3.2 随机变量的独立性
第三章 第二节 二维随机变量的独立性
§3.2 二维随机变量的独立性与条件分布1`二维随机变量的独立性定义3.2.1 设(,),(),()X Y F x y F x F y 依次为(,),,X Y X Y 的分布函数,若对任意实数,x y 都有(,)()()X Y F x y F x F y =则称两个随机变量X 与Y 相互独立.(1) 离散型随机变量的独立性定义3.2.2如果（X,Y ）是二维离散型随机变量，如果对于它们的任意一对取值i x 及j y ，对（X ，Y ）的任意一对取值(),i j x y ，都有{,} {} { } i j i j P X x Y y P X x P Y y ===== i ，j =1，2，… (3.2.2) 则称离散型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.1例3.1.1中两个随机变量X 与Y 是相互独立吗? 解 由例3.1可得2222210,,,915p p p ⋅⋅===显见22 2..2,p p p ≠⋅因此X 与Y 不独立.(2) 连续型随机变量的独立性定义3.2.3 如果（X,Y ）是二维连续型随机变量，其联合概率密度为p (x,y ),则X 与Y 也都是连续型随机变量，它们的概率密度分别为(),()X Y p x p y , 若对任意实数,x y 都有(,) (),()X Y p x y p x p y = 则称连续型随机变量X 和Y 是独立的。
例3.2.2本章第一节例3.2中随机变量X,Y 的边缘概率密度分别为p X (x )=⎰+∞∞-p (x,y )dy=2()2042, 0,0, x y x edy e x +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.p Y (y )＝⎰+∞∞-p (x,y )dx=2()2y 04x 2, y 0,0, x y ed e +∞-+-⎧=≥⎪⎨⎪⎩⎰其它.显然有 p (x,y )＝p X (x )·p Y (y )， 所以X,Y 相互独立。
数学高二-选修2素材 3.2独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的
3.2 独立性检验是如何判断两个事件是否相互独立的独立性检验的基本思想类似于反证法.要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立,在该假设下构造的随机变量2χ应该很小.如果由观测数据计算得到的2χ的观测值很大,则在一定程度上说明假设不合理.根据随机变量2χ的含义,可以通过概率式评价该假设不合理的程度,由实际计算的2χ>6.635,说明假设不合理的程度约为99%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度约为99%．当2χ≤3.841时,认为两个分类变量是无关的.对于两事件而言即相互独立.1.两个事件独立的判定例1: 为了研究不同的给药方式（口服与注射）和药的效果（有效与无效）是否有关，进行了相应的抽样调查，调查结果列表如下：根据193个病人的数据，能否作出药的效果与给药方式有关的结论？请说明理由．解：提出假设H0：药的效果与给药方式无关系．根据列联表中的数据，得χ2＝2193(58314064)122719895-⨯-⨯⨯⨯⨯≈1.3896＜2.072．当H0成立时，χ2＞1.3896的概率大于15%，这个概率比较大，所以根据目前的调查数据，不能否定假设H0，即不能作出药的效果与给药方式有关的结论．注意：这是一个由列联表来验证的独立性检验问题,其结论是没有关系的假设成立.并且应该注意上述结论是对所有口服药物与注射药物的实验人而言的,绝不要误以为对被跟踪的193个跟踪研究对象成立.例2:调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表．试问能以多大把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.分析：利用表中的数据通过公式计算出2χ统计量,可以用它的取值大小来推断独立性是否成立．解：由公式()841.368892.35732345531826248922<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ 故婴儿的性别与出生时间是相互独立的(也可以说没有充分证据显示婴儿的性别与出生时间有关)．2.两个事件不独立的判定例3:在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中,有214人秃顶,而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有175人秃顶.利用独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系?你所得的结论在什么范围内有效?分析:列出22⨯列联表,利用公式求出2χ与两个临界值3.841与6．635比较大小得适当范围.解：根据题目所给数据得到如下表所示： 秃顶与患心脏病列联表由公式,得:()635.6373.167726651048389451175597214143722>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ所以有99％的把握认为“秃顶与患心脏病有关”.说明:因为这组数据来自住院的病人,因此所得到的结论适合住院的病人群体.例4.某班主任对全班50名学生进行了作业量多少的调查,喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有18人,认为作业不多的有9人,不喜欢玩电脑游戏的同学认为作业多的有8人,认为作业不多的有15人,则认为喜欢玩电脑游戏与认为作业量的多少有关系的把握大约是多少？解：2x =059.523272426)981518(502=⨯⨯⨯⨯-⨯， ()024.52>x P =0.025, 有97.5%的把握认为喜欢玩电脑游戏与认为作业多有关系.。
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
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主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
3.2条件分布与随机变量的独立性
3e3 ydy e3
1
19
例5 甲乙两人约定中午12:30分在某地会面. 如果甲 来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布, 乙独立 地到达, 而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分 布, 试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分 钟的概率, 又甲先到的概率是多少?
