14.4.1随机过程的功率谱密度
第4章随机信号的功率谱密度
T 2T T
lim 1
2
T
1 2T
E[ XT (, ) 2 ]d
1
2
GX
()d
(4.1.11)
随机过程的平均功率W可以由它的均方值的时间平均得 到，也可以由它的功率谱密度在整个频率域上积分得到。
若X(t)为平稳过程时，均方值为常数，可写成：
xT (t, )e jt dt
T T
xT (t, )e jt dt
X T (, ) 2 X T (, ) X T (, )
GX
()
lim
T
E
1 2T
T T
xT (t1, )e jt1dt1
T T
xT
(t2
,
)e
jt2
xT
(t
)
x(t), t
0,
t
T
T
对于有限持续时间的xT(t)，傅里叶变换是存在的，有：
XT ()
xT
(t)e
jt dt
T T
xT
(t)e
jt dt
xT
(t)
1
2
XT
()e
jt d
(4.1.6) (4.1.7)
称 XT ()为xT (t)的频谱函数，也简称为频谱。
由傅立叶反变换，x(t)可以表示为
则可以得到
x(t) 1
2
X
X
(
)e
jt
d
[x(t)]2dt
1
x(t)
第4章 随机信号的功率谱密度
确知信号的能量谱密度与功率谱密度 非周期信号的能量为： ∵ 非周期信号的能量为：
1 W = lim ∫ x ( t )dt = T → ∞ −T 2π
T 2 T
∫
∞
−∞
| X T ( ω ) | dω = ∫ | X T ( f ) | df
−∞
2
∞
2
其中, 为一付氏变换对; 其中 xT ( t ) ⇔ XT ( ω ) 为一付氏变换对
为功率型平稳随机信号。 设 X( t )为功率型平稳随机信号。 由于随机信号的每一样本函数（ 或实现） 由于随机信号的每一样本函数 （ 或实现 ） 都是一个确 因此， 定的时间函数 x(t , ξ i ) ，因此，对于每个样本函数都可以求 得对应的功率谱密度函数， 得对应的功率谱密度函数，即 | xT (t , ξi ) |2 | XT (ω , ξi ) |2 GX (ω , ξ i ) = lim = lim ， T →∞ T →∞ 2T 2T
称为白噪声过程 简称白噪声 白噪声过程， 白噪声。 的平稳过程 N( t )，称为白噪声过程，简称白噪声。 W 其中， 为正实常数，单位： 其中， N 0 为正实常数，单位： Hz
白噪声的功率谱函数和自相关函数为： 白噪声的功率谱函数和自相关函数为：
N0 G N ( ω ) = 2 , ω ∈ ( −∞ ,+∞ ) N0 R N (τ ) = δ (τ ) 2
1 G X ( ω ) = lim T → ∞ 2T
+∞
∫
T −t
−T − t
[∫
T −T
T
−T
R X ( t , t + τ )dt ] e − jωτ d τ
1 = ∫ [ lim − ∞ T → ∞ 2T
功率谱密度
功率谱密度功率谱密度是信号处理中的重要概念，它描述了信号的频率成分在功率上的分布。
在工程领域中，功率谱密度广泛应用于信号分析、通信系统设计以及噪声分析等方面。
本文将介绍功率谱密度的定义、性质、计算方法以及在实际应用中的重要性。
1. 定义功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号功率在频域上的分布情况的密度函数。
在时域中，信号的功率通常被定义为信号的能量在单位时间内的平均值，而功率谱密度则描述了信号功率在不同频率上的分布。
功率谱密度通常用单位频率范围内的功率值表示，是信号频谱特性的重要指标之一。
2. 性质功率谱密度具有以下几个重要性质：•非负性：功率谱密度始终大于等于零，表示信号中的功率都是非负的。
•互相关函数和功率谱密度之间的关系：两个信号的自相关函数的傅里叶变换是它们的功率谱密度的乘积。
•窄带信号：窄带信号的功率谱密度在窄频段内集中，而宽带信号的功率谱密度分布更广。
3. 计算方法计算功率谱密度可以通过信号的自相关函数或者信号的傅里叶变换来实现。
常用的计算方法包括：•周期图法：通过对信号进行周期图分析，可以得到信号的功率谱密度。
•傅里叶变换法：对信号进行傅里叶变换，然后计算幅度谱的平方即可得到功率谱密度。
•Welch方法：对信号进行分段处理，然后对各段信号的功率谱密度进行平均，可以获得更加准确的估计。
4. 应用功率谱密度在通信系统、雷达系统、生物医学工程等领域具有重要应用价值，例如：•在通信系统中，功率谱密度可以帮助分析信道的频率选择性，设计滤波器以及优化调制方案。
•在雷达系统中，功率谱密度可以帮助分析雷达回波信号的频率特性，识别目标特征。
•在生物医学工程中，功率谱密度可用于分析生物信号的频率特征，帮助诊断疾病。
5. 总结功率谱密度作为描述信号频率特性的重要参数，在信号处理和通信系统设计中扮演着重要角色。
了解功率谱密度的定义、性质、计算方法以及应用领域，有助于更深入地理解信号处理中的功率谱密度的重要性和作用。
随机过程的谱密度与功率谱密度
随机过程的谱密度与功率谱密度随机过程是在时间上随机变化的过程，它在许多领域中都有广泛的应用。
在研究随机过程时，谱密度和功率谱密度是两个重要的概念。
