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初中数学-全等三角形(综合练习,有部分难度题)

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(完整版)全等三角形判定综合练习题

(完整版)全等三角形判定综合练习题

全等三角形判定练习题1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ,BD =CD 。

求证：△ABD ≌△ACD2、如图(2）：AC ∥EF ，AC =EF ，AE =BD 。

求证：△ABC ≌△EDF 。

3、 如图（3）：DF =CE ，AD =BC ,∠D =∠C 。

求证：△AED ≌△BFC 。

FE （图2）DCBAFEDC（图1）DCBA4、 如图（4):AB =AC ，AD =AE ,AB ⊥AC ，AD ⊥AE .求证：（1）∠B =∠C ,（2）BD =CE5、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB =CD ，BC =DE 。

求证：AC ⊥CE 。

E（图4）DCBAE（图5）DCBA6、如图（6）：CG =CF ，BC =DC ，AB =ED ，点A 、B 、C 、D 、E 在同一直线上。

求证：（1）AF =EG ,（2）BF ∥DG .7、如图（7）：AC ⊥BC ,BM 平分∠ABC 且交AC 于点M 、N 是AB 的中点且BN =BC 。

求证：（1）MN 平分∠AMB ，（2)∠A =∠CBM 。

GFE（图6）DC BANM（图7）CBA8、如图（8）:A 、B 、C 、D 四点在同一直线上，AC =DB ，BE ∥CF ，AE ∥DF 。

求证：△ABE ≌△DCF 。

9、如图（9）AE 、BC 交于点M ,F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE =CF 。

求证：AM 是△ABC 的中线。

FE（图8）DC B AMFE（图9）CBA10、如图（10）∠BAC =∠DAE ,∠ABD =∠ACE ,BD =CE . 求证:AB =AC 。

11、如图（11)在△ABC 和△DBC 中，∠1=∠2，∠3=∠4，P 是BC 上任一点。

求证：PA =PD .12、如图(12）AB ∥CD ，OA =OD ，点F 、D 、O 、A 、E 在同一直线上，AE =DF . 求证：EB ∥CF 。

全等三角形难题(含规范标准答案解析)

全等三角形难题(含规范标准答案解析)

全等三角形难题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形ADBC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

4. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点G CG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC∠FDE ＝∠GDC （对顶角）BA CDF2 1 E∴△EFD≌△CGDEF＝CG∠CGD＝∠EFD又，EF∥AB∴，∠EFD＝∠1∠1=∠2∴∠CGD＝∠2∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG又 EF＝CG∴EF＝AC5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠CA证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE∵AD平分∠BAC∴∠EAD＝∠CAD∵AE＝AC，AD＝AD∴△AED≌△ACD （SAS）∴∠E＝∠C∵AC＝AB+BD∴AE＝AB+BD∵AE＝AB+BE∴BD＝BE∴∠BDE＝∠E∵∠ABC＝∠E+∠BDE∴∠ABC＝2∠E∴∠ABC＝2∠C6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F，使EF＝EB，连接CF∵CE⊥AB∴∠CEB＝∠CEF＝90°∵EB＝EF，CE＝CE，∴△CEB≌△CEF∴∠B＝∠CFE∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°∴∠D＝∠CFA∵AC平分∠BAD∴∠DAC＝∠FAC∵AC＝AC∴△ADC≌△AFC（SAS）∴AD＝AF∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案(含解析)

初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案(含解析)

初中数学专项练习《全等三角形》60道计算题包含答案一、计算题(共60题)1、已知ABC中∠BAC=140°, AB、AC的垂直平分线分别交BC于E、F，AEF 的周长为10㎝,求BC的长度和∠EAF的度数.2、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC3、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．4、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．5、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．6、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．7、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．8、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．9、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．10、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．11、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC12、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC13、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．14、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．15、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC16、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．17、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC18、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．19、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.20、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．21、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．22、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．23、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC24、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．25、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．26、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．27、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．28、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．29、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．30、如图，在中，，点在边上，且，连接，若，求的度数．31、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．32、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.33、已知：如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且BD=CE．求证：AD=AE．34、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．35、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．36、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．37、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC38、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．39、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.40、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．41、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．42、如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．43、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．44、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC45、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．46、如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，AB=6，FC=4，求线段DB的长．47、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．48、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．49、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．50、如图，∠C=∠D=90°，DA=CB，∠CBA=28°，求∠DAC．51、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC52、如图在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是过点A的直线，CD⊥AE，BE⊥AE，若BE=2，CD=6，求DE的长度．53、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC54、如图所示，△ABC和△AEF为等边三角形，点E在△ABC内部，且E到点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠AEB的度数．55、如图，点M，N分别在正三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM=60°．56、如图，已知∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，∠CAE=45°，求AD的长．57、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC58、四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．若BC=8，DE=3，求△AEF的面积．59、如图，AC⊥BD，垂足点E是BD的中点，且AB=CD，求证：AB//CD.60、如图，已知AB=AD，且AC平分∠BAD，求证：BC=DC参考答案一、计算题(共60题)1、2、4、5、7、8、10、11、12、15、16、17、20、22、23、24、26、31、33、36、37、38、40、42、44、46、51、52、53、57、59、60、。

七年级下册全等三角形综合练习

七年级下册全等三角形综合练习

全等三角形综合练习题1、三角形全等的条件（1）边边边公理：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SSS（2）边角边公理：如果两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为SAS（3）角边角公理：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为ASA（4）角角边公理：有两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为AAS2、直角三角形全等的特殊条件：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”3、选择证明三角形全等的方法（“题目中找，图形中看”）（1）已知两边对应相等①证第三边相等，再用SSS证全等②证已知边的夹角相等，再用SAS证全等③找直角，再用HL证全等（2）已知一角及其邻边相等①证已知角的另一邻边相等，再用SAS证全等②证已知边的另一邻角相等，再用ASA证全等③证已知边的对角相等，再用AAS证全等（3）已知一角及其对边相等证另一角相等，再用AAS证全等(4)已知两角对应相等①证其夹边相等，再用ASA证全等②证一已知角的对边相等，再用AAS证全等4、全等三角形中的基本图形的构造与运用（1）出现角平分线时，常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形（2）出现线段的中点（或三角形的中线）时，可利用中点构造全等三角形（常用加倍延长中线）（3）利用加长（或截取）的方法解决线段的和、倍问题（转移线段）经典例题1. 已知:如图,点B,E,C,F 在同一直线上,AB ∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC ∥DF ．2. 如图,已知: AD 是BC 上的中线 ,且DF=DE ．求证:BE ∥CF ．3. 如图, 已知：AB ⊥BC 于B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．求证：AC=EF ．FGEDCBA4. 如图，在ΔABC 中，AC=AB ，AD 是BC 边上的中线，则AD ⊥BC ，请说明理由。

(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(答案解析)

(必考题)初中八年级数学上册第十二章《全等三角形》经典练习题(答案解析)