解 由 X 与Y 独立性知
0
0, x 0
x0
ex , x 0
0, x 0
18
当 x 0时，有
fY|X ( y | x)
f (x, y) fX (x)
xe x(1
ex 0
y)
y
y 0
0
xexy y 0
0 y0
(2)当 X 3时，有
P(Y 1 X 3)
1 fY|X ( y | 3)dy
的边缘分布律中的部分数值, 试将其余数值填入表 中的空白处.
X
Y y1 y2 y3 P{ X xi } pi .
x1
1/ 8
x2
1/ 8
P{ y yj } p j 1/ 6
1
解 由于 P{ X x1,Y y1} P{Y y1} P{X x2 ,Y y1} 1/ 6 1/ 8 1/ 24,
1 p• j
i 1
pij
p• j p• j
1
同样， P{Y y j | X xi }也具有这两点性质。
9
例2 设 X与Y的联合概率分布如右表.
求Y 0 时, X 的条件概率 X Y -1 0 2 分布以及 X 0 时, Y 的条件 0 0.1 0.2 0
概率分布;
1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1
f ( x, y),( X ,Y ) 关于 Y 的边缘概率密度为fY ( y).若
3.2条件分布及其独立性
解 当x0.5时 P{Xx X0.5}0
当x0.5时
P{X
x, X
0.5} x 0.05.,5,
0.5 x1, x 1.
从而可得
F (x|
X
0.5)
P{X x, X 0.5} P{X 0.5}
P{X
x, X 0.5
0.5}
F(x| X
0.5) 2x0, 1,
x 0.5, 0.5 x1,
1, x 1.
Yy
的条件下
X
的条件密度函数
类似地 可以讨论在Xx的条件下 Y的条件分布
三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
条件密度函数
设(X Y)是连续型随机向量 密度函数为f(x y)
如果fX(x)0 fY(y)0 则
fX|Y (x| y)
f (x, y) fY (y)
fY|X (y| x)
f (x, y) fX (x)
解 在X0时 Y的条件概率分布为
P{Y
1|
X
0}
P{Y 1, X P{X 0}
0}
0.1 0.10.20
1 3
P{Y
0|
X
0}
P{Y 0, X P{X 0}
0}
0.2 0.3
2 3
P{Y
2|
X
0}
P{Y 2,X 0} P{X 0}
0 0.3
0
定理33(独立性的判断)
设X Y是离散型随机变量 其联合概率分布为
§32 条件分布与随机变量的独立性
一、条件分布与独立性的一般概念 二、离散型随机变量的条件概率分布与独立性 三、连续型随机变量的条件密度函数与独立性
一、条件分布与独立性的一般概念
《3.2独立性检验的基本思想及其初步应用》教学案5
《3.2独立性检验的基本思想及其初步应用》教学案5一.教学目标：1，理解独立性检验的基本思想； 2，理解独立性检验的实施步骤； 3，了解随机变量K 2的含义。
二．教学重点：理解独立性检验的基本思想实施步骤。
教学难点；1、理解独立性检验的基本思想及实施步骤2、了解随机变量K 2的含义。
三．知识链接独立性检验原理：四．新课学习1. 独立性检验的概念：利用随机变量2K 来确定在多大程度上可以认为“__________”的方法，称为两个分类变量的独立性检验。
2. 独立性检验的步骤：设有两个分类变量X 与Y ，他们的取值分别为 和 其样本频数列联表（称2⨯2列联表）为：引入随机变量2K , ____________________2=K ，（其中d c b a n +++=为样本容量）推断X 与Y 有关系可按下列步骤进行： （1）假设0H : X 与Y 没有关系（2）根据实际问题的需要确定容许推断“两个分类变量有关系”犯错误概率的上界a ，然后查表1-11确定临界值o k（3）利用公式（1），计算随机变量2K 的观测值k 。