一、谱密度谱密度是描述随机过程在频域上的性质的一种测量，它用来表示随机过程的频谱特性。
谱密度通常用符号S(f)表示，其中f是频率。
谱密度是随机过程各频率成分的功率平均值，即将随机过程在不同频率上的功率加权平均得到的值。
谱密度越大，表示在该频率上的成分越强。
对于离散随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换得到。
而对于连续随机过程，谱密度可以通过对其自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 谱密度是非负的且对称的。
2. 谱密度在频率上的积分等于随机过程的方差。
3. 谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的谱密度函数可以表示不同的随机过程。
二、功率谱密度功率谱密度是描述随机过程在频域上能量分布的一种测量，也可以理解为随机过程的平均功率。
功率谱密度通常用符号S(f)表示，其中f 是频率。
与谱密度类似，功率谱密度也可以通过随机过程的自相关函数进行傅里叶变换或拉普拉斯变换得到。
功率谱密度表示随机过程各频率成分的功率分布，即在不同频率上的功率值。
功率谱密度越大，表示在该频率上的功率越强。
功率谱密度具有一些重要的性质，例如：1. 功率谱密度是非负的。
2. 功率谱密度在频率上的积分等于随机过程的总功率。
3. 功率谱密度函数是随机过程的一种特征，不同的功率谱密度函数可以表示不同的随机过程。
三、谱密度与功率谱密度的关系谱密度和功率谱密度之间存在一定的关系。
对于连续随机过程，谱密度和功率谱密度可以通过以下关系进行转换：S(f) = |H(f)|^2 * P(f)其中，S(f)表示谱密度，H(f)表示系统的频率响应函数，P(f)表示功率谱密度。
这个关系说明了谱密度和功率谱密度之间的链接，它们在频域上描述了随机过程的特性。
结论谱密度和功率谱密度是研究随机过程的重要工具，它们在频域上描述了随机过程的特性。
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度⏹连续时间随机过程的功率谱密度⏹随机序列的功率谱密度1. 连续时间随机过程的功率谱密度21()lim ()2X T T G E X T →∞⎧⎫ω=ω⎨⎬⎩⎭()()Tj tT TX X t edt-ω-ω=⎰维纳-辛钦定理: 对于平稳过程有()()X X R G τ↔ω功率谱密度(Power Spectral Density, PSD)的定义：例1：随机相位信号的PSD0()cos()X t A t =ω+Φ其中A 、ω0为常数，Φ在(0,2π)上均匀分布。
自相关函数为20()(/2)cos X R A τ=ωτPSD 为{}200()(/2)()()X G A ω=πδω+ω+δω-ω()X G ωω2(/2)A π2(/2)A π0ω0-ω其中{a i }是均值为零,方差为, 且不相关的随机变量序列。
2iσ()i j ti iX t a eω=∑*()[()()]X R E X t X t τ=+τ*2()i k i ikE a a =σδ()0i E a =解：()*2()i k i j t j tj i ki ikiE a a eeω+τ-ωωτ==σ∑∑∑求X (t )的功率谱密度。
例2：随机过程为1ω2ω()X G ωω2()i j X i iR eωττ=σ∑2()2()X i i iG ω=πσδω-ω∑功率谱密度的性质:(1) 功率谱是非负的实函数、偶函数()()X X G G ω=-ω()0X G ω≥*()()X X G G ω=ω根据自相关函数与功率谱的关系,()()(cos sin )2()cos X X X G R j d R d +∞+∞-∞ω=τωτ-ωττ=τωττ⎰⎰21[()](0)()2X X P E X t R G d +∞-∞===ωωπ⎰平稳随机过程平均功率：22(1)22(1)202022(1)22(1)20()m m m X nn n a a a G c b b b ----ω+ω++ω+ω=ω+ω++ω+(2) 如果功率谱具有有理谱的形式，则可以表示为n >m ;()X G s 零、极点共轭成对j ωσ××××××ooo oS 平面上可能的零、极点位置()()()X X XG G G +-ω=ωω()()()()101()m Xn j j Gc j j +ω+αω+αω=ω+βω+β()()()()101()m Xn j j Gc j j --ω+α-ω+αω=-ω+β-ω+β()()()X X XG s G s G s +-=功率谱密度的分解例3: 已知功率谱为2424()109X G ω+ω=ω+ω+对功率谱进行分解，并求自相关函数。
四.随机过程的功率谱密度
d
2RX ( d 2
)
(1)n
d
2nRX ( d 2n
)
RX ( )e j0
SX ()
a 2 SX () 2SX ()
2nS X ()
S ( 0 )
例 已知零均值平稳过程X(t)的
S
X
(
)
4
6 2 52
4
,
求RX
(
)与DX
t
.