一、选择题1．如图，在ABC 中，8AB AC ==厘米，6BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上，由C 点向A 点运动，为了使BPD CPQ △≌△，点Q 的运动速度应为（ ）A ．1厘米/秒B ．2厘米/秒C ．3厘米/秒D ．4厘米/秒D解析：D【分析】 根据三角形全等的性质与路程、速度、时间的关系式求解．【详解】解：设△BPD ≌△CPQ 时运动时间为t ，点Q 的运动速度为v ，则由题意得：BP CP BD CQ =⎧⎨=⎩， 即3634t t vt =-⎧⎨=⎩， 解之得：14t v =⎧⎨=⎩， ∴点Q 的运动速度为4厘米/秒，故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质、路程、速度、时间的关系式及方程的思想方法是解题关键．2．如图，在ABC 中，ABC 的面积为10，4AB =，BD 平分ABC ∠，E 、F 分别为BC 、BD 上的动点，则CF EF +的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5D解析：D【分析】 过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，则CM 即为CF EF +的最小值，再根据三角形的面积公式求出CM 的长，即为CF EF +的最小值．【详解】解：过点C 作CM AB ⊥于点M ，交BD 于点'F ，过点'F 作''F E BC ⊥于'E ，BD 平分ABC ∠，'MF AB ⊥于点M ，''F E BC ⊥于'E ，'''MF F E ∴=，'''''CM CF MF CF E F ∴=+=+的最小值．三角形ABC 的面积为10，4AB =， ∴14102CM ⨯⋅=，21054CM ⨯∴==． 即CF EF +的最小值为5，故选：D ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解题的关键．3．如图，若DEF ABC ≅，点B 、E 、C 、F 在同一条直线上，9BF =，5EC =，则CF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．2.5D ．3B解析：B【分析】 根据全等三角形的对应边相等得到BE=CF ，计算即可．【详解】解：∵△DEF ≌△ABC ，∴BC=EF ，∴BE+EC=CF+EC ，∴BE=CF ，又∵BF=BE+EC+CF=9，EC=5∵CF=12(BF-EC)=12(9-5)=2． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．4．如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，则图中全等三角形的对数有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对B解析：B【分析】 根据线段垂直平分线的性质得到，AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，然后根据”HL”可判断Rt △AOC ≌Rt △AOD ，Rt △BOC ≌Rt △BOD ；根据“SSS”可判断△ABC ≌△ABD ．【详解】解：∵AB 是线段CD 的垂直平分线，∴AC=AD ，BC=BD ，OC=OD ，∴Rt △AOC ≌Rt △AOD （HL ），Rt △BOC ≌Rt △BOD （HL ），△ABC ≌△ABD （SSS ）． 故选：B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”“HL”；全等三角形的对应边相等．也考查了线段垂直平分线的性质．5．如图所示，已知AB ∥CD ，BAC ∠与ACD ∠的平分线交于点O ，OE AC ⊥于点E ，且3OE cm =，则点O 到AB ，CD 的距离之和是（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm B解析：B【分析】 过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，证明MN ⊥CD ，则MN 的长度是AB 和CD 之间的距离；然后根据角平分线的性质，分别求出OM 、ON 的长度，再把它们求和即可．【详解】如图，过点O 作MN ，MN ⊥AB 于M ，交CD 于N ，∵AB ∥CD ，∴MN ⊥CD ，∵AO 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥AC ，OE ＝3cm ，∴OM ＝OE ＝3cm ，∵CO 是∠ACD 的平分线，OE ⊥AC ，ON ⊥CD ，∴ON ＝OE ＝3cm ，∴MN ＝OM ＋ON ＝6cm ，即AB 与CD 之间的距离是6cm ，故选B【点睛】此题主要考查角平分线的性质和平行线之间的距离，解答此题的关键是要明确：①角的平分线上的点到角的两边的距离相等，②从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离，③平行线间的距离处处相等．6．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．9D解析：D【分析】 求出DE 的值，代入面积公式得出关于AB 的方程，求出即可．【详解】解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE=DF=2，∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12=12×AB×DE+12×AC×DF ， ∴24=AB×2+3×2，∴AB=9，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．7．如图，ABC 和DEF 中，∠A=∠D ，∠C=∠F ，要使ABC DEF ≅，还需增加的条件是（ ）A ．AB=EFB ．AC=DFC ．∠B=∠ED ．CB=DE B解析：B【分析】 根据AAS 定理或ASA 定理即可得．【详解】在ABC 和DEF 中，,A C F D ∠∠∠=∠=，∴要使ABC DEF ≅，只需增加一组对应边相等即可，即需增加的条件是AB DE =或AC DF =或BC EF =，观察四个选项可知，只有选项B 符合，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键． 8．到ABC 的三条边距离相等的点是ABC 的( )A．三条中线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条高的交点D．三条角平分线的交点D解析：D【分析】由于角平分线上的点到角的两边的距离相等，而已知一点到ABC的三条边距离相等，那么这样的点在这个三角形的三条角平分线上，由此即可作出选择.【详解】解:∵到ABC的三条边距离相等，角平分线上的点到角的两边的距离相等，∴这点在这个三角形三条角平分线上，即这点是三条角平分线的交点，故选：D.【点睛】此题主要考查了三角形的角平分线的性质：三条角平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等.9．如图，OB平分∠MON，A为OB的中点，AE⊥ON，EA=3，D为OM上的一个动点，C 是DA延长线与BC的交点，BC//OM，则CD的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12A解析：A【分析】根据两条平行线之间的距离可知当CD⊥OM时，CD取最小值，先利用角平分线的性质得出AD=AE=3，利用全等三角形的判定和性质得出AC=AD=AE=3，进而解答即可．【详解】解：由题意得，当CD⊥OM时，CD取最小值，∵OB平分∠MON，AE⊥ON于点E，CD⊥OM，∴AD=AE=3，∵BC∥OM，∴∠DOA=∠B，∵A为OB中点，∴AB=AO，在△ADO与△ABC中B DOAAB AOBAC DAO∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADO ≌△ABC (SAS ),∴AC =AD =3，∴336CD AC AD =+=+=，故选A ．【点睛】此题考查角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、平行线之间的距离，关键是利用全等三角形的判定和性质得出AC =AD =AE =3．10．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°A解析：A【分析】 根据题意可证明ABE ACD ≅，即得到B C ∠=∠．再利用三角形外角的性质，可求出DME ∠，继而求出BMD ∠．【详解】根据题意ABE ACD ≅（SAS ），∴30B C ∠=∠=︒∵DME B BDC ∠=∠+∠，BDC C A ∠=∠+∠∴307030130DME B A C ∠=∠+∠+∠=︒+︒+︒=︒∴180********BMD DME ∠=︒-∠=︒-︒=︒故选A ．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质．利用三角形外角的性质求出DME B A C ∠=∠+∠+∠是解答本题的关键．二、填空题11．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．13【分析】过点C 作CN ⊥AD 交AD 延长线于点N 由角平分线的性质得到CN=CM 然后证明△CDN ≌△CBM 得到DN=BMCD=CB=25然后求出AN=AM=4则AD=4DN 即可求出四边形的周长【详解】解析：13【分析】过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，由角平分线的性质，得到CN=CM ，然后证明△CDN ≌△CBM ，得到DN=BM ，CD=CB=2.5，然后求出AN=AM=4，则AD=4-DN ，即可求出四边形的周长．【详解】解：根据题意，过点C 作CN ⊥AD ，交AD 延长线于点N ，如图：∵CM AB ⊥，CN ⊥AD ，∴∠N=∠CMB=90°，∵180B ADC ∠+∠=︒，180CDN ADC ∠+∠=︒，∴B CDN ∠=∠，∵AC 平分DAB ∠，∴CN=CM ，∴△CDN ≌△CBM ，∴DN=BM ，CD=CB=2.5，∵AC=AC ，∠N=∠CMA=90°，∴△ACN ≌△ACM （HL ），∴AN=AM=4，∴AD=4-DN ，∴AB=4+BM=4+DN ，∴四边形ABCD 的周长为：4 2.5 2.5413AD DC CB AB DN DN +++=-++++=；故答案为：13．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用所学的知识，正确得到AD=4-DN ，AB=4+DN ．12．如图，点C 在AOB ∠的平分线上，CD OA ⊥于点D ，且2CD =，如果E 是射线OB上一点，那么CE 长度的最小值是___________．2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解【详解】解：如图由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时CE 的长度最小∵点C 在∠AOB 的平分线上CD ⊥OA ∴CE=CD=2故答案为2【点睛】本题是基础题目解析：2【分析】根据垂线段最短及角平分线的性质定理求解 ．【详解】解：如图，由垂线段最短定理可知：当CE ⊥OB 时，CE 的长度最小，∵点C 在 ∠AOB 的平分线上，CD ⊥OA ，∴CE=CD=2，故答案为2 ．【点睛】本题是基础题目，熟练掌握垂线段最短及角平分线的性质定理是解题关键．13．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第7个图形中有全等三角形的对数是________．28【分析】设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全等三角形根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律an=（n 为正整数）再代入n=7即可求出结论【详解】解：设第n 个图形中有an （n 为正整数）对全解析：28【分析】设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形，根据各图形中全等三角形对数的变化可找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”，再代入n=7即可求出结论． 【详解】解：设第n 个图形中有a n （n 为正整数）对全等三角形．∵点E 在∠BAC 的平分线上∴∠BAD=∠CAD 在△ABD 和△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD （SAS ），∴a 1=1；同理，可得：a 2=3=1+2，a 3=6=1+2+3，a 4=10=1+2+3+4，…，∴a n =1+2+3+…+n=(1)2n n +（n 为正整数）， ∴a 7=7(71)282⨯+=． 故答案为：28．【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及规律型：图形的变化类，根据各图形中全等三角形对数的变化，找出变化规律“a n =(1)2n n +（n 为正整数）”是解题的关键． 14．如图，在ABC 中，C 90∠=，A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ．若AC 3=，BC 4=，AB 5=，则AD =________．【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等再利用三角形面积公式解答即可【详解】解：过作于于∵的平分线交于于∴∵∴四边形是正方形∴∵的面积即解得：∴∴在与中∴∴故答案为：【点睛】本题考查了角平分线解析：2【分析】根据三角形角平分线的交点到边的距离相等，再利用三角形面积公式解答即可．【详解】解：过O 作OE AC ⊥于E ，OF BC ⊥于F ，∵A ∠、B ∠的平分线交于O ，OD AB ⊥于D ，∴OD OE OF ==．∵C 90∠=，∴四边形ECFO 是正方形，∴OE OF CE CF ===．∵ABC 的面积1111AC BC AB OD AC OE BC OF 2222=⋅=⋅+⋅+⋅， 即()1134OE 34522⨯⨯=⨯++，解得：1OE =，∴CE OE 1==，∴AE AC CE 2=-=．在Rt AEO 与Rt ADO 中，AO AO OE OD =⎧⎨=⎩，∴Rt AEO Rt ADO ≅，∴AD AE 2==．故答案为：2．【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 15．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD【分析】先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．【详解】由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，AO BO =，∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．【点睛】本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题关键．16．在ABC 中，48ABC ︒∠=，点D 在BC 边上，且满足18,BAD DC AB ︒∠==，则CAD ∠=________度．66【分析】在线段CD 上取点E 使CE=BD 再证明△ADB ≅△AEC 即可求出【详解】在线段DC 取点ECE=BD 连接AE ∵CE=BD ∴BE=CD ∵AB=CD ∴AB=BE ∠BAE=∠BEA=（180°-4解析：66【分析】在线段CD 上取点E 使CE =BD ，再证明△ADB ≅△AEC 即可求出． 【详解】在线段DC 取点E ，CE =BD ，连接AE ，∵CE =BD ，∴BE =CD ，∵AB =CD ，∴AB =BE ，∠BAE =∠BEA =（180°-48°）÷2=66°，∴∠DAE =48° ，∠AED =66°，∴△ADB ≅△AEC ，∴∠BAD =∠CAE =18°，∴∠CAD =∠DAE +∠CAE =66°．故答案为：66．【点睛】本题考察了全等三角形的证明和三角形内角和定理，解题的关键是做出辅助线找到全等三角形．17．如图，ABC 的面积为215cm ，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，过点C 作CD AP ⊥于点D ，连接DB ，则DAB 的面积是______2cm ．【分析】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP平分∠CAB 证明△ADC ≌△ADE 得到CD=DE 由此得到推出即可得到答案【详解】如图延长CD 交AB 于E 由题意得AP 平分∠CAB ∴∠CAD=∠EAD ∵CD ⊥A 解析：152【分析】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，证明△ADC ≌△ADE ，得到CD=DE ，由此得到,ACD ADE BCD BED SS S S ==，推出ACD BCD ADE BED S S S S +=+，即可得到答案．【详解】如图，延长CD 交AB 于E ，由题意得AP 平分∠CAB ，∴∠CAD=∠EAD,∵CD ⊥AD ，∴∠ADC=∠ADE ，∵AD=AD ，∴△ADC ≌△ADE ，∴CD=DE ，∴,ACD ADE BCD BED SS S S ==， ∴ACD BCD ADE BED SS S S +=+， ∴12ABD ADE BED ABC S S S S =+==152， 故答案为：152． ．【点睛】此题考查三角形角平分线的作图方法，全等三角形的判定及性质，证出CD=DE 得到,ACD ADE BCD BED S S S S ==是解此题的关键．18．如图所示，己知ABC ∆的周长是22,,OB OC 分别平分ABC ∠和ACB OD BC D ∠⊥，于,且3OD =，则ABC ∆的面积是__________．【分析】连接OA 过O 作OE ⊥AB 于EOF ⊥AC 于F 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到ABACBC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ）从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3代入求出即 解析：33【分析】连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O 到AB 、AC 、BC 的距离都相等（即OE ＝OD ＝OF ），从而可得到△ABC 的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【详解】解：如图，连接OA ，过O 作OE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ，∵OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D∴OE＝OF＝OD＝3，∵△ABC的周长是22，∴S△ABC＝12×AB×OE＋12×BC×OD＋12×AC×OF＝12×（AB＋BC＋AC）×3＝12×22×3＝33．故答案为：33．【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积求法，熟知角平分线的性质，并根据题意合理添加辅助线是解题关键．19．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP，MB⊥OQ，垂足为A，B，S△AOM=8cm2，OA=4cm，则MB=___．4cm【分析】根据求得AM的长度利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解【详解】解：解得∵OM平分∠POQ∴故答案为：4cm 【点睛】本题考查角平分线的性质掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解解析：4cm【分析】根据12AOMS OA AM=⋅求得AM的长度，利用角平分线上的点到角两边的距离相等即可求解．【详解】解：114822AOMS OA AM AM=⋅=⨯=，解得4cmAM=，∵OM平分∠POQ，∴4cm MB AM==，故答案为：4cm ．【点睛】本题考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 20．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．；【分析】过点P 作MN ⊥AD 根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE=2PE=PN=2即可得出答案【详解】过点P 作MN ⊥AD ∵AD ∥BC ∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交解析：18；【分析】过点P 作MN ⊥AD ，根据角平分线的性质以及平行线的性质即可得出PM=PE =2，PE=PN =2，即可得出答案．【详解】过点P 作MN ⊥AD∵AD ∥BC ，∠ABC 的角平分线BP 与∠BAD 的角平分线AP 相交于点P ，PE ⊥AB 于点E ∴AP ⊥BP ，PN ⊥B C∴PM=PE =9，PE=PN =9∴MN =9+9=18故答案为18．【点睛】此题主要考查了角平分线的性质以及平行线的性质,根据题意作出辅助线是解决问题的关键．三、解答题21．作图题：已知∠α，线段m 、n ，请按下列步骤完成作图（不需要写作法，保留作图痕迹）（1）作∠MON ＝∠α（2）在边OM上截取OA＝m，在边ON上截取OB＝n．（3）作直线AB．解析：（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先画一条射线ON，以∠α的顶点为圆心，任意长度为半径画弧，交∠α的两个边于两个点，这两个点的距离记为a，接着以点O为圆心，同样的长度为半径画弧，交ON于一个点，以这个点为圆心，a为半径画弧，与刚刚画的弧有一个交点，连接这个点和点O，得到射线OM，即可得到∠MON＝∠α；（2）以点O为圆心，m为半径画弧，交OM于点A，以点O为圆心，n为半径画弧，交ON于点B；（3）连接AB，线段AB所在的直线即直线AB．【详解】解：（1）如图所示，（2）如图所示，（3）如图所示，【点睛】本题考查尺规作图，解题的关键是掌握作已知角度的方法，截取线段和画直线的方法． 22．（阅读理解）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，ABC 中，若8AB =，6AC =，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到ADC ≌EDB △的理由是______．（2）求得AD 的取值范围是______．（感悟）解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．（问题解决）（3）如图2，在ABC 中，点D 是BC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，若DM DN ⊥，求证：BM CN MN +>．解析：（1）SAS ；（2）17AD <<；（3）见解析【分析】（1）根据AD=DE ，∠ADC=∠BDE ，BD=DC 推出△ADC 和△EDB 全等即可；（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD ，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD ＜8+6，求出即可；（3）延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，证明BED ≌()SAS CND △，得到BE CN =，根据三角形三边关系解答即可．【详解】（1）解：∵在△ADC 和△EDB 中，AD DE ADC BDE BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC ≌△EDB （SAS ），故答案为：SAS ；（2）解：∵由（1）知：△ADC ≌△EDB ，∴BE=AC=6，AE=2AD ，∵在△ABE 中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD ＜8+6，∴1＜AD ＜7，故答案为：1＜AD ＜7．（3）证明：延长ND 至点E ，使DE DN =，连接BE 、ME ，如图所示：∵点D 是BC 的中点，∴BD CD =．在BED 和CND △中，DE DN BDE CDN BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴BED ≌()SAS CND △，∴BE CN =，∵DM DN ⊥，DE DN =，∴ME MN =，在BEM △中，由三角形的三边关系得：BM BE ME +>，∴BM CN MN +>．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．23．如图，在ABC 和BCD △中，90BAC BCD ︒∠=∠=，AB AC =，CB CD =；延长CA 至点E ，使AE AC =；延长CB 至点F ，使BF BC =．连接AD ，AF ，DF ，EF ．延长DB 交EF 于点N ．（1）求证：AD AF =；（2）求证：BD EF =．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得：ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，推导得ABF ACD ∠=∠；通过证明ABF ACD △≌△，即可完成证明；（2）根据（1）的结论ABF ACD △≌△得：BAF CAD ∠=∠；根据题意得90BAE ∠=；再通过证明AEF ABD △≌△，即可完成证明．【详解】（1） ∵ABF BAC ACB ∠=∠+∠，ACD ACB BCD ∠=∠+∠，90BAC BCD ︒∠=∠=∴ABF ACD ∠=∠∵BF BC =，CB CD =∴BF BC CD ==即AB AC ABF ACD BF CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABF ACD △≌△∴AF AD =；（2）∵90BAC ︒∠=∴18090BAE BAC ∠=-∠=结合（1）的结论ABF ACD △≌△∴BAF CAD ∠=∠∵90EAF BAE BAF BAF ∠=∠-∠=-∠，90BAD BAC CAD CAD ∠=∠-∠=-∠ ∴EAF BAD ∠=∠∵AE AC =，AB AC =∴AE AC AB ==即AF AD EAF BAD AE AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AEF ABD △≌△∴BD EF =．【点睛】本题考查了三角形外角、全等三角形的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、全等三角形的性质，从而完成求解．24．如图，已知在ABC 中，AB AC =，90BAC ∠=︒，别过B 、C 两点向过A 的直线作垂线，垂足分别为E 、F ．求证：EF BE CF =+．解析：见解析【分析】证明△BEA ≌△AFC ，得到AE=CF ，BE=AF ，即可得到结论．【详解】证明：BE EA ⊥，CF AF ⊥，90BAC BEA AFC ∴∠=∠=∠=︒，90EAB CAF ∴∠+∠=︒，90EBA EAB ∠+∠=︒，CAF EBA ∴∠=∠，在ABE △和AFC △中，BEA AFC EBA CAF AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，(AAS)BEA AFC ∴△≌△．AE CF ∴=，BE AF =．EF AF AE BE CF ∴=+=+．．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记三角形的判定定理是解题的关键．25．如图，,AD BF 相交于点,//,O AB DF AB DF =，点E 与点C 在BF 上，且BE CF =．（1）求证：ABC DFE ∆≅∆；（2）求证：点О为BF 的中点．解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由已知可证∠B=∠F ，BC=EF ，然后根据SAS 可以得到结论；（2）同（1）有∠B=∠F ，再结合已知条件和对顶角相等可以证得ΔABO ≅ΔDFO ，从而得到OB=OF ，所以点O 为BF 中点 ．【详解】证明：（1）∵AB//DF ，∴∠B=∠F ，∵BE=CF ，∴BE+CE=CF+CE ，即BC=EF ，∴在ΔABC 和ΔDFE 中，AB DF B F BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABC ≅ΔDFE （SAS ）；（2）与（1）同理有∠B=∠F ，∴在ΔABO 和ΔDFO 中，AOB DOF B F AB DF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ΔABO ≅ΔDFO （AAS ），∴OB=OF ，∴点O 为BF 中点 ．【点睛】本题考查三角形全等的应用，熟练掌握三角形全等的判定与性质并灵活应用是解题关键． 26．在平面直角坐标系中，点A 坐标(5,0)-，点B 坐标(0,5)，点 C 为x 轴正半轴上一动点，过点A 作AD BC ⊥交y 轴于点E ．（1）如图①，若点C 的坐标为(3,0)，求点E 的坐标；（2）如图②，若点C 在x 轴正半轴上运动，且5OC <，其它条件不变，连接DO ，求证：DO 平分ADC ∠；（3）若点C 在x 轴正半轴上运动，当OC CD AD +=时，则OBC ∠的度数为________． 解析：（1）(0,3)E ；（2）见解析；（3）30OBC ∠=︒．【分析】（1）先根据AAS 判定△AOE ≌△BOC ，得出OE=OC ，再根据点C 的坐标为（3，0），得到OC=OE=3，进而得到点E 的坐标；（2）先过点O 作OM ⊥AD 于点M ，作ON ⊥BC 于点N ，根据△AOE ≌△BOC ，得到S △AOE =S △BOC ，且AE=BC ，再根据OM ⊥AE ，ON ⊥BC ，得出OM=ON ，进而得到OD 平分∠ADC ；（3）在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，根据SAS 判定△OPD ≌△OCD ，再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理，求得∠PAO=30°，进而得到∠OBC=30°．【详解】证明：（1）AD BC ⊥，AO BO ⊥，90AOE BDE BOC ∠∠∠∴===︒．又AEO BED ∠=∠，OAE OBC ∴∠=∠．(5,0)A -，(0,5)B ， 5OA OB ∴==．在AOE △和BOC 中OAE OBC OA OBAOE BOC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， (ASA)AOE BOC ∴≌，OE OC ∴=． C 点坐标(3,0)，3OE OC ∴==，(0,3)E ∴．（2）过O 作OM AD ⊥于M ，ON BC ⊥于N ，AOE BOC ≌，AOE BOC S S ∴=，AE BC =， 1122AE OM BC ON ∴⨯⨯=⨯⨯， OM ON ∴=，OM AD ⊥，ON BC ⊥，DO ∴平分ADC ∠．（3）如所示，在DA 上截取DP=DC ，连接OP ，∵∠PDO=∠CDO ，OD=OD ，∴△OPD ≌△OCD ，∴OC=OP ，∠OPD=∠OCD ，∵OC CD AD +=，∴OC=AD-CD∴AD-DP=OP ，即AP=OP ，∴∠PAO=∠POA ，∴∠OPD=∠PAO+∠POA=2∠PAO=∠OCB ，又∵∠PAO+∠OCD=90°，∴3∠PAO=90°，∴∠PAO=30°，∵OAP OBC ∠=∠∴∠OBC=∠PAO =30°．【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行求解．27．已知在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 绕点C 旋转，过点A 作AD l ⊥于D ，过点B 作BE l ⊥于E ，若6AD =，3BE =，画图并直接写出DE 的长． 解析：图见解析，9DE =或3DE =【分析】分直线l 不经过线段AB 和直线l 经过线段AB 两种情况画图，证明△ACD ≌△CBE 即可求出DE 的长．【详解】解：如图1∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=DC+CE=9；如图2，∵AD l ⊥于D ， BE l ⊥于E ，∴∠ADC=∠CEB=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∵90ACB ∠=︒，∴∠BCE+∠DCA=90°，∴∠DAC=∠ECB在△ACD 和△CBE 中，===ADC CEB DAC ECB AC CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴ △ACD ≌△CBE∴AD=CE=6，DC=EB=3，∴DE=CE-CD=3；∴9DE =或3DE =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据题意分类画图证明全等三角形是解题关键． 28．已知：AB BD ⊥，ED BD ⊥，AC CE =，BC DE =．（1）试猜想线段AC 与CE 的位置关系，并证明你的结论．（2）若将CD 沿CB 方向平移至图2情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．（3）若将CD 沿CB 方向平移至图3情形，其余条件不变，结论12AC C E ⊥还成立吗？请说明理由．解析：（1）AC CE ⊥，见解析；（2）成立，理由见解析；（3）成立，理由见解析【分析】（1）先用HL 判断出Rt Rt ABC CDE ≌△△，得出A DCE ∠=∠，进而判断出90DCE ACB ∠+∠=︒，即可得出结论；（2）同（1）的方法，即可得出结论；（3）同（1）的方法，即可得出结论．【详解】解：（1）AC CE ⊥理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒在Rt ABC △和Rt CDE △中AC CE BC DE =⎧⎨=⎩∴()Rt Rt HL ABC CDE △△≌， ∴A DCE ∠=∠∵90B ∠=︒，∴90A ACB ∠+∠=︒，∴()18090ACE DCE ACB ∠=︒-∠+∠=︒， ∴AC CE ⊥；（2）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴90B D ∠=∠=︒，在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵90B ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，∴2190DC E AC B ∠+∠=︒，在12C FC 中，()122118090C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠=︒， ∴12AC C E ⊥；（3）成立，理由如下：∵AB BD ⊥，ED BD ⊥，∴190ABC D ∠=∠=︒在1Rt ABC 和2Rt C DE △中121AC C E BC DE =⎧⎨=⎩， ∴()12Rt Rt HL ABC C DE ≌△△， ∴2A C E D ∠=∠，∵190ABC ∠=︒，∴190B A AC ∠+∠=︒，在12C FC 中，()2112180=90C FC DC E AC B ∠=︒-∠+∠︒， ∴12AC C E ⊥．【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，判断出12Rt Rt ABC C DE ≌△△是解本题的关键．。

各类型中高难度全等三角形125题(答案版)

各类型中高难度全等三角形125题(答案版)

1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ． 由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ， 所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ， 所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ． 即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是 ．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状， 并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ． 又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ． 又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ． 而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点， 求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ， 故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ． 因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ． 因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ． 因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ． 因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ． 因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ． 又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ． 又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形． 解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ． 又设 ME ' 交 PF 于Q ， 则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ． 同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ． 又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ， 即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ． 又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ． 于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ． 又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ， 故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ． 从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案

中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。

全等三角形综合测试题(较难)

全等三角形综合测试题(较难)

贞眉内容一.选择题1・如图，AABC^ABAD,如果 AB=6cnb BD=5cm>2. 到三角形三边距离相等的点是（3. 下列条件中，能判zi^AABC^ADEF 的是（5. 如图，在四边形ABCD 中.AD 〃BC.若ZDAB 的角平分线AE 殳CD 于E.连接BE,且BE 边平分ZABC,则以下命题不正确的个数是①BC+AD=AB ：②E 为CD 中点：③ZAEB=90° :④Sad7.如图，在长方形ABCD 中，AB=b AD=6.延长BC 到点E,使CE=2,连接DE,动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC - CD - DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为（）秒时・△ABP 和△DCE 全等.8.下列命题：①全等三角形的对应边上的中线、高、对应角的平分线对应等；②两边和苴中一边上的中线（或第三边 上的中线）对应相等的两个三角形全等：③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线〉对应相等的两个三第十二章 全等三角形综合测试题 A- 4cm B. 4cmC. 4 cmD.无法确泄 AD=4cm,那么BC 的长是（ A,三条中线的交点 B.三条高的交点C.三条角平分线的交点D.不能确泄 A. ZB=ZE, ZA=ZD, AB=ED B ・ ZA=ZD, ZC=ZF, AC=EF C ・ ZB=ZE, ZA=ZD, AC=EF D. AB=DE, BC=ED, ZA=ZD4. 如图，△ABC 中• ZB=ZCr BD=CE>BE=CF ＞若ZA=50° ,则ZDEF 的度数是（ A. 75° B ・ 70° C. 65° D. 60°风边影A8CD ： ⑤BC=CE.（ A. 0个 B ・1个 C. 2个 D. 3个6・如图，BC 、AE 是锐角△ABF 的高，柑殳于点D.若AD=BF. AF=7,CF=2,则BD 的长为（ A. 2B- 3 C ・4 D. 5A. 1 B ・1或3 C ・1或7 D. 3 或 7E第1题第4题 E 第7题17.如图，ZB=ZC=90° ,E 是 BC 的中点，AD=AB4CD, ZCED=35° ,则 ZEAB=角形全等：④两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等.英中正确命题的个数如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分ZBAD, AB>AD>下列结论中正确的是(10-如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF 丄AB.垂足为F, DE=DG. △ADG 和△AED 的而积分别为51和39,则Z^EDF 的而积为(二填空题11.已知，在△ABC 和△DEF 中，ZA=ZD. ZC=ZF,需要增加条件®AC=DF：②BC=EF ： @ZB=ZE ：④AB=DE ・上述增加的条件中不能使△ ABC 仝△DEF 的是 12・如图，点D, C. A 在同一直线上，ZA ： ZABG ZACB=3： 5： 10,若^EDC 幻△ABC.则ZBCE 的度数为 13•如图，△ABC 三个内角的平分线交于点0,点D 在CA 的延长线上，且DC=BC.若ZD=20°，则ZABC 的度数为 14・如图，AC 平分ZBAD, ZB+ZD=180" , CE 丄AD 于点 E. AD=10cm, AB=7cm,那么 DE= 15・如图，直角坐标系中A (2, -1) • B (-b 1) . ZBAC=9(r , AB=AC,则C 点坐标为16・如图，在△ABC 和△DBC 中，ZACB=ZDBC=90° , E 是 BC 中点，DE 丄AB 于 F,且 AB=DE ・若 BD=8cm,则 AC=A ・B. 2C. 3 D ・ 4 9・ A ・ AB-AD>CB-CD B ・ AB-AD=CB-CD C. AB-AD<CB-CD D ・AB-AD CB-CD 的大小关系不确世 第10题A ・12B ・6 C. 3 D. 1.5D第12题 第13题21・ 如图, 点B 、F 、C 、E 在一条宜线上，FB=CEr AB 〃ED. AC 〃FD. AD 交BE 于0.求证j AD 与BE 互柑平分・22. 已知 点D 、E 分别在AB 、AC 上，AB=AC,, BE 和CD 柑交于点F. ZB=ZC.求证AF 平分角BAC23・ 如图, BE 、CF 是△ABC 的高，且BP=AC, CQ=AB ・试说明AP 与AQ 的数量关系和位置关系.18・如图，直线AB 、ON 交干点Q.且OA=OB,过A 、B 两点分别作AM 丄0Q 于点M. BX±OQ 于点N,若AM=9, BN=4＞则MX 的长为 19・在△ABC 中，AB=10, AC=6, AD 是BC 边上的中线，则AD 的取值范用是 20・如图，G 、H 分别是四边形ABCD 的边AD 、AB 上的点• CD=CB=2・ ZD=ZDCB=ZB=90" , ZGCH=45",则△AGH 的周长为第16题图 第17题图 第18题图 第20题图 第15题C24. (1)如图1,以△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接EG,试判断△ ABC 与△ AEG 面 积之间的关系，并说明理由。

