前方交会计算公式
第12讲空间前方交会
S Z
Y
B
BX
a
Y X A S
Z Y
S
X
BZ
BY
a
Z
X
Y S
[二]空间前方交会公式
XYN NXYB BYX
NX NY
(5)
ZNZBZ NZ Z
Y
B
(c)
N
BX Z BZ X XZ ZX
S
BX
a
N
BX Z BZ X XZ ZX
Z
Y X A
A
Z Y
S
S BZ
X
BY
a
Z
X
Y
[二]空间前方交会公式
B
B
2 X
B
2 Y
B
2 Z
[三]模型点坐标和地面点坐标的计算过程 1、模型点坐标的计算 a. 连续像对相对定向之后，模型点坐标的计算过程
原始数据
确定角方位元素和基线分量
计算左右片在摄测坐标系中旋转 矩阵的方向余弦
a1 a2 a3
b1
b2
b3
E
c1 c2 c3
a1 a 2 a 3
b1
b 2
(X,Y,Z),(X,Y,Z)
计算投影系数 N和 N 计算模型点坐标（ X,Y,Z）
X NX
Y
1 2
(NY
NY
BY
)
Z NZ
为什么Y 取中数？
X,Z?
[三]模型点坐标和地面点坐标的计算过程 1、模型点坐标的计算 a. 连续像对相对定向之后，模型点坐标的计算过程
Z Y
Z
XYNNXYBBYX
Z
BZ
N f
[二]空间前方交会公式
交会定点
C
1
cot
2.实施过程：
与前方交会相似，观测四个已知点，组成两组后 方交会数据，分别计算等定点坐标的两组数据值，当 其较差在限差内时，取平均值作为最后结果。
3. 注意事项
A
B
危险圆的说明：当
待定点位于危险圆上
时会得不到唯一正确
C
的结果。
P1
P2
4. 作业时注意事项：
1）交会角不能太大或太小，一般控制在20 ~160°之 间； 2）未知点尽量选在三角形内； 3）如图所示，三个角之和不在160 ° ~200 ° 之间。
在地形测图过程中，一般便是采用导线或 三角网建立测区首级控制，而采用交会法进行 图根加密。
一、前方交会原理
已知A、B两点的坐标，通过观测如图所示的
, 角，可以确定待定点P的平面位置。
P
A
B
前方交会余切公 式说明：
A
P
B
xp
xAcot xB cot yA cot cot
yB
yp
yAcot yB cot xB cot cot
其中，M为测图比例尺的分母。
3.2 应用前方交会时注意事项：
1）交会角 ：
未知点至两起算点方向的夹角称为交会角 。
如图：前方交会中交会点P的
P
点位中误差公式：
M P m •sS A 2 iB n •s2 in s2 inA
B
故规范要求：交会角一般应大于30º，并小 于150º。
2）图形改组 实际工作中如何做？
xA
前方交会的变形形式说明：
M
P
N
‘
A
B
‘
3.前方交会相关事项说明：
3.1 实际工作中的具体操作
第12讲 空间前方交会
S
a
S
BZ BY
X
a
X
Z
Y
X
A
Y
A
Z
BX Z BZ X Z N XZ ZX (6) BX Z BZ X N XZ ZX S
Z
Y X
Y
Y
S
B
BX
BZ BY X a X Y
B 0 X B 0 x 2 p B 0 Y 0 y 2 p B Z 0 f p
B 0 X p 0 x1 B 0 Y 0 y1 p Z B f p0
1、模型点坐标的计算 a. 连续像对相对定向之后，模型点坐标的计算过程
X a1 a2 Y b b 1 2 Z c1 c2
a3 x1 b3 y1 c3 f
X a1 a2 Y b b 2 BX tg BZ B sin B
2 2 2 BX BY BZ
1、模型点坐标的计算 a. 连续像对相对定向之后，模型点坐标的计算过程
原始数据 确定角方位元素和基线分量
计算左右片在摄测坐标系中旋转 矩阵的方向余弦
a1 b 1 c1
a1 b 1 c1
X
a
X
Z
X NX B X N X Z Y NY BY N Y (5) Z NZ B N Z Z
Y
X
A
Y
2、水平像片对的空间前方交会公式
