浙江省宁波市镇海中学2021届高三第一学期期中考试数学试题(含答案解析)

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2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（13）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.46.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6对称.则θ的最小值为（）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6A. π6B. π3C. π2D.π9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+210.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（） A.2 B.4 C.10 D.1411.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i的虚部为___ .模为___ ． 12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm ）.则该几何体的体积（单位：cm 3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm 2）为___ ．13.（填空题.6分）若（1+x ）（1-2x ）7=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8.则a 1+a 2+…+a 7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法． 14.（填空题.6分）已知数列{a n }.{b n }满足：a 1=1.a n +a n+1=n.b n =a 2n-1.则数列b n =___ ；记S n 为数列{a n }的前n 项和.S 31-S 24=___ ．15.（填空题.4分）函数f （x ）=sin （ωx+φ）的部分图象如图所示.则f （x ）的单调递增区间为___ ．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．20.（问答题.0分）已知数列{a n}满足a1= 12，(a n+1+1)(a n+1)=2a n+1，n∈N∗．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*.a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜112．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．2020-2021学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.4分）已知集合A={x|log2x＜1}.集合B={x|-1≤x≤1}.则A∩B=（）A.[-1.1]B.[-1.2）C.（0.1]D.（-∞.2）【正确答案】：C【解析】：求出集合A.集合B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}.集合B={x|-1≤x≤1}.∴A∩B={x|0＜x≤1}=（0.1]．故选：C．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．2.（单选题.4分）设a=30.7.b=（1）-0.8.c=log0.70.8.则a.b.c的大小关系为（）3A.a＜b＜cB.b＜a＜cC.b＜c＜aD.c＜a＜b【正确答案】：D【解析】：根据指数函数和对数函数的性质即可求出．）-0.8=30.8.【解答】：解：a=30.7.b=（13则b＞a＞1.log0.70.8＜log0.70.7=1.∴c＜a＜b.【点评】：本题考查了指数函数和对数函数的性质.属于基础题．3.（单选题.4分）已知平面α、β.直线l⊂α.直线m不在平面α上.下列说法正确的是（）A.若α || β.m || β.则l || mB.若α || β.m⊥β.则l⊥mC.若1 || m.α || β.则m || βD.若l⊥m.m || β.则α⊥β【正确答案】：B【解析】：由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．【解答】：解：对于A.若α || β.m || β.则l || m或l与m异面.故A错误；对于B.若α || β.m⊥β.则m⊥α.又l⊂α.则l⊥m.故B正确；对于C.若1 || m.α || β.则m || β或m⊂β.故C错误；对于D.若l⊥m.m || β.则α || β或α与β相交.故D错误．故选：B．【点评】：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用.考查空间想象能力与思维能力.是中档题．4.（单选题.4分）已知x.y满足约束条件{2x−y−1≤0x+y+1≥0y≤1.则Z=|x-3y-2|的取值范围是（）A.[0.7]B.（1.7）C.[0.4]D.[1.4]【正确答案】：A【解析】：根据二元一次不等式组画出可行域.目标函数几何意义z′=x-3y-2的纵截距相反数.平移目标函数观察Z取值范围．【解答】：解：如图可行域：令z′=x-3y-2.平移直线x-3y-2=0可知当直线过C（0.-1）时.z′取得最大值1.经过B（-2.1）时.z′有最小值-7.Z=|x-3y-2|.所以Z的取值范围：[0.7]【点评】：本题考查线性规划问题.属常规题较简单.解题的关键是画好可行域.弄清z所对应的几何意义．5.（单选题.4分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n.若1a1+1a2+1a3=2 .a2=2.则S3=（）A.8B.7C.6D.4【正确答案】：A【解析】：利用已知条件化简.转化求解即可．【解答】：解：1a1+1a2+1a3=a1+a3a1a3+1a2=a1+a2+a3a22=S34=2 .则S3=8．故选：A．【点评】：本题考查等比数列的性质.考查化归与转化的思想．6.（单选题.4分）函数f（x）= x(e x−e−x)x2−1的部分图象大致是（）A.B.C.D.【正确答案】：D【解析】：由函数为偶函数.可排除选项A.由f（2）＞0.可排除BC.即可得到正确答案．【解答】：解：函数的定义域为{x|x≠±1}. f(−x)=−x(e −x−e x)x2−1=f(x) .故函数f（x）为偶函数.其图象关于y轴对称.故排除A；又f(2)=2(e 2−e−2)3＞0 .故排除BC；故选：D．【点评】：本题考查利用函数性质确定函数图象.考查数形结合思想.属于基础题．7.（单选题.4分）已知函数f（x）=|x|（e x-e-x）.对于实数a.b.“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：C【解析】：根据条件判断函数f（x）是奇函数.同时也是增函数.结合函数奇偶性和单调性的性质.利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】：解：∵f（x）=|x|（e x-e-x）.∴f（-x）=|-x|（e-x-e x）=-|x|（e x-e-x）=-f（x）.即函数f（x）是奇函数.当x≥0.f（x）为增函数.则由a+b＞0得a＞-b.此时f（a）＞f（-b）=-f（b）.即f（a）+f（b）＞0成立.即充分性成立. 若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞-f（b）=f（-b）.则a＞-b.即a+b＞0成立.即必要性成立.则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件.故选：C．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.结合条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.（单选题.4分）已知函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得到的图象关于直线x=π6对称.则θ的最小值为（）A. π6B. π3C. π2D.π【正确答案】：C【解析】：根据三角函数图象平移法则写出平移后的函数解析式.再根据函数图象关于直线x=π6对称求出θ的最小值．【解答】：解：函数f(x)=2sin(2x+π6) .将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度.得y=f（x-θ）=2sin[2（x-θ）+ π6 ]=2sin（2x-2θ+ π6）；又函数y的图象关于直线x=π6对称.即2× π6 -2θ+ π6=kπ+ π2.k∈Z；解得θ=- 12kπ.k∈Z；又θ＞0.所以θ的最小值为π2．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了图象平移问题.是基础题． 9.（单选题.4分）已知线段AB 是圆C ：x 2+y 2=4的一条动弦.且 |AB |=2√3 .若点P 为直线x+y-4=0上的任意一点.则 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为（） A. 2√2−1 B. 2√2+1 C. 4√2−2 D. 4√2+2 【正确答案】：C【解析】：过O 作OD⊥AB .由已知求得|OD|.再求出原点到直线x+y-4=0的距离.求得| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值.再由 |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |求解．【解答】：解：如图.P 为直线x+y-4=0上的任意一点.过原点O 作OD⊥AB .由|AB|=2 √3 .可得|OD|=1. ∴| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OP|-1.则 |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |min =√2−1=2√2−1 ．则| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2| PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的最小值为 4√2−2 ．故选：C ．【点评】：本题主要考查了直线与圆相交的性质.考查向量模的最值的求法.理解题意是关键.是中档题．10.（单选题.4分）已知数列{a n }满足a 0=0.|a i+1|=|a i +1|（i∈N ）.则| ∑a k 20k=1 |的值不可能是（）A.2B.4C.10D.14【正确答案】：B【解析】：可将数列的递推式两边平方.运用累加法和排除法.可得结论．【解答】：解：|a i+1|=|a i +1|.两边平方可得a i+12=a i 2+2a i +1. 由a 12=a 02+2a 0+1=0+0+1.a 22=a 12+2a 1+1.a 32=a 22+2a 2+1.….a 212=a 202+2a 20+1. 上面的式子累加可得a 212=2（a 1+a 2+…+a 20）+21.则| ∑a k 20k=1 |=| a 212−212|.若| a 212−212 |=2.可得a 21=±5.故A 可能；若|a 212−212|=4.可得a 21不为整数.故B 不可能；若| a 212−212 |=10.可得a 21=±1.故C 可能；若|a 212−212|=14.可得a 21=±7.故D 可能．故选：B ．【点评】：本题考查数列递推式的运用和数列的求和.考查分类讨论思想和判断能力.属于中档题．11.（填空题.6分）复数i (1+2i )1+i 的虚部为___ .模为___ ．【正确答案】：[1] 32; [2]√102【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简.可得复数的虚部.再由复数模的计算公式求复数的模．【解答】：解：∵ i (1+2i )1+i = −2+i1+i=(−2+i )(1−i )(1+i )(1−i )=−2+2i+i−i 22=−12+32i .∴复数 i (1+2i )1+i 的虚部为 32. |i (1+2i )1+i |=| −12+32i |= √(−12)2+(32)2=√102．故答案为： 32 ； √102．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.考查复数模的求法.是基础题．12.（填空题.6分）已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm）.则该几何体的体积（单位：cm3）是___ ；此几何体各个面中.面积的最大值（单位：cm2）为___ ．【正确答案】：[1] 163; [2]4 √2【解析】：首先把三视图转换为几何体的直观图.进一步利用体积公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E-ABCD．如图所示：所以V E−ABCD=13×2×4×2=163. S△ADE=12×4×√22+22=4√2．故答案为：163；4√2．【点评】：本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换.几何体的体积公式的应用.主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力.属于基础题．13.（填空题.6分）若（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.则a1+a2+…+a7的值是___ ；在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.假设这三项均不相邻.则有___ 种不同的取法．【正确答案】：[1]125; [2]35【解析】：利用二项式定理可知.对已知关系式中的x赋值0与1即可求得a1+a2+…+a8的值．先求出任取不同的三项的所有取法.再求出三项均相邻和只有两项相邻的不同取法.利用间接法即可求解．【解答】：解：∵（1+x）（1-2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8.∴a8= C77•（-2）7=-128．令x=0.得（1+0）（1-0）7=a0.即a0=1；令x=1.得（1+1）（1-2）7=a0+a1+a2+…+a7+a8=-2.∴a1+a2+…+a7=-2-a0-a8=-2-1+128=125．在上述展开式右边的九项中.随机任取不同的三项.有C93 =84种不同取法.三项均相邻.有7种不同的取法.两项相邻.有2×6+6×5=42种不同的取法.故三项均不相邻有84-7-42=35种不同的取法．故答案为：125；35．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.组合数公式的应用.属于中档题．14.（填空题.6分）已知数列{a n}.{b n}满足：a1=1.a n+a n+1=n.b n=a2n-1.则数列b n=___ ；记S n为数列{a n}的前n项和.S31-S24=___ ．【正确答案】：[1]n; [2]97【解析】：由a n+a n+1=n.可将n换为n-1.相减可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.再由数列的分组求和.可得所求和．【解答】：解：a1=1.a n+a n+1=n.可得a2=1-a1=0.将n换为n-1可得a n-1+a n=n-1.n≥2.又a n+a n+1=n.相减可得a n+1-a n-1=1.可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列.可得b n=a2n-1=1+（n-1）=n；a2n=0+n-1=n-1.则S31-S24=a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31=（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）=（13+14+15+16）+（12+13+14）=58+39=97．故答案为：n.97．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的求和方法：分组求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．