初中数学-全等三角形(综合练习_有部分难度题)

初中数学-全等三角形(综合练习_有部分难度题)

全等三角形全等三角形及其判定：（一）三角形全等的识别方法1、如图：△ABC 与△DEF 中2、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）3、如图：△ABC 与△DEF 中4、如图：△ABC 与△DEF 中∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠____=∠_____=90°∵⎩⎨⎧==______________________________________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ）（二）三角形全等的判定：CBA1,如图，已知△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.5cm，∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm，EC= cm，∠C= 度；∠D= 度；2，如图：ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则图中全等的三角形有_______对？3，如图，在△ABC 中，AD⊥ BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。

4，如图，已知AC=AB，∠1=∠2；求证：BD=CE5，证明：相邻且互补的两个角的角平分线互相垂直。

21AB CE D6，如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D7，如图，正⊿ABC 的边长为a, D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连结DE ，交BC 于点P 。

全等三角形综合练习题

全等三角形综合练习题

第12章全等三角形章节测试测试1 全等三角形的概念和性质一、填空题1 . ______________ 的两个图形叫做全等形2 .把两个全等的三角形重合到一起，___________ 叫做对应顶点；___________ 叫做对应边；_________ 叫做对应角.记两个三角形全等时，通常把表示___________ 的字母写在____________ 上.3 .全等三角形的对应边______ ，对应角_____ ，这是全等三角形的重要性质.4 .如果△ ABC ^A DEF，则AB的对应边是______ , AC的对应边是_____ ，/ C的对应角是5 .如图1 —1 所示，A ABC BA DCB .(1)________________________________________ 若/ D = 74 ° Z DBC = 38 °，则/ A = ，/ ABC =(2)________________________________________________ 如果AC = DB，请指出其他的对应边 ;(3)_____________________________________________________ 如果A AOB BA DOC，请指出所有的对应边________________________________________________________________ ，对应角________________6 .如图1 —2，已知△ ABE DCE , AE = 2 cm , BE = 1.5 cm , Z A = 25 ° ,Z B = 48 °那么DE = ______ cm , EC = ______ cm , Z C = _____ ° ;Z D = _______ ° .7 •一个图形经过平移、翻折、旋转后，________ 变化了，但________________ 都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形 ______ .、选择题8 .已知：如图1 —3 , A ABD也CDB，若AB // CD，贝U AB的对应边是()ADB的度数._____ ，/ DEF的对应角是A. DB B . BC C . CD D . AD9 .下列命题中，真命题的个数是(①全等三角形的周长相等②全等三BD = 6, AD = 4，那么BC 等于(D .无法确定图1-411 .如图1 —5 , △ ABC ◎△ AEF，若Z ABC和Z AEF是对应角，则ZA . Z ACB B . Z CAF12 .如图1 —6 , △ ABC BA ADE ,若Z B = 80的度数为 ( )A. 40 °B. 35三、解答题图1-5C . Z BAF,Z C = 30图1-6EAC等于(Z BACOD .Z DAC = 35 ° ,则Z EACC . 30D . 25Rt △ EBC绕B点逆时针旋转90。

