14.4.1随机过程的功率谱密度

里叶变换条件，在工程技术中通常研究x(t)在(-<t<+)上的
平均功率，即
lim 1 T x 2 (t)dt
T 2T T
及其谱表示。
二．随机过程的平均功率与功率谱密度
下面讨论的是随机过程{X(t), -∞< t < +∞} 的频谱分析。
设X(t)是均方连续随机过程，指频率, {}。
作截尾随机过程
Q lim 1 T 2T
T E[X 2 (t)]dt lim 1
T
T 2T
T
T RX (0)dt
RX (0)
2 X
Q 1
2
S X ()d
Sx ()
lim
T
1 2T
E[| FT (, ) |2 ]
由此可见，平稳过程X(t)的平均功率等于该过程的均方值 Ψx2或等于它的谱密度Sx(ω)在频率上的积分。
T
T 4T
|
FT (, )
|2
d
记 lim 1 T X 2 (t, )dt Q( ) 称为样本函数的平均功率 T 2T T
因为X(t)是随机过程，于是有 随机过程的平均功率
记Q E[Q( )] E[ lim 1 T X 2 (t, )dt] lim 1 T E(X 2 (t, ))dt
上式就是随机过程X(t)的平均功率和功率谱密度关系的表示式
注：X(t)功率谱密度，简称(自)谱密度。
它是从频率角度描述X(t)的统计规律的最主要的数字特征。 特别的，若X(t)为平稳过程，有
当X(t)是均方连续的平稳过程时，由于 X 2 (t) E[X2(t)]=Rx(0)＝ X 2 , 利用均方积分的性质有
14.4(1)随机过程的功率谱密度
一．确定信号谱分析法 二．随机过程谱分析法 三. 谱密度性质
一．确定信号谱分析法
1.设x(t)(-<t<+)是非周期的实函数，且
x
2
(t
)dt
，由傅里叶变换理论：
(1)若x(t)绝对可积，即
| x(t) | dt
(2)满足狄里克莱条件，则x(t)的傅里叶变换存在
X
T
(t,
)
X 0
(t,
)
|
t
|t |
| T
T
因XT(t)均方可积，故存在傅氏变换
FT (, )
XT
(t,
)ei
t dt
T X (t, )ei t dt
T
由巴塞瓦尔等式有
X
T
2
(t
,
)dt
T X 2 (t, )dt 1
T
2
|
FT
(, )
|2
d
1
lim T 2T
T X 2 (t, )dt lim 1
性质2. 平稳过程的功率谱密度可积， 即
证：
1
2
SX
()d
E[ X (t)2 ]
S X ()d
因为平稳过程是二阶矩过程，
S X
()d
对于平稳过程的统计描述，从时域上是对相关函数Rx()进 行讨论，而频域上是对谱密度进行讨论。Rx()和Sx()都 X(t)的特征，它们之间必定存在某种关系:
上式为平稳过程X(t)的平均功率的频谱展开式。
Sx(ω)的物理意义：表示X(t)的平均功率关于频率的分布。
例:设有随机过程X(t)=acos(t+), a, 为常数，在下列 情况下，求X(t)的平均功率:
（1）Θ是在(0, 2)上服从均匀分布的随机变量。 （2）Θ是在(0, /2)上服从均匀分布的随机变量。
下节介绍维纳-辛钦(Wiener-Khintchine)公式
解:（1）X(t)是平稳过程，且相关函数为 RX
故X(t)的平均功率为
Q
2
Rx (0)
a2 2
(
)
1 2
a2
cos
（2）因为 X 2 (t) E[ X 2 (t)] E[a2 cos2 ( t )]
E[ a2
2
a2 2
cos(2
t
2)]
a2 2
a2 2
2
cos(2
t
2 )
2
d
a2
a2
F () x(t)eitdt
称F()为X(t)的频谱。
,且在x(t)的连续点处 x(t) 1 F ()ei td
2
x(t)称为F()的傅里叶反变换。
其中F()一般为复值函数，有 F () x(t)eitdt F ()
称|F()|为X(t)的振幅频谱。
2.我们关心能量问题， X (t)能量与 x2 (t)dt成正比。
sin(2
t)
0
2
故X(t)为非平稳过程，X(t)的平均功率为
Q lim 1 T 2T
T E[ X 2 (t)]dt
T
lim 1 T 2T
T [ a 2 a 2 sin2 t]dt a 2
T 2
2
三. 谱密度性质
性质1. Sx()是的实的、非负的偶函数； (利用FT () FT ())
T 2T T
T 2T T
lim 1 T 2
E
Fra Baidu bibliotek
1 2T
|
FT
(
,
)
|2
d
1
2
lim
T
1 2T
E
|
FT (, ) |2
d
记 lim T
1 2T
E
|
FT
(, ) |2
S X ()
称为随机过程X(t)的功率谱密度
Q lim 1 T 2T
T
T
X
2
(t)dt
1
2
S X ()d
(1)若
x
2
(t )dt
，在x(t)和F()之间有巴塞瓦尔等式
x 2 (t)dt 1
|
F ( ) |2
d
2
右边的被积函数|F(ω)|2 相应地称为能谱密度，
巴塞瓦尔等式可看作总能量的谱表示式。
（2）上面假定
x 2 (t )dt
即x(t)的总能量有限，在实际
问题中，大多数函数的总能量都是无限的，因而不能满足傅