实数经典例题与习题
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经典例题类型一.有关概念的识别
1.下面几个数:0.23,1.010010001…,,3π,,,其中,无理数的个数有()
A、1
B、2
C、3
D、4
解析:本题主要考察对无理数概念的理解和应用,其中,1.010010001…,3π,是无理数故选C
举一反三:
【变式1】下列说法中正确的是()
A、的平方根是±3
B、1的立方根是±1
C、=±1
D、是5的平方根的相反数
【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念,
∵=9,9的平方根是±3,∴A正确.
∵1的立方根是1,=1,是5的平方根,∴B、C、D都不正确.
【变式2】如图,以数轴的单位长线段为边做一个正方形,以数轴的原点为圆心,正方形对角线长为半径画弧,交数轴正半轴于点A,则点A表示的数是()
A、1
B、1.4
C、
D、
【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系.∵正方形的边长为1,对角线为,由圆的定义知|AO|=,∴A表示数为,故选C.
【变式3】
【答案】∵π= 3.1415…,∴9<3π<10 因此3π-9>0,3π-10<0
∴
类型二.计算类型题
2.设,则下列结论正确的是()
A. B.
C. D.
解析:(估算)因为,所以选B 举一反三:
【变式1】1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2)-27立方根是__________. 3)___________,___________,___________.
【答案】1);.2)-3. 3),,
【变式2】求下列各式中的
(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)x=4或x=-2(3)x=-4 类型三.数形结合
3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则A,B两点的距离为______
解析:在数轴上找到A、B两点,
举一反三:
【变式1】如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是().
A.-1 B.1- C.2- D.-2 【答案】选C
[变式2]已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
类型四.实数绝对值的应用
4.化简下列各式:
(1) |-1.4| (2) |π-3.142|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x≤3)
(5) |x2+6x+10|
分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定
义正确去掉绝对值。
解:(1) ∵=1.414…<1.4
∴|-1.4|=1.4-
(2) ∵π=3.14159…<3.142
∴|π-3.142|=3.142-π
(3) ∵<, ∴|-|=-
(4) ∵x≤3, ∴x-3≤0,
∴|x-|x-3||=|x-(3-x)|
=|2x-3| =
说明:这里对|2x-
3|的结果采取了分类讨论的方法,我们对这个绝对值的基本概念要有清楚的认识,并能灵活运用。
(5) |x2+6x+10|=|x2+6x+9+1|=|(x+3)2+1|
∵(x+3)2≥0, ∴(x+3)2+1>0 ∴|x2+6x+10|= x2+6x+10 举一反三:
【变式1】化简:
【答案】=+-=
类型五.实数非负性的应用
5.已知:=0,求实数a, b的值。
分析:已知等式左边分母不能为0,只能有>0,则要求a+7>0,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组从而求出a, b的值。
解:由题意得
由(2)得a2=49 ∴a=±7 由(3)得a>-7,∴a=-7不合题意舍去。
∴只取a=7
把a=7代入(1)得b=3a=21
∴a=7, b=21为所求。
举一反三:
【变式1】已知(x-6)2++|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。
解:∵(x-6)2++|y+2z|=0
且(x-6)2≥0, ≥0, |y+2z|≥0, 几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。
∴解这个方程组得
∴(x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65
【变式2】已知那么a+b-c的值为___________
【答案】初中阶段的三个非负数:,
a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2 类型六.实数应用题6.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的
面积之和的正方形,问边长应为多少cm。
解:设新正方形边长为xcm,
根据题意得x2=112+13×8 ∴x2=225
∴x=±15
∵边长为正,∴x=-15不合题意舍去,
∴只取x=15(cm)
答:新的正方形边长应取15cm。
类型七.易错题
7.判断下列说法是否正确(1)的算术平方根是-3;(2)的平方根是±15.
(3)当x=0或2时,(4)是分数解析:(1)错在对算术平方根的理解有误,算术平方根是非负数.故
(2)表示225的算术平方根,即=15.实际上,本题是求15的平方根,
故的平方根是.
(3)注意到,当x=0时,=,显然此式无意义,发生错误的原因是忽视了“负数没有平方根”,故x≠0,所以当x=2时,x=0.
(4)错在对实数的概念理解不清. 形如分数,但不是分数,它是无理数. 类型八.引申提高
8.(1)已知的整数部分为a,小数部分为b,求a2-b2的值.
(2)把下列无限循环小数化成分数:①②③
(1)分析:确定算术平方根的整数部分与小数部分,首先判断这个算术平方根在哪两个整数之间,那么较小的整数即为算术平方根的整数部分,算术平方根减去整数部分的差即为小数部分.
解:由得
的整数部分a=5, 的小数部分,∴
(2)解:(1) 设x=①
则②
②-①得