全等三角形综合练习初一几何压轴题

全等三角形综合练习初一几何压轴题

全等三角形综合练习1姓名： ____________一．解答题（共26 小题）1．问题情境：如图1， AB∥CD，∠ PAB=130°，∠ PCD=120°．求∠ APC度数．小明的解题思路是：如图2，过P 作 PE∥ AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：（1）如图 3， AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A、 B 两点之间运动时，∠ ADP=∠α，∠ BCP=∠β．试判断∠ CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（ 1）的条件下，如果点 P 在 A、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A、B、 O 三点不重合），请你直接写出∠ CPD、∠α、∠β间的数量关系．2．已知直线 l1∥l2，直线 l3和直线 l1、l2交于点 C 和 D，点 P 是直线 l3上一动点（1）如图 1，当点 P 在线段 CD上运动时，∠ PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点 P 在 C、D 两点的外侧运动时（ P 点与点 C、D 不重合，如图 2 和图 3），上述（ 1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠ PAC，∠ APB，∠ PBD之间的数量关系，不必写理由．3．如图，已知 AB∥CD， CE、BE 的交点为 E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ ABE 和∠ DCE 的平分线，交点为 E ，112第三次操作，分别作∠ ABE 和∠ DCE 的平分线，交点为 E ，⋯，223第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（ 1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（ 2）如图②，求证：∠ BE C= ∠ BEC；2（ 3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．（1）如图 1 中， AC∥DB，请你探究一下∠ M，∠ A 与∠ B 的数量有何关系，并说明理由（2）如图 2 中，当点 M 向左移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？（3）如图 3 中，当点 M 向上移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？（4）如图 4 中，当点 M 向下移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明5．已知：如图 1，线段 AB、CD相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：（ 1）在图 1 中，请直接写出∠ A、∠ B、∠ C、∠ D 之间的数量关系；（2）在图 2 中，若∠ D=40°，∠ B=36°，∠ DAB 和∠ BCD的平分线 AP 和 CP相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M 、N，利用（ 1）的结论，试求∠ P 的度数；（ 3）如果图 2 中∠ D 和∠ B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠ D、∠ B 之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．6．将两个全等的直角三角形ABC和 DBE按图①方式摆放，其中∠ ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点 E落在 AB 上， DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F．（ 1）求证： AF+EF=DE；（ 2）若将图①中的△ DBE绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（ 1）中猜想的结论是否仍然成立；（ 3）若将图①中的△ DBE绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且 60°＜β＜ 180°，其它条件不变，如图③．你认为（ 1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、 EF与 DE之间的关系，并说明理由．7．（本题有3 小题，第（1）小题为必答题，满分5 分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3 分，第（3）小题满分6 分，请从中任选1 小题作答，如两题都答，以第（ 2）小题评分．）在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥ MN 于 D，BE⊥MN于E．（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ ADC≌△ CEB；② DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD﹣BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（ 2）、（3）小题你选答的是第2 小题．8．已知△ ABC中，∠ A=30°．（ 1）如图①，∠ ABC、∠ ACB的角平分线交于点O，则∠ BOC=°．（2）如图②，∠ ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于 O1、O2，则∠ BO2C=°．（3）如图③，∠ ABC、∠ ACB的 n 等分线分别对应交于 O1、 O2⋯O n﹣1（内部有 n ﹣ 1 个点），求∠ BO n﹣1C（用 n 的代数式表示）．（ 4）如图③，已知∠ ABC、∠ ACB的 n 等分线分别对应交于 O1、O2⋯O n﹣1，若∠BO n﹣1C=60°，求 n 的值．9．已知：∠ MON=40°，OE 平分∠ MON，点 A、 B、C 分别是射线 OM、OE、ON上的动点（ A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图 1，若 AB∥ON，则①∠ ABO的度数是；②当∠ BAD=∠ABD时， x=；当∠ BAD=∠ BDA时，x=．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．10．如图，已△ ABC中， AB=AC=12厘米， BC=9厘米，点 D 为 AB 的中点．（ 1）如果点 P 在线段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA上由 C点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等， 1 秒钟时，△ BPD与△ CQP是否全等，请说明；②点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPD≌△ CPQ？（2）若点 Q 以②的运动速度从点 C 出发点 P 以原来运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC的三边运动，求多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ ABC的哪条边上相遇？11．已知：如图， AB⊥ AC，且 AB=AC，AD=AE， BD=CE．求证： AD⊥AE．12．如图，已知△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ ACB=∠ DCE=90°，点A、D、E 在同一直线上， CM⊥ AE于点 M ，连结 BE．（1）请判断线段 AD、BE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证： AM=CM+BE．13．如图①②，点 E、F 分别是线段 AB、线段 CD的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点 F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠ AGD=∠ BGC．（1）线段 AD 和线段 BC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）当 DG⊥GC时，试判断直线 AD 和直线 BC的位置关系，并说明理由．14．如图，已知△ ABC中，∠B=∠ C，AB=8厘米，BC=6厘米，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示 PC的长度；（2）若点 P、Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，△ BPD与△ CQP是否全等，请说明理由．15．如图①，AB=4cm，AC⊥ AB，BD⊥ AB，AC=BD=3cm．点 P 在线段 AB上以1cm/s 的速度由 A 向 B 运动．同时点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t s．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，△ ACP与△ BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ 的位置关系．（2）如图②，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠ CAB=∠ DBA”，其他条件不变，设点Q 运动速度为 x cm/s，是否存在实数x，使得△ ACP与△ BPQ全等？若存在，求出相应 x，t 的值；若不存在，说明理由．16．如图，已知 AB⊥ AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE， BC分别交 AD、DE 于点 G、F，AC与 DE交于点 H．求证：（1）△ ABC≌△ ADE；（2）BC⊥ DE．17．如图，在△ ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥ AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：在运动过程中，不管 t 取何值，都有 S△AED=2S△DGC．（2）当 t 取何值时，△ DFE与△ DMG 全等．18．如图所示，在Rt△ ABC和 Rt△ADE中， AB=AC，AD=AE，CE与 BD 相交于点M， BD 与 AC交于点 N，试猜想 BD与 CE有何关系？说明理由．19．如图，长方形ABCD中，AB=10cm，BC=8cm，点E 是CD的中点，动点P 从 A 点出发，以每秒 2cm 的速度沿 A→ B→ C→ E 运动，最终到达点 E．若点 P 运动的时间为 x 秒，那么当 x 为何值时，△ APE的面积等于 32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）20．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，∠ A=60°，AB=12cm，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动，设P、 Q 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 ts．（1）用含 t 的式子表示线段 AP、 AQ 的长；（2）当 t 为何值时，△ APQ是以 PQ为底边的等腰三角形？（3）当 t 为何值时， PQ∥BC？21．如图，在△ ABC中， AB=AC=2，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC上运动（ D 不与 B、C 重合），连接 AD，作∠ ADE=40°，DE交线段 AC 于 E．（ 1）当∠ BDA=115°时，∠ EDC=°，∠ DEC=°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当 DC等于多少时，△ ABD≌△ DCE，请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠ BDA的度数．若不可以，请说明理由．22．如图，在△ ABC中， AB=AC=2，∠ B=∠ C=50°，点 D 在线段 BC上运动（点 D 不与 B、C 重合），连接 AD，作∠ ADE=50°，DE交线段 AC于 E．（1）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠ BDA的度数；若不可以，请说明理由．（2）若 DC=2，求证：△ ABD≌△ DCE．23．如图，长方形纸片 ABCD，点 E、 F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF，将∠ BEF 对折，点 B 落在直线 EF上的 B′处，得到折痕 EC，将点 A 落在直线 EF上的点 A′处，得到折痕 EN．（ 1）若∠ BEB′=110，°则∠ BEC=°，∠ AEN=°，∠ BEC+∠ AEN=°．（2）若∠ BEB′=m，°则（ 1）中∠ BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ ECF对折，点 E 刚好落在 F 处，且折痕与 B′C重合，求∠ DNA′．24．如图，△ ABC中，AB=AC=18cm，BC=16cm，点 D 是 AB 的中点．有一点 E 在BC上从点 B 向点 C 运动，速度为 2cm/s，同时有一点 F 在 AC 上从点 C 向点 A 运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点 F 的运动速度是多少时，△DBE和△ EFC全等？25．已知：如图，△ ABC是边长 3cm 的等边三角形，动点P、Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点 P 到达点B 时， P、Q 两点停止运动，设点 P 的运动时间为 t（s）．（ 1）当动点 P、Q 同时运动 2s 时，则 BP=cm，BQ=cm．（ 2）当动点 P、Q 同时运动 t（s）时，分别用含有 t 的式子表示； BP=cm，BQ=cm．（ 3）当 t 为何值时，△ PBQ是直角三角形？26．如图，△ ABC中， AB=BC=AC=12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时， M、N 同时停止运动．（ 1）点 M 、 N 运动几秒后， M、N 两点重合？（ 2）点 M 、 N 运动几秒后，可得到等边三角形△ AMN？（ 3）当点 M 、N 在 BC边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求出此时 M 、N 运动的时间．第 10 页（共 44 页）全等三角形综合练习1 答案一．解答题（共26 小题）1．问题情境：如图1， AB∥CD，∠ PAB=130°，∠ PCD=120°．求∠ APC度数．小明的解题思路是：如图2，过P 作 PE∥ AB，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．问题迁移：（1）如图 3， AD∥BC，点 P 在射线 OM 上运动，当点 P 在 A、 B 两点之间运动时，∠ ADP=∠α，∠ BCP=∠β．试判断∠ CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（ 1）的条件下，如果点 P 在 A、 B 两点外侧运动时（点 P 与点 A、B、 O 三点不重合），请你直接写出∠ CPD、∠α、∠β间的数量关系．【解答】解：（1）∠ CPD=∠α+∠β，理由如下：如图 3，过 P 作 PE∥AD 交 CD于 E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠ α=∠ DPE，∠β=∠CPE，∴∠ CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当 P 在 BA 延长线时，∠ CPD=∠β﹣∠ α；理由：如图 4，过 P 作 PE∥AD 交 CD于 E，∵ AD∥BC，∴ AD∥PE∥BC，∴∠ α=∠ DPE，∠β=∠CPE，∴∠ CPD=∠CPE﹣∠ DPE=∠β﹣∠ α；当 P 在 AB 延长线时，∠ CPD=∠α﹣∠β．理由：如图 5，过 P 作 PE∥AD 交 CD于E，∵ AD∥BC，∴ AD∥PE∥BC，∴∠ α=∠ DPE，∠β=∠CPE，∴∠ CPD=∠DPE﹣∠ CPE=∠α﹣∠β．第 12 页（共 44 页）2．已知直线 l1∥l2，直线 l3和直线 l1、l2交于点 C 和 D，点 P 是直线 l3上一动点（1）如图 1，当点 P 在线段 CD上运动时，∠ PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由．（2）当点 P 在 C、D 两点的外侧运动时（ P 点与点 C、D 不重合，如图 2 和图 3），上述（ 1）中的结论是否还成立？若不成立，请直接写出∠ PAC，∠ APB，∠ PBD之间的数量关系，不必写理由．【解答】解：（1）∠ APB=∠PAC+∠PBD，如图 1，过点 P 作 PE∥l1，∴∠ APE=∠PAC，∵l1∥ l2，∴ PE∥l2，∴∠ BPE=∠PBD，∴∠ APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，∴∠ APB=∠PAC+∠PBD；（ 2）不成立，如图 2：∠ PAC=∠ APB+∠ PBD，理由：过点 P 作 PE∥l1，∴∠ APE=∠PAC，∵l1∥ l2，∴ PE∥l2，∴∠ BPE=∠PBD，∵∠ APB=∠APE﹣∠ BPE=∠ PAC﹣∠ PBD，∴∠PAC=∠APB+∠PBD；如图 3：∠ PBD=∠ PAC+∠ APB，理由：过点 P 作 PE∥l1，∴∠ APE=∠PAC，∵l1∥ l2，∴ PE∥l2，∴∠ BPE=∠PBD，∵APB=∠ BPE﹣∠ APE=∠PBD﹣∠ PAC，∴∠ PBD=∠PAC+∠APB．3．如图，已知 AB∥CD， CE、BE 的交点为 E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ ABE和∠ DCE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ ABE1和∠ DCE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ ABE2和∠ DCE2的平分线，交点为E3，⋯，第 n 次操作，分别作∠ ABE n﹣1和∠ DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（ 1）如图①，求证：∠ BEC=∠ABE+∠DCE；（ 2）如图②，求证：∠ BE C= ∠ BEC；2（3）猜想：若∠ E n=α度，那∠ BEC等于多少度？（直接写出结论）．【解答】解：（1）如图①，过 E 作 EF∥AB，∵ AB∥CD，∴ AB∥EF∥CD，∴∠ B=∠ 1，∠ C=∠ 2，∵∠ BEC=∠1+∠ 2，∴∠BEC=∠ABE+∠DCE；（2）如图 2，∵∠ ABE和∠ DCE的平分线交点为 E1，∴由（ 1）可得，∠CE1B=∠ABE1+∠ DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠ BEC；∵∠ ABE1和∠ DCE1的平分线交点为E2，∴由（ 1）可得，∠BE2C=∠ABE2+∠ DCE2= ∠ABE1+ ∠ DCE1= ∠CE1B= ∠BEC；（ 3）如图 2，∵∠ ABE2和∠ DCE2的平分线，交点为E3，∴∠ BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ ABE2+∠DCE2=∠ CE2B=∠BEC；⋯以此类推，∠ E n=∠BEC，∴当∠ E n=α度时，∠ BEC等于 2nα度．4．阅读下面的材料，并完成后面提出的问题．（1）如图 1 中， AC∥DB，请你探究一下∠ M，∠ A 与∠ B 的数量有何关系，并说明理由（2）如图 2 中，当点 M 向左移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？（3）如图 3 中，当点 M 向上移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？（4）如图 4 中，当点 M 向下移动到图 2 所示的位置时，∠ M 、∠ A 与∠ B 又有怎样的数量关系呢？写出对应图形的数量关系，并选其中的一个图形加以证明【解答】解：（1）∠ AMB=∠ A+∠B．理由：如图 1，过点 M 作 ME∥AC，∵AC∥DB，∴AC∥ME∥DB，∴∠ A=∠ AME，∠ B=∠BME，∴∠ A+∠ B=∠AME+∠ BME=∠AMB；（2）∠ AMB+∠A+∠B=360°．理由：如图 2，过点 M 作 MF∥AC，∵AC∥DB，∴AC∥MF∥DB，∴∠ A+∠ AMF=180°，∠ B+∠BMF=180°，∴∠ AMB+∠A+∠B=∠A+∠ AMF+∠B+∠ BMF=360°；（3）∠ A﹣∠ B=∠AMB．理由：如图 3，过点 M 作 MG∥AC，∵ AC∥DB，∴ AC∥MG∥ DB，∴∠ A=∠ AMG，∠ B=∠ BMG，∴∠ A﹣∠ B=∠AMG﹣∠ BMG=∠AMB；（4）∠ B﹣∠ A=∠AMB．理由：如图 4，过点 M 作 MH∥AC，∵AC∥DB，∴AC∥MH∥ DB，∴∠ A=∠ AMH，∠ B=∠ BMH，∴∠ B﹣∠ A=∠BMH﹣∠ AMH=∠AMB．5．已知：如图 1，线段 AB、CD相交于点 O，连接 AD、CB，我们把形如图 1 的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：（ 1）在图 1 中，请直接写出∠ A、∠ B、∠ C、∠ D 之间的数量关系∠A+∠D=∠C+∠B；；（2）在图 2 中，若∠ D=40°，∠ B=36°，∠ DAB 和∠ BCD的平分线 AP 和 CP相交于点 P，并且与 CD、AB 分别相交于 M 、N，利用（ 1）的结论，试求∠ P 的度数；（ 3）如果图 2 中∠ D 和∠ B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠ D、∠ B 之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（ 1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：∠ A+∠D=∠C+∠B；故答案为：∠ A+∠D=∠ C+∠B；（2）由（ 1）可知，∠ 1+∠D=∠P+∠3，①∠ 4+∠B=∠2+∠ P，②∵∠ DAB和∠ BCD的平分线 AP 和 CP相交于点 P，∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠4，由① +②得：∠ 1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，即 2∠P=∠ D+∠B，又∵∠ D=40°，∠ B=36°，∴ 2∠ P=40°+36°=76°，∴∠ P=38°；（3）∠ P 与∠ D、∠ B 之间存在的关系为 2∠P=∠D+∠B．∵∠ 1+∠ D=∠P+∠3，①∠ 4+∠B=∠2+∠ P，②∵∠ DAB和∠ BCD的平分线 AP 和 CP相交于点 P，∴∠ 1=∠ 2，∠ 3=∠4，由① +②得：∠ 1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，即 2∠P=∠ D+∠B．6．将两个全等的直角三角形ABC和 DBE按图①方式摆放，其中∠ ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，点 E落在 AB 上， DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F．（ 1）求证： AF+EF=DE；（ 2）若将图①中的△ DBE绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且 0°＜α＜60°，其它条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（ 1）中猜想的结论是否仍然成立；（ 3）若将图①中的△ DBE绕点 B 按顺时针方向旋转角β，且 60°＜β＜ 180°，其它条件不变，如图③．你认为（ 1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出 AF、 EF与 DE之间的关系，并说明理由．【解答】（1）证明：连接 BF（如图①），∵△ ABC≌△ DBE（已知），∴BC=BE，AC=DE．∵∠ACB=∠DEB=90°，∴∠BCF=∠BEF=90°．在 Rt△BFC和 Rt△BFE中，∴Rt△BFC≌Rt△BFE（ HL）．∴CF=EF．又∵ AF+CF=AC，∴AF+EF=DE．（ 2）解：画出正确图形如图②∴（ 1）中的结论 AF+EF=DE仍然成立；（3）不成立．证明：连接BF，∵△ABC≌△DBE，∴ BC=BE，∵∠ ACB=∠DEB=90°，∴△ BCF和△ BEF是直角三角形，在 Rt△BCF和 Rt△BEF中，，∴△ BCF≌△ BEF（HL），∴CF=EF；∵△ ABC≌△ DBE，∴AC=DE，∴AF=AC+FC=DE+EF．第 20 页（共 44 页）7．（本题有3 小题，第（1）小题为必答题，满分5 分；第（2）、（3）小题为选答题，其中，第（2）小题满分3 分，第（3）小题满分6 分，请从中任选1 小题作答，如两题都答，以第（ 2）小题评分．）在△ ABC中，∠ ACB=90°，AC=BC，直线 MN 经过点 C，且 AD⊥ MN 于 D，BE⊥MN于E．（1）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时，求证：①△ ADC≌△ CEB；② DE=AD+BE；（2）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时，求证： DE=AD﹣BE；（3）当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时，试问 DE、AD、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．注意：第（ 2）、（3）小题你选答的是第2 小题．【解答】证明：（1）①∵∠ ADC=∠ACB=∠BEC=90°，∴∠ CAD+∠ACD=90°，∠ BCE+∠CBE=90°，∠ ACD+∠BCE=90°．∴∠ CAD=∠BCE．∵AC=BC，∴△ ADC≌△ CEB．②∵△ ADC≌△ CEB，∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE+CD=AD+BE．解：（ 2）∵∠ ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ ACD=∠CBE．又∵ AC=BC，∴△ ACD≌△ CBE．∴CE=AD，CD=BE．∴DE=CE﹣CD=AD﹣BE．（ 3）当 MN 旋转到图 3 的位置时， AD、DE、BE所满足的等量关系是DE=BE﹣AD （或 AD=BE﹣DE，BE=AD+DE 等）．∵∠ ADC=∠CEB=∠ACB=90°，∴∠ ACD=∠CBE，又∵ AC=BC，∴△ ACD≌△ CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD﹣ CE=BE﹣AD．8．已知△ ABC中，∠ A=30°．（ 1）如图①，∠ ABC、∠ ACB的角平分线交于点O，则∠ BOC=°．（2）如图②，∠ ABC、∠ACB的三等分线分别对应交于 O1、O2，则∠ BO2C=°．（3）如图③，∠ ABC、∠ ACB的 n 等分线分别对应交于 O1、 O2⋯O n﹣1（内部有 n ﹣ 1 个点），求∠ BO n﹣1C（用 n 的代数式表示）．（ 4）如图③，已知∠ ABC、∠ ACB的 n 等分线分别对应交于 O1、O2⋯O n﹣1，若∠BO n﹣1C=60°，求 n 的值．【解答】解：∵∠ BAC=30°，∴∠ ABC+∠ACB=150°，（1）∵点 O 是∠ ABC与∠ ACB的角平分线的交点，∴∠ OBC+∠OCB= （∠ ABC+∠ACB）=75°，∴∠ BOC=105°；（2）∵点 O2是∠ ABC与∠ ACB的三等分线的交点，∴∠ O2BC+∠ O2CB= （∠ ABC+∠ACB）=100°，∴∠ BO2C=80°；（3）∵点 O n﹣1是∠ ABC与∠ ACB的 n 等分线的交点，∴∠ O nBC+∠ O n﹣1CB= （∠ ABC+∠ACB） = ×150°，﹣1∴∠ BO n﹣1°﹣×°C=180150（ 4）由（ 3）得： 180°﹣×150°=60°，解得： n=5．9．已知：∠ MON=40°，OE 平分∠ MON，点 A、 B、C 分别是射线 OM、OE、ON上的动点（ A、B、C 不与点 O 重合），连接 AC交射线 OE于点 D．设∠ OAC=x°．（1）如图 1，若 AB∥ON，则①∠ ABO的度数是 20°；②当∠ BAD=∠ABD时， x= 120°；当∠ BAD=∠BDA时， x= 60° ．（2）如图 2，若 AB⊥ OM，则是否存在这样的 x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角？若存在，求出 x 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）①∵∠ MON=40°，OE平分∠ MON∴∠ AOB=∠ BON=20°∵AB∥ON∴∠ ABO=20°②∵∠ BAD=∠ABD∴∠ BAD=20°∵∠ AOB+∠ABO+∠OAB=180°∴∠OAC=120°∵∠ BAD=∠ BDA，∠ ABO=20°∴∠ BAD=80°∵∠ AOB+∠ABO+∠ OAB=180°∴∠ OAC=60°故答案为：① 20②120，60（2）①当点 D 在线段 OB 上时，若∠ BAD=∠ABD，则 x=20若∠ BAD=∠BDA，则 x=35若∠ ADB=∠ABD，则 x=50②当点 D 在射线 BE上时，因为∠ ABE=110°，且三角形的内角和为 180°，所以只有∠ BAD=∠BDA，此时 x=125．综上可知，存在这样的x 的值，使得△ ADB 中有两个相等的角，且 x=20、 35、50、125．10．如图，已△ ABC中， AB=AC=12厘米， BC=9厘米，点 D 为 AB 的中点．（1）如果点 P 在线段 BC上以 3 厘米 / 秒的速度由 B 向 C 点运动，同时点 Q 在线段 CA上由 C点向 A 点运动．①若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等， 1 秒钟时，△ BPD与△ CQP是否全等，请说明；②点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使△ BPD≌△ CPQ？（ 2）若点 Q 以②的运动速度从点 C 出发点 P 以原来运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC的三边运动，求多长时间点 P 与点 Q 第一次在△ ABC的哪条边上相遇？【解答】解：（1）①∵ t=1（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12，D 为AB 中点，∴ BD=6（厘米）又∵ PC=BC﹣ BP=9﹣ 3=6（厘米）∴ PC=BD∵AB=AC，∴∠ B=∠ C，在△ BPD与△ CQP中，，∴△ BPD≌△ CQP（SAS），②∵ V P≠V Q，∴BP≠CQ，又∵∠ B=∠C，要使△ BPD≌△ CPQ，只能 BP=CP=4.，5∵△ BPD≌△ CPQ，∴CQ=BD=6．∴点 P 的运动时间 t= ==1.5（秒），此时 V Q= ==4（厘米 / 秒）．（2）因为 V Q＞V P，只能是点 Q 追上点 P，即点 Q 比点 P 多走 AB+AC的路程设经过 x 秒后 P 与 Q 第一次相遇，依题意得 4x=3x+2×12，解得 x=24（秒）此时 P 运动了 24×3=72（厘米）又∵△ ABC的周长为 33 厘米， 72=33×2+6，∴点 P、Q 在 BC边上相遇，即经过了 24 秒，点 P 与点 Q 第一次在 BC边上相遇．11．已知：如图， AB⊥ AC，且 AB=AC，AD=AE， BD=CE．求证： AD⊥AE．【解答】证明：在△ ABD和△ ACE中，，∴△ ABD≌△ ACE（SSS），∴∠ EAC=∠DAB，∴∠ DAE=∠BAC，∵AB⊥AC，∴∠ BAC=90°，∴∠ DAE=90°，即 AD⊥AE．12．如图，已知△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠ DCE=90°，点 A、D、E 在同一直线上， CM⊥ AE于点 M ，连结 BE．（ 1）请判断线段 AD、BE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证： AM=CM+BE．【解答】（1）解：结论： AD=BE，理由如下：∵△ ACB和△ DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，CD=CE，∠ ACB﹣∠ DCB=∠ DCE﹣∠DCB，即∠ ACD=∠BCE，在 ACD和△ BCE中，∴△ ACD≌△ BCE，∴AD=BE．（2）证明：∵△ DCE为等腰直角三角形，∠ DCE=90°，∴∠ CDM=45°，∵ CM⊥ AE，∴∠ DCM=45°，∴∠ CDM=∠ DCM=45°，∴ CM=DM，∵ AM=AD+DM，AD=BE，∴ AM=CM+BE．13．如图①②，点 E、F 分别是线段 AB、线段 CD的中点，过点 E 作 AB 的垂线，过点F 作 CD 的垂线，两垂线交于点 G，连接 AG、BG、CG、DG，且∠ AGD=∠ BGC．（1）线段 AD 和线段 BC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）当 DG⊥GC时，试判断直线 AD 和直线 BC的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）AD=BC．理由：∵ GF垂直平分 DC，∴GD=GC同理， GA=GB，在△ ADG和△ BCG中，，∴△ ADG≌△ BCG（SAS），∴AD=BC；（2） AD⊥BC．理由：延长 AD，与 CG相交于点 O、与 BC的延长线相交于点Q．∵△ ADG≌△ BCG，∴∠ ADG=∠BCG，则∠ GDO=∠QCO，∴∠ QDC+∠QCD=∠ DQC+∠DCG+∠QCG=∠ QDC+∠GDQ+∠DCG=∠ CDG+∠DCG，∵DG⊥ GC，∴∠ QDC+∠QCD=∠ CDG+∠DCG=90°，∴∠ Q=90°，∴AD⊥BC．14．如图，已知△ ABC中，∠B=∠ C，AB=8厘米，BC=6厘米，点 D 为 AB 的中点．如果点 P 在线段 BC上以每秒 2 厘米的速度由 B 点向 C 点运动，同时，点 Q 在线段CA上以每秒a 厘米的速度由C 点向A 点运动，设运动时间为t（秒）（0≤t≤3）．（1）用的代数式表示 PC的长度；（2）若点 P、Q 的运动速度相等，经过 1 秒后，△ BPD与△ CQP是否全等，请说明理由．【解答】解：（1）BP=2t，则 PC=BC﹣ BP=6﹣ 2t；（2）△ BPD和△ CQP全等理由：∵ t=1 秒，∴ BP=CQ=2×1=2 厘米，∴ CP=BC﹣BP=6﹣2=4 厘米，∵AB=8厘米，点D 为AB 的中点，∴ BD=4厘米．∴ PC=BD，在△ BPD和△ CQP中，，∴△ BPD≌△ CQP（SAS）．15．如图①，AB=4cm，AC⊥ AB，BD⊥ AB，AC=BD=3cm．点 P 在线段 AB上以 1cm/s的速度由 A 向 B 运动．同时点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 t s．（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当 t=1 时，△ ACP与△ BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段 PC和线段 PQ 的位置关系．（2）如图②，将“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠ CAB=∠ DBA”，其他条件不变，设点Q 运动速度为 x cm/s，是否存在实数 x，使得△ ACP与△ BPQ全等？若存在，求出相应 x，t 的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）当 t=1 时， AP=BQ=1，BP=AC=3，又∵∠ A=∠B=90°，在△ ACP和△ BPQ中，，∴△ ACP≌△ BPQ（SAS）．∴∠ ACP=∠BPQ，∴∠ APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°．∴∠ CPQ=90°，即线段 PC与线段 PQ垂直．（2）①若△ACP≌△BPQ，则 AC=BP， AP=BQ，，解得；②若△ ACP≌△ BQP，则 AC=BQ，AP=BP，，解得；综上所述，存在或使得△ ACP与△ BPQ全等．16．如图，已知 AB⊥ AD，AC⊥AE，AB=AD，AC=AE， BC分别交 AD、DE 于点G、F，AC与 DE交于点 H．求证：（1）△ ABC≌△ ADE；（2）BC⊥ DE．【解答】证明：（1）∵ AB⊥AD，AC⊥ AE，∴∠ DAB=∠CAE=90°，∴∠ DAB+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠ BAC=∠DAE，在△ ABC和△ ADE中，∴△ ABC≌△ ADE（SAS）．（2）∵△ ABC≌△ ADE，∴∠ E=∠C，∵∠ E+∠AHE=90°，∠ AHE=∠DHC，∴∠ C+∠ DHC=90°，∴BC⊥DE．17．如图，在△ ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥ AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：在运动过程中，不管 t 取何值，都有 S△AED=2S△DGC．（2）当 t 取何值时，△ DFE与△ DMG 全等．【解答】（1）证明：∵∠ BAD=∠DAC， DF⊥AB，DM⊥AC，∴DF=DM，∵S△AED= AE?DF，S△DGC= CG?DM，∴= ，∵点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，∴=2，即=2，∴在运动过程中，不管取何值，都有S△AED=2S△DGC．（2）解：设时间为t 时，△DFE与△DMG 全等，则EF=MG，①当 M 在线段 CG的延长线上时，∵点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A点运动，∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AC﹣ CG﹣AM=4﹣t，即 10﹣ 2t=4﹣t ，解得： t=6，当t=6 时，MG=﹣2，所以舍去；②当 M 在线段 CG上时，∵点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点向 F 点运动，动点 G 以 1cm/s 的速度从 C 点向 A 点运动，∴EF=AF﹣AE=10﹣2t，MG=AM﹣（AC﹣CG）=t﹣4，即 10﹣ 2t=t ﹣4，解得： t=，综上所述当 t=时，△ DFE与△ DMG全等．18．如图所示，在Rt△ ABC和 Rt△ADE中， AB=AC，AD=AE，CE与 BD 相交于点M， BD 与 AC交于点 N，试猜想 BD与 CE有何关系？说明理由．【解答】解：结论： BD=CE且 BD⊥CE．理由：∵△ ABC和△ ADE是直角三角形，∴∠ BAC=∠DAE=90°，∴∠ BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，即∠ BAD=∠CAE，在△ BAD与△ CAE中，，∴△ BAD≌△ CAE（SAS），∴BD=CE，∠ ABD=∠ACE，∵∠ABD+∠ANB+∠BAC=180°，∠ACE+∠ CNM+∠NMC=180°，∠ANB=∠CNM，∴∠ NMC=∠ BAC=90°，∴BD⊥CE，即 BD=CE且 BD⊥CE．19．如图，长方形 ABCD中， AB=10cm，BC=8cm，点 E 是 CD的中点，动点 P 从A 点出发，以每秒2cm 的速度沿 A→ B→ C→ E 运动，最终到达点E．若点 P 运动的时间为 x 秒，那么当 x 为何值时，△ APE的面积等于 32cm2？（提醒：同学们，要分类讨论哦！）【解答】解：①如图 1，当 P 在 AB上时，∵△ APE的面积等于 32，∴×2x?8=32，解得： x=4；②当 P 在 BC上时，∵△ APE的面积等于 32，∴S矩形ABCD﹣S△CPE﹣S△ADE﹣S△ABP=32，∴10×8﹣（ 10+8﹣ 2x）× 5﹣× 8× 5﹣×10×（ 2x﹣ 10）=32，解得： x=6.6；③当 P 在 CE上时，∴（10+8+5﹣2x）× 8=32，解得： x=7.5＜（10+8+5），此时不符合；答： 4 或 6.6．20．如图，在 Rt△ABC中，∠ C=90°，∠ A=60°，AB=12cm，若点 P 从点 B 出发以 2cm/s 的速度向点 A 运动，点 Q 从点 A 出发以 1cm/s 的速度向点 C 运动，设P、 Q 分别从点 B、A 同时出发，运动的时间为 ts．（1）用含 t 的式子表示线段 AP、 AQ 的长；（2）当 t 为何值时，△ APQ是以 PQ为底边的等腰三角形？（3）当 t 为何值时， PQ∥BC？【解答】解：（1）∵ Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=60°，∴∠ B=30°．又∵ AB=12cm，∴AC=6cm，BP=2t， AP=AB﹣ BP=12﹣2t， AQ=t；（2）∵△APQ是以PQ 为底的等腰三角形，∴ AP=AQ，即 12﹣2t=t，∴当 t=4 时，△ APQ是以 PQ为底边的等腰三角形；（3）当 PQ⊥AC时， PQ∥BC．∵∠ C=90°，∠ A=60°，∴∠ B=30°∵PQ∥BC，∴∠ QPA=30°∴ AQ= AP，∴t= （12﹣ 2t ），解得 t=3，∴当 t=3 时， PQ∥BC．21．如图，在△ ABC中， AB=AC=2，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC上运动（ D 不与 B、C 重合），连接 AD，作∠ ADE=40°，DE交线段 AC 于 E．（ 1）当∠ BDA=115°时，∠ EDC= 25 °，∠ DEC= 115 °；点 D 从 B 向 C 运动时，∠ BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；（2）当 DC等于多少时，△ ABD≌△ DCE，请说明理由；（3）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠ BDA的度数．若不可以，请说明理由．【解答】解：（1）∠ EDC=180°﹣∠ ADB﹣∠ ADE=180°﹣115°﹣40°=25°，∠DEC=180°﹣∠ EDC﹣∠ C=180°﹣40°﹣25°=115°，小；（2）当 DC=2时，△ ABD≌△ DCE，理由：∵∠ C=40°，∴∠DEC+∠EDC=140°，又∵∠ ADE=40°，∴∠ADB+∠EDC=140°，∴∠ ADB=∠DEC，又∵ AB=DC=2，∴△ ABD≌△ DCE（AAS），（3）当∠ BDA的度数为 110°或 80°时，△ ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠ BDA=110°时，∴∠ ADC=70°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=70°，∠ AED=∠C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠ DAC=∠AED，∴△ ADE的形状是等腰三角形；∵当∠ BDA的度数为 80°时，∴∠ ADC=100°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=40°，∴∠ DAC=∠ADE，∴△ ADE的形状是等腰三角形．22．如图，在△ ABC中， AB=AC=2，∠ B=∠ C=50°，点 D 在线段 BC上运动（点 D不与 B、C 重合），连接 AD，作∠ ADE=50°，DE交线段 AC于 E．（1）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠ BDA的度数；若不可以，请说明理由．（2）若 DC=2，求证：△ ABD≌△ DCE．【解答】解：（1）∵∠ B=∠C=50°，∠ ADE=50°，∴∠ BDA+∠EDC=∠CED+∠EDC=130°，∴∠ BDA=∠CED，∵点 D 在线段 BC上运动（点 D 不与 B、C 重合），∴AD≠AE，ⅰ）如图所示，当EA=ED时，∠ EAD=∠ADE=50°，∴∠ BDA=∠CED=50°+50°=100°；ⅱ）如图所示，当DA=DE时，∠ EAD=∠AED=65°，∴∠ BDA=∠CED=65°+50°=115°；（2）由（ 1）可得∠ BDA=∠CED，又∵∠ B=∠C=50°，AB=DC=2，∴在△ ABD和△ DCE中，，∴△ ABD≌△ DCE（AAS）．23．如图，长方形纸片 ABCD，点 E、 F 分别在边 AB、CD 上，连接 EF，将∠ BEF 对折，点 B 落在直线 EF上的 B′处，得到折痕 EC，将点 A 落在直线 EF上的点 A′处，得到折痕 EN．（1）若∠ BEB′=110，°则∠ BEC= 55 °，∠AEN= 35 °，∠ BEC+∠ AEN= 90 °．（2）若∠ BEB′=m，°则（ 1）中∠ BEC+∠AEN的值是否改变？请说明你的理由．（3）将∠ ECF对折，点 E 刚好落在 F 处，且折痕与 B′C重合，求∠ DNA′．【解答】解：（1）由折叠的性质可得，∠BEC=∠B'EC，∠ AEN=∠A'EN，∵∠ BEB′=110，°∴∠ AEA'=180°﹣ 110°=70°，∴∠ BEC=∠B'EC= ∠BEB′=55，°∠ AEN=∠A'EN= ∠AEA'=35°．∴∠ BEC+∠AEN=55°+35°=90°；（ 2）不变．由折叠的性质可得：∠ BEC=∠B'EC，∠ AEN=∠ A'EN，∵∠ BEB′=m，°∴∠ AEA'=180°﹣ m°，可得∠ BEC=∠B'EC= ∠ BEB′=m°，∠ AEN=∠A'EN= ∠ AEA'= （180°﹣ m°），∴∠ BEC+∠AEN= m°+（180°﹣m°）=90°，故∠ BEC+∠AEN 的值不变；（3）由折叠的性质可得：∠ B'CF=∠B'CE，∠ B'CE=∠BCE，∴∠ B'CF=∠B'CE=∠BCE= × 90°=30°，在 Rt△BCE中，∵∠ BEC与∠ BCE互余，∴∠ BEC=90°﹣∠ BCE=90°﹣30°=60°，∴∠ B'EC=∠BEC=60°，∴∠ AEA'=180°﹣∠ BEC﹣∠ B'EC=180°﹣60°﹣ 60°=60°，∴∠ AEN= ∠AEA'=30°，∴∠ ANE=90°﹣∠ AEN=90°﹣30°=60°，∴∠ ANE=∠A'NE=60°，∴∠ DNA'=180°﹣∠ ANE﹣∠ A'NE=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为： 55， 35，90．24．如图，△ ABC中，AB=AC=18cm，BC=16cm，点 D 是 AB 的中点．有一点 E 在BC上从点 B 向点 C 运动，速度为 2cm/s，同时有一点 F 在 AC 上从点 C 向点 A 运动，其中一点停止运动另一点也随之停止运动．问当点 F 的运动速度是多少时，△DBE和△ EFC全等？【解答】解：设点 F 运动的时间为ts，点 F 运动的速度为 xcm/s，则 BE=2t，EC=16﹣2t，CF=tx，∵点 D 为 AB 的中点，∴BD= AB=9，∵∠ B=∠ C，∴当 CE=BD，CF=BE时，可根据“SAS判”断△ DBE≌△ ECF，即 16﹣2t=9，tx=2t，解得 t=3.5，x=2；当 CE=BE， CF=BD时，可根据“SAS判”断△ DBE≌△ EFC，即 16﹣ 2t=2t， tx=9，解得 t=4，x=2.25，综上所述，当点 F 的运动速度是 2 厘米 / 秒或 2.25 厘米 / 秒时，△ DBE和△ EFC 全等．25．已知：如图，△ ABC是边长 3cm 的等边三角形，动点 P、 Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、 BC方向匀速移动，它们的速度都是 1cm/s，当点 P 到达点B 时， P、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t（s）．（1）当动点 P、Q 同时运动 2s 时，则 BP= 1 cm， BQ= 2 cm．（2）当动点 P、Q 同时运动 t（s）时，分别用含有 t 的式子表示； BP= （ 3﹣ t）cm，BQ= t cm．（ 3）当 t 为何值时，△ PBQ是直角三角形？【解答】解：（1）BQ=1×2=2（cm），BP=3﹣2=1（cm），故答案为 1，2；（2） BP=（3﹣t） cm，BQ=tcm，故答案为（ 3﹣t），t ；（3）根据题意，得 AP=t cm， BQ=tcm．在△ ABC中， AB=BC=3 cm，∠B=60°，∴ BP=（3﹣t） cm．在△ PBQ中， BP=（3﹣t ）cm．，BQ=tcm，若△ PBQ是直角三角形，则只有∠ BQP=90°或∠ BPQ=90°①当∠ BQP=90°时， BQ= BP，即 t= （3﹣t ），解得 t=1；②当∠ BPQ=90°时， BP= BQ，即 3﹣t= t ．解得 t=2．答：当 t=1s 或 t=2s 时，△ PBQ是直角三角形．26．如图，△ ABC中， AB=BC=AC=12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时， M、N 同时停止运动．（ 1）点 M 、 N 运动几秒后， M、N 两点重合？（ 2）点 M 、 N 运动几秒后，可得到等边三角形△ AMN？（ 3）当点 M 、N 在 BC边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求出此时 M 、N 运动的时间．第 42 页（共 44 页）。

