4有界线性算子与线性算子的基本定理g
《泛函分析》教学大纲（本科）说明本课程的教学目的与要求本大纲
《泛函分析》教学大纲（本科）说明1本课程的教学目的与要求本大纲适用专业为数学与应用数学专业脱产与本科。
《泛函分析》是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点、方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数、几何处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理。
工程技术等领域有很大帮助。
2本课程的主要内容：本课程主要介绍线性泛函分析，重点介绍Banach空间最基本的几个定理，如泛函延拓，逆算子定理共鸣定理及某些具体空间泛函表示定理等，Hilbert空间几何学以及距离空间的必要知识，压缩映象原理等。
3教学重点与难点本重点是几个最基本的定理，如泛函延拓定理，逆算子定理，共鸣定理，他们也是本章的重点。
4本课程的知识范围及与相关课程的关系本课程主要可以在学完数学分析、线性代数空间、解析几何及实变函数，复变函数后学习。
5教材的选用本课程选用程其襄的《实变函数与泛变分析基础》。
6．教学学时分配本课程为一学期课程，每周４学时，总学时为７２学时，其中授课６２学时，习题课８学时，机动２学时, 函授按脱产学时的百分之四十进行面授。
教学内容第六章距离空间（２５学时）一、教学内容距离空间的概念，距离空间中开集闭集，稠密性与可分性，连续映照的概念，距离空间中完备性，及其上连续映照，具体空间收敛性、完备性判定法及不动点定理。
二、教学目的及要求要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。
第三章 有界线性算子空间(续)
定义代数运算： f f1 f 2 和 f f1 其含义是指对于 x H 和 C 都有：
f ( x) f1 ( x) f 2 ( x) f ( x) f1 ( x)
H * 构成线性空间。
定义内积：
( f , f ) (, )*
xA x 1
由于 L sup
xA x 0
Lx x
Lx x
L
x1
x
对于 0 必 x1 A 使
Lx1 x1
x x1 L
L
改写成 L 令 x2
x1 x1
即总 x2 A ，且 x2 1使 Lx2 L
4.1 线性泛函的概念 线性泛函是线性赋范空间 A 到复数域 C 的映射，且对 x, y A 及
, K ，有
f ( x y) f ( x) f ( y)
线性泛函的性质： ①连续性：一定连续 处处连续 ②有界性：有界 连续 有界是指 x A ，有 | f ( x) | K x 对于数域，范数用| |代替。
L( x) L1 x L2 ( x) L1 ( x) L2 ( x) K1 x K 2 x K x
其中 K K1 K2 还可证明满足加法的 a、b、c、d 四条。 对于加法中的 0 元素的解释：
x A y B
L 0 是指对于 x A ，都有 Lx 0
x 0
sup Lx
xA x 1
L 的完备性定理： L 完备的充分条件是 A 完备。
定理是说：A 完备， L 一定完备。但 A 不完备， L 可能完备也可 能不完备。 证明略。
第五章 有界线性算子的谱理论
明显地 , 若 λ ∈ σ p ( A) ，则存 在 x ≠ 0 使得 (λI − A) x = 0 ， 此时 称
x 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征 向 量 . 称 N (λI − A) 是 A 的 相 应 于 λ 的 特 征
向量空 间 . 由定义还知道复平面 C =
ρ ( A) ∪ σ ( A) 并 且 ρ ( A) ∩ σ ( A) = ∅ . 另
∑a A
n=0 n
∞
∞
n
( Ao = I ) 的 收 敛 性 乃 至 算 子 函 数 f ( A) 的 解 析 性
都可以 加以 定义 . 例如 表达式
eA = ∑
n=0
∞ An A2 n +1 , sin A = ∑ (−1) n (2n + 1)! n! n =0
等 在 范 数 收 敛 意 义 下 都 代 表 Β( X ) 中 的 元 素 . 下 面 定 理 中 出 现 的 多 项 式和幂 级数 也是如 此的 . 定 理 3 (von Neumann) 设 X 是 Banach 空间 ， A ∈ Β( X ) , λ ∈ C ,
−1 −1
上 , 根据 逆 算子定 理知 A 定理 2
∈ Β( X ) .
设 Aห้องสมุดไป่ตู้ B ∈ Β( X ) .
−1 −1 −1
(1) 若 A 是正则算 子 , 则 A 是正 则算 子并且 ( A ) (2) 若 A, B 是正 则算子 ，则 AB 是正则 算子 并且
= A.
( AB) −1 = B −1 A −1 .
又由 1 =|| I || ≤ || A || || B || 知道 || B ||≠ 0 . 取 || B ||
4有界线性算子与线性算子的基本定理g
Tx ( s ) K ( s , t ) x ( t ) dt y ( t ), x ( t ) X
因此
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且
T max( a ,b )
事实上，T 显然是线性算子
Tx Tx ( t ) tx ( t ) max tx ( t ) max ( a , b ) max x ( t )
a t b a t b
, 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
(b a)3 2 T 3
事实上，T 显然是线性算子
2 Tx Tx ( t ) tx ( t ) t x ( t ) dt t ( max x ( t ) ) dt 2 2 2 L L L 2 2 2 a a a t b
xn , 由于T是线性、连续算子 n xn
“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M>0, 使得 ||Tx||M||x||（有界算子定义） xn,xDX, M>0, 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||M||xn-x|| （线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx||xn-x||0 (n) (按范数收敛) ||Txn-Tx||0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子. 推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.
a a a a a
t
b t
b t
( t ) d dt ( b a )x 1 x L
a a
b
b
T是有界算子, 且||T||b-a 另一方面,对任何使a+1/n<b的n,构造函数列
第三章 有界线性算子-黎永锦
第3章 有界线性算子音乐能激发或抚慰情怀,绘画使人赏心悦目,诗歌能动人心弦,哲学使人获得智慧,科学可 改善物质生活,但数学能给予以上的一切.Klein F .(克萊恩) (1849-1925,德国数学家)Banach S .在1922年建立了完备赋范线性空间的公理,证明了一些基本定理后,就讨论了定义在一个完备赋范线性空间上而取值为另一个完备赋范线性空间的算子,在这类算子中最重要的是连续加法算子,所谓加法算子是指对所有x ,y ,都有Ty Tx y x T +=+)(.容易证明,T 是连续加法算子时,必有Tx x T αα=)(成立.Banach S .证明了若T 是连续的加法算子,则存在常数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤.另外他还证明了若}{n T 是连续加法算子序列,T 也是加法算子,且对任意X x ∈,都有Tx x T n n =∞→lim ,则T 也是连续的.Hahn H .在1922年证明了,若X 是一个完备赋范空间,}{n f 为X 上的一列线性连续泛函,且对任意X x ∈,)}({x f n 都有上界,则||}{||n f 一定是有界的.Banach S .和Steinhaus H .在1927年证明了,若n T 为完备赋范空间X 到赋范空间Y的线性连续算子,且对任意X x ∈,||}{||x T n 都有界,则||}{||n T 一定有界,这就是Banach 空间理论中最重要的定理之一,即一致有界原理.Neumann Von J ..在1929年至1930年还引进并讨论了算子的几种收敛性.在1932年,Banach S .出版了线性算子理论（aires e lin rations e op des orie e Th '''）一书,书中包括了当时有关赋范线性空间的绝大部分结果,而非常著名闭图像定理就是该书中一个定理的推论.3.1 有界线性算子算子就是从一个空间到另一个空间映射,算子可分为线性算子与非线性算子.定义3.1.1 设X 和Y 都是赋范空间,T 是从X 到Y 的算子,且满足（1） Ty Tx y x T +=+)(, X y x ∈,任意； （2） Tx x T αα=)(, K X x ∈∈α,任意.则称T 为X 到Y 的线性算子.明显地,若Y 是数域K ,则X 到K 的线性算子就是线性泛函.例 3.1.1 定义从∞l 到0c 算子)2()(i i i xx T =则对任意∈)(i x ∞l ,有0>M ,使得∞<≤M x i ||sup .故)0(02|2|→→≤i M x i i i .因此0)(c x T i ∈ ,即T 是∞l 到0c 的算子,并且Ty Tx y x y x y x T iii i iii βαβαβαβα+=+=+=+)2()2()2()( 所以T 是∞l 到0c 的线性算子.例 3.1.2 设T 是从0c 到nR 的算子,且对任意0)(c x x i ∈=,定义)(i y Tx =,这里n i ≤时,i i x y =, n i >时,0=i y ,则T 是从0c 到nR 的线性算子.类似于线性连续泛函,对于线性连续算子,容易看出下面定理成立.定理 3.1.1 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 在X 上连续当且仅当T 在某个X x ∈0处连续.线性算子的连续与有界性有着密切的联系.定义 3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,若存在数0>M ,使得||||||||x M Tx ≤,X x ∈对任意成立.则称T 是有界线性算子,否则称为无界的.类似于线性有界泛函,有下面的定理.定理3.1.2 设T 是赋范空间X 到Y 的线性算子,则T 是有界的当且仅当T 是连续的.由上面定理可知,当T 是X 到Y 的线性连续算子时,必有0>M ,使得||||||||x M Tx ≤由此对0≠x ,有+∞<≤M x Tx ||||||||. 定义3.1.3 若T 是X 到Y 的线性连续算子,则称||||||||sup||||0x Tx T x ≠= 为T 的范数.容易看出,||||sup ||||sup ||||sup ||||1||||1||||1||||Tx Tx Tx T x x x <≤====.例 3.1.3 设X 是赋范空间,I 是X 到X 的恒等算子,则I 是连续的,且1||||sup ||||sup ||||1||||1||||=====x Ix I x x .有限维赋范空间上的线性算子的连续性显得特别简单明了.定理 3.1.3 若X 是有限维赋范空间,Y 是任意赋范空间,则X 到Y 的任意线性算子T 都是连续的.证明 设X 是n 维赋范空间,},,{1n e e 是X 的Schauder 基,则对任意X x ∈,有∑==ni i i e x 1α.由于T 是线性的,故∑==ni i i Te Tx 1α).||||}(max{||||||||||||||||111∑∑∑===≤≤=ni ii i ni ini ii Te Te TeTx ααα对任意X x ∈,定义∑==ni ix 11||||||α,则1||||⋅是X 上的范数,因此1||||⋅与||||⋅等价,即存在0>C ,使得||||||||||11x C x ni i≤=∑=α令||}m ax {||i Te C M =,则||||||||x M Tx ≤所以,T 是X 到Y 的连续线性算子.