一元二次方程和抛物线教程文件
一元二次方程课件ppt
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
• 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
根公式，得出方程的根 x b b2 4ac 2a
注意:
• ①当时 b24ac0，方程无解；
• ②公式法是解一元二次方程的万能方法；
• ③利用
的值，可以不解方程
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
抛物线与一元二次方程
抛物线与一元二次方程【教学目标】：1．复习巩固用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解。
2．让学生体验函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 的交点的横坐标是方程x 2＝bx ＋c 的解的探索过程，掌握用函数y ＝x 2和y ＝bx ＋c 图象交点的方法求方程ax 2＝bx ＋c 的解。
3．提高学生综合解题能力，渗透数形结合思想。
【重点难点】：重点；用函数图象法求方程的解以及提高学生综合解题能力是教学的重点。
难点：提高学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点。
【教学过程】：一、复习巩固1．如何运用函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象求方程ax 2＋bx ＋c 的解? 2．完成以下两道题：(1)画出函数y ＝x 2＋x －1的图象，求方程x 2＋x －1＝0的解。
(精确到0.1) (2)画出函数y ＝2x 2－3x －2的图象，求方程2x 2－3x －2＝0的解。
教学要点1．学生练习的同时，教师巡视指导， 2．教师根据学生情况进行讲评。
解：(1)列表：x … －3 －2 －1 －120 1 2 … y … 5 1 －1 －54－1 1 5 …画出的图象如图(1)所示：函数y ＝x 2＋x －1的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－1.7和x 2＝0.7，所以一元二次方程x 2＋x －1＝0的解是x 1＝－1.7和x 2＝0.7。
解：(2)列表；x … －32 －12 12 34 1 2 3 … y…7－3－258－37…画出的图象如图(2)所示。
函数y ＝2x 2－3x －2的图象与x 轴交点的横坐标分别是x 1＝－12和x 2＝2，所以一元二次方程的解是x 1＝－12和x 2＝2。
二、探索问题问题1：(P23问题4)育才中学初三(3)班学生在上节课的作业中出现了争论：求方程x 2＝12x 十3的解时，几乎所有学生都是将方程化为x 2－12x －3＝0，画出函数y ＝x 2－12x －3的图象，观察它与x 轴的交点，得出方程的解。
专题(二) 一元二次方程的解法课件(人教版)
7. 2x－2＝2x2. 解：原方程无实数根
四、用因式分解法解方程
此解法合适于右边为0，左边能进行因式分解的一元二次方程 8．(x－1)2－2(x－1)＝0.
解：x1＝3，x2＝1 9．(x＋2)2－10(x＋2)＋25＝0.
解：x1＝x2＝3
五、用适当的方法解方程 解一元二次方程时，先视察方程的特征，然后选择适当的方法求 解 10．2(x－3)2＝x2－9.
九年级上册人教版数学 专题(二) 一元二次方程的解法
一、用直接开平方法解方程 一元二次方程若能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，适 合用此方法求解 1．(4x－1)2＝225.
解：x1＝4，x2＝－72 .13(x－2)2＝8.
解：x1＝2＋2 6，x2＝2－2 6
3．(2x＋1)2＝(x－1)2. 解：x1＝－2，x2＝0
二、用配方法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，配方的关键是方程二次项系 数化为 1 后，方程两边同时加上一次项系数一半的平方 4．2t2－3t＝－1.
解：t1＝1，t2＝12
5．(2x－1)2＝x(3x＋2)－7. 解：x1＝4，x2＝2
三、用公式法解方程 此解法适合所有的一元二次方程，关键是找准 a，b，c 的值及 熟记求根公式 6．x2＝6x＋1.
解：x1＝3，x2＝9
11．(2x＋1)(4x－2)＝(2x－1)2＋2.