解：S X
()
4
6 2 5 2
4
( 2
6 2 1)( 2
4)
PXY
(T
)
1 2T
T
x(t) y(t)dt
T1ຫໍສະໝຸດ X* X(T
,
)
X
Y
(T
,
)d
2
2T
下面求平均功率
A PXY (T )
1
E[PXY (T )] 2
E[
X
* X
(T
,
)
X
Y
(T
,
)]d
2T
T ，得平均功率
PXY
lim A T
PXY (T )
lim 1
T 2
E[
X
* X
(T
通常用信号在其定义域内的总量来表示信号的大小， 称为信号的规范量。
一阶规范量，若模可积，即满足
x(t) dt
则一阶规范量定义为
否则定义为
x(t) x(t) dt
1
x(t) lim 1
T
x(t) dt
1 T 2T T
二阶规范量，若模可积定义为
否则定义为
x(t) x(t) 2 dt
随机过程的功率谱密度
随机过程的功率谱密度随机过程是一种具有随机变量的序列，其性质随时间变化。
功率谱密度是用来描述随机过程频谱特性的一种工具。
本文将介绍随机过程的基本概念，探讨功率谱密度的定义和计算方法，并讨论其在实际应用中的意义。
一、随机过程的基本概念随机过程是一种随时间变化的随机变量序列。
在随机过程中，每个时间点上的变量都是随机的，可以用数学统计的方法进行描述与分析。
随机过程常用于模拟与分析具有随机性的现象，如通信信号、股票价格等。
二、功率谱密度的定义功率谱密度是描述随机过程频谱特性的一种工具，用于表示随机过程在不同频率上的分布情况。
功率谱密度函数通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
三、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度可以使用多种方法，常见的有周期图法、自相关函数法和傅里叶变换法等。
下面分别介绍这些方法的基本原理：1. 周期图法周期图法是一种直观的计算功率谱密度的方法。
它通过对随机过程的重复实现进行频率分析，得到信号的谱图。
周期图法的实现过程包括样本采集、周期图的构建和谱估计等步骤。
2. 自相关函数法自相关函数法是一种基于信号的自相关函数计算功率谱密度的方法。
它通过计算随机过程与其自身在不同时间点上的相关性，得到功率谱密度函数。
自相关函数法的实现过程包括自相关函数的计算和功率谱密度的估计等步骤。
3. 傅里叶变换法傅里叶变换法是一种基于信号的傅里叶变换计算功率谱密度的方法。
它通过将时域信号转换到频域，得到信号的频谱分布。
傅里叶变换法的实现过程包括信号的傅里叶变换和功率谱密度的计算等步骤。
四、功率谱密度的实际应用功率谱密度在信号处理、通信系统设计、噪声分析等领域都有重要应用。
以下是一些典型的实际应用场景：1. 信号处理功率谱密度可以用于对信号进行频谱分析和滤波器设计。
通过分析信号的功率谱密度，可以了解信号的频率分布情况，并根据需求设计相应的滤波器，实现信号的去噪、增强等处理。
2. 通信系统设计功率谱密度可以用于对通信系统中的噪声进行分析和优化。
四.随机过程的功率谱密度
定义两随机过程的互功率为
1 PXY (T ) 2T 1 2T
T
T T
xT (t ) yT (t )dt x(t ) y (t )dt
T
应用帕塞瓦定理
1 PXY (T ) 2T
T
T
x(t ) y (t )dt
* XX (T , ) X Y (T , ) d 2T
1 2
2、功率谱密度是ω 的实函数。 3、对于实随机过程来说，功率谱密度是ω 的偶函数，即
S X ()＝S X (－)
截取函数 xT (t ) 为t的实函数，根据傅立叶变换的性质
* XX (T , ) X X (T , )
于是
* X X (T , ) X X (T , ) X X (T , ) 2
2S X ()
d n X( t ) dn t
2n S X ()
S ( 0 )
X(t )e j0 t
RX ( )e j0
例
已知零均值平稳过程X(t)的
6 S X ( ) 4 , 求RX ( )与DX t . 2 5 4
2
6 2 6 2 解：S X ( ) 4 2 5 4 ( 2 1)( 2 4) A B 2 2 1 4 6 2 6 6 2 24 A 2 | 2 1 2, B 2 | 2 4 8 4 3 1 3
2
随机过程的平均功率
2 E X ( T , ) X 1 T 1 d 2 lim E x ( t ) dt lim T 2T T 2 T 2T
功率谱密度
1 P lim T 2T
1 E x ( t ) dt T 2
随机信号的功率谱密度
三、相干函数
白噪声的定义及特性：
一个均值为零，功率谱密度在整个频率轴上有非零常数，即： 的平稳过程N(t)，被称为白噪声过程或简称白噪声。 式中，N0是正实常数。
4.5 白噪声与白序列
白噪声的自相关函数：
白噪声的相关系数 为:
热噪声指的是电路中由于各电阻内电子热骚动（布朗运动）而产生的随机起伏电压和电流。
性质一：