0 X x1 Y y0 1 Z f 0 X x2 Y y0 2 Z f
第3章 3节立体像对空间前方交会
Z2
二、基本公式
2、点投影系数法
Z1
Y2
Y1 s1
Z1 X1
X2
X1
Ztp
Ytp Xs1 M
Zs1 Y1
Ys1 Xtp
摄影基线
s2
B
s1
BZ= Zs2 –Zs1 BY= Ys2 –Ys1
BX= Xs2 –Xs1
同名光线投影
S1 A X A X s1 YA Ys1 Z A Z s1 N1 S1a1 X1 Y1 Z1
共线条件方程
a1 ( X X s ) b1 (Y Ys ) c1 ( Z Z s ) X x x0 f f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) Z a2 ( X X s ) b2 (Y Ys ) c2 ( Z Z s ) Y y y0 f f a3 ( X X s ) b3 (Y Ys ) c3 ( Z Z s ) Z
计算过程
获取已知数据x0 , y0 , f , XS1, YS1, ZS1, 1, 1, 1 , XS2, YS2, ZS2 , 2, 2, 2 量测像点坐标 x1,y1 , x2,y2 由外方位线元素计算基线分量 BX, BY, BZ 由外方位角元素计算像空间辅助坐标 X1, Y1, Z1 , X2, Y2, Z2
已知值 x0 , y0 , f , m , Xs, Ys, Zs, , , 观测值 x,y 未知数 X, Y, Z 泰勒级数展开
x x x vx X Y Z x 0 x X Y Z y y y vy X Y Z y 0 y X Y Z
前方、后方和侧方交会
前方交会和侧方交会由正弦定理得出：D AP/D AB=sinβ/sinγ=sinβ/sin(α+β)则：（D AP/D AB）sinα=（sinβsinα）/sin（α+β）=1/(ctgα+ctgβ)前方交会和侧方交会中P点坐标计算公式：X P=(X A ctgβ+X B ctgα+（Y B-Y A）÷(ctgα+ctgβ)Y P=(Y A ctgβ+Y B ctgα+（X A-X B）÷(ctgα+ctgβ)上式常称为余切公式。
注意使用上述公式时，A、B、P的编号应是反时针方向的。
P点坐标算出后，可将A、P作为已知点，用计算B点坐标来校核：校核计算公式：X B=(X p ctgα+X A ctgγ+（Y A-Y P）÷(ctgα+ctgγ)Y B=(Y p ctgα+Y A ctgγ+（X P-X A）÷(ctgα+ctgγ)本公式只能检查计算本身是否有错，不能发现角度侧错以及已知数据是否用错、抄错等错误，也不能提高计算精度。
运用此公式的技术要求：为保证计算结果和提高交会精度，规定如下：1、前方交会和侧方交会应有三个大地点，困难时应有两个大地点。
2、交会角不应小于30°，并不应大于150°，困难时亦不应小于20°，并应不大于160°。
3、水平角应观测两个测回，根据测点数量可用全测回法或方向观测法。
4、三个大地点的前方交会，可通过两个三角形（ΔABP,ΔBCP）求出P点的两组坐标值P(X P1、Y P1)，(X P2、Y P2)，两组算得的点位较差不大于两倍的比例尺精度，即：ΔD=√δx2+δy2≤2×0.1M(mm)式中δx，δy—δx= X P1- X P2，δy= Y P1 -Y P2M—比例尺分母。
后方交会B如图所示，A、B、C是已知三角点，P点是导线点，将仪器安置在P点上，观测P至A、B、C各个方向之间的水平夹角α、β，然后根据已知三角点的坐标，可解算P点坐标。
前方交汇法
βi
C
αi D
5
现场测设
B
➢ 1、在控制点D安置仪
器，后视控制点A，将
度盘安置为αDA;
➢ 2、根据测设数据表,
转动照准部至度盘读
数 为 αDi 得 到 D-i
i
பைடு நூலகம்方向；
➢ 3、同样方法得到 C-i
方向，两条视线的交
点处打桩，钉设出 i