15.（填空题.4分）函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图所示.则f（x）的单调递增区间为___ ．【正确答案】：[1][2k- 54 .2k- 14].k∈Z【解析】：由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.可得函数的解析式.再利用正弦函数的单调性.得出结论．【解答】：解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的部分图象.可得12• 2πω= 54- 14.∴ω=π．再根据五点法作图.可得π× 14+φ=π.∴φ= 3π4.f（x）=sin（πx+ 3π4）．令2kπ- π2≤πx+ 3π4≤2kπ+ π2.k∈Z.解得 2k- 54≤x≤2k- 14.k∈Z.故函数的增区间为[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．故答案为：[2k- 54 .2k- 14].k∈Z．【点评】：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式.由周期求出ω.由五点法作图求出φ的值.正弦函数的单调性.属于中档题．16.（填空题.4分）已知x＞0.y＞0.则2xyx2+4y2+xyx2+y2的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 2√23【解析】：换元t= xy +2yx.然后结合基本不等式可求t的范围.然后结合函数y=t+ 1t的单调性可求范围.然后2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t.从而可求【解答】：解：因为x＞0.y＞0.令t= xy +2yx.则t ≥2√2 .所以y=t+ 1t 在[2 √2 .+∞）上单调递增.y ≥9√24.则2xyx2+4y2+xyx2+y2= 3x3y+6xy3x4+5x2y2+4y4=3xy+6yxx2y2+4y2x2+5=3(xy+2yx)(xy+2yx)2+1= 3t1+t2= 3t+1t≤9√24= 2√23.当且仅当t= 1t即t=1时取等号.故答案为：2√23【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值.解题的关键是应用条件的配凑.属于中档试题．17.（填空题.4分）四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°.若四面体ABCD的外接球半径为√5 .则四面体ABCD的体积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]2 √3【解析】：构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O 为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.推导出∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理推导出12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.由此能求出四面体ABCD的体积的最大值．【解答】：解：四面体ABCD中.AB⊥BC.CD⊥BC.BC=2.且异面直线AB和CD所成的角为60°. 构建直三棱柱ABE-CDF.设G.H分别为△ABE.△CDF的外心.连结GH.取其中点O.则O为直三棱柱ABE-CDF的外接球的球心.也是四面体ABCD的外接球的球心.∵异面直线AB与CD所成角为60°.∴∠ABE=60°.设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r.则r= √5−1 =2.AE=2rsin60°=2 √3 .由余弦定理得：AE2=AB2+BE2-2AB•BE•cos60°.∴AB2+BE2-AB•BE=12.∴12=AB2+BE2-AB•BE≥2AB•BE-AB•BE=AB•BE.∴四面体ABCD的体积：V A−BCD=13V ABE−CDF = 13×12×AB×BE×sin60°×BC = √36×AB×BE≤ 2√3．∴四面体ABCD的体积的最大值为2 √3．故答案为：2√3．【点评】：本题考查四面体的体积的求法.考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识.考查运算求解能力.是中档题．18.（问答题.0分）在△ABC中.内角A.B.C的对边分别为a.b.c.若sin2A+sin2C-sin2B= 23 sinAsinC.c=2．（1）求sinB的值；（2）设D在BC边上.且BD=AD=2DC.求△ABC的面积．【正确答案】：【解析】：（1）利用正弦定理化角为边.再由余弦定理求出cosB.从而求出sinB的值；（2）根据题意画出图形.利用余弦定理求出BD的值.再求△ABC的面积．【解答】：解：（1）△ABC中.sin2A+sin2C-sin2B= 23sinAsinC.由正弦定理得.a2+c2-b2= 23ac.所以cosB= a 2+c2−b22ac=23ac2ac= 13；又B∈（0.π）.所以sinB= √1−sin2B = √1−(13)2= 2√23；（2）如图所示.设BD=AD=2DC=x.由c=AB=2.利用余弦定理得.AD2=AB2+BD2-2AB•BD•cosB. 即x2=22+x2-2×2×x× 13.解得x=3.CD= 12 x= 32.所以△ABC的面积为S△ABC= 12AB•BC•sinB= 12×2×（3+ 32）× 2√23=3 √2．【点评】：本题考查了正弦、余弦定理的应用问题.也考查了运算求解能力.是中档题．19.（问答题.0分）如图.在四棱锥S-ABCD中.侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD.底面为直角梯形且∠ABC=90°.AB=AD= 12BC.CD=SD.点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°.求SD与平面MBD所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（1）取BC的中点E.连接DE.分别计算BD.CD.利用勾股定理的逆定理证明BD⊥CD.再根据面面垂直的性质得出BD⊥平面SCD；（2）建立空间坐标系.计算平面MBD的法向量n⃗ .计算n⃗和DS⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角得出SD与平面MBD所成角的大小．【解答】：（1）证明：取BC 的中点E.连接DE. 设AB=a.则AD=a.BC=2a.BE= 12 BC=a. ∵∠ABC=90°.AD || BE.AD=BE. ∴四边形ABED 是正方形. ∴BD= √2 a.DE⊥BC .DE=CE=a. ∴C D= √2 a.∴BD 2+CD 2=BC 2.故BD⊥CD .∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.BD⊂平面ABCD.BD⊥CD . ∴BD⊥平面SCD ．（2）解：过S 作SN⊥CD .交CD 延长线于N.∵平面SCD⊥平面ABCD.平面SCD∩平面ABCD=CD.SN⊂平面SCD.SN⊥CD . ∴SN⊥平面ABCD.∴∠SDN 为直线SD 与底面ABCD 所成的角.故∠SDN=60°. ∵SD=CD= √2 a.∴DN=√2a 2 .SN= √6a2. 以D 为原点.以DB.DC.及平面ABCD 的过点D 的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D-xyz.如图所示.则B （ √2 a.0.0）.D （0.0.0）.A （ √22a.- √22a.0）.S （0.- √22a. √62a ）. ∵M 是SA 的中点.∴M （ √24 a.- √22 a. √64 a ）.∴ DS ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0.- √22 a. √62 a ）. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √2 a.0.0）. DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ √24 a.- √22 a. √64a ）. 设平面MBD 的法向量为 n ⃗ =（x.y.z ）.则 {n ⃗ •DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0 .即 {√2ax =0√24ax −√22ay +√64az =0 . 令z=2可得 n ⃗ =（0. √3 .2）.∴cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞= n ⃗ •DS ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗ ||DS ⃗⃗⃗⃗⃗ | = √62a √7×√2a= √2114 . ∴SD 与平面MBD 所成角的正弦值为|cos ＜ n ⃗ . DS ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|= √2114 ．【点评】：本题考查面面垂直的性质.考查空间向量与线面角的计算.属于中档题． 20.（问答题.0分）已知数列{a n }满足a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）证明：对∀n∈N *.a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n+1a n+2＜ 112 ．【正确答案】：【解析】：（1）求得a n+1= an1+a n.判断a n ＞0.两边取倒数.结合等差数列的定义和通项公式.可得所求通项公式；（2）求得a k a k+1a k+2= 12 [ 1(k+1)(k+2) - 1(k+2)(k+3)].再由数列的裂项相消求和和不等式的性质.即可得证．【解答】：解：（1）由a 1= 12，(a n+1+1)(a n +1)=2a n +1，n ∈N ∗ .可得a n+1= an 1+a n.由a 1＞0.可得a n ＞0. 则 1a n+1=1+ 1a n.即1a n+1- 1a n=1.所以{ 1a n}是首项为2.公差为1的等差数列. 则 1a n=2+n-1=n+1.即a n = 1n+1 ；（2）证明：a n = 1n+1 .对k=1.2.3.….a k a k+1a k+2= 1(k+1)(k+2)(k+3)= 12 [ 1(k+1)(k+2)- 1(k+2)(k+3)].所以a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2= 12 [ 12×3- 13×4+ 13×4- 14×5+…+ 1(n+1)(n+2)- 1(n+2)(n+3)]= 12 [ 12×3- 1(n+2)(n+3)]= 112- 12(n+2)(n+3)＜112．【点评】：本题考查数列的递推式的运用.以及数列的裂项相消求和.考查转化思想和运算能力、推理能力.属于中档题．21.（问答题.0分）已知椭圆C：x2a2 + y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为√32.且经过点P（- √3 . 12）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点M是椭圆C上位于第一象限内的动点.A.B分别为椭圆C的左顶点和下顶点.直线MB 与x轴交于点C.直线MA与y轴交于点D.O为椭圆的中心.求三角形OCD的面积的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）通过椭圆E的离心率.及椭圆过点P（- √3 . 12）.求得a.b即可得到椭圆方程．（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.写出直线MA、MB的方程即可得到得D（0. 2 y0x0+2）.C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2令x0+2y0=t.利用椭圆参数方程无得t的范围即可求解．【解答】：解：（1）由题意{ca =√323 a2+14b2=1.结合a2=b2+c2.解得a2=4.b2=1.c2=3.故.椭圆C的标准方程为：x 24+y2=1．；（2）设M（x0.y0）.x0＞0.y0＞0.a（-2.0）.B（0.-1）.直线MA的方程为：y=y0x0+2(x+2) .令x=0.得D（0. 2 y0x0+2）.直线MB的方程为：y=y0+1x0x−1 .令x=0.得C（x0y0+1.0）.所以三角形OCD的面积S= 12 |OC||OD|= x0y0(x0+2)(y0+1)= x0y0x0y0+x0+2y0+2.令x0+2y0=t.则t2=(x0+2y0)2=x02+4y02+4x0y0 =4+4x0y0. ∴ x0y0=t2−44.∴S=t2−44t2−44+t+2=1+ −4t+2．令x0=2cosθ，y0=sinθ，θ∈(0，π2) .则t=2cosθ+2sinθ=2 √2 sin（θ+π4）.∵ θ∈(0，π2) .∴ θ+π4∈(π4，3π4) .sin（θ+π4）∈（√22.1]．∵函数S=1+ −4t+2在（2.2 √2 ]单调递增.∴ S∈(0，3−2√2 ]．三角形OCD的面积的取值范围为（0.3-2 √2 ]．【点评】：本题考查椭圆方程的求法.直线与椭圆的位置关系的综合应用.三角形面积的求法.考查转化思想以及计算能力.是难题．22.（问答题.0分）已知函数f（x）=e x+cosx-2.f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时.求f'（x）的最小值；（2）当x≥−π2时.xe x+xcosx-ax2-2x≥0恒成立.求a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求导.判断函数的单调性.进而得到函数的最值；（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.依题意当x≥−π2时.x•h（x）≥0恒成立.然后分a≤1及a＞1讨论.即可得出结论．【解答】：解：（1）f'（x）=e x-sinx.令g（x）=e x-sinx.x≥0.则g'（x）=e x-cosx．当x∈[0.π）时.g'（x）为增函数.g'（x）≥g'（0）=0；当x∈[π.+∞）时.g'（x）≥eπ-1＞0．故x≥0时.g'（x）≥0.g（x）为增函数.故g（x）min=g（0）=1.即f'（x）的最小值为1．时.x•h（x）≥0恒成立．（2）令h（x）=e x+cosx-2-ax.h'（x）=e x-sinx-a.则x≥−π2当a≤1时.若x≥0.则由（1）可知.h'（x）≥1-a≥0.所以h（x）为增函数.故h（x）≥h（0）=0恒成立.即x•h（x）≥0恒成立；，0] .则h''（x）=e x-cosx.若x∈[−π2h'''（x）=e x+sinx在[−π，0]上为增函数.2)=e−π2−1＜0 .又h'''（0）=1. ℎ‴(−π2故存在唯一x0∈(−π，0) .使得h'''（x0）=0．2，x0)时.h'''（x）＜0.h''（x）为减函数；当x∈(−π2x∈（x0.0）时.h'''（x）≥0.h''（x）为增函数．)=e−π2＞0 .h''（0）=0.又ℎ″(−π2，0)使得h''（x1）=0．故存在唯一x1∈(−π2故x∈(−π，x1)时.h''（x1）＞0.h'（x）为增函数；2x∈（x1.0）时.h''（x1）＜0.h'（x）为减函数．)=eπ2+1−a＞0 .h'（0）=1-a≥0.又ℎ′(−π2，0]时.h'（x）＞0.h（x）为增函数.所以x∈[−π2故h（x）≤h（0）=0.即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时.由（1）可知h'（x）=e x-sinx-a在[0.+∞）上为增函数.且h'（0）=1-a＜0.h'（1+a）≥e1+a-1-a＞0.故存在唯一x2∈（0.+∞）.使得h'（x2）=0．则当x∈（0.x2）时.h'（x）＜0.h（x）为减函数.所以h（x）＜h（0）=0.此时x•h（x）＜0.与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述.a≤1．【点评】：本题考查利用导数研究函数的单调性.极值及最值.考查不等式的恒成立问题.考查转化思想.分类讨论思想.考查逻辑推理能力.属于中档题．。