性质二： 和 是的偶函数； 和 是的奇函数；
性质三：若平稳过程X(t)和Y(t)相互正交，则有：
二、互谱密度的性质
性质四：若X(t)和Y(t)是两个不相关的平稳过程，分别有均值mX和mY，则：
性质五：若X(t)和Y(t)联合平稳，RXY()绝对可积，则互谱密度GXY()、 GYX()分别和互相关函数RXY()、 RYX()构成傅立叶变换对。
02
S()与s(t)满足Parseval定理：
03
4.1 功率谱密度
一个随机过程的样本函数，尽管它的总能量是无限的，但其平均功率却是有限值，即：
图：f(t)及其截断函数
fT(t)的傅立叶变换存在：
W是样本函数的平均功率
将上式代入信号平均功率表达式中得:
所谓信号的功率谱密度函数是指这样的函数: 当在整个频率范围内对它进行积分以后，得到信号的总功率； 描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况； 正具有了上述特性。它代表了随机过程的某一个样本函数f(t,)在单位频带内、消耗1电阻上的平均功率。称它为样本函数的功率谱密度函数。记为Gf(,)。
若复过程Zi(t)和Zk(t)联合平稳，则复过程Zi(t)和Zk(t)的互谱密度为：
4.8 功率谱密度的计算举例
教材P102—P106： 例4.8—例4.10
四随机过程的功率谱密度概况PPT课件
向量范数
定义1. 对于 n维向量R空 n中间 任意一x个 , 向量 若存在唯一x一 R与 个 x对 实应 数，且满足
( 1 )( 正 )x 定 0 , 且 x R 性 n ,x 0 x 0 ;
( 2 )( 齐 ) 次 x x ， 性 x R n , R ;
(3 )(三角 )x 不 yx 等 y， 式 x ,y R n . 则称 x为向x的 量范. 数
2
信号s(t)的总能量为 E s2(t)dt
根据帕塞瓦尔定理：对能量有限信号，时域内信号的 能量等于频域内信号的能量。即
E s2(t)dt2 1 S()2d
其中 S ( ) 2 称为s(t)的能量谱密度（能谱密度）。
有限能量信号：
在的条件
s2(t)dt 是能量谱密度存
随机信号的功率4ຫໍສະໝຸດ 功率谱密度可积，即SX()d
功率谱密度与自相关函数
功率谱密度的表达式为
SX()Tli mEXX2(TT,)2
其中
XX(T, ) xT(t)ejtdt
X X(T ,)2X X(T ,)X X *(T ,)
功率谱密度可表示为
S X ( ) T li m E 2 1 T T Tx(t1)ej t1d t1 T Tx(t2)ej t2d t2 T li m 2 1 T T T T TEx (t1 )x (t2 )ej t1 e j t2d t1 d t2
样本函数x(t)不满足绝对可积的条件，但功率是有限的
Plim1 T x(t)2dt T 2T T 因此，可以研究随机过程的功率谱。
样本函数x(t)的截取函数
xT
(t)
x(t) 0
t T 其他
x(t)
-T
T
功率谱密度 db
功率谱密度 db功率谱密度（Power Spectral Density，PSD）是描述信号随频率变化的能量分布的概念。
一般情况下，功率谱密度以对数形式表示，单位为分贝（dB）。
本文将对功率谱密度进行详细介绍，并介绍功率谱密度的计算方法以及应用。
一、功率谱密度的定义和性质功率谱密度是信号理论中一个基本的概念，用于描述信号在频域上的特征。
对于一个离散信号x(n)，它的功率谱密度定义为其自相关函数Rxx(k)的傅里叶变换。
功率谱密度用符号Sxx(f)表示，即：Sxx(f) = |X(f)|^2其中X(f)为x(n)的傅里叶变换。
功率谱密度描述了信号在各个频率上的能量分布。
在实际应用中，我们通常将功率谱密度取对数并以分贝（dB）为单位进行表示，即：PSD(dB) = 10 * log10(Sxx(f))根据功率谱密度的定义，我们可以得到其中三个重要性质：1.非负性：功率谱密度是一个非负函数，即Sxx(f)>=0。
2.时间平移：如果信号在时间域上平移t0，则功率谱密度在频域上也相应平移f0，即Sxx(f-f0)。
3.频率平移：如果信号在频域上平移f0，则功率谱密度在时间域上也相应平移t0，即Sxx(f)-Sxx(f0)。
二、功率谱密度的计算方法计算功率谱密度的方法有多种，其中最常用的是基于傅里叶变换的方法。
下面介绍两种常见的计算功率谱密度的方法。
1.时域平均法：信号x(n)通过窗函数w(n)进行分段，每段长度为N。
对每段信号进行傅里叶变换，得到每段信号的频谱，然后将所有段的频谱进行平均，得到信号的平均功率谱密度。
2.数字滤波法：将信号进行滤波，并测量滤波后信号的功率。
通过改变滤波器的通带宽度，可以得到不同频率下的功率谱密度。
三、功率谱密度的应用功率谱密度在工程和科学的多个领域中都得到了广泛的应用。
以下是几个典型的应用案例：1.无线通信：功率谱密度可以用于描述无线通信中不同信号的频谱占用情况，从而帮助设计和规划无线网络。
功率谱密度计算公式的推导过程