号墩台中心位置;然后
在桥轴线上检查各墩
台位置
A
2021/4/9
βi
➢ 1、首先测出两基线的长度d1与d2，并测出θ与φ的值。
➢ 2、根据控制桩的里程及桥墩里程算出BE长度， 即可用三角函数算出α、β角的值。
➢ 3、将三台经纬仪分别置于A、B、C三点，
根据α、β角就可交出桥墩E的中心位置。
2021/4/9
3
方法二：两岸交会 G
两岸交会（前提）： 需要在河的两岸布设 平面控制网， 常用于 桥墩位置无法直接丈 量，或也不便于架设 反光镜时。
C
AEC一般要
E β 60 110
A
2021/4/9
B
两岸交会 4
1
B
两岸交会法的基本原理
:
根据控制点坐标和 墩台坐标，反算交会放
样元素αi、βi ，在相 i
应控制点上安置仪器并 后视另一已知控制点，
分 别 测 设 水 平 角 αi 、
βi ，得到两条视线的 A
交点，从而确定墩台中 2021/4/9 心的位置。
二、前方交会法的两种方法
一岸交会法
两岸交会法
2021/4/9
1
步骤
方法一：一岸交会法
G E
AEC，AFC一般
基坑水平位移监测
深基坑水平位移监测测量深基坑水平位移可采用视准线法、小角度法、投点法、前方交会法、自由设站法、极坐标法等。
本节简要叙述常用的小角度法、极坐标法及前方交汇法。
监测控制值：项目预警值报警控制值水平位移>3mm/d或24mm 30mm监测频率：项目变化量>3mm/d 开挖前开挖后报警后及突发状况监测频率（1-2）次/d 1次/3d 1次/d 加大监测频率基准点及测点布置要求：监测基准点应在基坑开挖影响范围之外设立强制对中观测墩，且尽量通视各测点，观测墩使用混凝土浇筑地下1.4M地面1.2M，顶面长宽20CM*20CM，顶部嵌入焊接中心螺旋的钢板，螺旋与钢板垂直且均做防腐处理。
监测基准点观测按三级平面控制要求施测，且每个月与高等级控制网联测一次。
为防止观测墩被破坏，顶部应加钢保护盖。
埋设示意图如下：当采用精密的光学对中装置时，对中误差不宜大于0.5mm，且尽量通视测点。
在混凝土支撑、连续墙顶等混凝土结构上安装水平位移桩，可直接在结构上用冲击钻成孔插入水平位移桩，垂直放置，缝隙使用锚固剂填充，容易受施工破坏的地方应加保护装置。
在土体等松软结构埋设水平位移测点应采用混凝土桩顶插入水平位移桩的形式，混凝土桩采用直径10CM地下50CＭ地面10CM，中心用钢筋加固。
如有需要应加保护装置，并设置醒目标志。
实物图如下：仪器架设：到达测量现场后打开仪器箱一段时间，使仪器温度与周围环境温度相适应，消除由环境温度带来的误差。
检查设备是否完整，配件是否齐全，电源电力是否充足等。
仪器架设时应注意仪器安全，在光滑的地面上架设全站仪时须在脚架上套绳索，防止脚架滑落损坏仪器。
全站仪脚架高度与观测者肩高齐平，拧紧脚架螺旋，将脚架均匀架设在基准点上。
取出仪器一手提全站仪手提柄，一手拧紧中心螺旋，将全站仪平稳架设在脚架上。
对中整平：在有强制对中装置的观测墩上架设全站仪时，应一手提全站仪手提柄，另一只手旋转基座使仪器牢固地固定在观测墩上。
角度前方交会法原理
角度前方交会法原理角度前方交会法是一种基本的测量方法，主要用于确定某一点的位置，特别是在野外测量和工程建设中。
该方法利用三角形相似性原理，将测量和计算过程分解为若干个简单的步骤，从而得到准确的测量结果。
本文将对角度前方交会法的原理、步骤和应用进行详细讲解。
角度前方交会法的原理角度前方交会法是基于三角形相似性原理的建立的。
三角形相似性原理指的是两个三角形的对应角度相等，对应边成比例关系。
在以下的图形中，三角形 ABC 和 DEF 相似，因为∠ABC =∠DEF，∠ACB =∠DFE和∠BAC =∠EDF。
与BC、AC、DC、EF、DF和DE相似的边成比例，即，BC/EF = AC/DF = DC/DE利用三角形相似性原理，可以得到角度前方交会法的基本原理：在已知两个点的位置和与这些点的连线所成夹角的情况下，可以测量出另外一个点的位置。