若用),(Y X L 记所有从赋范空间X 到赋范空间Y 的线性连续算子,则),(Y X L 在线性运算x T x T x T T 2121)(βαβα+=+下是一个线性空间,在空间),(Y X L 中,由算子范数的定义有||||||||||||2121T T T T +≤+和||||||||||T T λλ=,以及0||||=T 时0=T 成立.因此),(Y X L 在算子范数||||⋅下是一个赋范空间,并且当Y 是Banach 空间时,),(Y X L 也是Banach 空间.定理 3.1.4 设X 是赋范空间,Y 是Banach 空间,则),(Y X L 是Banach 空间. 证明 设}{n T 为),(Y X L 的Cauchy 列,因此对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时ε<-||||n m T T对任意X x ∈,有||||||||||||||)(||||||x x T T x T T x T x T n m n m n m ε<⋅-≤-=-因此}{x T n 为Y 中的Cauchy 列,由Y 的完备性质可知,存在Y y ∈,使得y x T n n =∞→lim定义X 到Y 的算子, x T y Tx n n ∞→==lim ,易知T 是线性的.由于0||||||||||||||→-≤-n m n m T T T T ,因此||}{||n T 为R 中的Cauchy 列,从而存在0>M ,使得.,||||都成立对任意N n M T n ∈≤故||||||||lim ||||x M x T Tx n m ≤=∞→,从而T 是X 到Y的线性连续算子.由上面证明可知对任意0>ε,存在N ,使得N n m >,时,有都成立对任意X x x x T T x T x T n m n m ∈<⋅-≤-||,||||||||||||||ε.令∞→m ,则 因此ε<-=-∈≠||||||||||||,0x Tx x T SupT T n Xx x n对任意N n >成立，从而T T n →,所以,),(Y X L 是完备的. 由于数域K 完备,因此容易看到下面结论成立.推论3.1.1 对于任意赋范空间X ,),(K X L 一定完备.后面都将),(K X L 记为*X ,称之为X 的共轭空间,因此所有赋范空间X 的共轭空间*X 都是完备的.3.2 一致有界原理设X 和Y 是Banach 空间.}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,一致有界原理指的是若对于任意}|||{||,∧∈∈ααx T X x 是有界集,则}|||{||∧∈ααT 一定是有界集,即+∞<∧∈||||sup ααT .其实,这一定理的一些特殊情形,许多数学家早就注意到了,如Hellinger Lebesgue ,和Toeplitz 等,Hahn H .在1922年总结了他们的结果,证明了对Banach 空间X 上的一列线性泛函}{n f ,若任意|})({|,x f X x n ∈有界,则||}{||n f 一定有界.独立地,Banach S .证明了比Hahn H .更一般的情形,即设}{n T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 的一列算子,若对任意||}{||,x T X x n ∈有界,则||}{||n T 一定有界,最后在1927年Banach S .与Steinhaus H .利用Baire 在1899年证明的一个引理,证明了一致有界原理.||||||||x x T x T n ε<-引理 3.2.1 (Baire 引理) 设}{n F 是Banach 空间X 中的一列闭集,若≠∞=01)( n n F φ,则存在某个N 使得≠0N F φ.下面举两个例子.例 3.2.1 在R 中,]12,11[n n F n -+=, 则)2,1(1=∞= n n F 有内点,故必有某个≠0N F φ.例 3.2.2 在R 中,},,2,1{n F n =,则对任意n ,=0N F φ,且,,2,1{1=∞=n nF},1, +n n , 所以=∞=01)( n n F φ.在1912年,Helly 建立了],[b a C 上的一致有界性原理,Banach 空间上的一致有界性原理是Banach [1922],Hahn [1922]和t Hildebrand 给出的,Steinhaus H .1927年以B a n a c h 和他两个人的名义在《数学基础》第9卷上发表了该定理.它断言,在Banach 空间X 上,如果有一列算子n T ,能对每个X x ∈,数列),2,1||}({|| =n x T n 都有上界x M ,那么必存在常数M ,使得||}{||n T 有界.这个由各点x 的局部有界性推广到在一个单位球上整体地一致有界性的深刻定理就叫Steinhaus Banach -定理.定理 3.2.1 (一致有界原理) 设X 是Banach 空间,Y 是赋范线性空间,}|{∧∈ααT 是),(Y X L 中的一族有界线性算子,若对任意X x ∈,有+∞<||}sup{||x T α则+∞<||}sup{||αT证明 对任意n ,令 ∧∈≤∈=αα}|||||{n x T X x F n ,则n F 是X 闭集,且X F n n =∞= 1,由于≠=∞=001)(X F n n φ,因此由Baire 引理可知存在某个N ,使得≠0N F φ,故存在n F x ∈0及0>r ,使得N F r x U ⊂),(0,因为N F 是闭集,所以N F r x B r x U ⊂=),(),(00因此对于任意X x ∈, 1||||=x ,有N F r x B rx x ⊂∈+),(00故对任意α,有N rx x T ≤+||)(||0α又由于||)(||||||||||00rx x T x T x rT +≤-ααα, 故+∞<+≤+≤∧∈||)||sup (1||)||(1||||00x T N r x T N r x T αααα令||)||sup (10x T N r M αα∧∈+=,则M 与x 无关,且+∞<M .所以+∞<≤==M x T T x ||||sup ||||1||||αα问题 3.2.1 在一致有界原理中,X 的完备性能否去掉？ 例 3.2.3 设X 为全体实系数多项式,对任意X x ∈||max ||||,)(111i ni i ni i x tt x x αα≤<-====∑ ,则||)||,(⋅X 是赋范空间,但不完备,在X 上一致有界原理不成立.事实上,对任意X x ∈,x 可以写成11)(-=∑=i ni i tt x α,这里存在某个x N ,使得xN i >时,0=i α,在X 上定义一列泛函n f ：∑==ni in x f 1)(α, 这里11)(-=∑==i ni i tt x x α由|||||||)(|1x n x f ni in ≤=∑=α可知),(R X L f n ∈,且对于任意X x ∈,有∑∑∞=--===1111i i i i mi i ttx αα故∑∑==≤=ni ini i n x f 11|||||)(|αα（对于固定的n x ,是固定的）,因此+∞<≤∞<≤|||||)(|sup 1x m x f n n . 但对于任意N k ∈,取kt t t x +++= 1)(0,有1}1,,1,1,1m ax {||||0=⋅⋅⋅=x ,且.)(|})(sup{|||}sup{||00k x f x f f k n n =≥≥由k 的任意性可知}||sup{||+∞=n f ,因此,}{n f 不是一致有界的.推论3.2.1 设X 是赋范空间,X x ⊂∧∈}|{αα,若对任意*∈X f ,有+∞<∧∈|)(|sup ααx f ,则+∞<∧∈||||sup ααx .证明 定义R X T →*:α为)()(ααx f f T =则αT 是线性算子,且对固定的α,有|||||||||)(||)(|αααx f x f f T ⋅≤=故αT 是线性有界算子.由于+∞<=∧∈∧∈|)(|sup |)(|sup ααααx f f T ,对任意固定的*∈X f 都成立,并且*X 是完备的,所以由一致有界原理可知+∞<∧∈||||sup ααT但|||||)(|sup |)(|sup ||||1||||1||||ααααx x f f T T f f =====,所以+∞<∧∈||||sup ααx .Neumann Von J ..在赋范空间),(Y X L 中引进几种不同的收敛性.定义3.2.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈, ),(Y X L T ∈,则（1） 若0||||→-T T n ,称n T 一致算子收敛于T ,记为T T n −→−⋅||||； （2） 若对任意 0||||,→-∈Tx x T X x n ,称n T 强算子收敛于T ,记为T T sn −→−； （3）若对任意X x ∈, *∈Y f ,有0|)()(|→-Tx f x T f n ,称n T 弱算子收敛于T ,记为T wT n −→−.由上面的定义容易看出,算子的收敛性有如下关系：定理 3.2.2 (1) 若T T n −→−⋅||||,则T T sn −→−；(2) 若T T s n −→−,则T T wn −→−.值得注意的是上定理中反方向的推导一般不成立.例3.2.4 在1l 中,定义11:l l T n →为),,,0,,0(21 ++=n n n x x x T则),(11l l L T n ∈,且对任意 1l x ∈,有∑∞+=++→==-1210||||),,,0,,0(||||||n i in n n xx x x x T θ因此θ−→−sn T ,但 1||),0,1,0,,0(||||||||sup ||||11||||==≥=-+= n n n x n e T x T T θ所以,n T 不一致收敛于零算子θ.定理 3.2.3 设X 是Banach 空间,X 是赋范空间),(Y X L T n ∈,若对任意}{,x T X x n ∈收敛,则一定存在),(Y X L T ∈,使得n T 强算子收敛于T .证明 由于}{x T n 的收敛对任意x 都成立,故可定义x T Tx n n ∞→=lim ,由n T 的线性可知T 是线性的.由于对任意}{,x T X x n ∈收敛,因此||}{||x T n 也是收敛的,从而+∞<||}sup{||x T n ,根据一致有界原理,有+∞<≤M T n }||sup{||,因而||||||||||||sup ||||lim ||||x M x T x T Tx n n n ≤≤=∞→.即),(Y X L T ∈,显然T T sn −→−.定理 3.2.4 设X , Y 是Banach 空间,),(Y X L T n ∈, 则}{n T 强算子收敛的充要条件为（1）存在0>C ,使得+∞<≤C T n ||}sup{||；（2）存在 X M ⊂,使得X M =且对于任意 }{,x T M x n ∈收敛.证明 若T T sn −→−,则（2）明显成立. 若对于任意 X x ∈,有Tx x T n n =∞→lim . 故+∞<||}sup{||x T n ,由一致有界原理可知||}{||n T |是有界的.反之,若（1）,（2）成立, 对任意X x ∈及任意0>ε,由X M =知一定存在M y ∈,使得Cy x 3||||ε<-因为对任意M y ∈,}{y T n 收敛,所以存在N ,使得N n m >,时,有3||||ε<-y T y T n m故CCCCy x T y x T x T y T y T y T y T x T x T x T n m n n n m m m n m 333||||||||3||||||||||||||||||||||||εεεε++≤-++-≤-+-+-≤-.由于Y 是完备的,因而}{x T n 是收敛的,定义x T Tx n n ∞→=lim ,则),(Y X L T ∈,所以 T T sn −→−. 推论3.2.2 设X 是Banach 空间,Y 是赋范空间,),(Y X L T n ∈,若T T sn −→−,则 ||||lim ||||n n T T ∞→≤证明 由T T sn −→−可知,对任意X x ∈,有 x T Tx n n ∞→=lim由于是Banach 空间,并对任意X x ∈,有∞<||}sup{||x T n ,因此∞<||}s up {||n T,从而,||||||||lim ||||lim ||||lim ||||x T x T x T Tx n n n n n n ⋅≤==∞→∞→∞→,所以||||lim ||||n n T T ∞→≤.例题3.2.1设X 是有限维范空间,Y 是赋范空间,∧∈∈αα),,(Y X L T . 