解：x1＝－1＋2 6，x2＝－1－2 6
12．(x＋1)(x－1)＋2(x＋3)＝8. 解：x1＝1，x2＝－3
解一元二次方程的步骤与技巧教案
解一元二次方程的步骤与技巧教案一、引言在数学学习中，解一元二次方程是较为基础和重要的一部分内容。
掌握解一元二次方程的步骤和技巧，能够帮助学生提高数学解题的能力，也为学生今后的学习打下坚实的数学基础。
因此，本文将介绍关于解一元二次方程的步骤与技巧教案。
二、解一元二次方程的步骤解一元二次方程的步骤分为以下四步：1、化式：将方程化为标准形式：ax²+bx+c=0，即将含x²的项放在方程的左边，常数项放在方程的右边。
这样化式才能使求解过程简单明了，避免出现冗余的计算。
2、移项：将方程中的常数项c移到等式左边，变成ax²+bx=-c的形式。
3、配方：将ax²+bx的项配方，即将b项平方后并加上一个数k，使得ax²+bk×x+k²= ax²+bx+k²-bk，这样可以将方程化为(a×x+bk)²=k²-bk。
4、解方程：根据一元二次方程的定义：ax²+bx+c=0，得到x的求解公式：x= （-b± √（b²-4ac））/ 2a。
综上，解一元二次方程的四个步骤分别为：化式、移项、配方和解方程。
三、解一元二次方程的技巧解一元二次方程的技巧，主要有以下三个：1、观察法：通过观察常数项的符号和系数的大小，大概推测出x 的取值范围和解的个数，从而缩小运算的范围。
例如：y＝x²＋2x+1，由于常数项为1，系数也都是正数，因此方程的解非常显然是x＝-1，省去繁琐计算。
2、配方法：当二次项系数和常数项都是1的时候，方程可以直接用“配方法”解决。
例如：x²+2x+1=0，左侧两项配方，得到(x+1)²=0，即x=-1。
3、换元法：当二次项系数或常数项存在较大的整数时，可以采用“换元法”，即将x²+bx+c改为（x+p）²+q的形式进行求解，其中p 和q通过系数b、c推算。
解一元二次方程(因式分解法)(课件)九年级数学上册(人教版)
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
设物体经过x秒落回地面，即10x-4.9x2=0 ①
探究新知
10x-4.9x2=0 ①
x(10-4.9x)=0
∴x=0或10-4.9x=0 ②
∴方程①的根是x1=0或x2≈2.04
可以发现解方程10x-4.9x2=0时，不是用开平方降次
，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的
形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。这种
解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
想，从而培养学生主动探究的精神与积极参与的意识。
复习提问
一.我们已经学过了哪些解一元二次方程的方法?
直接开平方法
配方法
公式法
x2=a (a≥0)
(x+m)2=n (n≥0)
− ± −
=
− ≥ .
复习提问
二.什么叫因式分解？因式分解的方法有哪些？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解
【提问】观察方程①结构，能否找到更简单的方法求解方程① ？
10x4.9x2=0
因式分解
x(10-4.9x)=0
探究新知
根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物
体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x-4.9x2 。根据上述规律，物体经过多少
秒落回地面(结果保留小数点后两位)?