2019-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一上期中数学试卷试题及答案解析版

2021-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷 1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 22﹣2x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则集合A ∩∁U B ＝（）A ．{x |1＜x ＜2}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ＜1}D ．{x |0＜x ≤1} 2．函数f （x ）＝2x +3x 的零点所在的一个区间（）A ．（﹣2，﹣1）B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A ．与B ．与C ．f （x ）＝l g x 2与g （x ）＝2l g xD ．f （x ）＝x 0与4．已知a ＝l o g 52，b ＝l o g 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b5．关于函数，下列说法正确的是（）A ．f （x ）最小值为1B ．f （x ）的图象不具备对称性C ．f （x ）在[﹣2，+∞）上单调递增D ．对任意x ∈R ，均有f （x ）≤1 6．若函数f （x ）＝（﹣x 2+4x +5）在区间（3m ﹣2，m +2）内单调递增，则实数m 的取值为（） A ．[]B ．[]C ．[）D ．[）7．设a 为实数，若函数f （x ）＝2x 2﹣x +a 有零点，则函数y ＝f [f （x ）]零点的个数是（） A ．1或3B ．2或3C ．2或4D ．3或48．已知函数f （x ）＝e x x﹣e ﹣﹣x x，g （x ）＝e x x+e ﹣﹣x x，则以下结论正确的是（）A ．任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有B ．任意的x 1，x 2∈R 且x 1≠x 2，都有C ．f （x ）有最小值，无最大值D ．g （x ）有最小值，无最大值9．函数f （x ）＝|x |+（其中a ∈R ）的图象不可能是（）A ．B ．C ．D ．10．己知函数，函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则﹣x 1x 2+x 3+x 4的取值范围为（） A ．（3，3+e ]B ．[3，3+e ）C ．（3，+∞）D ．[3，3+e ）二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．已知集合，则列举法表示集合A ＝，集合A的真子集有个．12．函数的定义域是，值域是．13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有个，其中函数的值域一共有种不同情况．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为．16．若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为．，17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，若A∩B＝{x1 x}，求t的取值范围．2三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g （x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝m a x{e f（x），e g（x）}的最小值．2021-2020学年浙江省宁波市镇海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分B 1．设全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合A∩∁U＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|1≤x＜2}C．{x|0＜x＜1}D．{x|0＜x≤1}【解答】解：∵集合A＝{x|x22﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，又∵B＝{x|x＞1}，B＝{x|x≤1}，∴∁U则集合A∩∁B＝{x|0＜x≤1}U故选：D．2．函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【解答】解：函数f（x）＝2x+3x是增函数，f（﹣1）＝＜0，f（0）＝1+0＝1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）＝2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．3．下列四组函数中，表示同一函数的是（）A．与B．与C．f（x）＝l g x2与g（x）＝2l g xD．f（x）＝x0与【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝﹣x（x≤R），与g（x）＝x（x≤0）的对应关系不同，不是同一函数；对于B ，函数f （x ）＝•＝（x ≥1），与g （x ）＝（x ≤﹣1或x ≥1）的定义域不同，不是同一函数；对于C ，函数f （x ）＝l g x 22＝2l g |x |（x ≠0），与g （x ）＝2l g x （x ＞0）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数；对于D ，函数f （x ）＝x 0＝1（x ≠0），与g （x ）＝＝1（x ≠0）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D ．4．已知a ＝l o g 52，b ＝l o g 0.50.2，c ＝0.50.2，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b 【解答】解：由题意，可知： a ＝l o g 52＜1， b ＝l o g 0.50.2＝＝＝l o g 25＞l o g 24＝2．c ＝0.50.2＜1，∴b 最大，a 、c 都小于1． ∵a ＝l o g 52＝，c ＝0.50.2＝＝＝．而l o g 25＞l o g 24＝2＞，∴＜．∴a ＜c ， ∴a ＜c ＜b ．故选：A ．5．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（x）最小值为1B．f（x）的图象不具备对称性C．f（x）在[﹣2，+∞）上单调递增D．对任意x∈R，均有f（x）≤1【解答】解：根据题意，对于函数，设t＝x2+4x+5，则y＝，t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1≥1，在区间（﹣∞，﹣2）上为减函数，在（﹣2，+∞）上为增函数，y＝在[1，+∞）上为减函数，则f（x）在（﹣∞，﹣2）上为增函数，在（﹣2，+∞）上为减函数，则当x＝﹣2时，f（x）取得最大值f（﹣2）＝1，故A、C错误，D正确；t＝x2+4x+5＝（x+2）2+1为二次函数，其图象关于直线x＝﹣2对称，则的图象关于直线x＝﹣2对称，B错误；故选：D．6．若函数f（x）＝（﹣x2+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，则实数m的取值为（）A．[]B．[]C．[）D．[）【解答】解：先保证对数有意义﹣x2+4x+5＞0，解得﹣1＜x＜5，又可得二次函数y＝﹣x2+4x+5的对称轴为x＝﹣＝2，由复合函数单调性可得函数f（x）＝（﹣x22+4x+5）的单调递增区间为（2，5），要使函数f（x）＝（﹣x22+4x+5）在区间（3m﹣2，m+2）内单调递增，只需，解关于m的不等式组得≤m＜2，故选：C．7．设a为实数，若函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，则函数y＝f[f（x）]零点的个数是（）A．1或3B．2或3C．2或4D．3或4【解答】解：令t＝f（x），y＝f[f（x）]＝f（t）＝2t2﹣t+a．函数f（x）＝2x2﹣x+a有零点，即方程2x2﹣x+a＝0有根，若方程2x2﹣x+a＝0有1个零点，则△＝1﹣8a＝0，即a＝．而方程2t2﹣t+a＝0化为，即（4t﹣1）2＝0，t＝，此时函数y＝f[f（x）]有2个零点；若方程2x2﹣x+a＝0有2个零点，则△＝1﹣8a＞0，得a＜．此时方程2t2﹣t+a＝0的根为t＝，而小根＞在a ＜时成立，∴函数y＝f[f（x）]有4个零点．综上，函数y＝f[f（x）]零点的个数是2或4．故选：C．8．已知函数f（x）＝e x x﹣e﹣﹣x x，g（x）＝e x x+e﹣﹣x x，则以下结论正确的是（）A．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有B．任意的x1，x2∈R且x1≠x2，都有C．f（x）有最小值，无最大值D．g（x）有最小值，无最大值【解答】解：函数f（x）＝e x﹣e﹣x，f“（x）＝e x+e﹣x≥2，f（x）递增，无最小值，无最大值，g（x）＝e x+e﹣x≥2，当x＞0时，g'（x）＝e x﹣e﹣x＝≥0，g（x）递增，g（x）为偶函数，所以g（x）在（﹣∞，0）递减，所以（0，+∞）上递增，所以g（x）m i n＝g（0）＝2，无最大，故选：D．9．函数f（x）＝|x|+（其中a∈R）的图象不可能是（）A．B．C．D．【解答】解：当a＝0时，f（x）＝|x|，且x≠0，故A符合，当x＞0时，且a＞0时，f（x）＝x+≥2，当x＜0时，且a＞0时，f （x ）＝﹣x +在（﹣∞，0）上为减函数，故B 符合，当x ＜0时，且a ＜0时，f （x ）＝﹣x +≥2＝2，当x ＞0时，且a ＜0时，f （x ）＝x +在（0，+∞）上为增函数，故D 符合，故选：C ． 10．己知函数，函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，从小到大依次为x 1，x 2，x 3，x 4，则﹣x 1x 2+x 3+x 4的取值范围为（） A ．（3，3+e ]B ．[3，3+e ）C ．（3，+∞）D ．[3，3+e ）【解答】解：函数y ＝f （x ）﹣a 有四个不同的零点，即两函数y ＝f （x ）与y ＝a 图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1＜a ≤e ， x 1，x 2是方程的两根，即x 2+2x +1﹣l n a ＝0的两根，∴x 1x 2＝1﹣l n a ，x 3，x 4是方程x +﹣3＝a 的两根，即x 2﹣（3+a ）x +4＝0的两个根， ∴x 3+x 4＝3+a ，∴﹣x 1x 2+x 3+x 4＝2+a +l n a ．∵g （a ）＝2+a +l n a 在（1，e ]上为单调增函数， ∴g （a ）∈（3，e +3]．故选：A ．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分 11．已知集合，则列举法表示集合A ＝ {0，1，3，9} ，集合A的真子集有15个．【解答】解：∵集合，∴列举法表示集合A＝{0，1，3，9}，集合A的真子集有24﹣1＝15个．故答案为：{0，1，3，9}，15．12．函数的定义域是[﹣1，7]，值域是[0，4]．【解答】解：7+6x﹣x2≥0，解得x∈[﹣1，7]，t＝﹣（x﹣3）2+16，t∈[0，16]，y＝∈[0，4]，故答案为：[﹣1，7]，[0，4]13．已知函数，则f（f（﹣2））＝；若f（a）＝2，则实数a＝﹣2或4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝|﹣2|＝2，f（f（﹣2））＝f（2）＝；∵f（a）＝2，∴当a≤0时，f（a）＝|a|＝2，解得a＝﹣2；当a＞0时，f（a）＝＝2，解得a＝4．综上，实数a的值为﹣2或4．故答案为：，﹣2或4．14．已知集合A＝B＝{1，2，3}，设f：A→B为从集合A到集合B的函数，则这样的函数一共有27个，其中函数的值域一共有7种不同情况．【解答】解：因为函数的对应可以是“一对一”，也可以是“多对一”，所以：①当函数值为一个数时，函数共有3个，函数的值域有3种情况，②当函数值为两个数时，函数共有＝18个，函数的值域有3种情况，③当函数值为三个数时，函数共有A＝6个，函数的值域有1种情况，故这样的函数一共有3+18+6＝27个，函数的值域一共有7种情况，故答案为：27；7．15．若函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围为2＜a≤4．【解答】解：根据题意函数是R上的单调减函数，2﹣a＜0，a≤4，且2﹣a+3a≥4，即a＞2，a≤4，a≥1，故2＜a≤4，故答案为：2＜a≤4．16．若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|恒成立，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．【解答】解：若|x|且x≠0时，不等式|a x2﹣x﹣a|≥2|x|，即为|a x﹣﹣1|≥2恒成立，可得a（x﹣）≥3或a（x﹣）≤﹣1，由|x|且x≠0可得y＝x﹣的值域为（﹣∞，﹣]∪[，+∞），由于a＝0不等式不成立，当a＞0，0＜x≤时，a∈∅或a（x﹣）≤﹣a，即﹣1≥﹣a，则a≥；当a＞0，﹣≤x＜0时，a（x﹣）≥a或a∈∅，即3≤a，则a≥2，综上可得a≥2；同理可得a＜0时，|a x﹣﹣1|≥2恒成立，可得a≤﹣2，故所求a的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．17．已知集合A＝{x∈Z|x2﹣1＞0}，B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，若A∩B＝{x1，x2}，求t的取值范围（﹣，﹣]∪[，）．．【解答】解：∵x2﹣1＞0，x∈Z，∴A＝{x|x＞1或x＜﹣1，x∈Z}，∵B＝{x|x2﹣2t x﹣1≤0}，设方程x2﹣2t x﹣1＝0的两根为m，n，不妨设m＜n，则m+n＝2t，m n＝﹣1；∴m，n一正一负，且互为负倒数；且B＝{x|m ≤x≤n}∵A∩B＝{x1，x2}，令f（x）＝x2﹣2t x﹣1，则有2种情况：①，当A∩B＝{2，3}时，即﹣1＜m＜0，3≤n＜4，则，得，解得，≤t＜；②当A∩B＝{﹣2，﹣3}时，即﹣4＜m≤﹣3，0＜n＜1，则，得，解得，﹣＜t≤﹣；综上述：t的取值范围是（﹣，﹣]∪[，）．故答案为：（﹣，﹣]∪[，）．三、解答题：5小题，共74分18．计算求值：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝﹣1+﹣+＝﹣1+100﹣+24＝﹣1+100﹣+16＝115．（2）＝l g（×）+＝l g10+＝+1＝．19．已知集合A＝{x|2a≤x≤a2+1}，B＝{x|x2﹣3（a+1）x+2（3a+1）≤0}，其中a∈R．（1）若4∈A，3∉A，求实数a的取值范围；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）因为4∈A，所以2a≤4≤a22+1，解得a≤﹣或≤a ≤2．又3∉A，所以2a＞3或a2+1＜3，故﹣＜a＜或a＞．∴若4∈A，3∉A，有≤a≤2；故a的取值范围是：[，2]．（2）B＝{x|（x﹣2）[x﹣（3a+1）]≤0，当3a+1＝2，即a＝时，B＝{2}，不合题意．当3a+1＜2，即a＜时，B＝{x|3a+1≤x≤2}，所以，∴，解得a＝﹣1．当3a+1＞2，即a＞时，B＝{x|2≤x≤3a+1}，所以，∴，解得1≤a≤3．综上知，a＝﹣1或1≤a≤3．故实数a的取值范围是{a|a＝﹣1或1≤a≤3}．20．定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），且当x≥0时，．（1）求当x＜0时，f（x）的解析式；（2）若对任意的x∈[m﹣1，m]，不等式f（2﹣x）≤f（x+m）恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）设﹣1＜x≤0，则0≤﹣x＜1，∴f（﹣x）＝﹣（﹣x）22+1＝﹣x22+1，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝﹣x22+1，（﹣1＜x＜≤0），设x≤﹣1，则﹣x≥1，∴f（﹣x）＝2﹣2﹣x，∵f（﹣x）＝f（x），∴f（x）＝2﹣2﹣x，（x≤﹣1），∴当x＜0时，f（x）的解析式为；（2）易知函数f（x）为定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）为减函数，∴f（2﹣x）≤f（x+m）⇔f（|2﹣x|）≤f（|x+m|）⇔|2﹣x|≥|x+m|，∴（2m+4）x≤4﹣m2对任意x∈[m﹣1，m]恒成立，当2m+4≥0，即m≥﹣2时，只需（2m+4）m≤4﹣m22，解得，故此时；当2m+4＜0，即m＜﹣2时，只需（2m+4）（m﹣1）≤4﹣m2，解得，此时无解．综上，实数m的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足f（x）•[g （x）+3]＝3x﹣3﹣x，若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）当a＝5，b＝﹣3时，，令，则（3x x）22﹣4•3x x﹣5＝0，解得3x x＝5或3x x＝﹣1（舍），5；∴x＝l o g3（2）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴a＝﹣1，b＝1，∴，∴＝3x+3﹣x﹣1，∴不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10即为32x+3﹣2x﹣1≥m（3x+3﹣x﹣1）﹣10，亦即（3x x+3﹣﹣x x）22﹣m（3x x+3﹣﹣x x）+7﹣m≥0对任意x∈R且x≠0恒成立，令t＝3x+3﹣x＞2，则t2﹣m t+7﹣m≥0对任意t∈（2，+∞）都成立，亦即对任意t∈（2，+∞）都成立，，令，则m≤h（t）m i n又，由双勾函数可知，h（t）在（2，+∞）为增函数，∴，∴，∴m的最大值为．22．已知函数f（x）＝|x﹣2a+1|，g（x）＝|x﹣a|+1，x∈R．（1）若a＝2且x∈[2，3]，求函数φ（x）＝e f（x）+e g（x）的最小值；（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，求a的取值范围；（3）若x∈[1，6]，求函数h（x）＝m a x{e f f（（x x）），e g g（（x x））}的最小值．【解答】解：（1）若a＝2，则φ（x）＝e|x﹣3|+e|x﹣2|+1，由于x∈[2，3]，即|x﹣3|＝3﹣x，|x﹣2|+1＝x﹣2+1＝x﹣1，∴φ（x）＝e3﹣x+e x﹣1＝+≥2＝2e，当且仅当＝时，即x＝2时φ（x）有最小值2e．（2）若g（x）≥f（x）对于任意x∈[a，+∞）恒成立，得|x﹣2a+1|≤|x﹣a|+1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，即|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤1，对于任意x∈[a，+∞）恒成立，因|x﹣2a+1|﹣|x﹣a|≤|a﹣1|，故只需|a﹣1|≤1，解得0≤a≤2，故a的取值范围为[0，2]．（3）h（x）＝m a x{e f（x），e g（x）}＝e m a x{f（x），g（x）}＝e m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}，接下来讨论m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}在[1，6]上的最小值，情形一：2a﹣1≤a≤1，即a≤1时，x∈[1，6]，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}，①当a≤0时，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x ﹣2a+1≥2﹣2a，②当0＜a≤1时，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝m a x{x﹣2a+1，x﹣a+1}＝x﹣a+1≥2﹣a，情形二：1＜a＜2a﹣1＜6，即时，③当1＜a≤2时，（i）当1＜x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2≤0，（i i）当a＜x≤2a﹣1时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜3a ﹣2﹣2a＜0，（i i i）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝|x﹣a|+1≥1，④当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（i i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，（ⅳ）当2a﹣1＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝﹣a＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；情形三：当1＜a＜6≤2a﹣1，即时，⑤当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，（i i i）当时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x＜0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝，；⑥当时，（i）当1≤x≤a时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，（i i）当a＜x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝3a﹣2﹣2x≥0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n ＝2a﹣7；情形四：当a≥6时，（i）当1≤x≤6时，|x﹣2a+1|﹣（|x﹣a|+1）＝a﹣2＞0，∴m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}＝2a﹣1﹣x，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n ＝2a﹣7；＝，综上，m a x{|x﹣2a+1|，|x﹣a|+1}m i n。