若对任意X x ∈,有+∞<∧∈||||sup x T αα,试不用一致有界原理证明+∞<∧∈||||sup ααT .证明 在X 上定义||}||sup ||,max{||||||1x T x x αα∧∈=. 由于（1）对任意X x ∈, +∞<≤1||||0x ；（2）当0||||1=x 时,0||||=x 从而0=x .且0=x 时,显然有0||||1=x ；（3）11||||||||||x x αα=；（4）||})(||sup ||,max{||||||1y x T y x y x ++=+α||}||sup ||,max{||||}||sup ||,max{||||}||sup ||||sup ||,max{||y T y x T x y T x T y x αααα+≤++≤11||||||||y x +=因此,1||||⋅是X 上的一个范数.由于X 是有限维范空间,因此范数||||⋅和1||||⋅是等价的，故存在0>C ,使得||||||||1x C x ≤,对所有的X x ∈都成立，因而||||||||sup x C x T <∧∈αα,所以+∞<∧∈||||sup ααT .3.3 开映射定理与逆算子定理定义 3.3.1 设X 和Y 是赋范空间,Y X T →:, 若T 把X 中的开集映成Y 中的开集,则称T 为开映射.例 3.3.1 设X 是实赋范空间,则X 上的任意非零线性泛函f f ,一定是X 到R 的开映射.问题 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈, 问T 何时一定是开映射？定理 3.3.1 （开映射定理）设X 和Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是满射,即Y TX =,则T 是开映射.开映射定理的证明要用到下面的引理, 它是Schauder 在1930年得到的.引理 3.3.1 设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若Y TX =,则存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε.引理的几何意义是如果)1,0(U 是X 中的开球,则)1,0(TU 为Y 中的点集,且Y 中的0点一定是)1,0(TU 的内点.开映射定理的证明设U 是X 中的任意开集,则对任意TU y ∈0,存在U x ∈0,使得00Tx y =,下面只须证明0Tx 为)(U T 的内点.由于U 是开集,因此存在0>r ,使得U r x U ⊂),(0,故),0(),0()},0(|{)},0(|{),(00000r TU y r TU Tx r U x Tx Tx r U x x x T r x TU TU +=+=∈+=∈+=⊃.由上面引理可知,存在0>ε,使得)1,0(),0(TU U ⊂ε,因此),0(),0(r TU r U ⊂ε, 所以),(),0(),0(000εεr y U r U y r TU y TU =+⊃+⊃,即0y 为TU 的内点, 因而 TU 为 Y 的开集.推论3.3.2 若X 是Banach 空间,则对所有f f X f ,0,≠∈*一定是开映射.证明 不失一般性,不妨设R K =,则由于0≠f ,因此存在X x ∈0,使得1)(0=x f ,故对任意R ∈α,有X x y ∈=0α,使得αα==)()(0x f y f ,因而f 是X 到R 的满射.所以,由开映射定理可知f 为开映射.思考题3.3.1 若f 是开映射,则1-f存在时是否1-f 一定连续？定义 3.3.2 若X ,Y 为赋范空间,),(Y X L T ∈,若对任意y x X y x ≠∈,,时,必有Ty Tx ≠,则算子X TX T →-:1, 称为T 的逆算子.明显地,若),(Y X L T ∈,1-T 存在,则1-T 也是线性的.例题 3.3.1 设X ,Y 是赋范空间,),(Y X L T ∈,则),(1X Y L T ∈-,当且仅当存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,且此时一定有S T=-1. 证明 若),(1X Y L T ∈-,令1-=T S ,明显地,有Y X I T T S T I T T T S =⋅=⋅=⋅=⋅--11,反之,如果存在),(X Y L S ∈,使得Y X I S T I T S =⋅=⋅,则对任意y x ≠,有Ty S y x Tx S ⋅=≠=⋅,因此Ty Tx ≠,故T 是单射,从而1-T 存在.对任意Y y ∈,有X Sy ∈故y y I Sy T Y ==)()(,令Sy x =,则y Tx =,因而T 是满射,明显地，1-T 是线性的,因此1-T 为Y 到X 的线性算子,又因为S S T T S T T I T Y =⋅⋅=⋅=---)()(111,所以 S T =-1),(X Y L ∈.逆算子定理是Banach S .在1929年给出的,利用开映射定理,容易证明逆算子定理成立.定理3.3.5. （Banach 逆算子定理）设X ,Y 是Banach 空间,),(Y X L T ∈,若T 是双射,则1-T 存在,且),(1X Y L T ∈-.证明 由于T 是一一对应,且满的,因此1-T 存在且是线性的.由于X ,Y 是Banach 空间,且Y TX =,因而由开映射定理可知T 开映射,从而对任意开集X U ⊂,有TU U T =--11)(也是开集,所以1-T 连续,即),(1X Y L T ∈-.在逆算子定理中,完备性的条件必不可少.例 3.3.2 设},0,,|)0,,0,,,{(1=≥∈=i i n x n i n R x x x X 时对某个 ||sup ||||i x x =,则||)||,(⋅X 是赋范空间.定义X X T →:为),31,21,(321 x x x Tx =则),(X X L T ∈,且1-T 存在,但1-T 是无界的,这是因为对X x n ∈=),0,1,,0( , 有n x T n x T n n ==--||||),,0,,,0(11 ,因此n T ≥-||||1对任意n 成立,所以1-T 不是连续线性算子.推论 3.3.3 设||||⋅和1||||⋅是线性空间上的两个范数,且||)||,(⋅X 和)||||,(1⋅X 都是Banach空间,若存在0>β, 使得||||||||1x x β≤,则||||⋅与1||||⋅等价. 证明 定义恒等算子→⋅||)||,(:X I )||||,(1⋅X 为x Ix =,则由||||||||||||11x x Ix β≤=可知I 是连续的.显然I 是双射,因而由逆算子定理可知,1-I存在且有界. 令||||11-=I α,则 111||||||||||||||||x I x x I --≤= 所以11||||||||||||1x x I ≤-, 即||||||||||||1x x x βα≤≤.问题 3.3.1 设X 为[0,1]上的全体实系数多项式,对任意X x ∈,,)(11-=∑==i n i it t x x α定义∑=≤≤==n i i t x t x x 12101|||||||,)(|sup ||||α ,则21||||||||⋅⋅和都是X 的范数,并且21||||||||x x ≤对所有的X x ∈成立,但11||||||||⋅⋅和不是等价的范数,为什么？实际上,对于,)1()(1211-=+∑-==i n i i t t x x 则1|)(|sup ||||101==≤≤t x x t , n x ni i 2||||||12==∑=α,因此不存在常数0>β,使得12||||||||x x β≤对所有的X x ∈成立,所以21||||||||⋅⋅和不是等价的范数.3.4 闭线性算子与闭图像定理在量子力学和其他一些实际应用中,有一些重要的线性算子并不是有界的,例如有一类在理论和应用中都很重要的无界性算子--闭线性算子,在什么条件下闭线性算子是连续呢?这一问题的研究,Hellinger E .和Toeplitz O .1910年在关于Hilbert 空间对称算子的工作中就开始了,然后是Hilbert 空间中共轭算子连续性的研究,1932年才发展成闭线性算子在赋范空间上的结果,这就是非常著名闭图像定理.若||)||,(⋅X 和||)||,(⋅Y 是赋范线性空间,则在乘积Y X ⨯空间中可以定义范数,使之成为赋范空间,对),(11y x 和K Y X y x ∈⨯∈λ,),(22,线性空间Y X ⨯的两种代数运算是),(),(),(21212211y y x x y x y x ++=+),(),(y x y x λλλ=并且范数定义为||||||||||),(||y x y x +=例3.4.1 乘积空间},|),{(2R y x y x R R R ∈=⨯=,且||||||||||),(||y x y x +=.明显地,有如下的结论.定理 3.4.1 设X 和Y 都是赋范空间Y X y x z n n n ⨯∈=),(,则),(y x z z n =→Y X ⨯∈当且仅当Y y X x n n ∈∈,且y y x x n n →→,.定理3.4.2 若X 和Y 都是Banach 空间,则Y X ⨯也是Banach 空间.在下面,考虑从定义域X T D ⊂)(到Y 的线性算子,)(T D 为X 的子空间.定义3.4.1 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是定义域X T D ⊂)(上的线性算子,若T 的图像}),(|),{()(Tx y T D x y x T G =∈=在赋范空间Y X ⨯中是闭的,则称T 为闭线性算子.定理3.4.3 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性算子,则T 是闭线性算子当且仅当对任意)(}{T D x n ⊂,满足y Tx x x n n →→,时,必有)(T D x ∈且y Tx =.证明 若T 是闭线性算子,则是)(T G 闭集,则对于任意)(T D x n ∈,当y Tx x x n n →→,时, 有),(),(y x Tx x n n →,因此)(),(T G y x ∈,由)(T G 的定义,有)(T D x ∈,y Tx =.反之,若)(),(T G Tx x n n ∈,且),(),(y x Tx x n n →时一定有)(T D x ∈,y Tx =, 从而)(),(),(T G Tx x y x ∈=.所以,)(T G 是闭集,即T 是闭线性算子.定理3.4.4 设X ,Y 是赋范空间,Y T D T →)(:是线性连续算子,若)(T D 是闭集,则T 一定是闭线性算子.证明 设)(T D x n ∈,y Tx x x n n →→,,则由T 是连续的知Tx Tx n →,故Tx y =. 由于)(T D 是闭集,因此)(T D x ∈,所以T 是闭线性算子.推论3.4.1 若Y X T →:是线性连续算子,则T 一定是闭线性算子.这是因为这时X T D =)(是闭集,反过来,一般来说,闭线性算子不一定连续.例3.4.2 设)(|)({]1,0[1t x t x C =为]1,0[上具有连续导数的},|)(|sup ||||10t x x t ≤≤=,则 ||)||],1,0[(1⋅C 是一个赋范空间,在]1,0[1C 上定义线性算子T 如下：]1,0[]1,0[:1C C T →]1,0[)(],1,0[),()(1C t x x t t x dt d t Tx ∈=∈=任意任意 则T 是]1,0[1C 到]1,0[C 的闭线性算子,但T 不是线性连续的.事实上,若]1,0[1C x n ∈ , y Tx x x n n →→,,则)(t x n 在]1,0[上“一致收敛”于)(t x ,并且n x '在]1,0[上也“一致收敛”于)(t y ,因而)(t x 具有连续的导函数)('t x ,且)()('t y t x =,所以]1,0[1C x ∈,且y Tx =,即T 是闭线性算子.令n n n t t x x ==)(,则]1,0[1C x n ∈且1||sup ||||10==≤≤n t n t x ,但n nt Tx n t n ==-≤≤||sup ||||110,因此T 不是线性连续算子.问题3.4.1 若T 是X T D ⊂)(到Y 的闭线性算子,则T 是否把闭集映为闭集呢? 例3.4.3 对任意0)(c x x i ∈=,定义线性算子00:c c T →为)2(i ix Tx = 则T 是0c 到0c 的线性连续算子,且0)(c T D =,因此T 是闭线性算子.对于闭集0c ,0Tc 不是0c 的闭子集.