解一元二次方程抛物线的最好方法
解一元二次方程是数学中非常基础的问题，但是很多学生在学习中可能会遇到困难。
下面我们就来详细讨论一下解一元二次方程抛物线的最好方法。
一、理解一元二次方程的基本概念1.1 了解一元二次方程的定义一元二次方程是指形式为ax^2 + bx + c = 0的方程，其中a、b、c为已知的实数，且a不等于0，x为未知数。
1.2 熟悉一元二次方程的性质一元二次方程对应的抛物线可以分为开口向上和开口向下两种情况，这与方程中a的正负有关。
在解题过程中，需要对抛物线的性质有清晰的认识。
二、掌握一元二次方程解题的一般步骤2.1 根据一元二次方程的系数求出判别式判别式Δ = b^2 - 4ac，根据Δ的正负和大小可以判断方程的根的情况。
2.2 计算一元二次方程的根当Δ大于0时，方程有两个不相等的实根；Δ等于0时，方程有两个相等的实根；Δ小于0时，方程无实根。
2.3 根据抛物线性质验证解的合理性通过计算根的值并代入原方程验证，确保解的合理性。
三、应用一元二次方程解题的常见技巧3.1 完全平方公式当一元二次方程形式为ax^2 + bx + c = a(x + m)^2 + n时，可以利用完全平方公式转化方程为一元二次方程的标准形式解题。
3.2 合并同类项当方程中存在多个含有x的项时，可以利用合并同类项简化计算过程，更清晰地解题。
四、举例说明一元二次方程解题的过程4.1 例题1：解方程x^2 + 3x + 2 = 0根据一元二次方程的系数，求出判别式Δ = 3^2 - 4*1*2 = 1。
因为Δ大于0，所以方程有两个不相等的实根。
通过求根公式计算得出x1 = -1，x2 = -2，再把这两个根代入原方程验证，确定解的合理性。
4.2 例题2：解方程2x^2 - 4x + 2 = 0利用合并同类项化简方程为x^2 - 2x + 1 = 0，再根据完全平方公式得出(x - 1)^2 = 0，进而求得x = 1，因此方程有一个重根x = 1。
抛物线与图形及一元二次方程
抛物线与图形及一元二次方程1．如图，直角坐标系中抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A （-1，0）、B （3，0），与y 轴交于点C ，P 为x 轴下方抛物线上一点（不与点C 重合）． （1）求抛物线的解析式．（2）以y 轴为对称轴，折叠△OCP ，设点P 的对应点为Q ，当以O 、Q 、C 、P 为顶点的四边形是菱形时，求点P 的坐标． （3）求四边形OCPB 面积的最大值．解：（1）把A （-1，0）、B （3，0）代入，得10,930.b c b c -+=⎧⎨++=⎩解得2,3.b c =-⎧⎨=-⎩ ∴223y x x =--．（2）由题意，得23232x x --=-．解得121011.x x =+=- ∴点P的坐标为33(1),(1).22-- （3）233(23)22s x x x =-+++，2399222s x x =-++，当32x =，638s =最大值．O A B Cy P·2．有一座抛物线形拱桥，桥的跨度AB=24米，桥面的最大高度OC =4米．将它的图形 放入如图所示的平面直角坐标系中． （1）求抛物线的解析式．（2）现计划在桥面上铺台阶，台阶的高度均为0.16米，请计算从底部开始向上数的第163.162=，结果精确到0.01米）．解：（1）设24y ax =+，把（12，0）代入136a =-，得21436y x =-+． （2）当2150.16 2.44 2.4,y x x =⨯=+==±1时,-36 由于图象在第一象限，∴ 2.4 3.1627.5888x ≈⨯=． 当2160.16 2.564 2.56,7.2y x x =⨯=+==±1时,-36， 由于图象在第一象限，∴x=7.2．则宽度为7.5888-7.2=0.3888≈0.39（米）．2443．如图，矩形OABC 的顶点A 、C 的坐标分别为（0，1）、（-2，0），将矩形OABC 绕原点O 顺时针旋转90°，到矩形ODEF 的位置，抛物线223y x bx c =-++经过B 、E 两点．（1）求b 、c 的值．（2）若将矩形OABC 向上平移，并且使此抛物线平分线段AB ，求平移的距离．（3）若将矩形ODEF 向右平移，并且使此抛物线三等分线段DE ，求平移的最小距离．解：（1）由题意得2421,321 2.3b c b c ⎧-⨯-+=⎪⎪⎨⎪-⨯++=⎪⎩ 解得1,33.b c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即1,33b c =-=． （2）把x=-1代入22183,333y x x y =--+=得，85133-=，∴平移距离为53．（3）把y=43代入2213,5033y x x x =--++-=2得2x ，解得121x x ===舍，．O A B C D E Fx y4．如图，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且A （-1，0）、B （4，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标．