2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)

2020-2021宁波市高三数学上期中试卷(带答案)一、选择题1．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 2．下列命题正确的是 A ．若 a ＞b,则a 2＞b 2 B ．若a ＞b ，则 ac ＞bc C ．若a ＞b ，则a 3＞b 3D ．若a>b ，则1a ＜1b3．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则313233310log log log log a a a a +++⋅⋅⋅+=（）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4B ．5C ．6D ．4或55．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*11n n nS S n N n +>∈+.若870a a +<，则（） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7SD ．n S 的最小值是7S6．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （）A ．18B ．34C ．23 D ．167．中华人民共和国国歌有84个字，37小节，奏唱需要46秒，某校周一举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15︒的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60︒和30°，第一排和最后一排的距离为部与第一排在同一个水平面上．要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为（米/秒）A ．33B ．53C ．73D ．838．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，若3132312log log log 12a a a ++⋯+=，则67a a ＝（） A ．1B ．3C ．6D ．99．如图，有四座城市A 、B 、C 、D ，其中B 在A 的正东方向，且与A 相距120km ，D 在A 的北偏东30°方向，且与A 相距60km ；C 在B 的北偏东30°方向，且与B 相距6013km ，一架飞机从城市D 出发以360/km h 的速度向城市C 飞行，飞行了15min ，接到命令改变航向，飞向城市B ，此时飞机距离城市B 有（）A ．120kmB ．606kmC ．605kmD ．3km10．数列{}n a 中，()1121nn n a a n ++-=-，则数列{}n a 的前8项和等于（） A ．32B ．36C ．38D ．4011．已知{}n a 是等比数列，22a =，514a =，则12231n n a a a a a a +++⋅⋅⋅+=（） A ．()1614n--B ．()1612n--C ．()32123n -- D ．()32143n -- 12．已知4213332,3,25a b c ===，则 A ．b a c << B ．a b c << C ．b c a <<D ．c a b <<二、填空题13．等差数列{}n a 中，1351,14,a a a =+=其前n 项和100n S =，则n=＿＿ 14．在△ABC 中，2a =，4c =，且3sin 2sin A B =，则cos C =____．15．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．16．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,()22,1,xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________17．某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产品6件和B 类产品20件．已知设备甲每天的租赁费为200元,设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元．18．已知实数,x y 满足240{220330x y x y x y -+≥+-≥--≤，，，则22x y +的取值范围是 .19．在中，若，则__________．20．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++等于______.三、解答题21．已知数列{}n a 是一个公差为()0d d ≠的等差数列，前n 项和为245,,,n S a a a 成等比数列，且515=-S ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{nS n}的前10项和． 22．已知数列{n a }的前n 项和1*1()2()2n n n S a n N -=--+∈，数列{n b }满足n b =2n n a ．(I)求证数列{n b }是等差数列，并求数列{n a }的通项公式； (Ⅱ)设2log n n n c a =，数列{22n n c c +}的前n 项和为T n ，求满足*25()21n T n N <∈的n 的最大值.23．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求12111nS S S ++⋯+． 24．已知数列{}n a 的首项123a =，且当2n ≥时，满足1231312n n a a a a a -++++=-L ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n n nb a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 25．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()3cos cos 0a b C c B ++=. （1）求cos C 的值；（2）若6c =，ABC ∆的面积为324，求+a b 的值； 26．在ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222sin sin sin sin sin A C B A C +=-.(1)求B 的大小;(2)设BAC ∠的平分线AD 交BC 于,23,1D AD BD ==,求sin BAC ∠的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】【分析】【详解】111A B C ∆的三个内角的余弦值均大于0，则111A B C ∆是锐角三角形，若222A B C ∆是锐角三角形，由，得2121212{22A AB BC C πππ=-=-=-，那么，2222A B C π++=，矛盾，所以222A B C ∆是钝角三角形，故选D.2．C解析：C 【解析】对于A ，若1a =，1b =-，则A 不成立；对于B ，若0c =，则B 不成立；对于C ，若a b >，则33a b >，则C 正确；对于D ，2a =，1b =-，则D 不成立.故选C3．A解析：A 【解析】【分析】利用对数运算合并，再利用等比数列{}n a 的性质求解。

2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题(解析版)