事实上,对于)0,,0,21,,21,21(2 n n y =, 0c y n ∈,且有)0,,0,1,,1,1( =n x ,0c x n ∈,使得n n y Tx =,故0Tc y n ∈,但因为n y 趋于),21,21,,21,21(12 +=n n y ,故不存在0c x ∈,使得y Tx =,所以0Tc y ∉,即0Tc 不是0c 的闭子集.在什么条件下闭线性算子一定是连续呢？这就是闭图像定理所研究的问题.定理3.4.5（闭图像定理）设X 与Y 是Banach 空间,Y T D T →)(:是闭线性算子,(这里X T D ⊂)(),若)(T D 在X 中是闭集,则T 一定是)(T D 到Y 的线性连续算子.证明 由于X 和Y 是Banach 空间,因此Y X ⨯也是Banach 空间,又由于X 是Banach 空间,且)(T D 是X 的闭子集,因此)(T D 作为X 子空间是完备的.由T 是闭线性算子可知)(T G 是Y X ⨯的闭子集,由于T 是线性的,因而)(T G 是Y X ⨯的子空间,从而)(T G 是Y X ⨯的完备子空间.定义从Banach 空间)(T G 到Banach 空间)(T D 的线性算子P ：)()(:T D T G P →).(),(,),(T G Tx x x Tx x P ∈=任意则P 是线性算子,且||),(||||||||||||||||),(||Tx x Tx x x Tx x P =+≤=.故1||||≤P ,从而))(),((T D T G L P ∈.由P 的定义可知P 是双射,因而由逆算子定理可知1-P 存在,且))(),((1T D T G L P∈-,故对任意)(T D x ∈,有 ||||||||||||||),(||||||||||||||11x P x P Tx x Tx x Tx ⋅≤==+≤--所以,T 是)(T D 到Y 的线性连续算子.若T 的定义域X T D =)(,即T 是X 到Y 的线性算子,则闭图像定理有下面简明形式. 推论 3.4.2 设X ,Y 是Banach 空间,且T 是X 到Y 的线性算子,则),(Y X L T ∈当且仅当T 是闭线性算子.例题 3.4.1 设X ,Y ,Z 是Banach 空间,若),(Z X L A ∈,),(Z Y L B ∈,并对任意的 X x ∈,方程By Ax =都有唯一解y ,试证明由此定义的算子y Tx Y X T =→,:,有),(Y X L T ∈.证明 容易验证T 是线性算子,要证明T 是线性连续算子,只需证明T 是闭算子.对于X x n ∈, Y y Tx x x n n ∈→→,,有n n BTx Ax =.由于B A ,都是连续的,因此By BTx Ax Ax n n n n ===∞→∞→lim lim从而y Tx =所以,T 是闭算子,由闭图像定理可知,),(Y X L T ∈.习题三3.1 设算子0:c l T →∞,∞∈==l x x x Tx i i i)(),2(任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.2 设1)(l x i ∈,算子11:l l T →, 1)(),3(l x x x Tx i ii ∈==任意,试证明T 是线性有界算子,并求||||T . 3.3 对任意0c x ∈,定义∑∞==1!)(i i i x x f ,试证明*∈0c f ,并求||||f . 3.4 设),(Y X L T ∈,试证明||||sup ||||1||||Tx T x <=.3.5 设X 和Y 是实赋范空间,T 为X 到Y 的连续可加算子,试证明),(Y X L T ∈.3.6 设c 是所有收敛实数列全体,范数||sup ||||i x x =,}{i α为实数列,若对任意c x ∈,都有∞<=∑∞=|||)(|1i i i x x f α,试证明i i i x x f ∑∞==1)(α为c 上的线性连续泛函,并且∞<=∑∞=||||||1i i f α.3.7 设X ,Y 是赋范空间,}0{≠X , 试证明Y 是Banach 空间当且仅当),(Y X L 是Banach 空间.3.8 设X 是Banach 空间,*X f n ∈且对任意)()(lim ,x f x f X x n n =∈∞→,试证明*∈X f . 3.9设X 是实赋范空间,X x n ⊂}{, 试证明对所有的*∈X f ,都有∞<∑∞=|)(|1i i x f 当且仅当存在0>M ,使得对任意的正整数n 和1±=i δ,都有M x in i i <∑=||||1δ. 3.10 设X ,Y 是赋范空间,Y X T →:是线性算子,且T 是满射,若存在0>M ,使得||||||||x M Tx ≥对任意X x ∈成立,试证明1-T 是线性连续算子,且MT 1||||1≤-. 3.11 设T 为赋范空间X 到赋范空间Y 的闭线性算子,且1-T 存在,试证明1-T 是闭线性算子.3.12 设X 是Banach 空间,f 是X 上的非零线性泛函,试证明f 一定是开映射.3.13 设X 是赋范空间,T 是从X 到X 的线性算子,X T D =)(,S 是从*X 到*X 的线性算子,*=X S D )(若对任意*∈∈X f X x ,,有)())((Tx f x Sf =,试证明T 和S 都是线性连续算子.3.14 设X ,Y 是赋范空间,T 为X 到Y 的闭线性算子,F 为X 的紧集,试证明)(F T 为Y 的闭集.3.15 设X 为Banach 空间,T 为X 到X 的线性算子,若T T =2,且)(T N 和)(T R 都是闭的,试证明),(X X L T ∈.3.16 设X ,Y 赋范空间,),(,Y X L T T n ∈,若n T 强收敛于T ,试证明n T 弱收敛于T .3.17 设22:l l P n →,)0,,0,,,,(),,,,,(21121 n n n n x x x x x x x P =+,试证明n P 强收敛于I ,但n P 不一致收敛于I .哈恩Hans Hahn 于1879年9月27日出生于奥地利的维也纳,他在维也纳大学跟Gustav Ritter von Escherich攻读博士学位, 1902获得博士学位，博士论文题目为Zur Theorie der zweiten Variationeinfacher Integrale.他是切尔诺夫策(Chernivtsi)大学(1909–1916),波恩大学(1916–1921)和维也纳大学(1921–1934)的教授.Hahn的最早的结果对古典的变分法做出贡献,他还发表了关于非阿基米德系统的重要论文, Hahn是集合论和泛函分析的创始人之一,泛函分析的重要定理之一, Hahn-Banach定理就是Hans Hahn(1879-1934) 以他的名字命名的.他在1903 到1913间对变分法做出了重要的贡献.在1923他引进了Hahn 序列空间.他还写了关于实函数的两本书Theorie der reellen Funktionen (1921)和Reelle Funktionen (1932).Hahn获得过很多荣誉，包括1921年的Lieban奖,他是奥地利科学院院士,他还是Calcutta 数学学会名誉会员.Hahn对数学的成就主要包括著名的Hahn-Banach定理, 其实很少人知道,实际上Hahn 独立地证明了(Banach和斯坦豪斯得出的)一致有界原理. 其他定理还有Hahn分离定理、维他利-哈恩-萨克斯定理(Vitali-Hahn-Saks theorem)、哈恩-马祖凯维奇定理（Hahn-Mazurkiewicz theorem）和哈恩嵌入定理(Hahn embedding theorem)等. Hahn的数学贡献不限于泛函分析,他对拓扑学、集合论、变分法、实分析等都有很好的贡献.同时,他也活跃于哲学界,是维也纳学派的一员.。
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：
巴拿赫空间上的有界线性算子（一）：巴拿赫空间上的有界线性算子前面两章的内容可以看作是学习泛函分析的准备工作，让我们熟悉了泛函分析研究的主要对象之一：无限维空间。
从本章开始，我们将研究算子理论，而在泛函分析基础中，我们主要研究有界线性泛函，当然我们也会对无界线性泛函做简单的介绍，那么现在就让我们开始新的旅程吧！设及都是实(或复)的线性空间, 是由的某个子空间到线性空间中的映射,如果对任意的 , 有:我们称这样的映射为线性映射或线性算子.给出一些我们常用的记号：映射的定义域常用表示；值域通常用表示.当映射的值域在实数域或者复数域时，我们习惯称其为线性泛函，常用表示.如果是连续(按照空间的范数收敛)则称是连续线性算子；若将任何有界集映射为有界集我们称其为有界线性算子.在本小节中我们主要探索连续和有界的关系！首先，我们做一点说明，我们主要还是在无限维空间中研究.这是为什么呢？因为在有限维空间中：线性连续有界这样的映射我们实在没有兴趣研究(真的没有兴趣吗？哈哈!)比如：在中定义积分算子：这显然是一个线性泛函；并且还是连续有界的.现在我们对有界、连续、线性这几个关系进行探索！设都是实赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子.则满足齐次性,因此是连续线性算子.证明：因为对任意的都有：又因为是连续的，因此我们由柯西引理知道是齐次的，即：推论：设都是复赋范线性空间, 是由的子空间到中的连续可加算子,且 , 则满足齐次性,因此是连续线性算子.下边一个定理是我们对有界映射常用的一种说法：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则有界的充分必要条件是存在 , 使得对一切 , 有 .证明：充分性：显然.必要性：考虑单位球面(再一次体现了单位球面的重要性)，,那么对任意的都有：先考虑任意的,那么,所以：因此：命题得证.有了这个等价刻画之后，我们就可以证明在赋范线性空间中连续和有界是一回事：设都是赋范线性空间, 是由的子空间到中的线性算子. 则下列性质等价：(i) 连续;(ii) 在原点处连续;(iii) 有界.证明：显然.注意到线性性并叙述连续定义：对任意的(不妨取为1),存在，使得对任意的,都有：因此对任意的,都有：因此：所以：所以有界.:设且,那么：因此在处连续.故得证.线性算子空间从这里开始，我们应空间表示Banach空间.不做说明时，所说的算子都定义在整个空间上.设都是空间，我们考虑所有从的有界线性泛函，不难发现，如果是线性算子，那么也是线性算子，也是线性算子，这说明线性算子在逐点定义的加法和自然数乘下可以形成数域上的线性空间.我们将这个空间记为：，当时，我们简记为：他已经是一个线性空间了，我们要在其上赋予范数使其具有拓扑结构，可是应该怎么赋予范数呢？这是一个好问题！一方面可以根据有限维空间定义范数的延申，一方面是根据书上的，因为是有界线性泛函，所以定义:显然它可以等价定义为：有限维泛函空间中：如中也是如此定义的.（学过数值的可能会熟悉些...）因为是有界泛函，所以：因此这个定义是合理的，如果是无界泛函那么上确界可能不存在，因此定义就不合理了。
算子理论的精粹
算子理论的精粹算子理论是数学中的一个重要分支，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍算子理论的基本概念、主要性质以及其在数学和物理学中的应用。
一、算子理论的基本概念算子是指将一个函数映射到另一个函数的数学对象。
在算子理论中，常用的算子有线性算子、紧算子、自伴算子等。
下面分别介绍这些算子的定义和性质。
1. 线性算子线性算子是指满足线性性质的算子。
设X和Y是两个线性空间，T是从X到Y的映射，如果对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，都有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)，则称T是一个线性算子。
线性算子的性质包括可加性、齐次性和保持线性组合。
可加性指对于任意的x1、x2∈X，有T(x1+x2)=T(x1)+T(x2)；齐次性指对于任意的x∈X和标量α，有T(αx)=αT(x)；保持线性组合指对于任意的x1、x2∈X和任意的标量α、β，有T(αx1+βx2)=αT(x1)+βT(x2)。
2. 紧算子紧算子是指将有界集映射为有界集的算子。
设X和Y是两个巴拿赫空间，T是从X到Y的线性算子，如果对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集，则称T是一个紧算子。
紧算子的性质包括有界性和完全性。
有界性指对于任意的有界集B⊆X，T(B)是有界集；完全性指如果X中的每个收敛序列都有唯一的极限，则称X是完全的。