精品 八年级数学上册 全等三角形综合练习题

精品 八年级数学上册 全等三角形综合练习题
全等三角形综合练习题
1.如图，OA=OC，OB=OD，则图中全等三角形共有（ A.2 对 B.3 对 C.4 对 ） D.5 对
2.如图所示，已知 AB=AC，PB=PC，下面结论： （1）EB=EC； （2）AD⊥BC； （3）AE 平分∠BEC； （4）∠PBC= ∠PCB，其中正确的是（ A.1 个 ） B.2 个 C.3 个 D.4 个
26.已知，A、B 在 x 轴、y 轴正半轴上，OA=OB，C 在 x 轴正半轴上，过 C 作 CD⊥CB 于 C. (1)如图， C 在 OA 上且 CD = CB，连 AD，求∠DAx；
(2)如图， C 在直线 OA 上且 CD = CB，连 AD 交 y 轴正负半轴于 E，求 E 的坐标；
6
(3)如图， C 在 OA 上，连 AB，过 A 作 AD⊥AB 于 A，交 CD 于 D，求证：CB=CD；
1
10.已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线 AD 的取值范围是______
11.如图，已知在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,AE 是过点 A 的直线，BD ⊥AE,CE⊥AE ,垂足分别是 D、E, 若 CE=3 ，BD=7,则 DE=____. 12.如图，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，且 AB=AC，BC=BD，AD=DE=EB．
15.如图，AD∥BC，点 E 在线段 AB 上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.
2
16.如图， △ ABC 是边长为 a 的正三角形， D 为 AC 边上的一个动点，延长 AB 至 E ，使 BE CD ， 连结 DE 交 BC 于点 P ． （１） 求证： DP EP ；(2)若 D 为 AC 的中点，求 BP 的长．

八年级全等三角形专题练习(解析版)

八年级全等三角形专题练习(解析版)

八年级全等三角形专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．【答案】5【解析】【分析】作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【详解】如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短）．∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH==5．∵BM+MN的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5．故答案为5．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．的边长为8，E是中线AD上一点，以CE为一边在CE下方作2．如图，已知等边ABC等边CEF ∆，连接BF 并延长至点,N M 为BN 上一点，且5CM CN ==，则MN 的长为_________．【答案】6【解析】【分析】作CG ⊥MN 于G ，证△ACE ≌△BCF ，求出∠CBF=∠CAE=30°，则可以得出124CG BC ==，在Rt △CMG 中，由勾股定理求出MG ，即可得到MN 的长．【详解】解：如图示：作CG ⊥MN 于G ，∵△ABC 和△CEF 是等边三角形，∴AC=BC ，CE=CF ，∠ACB=∠ECF=60°，∴∠ACB-∠BCE=∠ECF-∠BCE ，即∠ACE=∠BCF ，在△ACE 与△BCF 中AC BC ACE BCFCE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE ≌△BCF （SAS ），又∵AD 是三角形△ABC 的中线∴∠CBF=∠CAE=30°，∴124CG BC ==， 在Rt △CMG 中，2222543MG CM CG =-=-，∴MN=2MG=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是推出△ACF ≌△BCF ．3．如图，点P 是AOB 内任意一点，5OP cm =，点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，连接CD 交OA 于点E ，交OB 于点F ，当PEF 的周长是5cm 时，AOB ∠的度数是______度．【答案】30【解析】【分析】根据轴对称得出OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线，根据线段垂直平分线性质得出12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，求出△COD 是等边三角形，即可得出答案．【详解】解：如图示：连接OC ，OD ，∵点P 与点C 关于射线OA 对称，点P 与点D 关于射线OB 对称，∴OA 为PC 的垂直平分线，OB 是PD 的垂直平分线， ∵OP=5cm ，∴12COA AOP COP ，12POB DOB POD ，PE=CE ，OP=OC=5cm ，PF=FD ，OP=OD=5cm ，∵△PEF 的周长是5cm ，∴PE+EF+PF=CE+EF+FD=CD=5cm ，∴CD=OD=OD=5cm ，∴△OCD 是等边三角形，∴∠COD=60°， ∴11122230AOB AOP BOP COP DOP COD ，故答案为：30．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，轴对称性质和等边三角形的性质和判定，能求出△COD 是等边三角形是解此题的关键．4．如图，在△ABC 中，P ，Q 分别是BC ，AC 上的点，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R ，S ，若AQ PQ =，PR PS =，那么下面四个结论：①AS AR =；②QP //AR ；③△BRP ≌△QSP ；④BRQS ，其中一定正确的是（填写编号）_____________.【答案】①，②【解析】【分析】连接AP ，根据角平分线性质即可推出①，根据勾股定理即可推出AR=AS ，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA ，推出∠QPA=∠BAP ，根据平行线判定推出QP ∥AB 即可；在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ．无法判断△BRP ≌△QSP 也无法证明BRQS ．【详解】解：连接AP①∵PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，PR=PS ，∴点P 在∠BAC 的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，∴∠SAP=∠RAP ，在Rt △ARP 和Rt △ASP 中，由勾股定理得：AR 2=AP 2-PR 2，AS 2=AP 2-PS 2，∵AP=AP ，PR=PS ，∴AR=AS ，∴①正确；②∵AQ=QP ，∴∠QAP=∠QPA ，∵∠QAP=∠BAP ，∴∠QPA=∠BAP ，∴QP ∥AR ，∴②正确；③在Rt △BRP 和Rt △QSP 中，只有PR=PS ，不满足三角形全等的条件，故③④错误；故答案为：①②.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质与勾股定理的应用，熟练掌握根据垂直与相等得出点在角平分线上是解题的关键.5．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB－2∠ACD=100°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.6．如图，△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘米，点D为AB的中点，如果点P在线段BC 上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动。

(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦

(完整word版)八年级数学全等三角形难题集锦

1. 如图① , 在△ ABC中 , ∠ ACB=90° ,AC=BC, 过点C 在△ ABC外作直线MN,AM⊥ MN于点M,BN⊥MN于点 N.(1)试说明 :MN=AM+BN.(2)如图② , 若过点 C作直线 MN与线段 AB订交 ,AM⊥MN 于点 M,BN⊥MN于点 N(AM>BN),(1) 中的结论能否仍旧建立 ?说明原因 .【答案】 (1) 答案看法析 ;(2) 不建立【分析】试题剖析：（1）利用互余关系证明∠ MAC =∠ NCB，又∠ AMC=∠CNB=90°， AC=BC，故可证△ AMC ≌△ CNB，进而有 AM=CN， MC=BN，即可得出结论；（2）近似于（ 1）的方法，证明△ AMC ≌△ CNB，进而有 AM =CN ，MC =BN，可推出 AM 、 BN 与 MN 之间的数目关系．试题分析：解：（ 1）∵ AM ⊥ MN ， BN⊥ MN，∴∠ AMC=∠CNB=90°．∵∠ ACB=90°，∴∠ MAC +∠ ACM=90°，∠ NCB+∠ ACM=90°，∴∠ MAC=∠NCB．在△ AMC 和△ CNB 中，∵∠ AMC ＝∠ CNB，∠ MAC ＝∠ NCB， AC＝ CB，∴△ AMC ≌△ CNB（AAS ），∴ AM =CN ，MC =NB．∵MN =NC+CM ，∴ MN =AM+BN；（2）图（ 1）中的结论不建立， MN =BN-AM．原因以下：∵AM ⊥ MN ， BN⊥ MN ，∴∠ AMC=∠ CNB=90°．∵∠ ACB=90°，∴∠ MAC +∠ ACM=90°，∠ NCB+∠ ACM=90°，∴∠ MAC=∠NCB．在△ AMC 和△ CNB 中，∵∠ AMC ＝∠ CNB，∠ MAC ＝∠ NCB， AC＝ CB，∴△ AMC ≌△ CNB（AAS ），∴ AM =CN ，MC =NB．∵MN =CM -CN，∴ MN=BN-AM ．点睛：此题考察了全等三角形的判断与性质．重点是利用互余关系推出对应角相等，证明三角形全等．2. 如图， BE、CF 是△ ABC 的高且订交于点 P，AQ∥ BC 交 CF 延伸线于点 Q，如有 BP=AC ，CQ=AB ，线段 AP 与 AQ 的关系怎样？说明原因。

全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)

全等三角形的的性质与判定难题50道(含详细答案)