2020届浙江省宁波市镇海中学高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}2|450,{|0ln 2}A x x x B x x =∈--≤=<<Z ，则A B 的元素的个数为（） A ．2 B ．3C ．4D ．7【答案】C【解析】求出集合,A B ，根据集合的交集运算即可求解. 【详解】}{{}24501,0,1,2,3,4,5A x Z x x =∈--≤=-，{}{}20ln 21B x x x x e =<<=<<{}2,3,4,5A B ∴⋂=所以A B ⋂的元素的个数为4. 故选：C 【点睛】本题主要考查集合的交集概念与运算，属于基础题.2．若,,a b c ∈R 且a b >，则下列不等式中一定成立的是（） A ．ac bc > B ．2()0a b c ->C ．11a b＜D ．22a b -<-【答案】D【解析】根据不等式的性质即可判断. 【详解】对于A ，若0c ≤，则不等式不成立；对于B ，若0c =，则不等式不成立；对于C ，若,a b 均为负值，则不等式不成立；对于D ，不等号的两边同乘负值，不等号的方向改变，故正确；故选：D 【点睛】本题主要考查不等式的性质，需熟练掌握性质，属于基础题. 3．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且244,18S S ==，则6S 等于（）A ．50B ．42C ．38D ．36【答案】B【解析】由等差数列前n 项和的性质：232,,n n n n n S S S S S --成等差数列即可求解. 【详解】由24264,,S S S S S --成等差数列，所以()()62184418S -=+- 所以642S =，故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项的性质，需熟记性质的内容，属于基础题. 4．函数()243xx f x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的奇偶性、极限值以及特殊值，利用排除法即可判断. 【详解】()()f x f x -=，可知函数为偶函数，可排除C ；当x →+∞时，由于指数函数的增长速度快，则()0f x →，可排除B ；当2x =时，()216162239y f ===<，特殊值法可排除D ；故选：A 【点睛】本题主要考查函数奇偶性等性质的应用，利用函数的性质求函数的大致图像可采用排除法，此题属于中档题.5．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是（）A ．76B ．84C ．76+D ．84+【答案】C【解析】几何体为侧放的五棱柱，底面为正视图中的五边形，棱柱的高为4. 【详解】由三视图可知几何体为五棱柱，底面为正视图中的五边形，高为4. 所以五棱柱的表面积为(14422244224762⎛⎫⨯-⨯⨯⨯+++++⨯=+⎪⎝⎭故选：C 【点睛】本题主要考查三视图，解题的关键是还原几何体，属于基础题. 6．将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位长度后，得到()26g x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()y f x =的函数解析式为（）A ．()cos2f x x =-B ．()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()cos2f x x =D ．()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数图象的平移法则即可求解. 【详解】把()26g x sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向左平移6π个单位可得()sin 2sin 2cos 2662f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数图像的平移，需掌握平移法则，平移是对变量x 平移且“左加右减” ，属于基础题.7．设命题():lg 210p x -≤，命题()10x a q x a-+≤-：，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（） A ．102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．102⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．∅【答案】A【解析】首先求出命题p 、q 中不等式的解集，再根据命题之间的关系推出集合的包含关系即可求出参数的取值范围. 【详解】解不等式()lg 210x -≤得02-11x <≤，所以112x <≤，故满足命题p 的集合112P xx ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭，解不等式()10x a x a-+≤-得()()10x a x a --+≤⎡⎤⎣⎦且x a ≠，所以1a x a <≤+故命题q 的集合{}1Q x a x a =<≤+，若q 是p 的必要而不充分条件，则PQ即1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩解得102a ≤≤故选：A 【点睛】本题主要考查命题中必要不充分条件，解题的关键是根据命题的关系推出集合的包含关系，属于基础题. 8．已知22ππαβ--＜＜，sin 2cos 1αβ-=，2cos sin αβ+=则3sin πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （）A ．B C ．3±D ．3±【答案】B【解析】两式平方相加利用两角和与差的公式可化为()54sin 3αβ--=，再根据22ππαβ-<-<得出6παβ=+，代入2cos sin αβ+=.【详解】将两个等式两边平方可得2222sin 4sin cos 4cos 1cos 4cos sin 4sin 2ααββααββ⎧-⋅+=⎨+⋅+=⎩，两式相加可得()54sin 3αβ--=，所以()1sin 2αβ-=， 22ππαβ-<-<，6παβ∴-=，即6παβ=+，代入2cos sin αβ+=3sin 2ββ+=，所以sin 63πβ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，需熟记两角和与差的公式以及常见的三角函数值，属于中档题.9．已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,F F ，设点P 是该椭圆和双曲线的一个公共点，且123F PF π∠=，若椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则2212e e +的最小值为（）A ．B ．4+C ．2+D ．1【答案】A【解析】设出椭圆与双曲线的标准方程，利用定义可得：12,2m n a m n a +=-=，解出,m n ，利用余弦定理解关于12,e e 的等式，再由基本不等式求出2212e e +的最小值即可. 【详解】不妨设椭圆与双曲线的标准方程为：()222210x y a b a b+=>>，()2211221110,0x y a b a b -=>>，设1PF m =，2PF n =，m n >. 则12,2m n a m n a +=-=，11,m a a n a a ∴=+=- ，在12PF F ∆中，123F PF π∠=，由余弦定理可得2221241cos cos 322m n c F PF mn π+-∠===，化为()()()()22211114a a a a c a a a a ++--=+-，所以2221340a a c +-=，2212134e e ∴+=， ()(2222222112122222121231131144444e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当21e =时，取等号，则2212e e +. 故选：A 【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的性质以及基本不等式求最值，考查了学生的计算能力，综合性比较强.10．设a ，b 为正实数，且121322a b a b +++=，则12a b+的最大值和最小值之和为（） A ．2 B ．92C ．132D ．9【答案】C【解析】根据题意可得2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再由“1”与12a b +相乘利用基本不等式转化为221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解不等式即可求解. 【详解】由121322a b a b +++=，则2122113a b a b ⎡⎤⎛⎫+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以1221212213a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2222121413a b b a a b ⎡⎤⎛⎫=+++++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 22212212591313a b a b ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥++=++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当且仅当22a b b a=时，即32a b ==或23时，等号成立，即221212913a b a b⎡⎤⎛⎫++≤+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，解得12922a b ≤+≤所以12a b +的最大值为92；最小值为2；所以最大值和最小值之和为132. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，运用基本不等式求最值需验证等号成立的条件，属于中档题.二、填空题 11．抛物线的焦点坐标是___________，准线方程是___________. 【答案】，.【解析】试题分析：由题意得，焦点坐标是，准线方程是，故填：，.【考点】抛物线的标准方程及其性质.12．已知点A （1，0），B （0，2），点(),P a b 在线段AB 上，则直线AB 的斜率为______；⋅a b 的最大值为______．【答案】2-12【解析】由直线上两点求斜率公式：1212y y k x x -=-，可求斜率，再用二次函数配方求最值即可求解. 【详解】由A （1，0），B （0，2），可得20201AB k -==--，所以直线AB 的斜率为2-，直线AB ：22y x =-+由点(),P a b 在线段AB 上，所以()2201b a a =-+≤≤，所以()21122224a b a a a ⎡⎤⎛⎫⋅=-+=---⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以a b ⋅的最大值为12.故答案为：2-；12【点睛】本题主要考查直线的斜率以及直线方程，需熟记斜率公式以及点斜式方程，属于基础题.13．若实数(),x y 满足约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则2x y -的最小值为_____ ；______．【答案】12【解析】作出约束条件满足的可行域，然后利用目标函数表示的几何意义即可求解. 【详解】作出约束条件20201x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩满足的可行域，设2z x y =-，则2y x z =-，由图可知在C 处取得最小值，由201x y y +-=⎧⎨=⎩解得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1C ，所以min 2111z =⨯-=，即2x y -的最小值为1；(),x y ，()0,1-两点间的距离，设()0,1-到直线20x y +-=的距离为d ，则2d ==2故答案为：1 ；2【点睛】本题主要考查简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域，理解目标函数表示的几何意义，属于基础题.14．已知长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，，1AA 与平面1A BD 所成的角为______. 【答案】60【解析】根据等体积法求出点A 到平面1A BD 的距离h ，在直角三角中利用“对边比斜边”即可求解.【详解】设A 到平面1A BD 的距离为h ，在长方体1111ABCD A B C D -中，1112AA AB AD ===，，则1A D ==，2BD ==，1A B ==在1A BD ∆中，由余弦定理15134cos BA D +-∠==，所以1sin BA D ∠=所以1111222A BD S BA D =⋅∠= 因为11A ABD A A BD V V --=，即111133ABD A BD S AA S h ∆⋅⋅=⋅⋅，解得h = 设直线1AA 与平面1A BD 所成的角为θ，则1sin 2h AA θ==所以60θ=. 故答案为：60 【点睛】本题主要考查立体几何中的线面角，解题的关键是找到线面所成角，放在三角形中求解，此题也可以建立空间直角坐标系，采用向量法.15．已知{}n a 是等比数列，且0n a >，243546225a a a a a a ++=，则35a a +=__________，4a 的最大值为__________．【答案】5 52【解析】243546225a a a a a a ++=22233553535225()25,05n a a a a a a a a a ⇒++=⇒+=>∴+=22354354255()242a a a a a a +∴=≤=⇒≤ ，即4a 的最大值为5216．已知圆22:1O x y +=，设点P 是恒过点（0，4）的直线l 上任意一点，若在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则直线l 的斜率k 的取值范围为______．【答案】,⎫⎛+∞-∞-⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦ 【解析】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，从而结合图像可知直线的倾斜角的取值范围为566ππα≤≤，由t a n k α=即可求解. 【详解】由题意在该圆上任意点A 满足3OPA π∠≤，则当直线l 与圆相切时，3OPA π∠=，设直线的倾斜角为α，由图可知566ππα≤≤因为tan k α=，所以3k ≥或3k ≤-即斜率k 的取值范围为,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦，故答案为：,⎫⎛+∞⋃-∞⎪ ⎪ ⎣⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系以及直线斜率与直线倾斜角的关系，属于基础题. 17．已知单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，且OC xOA yOB =+，则2x y -的取值范围为_____．【答案】[]22-,【解析】由点C 是单位圆上的动点，求得[]1(2)1,12OC OB x y ⋅=--∈-，由此能求出2x y -的取值范围. 【详解】单位圆上两点,A B 满足120AOB ∠=o ，点C 是单位圆上的动点，OC xOA yOB =+，,,OA OB OC ∴均为单位向量，即221OA OB ==，12OA OB ⋅=-，点C 是单位圆上的动点，∴OC OB ⋅的取值范围是[]1,1-，又()OC OB xOA yOB OB ⋅=+⋅[]11(2)1,122xOA OB yOB OB x y x y =⋅+⋅=-+=--∈-2x y ∴-的取值范围为[]22-,.故答案为：[]22-,【点睛】本题主要考查向量的坐标运算以及向量的数量积，考查学生分析问题的能力，属于向量的综合题，三、解答题18．已知()222x x x f x sin cos sin a ⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）若443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求2141tan παα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭+的值．【答案】（1）12-；（2）516.【解析】（1）由二倍角的正、余弦公式以及辅助角公式化简即可求解. （2）由（1）中f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，把443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭代入化简可得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据两角和与差的公式求出sin ,cos αα的值，代入即可求解. 【详解】（1）()()1112222242x x x f x sin cos sin a sinx cosx a x aπ⎛⎫⎛⎫=⋅++=-++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，故102a +=，解得a 12=-．（2）由于f （x）24sin x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以443f f ππαα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得43sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭．所以4cos πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以44sin sin ππαα⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭．2446cos cos ππαα-⎛⎫=-+=⎪⎝⎭或，所以26sin cos αα⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或26sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故22122122422211sin cos sin sin cos sin sin cos tan cos cos παααααααααααααα⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭===+++，所以当2626sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时．144523616sin cos αα-==．当2626sin cos αα⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时，144523616sin cos αα-==，所以原式516=．【点睛】本题主要考查三角恒等变换的倍角公式、两角和与差的公式，需熟记公式，属于基础题. 19．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，已知223,39b a c c ==-+．（1）求A ；（2）求22sin sin B C +的取值范围．【答案】（1）3π；（2）53,42⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）利用余弦定理即可求解. （2）由23B C π+=，以及两角和与差的公式，则sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-），再由022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，求出6π＜B 2π＜即可求解.【详解】（1）在锐角△ABC 中，∵b ＝3，a 2＝c 2﹣3c +9，∴可得c 2+b 2﹣a 2＝bc ，∴由余弦定理可得：cos A 2221222b c a bc bc bc +-===，∴由A 为锐角，可得A 3π=．（2）∵sin 2B +sin 2C ＝sin 2B +sin 2（23π-B ）＝sin 2B +（2cos B 12+sin B ）2＝112+B 12-cos2B ）＝112+sin （2B 6π-），又∵022032B B πππ⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＜＜＜＜，可得6π＜B 2π＜，∴2B 6π-∈（6π，56π）， ∴sin （2B 6π-）∈（12，1]，∴sin 2B +sin 2C ＝112+sin （2B 6π-）∈（54，32]，即sin 2B +sin 2C 的取值范围是（54，32]．【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形以及三角恒等变换两角和与差的公式，解题的关键是利用三角形的内角和求出B 的取值范围，此题属于中档题.20．如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，PAB ∆和ABC ∆都为等腰直角三角形，PA PB ⊥，AB AC ⊥，M 为AC 的中点，且PM AC =．（1）求二面角P ﹣AB ﹣C 的大小；（2）求直线PM 与平面PBC 所成角的正弦值．【答案】（1）120；（2）10. 【解析】（1）取线段AB ，BC 的中点O ，N ，连接PO ，ON ，MN ，PN ，证出PON ∠为P ﹣AB ﹣C 二面角，在PON ∆中利用余弦定理即可求解.（2）由（1）以AO为x轴，以ON为y轴，过O作平面ABC的垂线，以垂线为z轴建立空间直角坐标系，求出平面PBC的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求出线面角.【详解】（1）分别取线段AB，BC的中点O，N，连接PO，ON，MN，PN，设AC＝2，则有在等腰直角△P AB中，O是中点，则有AB⊥PO﹣﹣﹣①在等腰直角△ABC中，点O，N分别是AB，BC的中点，则有AB⊥ON﹣﹣﹣②由①②可知，AB⊥平面PON，又∵MN∥AB，∴MN⊥平面PON，则有MN⊥PN．又AB＝2，则MN＝1，又PM＝AC＝2，则有PN==，又OP＝ON＝1，由三角形余弦定理可知，12 cos PON∠=-，∴∠PON＝120，即二面角P﹣AB﹣C的大小为120．（2）建立如图所示的空间直角坐标系，过点P 作PD ⊥ON 交NO 延长线于点D ，设AB ＝AC ＝2，则有A （﹣1，0，0），C （﹣1，2，0），B （1，0，0），M （﹣1，1，0），由（1）可知，∠POD ＝180°﹣∠PON ＝60°，又∵OP ＝1，∴12OD PD ==， ∴1002D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，102P ⎛- ⎝⎭，．∴312PM ⎛=- ⎝⎭，，，设平面PBC 的一个法向量为()n x y z =，，，则有0n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，又∵1122BP ⎛=-- ⎝⎭，，，()220BC =-，，，∴102220x y z x y ⎧--=⎪⎨⎪-+=⎩， ∴()113n =，，．设直线PM 与平面PBC 所成角为θ，则有：sin θ=故直线PM 与平面PBC【点睛】本题主要考查立体几何的二面角以及运用空间直角坐标系求线面角，求二面角步骤“作、证、求”，关键作出二面角；同时此题考查了学生的计算能力，属于基础题.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足12b =-，()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，求数列{}n b 通项公式．【答案】（1）(2)nn a =--；（2）(2)nn b n-=. 【解析】（1）由n S 与n a 的关系可求得数列{a n }是等比数列，再由等比数列的通项公式即可求解.（2）由（1）把n a 代入可得()()12322nn nn b b n n++--=-+，裂项化简即可求解.【详解】（1）数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：()*11232n n a a S n N +==-+∈，．当n ≥2时，a n ＝﹣3S n ﹣1+2，两式相减得：a n +1＝﹣2a n ，所以数列{a n }是以2为首项﹣2为公比的等比数列．所以(2)nn a =--．（2）由于()()()2132n n n b b n n n a +-+=+，所以()()12322nn nn bb n n++--=-+，由于()()()((122[2)3223212(2)(2)(2)[22)111nn n n n n nn n n nn n n n n n n n +⎤--+-⎤⎡+----⎛⎫⎦⎤-=⋅--=+--=+=- ⎪⎥⎢⎦+++++⎝⎭⎦⎣，所以()()11221n nn n bb n n++---=-+，所以(2)nn b n-=．【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，需掌握等比数列的定义以及通项公式，属于中档题. 22．在平面直角坐标系中，已知()()2,0,2,F P t -，若线段FP 的中垂线l 与抛物线C ：()220y px p =>总是相切．（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点Q （2，1）的直线l ′交抛物线C 于M ，N 两点，过M ，N 分别作抛物线的切线12,l l 相交于点A ．12,l l 分别与y 轴交于点B ，C ．（ i ）证明：当'l 变化时，ABC ∆的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ ii ）求ABC ∆的外接圆面积的最小值．【答案】（1）28y x =；（2）（i ）证明见解析；（ii ）14417π. 【解析】（1）根据F （2，0），P （﹣2，t ）得FP 的中点为（0，2t ），，讨论t 的值，当t ≠0时，求出线段FP 的中垂线l ，代入抛物线方程y 2＝2px ，0∆=即可求解.（2）设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），代入抛物线的方程y 2＝8x ，求出y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，对y 2＝8x 两边求导得2y •y ′＝8，即y ′4y=，求出,M N 处的切线方程，再求出,B C ，设出外接圆的方程即可求出定点；由上一问可求出半径，配方求半径的最小值即可求解. 【详解】（1）F （2，0），P （﹣2，t ），可得FP 的中点为（0，2t），当t ＝0时，FP 的中点为原点，当t ≠0时，直线FP 的斜率为4t -，线段FP 的中垂线l 的斜率为4t ，可得中垂线l 的方程为y 4t=x 2t +，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得216t x 2+（4﹣2p ）x 24t +=0，由直线和抛物线相切可得△＝（4﹣2p ）2﹣16＝0，解得p ＝4，则抛物线的方程为y 2＝8x ；（2）（i ）证明：可设过点Q （2，1）的直线l ′的方程为x ﹣2＝m （y ﹣1），即x ＝my +2﹣m ，代入抛物线的方程y 2＝8x ，可得y 2﹣8my ﹣16+8m ＝0，设M （218y ，y 1），N （228y ，y 2），则y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，由y 2＝8x ，两边对x 求导可得2y •y ′＝8，即y ′4y=，可得M 处的切线方程为y ﹣y 114y =（x 218y -），化为y 1y ＝4x 212y +，①同理可得N 处的切线方程为y 2y ＝4x 222y +，②由①②可得y 122y y +==4m ，x 128y y==m ﹣2，即A （m ﹣2，4m ），又l 1，l 2分别与y 轴交于点B （0，12y ），C （0，22y），设过A ，B ，C 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，（D 2+E 2﹣4F ＞0），即有()()21122222042042216240y y E F y y E F m m D m mE F ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪-++-++=⎪⎩结合y 1+y 2＝8m ，y 1y 2＝8m ﹣16，可得D ＝﹣m ﹣2，E ＝﹣4m ，F ＝4m ﹣8，可得△ABC 的外接圆方程为x 2+y 2﹣（m +2）x ﹣4my +4m ﹣8＝0，可得m （4﹣x ﹣4y ）+（x 2+y 2﹣2x ﹣8）＝0，由2244280x y x y x +=⎧⎨+--=⎩可得40x y =⎧⎨=⎩或28172417x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则当l ′变化时，△ABC 的外接圆过定点（4，0）和（2817-，2417）；（ii ）△ABC 的外接圆的半径r2===可得当m 617=时，r=，则△ABC的外接圆面积的最小值为14417π．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析计算能力，综合性比较强.第 21 页共 21 页。