角度前方交会法的步骤角度前方交会法的测量可以分为以下步骤：第一步：在地面上确定两点的位置，并测量两点之间的距离。
这些点可以是明显的位置、桩点、或者标志物。
必须确认这些点的位置是精确的，以确保后续步骤的准确性。
第二步：测量这两点之间的夹角（或者方位角）。
这可以通过使用方位仪或者经纬仪测量得出。
如果使用经纬仪，则需要确定两点之间的经度和纬度，并计算方位角。
第三步：在第一点位置处测量与第一条线相交的第二条线的夹角（或者方位角），并测量与第二点位置的连线所成的夹角（或者方位角）。
记住将仪器调整到正确的方向上，确保夹角或者方位角的准确性。
第四步：从两个已知点的位置向前方测量出第三条线。
可以使用三角板或者望远镜或者其他测量仪器来测量这条线。
第五步：将第三条线的长度和与前两条线相交的夹角输入计算器。
计算器将使用三角形相似性原理来计算出第三条线相对于第一个点的位置。
确定了第三条线的位置之后，就可以测量和计算与该点相交的其他线。
角度前方交会法的应用角度前方交会法主要应用于建筑、土木工程和地理学中。
武大《摄影测量》课件—第15讲 空间前方交会汇总
Z
Y
BY Z BZ Y N YZ ZY (a) BY Z BZ Y N YZ ZY
S
Y
S
BX
a
S
a
X ( X )
Z
Z
Y
A
X
A
X
Y
第十五讲 空间前方交会
X NX B X N X Y NY BY N Y Z NZ B N Z Z
Z
Y X
Y
Y
S
B
BX
BZ BY X a X Y
X
a
Z
X NX B X N X Z Y NY BY N Y (5) Z NZ B N Z Z
Y
X
A
X
Y
第十五讲 空间前方交会
2、水平像片对的空间前方交会公式
1 0 0 0 1 0 0 0 1
X tr Ytr Z tr
0 Z tr Ytr
Z tr 0 X tr
X tr X 1 0 0 Ytr M Y ; d ' d Z Z tr
0 0 0
( XT ) M X X 0
BX Y BY X N XY YX (b) BX Y BY X N XY YX
Z
ห้องสมุดไป่ตู้
(5)
Y
Z
Y
S
B
BZ BY BX
X
S
a
Z
a
Z
Y
S
X
A
X
空间前方交会及其应用
水平像片对的前方交会公式
X x Y y Z f
BX BZ x2 f N1 p BX BZ x1 f N2 p
p x1 x2
理想像片对的前方交会公式
Z1
BX= XS2 –XS1 X1
X1
Z Y XS1 M
ZS1 Y1
(XA, YA, ZA) YS1
X
像点投影系数
S1 A X A X S1 YA YS1 Z A Z S1 N1 S1a1 X1 Y1 Z1
S1
Z1 X1
Y1
S2 A X A X S 2 YA YS 2 Z A Z S 2 N2 S2a2 X2 Y2 Z2
A
前方交会公式
BX Z 2 BZ X 2 N1 X 1Z 2 X 2 Z1
BX X S 2 X S 1 BY YS 2 YS 1 BZ Z S 2 Z S 1
X A X S1 N1 X 1 X S 2 N 2 X 2 1 YA [(YS1 N1Y1 ) (YS 2 N 2Y2 )] 2 Z A Z S1 N1Z1 Z S 2 N 2 Z 2
X x Y y Z f
BX X S 2 X S 1 B BY YS 2 YS1 0 BZ Z S 2 Z S1 0
N1 N 2
B p
p x1 x2
B B x1 X S1 B x2 p p B B YA YS1 y1 YS1 y2 p p y1 y 2 B B Z A Z S1 f Z S 2 f q y1 y 2 0 p p X A X S1
前方交会法
yP =
α β
1.083 0.786
1.869
(3)=xAtanα (4)=xBtanβ (5)=(yB-yA) (1)
(1)= tan α × tan β (6)=yAtanα (7)=yBtanβ