（2）设抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点M 是x 轴上的一个动点，当AEMABCS S=时，求M 的坐标．（抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为（24,24b ac b a a--）） 解：（1）把A （-1，0）、B （4，0）代入212y x bx c =++得 221(1)(1)0,21440.2b c b c ⎧⨯-+⨯-+=⎪⎪⎨⎪⨯++=⎪⎩解得3,22.b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴抛物线的解析式为213222y x x =--． 213222y x x =--=21325()228x --，∴顶点D 的坐标为（325,28-）．（2）当x=0时，y=-2，∴OC=2．∵OA=1，OB=4，∴AB=5．由题意得2134222x x =--，解得12x x ==∴1233((22M M ．O A B CDEx4．有一座抛物线形拱桥，桥的跨度AB=24米，桥面的最大高度OC =4米．将它的图形 放入如图所示的平面直角坐标系中． （1）求抛物线的解析式．（2）现计划在桥面上铺台阶，台阶的高度均为0.16米，请计算从底部开始向上数的第163.162=，结果精确到0.01米）．解：（1）设24y ax =+，把（12，0）代入136a =-，得21436y x =-+． （2）当2150.16 2.44 2.4,y x x =⨯=+==±1时,-36 由于图象在第一象限，∴ 2.4 3.1627.5888x ≈⨯=． 当2160.16 2.564 2.56,7.2y x x =⨯=+==±1时,-36， 由于图象在第一象限，∴x=7.2．则宽度为7.5888-7.2=0.3888≈0.39（米）．244。
九年级数学一元二次方程的解法课件
三、一元二次方程的实例分析
实例1
通过详细的实例，演示一元二次 方程的解法和思考过程。
实例2
继续探索一元二次方程的实际问 题，并解决具体情境中的方程。
实例3
尝试更复杂和具有挑战性的一元 二次方程实例，提高解题能力。
四、一元二次方程习题解析
1 同步练习题
解答一些与课堂内容相关的练习题，巩固所学的一元二次方程解法。
2 模拟试题分析
通过详细的试题分析，了解如何应用所学的解题技巧解决实际问题。
五、注意事项及解题技巧
注意事项
了解解决一元二次方程时需要注意的常见错误和特殊情况。
解题技巧
掌握一些解题技巧，使解决一元二次方程更加高效和准确。
六、总结
本节课的收获总结
总结本节课学到的知识和技巧，强化对一元二次方程的理解。
九年级数学一元二次方程 的解法课件
欢迎来到九年级数学一元二次方程的解法课件。在这个课件中，我们将深入 探讨一元二次方程的定义、基本形式以及不同的求解方法。请跟随我们的步 骤进行学习，掌握解决一元二次方程的技巧和策略。
一、一元二次方程的定义及基本形式
什么是一元二次方程
了解一元二次方程的概念和特征，它在数学中的作用和应用。
一元二次方程的基本形式
掌握一元二次方程的标准形式，了解方程中各项的含义和关系。
二、一元二次方程的求解方法
1
直接代入求解法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
学习使用代入法解决一元二次方程，掌握求解步骤和技巧。
2
因式分解法
了解使用因式分解法解决一元二次方程，找到方程的根和因数。
3
公式法
掌握使用一元二次方程公式求解的方法，简化解题过程。
下一步的学习计划
人教版九年级上册数学《配方法》一元二次方程PPT教学课件
将常数项移到右边，含未 2 2 －3=－1
知数的项移到左边
一移
移项
二化
二次项系数 左、右两边同时除以二次 2 － =
化为1
项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次
项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开
平方
四开
开平方
五解
解两个一元 移项，合并
一次方程
2
3 1
即 x
4 16
★ 用配方法解方程
探究交流
怎样解方程x2+6x+4=0？
1.把方程变成（x+n)2=
x2+6x+4=0
移项
二次项系数为1的完全平方式：
x2+6x=-4
常数项等于一次项系数一半的平方.
两边都加上9
x2+6x+9=-4+9
配方
(x+3)2=5
2.用直接开平方法解方程(x+3)2=5
(x+3)2=5
开方
x x
1
2
例1 利用直接开平方法解下列方程:
(1) x2=25；
（1） x2=25，
解：
直接开平方，得 x 5,
x1 5 ，x2 5.
(2) x2－900=0.
（2）移项，得 x2=900.
直接开平方，得 x=±30，
∴x1=30, x2=－30.
