4有界线性算子与线性算子的基本定理g

b
||xn||1=1, 且
1 Tx x ( ) dt dt n ( b a ) dt 1 dt b a n n a a a a 1 / n 2 n T sup Tx sup Tx b a 故 ||T||=b-a. n 1
b t a 1 / n
xD, x,有
xD, x, 有
Tx x T( ) M x x
TxMx 当x=D时,有||Tx||=M||x||=
x S且 T 线性 x
因此xD, 有||Tx||M||x||，即T为有界线性算子. (2) “” 设T: DY是线性、连续算子 xn, xD, xnx, 有TxnTx T在D上处处连续(定义） “” xn, xD, xnx, T是线性算子，且T在x0D处连续 (xn-x)+x0D, 且(xn-x)+x0x0 T[(xn-x)+x0]Tx0 （T在x0处连续定义） Txn=Txn-Tx+Tx0=T[(xn-x)+x0]Tx0 (线性算子定义）
(3) T为连续算子T为有界算子.
证 (1) “” 设T: DY是线性、有界算子，AD为有界集 xAD, M>0,使得||Tx||M||x||; TxT(A)Y 且K>0, 使得||x||K T(A)Y是有界集 ||Tx||M||x||MK；
“” 设T: DY是线性算子,且对AD为有界集,有 T(A)={Tx|xA}Y也是有 界集 对单位球面S={x| ||x||=1,xD}D(是有界集),有T(S)={Tx|xS}为有界集 xS, 有TxTS, 且M>0, 使||Tx||M
因此
例3 乘法算子T: C[a,b]C[a,b], Tx(t)=t x(t)是有界线性算子,且
T max( a ,b )
事实上，T 显然是线性算子
Tx Tx ( t ) tx ( t ) max tx ( t ) max ( a , b ) max x ( t )
a t b a t b
Tx sup Tx sup Tx sup Y （可作为范数定义） (2) T Y Y x 1 x 1 x D x X
x D x D x
证
sup Tx T ( 2 ) 一方面， x D , || x || 1 || Tx || || T |||| x || || T ||, x 1 x 另一方面， 0 , x D , x , 使得 || T x || (|| T || ) || x ||D T T x x x x T T Tx , ( x D , x 1 ) 1 1 1 || x || x x x sup Tx T ,( 0 ) supTx T Tx TT sup
3 ( b a ) 2 ( max ( x ( t ) ) tdt x ( t ) C a a t b 3 2 b 2
b 2 2
b 2
( ba )32 Tx xC T是有界算子,且 2 L 3
(b a)3 2 T 3
(b a)3 2 T 3
可以证明
(b a)3 2 T 3
3 有界线性算子的范数
定义2 设X,Y是线性赋范空间，DX是线性子空间, T: DY是有界线性算子,则称 ||T||=inf { M | ||Tx||Y M||x||X, xD} 为算子T的范数 定理2 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是 有界线性算子，则T的范数具有下列性质： (1)||Tx||||T|| ||x||,xD(即||T||是有界线性算子T的最小界值定义）
sup T x sup T x sup T x T 事实上， T 1 1 2 2 2
5 有界线性算子及其范数举例
x 1 x D 1 x 1 x D 1 x 1 x D 2
例1 设X是线性赋范空间,则X上的相似算子T: XX, Tx =x,是有界线性算子。 事实上，x1, x2X, 1,2R, T(1x1+2x2)= (1x1+2x2) = 1x1+ 2x2=Tx1+Tx2; ||Tx||=||x||=|| ||x||; 故T是有界线性算子，且||T||=||. 注:当 =1时,T为恒等算子I,||I||=1； 当 = 0时, 称T为零算子
第四章 有界线性算子
•有界线性算子与线性算子空间 •有界线性泛函与共轭空间 微积分主要研究对象—函数 算子 泛函分析主要研究对象 泛函 R到R的映射—一元函数 Rn到R的映射—n元函数 线性算子— 线性空间到线性空间的映射 非线性算子— 一般空间到一般空间的映射 线性泛函— 线性空间到R的映射 非线性泛函— 一般空间到R的映射
1 T sup Tx Tx max dt 1 0 C [ a , b ] C [ a , b ] a a t b b a x 1
t
故T是有界线性算子,且 ||T||=1.
例7 Fredholm算子(以二元连续函数K(s,t)为核的积分变换算子）T: C[a,b]C[a,b]
a t b a t ba a
b
T是有界算子,且 ||T||b-a 另一方面，取x0=x0(t)=1, 则||x0||=1
t x 1 a a t b
T sup Tx Tx max x ( ) d max d b a 0 0
a a t b
a a a a a
t
b t
b t
( t ) d dt ( b a )x 1 x L
a a
b
b
T是有界算子, 且||T||b-a 另一方面,对任何使a+1/n<b的n,构造函数列
1 n , t [ a , a ] n xn (t ) 0 , t [a 1 , b] n
2 有界线性算子的性质 定理1 设X,Y是线性赋范空间,DX是线性子空间,T: DY是线性算子,则
(1) T为有界算子AD为有界集时,T(A)={Tx|xA}Y也是有界集 AD为 有界集时,xA, K>0, 使得 ||Tx||K. (2) T为连续算子T在x0D处连续 T在D上处处连续

