参数范围、根据集合的包含关系求参数范围、根据必要不充分条件求参数范围，还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
15.已知 或 ， ， ，若 是 的必要不充分条件，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意，得到 ，根据 是 的必要不充分条件，得到 是 的真子集，列出不等式求解，即可得出结果.
【详解】因为 或 ，所以 ；
又 ， ， 是 的必要不充分条件，
所以 是 的真子集，
因此 （不能同时取等号），解得 .
因为只有一个正的常数 ，使得对于任意的 ，都有 满足方程 ，
所以 ，解得：
故答案为：2.
【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数值、还考查了转化的数学思维方式，是中档题.
三、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）
17.已知 ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】 或
【解析】
【分析】
求出集合 ，对集合 中的元素个数进行分类讨论，结合 可得出实数 所满足的等式或不等式，进而可求得实数 的取值范围.
19.设全集 ，集合 ， 对任意实数 恒成立 ， ，求实数 的范围.
【答案】
【解析】
【分析】
先由题意求出 ，再化简得到 ，最后分 ， 和 三种情况讨论求实数 的范围.
【详解】解：因为 ，对任意实数 恒成立 ，
所以 或 ，解得 ，则 ，
因为 ，所以
则
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
当 即 时， ，此时 成立，符合题意；
故答案为： ．
【点睛】本题考查利用集合的包含关系求参数范围，还考查分类讨论思想的应用，是基础题．
14.已知 ，则 ________
【答案】
【解析】
【分析】
先解方程，得到 或 ，再分别代入所求式子，即可得出结果.
【详解】由 得 ，解得 或 ，
当 时， ；
当 时， .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，求多项式的值，属于基础题型.
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】
利用取特殊值法判断即可.
【详解】取特殊值代入，当 时，满足 但 ，所以不充分；
当 时，满足 ，但 ，所以不必要；
故“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对充分条件和必要条件的判断.属于较易题．
4.已知全集 ，设集合 ， ，则 （）
根据题意先将抛物线 关于原点作中心对称得到解析式为 ，再将抛物线关于 轴作轴对称得到解析式为 ，最后给出答案即可.
【详解】解：先将抛物线 关于原点作中心对称变换，得到 ，整理得 ；
再将抛物线 关于 轴作轴对称变换，得到 ，整理得 ；
所以经过两次变换后所得的新抛物线的解析式为 .
故选：C
【点睛】本题考查根据函数的图象变换求解析式，是基础题.
13.设集合 ， ，若 ，则 的取值范围是________.
【答案】 ．
【解析】
【分析】
先化简确定集合A，再根据 分 和 两种情况进行讨论，最后解不等式确定m的取值范围．
【详解】解：因为 ，所以 ，
因为 ，所以 是 的子集，
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
当 时，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述，m的取值范围是 ．
9.菱形 的边长为6， ，如果点 是菱形内一点，且 ，则线段 的长为（）