★ 用直接开平方法解方程
对照例1中解方程的方法，你认为怎样解方程（x+2）2=25？
解：x2+2x-3=0，
(x+1)2=4.
x1=-3,x2=1.
5.如图，在R
《解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(公式法)
配方,得
即
x2
b
c
x .
a
a
2
2
b
c b
b
x2 x ,
a
a 2a
2a
b b 2 4ac
.
x
2
2a
4a
2
②
b b 2 4ac
对于 x
. ②
2
2a
4a
2
因为a≠0,
由②式得
∴ 原方程无实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式;
2.确定系数:确定a,b,c的值（注意符号）;
3.计算: 求出b2-4ac的值;
4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
★ 根的判别式
b b 2 4ac
3 x 2 6 x 5 0;
（1）
（2）
4 x 2 -x-9 0.
2、用配方法解方程的一般步骤有哪些？
一般步骤
方法
一移
移项
将常数项移到右边，含未知数的项移到左边
二化
二次项系数化为1
左、右两边同时除以二次项系数
三配
配方
左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
四开
开平方
利用平方根的意义直接开平方
＝
−1 ± 1.96 −1 ± 1.4
＝
，
2 × 0.3
0.6
2
∴ 1＝ ，2＝ − 4.
3
(2)6x2－11x＋4＝2x－2；
一元二次方程的解法ppt课件
是
公式法推导过程
这叫做一元二次方程的求根公式，解一元二次方程时，
2
把各项系数的值直接代入这个公式，若 -4ac≥0就可以
求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
尝试与交流
2
2
在一元二次方程 +bx＋c=0(a≠0)中，如果 -4ac<0那
解:原方程可变形为(2x-1+x)(2x-1-x)=0
即(3x-1)(x-1)=0
3x-1=0或x-1=0
所以x1=
，x
2=1
观察与思考
2=4(x+2)
(x＋2)
解方程
小丽、小明的解法如下：
小丽、小明的解法，哪个正确?
因式分解法练习
1.用因式分解法解下列方程
①x2－3x=0
② 3x2= x
③2（ x－1 ） ＋ x （ x－1 ） =0
叫做因式分解法
例题8
解下列方程
① = −
② + − + =
原方程可变形为x2+4x=0
原方程可变形为
x(x+4)=0
(x+3)(1-x)=0
x=0或x+4=0
x+3=0或1-x=0.
所以x1=0，x2=-4
所以x1=-3，x2=1
例题9
解方程
(2x-1)2－x2=0
的矩形割补成一个正方形
数学实验室
一个矩形通过割、拼、补，成为一个正方形的过程配方
的过程
数学实验室
数学实验室
数学实验室
数学实验室
人教版九年级数学上册课件：22.2二次函数与一元二次方程 (共12张PPT)
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的 抛物线与x轴只有一个公共点.
能力提升
挑战中考
12.（2016·江苏省宿迁）若二次函数y=ax2﹣2ax+c的图象
经过点（﹣1，0），则方程ax2﹣2ax+c=0的解为（ C ）
与y轴的交点坐标是_（__0_，__3_）____.
8.若二次函数y=mx2-2x+1的图像与x轴只有一个交点，则 m=____1_____.
9.画出抛物线y=x2-3x-4的图像，根据图像回答： （1）方程x2-3x-4=0的解是什么？ （2）不等式x2-3x-4>0的解是什么？ （3）不等式x2-3x-4<0的解是什么？
的对称轴是直线___X_=_-_1___.
类比精练
1.二次函数
的图象与x轴有两个交点，其中
一个交点坐标为（-1，0）则一元二次方程
的
解为__X__1_=_-1_，__X_2_=_3___.