(8)=(xA-xB)×(1) YP=[(6)+(7)+(8)]÷(2)
XP=[(3)+(4)+(5)]÷(2)
yP =
0.871 0.972 1.843
(3)=xAtanα (4)=xBtanβ (5)=(yB-yA)×(1)
XP=[(3)+(4)+(5)]÷(2)
1009.157
XP=[(3)+(4)+(5)]÷(2)
1007.927
模拟第二次水平位移观测计算成果表(P1) 模拟第二次水平位移观测计算成果表 图 形 与 计 算 公 式 xA xB xA-xB 1000 1000 0 yA yB yB-yA 1083 786 × 14.775 1007.905 1000 1017.36 2 17.362
小组成员： 测量 090101 小组成员：彭哲行 夏超 尹大兵 叶如明 衡然 模拟第一次水平位移观测计算成果表（ 模拟第一次水平位移观测计算成果表（ P） ） 图 形 与 计 算 公 式 xA xB xA-xB 1000 1000 0 yA yB yB-yA 1039 873 15.747 1008.236 1000 1017.362 17.362
yP =
α
1.039 0.873 1.912
(3)=xAtanα (4)=xBtanβ (5)=(yB-yA)×(1)
β 41 12 41 (1)= 0.907 tanα×tan β (6)=yAtanα (7)=yBtanβ (8)=(xA-xB)×(1) YP=[(6)+(7)+(8)]÷(2)
测量学—角度前方交会法
/m
DAP与DBP交会
DAB/m
195.165
AB
1452421
DCP 177.491
DBP与DCP交会
DBCB/Cm
205.936 543937
∠BAP
AP
544911 903510
∠CBP
BP
562337
3581600
xAP / m -1.084 yAP / m 105.977 xBP /m 159.575 yBP / m -4.829
*
y
1．角度前方交会的计算方法
（1）计算已知边AB的边长和方位角 *
根据A、B两点坐标（xA，yA）、（xB，yB），按坐标 反算公式计算两点间边长DAB和坐标方位角αAB。
（2）计算待定边AP、BP的边长 *
按三角形正弦定律，得
DAP
DAB sin s in
DBP
DAB sin s in
yA )
*
y P
y cot A
y cot ( x
B
A
cot cot
x
B
)
在应用上式时，要注意已知点和待定点必须按
A、B、P逆时针方向编号，在A点观测角编号为α， 在B点观测角编号为β。
2．角度前方交会的观测检核
从三个已知点A、B、C分别向P点观测水平角α1、β1、
α2、β2，作两组前方交会。
*
计算 结果
(3)两 组 坐 标 较 差 ：
e
2 x
2 y
(0.024m)2 (0.034m)2 0.042m
ep 2 0.11000 0.2m
e＜ep
(4)P点最后坐标为：xP 398.139m, yP 413.215m
空间前方交会程序使用说明
（5）
如果基准尺水平安置，则可用下式计算；
L0 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2
（6）
因基准尺精确长度 L 已知，可按下式计算基线精确长度，
b b0 L L0
（7）
4．目标点三维坐标计算 求得了基线的精确长度 b，可交会计算任何目标点的三维坐标，为了便于计 算器的程序编制，计算公式（1） 、 （2）进行改写如下：
（3） （4）
2．两台全站仪间的高差计算 两台全站仪横轴之间的高差 h 可以用瞄准大致在水平方向的同一个目标， 分 别用三角高程测量的方法测定其高差，按两台仪器测得高差之差计算 h。 3．测站中心点间的基线长度计算 由基准尺的两个端点 P1、P2 的坐标可求得计算基准尺的计算长度为：
