导数与函数放缩问题之切线法放缩

导数与函数放缩问题之切线法放缩

一、典型的不等式：

sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为

，其几何意义为上的的

点与原点连线斜率小于1.

（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1

1y x

=-

，ln y x x =. 二、典型例题

1

:()ln 1,()0

x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，

21

()ln ,().

x f x ex x x f x xe e =-<+例2：已知求证：

例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

（1）求,a b ；

（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)

11m e x x e

--≤+-.

例4：已知函数()ln f x x x =，()()22

a x x g x -=

.

（1）若()()f x g x <在()1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）求证：()()

()2221

2111111n n n n ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

+

++⎢⎥⎢⎥

⎢⎥

+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣

⎦⎣⎦⎣⎦

sin ,(0,)y x x π=∈

三、巩固练习

练习1：已知函数f (x )＝e x －a .

(1)若函数f (x )的图象与直线l ：y ＝x －1相切，求a 的值； (2)若f (x )－ln x >0恒成立，求整数a 的最大值．

练习:2：已知函数()2x f x e x =-.

（1）求曲线()f x 在1x =处的切线方程； （2）求证：当0x >时，()21

ln 1x e e x x x

+--≥+.

练习3：函数的图像与直线相切．

（1）求的值；

（2）证明：对于任意正整数，()11

2

2!

!

n n n

n

n n n e

n e

n ++⋅<

<⋅.

()()ln 1f x x ax =++2y x =a n

导数与函数放缩问题之切线法放缩

一、典型的不等式：

sin ,(0,)x x x π<∈，变形即为

，其几何意义为上的的

点与原点连线斜率小于1.

（放缩成一次函数）ln 1x x ≤-，ln x x <，()ln 1x x +≤ （放缩成一次函数）1x e x ≥+，x e x >，x e ex ≥， 以直线1y x =-为切线的函数

ln y x =，11x y e -=-，2y x x =-，1

1y x

=-

，ln y x x =. 二、典型例题

1

:()ln 1,()0

x f x ae x a f x e =--≥≥例1已知证明时，

1ln 1x e x x x ≥+≤-考虑：，放缩

-11

()ln 1ln 1x x e

f x ae x e x ≥

=--≥--≥证明如下：因为a 所以x-(x-1)-1=0 21

()ln ,().

x f x ex x x f x xe e =-<+例3：已知求证：

1

()ln 0x g x e x ex ex =+-+>⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即证：①

-0x x e ex e ex ≥≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅考虑：，即②

1ln 1,x x ≥-11

ln 1,ln +0ex x ex ex ⇒≥-≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅即③

由②③相加，且不能同时取等，即可得①式成立，即证。

例3：已知函数()()()(0)x f x x b e a b =+->在(1,(1))f --处的切线方程为(1)10e x ey e -++-=.

（1）求,a b ；

（2）若方程()f x m =有两个实数根12,x x ，且12x x <，证明：21(12)

11m e x x e

--≤+-. 【解析】（1）1a b ==；

（2）由（1）可知()()()11x f x x e =+-， (0)0,(1)0f f =-=，()()21x f x x e '=+-， 设()f x 在()1,0-处的切线方程为()h x ，易得()1()11h x x e ⎫

⎛=-+ ⎪⎝⎭

，

sin ,(0,)y x x π=∈

令()()()F x f x h x =-， ()()()1()1111x F x x e x e ⎫

⎛=+---+ ⎪⎝⎭

，

则()1()2x F x x e e

'=+-，

当2x ≤-时，()11()20x F x x e e

e

'=+-≤-<， 当2x >-时，

设()1()()2x G x F x x e e

'==+-，则()()30x G x x e '=+>， 故函数()F x '在()2,-+∞上单调递增，

又(1)0F '-=，所以当(),1x ∈-∞-时，()0F x '<，当()1,x ∈-+∞时，()0F x '>， 所以函数()F x 在区间(),1-∞-上单调递减，在区间()1,-+∞上单调递增， 故()(1)0F x F ≥-=，即()()f x h x ≥，所以11()()f x h x ≥， 设()h x m =的根为1x '，则111me

x e

'=-+

-， 又函数()h x 单调递减，故111()()()h x f x h x '=≥，故11x x '≤，

再者，设()y f x =在()0,0处的切线方程为()y t x =，易得()t x x =， 令，， 当时，()()2220x T x x e '=+-≤-<， 当时，

令()()()22x H x T x x e '==+-，则()()30x H x x e '=+>， 故函数在上单调递增，

又，所以当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以()(0)0T x T ≥=，即()()f x t x ≥，所以22()()f x t x ≥， 设的根为，则，

又函数单调递增，故，故，

又，所. ()()()()()11x T x f x t x x e x =-=+--()()22x T x x e '=+-2x ≤-2x >-()T x '()2,-+∞(0)0T '=(),0x ∈-∞()0T x '<()0,x ∈+∞()0T x '>()T x (),0-∞()0,+∞()t x m =2x '2x m '=()t x 222()()()t x f x t x '=≥22x x '≥11x x '≤2121(12)1111me m e x x x x m e e

-⎛⎫''-≤-=--+=+

⎪--⎝

⎭