课堂精讲
知识点2.运用一元二次方程根的判别式处理二次函数图
象与"轴的交点问题
例2．若二次函数
的图象与x轴有交点，则k
6.如果关于x的二次函数y=x2﹣2x+k与x轴只有1个交点， 则k= 1 ．
7.若抛物线
则
= 10 ．
经过点(－1，10)，
课前小测
8.二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，则函数值y<0时 x的取值范围是 - 1＜x元二次方程的关系
例1．方程
的两根为-3和1，那么抛物线
能力提升
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，则下列说法： ① a>0；②2a+b=0； ③a+b+c=0； ④当-1<x<3时，y>0. 其中正确的个数为（ B ）
人教九年级数学上21.2一元二次方程的解法(4种解法全共84张ppt)
这时,我们常用χ1、χ2来表示未知数为χ的一元 二次方程的两个根。 ∴ 方程 χ2=4的两个根为 χ1=2，χ2=－2.
利用平方根的定义直接开平方求一元二 次方程的解的方法叫直接开平方法。
例1、解下列方程 （1）x2-1.21=0
（2）4x2-1=0
解：（1）移项，得x2=1.21 ∵x是1.21的平方根 ∴x=±1.1 即 x1=1.1，x2=-1.1 （2）移项，得4x2=1 1 两边都除以4，得 x2= 1 4 ∵x是 4 的平方根 ∴x=
若x2=a，则x=
2 4 ±3 ， 的平方根是______ 如：9的平方根是______ 5
a 即x= a 或x= a
4.平方根有哪些性质？ (1)一个正数有两个平方根，这两个平方根 互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根.
25
如何解方程：（1）x2=4，（2）x2-2=0呢?
7 5 ∴x1= ，x2= 4 4
将方程化成
(mx n) p
2
(p≥0）的形式, 再求解
1、小试身手 :
判断下列一元二次方程能否用直接开平方法求解并 说明理由.
1） x2=2
( √ )
2） p2 - 49=0
3） 6 x2=3 4) （5x+9）2+16=0 5) 121-(y+3) 2 =0
21.2解一元二次方程
21.2.1 直接开平方法
1、一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数 （一元），并且未知数的最高次数是2 （二次）的方程，叫做一元二次方程.
2、一元二次方程的一般形式
ax bx c 0 （a 0)
2
3.什么叫做平方根? 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫 做a的平方根.
人教版九年级上册二十一章《一元二次方程》21.2.2解一元二次方程(配方法)(共16张PPT)
x1 2 3, x2 2 3
(x 3)2 25
左边降次
右边开方
（mxn）2 p(P 0)
x 3 5 得到两个一元一次方程
x 3 5, x+3=-5
填一填（根据 a2 2ab b2 (a b)2 ）
二次项系数都为1
(1)
x
2
10x
2• x•5
_5_2_
(x
_5_)2
•
12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。04:23:1604:23:1604:23Friday, September 10, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.9.1021.9.1004:23:1604:23:16September 10, 2021
一元二次方程的解法（二）
配方法
（１）方程 3x2 1 5 的根是
x1 2,x2 2
（２）方程 4(x 1)2 9 0 的根是
5
1
x1 2 , x2 2
x2 p( p 0) 直接开平方法 (mx n)2 p
左边降次，
x p 右边开平方
mx n p
注意：当p<0时，方程没有实数根。
•
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。04:23:1604:23:1604:239/10/2021 4:23:16 AM
•
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.1004:23:1604:23Sep-2110-Sep-21
一元二次方程的解法(公式法)课件九年数学上册
解：移项，得：2t2-t-6=0
∵a=2，b=-1，c=-6
∴b2-4ac=(-1)2-4×2×(-6)=49＞0
− − ±
∴x=
×
=±
∴x1= + ，x2= −
− − ±
∴t=
×
=
∴t1=，t2= −
² −
+
=±
²
求解：解一元一次方程;
− + ² −
− + ² −
=
； =
； 定解：写出原方程的解.
∴ =
−± ²−
（² −
≥ ）
为什么要b2－4ac≥0？
知识要点
用公式法解一元二次方程
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的系数a，b，c确定，当
典例精析
例1 用公式法解下列方程：
（1）x2 - x –2 = 0.
解： ∵ a =1 ， b =-1 ， c = -2.
∴ b2 - 4ac = (-1 )2 - 4×1×（-2 ）=9>0，
∴ x=
−± ²−
=
±
×
=
±
；
∴原方程的根为： x1 =2 ， x2 = -1.