3. 自伴算子自伴算子是指满足自伴性质的算子。
设H是一个希尔伯特空间，T是从H到H的线性算子，如果对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨，则称T是一个自伴算子。
自伴算子的性质包括对称性和正定性。
对称性指对于任意的x、y∈H，有⟨T(x),y⟨=⟨x,T(y)⟨；正定性指对于任意的非零向量x∈H，有⟨T(x),x⟨>0。
二、算子理论的主要性质算子理论有许多重要的性质，下面介绍其中的几个。
1. 谱理论谱理论是算子理论中的一个重要分支，它研究的是算子的谱和谱半径。
算子的谱是指使得算子不可逆的复数集合，谱半径是指谱中绝对值最大的复数。
第三章 有界线性算子
第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。
巴拿赫空间上的有界线性算子
第八章 巴拿赫空间上的有界线性算子算子线性算子 非线性算子无界线性算子 有界线性算子§1 有界线性算子1.1 有界线性算子的基本概念与性质定义1.1 设E 及1E 都是实（或复的）线性空间，T 是由E 的某个子空间D 到线性空间1E 中的映射，如果对任意D y x ∈,，有()Ty Tx y x T+=+则称T 是可加的。
若对任意的实（或复）数α及任意的D x ∈，有()Tx x Tαα=则称T 是齐次的。
可加齐次的映射称为线性映射或线性算子。
D 中使θ=Tx 的元素x 的集合称为T 的零空间。
设1E 是实（或复）数域，于是T 成为由D 到实（或复）数域的映射，这时称T 为泛函。
如果T 还是线性的，则称T 为线性泛函。
泛函或线性泛函常用g f ,等符号表示。
定义1.2 设E 及1E 都是实或复的赋范线性空间，D 为E 的子空间，T 为由D 到1E 中的线性算子。
如果按照第六章§2.3定义2.6，T 是连续的，则称T 为连续线性算子。
如果T 将D 中任意有界集映成1E 中的有界集，则称T 是有界线性算子。
如果存在D 中的有界集A 使得()A T 是1E 中的无界集，则称T 是无界线性算子。
例 1 将赋范线性空间E 中的每个元素x 映成x 自身的算子称为E 上的单位算子，单位算子常以I 表示.将E 中的每个元素x 映成θ的算子称为零算子.容易看出，单位算子与零算子既是有界线性算子也是连续线性算子.例 2 连续函数的积分()()⎰=badt t x x f是定义在连续函数空间[]b a C ,上的一个有界线性泛函，也是连续线性泛函.＊例 1、例 2中出现的线性算子或线性泛函既是有界的又是连续的.对线性算子来说，有界性与连续性等价（见定理1.3）.定理 1.1 设E ,1E 都是实赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子.则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊推论 设E ,1E 都是复赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的连续可加算子，且iTx ix T =)(，则T 满足齐次性，因此T 是连续线性算子.＊定理 1.2 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则T 有界的充要条件是存在0>M ，使得对一切D x ∈，有x M Tx ≤.＊＊定理1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的线性算子.则下列性质等价：(i) T 连续；(ii) T 在原点θ处连续； (iii) T 有界.由此定理知，对线性算子来说，有界性、连续性以及在原点的连续性均相互等价.而且还可以证明：这三个等价条件也与在中任一给定的点处的连续性等价.为了对有界线性算子进行更深入的讨论，我们将对它引进一个重要的量—算子的范数.定义 1.3 设E ，1E 都是赋范线性空间，T 是由E 的子空间D 到1E 中的有界线性算子.使x M Tx ≤对一切D x ∈都成立的正数M 的下确界称为T 的范数，记为T .因M 是集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠∈θx D x x Tx ,: 的一个上界，因此算子T的范数T 作为所有上界M 的下确界也是上述集合的一个上界，而且由定义知，T 是上述集合的最小上界，即上确界，亦即xTx T Dx x ∈≠=θsup由此容易导出下列结论：(i) 对一切D x ∈，有x T Tx ≤. ＊(ii)Tx Tx T Dx x Dx x ∈=∈≤==11sup sup现在举几个实例说明如何估计有界线性算子的范数及如何求出其范数.例3 设()()n j i a ij .,2,1,,⋅⋅⋅=为一给定的n n ⨯方阵，ij a 均为实数，由等式∑==nj j ij i a 1ξη ()n i ,,2,1⋅⋅⋅=定义了一个由n R 到nR 的算子T ：y Tx =.它将元素()n x ξξξ,,,21⋅⋅⋅=映成元素()n y ηηη,,,21⋅⋅⋅=.在n R 中任取两个向量()()()()()2,1,,,,21=⋅⋅⋅=k x k n k k k ξξξ，由等式()()()()∑∑∑===+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+nj nj jij j ij nj j j ij a a a 1121121ξξξξ 可知，T 是可加的，类似地可以证明T 是齐次的，因此T 是线性算子，由柯西不等式，有2112211,22112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===nj j nj i ij ni i a ξη故T 有界，因此T连续，且()212a ijT ≤.＊例 4 我们用()∞∞-,C 表示定义在()∞∞-,上有界连续函数构成的集，其中的线性运算与空间[]b a C ,的相同，在()∞∞-,C 中定义范数如下：()t y y t ∞<<∞-=sup ()()∞∞-∈,C y则()∞∞-,C 是一个巴拿赫空间.＊ 设()∞∞-∈,L x ，令()()⎰∞∞--==dt t x e s y Tx y ist: T 是定义在()∞∞-,L 上而值域包含在()∞∞-,C 中的线性算子.再由()()()()()⎰⎰∞∞-∞∞--=≤=dt t x dt t x es y s Tx ist＊可知，T有界因而连续，且1≤T .例 5 在内插理论中我们往往用拉格朗日公式来求已知连续函数的近似多项式.设[]b a C x ,∈，在[]b a ,中任取n 个点，作多项式()()()()()()()()()n k k k k k k n k k kt t t t t t t t t t t t t t t t t l -⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅-=+-+-111111其中n k ,,2,1⋅⋅⋅=.再令 ()()()∑===nk kkn t l t x t y x L y 1:则n L 是由[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()∑=≤≤=nk k bt a n t l L 1max （4）n L 的线性是明显的.今证n L 有界且等式（4）成立.令 ()∑=≤≤=nk k bt a t l 1max α那么()()()x t x t l t x x L bt a nk kkb t a n αα=≤=≤≤=≤≤∑max max 1故α≤n L （5）另一方面，由于()∑=nk k t l 1在[]b a ,上连续，故存在[]b a t ,0∈使得()∑==nk k t l 10α取[]b a x ,0∈满足：()()()n k t l t x x k k ,,2,1,sgn ,1000⋅⋅⋅===至于0x 在[]b a ,中其它点处的值则可以任意，但绝对值不能超过1，并()t x 0保证在[]b a ,上连续.于是()()()()()()α===≥∑∑==nk k nk kkn n t l t l t l t x L x L 101000sgn故α≥n L （6）由不等式（5）、（6）可得等式（4）. 例 6 设()s t K ,是定义b s a b ta ≤≤≤≤,在上的连续实函数.在空间[]b a C ,上定义如下的积分算子： ()()()()()⎰==bads s x s t K t Tx t y ,则T 为[]b a C ,到其自身的有界线性算子，且范数满足()⎰≤≤=babt a ds s t K T ,max （7）显然T 是[]b a C ,到其自身的线性算子.今证T 有界且等式（7）成立.令 ()⎰≤≤=babt a ds s t K ,max α则()()()()xds s t K t x dss x s t K Tx bab t a bt a babt a α=≤=⎰⎰≤≤≤≤≤≤,max max ,max故T 有界且α≤T .由于()⎰bads s t K ,是t的连续函数，故存在[]b a t ,0∈，使得()⎰=bads s t K ,0α记(){}0,:00≥=s t K s e .作函数()()()00,1,1e t nd e t nd t n +-=ϕ其中()0,e t d为t 与0e 的距离，则()t n ϕ于[]b a ,上连续，且()1≤t n ϕ.注意到0e 为闭集，()t n ϕ还有下列性质：()()()⎩⎨⎧∞→∉-→∈==n e t n e t t n 当对一切00,1,1ϕ 由勒贝格控制收敛定理，当∞→n 时，有()()()()()⎰⎰=→=ba b a n n ds s t K ds s s t K t T αϕϕ,,000于是()TT T t T n nn n ≤≤≤=∞→ϕϕϕα0lim因此α=T .若原Φ=0e ，则令(){}0,:0<=s t K s e .例 7 在连续函数空间[]1,0C 中讨论微分算子dtdT =.将在[]1,0上连续可微函数构成的集[]1,01C 作为T 的定义域，则T 是定义[]1,01C 在上，并在[]1,0C 中取值的线性算子.我们证明T 无界. 取()nt t x n sin =，则1=n x ，但∞→===n nt n nt dt dTx n cos sin （当∞→n 时）故T 将[]1,01C 中的单位球面映成[]1,0C 中的无界集.T 无界.。
有界线性算子的谱
第一节有界线性算子的谱一.算子代数定义：厶(X)是一复Banach空间，并且为一具有线性运算与乘法运算的代数系统，我们称英为算子代数。
性质：设R,S,T“(X),xC,则有1、结合律:(RS)T = R(ST), T m+B=r n r(m,neN)；2、a(ST) = (aS)T = S(aT)；3、R(S + T) = RS + R「(R + S)T = RT + ST ；4、单位算子/满足：IT = TI = T ；5、7\X T X为同构O存在A.B^L(X),使得AT = [ = TB :必左4 = B,称它为T的逆，记作T~\并称丁为可逆算子。
以GZXX)记厶(X)中的可逆算子的全体。
6、若S、TwGL(X),贝iJSreGL(X),且(ST)"1=T^S'\(T n y[ =(T-I)/\当Tw GL(X)时约宦厂〃=(厂丫⑺> 0),厂=I,因而对任何"乙厂有意义。
注：1、算子乘法不满足交换律；2、阿|邙||||71，||鬥|井『(心)；3、若在厶(X)中S Q S、T Q T,则必有S n T n ->ST o定义：设丁属于某算子代数，称/(7')=工％7'”=%/ + <7' + ・・・+ ©7'”+・・・n-0(其中系数e C(// > 0)为算子幕级数。
性质：设通常幕级数有收敛半径R,则当TeMX),||T||</?时级数ZF-0工0Z1卜工闯P『vs引理3丄1设TeL(X),则X (/_丁尸=工厂『“■0只要貝右端级数收敛。
特別，当|卩||<1时上式必成立。
推论：若T,SwL(X),T可逆，则00(T + S)-=工厂l_S 厂 g/r-()只要英右端级数收敛：特别，当||s||适当小时必成立。
二、谱与谱半径定义3.1.2设Tw厶(X ),1、若不可逆，即AI-TeGL(X),则称2为丁的谱值。
第三章 有线性算子
第三章 有界线性算子一 有界线性算子与有界线性泛函 1 定义与例设1,X X 是赋范空间，T 是X 中线性子空间)(T D 上到1X 中的映射 ，满足条件：对于任意)(,T D y x ∈，K ∈α,)(Ty Tx Y x T +=+Tx x T αα=)(称T 是X 中到1X 中的线性算子。