2021学年第一学期宁波市镇海中学高一数学期中试题

筑物每年的能源消耗费用�（单位：万元）与隔热层厚度�（单位: cm ）满足关系: �(�) =
�
3�+5
(0 ≤ � ≤ 10),
若不建隔热层, 每年能源消耗费用为 8 万元. 设�(�)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
(1) 求�的值及�(�)的表达式.
(2) 试求隔热层多厚时, 总费用 �(�) 达到最小, 并求最小费用.
2021 学年第一学期镇海中学高一年级数学期中试题
一、选择题：本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 � = {1,2,3,4,5,6}, � = {1,2,3}, � = {3,4,5}, 则� ∩ �� (�) = (
的定义域是 (
)
5. 已知函数�(�)是定义在�上的奇函数, 且满足�(� + 1) =− �(� − 1), 则�(10)等于 (
A. −10
B. 0
C. 1
D. 10
)
6. 当 � > 0 且 � ≠ 1 时, 函数 � = �|�| 与 � = log� |�| 的图象可以是 ( )
7. 已知函数� = log1 2�� − �2 在 2 − �2 , � 上单调递减, 则实数 � 的取值范围是 ( )
D. �� + �� = ��
11. 存在函数�(�) 满足: 对于任意 � ∈ � 都有（
A. �(|�|) = � + 1
C. �
2�
2
B. � �
D. �
= 2�
)
1
�2
）
= |�| + 1

2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三(上)期中数学试卷答案解析_20201208213730

2020-2021学年浙江省宁波镇海中学高三（上）期中数学试卷答案解析一、选择题1．已知集合A＝{x|log2x＜1}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[﹣1，2）C．（0，1]D．（﹣∞，2）【解答】解：∵集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|0＜x≤1}＝（0，1]．故选：C．2．设a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：a＝30.7，b＝（）﹣0.8＝30.8，则b＞a＞1，log0.70.8＜log0.70.7＝1，∴c＜a＜b，故选：D．3．已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥mC．若1∥m，α∥β，则m∥βD．若l⊥m，m∥β，则α⊥β【解答】解：对于A，若α∥β，m∥β，则l∥m或l与m异面，故A错误；对于B，若α∥β，m⊥β，则m⊥α，又l⊂α，则l⊥m，故B正确；对于C，若1∥m，α∥β，则m∥β或m⊂β，故C错误；对于D，若l⊥m，m∥β，则α∥β或α与β相交，故D错误．故选：B．4．已知x，y满足约束条件，则Z＝|x﹣3y﹣2|的取值范围是（）A．[0，7]B．（1，7）C．[0，4]D．[1，4]【解答】解：如图可行域：令z′＝x﹣3y﹣2，平移直线x﹣3y﹣2＝0可知当直线过C（0，﹣1）时，z′取得最大值1，经过B（﹣2，1）时，z′有最小值﹣7，Z＝|x﹣3y﹣2|，所以Z的取值范围：[0，7]故选：A．5．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若，a2＝2，则S3＝（）A．8B．7C．6D．4【解答】解：，则S3＝8．故选：A．6．函数f（x）＝的部分图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠±1}，，故函数f（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除A；又，故排除BC；故选：D．7．已知函数f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），对于实数a，b，“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）＝|x|（e x﹣e﹣x），∴f（﹣x）＝|﹣x|（e﹣x﹣e x）＝﹣|x|（e x﹣e﹣x）＝﹣f（x），即函数f（x）是奇函数，当x≥0，f（x）为增函数，则由a+b＞0得a＞﹣b，此时f（a）＞f（﹣b）＝﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0成立，即充分性成立，若f（a）+f（b）＞0得f（a）＞﹣f（b）＝f（﹣b），则a＞﹣b，即a+b＞0成立，即必要性成立，则“a+b＞0”是“f（a）+f（b）＞0”成立的充要条件，故选：C．8．已知函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得到的图象关于直线对称，则θ的最小值为（）A．B．C．D．π【解答】解：函数，将f（x）的图象上所有点向右平移θ（θ＞0）个单位长度，得y＝f（x﹣θ）＝2sin[2（x﹣θ）+]＝2sin（2x﹣2θ+）；又函数y的图象关于直线对称，即2×﹣2θ+＝kπ+，k∈Z；解得θ＝﹣kπ，k∈Z；又θ＞0，所以θ的最小值为．故选：C．9．已知线段AB是圆C：x2+y2＝4的一条动弦，且，若点P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：如图，P为直线x+y﹣4＝0上的任意一点，过原点O作OD⊥AB，由|AB|＝2，可得|CD|＝1，∴||＝|OP|﹣1，则．则||＝||＝2||＝2||，∴的最小值为．故选：C．10．已知数列{a n}满足a0＝0，|a i+1|＝|a i+1|（i∈N），则||的值不可能是（）A．2B．4C．10D．14【解答】解：|a i+1|＝|a i+1|，两边平方可得a i+12＝a i2+2a i+1，由a12＝a02+2a0+1＝0+0+1，a22＝a12+2a1+1，a32＝a22+2a2+1，…，a212＝a202+2a20+1，上面的式子累加可得a212＝2（a1+a2+…+a20）+21，则||＝||，若||＝2，可得a21＝±5，故A可能；若||＝4，可得a21不为整数，故B不可能；若||＝10，可得a21＝±1，故C可能；若||＝14，可得a21＝±7，故D可能．故选：B．二、填空题11．复数的虚部为，模为．【解答】解：∵＝，∴复数的虚部为，||＝||＝．故答案为：；．12．已知某空间几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是；此几何体各个面中，面积的最大值（单位：cm2）为．【解答】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体E﹣ABCD．如图所示：所以，．故答案为：．13．若（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，则a1+a2+…+a7的值是；在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，假设这三项均不相邻，则有种不同的取法．【解答】解：∵（1+x）（1﹣2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a8x8，∴a8＝•（﹣2）7＝﹣128．令x＝0，得（1+0）（1﹣0）7＝a0，即a0＝1；令x＝1，得（1+1）（1﹣2）7＝a0+a1+a2+…+a7+a8＝﹣2，∴a1+a2+…+a7＝﹣2﹣a0﹣a8＝﹣2﹣1+128＝125．在上述展开式右边的九项中，随机任取不同的三项，有＝84种不同取法，三项均相邻，有7种不同的取法，两项相邻，有2×6+6×5＝42种不同的取法，故三项均不相邻，则有84﹣7﹣42＝35种不同的取法．故答案为：35．14．已知数列{a n}，{b n}满足：a1＝1，a n+a n+1＝n，b n＝a2n﹣1，则数列b n＝；记S n为数列{a n}的前n项和，S31﹣S24＝．【解答】解：a1＝1，a n+a n+1＝n，可得a2＝1﹣a1＝0，+a n＝n﹣1，n≥2，将n换为n﹣1可得a n﹣1又a n+a n+1＝n，相减可得a n+1﹣a n﹣1＝1，可得{a n}的奇数项和偶数项均为公差为1的等差数列，可得b n＝a2n﹣1＝1+（n﹣1）＝n；a2n＝0+n﹣1＝n﹣1，则S31﹣S24＝a25+a26+a27+a28+a29+a30+a31＝（a25+a27+a29+a31）+（a26+a28+a30）＝（13+14+15+16）+（12+13+14）＝58+39＝97．故答案为：n，97．15．函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为．【解答】解：根据函数f（x）＝sin（ωx+φ）的部分图象，可得•＝﹣，∴ω＝π．再根据五点法作图，可得π×+φ＝π，∴φ＝，f（x）＝sin（πx+）．令2kπ﹣≤πx+≤2kπ+，k∈Z，解得2k﹣≤x≤2k﹣，k∈Z，故函数的增区间为[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．故答案为：[2k﹣，2k﹣]，k∈Z．16．已知x＞0，y＞0，则的最大值为．【解答】解：因为x＞0，y＞0，令t＝，则t，所以y＝t+在[2，+∞）上单调递增，y，则＝＝＝＝＝＝，当且仅当t＝即t＝1时取等号，故答案为：17．四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，若四面体ABCD的外接球半径为，则四面体ABCD的体积的最大值为．【解答】解：四面体ABCD中，AB⊥BC，CD⊥BC，BC＝2，且异面直线AB和CD所成的角为60°，构建直三棱柱ABE﹣CDF，设G，H分别为△ABE，△CDF的外心，连结GH，取其中点O，则O为直三棱柱ABE﹣CDF的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，∵异面直线AB与CD所成角为60°，∴∠ABE＝60°，设三棱柱底面△ABE的外接圆半径为r，则r＝＝2，AE＝2r sin60°＝2，由余弦定理得：AE2＝AB2+BE2﹣2AB•BE•cos60°，∴AB2+BE2﹣AB•BE＝12，∴12＝AB2+BE2﹣AB•BE≥2AB•BE﹣AB•BE＝AB•BE，∴四面体ABCD的体积：＝＝≤．∴四面体ABCD的体积的最大值为2．故答案为：．三、解答题18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，c＝2．（1）求sin B的值；（2）设D在BC边上，且BD＝AD＝2DC，求△ABC的面积．【解答】解：（1）△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，由正弦定理得，a2+c2﹣b2＝ac，所以cos B＝＝＝；又B∈（0，π），所以sin B＝＝＝；（2）如图所示，设BD＝AD＝2DC＝x，由c＝AB＝2，利用余弦定理得，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即x2＝22+x2﹣2×2×x×，解得x＝3，CD＝x＝，所以△ABC的面积为S△ABC＝AB•BC•sin B＝×2×（3+）×＝3．19．如图，在四棱锥S﹣ABCD中，侧面SCD为钝角三角形且垂直于底面ABCD，底面为直角梯形且∠ABC＝90°，AB＝AD＝BC，CD＝SD，点M是SA的中点．（1）求证：BD⊥平面SCD；（2）若直线SD与底面ABCD所成的角为60°，求SD与平面MBD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：取BC的中点E，连接DE，设AB＝a，则AD＝a，BC＝2a，BE＝BC＝a，∵∠ABC＝90°，AD∥BE，AD＝BE，∴四边形ABED是正方形，∴BD＝a，DE⊥BC，DE＝CE＝a，∴CD＝a，∴BD2+CD2＝BC2，故BD⊥CD，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，BD⊂平面ABCD，BD⊥CD，∴BD⊥平面SCD．（2）解：过S作SN⊥CD，交CD延长线于N，∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD＝CD，SN⊂平面SCD，SN⊥CD，∴SN⊥平面ABCD，∴∠SDN为直线SD与底面ABCD所成的角，故∠SDN＝60°，∵SD＝CD＝a，∴DN＝，SN＝，以D为原点，以DB，DC，及平面ABCD的过点D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，如图所示，则B（a，0，0），D（0，0，0），A（a，﹣a，0），S（0，﹣a，a），∵M是SA的中点，∴M（a，﹣a，a），∴＝（0，﹣a，a），＝（a，0，0），＝（a，﹣a，a），设平面MBD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令z＝2可得＝（0，，2），∴cos＜，＞＝＝＝，∴SD与平面MBD所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝．20．已知数列{a n}满足a1＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：对∀n∈N*，a1a2a3+a2a3a4+…+a n a n+1a n+2＜．【解答】解：（1）由a1＝，可得a n+1＝，由a1＞0，可得a n＞0，则＝1+，即﹣＝1，所以{}是首项为2，公差为1的等差数列，则＝2+n﹣1＝n+1，即a n＝；（2）证明：a n＝，对k＝1，2，3，…，a k a k+1a k+2＝＝[﹣]，所以a 1a 2a 3+a 2a 3a 4+…+a n a n +1a n +2＝[﹣+﹣+…+﹣]＝[﹣]＝﹣＜．21．已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的离心率为，且经过点P （﹣，）．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆C 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆C 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，O 为椭圆的中心，求三角形OCD 的面积的取值范围．【解答】解：（1）由题意，结合a 2＝b 2+c 2，解得a 2＝4，b 2＝1，c 2＝3，故，椭圆C 的标准方程为：．；（2）设M （x 0，y 0），x 0＞0，y 0＞0，a （﹣2，0），B （0，﹣1），直线MA 的方程为：，令x ＝0，得D （0，），直线MB 的方程为：，令x ＝0，得C （，0），所以三角形OCD 的面积S ＝|OC ||OD |＝＝，令x 0+2y 0＝t ，则＝4+4x 0y 0，∴，∴S＝＝1+．令，则t＝2cosθ+2sinθ＝2sin（），∵，∴，sin（）∈（，1]．∵函数S＝1+在（2，2]单调递增，∴]．三角形OCD的面积的取值范围为（0，3﹣2]．22．已知函数f（x）＝e x+cos x﹣2，f'（x）为f（x）的导数．（1）当x≥0时，求f'（x）的最小值；（2）当时，xe x+x cos x﹣ax2﹣2x≥0恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）＝e x﹣sin x，令g（x）＝e x﹣sin x，x≥0，则g'（x）＝e x﹣cos x．当x∈[0，π）时，g'（x）为增函数，g'（x）≥g'（0）＝0；当x∈[π，+∞）时，g'（x）≥eπ﹣1＞0．故x≥0时，g'（x）≥0，g（x）为增函数，故g（x）min＝g（0）＝1，即f'（x）的最小值为1．（2）令h（x）＝e x+cos x﹣2﹣ax，h'（x）＝e x﹣sin x﹣a，则时，x•h（x）≥0恒成立．当a≤1时，若x≥0，则由（1）可知，h'（x）≥1﹣a≥0，所以h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）＝0恒成立，即x•h（x）≥0恒成立；若，则h''（x）＝e x﹣cos x，h'''（x）＝e x+sin x在上为增函数，又h'''（0）＝1，，故存在唯一，使得h'''（x0）＝0．当时，h'''（x）＜0，h''（x）为减函数；x∈（x0，0）时，h'''（x）≥0，h''（x）为增函数．又，h''（0）＝0，故存在唯一使得h''（x1）＝0．故时，h''（x1）＞0，h'（x）为增函数；x∈（x1，0）时，h''（x1）＜0，h'（x）为减函数．又，h'（0）＝1﹣a≥0，所以时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，故h（x）≤h（0）＝0，即x•h（x）≥0恒成立；当a＞1时，由（1）可知h'（x）＝e x﹣sin x﹣a在[0，+∞）上为增函数，且h'（0）＝1﹣a＜0，h'（1+a）≥e1+a﹣1﹣a＞0，故存在唯一x2∈（0，+∞），使得h'（x2）＝0．则当x∈（0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，所以h（x）＜h（0）＝0，此时x•h（x）＜0，与x•h（x）≥0恒成立矛盾．综上所述，a≤1．。