一、引言功率谱密度是信号处理领域一个重要的概念，它描述了一个信号在频域内的能量分布情况，是信号谱分析的重要工具。
功率谱密度计算公式的推导过程，是深入理解信号处理原理和方法的关键。
二、基本概念1. 信号的功率谱密度是在频域内描述信号功率分布的指标，通常用符号S(f)表示，其中f为频率。
2. 信号的功率谱密度可以用来描述信号的频谱特性，包括信号的频率成分和能量分布情况。
3. 对于一个信号x(t)，其功率谱密度S(f)的计算公式可以采用傅里叶变换来推导。
三、傅里叶变换1. 对于一个信号x(t)，其傅里叶变换可以表示为X(f) = ∫x(t)e^(-j2πft)dt，其中X(f)为信号在频域内的表示。
2. 傅里叶变换将信号从时域转换到频域，描述了信号在频率上的分布情况。
四、功率谱密度的推导1. 为了推导信号x(t)的功率谱密度S(f)，首先可以计算信号x(t)的自相关函数R(τ)。
2. 自相关函数R(τ)可以描述信号在不同时刻下的相关性，即信号在延迟τ下的相似程度。
3. 根据傅里叶变换的性质，信号x(t)的功率谱密度S(f)可以表示为S(f) = ∫R(τ)e^(-j2πfτ)dτ。
4. 通过对自相关函数R(τ)进行傅里叶变换，可以得到信号x(t)的功率谱密度S(f)的表达式。
五、应用举例1. 通过功率谱密度的计算公式，可以对信号进行频谱分析，了解信号在频域内的特性。
2. 功率谱密度的计算可以应用于多种信号处理场景，包括通信系统、雷达系统、生物医学信号处理等领域。
3. 信号的功率谱密度分析可以帮助工程师和研究人员更深入地理解信号的频率特性，为系统设计和优化提供重要参考。
六、结论功率谱密度计算公式的推导过程是信号处理领域中的重要内容，它涉及信号的频谱分析方法和原理，具有重要的理论和应用价值。
深刻理解功率谱密度的计算公式及推导过程，对于工程师和研究人员具有重要的意义，可以帮助他们更好地理解信号处理的基本原理，并应用于实际工程和研究项目中。
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西,常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息,所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别： 1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列） 2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析),是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线,可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F（ω）。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的.功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号,不具备可积分条件,因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲.所以标准叫法是功率谱密度。
随机过程的功率谱密度
xyf X Y ( x , t1 , y , t 2 ) d xd y
互协方差函数： K X Y ( t1 , t 2 ) R X Y ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 ) 互相关系数： r ( ) XY 广义联合平稳的定义：
三、互功率谱密度及其性质
G XY ( ) E { lim 1 2T
T
T
X T ( ) YT ( )}
j t
其中： X T ( )
T
xT (t ) e
dt
YT ( )
T
T
yT (t )e
j t
dt
j
若X(t)及Y(t)联合平稳，有
2
1
1
时间平 均功率
功率谱密度：信 1 1 2 号的平均功率按 E[ Tlim 2T X T ( ) d ] 频率分布的情况 2
T
T
2T 2
X T ( ) d
2
E [ lim
1 2T
T
T
x (t ) d t ]
2
1 2 1 2
R XY ( t1 , t 2 ) m X ( t1 ) m Y ( t 2 )
两随机过程的相互关系：
f X Y ( x 1 , , x n , y1 , , y m , t1 , t n , t1 , , t m )
f X ( x 1 , , x n , t1 , t n ) f Y ( y1 , , y m , t1 , , t m )
1 2T
T
X T ( ) YT ( )}
功率谱与功率谱密度
功率谱密度谱是一种概率统计方法，是对随机变量均方值的量度。
一般用于随机振动分析，连续瞬态响应只能通过概率分布函数进行描述，即出现某水平响应所对应的概率。