（4）如果，就判断“X 与Y 有关系”，这种判断犯错误的概率不超过a ，否则，就认为在犯错误的概率不超过a 的前提下不能推断“X 与Y 有关系”，或则在样本数据中没有发现足够证据支持结论“X 与Y 有关系”，3. 为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，我们利用统计量2K 的观测值k来判断x 与y 有关系的程度。
如果828.10>k ，就有_____的把握认为“x 与y 有关系”; 如果879.7>k ，就有_____的把握认为“x 与y 有关系”; 如果_____>k ，就有99%的把握认为“x 与y 有关系”; 如果_____>k ，就有97.5%的把握认为“x 与y 有关系”;如果841.3>k ，就有_____的把握认为“x 与y 有关系”; 如果706.2>k ，就有_____的把握认为“x 与y 有关系”; 如果706.2≤k，就认为没有充分证据显示“x 与y 有关系” 。
3.2 条件分布与随机变量的独立性
二、随机变量的独立性
则称随机变量 X 和 Y 相互独立。 若随机变量 X 和 Y 相互独立，则联合分布可由边缘分布唯一 确定。
二、随机变量的独立性
定理1：随机变量 X 与 Y 相互独立的充要条件是 X 所生成的 任何事件与 Y 所生成的任何事件相互独立，即对任意实数集 A 和 B，有
解：
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解：
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
几乎处处成立，则称 X, Y 相互独立。 注: 这里“几乎处处成立”的含义是: 在平面上除去面积为零 的集合外, 处处成立。
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
例：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面，如果甲来到的时 间在12:15到12:45之间是均匀分布，乙独立地到达 , 而且到达时 间在12:00到13:00之间是均匀分布，试求：先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟的概率，又甲先到的概率是多少?
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 1）
y y y 0 e dx ye , = 0,
y0 其它
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 2）
（3）
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
解 : （ 3）
因此
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
作业:
解：设 X 为甲到达时刻, Y 为乙到达时刻, 以12时为起点, 以分为 单位, 依题意,
即有 由 X 与 Y 的独立性知
四、连续型随机变量的条件分布与独立性
例：甲乙两人约定中午12时30分在某地会面，如果甲来到的时 间在12:15到12:45之间是均匀分布，乙独立地到达 , 而且到达时 间在12:00到13:00之间是均匀分布，试求：先到的人等待另一人 到达的时间不超过5分钟的概率，又甲先到的概率是多少?
3.2边缘分布与独立性
j
如下表：
Xa1 Y
ai
p j
b1 b2
p p
11
12
p p
i1
i2
p p
1
2
bj
p 1j
p ij
p j
p i
p 1
p i
1
例1 袋中有2只白球和3只黑球，现进行有放回地取球， 定义下列随机变量：
X
1
第一次取出白球
Y
1
第二次取出白球
0 第一次取出黑球
0 第二次取出黑球
试给出(X,Y)的联合分布与边缘分布。
两事件A,B独立的定义是： 若P(AB)=P(A)P(B) 则称事件A,B独立 .