全等三角形的的性质与判定难题50道1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．3．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D 在CB 的延长线上，且ED EC =，如图，试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由”． 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与DB 的大小关系，请你直接写出结论：AEDB （填“>”，“ <”或“=” )． （2）特例启发，解答题目解：题目中，AE 与DB 的大小关系是：AE DB （填“>”，“ <”或“=” )．理由如下：如图2，过点E 作//EF BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程） （3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED EC =．若ABC ∆的边长为1，2AE =，求CD 的长（请你直接写出结果）．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ． （1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= ，并证明你的猜想．6．如图，已知ABC ∆和CDE ∆均为等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，连接AD 、BE ，交CE 和AC 分别于G 、H 点，连接GH ．（1）请说出AD BE =的理由； （2）试说出BCH ACG ∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH ∆是什么特殊的三角形，并加以说明．7．如图，已知ABC ∆是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速运动，其中点P 运动的速度是1/cm s ，点Q 运动的速度是2/cm s ，当点Q 运动到点C 时，P ，Q 都停止运动．（1）出发后运动2s 时，试判断BPQ ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ 和AC 的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t ，BPQ ∆的面积为S ，请用t 的表达式表示S ．8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC 上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E 、C 重合时，该结论也一定成立． 问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACD α∠=，则AFB ∠= （用含α的式子表示）；（3）将图4中的ACD ∆绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACD α∠=，则AFB ∠与α的有何数量关系？并给予证明．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连接11D E 、11E F 、11F D ，可得△111D E F 是等边三角形，此时△11AD F 的面积114S S =，△111D E F 的面积114S S =． （1）当2D 、2E 、2F 分别是等边ABC ∆三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时如图2，①求证：△222D E F 是等边三角形；②若用S 表示△22AD F 的面积2S ，则2S = ；若用S 表示△222D E F 的面积2S '，则2S '= ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当n D 、n E 、n F 分别是等边ABC ∆三边上的点，11n n n AD BE CF AB n ===+时，(n 为正整数）△n n n D E F 是 三角形；若用S 表示△n n AD F 的面积n S ，则n S = ；若用S 表示△n n n D E F 的面积n S '，则n S '= ．11．如图，在等边ABC ∆的三边上分别取点D 、E 、F ，使AD BE CF ==． （1）试说明DEF ∆是等边三角形；（2）连接AE 、BF 、CD ，两两相交于点P 、Q 、R ，则PQR ∆为何种三角形？试说明理由．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．13．如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．（1）若60B ∠=︒，求C ∠的值； （2）求证：AD 是EAC ∠的平分线．14．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形．（2）求证：12AE AB =．15．如图．在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ． （1）试判定ODE ∆的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．16．如图，ABC ∆是等边三角形，DF AB ⊥，DE CB ⊥，EF AC ⊥，求证：DEF ∆是等边三角形．17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？ 18．如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是高，并且AB 恰好是DE 的垂直平分线． 求证：ADE ∆是等边三角形．19．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，C 为角平分线上一点，过点C 作CD OC ⊥，垂足为C ，交OB 于点D ，//CE OA 交OB 于点E ． （1）判断CED ∆的形状，并说明理由；（2）若3OC=，求CD的长．20．如图，在ABC∆中，AB AC=，120BAC∠=︒，D、F分别为AB、AC的中点，且DE AB⊥，FG AC⊥，点E、G在BC上，18BC cm=，求线段EG的长．（提示：需要添加辅助线）21．已知，如图，ABC∆是正三角形，D，E，F分别是各边上的一点，且AD BE CF==．请你说明DEF∆是正三角形．22．如图所示，DEF∆是等边三角形，且123∠=∠=∠，试问：ABC∆是等边三角形吗？请说明理由．23．如图，ABC∆为等边三角形，BD平分ABC∠，//DE BC．（1）求证：ADE∆是等边三角形；（2）求证：12AE AB=．24．如图ABC∆是等边三角形（1）如图①，//∆是等边三角形；DE BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：ADE（2）如图②，ADE∆仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断BEC∠的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．25．如图，E是AOB⊥，C、D是垂足，连接CD ∠的平分线上一点，EC OB⊥，ED OA交OE于点F，若60∠=︒．AOB（1）求证：OCD∆是等边三角形；（2）若5EF=，求线段OE的长．26．如图，ABCBCD CBE∠=∠=︒，BAC∆中，60∠=︒，点D、E分别在AB、AC上，30 BE、CD相交于点O，OG BC+=．OE OD OG⊥于点G，求证：227．如图，在ABC∠=∠=︒，EBC E∠，60∆中，AB AC=，D、E是ABC∆内两点，AD平分BAC若30=，则BC=cm．DE cmBE cm=，228．如图，已知ABC=，∆为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD∠，CE BD 求证：ADE∆为等边三角形．29．如图，ABC∆∠=︒，DE与ABC ∆为等边三角形，D为BC边上一点，以AD为边作60ADE的外角平分线CE交于点E，连接AE，且CE BD∆是等边三角形．=．求证：ADE30．如图，在ABC+=．求ABD∠=︒，BD DC AB ∆中，AB AC=，D是三角形外一点，且60证：60∠=︒．ACD31．如图，在等边ABCOD AB，//OE AC．∠与ACB∠的平分线相交于点O，且//∆中，ABC（1）求证：ODE∆是等边三角形．（2）线段BD、DE、EC三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）32．已知：如图，在ABC∠=︒，BD是中线，延长BC至点E，使C E C D=．A=，60∆中，AB AC求证：DB DE=．33．如图，ABD∆和BCD∆均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足2+=．AE CF（1）求证：BDE BCF∆≅∆；（2）判断BEF∆的形状，并说明理由．34．已知：如图，四边形ABCD中，AB BC CD DA a∠=︒，M为BC上====，120BAD的点(M不与B、C重合），若AMN∆有一角等于60︒．（1）当M 为BC 中点时，则ABM ∆的面积为 （结果用含a 的式子表示）； （2）求证：AMN ∆为等边三角形；（3）设AMN ∆的面积为S ，求出S 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．35．如图，点O 是等边ABC ∆内一点，110AOB ∠=︒，BOC α∠=，将B O C ∆绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ∆，连接OD ． （1）COD ∆是什么三角形？说明理由；（2）若21AO n =+，21AD n =-，2(OD n n =为大于1的整数），求α的度数； （3）当α为多少度时，AOD ∆是等腰三角形？36．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等边三角形，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点． （1）求证：AD BE =； （2）求DOE ∠的度数；（3）求证：MNC ∆是等边三角形．37．已知：在AOB ∆和COD ∆中，OA OB =，OC OD =．（1）如图①，若60AOB COD ∠=∠=︒，求证：①AC BD =②60APB ∠=︒．（2）如图②，若A O B C O D α∠=∠=，则AC 与BD 间的等量关系式为 ，APB ∠的大小为 （直接写出结果，不证明）38．如图，ABC ∆是等边三角形，D 是AC 上一点，BD CE =，12∠=∠，试判断ADE ∆形状，并证明你的结论．39．等边ABC ∆边长为6，P 为BC 上一点，含30︒、60︒的直角三角板60︒角的顶点落在点P 上，使三角板绕P 点旋转．（1）如图1，当P 为BC 的三等分点，且PE AB ⊥时，判断EPF ∆的形状；（2）在（1）问的条件下，FE 、PB 的延长线交于点G ，如图2，求EGB ∆的面积； （3）在三角板旋转过程中，若2CF AE ==，()CF BP ≠，如图3，求PE 的长．40．为了使同学们更好地解答本题，我们提供了思路点拨，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程，当然你也可以不填空，只需按照解答的一般要求，进行解答即可． 如图，已知AB AD =，60BAD ∠=︒，120BCD ∠=︒，延长BC ，使C E C D =，连接DE ，求证：BC DC AC +=． 思路点拨：（1）由已知条件AB AD=，60BAD∠=︒，可知：ABD∆是三角形；（2）同理由已知条件120BCD∠=︒得到DCE∠=，且CE CD=，可知；（3）要证BC DC AC+=，可将问题转化为两条线段相等，即=；（4）要证（3）中所填写的两条线段相等，可以先证明⋯．请你完成证明过程：41．已知ABC∆是等边三角形，点P是AC上一点，PE BC⊥于点E，交AB于点F，在CB 的延长线上截取BD PA=，PD交AB于点I，PA nPC=．（1）如图1，若1n=，则EBBD=，FIED=；（2）如图2，若60EPD∠=︒，试求n和FIED的值；（3）如图3，若点P在AC边的延长线上，且3n=，其他条件不变，则EBBD=．（只写答案不写过程）42．如图ABC∆为等边三角形，直线//a AB，D为直线BC上任一动点，将一60︒角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1)求证：ADE∆是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2)，其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．43．如图，在等边ABC=，点P从点C出发沿CB边向点B点以2/cm s的速AB cm∆中，9度移动，点Q点从B点出发沿BA边向A点以5/cm s速度移动．P、Q两点同时出发，它们移动的时间为t秒钟．（1）你能用t表示BP和BQ的长度吗？请你表示出来．（2）请问几秒钟后，PBQ∆为等边三角形？（3）若P、Q两点分别从C、B两点同时出发，并且都按顺时针方向沿ABC∆三边运动，请问经过几秒钟后点P与点Q第一次在ABC∆的哪条边上相遇？44．如图：在ABC⊥于Q．==，AE CD∆中，AB BC AC=，AD与BE相交于点P，BQ AD求证：①ADC BEA∆≅∆；②2=．BP PQ45．如图1，点B是线段AD上一点，ABC∆分别是等边三角形，连接AE和CD．∆和BDE（1）求证：AE CD=；（2）如图2，点P、Q分别是AE、CD的中点，试判断PBQ∆的形状，并证明．46．如图：已知ABC∆是等边三角形，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，M是直线BC上的任意一点，在射线EF上截取EN，使EN FM=，连接DM、MN、DN．（1）如图①，当点M在点B左侧时，请你按已知要求补全图形，并判断DMN∆是怎样的特殊三角形（不要求证明）；（2）请借助图②解答：当点M在线段BF上（与点B、F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否依然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）请借助图③解答：当点M在射线FC上（与点F不重合），其它条件不变时，（1）中的结论是否仍然成立？不要求证明．47．如图，ABC∆是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点，（1）若AD BE CF∆是等边三角形吗？试证明你的结论；==，问DEF（2）若DEF∆是等边三角形，问AD BE CF==成立吗？试证明你的结论．48．如图，已知ABC=，连∆为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE BD 接CE，DE．求证：EC ED=．49．如图，已知ABC ∆与ACD ∆都是边长为2的等边三角形，如图有一个60︒角的三角板绕着点A 旋转分别交BC 、CD 于点P 、Q 两点（不与端点重合）． （1）试说明：PAQ ∆是等边三角形； （2）求四边形APCQ 的面积；（3）填空：当BP = 时，APQ S ∆最小．50．如图，A 、B 、C 三点在同一直线上，ABM ∆和BCN ∆是正三角形，P 是AN 中点，Q 是CM 中点．求证：BPQ ∆是正三角形．全等三角形的的性质与判定难题50道参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），⋯，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为( )A ．511()32a ⨯B ．511()23a ⨯C ．611()32a ⨯D ．611()23a ⨯【解答】解：连接AD 、DF 、DB ． 六边形ABCDEF 是正六边形，ABC BAF AFE ∴∠=∠=∠，AB AF =，120E C ∠=∠=︒，EF DE BC CD ===， 30EFD EDF CBD BDC ∴∠=∠=∠=∠=︒， 120AFE ABC ∠=∠=︒， 90AFD ABD ∴∠=∠=︒，在Rt ABD ∆和RtAFD 中 AF ABAD AD =⎧⎨=⎩Rt ABD Rt AFD(HL)∴∆≅∆， 1120602BAD FAD ∴∠=∠=⨯︒=︒，60120180FAD AFE ∴∠+∠=︒+︒=︒， //AD EF ∴，G 、I 分别为AF 、DE 中点，////GI EF AD ∴，60FGI FAD ∴∠=∠=︒，六边形ABCDEF 是正六边形，QKM ∆是等边三角形， 60EDM M ∴∠=︒=∠，ED EM ∴=，同理AF QF =， 即AF QF EF EM ===， 等边三角形QKM 的边长是a ，∴第一个正六边形ABCDEF 的边长是13a ，即等边三角形QKM 的边长的13，过F 作FZ GI ⊥于Z ，过E 作EN GI ⊥于N ， 则//FZ EN ， //EF GI ，∴四边形FZNE 是平行四边形，13EF ZN a ∴==，11112236GF AF a a ==⨯=，60FGI ∠=︒（已证）， 30GFZ ∴∠=︒，11212GZ GF a ∴==，同理112IN a =， 1111123122GI a a a a ∴=++=，即第二个等边三角形的边长是12a ，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是1132a ⨯；同理第第三个等边三角形的边长是1122a ⨯，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是111322a ⨯⨯；同理第四个等边三角形的边长是111222a ⨯⨯，第四个正六边形的边长是11113222a ⨯⨯⨯；第五个等边三角形的边长是11112222a ⨯⨯⨯，第五个正六边形的边长是1111132222a ⨯⨯⨯⨯；第六个等边三角形的边长是1111122222a ⨯⨯⨯⨯，第六个正六边形的边长是111111322222a ⨯⨯⨯⨯⨯， 即第六个正六边形的边长是511()32a ⨯，故选：A ．二．解答题（共49小题）2．如图，在等边ABC ∆中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且//DE AB ，过点E 作EF DE ⊥，交BC 的延长线于点F ，（1）求F ∠的度数；（2）若3CD =，求DF 的长．【解答】解：（1）ABC ∆是等边三角形，60B ∴∠=︒， //DE AB ，60EDC B ∴∠=∠=︒，EF DE ⊥，90DEF ∴∠=︒，9030F EDC ∴∠=︒-∠=︒；（2）60ACB ∠=︒，60EDC ∠=︒，EDC∴∆是等边三角形．∴==，ED DC3∠=︒，F90∠=︒，30DEF∴==．DF DE263．数学课上，李老师出示了如下的题目：“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED EC=，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况，探索结论当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE =DB（填“>”，“<”或“=”)．（2）特例启发，解答题目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“>”，“<”或“=”)．理由如下：如图2，过点E作//EF BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED EC∆的边=．若ABC 长为1，2AE=，求CD的长（请你直接写出结果）．【解答】解：（1）故答案为：=．（2）过E作//EF BC交AC于F，等边三角形ABC，∴∠=∠=∠=︒，AB AC BC==，ABC ACB A60AFE ACB∴∠=∠=︒，60∠=∠=︒，AEF ABC60即60∠=∠=∠=︒，AEF AFE A∴∆是等边三角形，AEFAE EF AF ∴==，60ABC ACB AFE ∠=∠=∠=︒，120DBE EFC ∴∠=∠=︒，60D BED FCE ECD ∠+∠=∠+∠=︒，DE EC =，D ECD ∴∠=∠，BED ECF ∴∠=∠，在DEB ∆和ECF ∆中DEB ECF DBE EFC DE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DEB ECF ∴∆≅∆，BD EF AE ∴==，即AE BD =，故答案为：=．（3）解：1CD =或3，理由是：分为两种情况：①如图1过A 作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥， 1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ，AMB ENB ∴∆∆∽， ∴AB BM BE BN=， ∴11221BN=-， 12BN ∴=， 13122CN ∴=+=， 23CD CN ∴==；②如图2，作AM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，则//AM EN ，ABC ∆是等边三角形，1AB BC AC ∴===，AM BC ⊥，1122BM CM BC ∴===， DE CE =，EN BC ⊥，2CD CN ∴=，//AM EN ， ∴AB BM AE MN=， ∴1122MN=， 1MN ∴=，11122CN ∴=-=，21CD CN ∴==，即3CD =或1．4．如图，过等边ABC ∆的边AB 上一点P ，作P E A C ⊥于E ，Q 为BC 延长线上一点，且PA CQ =，连PQ 交AC 边于D ．（1）求证：PD DQ =；（2）若ABC ∆的边长为1，求DE 的长．【解答】（1）证明：如图，过P 做//PF BC 交AC 于点F ，AFP ACB ∴∠=∠，FPD Q ∠=∠，PFD QCD ∠=∠ABC ∆为等边三角形，60A ACB ∴∠=∠=︒，60A AFP ∴∠=∠=︒，APF ∴∆是等边三角形；AP PF =，AP CQ =，PF CQ ∴=PFD QCD ∴∆≅∆，PD DQ ∴=．（2）APF ∆是等边三角形，PE AC ⊥，AE EF ∴=，PFD QCD ∆≅∆，CD DF ∴=，12DE EF DF AC =+=， 1AC =，12DE =． 5．如图所示，已知等边ABC ∆的边长为a ，P 是ABC ∆内一点，//PD AB ，//PE BC ，//PF AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AC 、AB 上，猜想：PD PE PF ++= a ，并证明你的猜想．【解答】解：PD PE PF a ++=．理由如下：如图，延长EP 交AB 于G ，延长FP 交BC 于H ，//PE BC ，//PF AC ，ABC ∆是等边三角形，60PGF B ∴∠=∠=︒，60PFG A ∠=∠=︒，PFG ∴∆是等边三角形，同理可得PDH ∆是等边三角形，PF PG ∴=，PD DH =，又//PD AB ，//PE BC ，∴四边形BDPG是平行四边形，∴=，PG BD∴++=++==．PD PE PF DH CH BD BC a故答案为a．6．如图，已知ABC∆均为等边三角形，且点B、C、D在同一条直线上，连接AD、∆和CDEBE，交CE和AC分别于G、H点，连接GH．（1）请说出AD BE=的理由；（2）试说出BCH ACG∆≅∆的理由；（3）试猜想：CGH∆是什么特殊的三角形，并加以说明．【解答】解：（1）ABC∆均为等边三角形∆和CDE=∴=，EC DCAC BC∠=∠=︒ACB ECD60∴∠=∠ACD ECBACD BCE∴∆≅∆∴=；AD BE（2）ACD BCE∆≅∆∴∠=∠CBH CAGACB ECD∠=∠=︒，点B、C、D在同一条直线上60∴∠=∠=∠=︒ACB ECD ACG60又AC BC=ACG BCH∴∆≅∆；（3）CGH∆是等边三角形，理由如下：ACG BCH∆≅∆∴=（全等三角形的对应边相等）CG CH又60∠=︒ACG∴∆是等边三角形（有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形）；CGH7．如图，已知ABC∆是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1/cm s，cm s，点Q运动的速度是2/当点Q运动到点C时，P，Q都停止运动．（1）出发后运动2s时，试判断BPQ∆的形状，并说明理由；那么此时PQ和AC的位置关系呢？请说明理由；（2）设运动时间为t，BPQ∆的面积为S，请用t的表达式表示S．【解答】解：（1）BPQ∆是等边三角形，//PQ AC，（2分）运动至2s时，2AP=，4BQ=，BP AB AP BQ∴=-==（4分）4又ABC∆是边长为6cm的等边三角形∴∠=︒B60∴∆是等边三角形（6分）BPQ∴∠=∠=︒60BPQ A∴．//PQ AC（2）过Q作QH AB⊥于H，=，30∠=︒，BQHBQ t2∴=，QH=．（10分）BH t=-BP t6213(6)3(6)2S t t t t ∴=-=-=+． （12分）8．已知：在等边ABC ∆中，点D 、E 、F 分别为边AB 、BC 、AC 的中点，点G 为直线BC上一动点，当点G 在CB 延长线上时，有结论“在直线EF 上存在一点H ，使得DGH ∆是等边三角形”成立（如图①)，且当点G 与点B 、E、C 重合时，该结论也一定成立． 问题：当点G 在直线BC 的其它位置时，该结论是否仍然成立？请你在下面的备用图②③④中，画出相应图形并证明相关结论．【解答】证明：连接DE 、EF 、DF ．（1）当点G 在线段BE 上时，如图①，在EF 上截取EH 使EH BG =．D 、E 、F 是等边ABC ∆三边中点，DEF ∴∆、DBE ∆也是等边三角形且12DE AB BD ==． 在DBG ∆和DEH ∆中，60DB DE DBG DEH BG EH =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()DBG DEH SAS ∴∆≅∆，DG DH ∴=．BDG EDH ∴∠=∠．60BDE GDE BDG ∠=∠+∠=︒，60GDH GDE EDH ∴∠=∠+∠=︒∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（2）当点G 在射线EC 上时，如图②，在EF 上截取EH 使EH BG =．由（1）可证DBG DEH ∆≅∆．DG DH ∴=，BDG EDH ∠=∠．60BDE BDG EDG ∠=∠-∠=︒，60GDH EDH EDG ∴∠=∠-∠=︒．∴在直线EF 上存在点H 使得DGH ∆是等边三角形．（3）当点G 在BC 延长线上时，如图③，与（2）同理可证，结论成立．综上所述，点G 在直线BC 上的任意位置时，该结论成立．9．已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作ACD ∆和BCE ∆，且CA CD =，CB CE =，ACD BCE ∠=∠，直线AE 与BD 交于点F ，（1）如图1，若60ACD ∠=︒，则AFB ∠= 120︒ ；如图2，若90ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；如图3，若120ACD ∠=︒，则AFB ∠= ；（2）如图4，若ACDα∠=（用含α的式子表示）；∠=，则AFB（3）将图4中的ACD∆绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若ACDα∠与α的有何数量关系？并给予∠=，则AFB证明．【解答】解：（1）如图1，CA CD∠=︒，ACD=，60所以ACD∆是等边三角形．∠=∠=︒，ACD BCE=，60CB CE所以ECB∆是等边三角形．AC DC∠=∠+∠，BCD BCE DCE∠=∠+∠，=，ACE ACD DCE又ACD BCE∠=∠，∴∠=∠．ACE BCDAC DC=，=，CE BC∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠．EAC BDC∠是ADFAFB∆的外角．∴∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠=︒AFB ADF FAD ADC CDB FAD ADC EAC FAD ADC DAC120．如图2，AC CD=，∠=∠=︒，EC CBACE DCB=，90∴∆≅∆．ACE DCB∴∠=∠，AEC DBC又FDE CDB∠=︒，DCB∠=∠，9090EFD ∴∠=︒．90AFB ∴∠=︒．如图3，ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠-∠=∠-∠．ACE DCB ∴∠=∠．又CA CD =，CE CB =，ACE DCB ∴∆≅∆．EAC BDC ∴∠=∠．180180(180)120BDC FBA DCB ACD ∠+∠=︒-∠=︒--∠=︒， 120FAB FBA ∴∠+∠=︒．60AFB ∴∠=︒．故填120︒，90︒，60︒．（2）ACD BCE ∠=∠，ACD DCE BCE DCE ∴∠+∠=∠+∠．ACE DCB ∴∠=∠．CAE CDB ∴∠=∠．DFA ACD ∴∠=∠．180180180AFB DFA ACD α∴∠=︒-∠=︒-∠=︒-．（3）180AFB α∠=︒-；证明：ACD BCE α∠=∠=，则ACD DCE BCE DCE ∠+∠=∠+∠， 即ACE DCB ∠=∠．在ACE ∆和DCB ∆中AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，则()ACE DCB SAS ∆≅∆．则CBD CEA ∠=∠，由三角形内角和知EFB ECB α∠=∠=． 180180AFB EFB α∠=︒-∠=︒-．10．如图1，ABC ∆为等边三角形，面积为S ．1D 、1E 、1F 分别是ABC ∆三边上的点，且11112AD BE CF AB ===，连接11D E 、11E F 、11F D ，可得△111D E F 是等边三角形，此时△11AD F 的面积114S S =，△111D E F 的面积114S S =． （1）当2D 、2E 、2F 分别是等边ABC ∆三边上的点，且22213AD BE CF AB ===时如图2，①求证：△222D E F 是等边三角形； ②若用S 表示△22AD F 的面积2S ，则2S = 29S ；若用S 表示△222D E F 的面积2S '，则2S '= ．（2）按照上述思路探索下去，并填空：当n D 、n E 、n F 分别是等边ABC ∆三边上的点，11n n n AD BE CF AB n ===+时，(n 为正整数）△n n n D E F 是 三角形；若用S 表示△n n AD F 的面积n S ，则n S = ；若用S 表示△n n n D E F 的面积n S '，则n S '= ．【解答】解：（1）①ABC ∆为等边三角形，AB BC AC ∴==，60A B ∠=∠=︒，（1分） 由已知得213AD AB =，213BE BC =，213CF AC =223AF AC ∴=，223BD AB = 22AD BE ∴=，22AF BD =（2分）△22AD F ≅△22BE D （3分） 2222D E F D ∴=同理可证△22AD F ≅△22CF E 2222F D E F =（4分） 222222D E E F F D ∴==∴△222D E F 为等边三角形；（5分）②229S S =；（6分）221393S S S S '=-⨯=（7分）（2）由（1）可知：△n n n D E F 等边三角形；（8分）由（1）的方法可知：229S S =，3316S S =，2(1)n n S S n ⋯=+；（9分） 213S S '=，232711621n n n S S S S n n '-+'=⋯=++．（10分） 11．如图，在等边ABC ∆的三边上分别取点D 、E 、F ，使AD BE CF ==． （1）试说明DEF ∆是等边三角形；（2）连接AE 、BF 、CD ，两两相交于点P 、Q 、R ，则PQR ∆为何种三角形？试说明理由．【解答】证明：（1）ABC ∆是等边三角形， AB BC AC ∴==， AD BE CF ==，AF BD ∴=，在ADF ∆和BED ∆中，AD BEA B AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ADF BED SAS ∴∆≅∆，DF DE ∴=，同理DE EF =，DE DF EF ∴==． DEF ∴∆是等边三角形；（2）PQR ∆是等边三角形， 理由：由（1）证得ADF BED ∆≅∆，BD AF ∴=，在ABF ∆与CBD ∆中，AB BC BAC CBD AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ABF CBD ∴∆≅∆， ABF BCD ∴∠=∠， 60ABF CBF ∠+∠=︒， 60CBF BCD ∴∠+∠=︒，60RPQ FBC BCD ∠=∠+∠=︒，同理60PQR PRQ ∠=∠=︒， PQR ∴∆是等边三角形．12．如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，其中连续四边的长依次是1、9、9、5．求这个六边形的周长．【解答】解：如图，延长并反向延长AB ，CD ，EF ，两两相交于点G 、H 、I ， 六边形ABCDEF 的每个内角都是120︒，60G H I ∴∠=∠=∠=︒，60GCB GBC ∠=∠=︒， GHI ∴∆，GBC ∆是等边三角形， 同理：HAF ∆，DEI ∆是等边三角形，9BG GC BC ∴===，5DE DI EI ===， 99523GI GC CD DI ∴=++=++=， 23GH GI HI ∴===， 13AH GH BG AB ∴=--=，13AF AH FH ∴===， 5EF HI EI FH ∴=--=，∴六边形ABCDEF 的周长113559942AB AF EF DE CD BC =+++++=+++++=．13．如图，已知D 是ABC ∆的边BC 上的一点，CD AB =，BDA BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线．（1）若60B ∠=︒，求C ∠的值； （2）求证：AD 是EAC ∠的平分线．【解答】（1）解：60B ∠=︒，BDA BAD ∠=∠， 60BAD BDA ∴∠=∠=︒，AB AD ∴=，CD AB =， CD AD ∴=， DAC C ∴∠=∠，2BDA DAC C C ∴∠=∠+∠=∠， 60BAD ∠=︒， 30C ∴∠=︒；（2）证明：延长AE 到M ，使EM AE =，连接DM ，在ABE ∆和MDE ∆中， EM AE AEB MED BE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ABE MDE ∴∆≅∆，B MDE ∴∠=∠，AB DM =，ADC B BAD MDE BDA ADM ∠=∠+∠=∠+∠=∠， 在MAD ∆与CAD ∆，DM CD ADM ADC AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，MAD CAD ∴∆≅∆， MAD CAD ∴∠=∠，AD ∴是EAC ∠的平分线．14．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，//DE BC 交AB 于点E ． （1）求证：ADE ∆是等边三角形． （2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形， 60A ABC C ∴∠=∠=∠=︒． //DE BC ，60AED ABC ∴∠=∠=︒，60ADE C ∠=∠=︒．ADE ∴∆是等边三角形．（2）ABC ∆为等边三角形， AB BC AC ∴==．BD 平分ABC ∠，12AD AC ∴=．ADE ∆是等边三角形， AE AD ∴=．12AE AB ∴=． 15．如图．在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ． （1）试判定ODE ∆的形状，并说明你的理由；（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么关系？写出你的判断过程．【解答】解：（1）ODE ∆是等边三角形， 其理由是：ABC ∆是等边三角形， 60ABC ACB ∴∠=∠=︒，（2分） //OD AB ，//OE AC ，60ODE ABC ∴∠=∠=︒，60OED ACB ∠=∠=︒（3分）ODE ∴∆是等边三角形；（4分）（2）答：BD DE EC ==，其理由是：OB 平分ABC ∠，且60ABC ∠=︒， 30ABO OBD ∴∠=∠=︒，（6分） //OD AB ，30BOD ABO ∴∠=∠=︒， DBO DOB ∴∠=∠，DB DO ∴=，（7分） 同理，EC EO =， DE OD OE ==，BD DE EC ∴==．（8分） 16．如图，ABC ∆是等边三角形，DF AB ⊥，DE CB ⊥，EF AC ⊥，求证：DEF ∆是等边三角形．【解答】证明：ABC∆是等边三角形，ABC ACB CAB∠=∠=∠=︒，∴==，60AB AC BC⊥，DE CBDF AB⊥，⊥，EF AC∴∠=∠=∠=︒，DAB ACF CBE90∴∠=∠=∠=︒，FAC BCE DBA30∴∠=∠=∠=︒-︒-︒=︒，D E F180903060∴==，DF DE EFDEF∴∆是等边三角形，17．用三根火柴棒可以搭成一个等边三角形，你能用9根火柴搭出5个等边三角形吗？【解答】解：等边三角形各边长相等，故按照上图搭出图形，即为9根火柴搭出5个等边三角形．18．如图，ABC∆是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线．求证：ADE∆是等边三角形．【解答】证明：A在DE的垂直平分线上，∴=，AE AD∴∆是等腰三角形，ADE⊥，AB DE90ADE BAD ∴∠=︒-∠，AD BD ⊥，90B BAD ∴∠=︒-∠，由90ADE BAD ∠=︒-∠，90B BAD ∠=︒-∠，得：60B ADE ∠=∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形．19．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，C 为角平分线上一点，过点C 作CD OC ⊥，垂足为C ，交OB 于点D ，//CE OA 交OB 于点E ． （1）判断CED ∆的形状，并说明理由； （2）若3OC =，求CD 的长．【解答】解：（1）CED ∆是等边三角形，理由如下： OC 平分AOB ∠，60AOB ∠=︒， 30AOC COE ∴∠=∠=︒， //CE OA ，30AOC COE OCE ∴∠=∠=∠=︒，60CED ∠=︒， CD OC ⊥， 90OCD ∴∠=︒， 60EDC ∴∠=︒， CED ∴∆是等边三角形；（2）CED ∆是等边三角形， CD CE ED ∴==，又COE OCE ∠=∠， OE EC ∴=， CD ED OE ∴==，设CD x =，则2OD x =，在Rt OCD ∆中，根据勾股定理得：2294x x +=，解得：x =则CD =．20．如图，在ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=︒，D 、F 分别为AB 、AC 的中点，且DE AB ⊥，FG AC ⊥，点E 、G 在BC 上，18BC cm =，求线段EG 的长．（提示：需要添加辅助线）【解答】解：如图，连接AE 、AGD 为AB 中点，ED AB ⊥， EB EA ∴=，ABE ∴∆为等腰三角形，又30B EAB ∠=∠=︒， 30BAE ∴∠=︒， 60AEG ∴∠=︒，同理可证：60AGE ∠=︒， AEG ∴∆为等边三角形， AE EG AG ∴==，又AE BE =，AG GC =，BE EG GC ∴==，又18()BE EG GC BC cm ++==， 6()EG cm ∴=．21．已知，如图，ABC ∆是正三角形，D ，E ，F 分别是各边上的一点，且AD BE CF ==．请你说明DEF ∆是正三角形．【解答】解：ABC==，∆为等边三角形，且AD BE CF∴==，AE BF CD又60∠=∠=∠=︒，A B CADE BEF CFD SAS∴∆≅∆≅∆，()∴==，DE EF FD∴∆是等边三角形．DEF22．如图所示，DEF∆是等边三角形，且123∆是等边三角形吗？请∠=∠=∠，试问：ABC说明理由．【解答】解：ABC∆是等边三角形，理由：DEF∆是等边三角形，∴∠=︒，DEF60∴∠=︒，BEC120BCE∴∠+∠=︒，260∠=∠，23BCE∴∠+∠=︒，360ACB∴∠=︒，60同理60∠=∠=︒，ABC BACABC ∴∆是等边三角形．23．如图，ABC ∆为等边三角形，BD 平分ABC ∠，//DE BC ．（1）求证：ADE ∆是等边三角形；（2）求证：12AE AB =．【解答】证明：（1）ABC ∆为等边三角形，60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=︒，//DE BC ，60AED ABD ∴∠=∠=︒，60ADE ACB ∴∠=∠=︒，A AED ADE ∴∠=∠=∠，ADE ∴∆是等边三角形；（2）ADE ∆是等边三角形AD AE ∴=ABC ∆为等边三角形，AB AC ∴= BD 平分ABC ∠，D ∴是AC 的中点（三线合一）1122AD AC AB ==， 12AE AB ∴=． 24．如图ABC ∆是等边三角形（1）如图①，//DE BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：ADE ∆是等边三角形；（2）如图②，ADE ∆仍是等边三角形，点B 在ED 的延长线上，连接CE ，判断BEC ∠的度数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由．【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60B C ∴∠=∠=︒，//DE BC ，60ADE B ∴∠=∠=︒，60AED C ∠=∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形；（2）解：AE CE BE +=．60BAD DAC ∠+∠=︒，60CAE DAC ∠+∠=︒，BAD CAE ∴∠=∠，在BAD ∆和CAE ∆中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，BAD CAE ∴∆≅∆，BD CE ∴=，120AEC ADB ∠=∠=︒，BE BD DE AE CE ∴=+=+，CE BD DE ==，30EBC ∴∠=︒，60BEC ∴∠=︒．25．如图，E 是AOB ∠的平分线上一点，EC OB ⊥，ED OA ⊥，C 、D 是垂足，连接CD交OE 于点F ，若60AOB ∠=︒．（1）求证：OCD ∆是等边三角形；（2）若5EF =，求线段OE 的长．【解答】解：（1）点E 是AOB ∠的平分线上一点，EC OB ⊥，ED OA ⊥，垂足分别是C ，D ，DE CE ∴=，在Rt ODE ∆与Rt OCE ∆中，DE CE OE OE =⎧⎨=⎩Rt ODE Rt OCE(HL)∴∆≅∆，OD OC ∴=，60AOB ∠=︒，OCD ∴∆是等边三角形；（2）OCD ∆是等边三角形，OF 是COD ∠的平分线，OE DC ∴⊥，60AOB ∠=︒，30AOE BOE ∴∠=∠=︒，60ODF ∠=︒，ED OA ⊥，30EDF ∴∠=︒，210DE EF ∴==，220OE DE ∴==．26．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，点D 、E 分别在AB 、AC 上，30BCD CBE ∠=∠=︒，BE 、CD 相交于点O ，OG BC ⊥于点G ，求证：2OE OD OG +=．【解答】证明：延长OE 至点M ，使OM OC =，连接CM ，30BCD CBE ∠=∠=︒，OB OC ∴=，303060MOC ∠=︒+︒=︒，OM OC =，OMC ∴∆为等边三角形，CM OC OB ∴==，60M ∠=︒，DBO MCE ∴∠=∠，在BOD ∆和CME ∆中，DBO MCE BO CMDOB M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， BOD MCE ∴∆≅∆，DO EM ∴=，OE OD OM OB ∴+==，在Rt OBG ∆中，30OBG ∠=︒，OG BC ⊥，2OG OB ∴=，2OE OD OG ∴+=．27．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 、E 是ABC ∆内两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=︒，若30BE cm =，2DE cm =，则BC = 32 cm ．【解答】解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，∠，AB AC=，AD平分BAC=，AN BC∴⊥，BN CN∠=∠=︒，EBC E60∴∆为等边三角形，BEMEFD∴∆为等边三角形，DE=，30BE=，2∴=，28DM∆为等边三角形，BEMEMB∴∠=︒，60⊥，AN BC∴∠=︒，90DNM∴∠=︒，30NDM∴=，NM14∴=，16BN∴==，BC BN232故答案为32．28．如图，已知ABC=，∠，CE BD ∆为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分ACD 求证：ADE∆为等边三角形．【解答】证明：ABC ∆为等边三角形，60B ACB ∴∠=∠=︒，AB AC =，即120ACD ∠=︒， CE 平分ACD ∠，1260∴∠=∠=︒，在ABD ∆和ACE ∆中，1AB AC B BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，又60BAC ∠=︒，60DAE ∴∠=︒，ADE ∴∆为等边三角形．29．如图，ABC ∆为等边三角形，D 为BC 边上一点，以AD 为边作60ADE ∠=︒，DE 与ABC ∆的外角平分线CE 交于点E ，连接AE ，且CE BD =．求证：ADE ∆是等边三角形．【解答】解：过D 作//DG AC 交AB 于G ，则13∠=∠，GDB ∆为等边三角形，120AGD DCE ∠=∠=︒，AG DC =．又60ADE ACE ∠=∠=︒，ACE ECF ∠=∠，12∴∠=∠，31∴∠=∠．在AGD ∆和DCE ∆中，31AGD DCE AG DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AGD DCE AAS ∴∆≅∆，AD DE ∴=，60ADE ∠=︒，ADE ∴∆是等边三角形．30．如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是三角形外一点，且60ABD ∠=︒，BD DC AB +=．求证：60ACD ∠=︒．【解答】证明：延长BD 至E ，使CD DE =，连接AE ，AD ，BD CD AB +=，BE BD DE =+，BE AB ∴=，60ABD ∠=︒，ABE ∴∆是等边三角形，AE AB AC ∴==，60E ∠=︒，在ACD ∆和ADE ∆中，AC AE CD DE AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ACD ADE SSS ∴∆≅∆，60ACD E ∴∠=∠=︒．31．如图，在等边ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点O ，且//OD AB ，//OE AC ．（1）求证：ODE ∆是等边三角形．（2）线段BD 、DE 、EC 三者有什么数量关系？写出你的判断过程．（3）数学学习不但要能解决问题，还要善于提出问题．结合本题，在现有的图形上，请提出两个与“直角三角形”有关的问题．（只要提出问题，不需要解答）【解答】（1）证明：ABC ∆是等边三角形，60ABC ACB ∴∠=∠=︒，//OD AB ，//OE AC ，60ODE ABC ∴∠=∠=︒，60OED ACB ∠=∠=︒，ODE ∴∆是等边三角形；。