第二章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法（公式法）
复习导入
用配方法解一元二次方程的步骤可概括为：
1.“化”，即若二次项系数不为1，则在方程两边同时除以二次项系数，
将方程的二次项系数化为1；
2.“配”，即在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个
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1、一元二次方程2
0ax bx c ++=（a ≠0） （1）当2
4b ac =-V >0时，x 有两个不相等的实数根，即
x= 2b a -± （2）当24b ac =-V =0时，x 只有一个实数根，即x= 2b a
-
（3）当24b ac =-V <0时，x 没有实数根。
推导过程如下：
2222222222212120
4440
4440
(2)40
(2)422,ax bx c a x abx ac a x abx b b ac ax b b ac ax b b ac
ax b b x a
b c x x x x a a
++=++=++-+=+-+=+=-+=-=+=-=
备注：推导过程只需了解一下，考试时可直接用，以上三点多用于判断该方程有几个根，一般考试时会告诉你abc 中的一个或两个，再告诉你有几个根，然后根据性质求出未知的那一个，更多地用于在抛物线中判断与x 轴的位置关系，详见第2大点。
2、20y ax bx c =++=（a ≠0）在直角坐标系中抛物线的一般表达方式，是由2y ax =（a ≠0）通过平移得到的，2
y ax =（a ≠0）是顶点为坐标系原点的抛物线。
a ≠0是因为当0
a =时，y 就不是抛物线了，而是一条直线。
20y ax bx c =++=（a ≠0）有以下几个特点是考试中常考到的，复习时需结合图形理解：
（1）抛物线顶点坐标：24(,)24b ac b a a -- ，因此，对称轴2b x a
=- ①0a >时，抛物线开口向上，y 有最小值，无最大值，y 先是随着x 的增大逐渐减小，当x 增大至2b a
-时，y 取最小值244ac b a -，而后又随着x 的增大y 逐渐增大。
（以对称轴为界先减后增）
②0a <时，抛物线开口向下，y 有最大值，无最小值，y 先是随着x 的增大逐渐增大，当x
增大至2b a
-时，y 取最大值244ac b a -，而后又随着x 的增大y 逐渐减小。
（以对称轴为界先增后减）
（2）开口大小根据a 的绝对值来判断，a 越大，开口越大，a 越小，开口也越小。
（3）抛物线与y 轴的交点为（0，c ）
（4）考试时还经常用到的是2
4b ac =-V 来判断抛物线与x 轴的位置关系：
①240b ac ->时，抛物线与x 轴有两个交点，且两交点关于对称轴对称，分别为
1x 和2x ，要分清楚哪个在对称轴左边，哪个在对称轴右边。
②240b ac -=时，抛物线与x 轴有且只有一个交点，该交点就是抛物线的顶点，交点坐标为(,0)2b a -
，该点毫无疑问在对称轴上。
③240b ac -<时，抛物线与x 轴没有交点。
（5）平移问题，经常考，掌握诀窍后不难，但一不小心很容易错。
假设原抛物线方程为20y ax bx c =++=（a ≠0），有以下两种平移方法：
① 横向平移：
向左平移k 时，用()x k +代替原来的x ，即2()()a x k b x k c ++++y=，（a ≠0）, 向右平移k 时，用()x k -代替原来的x ，即2()()a x k b x k c -+-+y=，（a ≠0）,
备注：如原抛物线方程以配方形式出现时，如：23(5)4y x =-+形式出现时，就更为方便，向左平移2就是[]23(2)54y x =+-+，同理，向右平移就是[]23(2)54y x =--+ ② 纵向平移：
向上平移m 时，在式子末尾直接加上m 即可，即：2ax bx c m +++y=，（a ≠0） 向下平移m 时，在式子末尾直接减去m 即可，即：2ax bx c m ++-y=，（a ≠0）
说明：以上所总结出来的规律在复习时要结合图形进行理解，更直观，便于消化，要熟练有关公式的推导过程，不可死记硬背，得理解才能活学活用，万一在考试时忘记某个公式，可现场进行推导。