03-02 空间问题的四面体单元

第三章 轴对称、三维和高次单元

§3-2 空间问题的四面体单元

空间问题的有限单元法，和平面问题及轴对称问题的有限单元法的原理和分析过程完全相同。由于空间问题应采用三维坐标系，因此单元的自由度、刚度矩阵的元素个数，方程组内方程个数等要较平面问题和轴对称问题多，所以空间问题的规模一般比轴对称问题和平面问题大得多。它要求计算机的内存大，且计算时间长，费用高。这些问题都给三维有限单元法的具体运用带来许多困难。 和平面问题一样，空间有限单元法采用单元也是多种多样的，其中最简单的是四节点四面体单元。采用四面体单元和线性位移模式来处理空间问题，可以看作平面问题中三角形单元的推广。 在采用四面体单元离散化后的空间结构物中，一系列不相互重叠的四面体之间仅在节点处以空间铰相互连接。四节点四面体单元仅在四个顶点处取为节点，其编号为i,j,m,p 。每个单元的计算简图如图3-7所示。

在位移法中，取节点位移为基本未知量，四节点四面体单元共有十二个自由度(位移分量)，其节点位移列阵为

{}[

]

T

p

p p m m m j j

j i i i

p m j i e

w v u w v u w v u w v u =⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=δδδδδ

其子矩阵 {

}[]i i

i i w v u =δ (i,j,m)

相应的节点力列阵为

{}[]

T

p m j i

e F F F F F -

图3-7 空间四面体单元

其子矩阵 {}[]T

i i i i W V U F =

一、单元法位移函数

结构中各点的位移是坐标x 、y 、z 的函数。当单元足够小时，单元内各点的位移可用简单的线性多项式来近似描述，即

⎪⎭

⎪

⎬⎫

+++=+++=+++=z y x w z y x v z y x u 121110087654321αααααααααααα (3-49) 式中1α，2α，…，12α是十二个待定系数，它们可由单元的节点位移和坐标确定。假定节点i,j,m,p 的坐标分别为(i x i y i z )、(j x j y j z )、(m x m y m z )、 (p x p y p z )，将它们代入(3-49)式的第一式可得各个节点在x 方向的位移

⎪⎪⎭

⎪

⎪⎬⎫

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+++=+++=+++=p p p p m m m m j j j j i i i i z y x u z y x u z y x u z y x u 4321432143214321αααααααααααααααα (3-50)

解上述线性方程组，可得到1α，2α，3α，4α，再代入(3-50)式，得

]

)()()()[(61

p p p p p m m m m m j

j j j j i i i i i u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a u z d y c x b a V

u +++-+++++++-+++=

(3-51) 其中V 为四面体ijmp 的体积，a i ,b i ，…，c p ,d p 为系数。

p

p

p

m m m j j j i i i z y x z y x z y x z y x V 1111=

(3-52)

p p p

m m m

j j j

i z y x z y x z y x a = 111j j

i m m p p

y z b y z y z = p p m m j j i z x z x z x c 111= 1

11

p p

m m

j j

i y x y x y x d = (i,j,m,p) (3-53) 为了使四面体的体积V 不致为负值，单元四个节点的标号i,j,m,p 必须按照一定的顺序：

在右手坐标系中，要使得右手螺旋在按照i →j →m 的转向转动时，向p 的方向前进，象图3-1中单元那样。

用同样方法，可以得出其余二个位移分量：

]

)()()()[(61

p p p p p m m m m m j

j j j j i i i i i v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a v z d y c x b a V

v +++-+++++++-+++=

(3-54) ])()()()[(61

p p p p p m m m m m j

j j j j i i i i i w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a w z d y c x b a V

w +++-+++++++-+++=

(3-55) 综合表达式(3-51)、(3-54)及(3-55)，可以将位移分量表示成为

{}[]{}

[

]

{}

e

p m

j i

e

T

IN IN IN IN N w v u

f δδ===][ (3-56)

其中I 是三阶的单位矩阵，[N]为形函数矩阵，而各个形函数为

⎭

⎬⎫

+++-=+++=),(6/)(),(6/)(p j V

z d y c x b a N m i V z d y c x b a N i i i i j i i i i i (3-57) 和平面问题相似，(3-49)式中的系数1α，5α，6α代表刚性移动0u ，0v ，0w ；系数2α，7α，12α代表常量的正应变；其余6个系数反映了刚性转动x w ，y w ，z w 和常量剪应变。这就是说，12个系数充分反映了单元的刚体位移和常量应变。同时，可以证明：由于位移模式是线性的，两个相邻单元的共同边界在变形过程中 ，始终是相互贴合的，使