L0 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 ( z1 z2 ) 2
空间前方交会程序使用说明一空间前方交会原理用空间前方交会法测定空间点的三维坐标常用于高精度的工业测量例如控制装配整机安装轴线校正等这些测量工作往往要求在现场快速给出大量观测点的计算结果
空间前方交会程序使用说明
（一）空间前方交会原理
用空间前方交会法测定空间点的三维坐标常用于高精度的工业测量， 例如控 制装配、整机安装、轴线校正等，这些测量工作往往要求在现场快速给出大量观 测点的计算结果。空间前方交会的原理如图 1 所示，A、B 为安置两台精密工业 测量经纬仪（或全站仪）的测站中心点，P1、P2 为长度 L 的基准尺的两个端点。 以 A 为原点，其天顶方向为 Z 轴，AB 的水平方向 AB′为 X 轴，建立右手独立坐 标 系 A-XYZ ；首 先 在 测站 A 、 B 点分 别 观测基准 尺 两端 P1 、 P2 点水平 角
11-空间前方交会
-
a11 a 21
- a12 - a22
- a13 - a23
X Y Z
x y
-
x0
y0
当有两个（以上）同名像点时，就会有4个（以上）
误差方程式，可以解算三个未知数。由于各点是相
互独立的，因此，解算时可以采用逐点解算的方式。
影响前方交会结果的精度因素如下：
工业测量技术与数据处理
（空间前方交会）
内 [一]空间前方交会的定义
容 [二]空间前方交会的解算
安
排 [三]影响前方交会结果的精度
利用立体像对两张像片的同名像点坐标 和像对的相对方位元素（或外方位元素）解 算模型点坐标（或地面点坐标）的工作。
1、利用像对的相对方 位元素，计算模型点的 三维坐标； 2、利用像对的外方位 元素，计算相应像点的 地面坐标。
o1 a1
o2 a2
S1
S2
A
空间前方交会
单张像片像点坐标
地面点坐标
共
线
方 程
x2
x0
f
a1( X a3 ( X
X s2 ) b1(Y X s2 ) b3(Y
Ys2 ) c1(Z Zs2 ) Ys2 ) c3 (Z Zs2 )
y2
y0
各个像片之间的几何构型，包括像片的数量、摄站空间布 局及交会角度； 像点的成像质量，包含像点坐标测量本身的精度以及各项 系统误差的改正程度； 每张像片内方位元素、外方位元素以及附加参数的精度。
f
a2 ( X a3 ( X
X s2 ) b2 (Y X s2 ) b3(Y
大范围散布弹丸落点测量最优布站方法
1000
清场范围/m
0.38
0.77
0.96
1.15
1.35
1.54
1.73
1.92
1200
1400
1500
1600
1700
1800
1900
2000
4.3
4.3.1
300
424
1300
1838
其中，mean
{σi} 表示取 {σi}
1£i£n
2121
测量误差。
2404
计算机求解最优化问题（5）。
500
600
700
800
900
1000
707
849
990
1131
1273
1414
1500
1600
1700
1800
1900
2000
1980
2263
σ * = min
mean{σi}
LÎR 1£i£n
s.t. 0m £ L £ 3000m
n
i=1
3.85
（5）
的平均值，σi 是落点
与求解最优化问题（4）的方法类似，同样采用
前方交会测量优化布站分析
前方交会测量布站，是指给定理论落点、散布
范围和清场范围时，确定两个布站点，使得由两个
布站点坐标、测量的角度和前方交会计算可以计算
落点坐标。其中的散布范围是指弹丸的理论散布，
清场范围是指考虑充分考虑弹丸可能出现的异常，
导致落点偏离理论散布范围，为了确保安全而得到
的范围。一般来说，清场范围要远大于弹丸散布范
0
1000
清场范围/m
同，但变化不大。
交会测量(前方、后方、侧方交会测量)
前方交会法1.前方交会法定义自两已知坐标之三角点上，观测一欲测点之水平角，以推算其坐标位置，称之前方交会法。
图-1，前方交会法。