t

故 ||T||=b-a
例5 积分算子T: L1 [a,b]L1[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a. 事实上，T显然是线性算子,且
Tx ( Tx )( t ) ( ) d x
a
t
Tx x ( ) d ( ) d dt ( ) d dt x x 1
线性算子空间—有界线性算子集合+算子线性运算+算子范数=线性赋范空间 共轭空间—有界线性泛函集合+泛函线性运算+泛函范数=巴拿赫空间
一、有界线性算子的定义与性质
1 有界线性算子的定义 定义1 设X是线性赋范空间,DX是线性子空间,映射T: DY. T(x1+x2)=Tx1+Tx2 (1)T是线性算子x1, x2D及数K,有 T(x)=Tx (2)T是连续算子xn, xD,n=1,2,…, xnx, 有TxnTx x,x0D, xx0, 有TxTx0;T在D上处处连续 (3)T是有界算子xD, M>0, 使||Tx||M||x||X (4)T是有界线性算子T既是有界算子,又是线性算子 (5)T是连续线性算子T 既是连续算子,又是线性算子 注:1)定义中,D -算子T的定义域; M -算子T的界值;T(D)={Tx|xD}- 算子T的值域 无界函数 2）有界算子与有界函数不同,例如 f (x)=x 有界算子:|f(x)|=|x|<2|x|
t t a t b b a t ba a t ba
( ) d x 1 x L [ a , b ]
a
故T是有界算子,且||T||1. 另一方面, 取
b 1 1 x ( t ) , 则 x dt 1 1 0 0 L [ a , b ] a b a b a
T是线性、连续算子
(3)“” 设T: DY是线性、连续算子.如果T是线性、无界算子
对n, xnD, xn, 使得||Txn||n||xn||,n=1,2,… 对于 y n
1 矛盾。故T是 y y 0 y ( n ) Ty T n n n n n 线性有界算子 Tx 1 n Ty Tx 1 n n nx n x n n
, 0
例2 乘法算子T: C[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
(b a)3 2 T 3
事实上，T 显然是线性算子
2 Tx Tx ( t ) tx ( t ) t x ( t ) dt t ( max x ( t ) ) dt 2 2 2 L L L 2 2 2 a a a t b
Tx ( s ) K ( s , t ) x ( t ) dt y ( t ), x ( t ) X

xn , 由于T是线性、连续算子 n xn


“” 若T: DY是线性、有界算子, xD, M>0, 使得 ||Tx||M||x||（有界算子定义） xn,xDX, M>0, 使得||Txn-Tx||=||T(xn-x)||M||xn-x|| （线性、有界算子定义） xn,xDX, xnx||xn-x||0 (n) (按范数收敛) ||Txn-Tx||0 TxnTx (n) T 是线性、连续算子. 推论：T为连续线性算子T为有界线性算子.





Tx x Tx T sup Ty sup T sup sup x y 1 x D x D Tx x D x
y D
x 1
x 1
x 1
4 算子的延拓 定义3 设X,Y是线性赋范空间, D1D2X是线性子空间, T1: D1Y, T2: D2Y是两 个有界线性算子,且当xD1时,T1x=T2x, 则称算子T2是T1的延拓。 结论：算子延拓后,新算子的范数大于或等于原来算子的范数。
max (a ,b )x (s )C
( a, b) T是有界算子,且 T max
可以证明 T max (a, b) 因此
T max( a ,b )
注:乘法算子T: L2[a,b]L2[a,b], Tx(t)=t x(t)也是有界线性算子,且
T max (t2)
atb
例4 积分算子T: C[a,b]C[a,b], 是有界线性算子,且 ||T||=b-a 事实上，T显பைடு நூலகம்是线性算子,且
Tx ( Tx )( t ) ( ) d x
a
t
Tx x ( ) d max ( ) d max ( ) d x x
a a t ba t a t ba
t
t
t
max x ( t )max x ( b a )x d d C C

n
n
例6 积分算子T:
L1
[a,b]C[a,b],
Tx ( Tx )( t ) ( ) d x
a
t
是有界线性算子,且 ||T||=1. 事实上，T显然是线性算子, 且
Tx max ( Tx )( t ) max ( ) d max ( ) d x x C [ a , b ]