用分布函数表示,即 设 X,Y是两个r.v，若对任意的x,y,有
F(x, y) FX (x)FY ( y)
则称X,Y相互独立 .
它表明，两个r.v相互独立时，它们的联合 分布函数等于两个边缘分布函数的乘积 .
可推广到多维的情况.
f (x, y)
2
1
2
1
x
exp -
1
2(1 -
2
)
2 2
xy
y2
(-
x,
y
)
求（X，Y）关于X及Y的边缘分布密度.
解：
f
( x)
X
f
(x,
y)dy
1
2 1
2
exp -
1
2(1-
2
)
x2 2
xy
y2 dy
x2
2
xy
y2
(y
2
x)
2
x
22
随机变量的独立性
1
1 2
P (U 0 , V 1) P ( X Y , X 2 Y ) 0
G
O 1 2 x
(U,V)的联合分布律和边缘分布律为 V
U
0 1/4 1/4
1/2
1 0 1/2
1/2
pi• 1/4 3/4
0 1
p•j
经检验， pij≠pi• •p•j
所以，U和V不是相互独立的。
随机变量X与Y是相互独立的充要条件是事件(X≤x)与 事件(Y≤y)相互独立。
• 定理1 随机变量X，Y相互独立的充分必要条件 是X所生成的任何事件与Y所生成的任何事件相 互独立。即，对任意的实数集A，B有：
P { X A , Y B } P { X A } P { X B}
定理2 如果随机变量X，Y相互独立， 则对任意函数g1(x), g2(y)有 g1(X), g2(Y)相互独立
例3.17 设二维随机变量(X,Y) f ( x, y ) 具有概率密度函数 (1)求X,Y的边缘概率密度；
15 x 2 y 0
y
0 x y 1 其它
(2)问X与Y是否相互独立？
1
解
f X (x)
f ( x , y ) dy
15 2 4 (x x ) 2 0 0 x 1 其它
P (U 0 , V 0 ) P ( X Y , X 2 Y ) P ( X Y )
1 1
( x, y ) G ( x, y ) G
0
x y
f ( x , y ) dxdy
dx 2 dy
0 x
1
3-2 边缘分布及随机变量的独立性
1 则有 p X ( x) e 2 σ1
即
( x μ1 )2
2 2 σ1
2 2 σ1
e
t2 2
d t,
同理可得
1 p X ( x) e 2πσ1
( x μ1 )2
, x .
1 pY ( y ) e 2 σ 2
( y μ2 )2
为随机变量( X , Y )关于X 的边缘分布函数.
记为 FX ( x) F ( x, ).
同理令 x ,
FY ( y) F (, y) P{X , Y y} P{Y y}
为随机变量 ( X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
二、离散型随机变量的边缘分布律
X PX
1 0.3
3 0.7
Y PY
2 0.6
4 0.4
求随机变量 (X,Y) 的分布律.
解
因为X与Y 相互独立, 所以
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi } P{Y y j }
于是
P{ X 1,Y 2} P{ X 1} P{Y 2}
0.3 0.6 0.18,
i 1
j 1, 2, ,
分别称 pi (i 1, 2,) 和 p j ( j 1, 2,) 为 ( X , Y ) 关于 X 和关于 Y 的边缘分布律.
Y
X
x1
x2
xi
y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j
pi 1 pi 2 pij
, x ;
1 , b y b, pY ( y ) 2b 其它. 0,
3.2,3.4边缘分布及独立性
的取值 ( x有i , y j )
P{X xi ,Y y j} P{X xi} P{Y y j} ,
即对所有的 (i, j)
pij pi p j
例2 设 ( X 的,Y联) 合分布律为
X Y 1 0 1
1 1 12 1 6 1 12
2 1 24 1 12 1 24
3.2，3.4 边缘分布及独立性
一、边缘分布函数 设二维随机变量（X,Y)的联合分布函数
为F(x,y) FX ( x) P{X x} P{X x,Y }＝F ( x,)
FY ( y) P{Y y} P{ X ,Y y}＝F (, y)
将以上 FX和( x) 称F维Y (二y)维随机 变量
f (x, y) fX (x) fY ( y) .