图-2，前方交会点。
图-1 前方交会法图-2 前方交会点2.前方交会点此种补点（前方交会点），通常为无法设置仪器之测点，如塔尖、避雷针、烟囱等等。
3.前方交会法适用场合：A.具两已知三角点。
B.三点（两已知点及欲测点）间可以通视。
C.两已知点可以架设仪器，但欲测点不方便架设仪器。
D.有数个欲测点待测定时。
图-3，为数个欲测点图-3 数个欲测点4.前方交会法施作步骤：A.经纬仪分别整置于A、B 两三角点上。
B.照准P 点，分别测得α、β两水平角。
C.以计算方法，求P 点坐标。
图-4，为量测角度。
图-4 量测角度5.已知、量测、计算之数据：A.已知：xA、yA、xB、yB。
B.量测：α、β。
C.计算：xP、yP。
图-5，为前方交会法相关角度位置图-5 前方交会法相关角度位置6.限制：α、β、γ三内角均必须介于30°～120°之间。
图-6 ，为角度限制。
图-6 为角度限制7.计算法前方交会法计算方法有三种：A.三角形法; B.角度法; C.方位角法8.三角形法19()()3891802890--++=---= βφφαφφABBP AB AP ()()()()()689cos sin cos 589sin cos sin 48922222---=-==---=-==---+-=∆+∆= ABAB AB AB AB AB A B AB A B A B y y AB ABy y x x AB ABx x y y x x AB y x AB φθφφθφ()()789sin sin sin sin sin sin --+===βαβγβγβAB AB AP ABAP γβαABP AB AB y y y -=∆ABNB.求方位角ψAP 、ψBP ：C.求各邊邊長：①AB 邊長：有三種方法可求得②AP 邊長：()[](βαβαγγβα+=+-==++sin 180sin sin 180γβαsin sin sin AB AP BP ==20()()1289cos 1189sin --+=--+= BPB P BP B P BP y y BP x x φφ()()889sin sin sin sin sin sin --+===βααγαγαAB AB BP ABBP ()()1089cos 989sin --+=--+= APA P AP A P AP y y AP x x φφAPAP l φcos A Py yPBy y BPy y l y BP x x l x yy y x x x BP BP BP B P BP BP B P B P -=∆==-=∆=-=∆+=∆+=φφφφcos cos sin sin ③BP 邊長：D.求P 座標x P 、y P ：①由A 點求P 點②由B 點求P 點9.角度法A.由上法直接代入：將(9-8-2)式與(9-8-7)式代入(9-8-9)式中，可得：yy y x x x A P A P ∆+=∆+=APy y l y AP x x l x AP AP AP AP AP AP -=∆=-=∆=φφcos sin21()()()1389sin sin sin sin ---++=+= αφβαβφAB A APA P AB x AP x x ()αφαφαφsin cos cos sin sin AB AB AB -=-()()()1489cos sin sin cos ---++=+= αφβαβφAB A APA P AB y AP y y ()αααφsin cos sin ABy y AB x x AB A B AB ---=-()()()()()1589sin sin sin sin sin cos --+--+-+= βαβαβαβαA B A B A P y y x x x x ()()()()()1789cot cot cot sin cos sin 1689tan tan tan sin cos sin 1cot cot 1tan tan sin cos sin cos cos sin sin cos sin --+=+--+=++=+=+=+ αβαβαβαββαβαβααββαβαβαβαβαβα或將(9-8-2)式與(9-8-7)式代入(9-8-9)式中，可得：B.