功率谱密度是结构在随机动态载荷激励下响应的统计结果，是一条功率谱密度值—频率值的关系曲线，其中功率谱密度可以是位移功率谱密度、速度功率谱密度、加速度功率谱密度、力功率谱密度等形式。
数学上，功率谱密度值—频率值的关系曲线下的面积就是方差，即响应标准偏差的平方值。
谱是个很不严格的东西,常常指信号的Fourier变换，是一个时间平均（time average）概念功率谱的概念是针对功率有限信号的（能量有限信号可用能量谱分析)，所表现的是单位频带内信号功率随频率的变换情况。
保留频谱的幅度信息，但是丢掉了相位信息,所以频谱不同的信号其功率谱是可能相同的。
有两个重要区别： 1。
功率谱是随机过程的统计平均概念，平稳随机过程的功率谱是一个确定函数;而频谱是随机过程样本的Fourier变换，对于一个随机过程而言，频谱也是一个“随机过程”。
（随机的频域序列） 2。
功率概念和幅度概念的差别。
此外，只能对宽平稳的各态历经的二阶矩过程谈功率谱，其存在性取决于二阶局是否存在并且二阶矩的Fourier变换收敛;而频谱的存在性仅仅取决于该随机过程的该样本的Fourier变换是否收敛。
热心网友回答提问者对于答案的评价：谢谢解答。
频谱分析（也称频率分析),是对动态信号在频率域内进行分析，分析的结果是以频率为坐标的各种物理量的谱线和曲线,可得到各种幅值以频率为变量的频谱函数F（ω）。
频谱分析中可求得幅值谱、相位谱、功率谱和各种谱密度等等。
频谱分析过程较为复杂，它是以傅里叶级数和傅里叶积分为基础的.功率谱是个什么概念？它有单位吗?随机信号是时域无限信号,不具备可积分条件,因此不能直接进行傅氏变换。
一般用具有统计特性的功率谱来作为谱分析的依据。
功率谱与自相关函数是一个傅氏变换对。
功率谱具有单位频率的平均功率量纲.所以标准叫法是功率谱密度。
功率谱密度的正确表达式
功率谱密度的正确表达式功率谱密度（Power Spectral Density，简称PSD）是信号处理中的一个核心概念，用于描述信号的功率在频率域上的分布情况。
正确理解和应用功率谱密度的表达式对于分析和设计各种信号处理系统至关重要。
一、功率谱密度的定义功率谱密度通常被定义为信号自相关函数的傅里叶变换，其表达式为：PSD(f) = ∫ Rxx(τ) e^(-j2πfτ) dτ其中，Rxx(τ) 是信号的自相关函数，f 是频率，τ 是时间延迟，j 是虚数单位。
这个表达式描述了信号在频域上的功率分布。
二、功率谱密度的物理意义功率谱密度反映了信号在不同频率分量上的功率大小。
通过功率谱密度，我们可以了解信号中包含哪些频率成分以及这些成分的功率强弱。
这在信号处理中具有重要的指导意义，比如在滤波器的设计上。
通过去除不需要的频率成分或者放大重要的频率成分，滤波器可以实现信号的有益处理。
三、功率谱密度的应用功率谱密度的应用范围十分广泛。
以下是几个常见的应用领域：1. 通信系统：在通信系统中，功率谱密度用于分析信号的带宽和功率分布，从而指导调制方式的选择和信道容量的计算。
2. 图像处理：在图像处理中，通过对图像信号的功率谱密度进行分析，可以实现图像的压缩、去噪和增强等操作。
3. 机械振动分析：通过测量机械振动的加速度或者位移信号的功率谱密度，可以分析机械结构的动态特性以及故障诊断。
4. 生物医学信号处理：生物医学信号处理中，比如脑电图（EEG）分析，功率谱密度可以帮助医生了解大脑活动的频率特征和相关疾病的诊断。
四、计算功率谱密度的常见方法实际应用中计算信号的功率谱密度时，通常会采用一些数值方法来进行近似计算。
以下是几种常见的计算方法：1. 周期图法：周期图法是一种直接计算信号傅里叶变换模平方的方法。
这种方法简单直接，但容易受到窗函数选择和信号长度的影响。
2. Welch法：Welch法是对周期图法的改进，通过分段平均来减小方差并提高分辨率。
功率谱密度
功率谱密度[编辑本段]简介在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。
当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribu tion, SPD）。
功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。
[编辑本段]详细说明尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。
上面能量谱密度的定义要求信号的傅里叶变换必须存在，也就是说信号平方可积或者平方可加。
一个经常更加有用的替换表示是功率谱密度（PSD），它定义了信号或者时间序列的功率如何随频率分布。
这里功率可能是实际物理上的功率，或者更经常便于表示抽象的信号被定义为信号数值的平方，也就是当信号的负载为1欧姆(oh m)时的实际功率。
此瞬时功率（平均功率的中间值）可表示为：由于平均值不为零的信号不是平方可积的，所以在这种情况下就没有傅里叶变换。