即对任何 x,都y 成立
1
21 2
1
2
exp{
2(1
1
2
)
[(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2]}
1 2
2
1
( x1 )2
e 212
1
( y2 )2
e 2
2 2
2 1
2 2
特别取 x 1, y 2 上式化为：
4 1 8 14 18
证明X与 Y分布 3
1 4
p1•
p•1
1 11
p12
6
3
2
p1•
p•2
类似可以验证：
对所有的 (i, j) pij pi p j 成立，所以 X与 Y分布相互立。
例3 已知
X Y 1 0 1
0 1/ 4 0 1/ 4
随机变量相互独立的充要条件
随机变量相互独立的充要条件1. 引言说到随机变量相互独立，咱们先来想象一下一个很有趣的场景。
想象你和朋友们在玩掷骰子比赛，大家兴致勃勃地扔着骰子，看看谁能掷出个大红点。
如果你掷的结果和你朋友掷的结果完全没有关系，那就是相互独立了。
听起来挺简单吧？但其实这背后还有些理论知识值得我们深入了解。
今天就让咱们聊聊这个话题，轻松愉快地捋一捋这些看似复杂的概念。
2. 什么是随机变量？2.1 随机变量的定义首先，咱们得搞明白什么是随机变量。
简单来说，随机变量就是一个跟随机事件有关的变量。
比如说，掷骰子的结果就是一个随机变量，它可以是1到6之间的任何一个数字。
就像你在生活中遇到的各种情况一样，结果总是有些不可预测。
2.2 随机变量的分类随机变量又分为离散型和连续型。
离散型的随机变量，像掷骰子那样，是可以数得过来的，而连续型的随机变量则是那些取值范围比较广的，比如说人的身高，理论上可以是任意的一个数值。
想象一下，身高从1米到3米之间的任何一个数字，简直是无穷无尽，跟你在沙滩上数贝壳似的。
3. 随机变量的独立性3.1 独立性的定义那么，随机变量的独立性又是怎么回事呢？说白了，两个随机变量如果一个的结果不影响另一个的结果，就叫做独立。
就像你和朋友一起去吃饭，你点的菜和他点的菜完全不干扰，彼此的选择就独立得很。
换句话说，如果你掷了个六，他掷了个三，那两个结果之间就没啥联系，谁也不影响谁。
3.2 独立性的充要条件说到这里，有个充要条件就非常重要。
咱们可以用一种简单的数学方式来理解它：如果你知道了一个随机变量的结果，这个结果对另一个随机变量的概率分布没有任何影响，那它们就是独立的。
听起来是不是有点拗口？没关系，咱们换个方式。
比如说，你今天带伞和明天的天气完全无关，明天的阴雨天气不管你今天带不带伞，结果都是这样。
换句话说，你的选择和自然界的变化没有任何关联，这就是独立的体现。
4. 日常生活中的例子4.1 玩游戏生活中其实随处可见这种独立性。
3.2条件分布与随机变量的独立性(课件)
P Y y 且 X x F y X x P Y y X x P X x
F ( x, y ) FX ( x ) F y X x FY ( y)F x Y y
独立性: 事件A与 B 独立
2 x, 0 x 1 f X ( x) 其它 0,
1
x
y x f ( x, y ) f 当 x 0 或 x 1 时， Y X y x 不存在. f X ( x)
1, f ( x, y) 0,
0 x 1, x y x yx
其它
求条件密度函数.