初中数学全等三角形判定综合练习(附答案)

初中数学全等三角形判定综合练习(附答案)

初中数学全等三角形判定综合练习一、单选题1.如图,已知AB AD =,那么添加下列一个条件后,仍无法判定ABC ADC △≌△的是( )A. CB CD =B. BAC DAC ∠=∠C. BCA DCA ∠=∠D. 90B D ∠=∠=︒2.如图,已知ABC DCB ∠=∠,添加下列所给的条件不能证明ABC DCB △≌△的是( )A. A D ∠=∠B. AB DC =C. ACB DBC ∠=∠D. AC BD =3.如图，点,D E 分别在线段,AB AC 上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =4.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块（如图所示），现在要到玻璃店去配一块与原来完全一样的玻璃，那么最省事的方法是( )A.带①去B.带②去C.带③去D.带①②③去5.如图,BF EC B E =∠=∠请问添加下面哪个条件不能判断ABC DEF ≅△△( )A.A D ∠=∠B.AB ED =C.//DF ACD.AC DF =6.如图，点B E C F 、、、在同一条直线上，//AB DE ，AB DE =，要用SAS 证明ABC DEF ≅△△，可以添加的条件是( )A ．A D ∠=∠B ．//AC DF C ．BE CF =D ．AC DF =7.下列各图中a b c ,,为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧ABC △全等的是( )A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙8.如图，点D E ,分别在线段AB AC ,上，CD 与BE 相交于O 点，已知AB AC =，现添加以下的哪个条件仍不能判定ABE ACD ≅△△？( )A.B C ∠=∠B.AD AE =C. BD CE =D.BE CD =9.如图所示的是用直尺和圆规作一个角等于已知角 的示意图，则说明'''A O B AOB ∠=∠的依据 是（ ）A.S.A.SB.S.S.S.C.A.A.S.D.A.S.A.10.如图，AOB ∠是一个任意角，在边OA OB ,上分别取OM ON =，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M N ,重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是AOB ∠的平分线这种方法所用的三角形全等的判定方法是( )A.S.A.S.B.S.S.S.C.A.S.A.D.A.A.S.11.如图，AB AD =，BC CD =，点E 在AC 上，则全等三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对12.如图，在ABC △和DEF △中，,B E C F ,,在同一直线上，AB DE =，AC DF =，要使ABC DEF ≅△△，还需要添加的一个条件是( )A.EC CF =B.BE CF =C.B DEF ∠=∠D.//AC DF13.如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“S.S.S.”可以判定( )A.ABD ACD ≅△△B.ABE ACE ≅△△C.BDE CDE ≅△△D.以上答案都不对14.如图，点E 在ABC △的外部，点D 在边BC 上，DE 交AC 于点F .若12∠=∠，E C ∠=∠，AE AC =，则( )A.ABC AFE ≅△△B.AFE ADC ≅△△C.AFE DFC ≅△△D.ABC ADE ≅△△15.下列条件能判 断两个三角形全等的是（ ）A.有两边对应相等B.有两角对应相等C.有一边一角对应相等D.能够完全重合16.如图，全等的两个三角形是( )A.③④B.②③C.①②D.①④17.如图,点,,,B E C F 在同一条直线上,//,AB DE AB DE = ,要用“边角边”证明ABC DEF ≅△△,可以添加的条件是( ).A.A D ∠=∠B.//AC DFC.BE CF =D.AC DF =18.如图，点P 是AB 上任一点，ABC ABD ∠=∠,从下列各条件中补充一个条件，不一定能推出APC APD ≅△△.的是( )A.BC BD =B.ACB ADB ∠=∠C.AC AD =D. CAB DAB ∠=∠二、证明题19.如图：点C D 、在AB 上，且//AC BD AE FB AE BF ==，，．求证：//DE CF ．20.如图，已知CA CB =，AD BD =，M N ,分别是CB CA ,的中点，求证：DN DM =.21.如图，已知AB AE =，12∠=∠，B E ∠=∠.求证：BC ED =.22.如图，90A D ∠=∠=︒，AC DB =，AC DB ,相交于点O .求证:OB OC =.23.如图（1）在ABC △中，90ACB AC BC ∠=︒=，,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E 。