幸运的是维纳-辛钦定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一个简单的替换方法，如果信号可以看作是平稳随机过程，那么功率谱密度就是信号自相关函数的傅里叶变换。
信号的功率谱密度当且仅当信号是广义的平稳过程的时候才存在。
如果信号不是平稳过程，那么自相关函数一定是两个变量的函数，这样就不存在功率谱密度，但是可以使用类似的技术估计时变谱密度。
f(t) 的谱密度和f(t) 的自相关组成一个傅里叶变换对（对于功率谱密度和能量谱密度来说，使用着不同的自相关函数定义）。
通常使用傅里叶变换技术估计谱密度，但是也可以使用如Welch法（Welch's method）和最大熵这样的技术。
傅里叶分析的结果之一就是Parseval定理（Parseval's theorem），这个定理表明能量谱密度曲线下的面积等于信号幅度平方下的面积，总的能量是：：上面的定理在离散情况下也是成立的。
随机信号的功率谱密度
1 RX (τ ) = 2π
∫
∞
−∞
S X (ω )e jωτ d ω
功率谱密度性质
1.非负 非负 2.实函数 实函数 3.实随机过程， 3.实随机过程，偶函数 实随机过程 4.可积 可积
S X (ω ) ≥ 0
S X (ω )＝S X (－ω )
∫
∞
−∞
S X (ω )dω < ∞
互谱密度性质
0 < P平均 < ∞
功率谱
S X (ω ) = lim
1 2 E[ X T (ω ) ] T →∞ 2T
功率谱函数的关系、 与自相关函数的关系、推导
互谱密度
定义
S XY ω）＝ lim （ 1 * E X X (T , ω ) X Y (T , ω ) T →∞ 2T
性质
与互相关函数的关系
功率谱估值
周期图法
又
N 1 lim 平稳随机序列与自相关函数关系为 S（ω）= N →∞ E{ ∑N X (n)e− jwn } X 2 N + 1 n =− 2
S（ω）= ∑ R X (n)e − jwn X
n =− N
N
当 X (n) 为各态历经序列时，可去掉上式 为各态历经序列时， 中的统计均值的计算 1 2 ˆ S X (ω ) = X N (ω ) N
1.对称性 对称性
* * S XY (ω ) = SYX ( −ω ) = SYX (ω ) = S XY (−ω )
2.奇偶性 Re[ S XY (ω )] = Re[ SYX (−ω )] = Re[ SYX (ω )] = Re[ S XY (−ω )] 奇偶性 Im[ S XY (ω )] = Im[ SYX (−ω )] = − Im[ SYX (ω )] = − Im[ S XY (−ω )] 3.正交，互谱密度为零 正交， 正交 4.不相关，且 mX , mY ≠ 0 则有 S XY (ω ) = SYX (ω ) = 2π mX mY δ (ω ) 不相关， 不相关 5. S XY (ω ) ≤ S X (ω ) SY (ω )
随机信号的功率谱密度
密度函数。记为Gf(,)。
精品PPT
Gf
(,
)
lim
T
1 2T
FT (, ) 2
对所有的（实验结果）取统计平均得：
Gf
()
E[G
f
(,
)]
E[ lim T
1 2T
FT (, ) 2 ]
lim
T
1 2T
E[
FT
(, )
2]
W
E[W
]
lim
T
1 2T
T
E[
T
f
(t, )
2 ]dt
lim
1
T t T
RX
T t T
(t , t
)dte j d
lim
T
1 2T
T
RX
T
(t , t
)dt e
j d
精品PPT
RX
( )
lim
T
1 2T
T
dt
GX () RX ( )e j d
设X(t)为平稳过程,则时间平均自相关函数等于集 合平均自相关函数,即:
量，对于有限N，有：
Gˆ X ()
1 N
X N () 2
式中，XN()是 xN (0 n N 1) 的N点DFT。
精品PPT
2、Blackman-Tukey(BT法)
由维纳—辛钦定理的离散形式：
GX () RX (k)e jkTs
k
对有限个数据，谱估值为：
N
Gˆ X () Rˆ X (k)e jkTs
k N
精品PPT
二、经典谱估值的改进
1、平均法：
2、平滑法：
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解:（1）X(t)是平稳过程，且相关函数为 RX
故X(t)的平均功率为
Q
2
Rx (0)
a2 2
(
)
1 2
a2
cos
（2）因为 X 2 (t) E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 ( t )]
E[ a2
2
a2 2
cos(2
t
2)]
a2 2
a2 2
2
cos(2
t
2 )2d源自a2a214.4(1)随机过程的功率谱密度
一．确定信号谱分析法 二．随机过程谱分析法 三. 谱密度性质