0dy 0, x 0 解 2 x, 0 x 1 2 x , 0 x 1 f X ( x ) f ( x , y )d y 0, 其它 0dy 0, x 1 0 x 1 时, y yx f X ( x) f ( x , y )d y
0dy 1 dy 0dy 2x x x
x
x
f ( x, y ) fY X y x f X ( x)
x
x 1
x x
y x
例 设X和Y的联合密度函数为 0 x 1, x y x yx 1, f ( x, y) y求条件密度函数. 0, 其它 yx 解
X Y
例 设随机变量 X 与 Y 独立, 下表列出二维随机向量 ( X , Y ) 的联合分布律 及边缘分布律 的部分数值,
将其余数值 填入空白处.
X
Y
y1
1 24 1 8 1 6
3.2.边缘分布_条件分布
2、连续型r.v.边缘分布
设(X, Y)～f (x, y),(x, y)R2,F(x, y)为分布 函数,则
FX ( x) F ( x, )
称
x
f ( x, y)dydx
f X ( x) f ( x, y)dy
为(X, Y )关于X 的边缘密度函数；
同理，称
例8 (X,Y)~ N(1, 12, 2, 22, ),求 fY | X ( y | x)
1 1 f X ( x) exp{ ( x 1 ) 2 } 解、由Ex3知， 2 12 2 1
f ( x, y ) fY | X ( y | x ) f X ( x)
1 2 2
二、条件分布
1. 离散型随机变量的条件分布律 例6.已知(X,Y)的分布律为 X \Y -1 0 pi.
-2 0 1/10 3/10 2/5 3/10 3/10 3/5 p.j 2/5 3/5 求X|Y = -1的条件分布律。
P{ X xi , Y 1} P{ X xi | Y 1} P{Y 1}
2 exp{ [ y2 2 ( x 1 )]2 } 2 2 2 2 1 1
1
2 Y | X N ( 2 ( x 1 ), 2 2 (1 2 )) 1
三、随机变量的相互独立性
定义 如果对任意实数x, y, F(x, y)=FX(x)FY(y)
其分量X及Y的分布函数为二维随机变量(X, Y) 关于X及关于Y的边缘分布函数, 分别记作 FX(x), FY(y), 边缘分布函数可以由(X ,Y)的分 布函数F(x, y)来确定.
定义
FX ( x) P{ X x} F ( x, ) lim F ( x, y )
第3.2.3节随机向量,随机变量的独立性(3)独立性
又 p1( x)
1
( x )2
e 2σ2 , x ;
2 σ
p2
(
y)
1 2b
,
b y b,
0, 其它.
得
p(x,y)
1
2b
1
e ,
(x )2 2σ2
2σ
其中 x , b y b.
当 y b 时, p( x, y) 0.
1
1
1
6
1
2
3
p2 P{Y yj } 1 2
2 1 9
1
9
3
p1 P{X xi }
1
1
18
Hale Waihona Puke 31 3
1 2
18
3
(1)由分布律的性质知 0, 0, 2 1,
3
故与应满足的条件是 : 0, 0 且 1 .