全等三角形难度题含答案

全等三角形难度题含答案

全等三角形测试题荟萃（1）一．选择题1．如图，EB交AC于M，交FC于D，AB交FC于N，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF∴△ABE≌△ACF∴BE=CF∠BAE=∠CAF∠BAE﹣∠BAC=∠CAF﹣∠BAC∴∠1=∠2△ABE≌△ACF∴∠B=∠C，AB=AC又∠BAC=∠CAB△ACN≌△ABM．④CD=DN不能证明成立，3个结论对．故选：B．2．如图，△ABC为等边三角形，D、E分别是AC、BC上的点，且AD=CE，AE与BD相交于点P，BF⊥AE于点F．若BP=4，则PF的长（）A．2 B．3 C．1 D．2【解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC．∴∠BAC=∠C．在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE（SAS）．∴∠ABD=∠CAE．∴∠APD=∠ABP+∠PAB=∠BAC=60°．∴∠BPF=∠APD=60°．∵∠BFP=90°，∠BPF=60°，∴∠PBF=30°．∴PF=．故选：A．3．如图，OA=OC，OB=OD且OA⊥OB，OC⊥OD，下列结论：①△AOD≌△COB；②CD=AB；③∠CDA=∠ABC；其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③D．②③【解答】解：∵OA⊥OB，OC⊥OD，∴∠AOB=∠COD=90°．∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC，即∠COB=∠AOD．在△AOB和△COD中，，∴△AOB≌△COD（SAS），∴AB=CD，∠ABO=∠CDO．在△AOD和△COB中，∴△AOD≌△COB（SAS）∴∠CBO=∠ADO，∴∠ABO﹣∠CBO=∠CDO﹣∠ADO，即∠ABC=∠CDA．综上所述，①②③都是正确的．故选：B．二．解答题4．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AB=AC，点E是BD上一点，且AE=AD，∠EAD=∠BAC．（1）求证：∠ABD=∠ACD；（2）若∠ACB=65°，求∠BDC的度数．【解答】证明：（1）∵∠BAC=∠EAD∴∠BAC﹣∠EAC=∠EAD﹣∠EAC即：∠BAE=∠CAD在△ABE和△ACD中∴△ABE≌△ACD ∴∠ABD=∠ACD（2）∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角∴∠BOC=∠ABD+∠BAC，∠BOC=∠ACD+∠BDC∴∠ABD+∠BAC=∠ACD+∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴∠BAC=∠BDC∵∠ACB=65°，AB=AC∴∠ABC=∠ACB=65°∴∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=180°﹣65°﹣65°=50°∴∠BDC=∠BAC=50°．5．（1）如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试探究AB，AD，DC之间的等量关系，证明你的结论；（2）如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E 是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，证明你的结论．【解答】解：（1）证明：延长AE交DC的延长线于点F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠F，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAE=∠EAD，∵AB∥CD，∴∠BAE=∠F，∴∠EAD=∠F，∴AD=DF，∴AD=DF=DC+CF=DC+AB，（2）如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF，6．已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．【解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，∴∠AED=∠CFD=90°，∵D为AC的中点，∴AD=DC，在Rt△ADE和Rt△CDF中，，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴∠A=∠C，∴BA=BC，∵AB=AC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形．7．已知，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE=AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE=AF吗？请利用图②说明理由．【解】（1）证明：连接AD，如图①所示．∵∠A=90°，AB=AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∠EBD=45°．∵点D为BC的中点，∴AD=BC=BD，∠FAD=45°．∵∠BDE+∠EDA=90°，∠EDA+∠ADF=90°，∴∠BDE=∠ADF．在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE=AF；（2）BE=AF，证明如下：连接AD，如图②所示．∵∠ABD=∠BAD=45°，∴∠EBD=∠FAD=135°．∵∠EDB+∠BDF=90°，∠BDF+∠FDA=90°，∴∠EDB=∠FDA．在△EDB和△FDA中，，∴△EDB≌△FDA（ASA），∴BE=AF．8．如图，在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC，分别过A、B作直线l的垂线，垂足分别为M、N．（1）求证：△AMC≌△CNB；（2）若AM=3，BN=5，求AB的长．【解】：（1）∵AM⊥l，BN⊥l，∠ACB=90°，∴∠AMC=∠ACB=∠BNC=90°，∴∠MAC+∠MCA=90°，∠MCA+∠NCB=180°﹣90°=90°，∴∠MAC=∠NCB，在△AMC和△CNB中，，∴△AMC≌△CNB（AAS）；（2）∵△AMC≌△CNB，∴CM=BN=5，∴Rt△ACM中，AC===，∵Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=BC=，∴AB===2．9．已知，如图，在等腰直角三角形中，∠C=90°，D是AB的中点，DE⊥DF，点E、F在AC、BC上，求证：DE=DF．【解】证明：连接CD．∵在等腰直角三角形ABC中，D是AB的中点．∴CD为等腰直角三角形ABC 斜边BC上的中线．∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，CD=BD=AD．又∵DE⊥DF∴∠EDC=∠FDB在△ECD和△FBD中∴△ECD≌△FDB（ASA）∴DE=DF10．如图，OC是∠MON内的一条射线，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA=PB，连接AB，AB与OP交于点E．（1）求证：△OPA≌△OPB；（2）若AB=6，求AE的长．【解】（1）∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠PAO=∠PBO=90°，又∵PA=PB，PO=PO，∴Rt△AOP≌Rt△BOP；（2）∵△OPA≌△OPB，∴∠APE=∠BPE，又∵PA=PB，∴AE=BE，∴AE=AB=3．11．如图，△ABC和△ADE分别是以BC，DE为底边且顶角相等的等腰三角形，点D在线段BC上，AF平分DE交BC于点F，连接BE，EF．（1）CD与BE相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；（2）若∠BAC=90°，求证：BF2+CD2=FD2．【解】（1）CD=BE，理由如下：∵△ABC和△ADE为等腰三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵∠EAD=∠BAC，∴∠EAD﹣∠BAD=∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB=∠CAD，在△EAB与△CAD中，∴△EAB≌△CAD，∴BE=CD，（2）∵∠BAC=90°，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABF=∠C=45°，∵△EAB≌△CAD，∴∠EBA=∠C，∴∠EBA=45°，∴∠EBF=90°，在Rt△BFE中，BF2+BE2=EF2，∵AF平分DE，∴AF垂直平分DE，∴EF=FD，由（1）可知，BE=CD，∴BF2+CD2=FD212．如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E．F是OC上另一点，连接DF，EF．求证：DF=EF．【解】证明：∵OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠DOP=∠EOP，PD=PE．在Rt△POD和Rt△POE中，，∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），∴OD=OE．在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF=EF．13．如图，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，点M在OA上，点N 在OB上，且PM=PN．求证：EM=FN．【解】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，PE丄0A于E，PF丄OB于F，∴PF=PE，在Rt△PEM和Rt△PEN中，∴Rt△PEM≌Rt△PEN（HL），∴EM=FN．14．如图，△ABC中，D为BC边上一点，BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，BE=CF．求证：D为BC的中点．【解】证明：∵BE⊥AD的延长线于E，CF⊥AD于F，∴∠CFD=∠BED=90°，在△BED和△CFD中，∴△CDF≌△BDE（AAS）∴CD=BD．∴D为BC的中点．全等三角形测试题荟萃（2）2、 如图，在ABC ∆中，BE 是∠ABC 的平分线，AD BE ⊥，垂足为D 。

全等三角形难题集锦超级好

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1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.2、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证： （1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

图①5.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写10.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，．（1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．B EA B AB 图①图②C G A ED B F11、如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC△与AEG △面积之间的关系，并说明理由．9如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．以下五个结论：① AD=BE ； ② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°．恒成立的结论有______________（把你认为正确的序号都填上）．如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个1、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；2. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．ADBECF 1A1CADBECF 1A1CF（图１） ABC E DOP Q ABCD EF3.如图1，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点。

全等三角形综合测试题

全等三角形综合测试题

全等三角形综合测试题（100分）1、已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）【单选题】（3分）A.50°B.80°C.50°或80°D.40°或65°正确答案: C2、已知一个三角形的两边长分别是2厘米和9厘米，且第三边为奇数，则第三边长为（）【单选题】（3分）A.5cmB.7cmC.9cmD.11cm正确答案: C3、下列可使两个直角三角形全等的条件是（）【单选题】（3分）A.A、一条边对应相等B.B、两条直角边对应相等C.C、一个锐角对应相等D.D、两个锐角对应相等正确答案: B4、如图，D是BC的中点，E.F分别是AD和AD延长线上的点且DE=DF，连结BF，CE.下列说法:①CE=BF;②ΔABD和ΔACD面积相等;③BF//CE;△BDF≌ΔCDE其中正确的有（）【单选题】（3分）A.1个B.2个C.3个D.4个正确答案: D5、用两个全等的直角三角形，拼下列图形:①平行四边形;②矩形;③菱形;④正方形;⑤等腰三角形;⑥等边三角形，其中不一定能拼成的图形是（）【单选题】（3分）A.①②③B.②③C.③④⑤D.③④⑥正确答案: D6、如图，平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点0过点O，过点O作直线分别交于AD、BC于点E、F.那么图中全等的三角形共有（）【单选题】（3分）A.2对B.4对C.6对D.8对正确答案: C7、根据下列条件，能判定△ABC≌△A’B’C’的是（）【单选题】（3分）A.)AB=A’B’，BC=B’C‘，∠A=∠A’B.∠A=∠A’，∠B=∠B‘，AC=BCC.∠A=∠A’，∠B=∠B‘,∠C=∠C’D.AB=A‘B’，BC=B’C’，ABC的周长等于△A’B’C’的周长正确答案: D8、【单选题】（3分）A.HLB.SSSC.SASD.ASA正确答案: B9、【填空题】（4分）________________________答案解析: AC=AD(答案不唯一）10、【填空题】（4分）________________________正确答案: CE=DF（回答与答案完全相同才得分）11、如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AC于D，垂足为E，若CA=30°，DE=2，∠DBC的度数为____CD的长为____【填空题】（4分）________________________正确答案: 30° 2（回答包含答案即可得分）12、如图，ΔABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC.则∠ABC的度数是____【填空题】（4分）________________________正确答案: 45°（回答与答案完全相同才得分）13、【填空题】（8分）________________________正确答案: 证明:(1)∵BF=DE，∴BF+FE=DE+FE,即BE=DF …… 1 分又∵AB=CD，∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF(SAS) ……3 分∴AE=CF ……4 分 (2) 先证明△AFE≌△CEF ……6分得∠AFE=∠CEF ……7分∴AF//CE……8 分 (方法不唯一，其他证明方法酌情给分)（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明:(1)∵BF=DE，∴BF+FE=DE+FE,即BE=DF …… 1 分又∵AB=CD，∠B=∠D，∴△ABE≌△CDF(SAS) ……3 分∴AE=CF……4 分(2) 先证明△AFE≌△CEF ……6分得∠AFE=∠CEF ……7分∴AF//CE……8 分(方法不唯一，其他证明方法酌情给分)14、【填空题】（6分）________________________正确答案: 证明：(1)·∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90° ......2分.∴∠DBH=∠HAE......3分∵∠HAE=∠DAC ，∴∠DBH=∠DAC;......4分(2)∵AD⊥BC ∴∠ADB=∠ADC.....5分在△BDH与△ADC中，{∠ADB=∠ADC AD=BD ∠DBH=∠DAC} ∴.△BDH≌△ADC.......6分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明：(1).∵∠BHD=∠AHE，∠BDH=∠AEH=90°∴∠DBH+∠BHD=∠HAE+∠AHE=90° (2)分.∴∠DBH=∠HAE......3分∵∠HAE=∠DAC，∴∠DBH=∠DAC;......4分(2)∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC.....5分在△BDH与△ADC中，{∠ADB=∠ADCAD=BD∠DBH=∠DAC}∴.△BDH≌△ADC.......6分15、【填空题】（6分）________________________正确答案: 证明:(1)∵BE、CF分别是AC、 AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°(垂直定义)， (1)分∴∠ACG=∠DBA(同角的余角相等 )，......2分又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA; (4)分(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形. 证明如下: .∵△ABD≌AGCA .∴AG=AD，......5分∴△ADG 是等腰三角形.......6分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明:(1)∵BE、CF分别是AC、 AB两边上的高，∴∠AFC=∠AEB=90°(垂直定义)， (1)分∴∠ACG=∠DBA(同角的余角相等)，......2分又∵BD=CA，AB=GC，∴△ABD≌△GCA;......4分(2)连接DG，则△ADG是等腰三角形.证明如下:.∵△ABD≌AGCA.∴AG=AD，......5分∴△ADG是等腰三角形.......6分16、【填空题】（7分）________________________正确答案: DF//BC.......2分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，......3分∴∠C+∠CBE=90° (4)分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF，......6分在△AFD和△AFB中∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF .∴△AF D≌AAFB(AAS)......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: DF//BC.......2分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，......3分∴∠C+∠CBE=90° (4)分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF，......6分在△AFD和△AFB中∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF.∴△AF D≌AAFB(AAS)......7分17、【填空题】（7分）________________________正确答案: ①DF//BC.......1分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，∴∠C+∠CBE=90°，......3分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF， (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF......6分在△AFD和△AFB中{∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF} .∴△AF D≌△AFB(AAS)......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: ①DF//BC.......1分证明:∵BE⊥AC，.∴∠BEC=90，∴∠C+∠CBE=90°，......3分∵∠AB C=90°，.∴∠ABF+∠CBE=90°，∴∠C=∠ABF， (5)分.∵DF//BC，.∴∠C=∠ADF，.∴∠ABF=∠ADF......6分在△AFD和△AFB中{∠1=∠2 ∠ABF=∠ADF AF=AF}.∴△AF D≌△AFB(AAS)......7分18、【填空题】（7分）________________________正确答案: 证明：当动点P运动到AC边上中点位置时，AAPE≌AEDB......1分∵DE//CA，∴△BED∽△BAC，......2分∴BE/AB=DB/CB ∴D是BC的中点......3分∵E是AB中点，.∴BD/CB=1/2 ∴BE/AB=1/2 ∴E是AB中点∴DE=1/2AC，BE=AE,......5分∵DE// AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=1/2AC，∴P 必须是AC 中点......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: 证明：当动点P运动到AC边上中点位置时，AAPE≌AEDB......1分∵DE//CA，∴△BED∽△BAC，......2分∴BE/AB=DB/CB∴D是BC的中点......3分∵E是AB中点，.∴BD/CB=1/2∴BE/AB=1/2∴E是AB中点∴DE=1/2AC，BE=AE,......5分∵DE// AC，∴∠A=∠BED，要使△APE≌△EDB，还缺少一个条件DE=AP，又有DE=1/2AC，∴P 必须是AC 中点......7分19、【填空题】（7分）________________________正确答案: 解:连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF ......2分∵DE 与CF 平行且相等.∴∠EDA=∠DAC......4分.∴∠EDA=∠DCF......5分在AAED和ACFD中 {CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF} ∴△AED≌△CFD ∴AE=DF......7分（回答包含答案即可得分）答案解析: 解:连接CD，∵∠ACB=90°，D是AB边的中点∴CD=AD，∠DAC=∠DCF ......2分∵DE与CF 平行且相等.∴∠EDA=∠DAC......4分.∴∠EDA=∠DCF......5分在AAED和ACFD中{CD=AD，∠EDA=∠DCF，DE=CF}∴△AED≌△CFD∴AE=DF......7分20、如图，山脚下有A、B两点，要测出A、B两点的距离，请说说你的解决方案。

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全等三角形
全等三角形及其判定：
（一）三角形全等的识别方法
1、如图：△ABC 与△DEF 中
2、如图：△ABC 与△DEF 中
∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∵⎪⎩
⎪
⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）
3、如图：△ABC 与△DEF 中
4、如图：△ABC 与△DEF 中
∵⎪⎩⎪⎨⎧===__________________________________________________________ ∵⎪⎩
⎪
⎨⎧===__________________________________________________________ ∴△ABC ≌△DEF （ ） ∴△ABC ≌△DEF （ ）
5、如图：Rt △ABC 与Rt △DEF 中， ∠____=∠_____=90°
∵⎩⎨⎧==______________________________________ ∴Rt △ABC≌Rt △DEF（ ）
（二）三角形全等的判定：
C
B
A
1,如图，已知△ABE≌△DCE，AE=2cm，BE=1.5cm，
∠A=25°∠B=48°；那么DE= cm，EC= cm，
∠C= 度；∠D= 度；
2，如图：ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ＝ＡＥ，ＡＦ⊥ＢＣ于Ｆ，则图中全等的三角形有_______对？
3，如图，在△ABC 中，AD⊥ BC，CE⊥ AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，请你添加一个适当的条件：，使△AEH≌△CEB。

4，如图，已知AC=AB，∠1=∠2；求证：BD=CE
5，证明：相邻且互补的两个角的角平分线互相垂直。

2 1
A
E D
6，如图，点E, F 在BC 上，BE=CF, AB=DC, ∠B=∠C. 求证: ∠A=∠D
7，如图，正⊿ABC 的边长为a, D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE=CD ，连结DE ，交BC 于点P 。

（1）求证：DP=PE ；
（2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。

P E D C
B A
8，已知等边三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ与ＢＥ相交于点Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。

9，在△ABC 中∠BAC 是锐角，AB=AC ，AD 和BE 是高，它们交于点H ，且AE=BE ；
（1）求证：AH=2BD ；
（2）若将∠BAC 改为钝角，其余条件不变，上述的结论还成立？若
成立，请证明；若不成立，请说明理由；
10，如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，求∠B ∶∠C 的值．
H
D
E
A
B
C。

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