一．确定信号谱分析法
1.设x(t)(-<t<+)是非周期的实函数，且
x
2
(t
)dt
，由傅里叶变换理论：
(1)若x(t)绝对可积，即
| x(t) | dt
(2)满足狄里克莱条件，则x(t)的傅里叶变换存在
T 2T T
T 2T T
lim 1 T 2
E
1 2T
|
FT
(
,
)
|2
d
1
2
lim
T
1 2T
E
|
FT (, ) |2
d
记 lim T
1 2T
E
|
FT
(, ) |2
S X ()
称为随机过程X(t)的功率谱密度
Q lim 1 T 2T
T
T
X
2
(t)dt
1
2
S X ()d
里叶变换条件，在工程技术中通常研究x(t)在(-<t<+)上的
平均功率，即
lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
及其谱表示。
二．随机过程的平均功率与功率谱密度
下面讨论的是随机过程{X(t), -∞< t < +∞} 的频谱分析。
设X(t)是均方连续随机过程，指频率, {}。
作截尾随机过程
Q lim 1 T 2T
T E[X 2 (t)]dt lim 1
T
T 2T
T
T RX (0)dt
RX (0)
2 X
Q 1
2
S X ()d
Sx ()
lim
T
1 2T
E[| FT (, ) |2 ]
由此可见，平稳过程X(t)的平均功率等于该过程的均方值 Ψx2或等于它的谱密度Sx(ω)在频率上的积分。
下节介绍维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式
上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式
注：X(t)功率谱密度，简称(自)谱密度。
它是从频率角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征。 特别的，若X(t)为平稳过程，有
当X(t)是均方连续的平稳过程时，由于 X 2 (t) E[X2(t)]=Rx(0)＝ X 2 , 利用均方积分的性质有
(1)若
x
2
(t )dt
，在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式
x 2 (t)dt 1
|
F ( ) |2
d
2
右边的被积函数|F(ω)|2 相应地称为能谱密度，
巴塞瓦尔等式可看作总能量的谱表示式。
（2）上面假定
x 2 (t )dt
即x(t)的总能量有限，在实际
问题中，大多数函数的总能量都是无限的，因而不能满足傅
T
T 4T
|
FT (, )
|2
d
记 lim 1 T X 2 (t, )dt Q( ) 称为样本函数的平均功率 T 2T T
因为X(t)是随机过程，于是有 随机过程的平均功率
记Q E[Q( )] E[ lim 1 T X 2 (t, )dt] lim 1 T E(X 2 (t, ))dt
sin(2
t)
0
2
故X(t)为非平稳过程，X(t)的平均功率为
Q lim 1 T 2T
T E[ X 2 (t)]dt
T
lim 1 T 2T
T [ a 2 a 2 sin2 t]dt a 2
T 2
2
三. 谱密度性质
性质1. Sx()是的实的、非负的偶函数； (利用FT () FT ())
性质2. 平稳过程的功率谱密度可积， 即
证：
1
2
SX
()d
E[ X (t)2 ]
S X ()d
因为平稳过程是二阶矩过程，
S X
()d
对于平稳过程的统计描述，从时域上是对相关函数Rx()进 行讨论，而频域上是对谱密度进行讨论。Rx()和Sx()都 X(t)的特征，它们之间必定存在某种关系:
F () x(t)eitdt
称F()为X(t)的频谱。
,且在x(t)的连续点处 x(t) 1 F ()ei td
2
x(t)称为F()的傅里叶反变换。
其中F()一般为复值函数，有 F () x(t)eitdt F ()
称|F()|为X(t)的振幅频谱。
2.我们关心能量问题， X (t)能量与 x2 (t)dt成正比。
X
T
(t,
)
X 0
(t,
)
|
t
|t |
| T
T
因XT(t)均方可积，故存在傅氏变换
FT (, )
XT
(t,
)ei
t dt
T X (t, )ei t dt
T
由巴塞瓦尔等式有
X
T
2
(t
,
)dt
T X 2 (t, )dt 1
T
2
|
FT
(, )
|2
d
1
lim T 2T
T X 2 (t, )dt lim 1
上式为平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式。
Sx(ω)的物理意义：表示X(t)的平均功率关于频率的分布。
例:设有随机过程X(t)=acos(t+), a, 为常数，在下列 情况下，求X(t)的平均功率:
（1）Θ是在(0, 2)上服从均匀分布的随机变量。 （2）Θ是在(0, /2)上服从均匀分布的随机变量。