σ1σ2
σ
2 2
0
3. n个随机变量的独立性(集合论观点）
设1,2 ,L ,n为n维随机变量，如果对任意的一维
博雷尔点集A1,A2 ,L ,An ,
P{1 A1 ,2 A2 ,L ,n An } P{1 A1 },L , P{n An }
1,2 ,L
与相互独立 p1( x) p2( y) p( x, y)
1 2πσ1σ2
exp{ 1 2
(x
1 )2
σ12
(
y
2)2
σ22
}
1 2πσ1σ2
1
高中数学(A版)选修2-3 3.2独立性检验的基本思想
中。
对于上节吸烟与患肺癌的问题，计算可得：
6578 (56 4567 1932 23) 2 2 62.698 1988 4590 79 6499
2 因为: 6.635
所以:有99%以上的把握认为吸烟与患肺癌是有关
当等式两边相差很大时， 变量间就不独立。
b ab bd 如当 很大时，A 1 与 B2 就不独立。 n n n
新课讲解
？ ？
那么，这些量究竟要达到什么样的程度，
才能够说明变量之间不独立呢？？能否选择
一个量，用它来检验变量之间的独 的大小来检验 变量间是否独 立，称它为卡 方统计量。
的，即吸烟与患肺癌不是相互独立的。
例题分析
某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情 况进行了1700次观测，数据如下：
试问观测结果是否说明地下水位的变化与地震的
发生有关系？？
分析： 根据列联表的数据，可得：
2 1.59 2.706
所以，没有充分的证据显示地下水位的变化与 地震的发生相关。
（3）当 2 3.841 时，有95%的把握判定变量A、B
有关联； （4）当 2 6.635 时，有99%的把握判定变量A、B 有关联。
由于抽样的随机性，由样本得到的推断有
可能正确，也有可能错误。利用 2进行独立性
检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，
样本量n越大，估计越准确。此法一般适用于
2
A、B有关联； （2）当 2 2.706 时，有90%的把握判定变量A、B
有关联； （3）当 2 3.841 时，有95%的把握判定变量A、B
有关联；
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f (x, y) = 2≠fx(x) fy(y) = 4x(1-y)
因此, X 与 Y 不相互独立.
找出了一个 面积不为0 的区域
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例3.2.6 将一枚均匀硬币独立地掷两次，引 进随机事件如下
A1 {掷第一次出现正面 } A2 {掷第二次出现正面 }
即ξ1、ξ2、 ξ3不相互独立.
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1 4
P{1 1}P{ 2 1}
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即ξ1与 ξ2相互独立，同理可验证ξ1与 ξ3， ξ2 与 ξ3也分别相互独立.
但因
P{1 0, 2 0, 3 1} P ( ) 0 1 2
3
P{1 0}P { 2 0}P { 3 1}
-
0dy 0
1
x
当 0< x <1 时,
x
2dy 2 x
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0
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类似地, fY ( y )
-
f ( x , y )dx , - y
y
1
y=x
当y≤0 或 y≥1时,
fY ( y )
-
0dx 0
o
1
x
当 0< y <1 时,
P{1 1, 2 0} P ( A1 A2 )
P{1 0, 2 1} P ( A1 A2 )
1 4
1 4 1
4
P{1 0}P{ 2 0}
P{1 1}P{ 2 0}
P{1 0}P{ 2 1}
P{1 1, 2 1} P ( A1 A2 )
解 对于任意给定的实数 a > 0 有
{ X a } {- a X a } { X a }
从而 P{ X a , X a } P{ X a }, (1)
又
0 P{ X a } 1， 0 P{ X a } 1
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成立，称X与Y相互独立.
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意义 对任意实数对( x , y )，随机事件 { X ≤ x }、 { Y ≤ y }
都相互独立. 等价条件:
1.X与Y相互独立
例3.2.1
F ( x , y ) FX ( x )FY ( y )
对任意实数(x , y )均成立.
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3) m维随机向量(X1 ,X2,…,Xm ) 与n-m维随机 向量(Xm+1 ,Xm+2 ,…,Xn ) 也相互独立. 4) 随机变量 h (X1 ,X2,…,Xm ) 与g(Xm+1 ,Xm+2, …,Xn ) 也相互独立. 如 3维随机变量X1 ,X2 ,X3 相互独立，则 X12 , X22 , X32 也相互独立. X1 +X2与X3也相互独立. sinX1 与X3也相互独立.
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§3.2 随机变量的独立性 一、二维随机变量的独立性 随机事件A 与B 相互独立，若 P(AB)=P(A)P(B) 定义 设( X , Y )是二维随机变量, 若对 任意实数对( x , y )均有
P{ X x , Y y } P{ X x } P{ Y y }
x
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y 0 or y 1; 0, fY ( y ) 3 4y - 4y , 0 y 1.