化簡x P ：由和差化積公式：將(9-8-5)式與(9-8-6)式代入，可得：再之代入(9-8-13)式中，可得：由和差化積公式：化簡下式，可得：()βαβαβαcos cos cos sin sin +=+22()2289cot cot cot cot --++-+=βααβBA B A P x x y y y ()()()()ABPB PA APBA BP A B A P APA B A P y y y y y y x x φφφφφφφcos sin cos sin tan ---+=-+=()()()()2089tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan --+--+=+--+-+= βαβαβαβαβαβαβA B B A P A B A B A P y y x x x y y x x x x ()()()()()1989cot cot sin sin sin 1889tan tan tan tan sin sin sin tan 1tan 1sin sin sin cos cos sin sin sin sin --+=+--+=++=+=+ βαβαβαβαβαβαβααββαβαβαβαβα或()()()2189cot cot cot cot cot cot 1cot cot cot --+-++=+--+-+= βααββαβααBA B A P A B A B A P y y x x x y y x x x x 同理，化簡下式，可得：將(9-8-16)式與(9-8-18)式代入(9-8-15)式中，可得：或將(9-8-17)式與(9-8-19)式代入(9-8-15)式中，可得：C.化簡y P ：（推演過程省略）D.角度法所得公式(9-18-21)式與(9-18-22)式，適於計算機使用，唯應注意：左A ，右B ；左α，右β。
交会测量
本章内容提要
• 4.1 前方交会 • 4.2 侧方交会 • 4.3 后方交会 • 4.4 边长交会 • 4.5 自由设站
4.1 前方交会
如图： 已知A、B两 点坐标，测夹角 和 就可以求得P 点坐标，这种方 法称为前方交会
4.1 前方交会
前方交会的计算
由图可知：方位角 AP AB ，则 x p x A DAP cos( AB ) y p y A DAP sin( AB ) 展开得 x p x A DAP （cos AB cos sin AB sin ） x p x A DAP （sin AB cos cos AB sin ） 因为 cos AB xB x A y yA ,sin AB B 代入上式得 DAB DAB
(戎格公式)
4.1 前方交会
前方交会计算 其他方法
• 除了上面的公式计算法
还有软件工具计算（如南方cass、平差易 里都有交会测量小工具，原理同上，或用 极坐标的方法，计算器计算，注意：P点在 A、B的左右？）
解析绘图（旋转，拾取交点坐标即可）
4.1 前方交会
前方交会注意事项：
• 为提高P点定位精度和可靠性，一般用三个
4.1 前方交会
前方交会实用场景：
P点棱镜不易到达（不能测 距，连免棱镜也不能使用），例 如高楼角点、塔尖、烟囱、变形 监测中某些危险处监测目标点、 水上目标点(可用于测移动速度)
前方交会实训： 场景1：2号楼门口雕像最高尖尖（采用三个已知点，即三组交会）； 场景2：测食堂旁边水塔尖尖。
4.2 侧方交会
第二次实习：
要求： 先精测一个三角形A、 B、C坐标（作为已知点， 假设一点和一方位角） 然后分别用后方交会和边 长交会定出三角形中一点 P坐标 测回法测三个角、测三边