浙江省镇海中学2019-2020学年第一学期期中考试高三数学试题

镇海中学学年第一学期期中考试高三数学试题卷一、选择题（本大题共小题，每题分，共分）1. 已知集合，则的元素的个数为A. B. C. D.2. 若且，则下列不等式中一定成立的是A. B. C. D.3. 已知是等差数列的前项和，且，则等于A. B. C. D.4. 函数的图像大致为5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是A.B.C.D.6. 将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，则的函数解析式为A. B. )C. D. )7. 设命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是A. B. C. D.8. 已知，，，则A. B. C. D.9. 已知椭圆和双曲线有相同的焦点，设点是该椭圆和双曲线的一个公共点，且，若椭圆和双曲线的离心率分别为，则的最小值为A. B. C. D.10. 设为正实数，且，则的最大值和最小值之和为A. B. C. D.二、填空题（本大题共小题，多空题每题分，单空题每题分，共分）11. 抛物线方程的焦点坐标为；准线方程为12. 已知点，点在线段上，则直线的斜率为；的最大值为13. 若实数满足约束条件，则的最小值为；的最小值为14. 已知长方体中，，则直线与平面所成的角为；若空间的一条直线与直线所成的角为，则直线与平面所成的最大角为15. 已知数列是等比数列且，，则的最大值为16. 已知圆，设点是恒过点的直线上任意一点，若在该圆上任意点满足，则直线的斜率的取值范围为17. 已知点为单位圆上两点，且满足，则的取值范围为三、解答题（本大题共小题，共分）18. 已知的最大值为（I）求实数的值；（II）若，求的值.19. 在锐角中，角所对边分别为，已知，（I）求；（II）求的取值范围.20. 如图，在三棱锥中，和都为等腰直角三角形，，，为的中点，且（I）求二面角的大小；（II）求直线与平面所成角的正弦值.21. 已知数列的前项和为，且满足：（I ）求数列的通项公式；（II ）数列满足，，求数列通项公式.22. 在平面直角坐标系中，已知，，若线段的中垂线与抛物线B C总是相切.（I）求抛物线的方程；（II）若过点的直线交抛物线于两点，过分别作抛物线的切线相交于点. 分别与轴交于点.（i）证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；（ii）求的外接圆面积的最小值.。