称)(T D 是T 的定义域。
特别地，称赋范空间X 上到数域K 中的线性算子为线性泛函，并且它们是到实数域或复数域分别称为实线性泛函与复线性泛函。
如果一个线性泛函f 是有界的，即)( |||||)(|M x x M x f ∈≤称为f 有界线性泛函。
此外取算子范数作为空间中的范数。
定理1.1 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，如果T 在某一点X x ∈0连续，则T 是连续的。
定理1.2 设1,X X 是赋范空间，T 是X 上到1X 中的线性算子，则T 是连续的，当且仅当，T 是有界的。
2 有界线性算子空间设1,X X 是赋范空间，用),(1X X β表示所有X 上到1X 中的有界线性算子全体。
在),(1X X β中可以自然地定义线性运算，即对于任意∈B A ,),(1X X β及K ∈α，定义Bx Ax x B A +=+))((Ax x A αα=))((不难到，两个有界线性算子相加及数乘一个有界线性算子仍有界线性算子。
此个取算子范数作为空间),(1X X β的范数，具体见)(77P 。
由此可知，),(1X X β是一个赋范线性空间，如果1X X =，把),(1X X β简记为)(X β。
在空间),(1X X β中按范数收敛等价于算子列在X 中的单位球面上一致收敛。
事实上，设∈nA A ,),(1X X β,...)2,1(=n 及}1||:||{=∈=X X x S 。
如果)(∞→→n A A n ，则对任意0>ε，存在N ，当N n >时，对于每一个S x ∈≤-||||Ax x A n1||||sup =x ||||Ax x A n -=||||A A n-ε<。
4 有界线性算子与线性算子的基本定理g
第6页 页 3 有界线性算子的范数 定义2 是线性赋范空间， ⊂ 是线性子空间 是线性子空间, 是有界线性算子, 定义 设X,Y是线性赋范空间，D⊂X是线性子空间 T: D→Y是有界线性算子,则称 是线性赋范空间 → 是有界线性算子 ||T||=inf { M | ||Tx||Y ≤ M||x||X, ∀x∈D} 为算子 的范数 为算子T的 ∈ 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定理2 设X,Y是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,T: D→Y是 定理 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 → 是 有界线性算子， 的范数具有下列性质： 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： 的范数具有下列性质 (1)||Tx||≤||T|| ||x||,∀x∈D(即||T||是有界线性算子 的最小界值定义） ≤ 是有界线性算子T的最小界值定义 (1) ∀ ∈ ( 是有界线性算子 的最小界值定义） (2) 证 ⇒ ⇒ ⇒
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一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 是线性赋范空间, 是线性子空间, 定义1 设X是线性赋范空间,D⊂X是线性子空间,映射 D→Y. 是线性赋范空间 ⊂ 是线性子空间 映射T: → . T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子⇔∀x 是线性算子⇔∀ 及数 , (1) 是线性算子⇔∀ 1, x2∈D及数α∈K,有 T(αx)=αTx (2)T是连续算子⇔∀x ∈ (2) 是连续算子⇔∀ n, x∈D,n=1,2,…, xn→x, 有Txn→Tx 是连续算子⇔∀ ⇔∀x,x ⇔∀ 0∈D, x→x0, 有Tx→Tx0;⇔T在D上处处连续 → → 在 上处处连续 (3)T是有界算子⇔∀x∈ (3) 是有界算子⇔∀ ∈D, ∃M>0, 使||Tx||≤M||x||X 是有界算子⇔∀ , ≤ (4)T是有界线性算子⇔ 既是有界算子 既是有界算子, (4) 是有界线性算子⇔T既是有界算子,又是线性算子 是有界线性算子 (5)T是连续线性算子⇔ 既是连续算子, (5) 是连续线性算子⇔T 既是连续算子,又是线性算子 是连续线性算子 定义中, 算子 的定义域; 算子T 算子T的界值 的界值;T(D)={Tx|x∈D}- 算子 的值域 算子T的值域 注:1)定义中,D -算子T的定义域 M -算子 的界值 定义中 ∈ 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x ）有界算子与有界函数不同, 有界算子: 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
有界线性算子和连续线性泛函.ppt
所以 Txn Tx 0 ，即 Txn Tx(n ) ，因此 T 连续。 反之若 T在 X 上连续，但 T 无界，这时在 X 中必有一列向量 x1, x2, x3,,使 xn 0
但
Txn n xn
对于线性泛涵，我们还有下面的定理 定理2 设X 是赋范线性空间，f 是 X 上线性泛涵，那么 f 是X 上连续泛涵的
充要条件为 f 的零空间 ( f )是 X 中的闭子空间。
证明 设 f 是连续线性泛涵，当 xn ( f ) n 1,2,, 并且 xn x(n ) 时，由 f
的连续性，有
f
(x)
Tx c x
（3）
则称 T是 A(T )到 Y 中的有界线性算子，当 A(T) X时，称 T 为X 到 Y中的有界线性
算子，简称为有界算子，对于不 满足条件（3）的算子，称为无界算子。本书主要 讨论有界算子。
定理1 设 T是赋范空间 X 到赋范空间 Y中的线性算子， 则 T 为有界算子的充要条件为 T 是 X 上连续算子。
则当 x vev 时，由 f 的线性， v1
n
n
f (x) f (e )
1
1
由此可见， n 维线性空间上线性泛函与数组 (1,2,,n ) 相对应。
II 有界线性算子与连续线性泛函
定义2 设 X 和 Y 是两个赋范线性空间。T 是X 的线性子空间 A(T )到 Y 中的
线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x A(T ) ，有
（7）
III 有界线性算子和连续线性泛涵的例子
例6 赋范线性空间X上的相似算子Tx x 是有界线性 算子，且 T a ，特别
第二章 线性算子与线性泛函
第二章 线性算子与线性泛函第一节 有界线性算子一、线性算子本段中只需假设,,X Y Z 等是K 上的向量空间。
定义： 若一个映射:T X Y →满足()(,,,)T x y Tx Tyx y X αβαβαβ+=+∈∈K ，则称T 为从X 到Y 的线性算子。
容易看出，上述等式可推广到更一般的情形：()i iiiiiT x Tx αα=∑∑。
命题2.1.1 设:T X Y →是一线性算子，则以下结论成立：（1）任给子空间A X ⊂与子空间B Y ⊂，TA 与1T B -分别为Y 与X 的子空间。
特别，(0)0T =与()R T TX =（值域）是Y 的子空间；1()(0)N T T -是X 的子空间（称为T 的核或零空间）。
（2）若向量组{}i x X ⊂线性相关，则{}i Tx 亦线性相关；若A 是X 的子空间且dim A <∞，则dim dim TA A <。
（3）T 是单射(){0}N T ⇔=。
说明：若0()Tx Y x X ≡∈∈，则称T 为零算子，就记为0；若(),Tx x x X αα≡∈∈K 为常数，则称T 为纯量算子（或相似变换，若0α≠），记作I α，当0α=与1时，I α分别是零算子和单位算子。
对线性算子可定义两种自然的运算：线性运算与乘法。
若,:T S X Y →是线性算子，,αβ∈K ，则:T S X Y αβ+→是一个线性算子，它定义为()().(2.1.2)T S x Tx Sx x X αβαβ+=+∈若:R Y Z →是另一个算子，则由()()().(2.1.3)RT x R Tx x X =∈定义出一个线性算子:RT X Z →，称它为R 与T 的乘积。
实际上，线性算子的乘积就是它们的复合。
容易原子能正验证，如上定义的运算有以下性质：11(),()();R T S RT RS R R T RT R T +=+⎧⎨+=+⎩分配律()();()Q RT QR T =结合律()()(),()RT R T R T αααα==∈K只要以上等式的一端有意义。
第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛
3. 逆算子概念与性质 定义5 (逆算子) 设有算子T: XY, 如果存在算子S: YX, 使得
ST=Ix, TS=Iy 则称S为T的逆算子，记作S=T-1.
注： 1) 若S是T的逆算子，则对xX, 有
T S X Y X T S x Tx S (Tx) I x x x
对于T-1, 开集的原象是开集
T-1是连续算子T-1是有界线性算子。
二、闭图像定理
1. 算子的图像与闭图像定理 定义7 (线性赋范空间的积空间) 设X, Y都是线性赋范空间, 在集合 X×Y={(x,y)|xX, yY} 中定义线性运算 k1(x1, x2)+k2(x2, y2)=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2);
范数 ||(x,y)||=||x||X+||y||Y
则X×Y也是线性赋范空间，称XY为X与Y的积空间。 注： 若X与Y都是Banach空间，则XY也是Banach空间。
定义8 (算子的图像) 设X, Y都是线性赋范空间, DX是线性子空
间，T:DY是线性算子，则称集合GT={(x,Tx)|xD}XY 为算子T的图像。 注： GT是 XY的线性子空间。事实上
三、共鸣定理(一致有界定理)
在许多数学问题中，经常出现的不只是单个的线性有界算子， 而是一族线性有界算子，并需要讨论这一族线性有界算子在什 么条件下一致有界？关于这一问题巴拿赫—斯坦因豪斯 (Banach-Steinhaus) 给出了一个非常漂亮的结果，即共鸣定理。 引理1（奥斯古得（Osgood）定理）设X是巴拿赫空间， gn:
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
4.1有界线性算子
4.1有界线性算⼦第4章线性算⼦与线性泛函4.1 有界线性算⼦4.1.1 线性算⼦与线性泛函算⼦概念起源于运算。
例如，代数运算、求导运算、求不定积分和定积分、把平⾯上的向量绕坐标原点旋转⼀个⾓度等等。
在泛函分析中，通常把映射称为算⼦，⽽取值于实数域或复数域的算⼦也称为泛函数，简称为泛函。
本章着重考察赋范线性空间上的线性算⼦，它是出现在各个数学领域中具有线性性质的运算（例如线性代数中的线性变换；微分⽅程论、积分⽅程论中⼤量出现的微分、积分运算、积分变换等）的抽象概括。
它是线性泛函分析研究的重要对象。
关于线性算⼦的理论不仅在数学的许多分⽀中有很好的应⽤，同时也是量⼦物理的数学基础之⼀。
中国物理学界习惯上把算⼦称为算符。
定义4.1.1 设F 是实数域或复数域，,X Y 是F 上的两个线性空间，D 是X 的线性⼦空间，:T D Y →是⼀个映射.对x D ∈，记x 经T 映射后的象为 Tx 或 ()T x . 若对,x y D ?∈及数,αβ∈F , 有()()()T x y T x T y αβαβ+=+（或 Tx Ty αβ=+） (4.1.1)则称T 是线性算⼦.称D 是T 的定义域，记为()T D ;称集(){}T D Tx x D =∈（或TD ）为T 的值域（或象域），记为()T R .取值为实数或复数的线性算⼦T （即：()T ?F R , 1=F R 或1C ）分别称为实的或复的线性泛函，统称为线性泛函。
注今后所讨论的算⼦（泛函）都是线性算⼦（线性泛函）。
例4.1.1 设1[0,1],[0,1]X C Y B ==([0,1]上有界函数全体)，定义d()()()d Tx t x t t=, 则T 是X 到Y 的线性算⼦。
例4.1.2 设[,]X C a b =，(,)K t s 是[,][,]a b a b ?上的⼆元连续函数，定义()()(,)()d baTx t K t s x s s =?,则T 是X 到X 的线性算⼦。
第2章 有界线性算子的基本概念(1)kj
n
算子. 因此当基底取定后, X 上的线性算子与 n ´ n 阶矩阵一一对应.