在区域
G＝ x , y ) 0 y x 1} {(
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
故 X ,Y不相互独立.
f ( x , y ) f X ( x ) fY ( y )
在平面上除去“面积”为0 的集合外成立. 例3.2.2 例3.2.3 例3.2.4 练习
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二. 多维随机变量的独立性 定义 设 n 维随机变量（X1 ,X2,…Xn )的联
合分布函数为 F(x1 , x2 ,…, xn )， 若对任意实 数x1 , x2 ,…, xn 均有
2. (离散型)X与Y 相互独立
P{X x i , y j} P { x i} Y Y X P{ } y j
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或
pij = pi·p· j
对所有(xi , yj )均成立. 注 若否定结论, 只需找到一对(i, j)使 pij ≠ pi·p· j 3. (连续型)X与Y相互独立
F ( x1 , x2 ,, xn ) Fi ( xi ),
n
称X1 ,X2,…Xn 相互独立.
i 1
注 对任意实数向量(x1 , x2, …, xn), n个随机事 件 Ak={Xk ≤ xk},k=1,2, …,n， 都相互独立.
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思考 随机事件A1，A2，…，An 相互独立， 应有以下
fY ( y )
1 y
2dx 2(1 - y )
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于是,
2 x 0 x 1 f X ( x) 其他 0
2(1 - y ) 0 y 1 fY ( y ) 0 其他
故当 0< x <1 且 0< y < x 时,
A3 {正、反面各出现一次 }
令
1, 当事件A1 发生； 1 0， 否则.
1, 当事件A2 发生； 2 0， 否则.
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1, 当事件A3 发生； 3 0， 否则.
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有
P{1 0, 2 0} P ( A1 A2 )
P X b cosY
D
2 a
dxdy
a b
x
x = b cosy
D
0 π/2
2 a
S D
2b a
.
y
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练习 设随机变量 X 与 Y 相互独立, 填出 空白处的数值.
X x1
x2
p. j
Y
y1
1/24 1/8
y2 1/8
3/8 1/2
P{ X a , X b} P{ X a }P{ X b}
对所有实数对(a, b) 均成立.
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3) 随机事件{ X≤a } 与{︱X︱ ≤a } 有下述关系
{ X a } {- a X a } { X a }
从而
P{ X a , X a } P{ X a }
y3
pi .
1/4 3/4
1/6
1
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例3.2.2 设随机变量 ( X, Y ) 具有联合概率密
度
2 f ( x, y) 0 0 x 1, 0 y x 其他
问: X、Y 是否相互独立？
分析 f (x, y) 在如图所
y
1
示区域内不等于 0, 在其
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例3.2.4 设随机变量 X , Y 相互独立, X~U( 0, a ) , Y~ U(0, / 2)且 0 < b < a 试求 P { X < b cosY } 解
1 , f X ( x) a 0, 0 x a; 其他;
余区域均等于 0。
o
1
x
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因为
f X ( x)
-
f ( x , y )dy ,
- x
当 x≤0 或 x≥1时,
在整个积分路径上 被积函数 f (x, y) 始 终为 0; 因此
f X ( x)
y
1
y=x
o
f X ( x)
f ( x, y) 0,
-
其他.
问 X , Y 是否相互独立？
解
f X ( x)
f ( x , y ) dy
y
( 1,1 )
G 1
x 0 or x 1; 0, x 0 x 1. 0 8 xydy,
0
x 0 or x 1; 0, 3 0 x 1. 4x ,
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X1 +X2与X1 －X2 不一定相互独立.
随机变量的独立性 本质上是随机事件的独立性
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例3.2.1 设随机变量 X 的概率密度为
f ( x) 1 e 2
-
x ,
- x
问 X 与︱X︱是否相互独立. 分析 1) 直观判断X 与︱X︱是否相互独立？ 2) 判定X 与︱X︱相互独立，则需验证
lim
Fi ( xi ) FX1 ( x1 )FX 2 ( x2 )FX 3 ( ) FX n ( )
FX ( x1 )FX ( x2 )
1 2