线性泛函的情形更简单. 设 (a1 , , an ) Î K . 当 x =
n
å x e 时, 令
i i i =1
n
f ( x) = å ai xi .
i =1
n
(1)
则 f 是 X 上的线性泛函. 反过来, 设 f 是 X 上的线性泛函, 记
矛盾. 因此 T 必有界. ■ 注 1 回顾在§1.5 中我们定义了两个赋范空间的拓扑同构: 设 X 和 Y 是赋范空间. 若存在映射 T : X Y , 使得 T 是一对一映上的线性 的, 并且存在 a, b 0 使得
a x £ Tx £ b x ( x Î X ),
(4)
则称 X 与 Y 是拓扑同构的. 根据定理 2.1.1, (4)式第二个的不等式蕴含 T 是连续的. 对任意 x Î X , 记 Tx = y, 则 T -1 y = x. 由(4)式的第一个不等 式得到
ai = f (ei ) ( i = 1, , n). 则 f ( x) = f ( å xi ei ) = å xi f (ei ) = å ai xi .
i =1 i=1 i =1 n n n
这说明 X 上的线性泛函都可以表示为(1)的形式. 因此 X 上的线性泛函
与 K n 中向量一一对应. 例 2 设 K ( s, t ) 是 [a, b] [a, b] 上的可测函数, 满足
a a
b
b
2
(3)
这表明 x(t ) 在 [a, b] 上可积. 故 f 是 L2 [a, b] 上的泛函. f 的线性性是显 然的. 例 2 中的算子 T 称为第二型 Fredholm 积分算子. 定义 2.1.1 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是线性算子. 若 T 将 X 中的每个有界集都映射为 Y 中的有界集, 则称 T 是有界的. 有界线性算子之所以重要, 是因为根据下面的定理, 线性算子的有 界等价于连续. 定理 2.1.1 设 X , Y 是赋范空间, T : X Y 是线性算子. 则下列三 项是等价的： (1) T 是有界的;
第5讲(4)有界线性算子
§1 有界性与连续性
让我们回顾线性算子与线性泛函的有关概念. 定义5.1 设 X和Y都是数域 F上的赋范线性
空间，T : X → Y，如果 ∀x, y ∈ X ， 有T (x + y) = Tx + Ty ，则称T是可加的. 若 ∀α ∈ F, x ∈ X ,T (α x) = αTx
则称T是齐次的.可加齐次的映线称为线性映射
空间，T : X → Y 是一个线性算子，如果T在 某一点 x° ∈ X连续，则T在X上连续.
证明 任取 xn , x ∈ X，且 xn → x，由
T的可加性知，
Txn − Tx = T (xn − x) = T (xn − x + x° ) − Tx°
由于 xn − x + x° → x°，而T在x0连续，
=
⎧
⎪ ⎨
n
⎪0
t∈[a,a+ 1] n
t∈(a+ 1,b]
⎩
n
显然 xn∈L′[a,b] ，而且 ||xn||1=∫ab|xn(t)|dt=1 .
进而有 ||Txn||1=∫ab|∫at xn(s)ds|dt
=
∫a+
a
1 n
|∫at
xn(s)ds|dt
+
∫b
a+
1
|∫at
xn(s)ds|dt
n
=∫a+1 n a
公式求已知连续函数的近似多项式.设 x∈C ⎡⎣a,b⎤⎦
在⎡⎣a,b⎤⎦内任取n个点a≤t1<t2<⋅⋅⋅<tn≤b ，作多项式
( ) ( )( ) ( ) P t t t t t t t t t ⎛ k⎜ ⎝
34 线性算子的基本定理
3.4 线性算子的基本定理汉恩-巴拿赫延拓定理、逆算子定理、闭图像定理以及共鸣定理是泛函分析的四大基石，证明具有一定的技巧，应用非常广泛．前面已经学习了Hahn-Banach 定理，知道一般的线性赋范空间X 中存在足够多的线性连续泛函，从而使共轭空间的研究才有意义．本节探讨其它三个重要的定理．汉恩-巴拿赫延拓定理(The Hahn-Banach Theorem)定理 设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=．其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．3.4.1 逆算子定理(The Inverse Mapping Theorem)在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义3.4.1 逆算子(广义上)设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义3.4.2 正则算子设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足 (1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子， 则称T 为正则算子(normal operator)．注1 ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质3.4.1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子． 证明 12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理3.4.1逆算子定理设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例 3.4.1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)证明 设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有112Ix x M x =≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有1212I xx M'x -=≤．故范数1⋅和2⋅等价．□3.4.2 闭图像定理(The Closed Graph Theorem)学习微积分时，我们知道闭区间[,]a b 上的函数()y f x =图形是xoy 平面上的一条曲线，即为2R 中的一个点集(){(,)(),[,]}G f x y y f x x a b ==∈，特别当()[,]f x C a b ∈，这个点集()G f 为2R 中的闭集，现在将此结论推广到更一般的线性赋范空间上．定义3.4.3 线性赋范空间的乘积设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，考虑直积集{(,),}X Y x y x X y Y ⨯=∈∈，1122(,),(,)x y x y X Y ∀∈⨯，α∀∈K ，在X Y ⨯上定义加法和数乘，11221212(,)(,)(,)x y x y x x y y +=++，1111(,)(,)x y x y ααα=那么X Y ⨯构成线性空间．设,x X y Y ∈∈，其范数分别为,x y ，于是在X Y ⨯上可定义范数1(,)()p pppx y x y =+(1)p ≤<+∞，(,)max(,)x y x y ∞=最常用的是1(,)x y x y =+，12222(,)()x y x y =+，(,)max(,)x y x y ∞=，可证明这些范数都是X Y ⨯上的等价范数．此时称X Y ⨯为X 和Y 的乘积空间．注2 通过上述范数的定义可知乘积空间X Y ⨯是线性赋范空间，于是在X Y ⨯中就有了开集、闭集、列紧集、收敛列、完备性等概念和相应的结论．例如点列{(,)}n n x y X Y ⊂⨯收敛于00(,)x y 当且仅当0000(,)(,)(,)0n n n n x y x y x x y y -=--→．同时易证00(,)(,)n n x y x y →⇔00,n n x x y y →→，可见若F X Y ⊂⨯，F 闭集的的充要条件为：(,)n n n A x y F ∀=∈，若(,)n A A x y →=，即n x x →，n y y →，则有A F ∈．定义3.4.4 闭算子设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若T 的图像(){(,),()}G T x y y Tx x D T ==∈是乘积空间X Y ⨯的闭子集，则称T 为闭线性算子，简称闭算子．引理3.4.1 设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，T ：()G X Y ⊂→是线性算子，那么T 为闭线性算子⇔()n x D T ∀∈，当n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，必有()x D T ∈且Tx y =．证明 ⇒如果T 为闭线性算子，那么当()n x D T ∈，n x x X →∈，n Tx y Y →∈时，显然有{(,)}()⊂n n x Tx G T ，而且在乘积空间X Y ⨯中有(,)(,)n n x Tx x y →，由于()G T 是X Y ⨯中的闭集，故(,)()x y G T ∈，即()x D T ∈，Tx y =．⇐(,)()n n x Tx G T ∀∈，当(,)(,)n n x Tx x y →时，显然有n x x →，n Tx y →，由条件知()x D T ∈且Tx y =．于是(,)(,)()x y x Tx G T =∈，即()G T 中的每一收敛点列的极限都在()G T 中，所以()G T 是闭集，即T 为闭线性算子．□注3 对于线性算子而言，已有三个主要的概念：连续性、有界性和闭性，其中连续性和有界性等价，因此，需要研究“线性有界算子”与“闭线性算子”之间的关系．定理3.4.2 设T ：()()D T X Y ⊂→是线性有界算子，如果()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为闭线性算子．证明 设()n x D T ∈且有n x x X →∈，n Tx y Y →∈．因为()D T 是X 的闭线性子空间，所以()x D T ∈；又因为T 有界，即连续算子，所以lim lim n n n n y Tx T x Tx →∞→∞===故根据上述引理可得T 为闭线性算子．□注4 当()D T X =时，若T ：X Y →是线性有界算子，则由定理知T 为闭算子． 定理3.4.3 闭图像定理设X 和Y 都是Banach 空间，T ：()()D T X Y ⊂→是闭线性算子，()D T 是X 的闭线性子空间，那么T 为线性连续算子．证明 略．推论3.4.1 设X 和Y 都是Banach 空间，()T X Y ∈→，那么T 为线性有界算子⇔T 为闭算子．例3.4.2 设[0,1]X C =，(1)(){()[0,1]}[0,1]D T x X x't C C =∈∈=，定义微分算子D ：()D T X→如下：()x D T ∀∈，()dx x t dt=D ，则D 是闭算子，但是D 无界的． 证明 由第三节例3.3.3后的反例知：令()()[0,1]n t a n x t e C --=∈，可得()[,]max 1n t a n t a b x e --∈==；n x n =→∞D知T 是无界的．下证T 是闭算子．设()n x D T ∈，且n x x →，n Tx y →．因为在[0,1]C 中的收敛是函数列的一致收敛，由()()()'n n x t Tx t y t =→，即()'n x t 在[0,1]C 上一致收敛()y t ，所以有0()lim ()tt 'n n y d x d ττττ→∞=⎰⎰0lim ()t'n n x d ττ→∞=⎰lim[()(0)]n n n x t x →∞=-()(0)x t x =-即0()(0)()tx t x y d ττ=+⎰，从而()()x t D T ∈ ，且()()Tx x't y t ==，根据上述引理3.4.1(闭算子的等价条件)知，T 是闭算子．□例3.4.2说明算子的闭性不蕴含有界，下面的例子则说明有界也不蕴含闭性．例 3.4.3 设[,]X C a b =，()[,]D T P a b =是[,]a b 上的实系数多项式函数的全体，再令:()[,]T D T C a b →是恒等算子，那么T 是线性有界算子，但T 不是闭算子．证明 因为()x D T ∀∈，Tx x =，所以显然有T 是线性有界算子．令()sin ()x t t X D T =∈-，由于()[,]D T P a b =在X 中稠密，所以存在点列{}()n x D T ⊂，使得()n x x n →→∞，即n n Tx x x =→，但是(,)(sin ,sin )()x Tx t t G T =∉，故T 不是闭算子．□3.4.3 共鸣定理(The Banach-Steinhaus Theorem)在许多数学问题中，常常会遇到一族算子的有界问题，而不是仅仅考虑某一个算子的有界问题，即需要讨论这一族线性有界算子在什么条件下一致有界？要回答这一问题，涉及到如下在理论和应用上大都十分重要的定理——共鸣定理．定义3.4.5 一致有界设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，()F B X Y ⊂→，如果{ }T T F ∈是有界集，则称算子族F 为一致有界．定理3.4.4 共鸣定理设X 是Banach 空间，Y 是线性赋范空间，算子族()F B X Y ⊂→，那么{ }T T F ∈是有界集(F 一致有界)⇔x X ∀∈，{ }Tx T F ∈为有界集．证明 (1) 必要性⇒ 因为{ }T T F ∈是有界集，所以存在0M >，T F ∀∈，有T M ≤，于是x X ∀∈，不妨设x a =，那么Tx T x M x M a ≤≤≤⋅因此{ }Tx T F ∈为有界集．(2) 充分性⇐x X ∀∈，定义sup FT Fx x Tx ∈+ ，显然F ⋅是X 上的范数且比⋅强，下面证明(,)F X ⋅完备．如果s u p ()0m nm n m n FT Fx x x x T x x ∈-=-+-→(,)m n →∞，由X 是Banach 空间知存在x X ∈，使得0n x x -→()n →∞．又因为0ε∀>，N ∃∈N ，使得只要,m n N ≥，便有sup m n T FTx Tx ε∈-<．从而T F ∀∈有n n m m Tx Tx Tx Tx Tx Tx -=-+-n m m Tx Tx T x x ≤-+-0→()n →∞．因此得sup ()0n n T Fx x T x x ∈-+-→()n →∞，即0n Fx x-→，可见(,)F X ⋅完备．根据等价范数定理知范数F ⋅和⋅等价，从而存在0M >，使得x X ∀∈有sup sup FT FT FTx x Tx xM x ∈∈≤+=≤于是可得T F ∀∈有T M ≤．□注5 共鸣定理也称为一致有界定理(或原理)，由共鸣定理知，当F 不一致有界时，即sup{ }T T F ∈=∞，则存在0x X ∈，使得0sup{ }Tx T F ∈=∞，称0x 为算子族F 的共鸣点．例3.4.4 设无穷矩阵111212122212j j i i ij a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭满足21ij i a ∞=<∞∑，1,2,3,j = ，并对任何212(,,,,)i x x x x l =∈ 有Tx xA =11121212221212(,,,,)j j i i i ij a a a a a a x x x a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭12(,,,,)i y y y = 2y l =∈其中1j i ij i y x a ∞==∑，1,2,j = ，证明算子T 是线性连续算子．证明 显然22()T l l ∈→是线性算子，又知2l 是Banach 空间，所以由闭图像定理知，算子T 连续等价于T 是闭算子．设2{}n x l ⊂，()n x x n →→∞，2n Tx y l →∈，下面证明y Tx =．记12(,,,,)i x x x x = ；00012(,,,,)j Tx y y y = ；12(,,,,)j y y y y = ；12(,,,,)n nn n i x x x x = ；12(,,,,)n n n n j Tx y y y = ．由n Tx y →知，对每一个j 而言，有1221()nn jj jj j y y y y ∞=-≤-∑0→ (n →∞)另一方面对每一个j 有01()n n jji i ij i y y xx a ∞=-=-∑1()n i i ij i x x a ∞=≤-∑11222211()()n ij ii i i a x x ∞∞==≤-∑∑1221()ij n i a x x ∞==-∑0→ (n →∞)所以0j j y y =，即y Tx =．由闭算子的等价条件知T 是闭线性算子．□例3.4.5 (Fourier 级数的发散问题) 存在一个周期为2π的实值连续函数，它的Fourier 级数在0t =点发散.证明 记周期是2π的实值连续函数全体为2C π，对于2f C π∈，f 导出的Fourier 级数为：011(cos sin )2n n n a a nt b nt ∞=++∑，其中 1()cos d n a f t nt t πππ-=⎰ (0,1,2,n = )；1()sin d n b f t nt t πππ-=⎰ (1,2,3,n = ).当0t =时，级数为0112n n a a ∞=+∑，前1n +项部分和为01111()()[12cos ]d 22nnn n n n S f a a f t nt t πππ-===+=+∑∑⎰记1()12cos nn n K t nt ==+∑，计算可得1sin()2()sin 2n n tK t t +=(计算略)，于是 1()()()d 2n nS f f t Kt t πππ-=⎰．下面证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 发散．显然2:n S C π→R 是线性泛函．又因为[,]1()max {()}()d 2n nt S f f t Kt t πππππ-∈-≤⋅⎰n M f ≤⋅其中1()d 2n nM Kt t πππ-=⎰，所以n S 是2C π上的线性连续泛函．可证明n S 的范数为1()d 2n n nS M Kt t πππ-==⎰(证明略)．由于2C π是Banach 空间，为了证明存在2f C π∈，使得{()}n S f 无界，根据共鸣定理，只需证{}n S 无界．因为1sin()12d 12sin 2n n t S t t πππ-+=⎰202sin(21)d sin n s s s ππ+=⎰ (2t s =) (1)22(21)02(21)sin(21)2d k nn k k n n ss sπππ++=++≥∑⎰(1)2202sin 2d k nk k u u uπππ+==∑⎰((21)u n s =+)(1)220222sin d (1)k nk k u u k ππππ+=≥+∑⎰(1)2220241sin d 1k nk k u u k πππ+==+∑⎰ 2220041sin d 1nk u u k ππ==+∑⎰22411nk k π==+∑→∞所以{}n S 无界．□。
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xD, x,有
xD, x, 有
Tx x T( ) M x x
TxMx 当x=D时,有||Tx||=M||x||=
x S且 T 线性 x
因此xD, 有||Tx||M||x||，即T为有界线性算子. (2) “” 设T: DY是线性、连续算子 xn, xD, xnx, 有TxnTx T在D上处处连续(定义） “” xn, xD, xnx, T是线性算子，且T在x0D处连续 (xn-x)+x0D, 且(xn-x)+x0x0 T[(xn-x)+x0]Tx0 （T在x0处连续定义） Txn=Txn-Tx+Tx0=T[(xn-x)+x0]Tx0 (线性算子定义）
第四章 有界线性算子
•有界线性算子与线性算子空间 •有界线性泛函与共轭空间 微积分主要研究对象—函数 算子 泛函分析主要研究对象 泛函 R到R的映射—一元函数 Rn到R的映射—n元函数 线性算子— 线性空间到线性空间的映射 非线性算子— 一般空间到一般空间的映射 线性泛函— 线性空间到R的映射 非线性泛函— 一般空间到R的映射
t
故 ||T||=b-a
例5 积分算子T: L1 [a,b]L1[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a. 事实上，T显然是线性算子,且
Tx ( Tx )( t ) ( ) d x
a
t
Tx x ( ) d ( ) d dt ( ) d dt x x 1
因此
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且
T max( a ,b )t ) tx ( t ) max tx ( t ) max ( a , b ) max x ( t )
a t b a t b
xn , 由于T是线性、连续算子 n xn
“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M>0, 使得 ||Tx||M||x||（有界算子定义） xn,xDX, M>0, 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||M||xn-x|| （线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx||xn-x||0 (n) (按范数收敛) ||Txn-Tx||0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子. 推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.
(3) T为连续算子T为有界算子.
证 (1) “” 设T: DY是线性、有界算子，AD为有界集 xAD, M>0,使得||Tx||M||x||; TxT(A)Y 且K>0, 使得||x||K T(A)Y是有界集 ||Tx||M||x||MK；
“” 设T: DY是线性算子,且对AD为有界集,有 T(A)={Tx|xA}Y也是有 界集 对单位球面S={x| ||x||=1,xD}D(是有界集),有T(S)={Tx|xS}为有界集 xS, 有TxTS, 且M>0, 使||Tx||M
, 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
(b a)3 2 T 3
事实上，T 显然是线性算子
2 Tx Tx ( t ) tx ( t ) t x ( t ) dt t ( max x ( t ) ) dt 2 2 2 L L L 2 2 2 a a a t b
Tx sup Tx sup Tx sup Y （可作为范数定义） (2) T Y Y x 1 x 1 x D x X
x D x D x
证
sup Tx T ( 2 ) 一方面， x D , || x || 1 || Tx || || T |||| x || || T ||, x 1 x 另一方面， 0 , x D , x , 使得 || T x || (|| T || ) || x ||D T T x x x x T T Tx , ( x D , x 1 ) 1 1 1 || x || x x x sup Tx T ,( 0 ) supTx T Tx TT sup
3 ( b a ) 2 ( max ( x ( t ) ) tdt x ( t ) C a a t b 3 2 b 2
b 2 2
b 2
( ba )32 Tx xC T是有界算子,且 2 L 3
(b a)3 2 T 3
(b a)3 2 T 3
可以证明
(b a)3 2 T 3
1 T sup Tx Tx max dt 1 0 C [ a , b ] C [ a , b ] a a t b b a x 1
t
故T是有界线性算子,且 ||T||=1.
例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]C[a,b]
t t a t b b a t ba a t ba
( ) d x 1 x L [ a , b ]
a
故T是有界算子,且||T||1. 另一方面, 取
b 1 1 x ( t ) , 则 x dt 1 1 0 0 L [ a , b ] a b a b a
max (a ,b )x (s )C
( a, b) T是有界算子,且 T max
可以证明 T max (a, b) 因此
T max( a ,b )
注:乘法算子T: L2[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
T max (t2)
atb
例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a 事实上，T显然是线性算子,且
b
||xn||1=1, 且
1 Tx x ( ) dt dt n ( b a ) dt 1 dt b a n n a a a a 1 / n 2 n T sup Tx sup Tx b a 故 ||T||=b-a. n 1
b t a 1 / n
sup T x sup T x sup T x T 事实上， T 1 1 2 2 2
5 有界线性算子及其范数举例
x 1 x D 1 x 1 x D 1 x 1 x D 2
例1 设X是线性赋范空间,则X上的相似算子T: XX, Tx =x,是有界线性算子。 事实上，x1, x2X, 1,2R, T(1x1+2x2)= (1x1+2x2) = 1x1+ 2x2=Tx1+Tx2; ||Tx||=||x||=|| ||x||; 故T是有界线性算子，且||T||=||. 注:当 =1时,T为恒等算子I,||I||=1； 当 = 0时, 称T为零算子
2 有界线性算子的性质 定理1 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是线性算子,则
(1) T为有界算子AD为有界集时,T(A)={Tx|xA}Y也是有界集 AD为 有界集时,xA, K>0, 使得 ||Tx||K. (2) T为连续算子T在x0D处连续 T在D上处处连续
a t b a t ba a
b
T是有界算子,且 ||T||b-a 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1
t x 1 a a t b
T sup Tx Tx max x ( ) d max d b a 0 0
a a t b
线性算子空间—有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数=线性赋范空间 共轭空间—有界线性泛函集合+泛函线性运算+泛函范数=巴拿赫空间
一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 设X是线性赋范空间,DX是线性子空间,映射T: DY. T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子x1, x2D及数K,有 T(x)=Tx (2)T是连续算子xn, xD,n=1,2,…, xnx, 有TxnTx x,x0D, xx0, 有TxTx0;T在D上处处连续 (3)T是有界算子xD, M>0, 使||Tx||M||x||X (4)T是有界线性算子T既是有界算子,又是线性算子 (5)T是连续线性算子T 既是连续算子,又是线性算子 注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)={Tx|xD}- 算子T的值域 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
T是线性、连续算子
(3)“” 设T: DY是线性、连续算子.如果T是线性、无界算子
对n, xnD, xn, 使得||Txn||n||xn||,n=1,2,… 对于 y n
1 矛盾。故T是 y y 0 y ( n ) Ty T n n n n n 线性有界算子 Tx 1 n Ty Tx 1 n n nx n x n n
3 有界线性算子的范数
定义2 设X,Y是线性赋范空间，DX是线性子空间, T: DY是有界线性算子,则称 ||T||=inf { M | ||Tx||Y M||x||X, xD} 为算子T的范数 定理2 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1)||Tx||||T|| ||x||,xD(即||T||是有界线性算子T的最小界值定义）
Tx x Tx T sup Ty sup T sup sup x y 1 x D x D Tx x D x
y D
x 1
x 1
x 1
4 算子的延拓 定义3 设X,Y是线性赋范空间, D1D2X是线性子空间, T1: D1Y, T2: D2Y是两 个有界线性算子,且当xD1时,T1x=T2x, 则称算子T2是T1的延拓。 结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。