2021届浙江宁波效实中学高三上学期期中文科数学试卷

2021年浙江宁波效实中学高三上学期期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．“6πα=”是“tan2α=的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．设,,αβγ是三个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列说法正确的是（） A ．若,αββγ⊥⊥，则//αγ B ．若,//m αββ⊥，则m α⊥C ．若,m n αα⊥⊥，则//m nD ．若//,//m n αα，则//m n3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．64B ．72C ．80D ．1124．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，351,1a a ==+，则2326372a a a a a ++=（）A ．8B ．6C ．4D ．8- 5．函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象向右平移8π后关于y 轴对称，则满足此条件的ϕ值为（） A ．4π B ．38π C ．34π D ．58π6．函数21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．104a -≤< B ．14a ≤- C ．114a -≤≤- D ．1a ≤- 7．已知定义在R 上的函数()f x 满足：①图象关于(1,0)点对称；②(1+)(1)f x f x -=--；③当[1,1]x ∈-时，21,[1,0],()cos ,(0,1],2x x f x x x π⎧-∈-⎪=⎨∈⎪⎩则函数1()()2xy f x =-在区间[3,3]-上的零点个数为（）A ．5B ．6C ．7D ．8 8．已知正ABC ∆的顶点A 在平面α上，顶点,B C 在平面α的同一侧，D 为BC 的中点，若ABC ∆在平面α上的射影是以A 为直角顶点的三角形，则直线AD 与平面α所成角的正弦值的范围是（） A． B． C．1[2 D．1(2二、填空题9．已知全集U R =，集合{|13}A x x =-≤≤，集合(){}2log 21B x x =-，则A B ⋃= ； ()U A B ⋂= ．10．若指数函数()f x 的图象过点(2,4)-，则(3)f = ；不等式5()()2f x f x +-<的解集为． 11．向量2(,22m =-），(sin ,cos ),(0,)n x x x π=∈，①若//m n ，则tan x = ； ②若m 与n 的夹角为3π，则x = ． 12．数列{}n a 的前n 项和为26n S n n =-，则2a = ；数列{}n a 的前10项和1210a a a +++= ．13．求值2cos40°+sin10°cos10°= ．14．已知数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，若1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩是偶数，是奇数，且329S =，则2015S = ．15．已知三角形ABC 中，过中线AD 的中点E 任作一条直线分别交边AB ，AC 于M ，N 两点，设AM xAB =，(0)AN y AC xy =≠，则4x y +的最小值为．三、解答题16．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知4379,22a a a =+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求证：123111134n S S S S ++++<． 17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ．已知2a c =，且2A C π-=．（1）求cos C 的值；（2）当1b =时，求ABC ∆的面积S ．18．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=，PA ⊥面ABCD ，PA =E ，F 分别为BC ，PA 的中点．C（1）求证：//BF 面PDE ；（2）求二面角D PE A --的大小的正弦值；（3）求点C 到面PDE 的距离．19．若0x R ∈满足00()f x x =，则称0x 为()f x 的不动点．（1）若函数2()f x x ax a =++没有不动点，求实数a 的取值范围；（2）若函数()ln 3f x x =-+的不动点0[,1),x n n n ∈+∈Z ，求n 的值；（3）若函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++有不动点，求实数a 的取值范围．20．已知函数()()()23,21f x x a g x ax a R =+=+∈（1）若函数()f x 在()0,2上无零点，请你探究函数()y g x =在()0,2上的单调性；（2）设()()()F x f x g x =-，若对任意的()0,1x ∈，恒有()1F x <成立，求实数a 的取值范围．参考答案1．A【解析】试题分析：∵()()tan22=+362k k k Z k Z πππααπα=⇔=+∈⇔∈，∴应是充分不必要条件，故选A ．考点：1．三角函数的定义；2．充分必要条件． 2．C 【解析】试题分析：A ：α，γ可能的位置关系为相交，平行，故A 错误；B ：m 可能在α上，可能与α斜交，故B 错误；C ：根据线面垂直的性质，可知C 正确；D ：m ，n 可能的位置关系为相交，平行，异面，故D 错误，故选C ．考点：空间中直线平面的位置关系． 3．C 【分析】由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，高为3，下部为正方体，边长为4的组合体．分别求得体积再相加．【详解】解：由三视图可知该几何体为上部是一四棱锥，下部为正方体的组合体．四棱锥的高13h =，正方体棱长为4224464V Sh ==⨯=正方体，2111431633V Sh ==⨯⨯=四棱锥，所以641680V =+=．故选：C ．【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键，属于基础题． 4．A ．【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴22223263733553522()8a a a a a a a a a a a ++=++=+=，故选A ．考点：等比数列的性质．5．C 【解析】函数()sin 2y x ϕ=+图象向右平移8π个单位长度后得到sin 24x πϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭为偶函数，故34πϕ=. 选C 点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6．D ．【解析】试题分析：∵21(2)()1(2)ax x x f x ax x ⎧+->=⎨-≤⎩是R 上的单调递减函数，∴0121221421a a a a a <⎧⎪⎪-≤⇒≤-⎨⎪-≥+-⎪⎩，故选D ．考点：分段函数的单调性．【易错点睛】分段函数的基本出发点是分段函数分段算，本题容易遗漏的不等式是21421a a -≥+-，将分段函数在R 上单调递减的充要条件错误地等价为在各自分段上单调递减即可，而忽视了还需保证在分段的转折点处，函数的图象不上升． 7．A ．【解析】试题分析：∵(1)(1)f x f x -+=--，∴()f x 的图象关于直线1x =-对称，又∵()f x 图象关于点(1,0)对称，故如下图，画出()f x 在[3,3]-上的图象，以及||1()()2x g x =的图象，由图可知，零点个数为5个，故选A ．考点：1．函数与方程；2．数形结合的思想．【思路点睛】解决函数与方程问题的基本思想就是数形结合思想和等价转化思想，运用函数图象来研究函数零点或方程解的个数，在画函数图象时，切忌随手一画，可利用零点存在定理，结合函数图象的性质，如单调性，奇偶性，将问题简化． 8．B ．【解析】试题分析：如图所示，设B 到平面α，C 到平面α的射影，D 到平面α的射影分别为E ，F ，P ，设BE a=，CF b=，则2a bDP +=，由题意可知2222244()3()EF AP AD DP a b ==-=-+，22221AE AB BE a =-=-，22221AF AC CF b =-=-，∴222AE AF EF +=2221113()2a b a b b a ⇒-+-=-+⇒=，由011112012a a a <<⎧⎪⇒<<⎨<<⎪⎩， ∴11222sin 33a a a DPa DAP AD++∠===，由函数1()2f x x x =+在12(,22上单调递减， 22上单调递增，∴可知2163(()max{(),(1)}sin [22f f a f f DAP ≤<⇒∠∈，故选B ．考点：立体几何综合题．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解． 9．[]()1,34,-⋃+∞， []1,3-．【解析】试题分析： ()()2log 212244,x x x B ->⇒->⇒>⇒=+∞，∴[]()1,34,A B ⋃=-⋃+∞， ()[]1,3U A C B ⋂=-．考点：1．对数的性质；2．集合的运算． 10．18，(1,1)-．【解析】试题分析：设指数函数为()(0x f x a a =>且1)a ≠，∴231114(3)()228a a f -=⇒=⇒==， 5151()()()222112222x x x f x f x x +-<⇒+<⇒<<⇒-<<，即不等式的解集是(1,1)-．考点：指数函数的性质． 11．1-，512π．【解析】试题分析：①：∵//m n ，∴22cos (sin )0tan 122x x x --=⇒=-；②：显然||||1m n ==， ∴111cos32m n π⋅=⋅⋅=，即221cos 222x x -=，∴1sin()42x π-=，又∵(0,)x π∈，∴54612x x πππ-=⇒=．考点：1．平面向量共线的坐标表示；2．平面向量数量积；3．三角恒等变形． 12．3-，58．【解析】试题分析：当1n =时，115a S ==-，当2n ≥时，2216(1)6(1)27n n n a S S n n n n n -=-=---+-=-，∴22273a =⨯-=-，∴1210113531131397949582a a a ++++=+++++⋅⋅⋅+=+⨯=+=．考点：1．数列的通项公式；2．数列求和． 13．√3．【解析】试题分析：2cos40°+sin10°cos10°=2cos(30°+10°)+sin10°cos10°=2(cos30°cos10°−sin30°sin10°)+sin10°cos10°=√3cos10°−sin10°+sin10°cos10°=√3．考点：两角和与差的余弦公式．【名师点睛】本题求三角函数值问题，一般把求值式的角与特殊角如30°,45°,60°等联系，把其中的角用特殊角表示后用两角和与差的正弦（余弦、正切）公式展开进行化简计算． 14．4725．【解析】试题分析：∵329S =为奇数，且当n a 是奇数时，131n n a a +=+是偶数，∴1a ，2a ，3a 中必有两个偶数，一个奇数，若1a 为奇数，2a ，3a 是偶数：111131312952a a a a ++++=⇒=，216a =，38a =，44a =，52a =，61a =，74a =，∴从第四项起，数列{}n a 是以3为周期的数列，而201236702=⨯+， ∴201551687670424725S =+++⨯++=．考点：1．分类讨论的数学思想；2．数列求和．【方法点睛】立体几何的综合问题一般都会涉及构造函数模型，求函数最值，不等式等几个知识点的串联，解决这类问题的基本出发点是化立体为平面，将其转化为平面问题，构造函数模型求其最值或利用基本不等式求最值，必要时还需借助一定的平面几何知识求解．15．94．【解析】试题分析：由题意可知，M ，E ，N 三点共线，故设(01)ME MN λλ=<<，而11()24AE AD AB AC ==+，∴()ME MN AE AM AN AM λλ=⇒-=-，即111()()()()0444AB AC xAB y AC xAB x x AB y AC λλλ+-=-⇒-++-=， ∴11011114(1)44()[(1)]114141044x x x x y y y λλλλλλλλλλ⎧⎧=-+=⎪⎪-⎪⎪⇒⇒+=+=++-⎨⎨--⎪⎪-==⎪⎪⎩⎩155914444λλλλ-++≥=-，当且仅当11143λλλλλ-=⇒=-时，等号成立，故4x y +的最小值是94．考点：1．平面向量的数量积；2．基本不等式．【思路点睛】平面向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用平面向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．16．（1）21n a n =+；（2）详见解析．【解析】试题分析：（1）将条件中的式子转化为只与1a ，d 有关的方程，解出1a 与d ，即可得到通项公式；（2）利用等差数列的前n 项和公式首先求出1nS ，再利用裂项相消法即可求得新数列{}n a 的前n 项和，即可得证不等式．试题解析：（1）∵等差数列{}n a ，49a =，3722a a +=，∴11*139321()28222n a d a a n n N a d d +==⎧⎧⇒⇒=+∈⎨⎨+==⎩⎩；（2）由（1）可知，1()(321)(2)22n n a a n n n S n n +⋅++⋅===+，∴11111()(2)22nS n n n n ==-++， ∴123111111*********(1)(1)2324+222124n S S S S n n n n ++++=-+-+⋅⋅⋅-=+--<++．考点：1．等差数列的通项公式及其前n 项和；2．裂项相消法求数列的和．17．（1；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的式子，结合正弦定理，将其化为C 的方程，即可求解；（2）利用已知条件，结合余弦定理，可求得a ，c 的值，再利用三角形面积计算公式即可求得S 的值．试题解析：（1）∵2a c=，∴sin 2sin A C =①，又∵2A C π-=，∴sin sin()cos 2A C C π=+=②，联立①②，即可求得sin C =，cos C =；（2）由（1）结合余弦定理可知，2222cos c a b ab C =+-2241221c c c c ⇒=+-⋅⋅⇒=或c =，由已知易得2A π>，∴1212a b c c >⇒>⇒>， ∴c =，111sin 1223S ab C ===．考点：1．正余弦定理解三角形；2．三角恒等变形．18．（1）详见解析；（2（3．【解析】试题分析：（1）根据已知条件中的中点，利用三角形的中位线性质产生线线平行，再利用线面平行的判定，进一步将其转化到线面平行即可；（2）根据已知条件，利用三垂线定理作出二面角的平面角，再利用已知数据即可求解；（3）利用P CDE C PDE V V --=，从而即可求得所求距离．试题解析：（1）如图所示，取PD 中点G ，连结GF ，GE ，∵E ，F 分别为BC ，PA 的中点，∴可证得//FG BE ，FG BE =，∴四边形BFGE 是平行四边形，∴//BF EG ，又∵EG ⊂平面PDE ，BF ⊄平面PDE ，∴ //BF 面PDE ；（2）作DH AE ⊥于H 点，作HI PE ⊥于I 点，连结DI ，易证DH ⊥平面PAE ，∴DH PE ⊥，又∵PE HI ⊥，HI DH H =，∴PE ⊥平面DIH ，∴PE DI ⊥，∴DIH∠即为二面角D PE A --的平面角，在Rt DIH ∆中，23102sin 107721DH DIH DI ∠==⋅=；（3）∵P CDE C PDE V V --=，∴33112121337372CDE CDE PDE PDE S PA S PA S h h S ∆∆∆∆⨯⨯⨯=⨯⇒===⨯⨯．考点：1．线面平行的判定；2．二面角的求解；3．体积法求线面距离．【方法点睛】立体几何大题通常会考查两条异面直线所成的角，求二面角的平面角，点到面的距离等，要综合运用平行垂直关系等判定定理，性质定理，及支线与平面所成角的概念，二面角的概念，作出相应的角，再通过平面几何知识进行计算，求点到平面的距离，通常可考虑体积法，此外，空间向量也是解决立体几何大题的一种方法．19．（1）322322a -<<+（2）2n =；（3）(,33]-∞-．【解析】试题分析：（1）根据条件可知，()f x 没有不动点，等价于方程()f x x =无实数根，利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）根据零点定理求得()f x x =的根所在的区间，即可求得n 的值；（3）()f x 有不动点，等价于()f x x =有解，从而可知4212x x x a a +⋅++=，从而问题进一步等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，利用韦达定理，即可求解a 的取值范围．试题解析：（1）由已知可得，问题等价于()f x x =无实数根，即2(1)1x a x a +-++无实数根，∴2(1)40a a ∆=--<，33a -<<+；（2）令()f x x =，∴ln 3x x -+=，即ln 30x x +-=，令()ln 3g x x x =+-，()g x 在(0,)+∞上递增，(2)0g <，(3)0g >，0(2,3)x ∈，2n =；（3）令()f x x =，则4212x x x a a +⋅++=，又令2(0)x t t =>，从而可得2(1)10t a t a +-++=，故问题等价于关于t 的一元二次方程2(1)10t a t a +-++=至少有一正根，若方程有一根为0：此时1a =-，12t =，20t =，符合题意，若方程的根不为0，考虑都为负根，由韦达定理可知121210110t t a a t t a +=-+<⎧⇒>⎨=+>⎩，因此方程至少有一正根需1a ≤，又∵0∆≥⇒3a ≤-或3a ≥+a的取值范围是(,3-∞-．考点：1．材料阅读；2．零点存在定理；3．韦达定理．【思路点睛】解决含有参数的动函数的常见方法有：1．参变分离，转化成固定函数在固定区间上的最值问题，2．对参数的讨论，与恒成立问题，根的分布问题相结合；3．零点的情况，与零点存在，唯一性相结合；3．掌握二次函数，二次不等式，二次方程的内在联系，熟练掌握等价转化和准确表述；3．数形结合思想．20．（1）若0a =：在()0,2上无单调性，若0a >：在()0,2上单调递增，若12a ≤-：在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）[]1,2．【解析】试题分析：（1）根据条件()f x 在()0,2上无零点首先可求得a 的取值范围，再对求得的a 的取值范围分类讨论，从而可知相应的单调性；（2）问题等价于()F x 在()0,1上的最大值小于1即可，通过分类讨论结合二次函数的性质即可求得a 的取值范围．试题解析：（1）令()0f x =，从而可知23a x =-，∵()0,2x ∈，∴()2312,0x -∈-，故满足()f x 在()0,2上无零点的实数a 的取值范围是][(),120,-∞-⋃+∞，若0a =： ()1g x =，在()0,2上无单调性，若0a >： ()2121g x ax ax =+=+，在()0,2上单调递增，若12a ≤-：则110224a <-≤，∴()g x 在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）()()()()232101F x f x g x x ax a x =-=-+-≤≤，而()1F x ≤在()0,1上恒成立等价于()()111{101 12113F F a a F -≤≤-≤≤⇒≤≤⎛⎫-≤≤ ⎪⎝⎭，∴实数a 的取值范围是[]1,2．考点：1．二次函数的性质；2．分类讨论的数学思想．。

2020-2021学年宁波市十校高三上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年宁波市十校高三上学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.设全集为实数集R，M={x|x≤1+√2,x∈R}，N={1,2，3，4}，则C R M∩N=()A. {4}B. {3,4}C. {2,3，4}D. {1,2，3，4}2.复数z=11+i=()A. −12+12i B. −12−12i C. 12+12i D. 12−12i3.设x，y满足约束条件{3x−y−2≤0x−y≥0x≥0,y≥0，若目标函数z=ax+by(a>0,b>0)的最大值为4，则a+b的值为()A. 4B. 2C. 14D. 04.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为…()A. π+12B. π+18C. 9π+42D. 36π+185.mn<0是方程x2m +y2n=1表示实轴在x轴上的双曲线的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=log2(x+1)，则函数f(x)的大致图象是()A. B. C. D.7.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2，E、F分别是AB、BC的中点，则直线CD1与平面A1C1FE所成的角的正弦值大小是()A. √155B. √1515C. √33D. √105 8. 如果一椭圆的两个焦点恰好是另一双曲线的两个焦点，则称它们为一对“共焦曲线”现有一对“共焦曲线”的焦点为F 1，F 2，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=60°，设它们的离心率分别为e 1，e 2，则(e 1⋅e 2)min =( )A. 1B. √32C. 2D. √64 9. f(x)是定义在R 上的竒函数，且满足f(l −x)=f(l +x)，又当x ∈〔0，1)时，f(x)=2x −1，则f(log 126)的值等于( ) A. 12 B. 56 C. −12 D. −56 10. 如图所示，四个边长为1的正方形拼成一个大正方形，AB 是其中一个小正方形的一条边，P i (i =1,2，3，4，5，6，7)是小正方形其余的顶点，则集合{x|x =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i =1,2，3，4，5，6，7}中元素的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知函数f(x)={log a x,(x ≥1)(2−a)x−a 2,(x<1)是R 上的增函数，那么实数a 的取值范围是______ ． 12. 已知当x =3时，代数式4x +a x (x >0,a >0)取得最小值，则a = ______ ．13. 已知直线C 1：{x =−1+t y =−1+at(t 为参数)与圆C 2：ρ=2交于A 、B 两点，当|AB|最小时a = ______ ．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14. 已知函数f(x)=sin(ωx +φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其相邻对称轴之间的距离为2，则φ= (1) ；ω= (2) ．15. 若(x −a x 2)6展开式中x 3项的系数为−12，则a = (1) ；常数项是 (2) ．16. 已知等比数列{a n }，等差数列{b n }，T n 是数列{b n }的前n 项和．若a 3⋅a 11=4a 7，且b 7=a 7，则a 7= (1) ，T 13= (2) ．17.已知A，B两个不透明盒中各有形状、大小相同的红球、白球若干个，A盒子有m个红球与10−m个白球，B盒中有10−m个红球与m个白球(0<m<10)，若从A，B盒中各取一个球，ξ表示所取的2个球中红球的个数，则当D(ξ)最大值，此时m=．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，已知A=30°，C=45°，a=20，求B及b、c的值．19.在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，BC//AD，∠ADC=90°，BC=CD=1AD=1，E为线段AD的中点，过BE的平面与线段PD，PC分别交于点G，F．2(1)求证：GF⊥PA；(2)若PA=PD=√2，是否存在点G，使得直线PE与平面BEGF所成角的正弦值为√10，若存在，5求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．20.已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=a(S n−a n+1)(a为常数，且a>0)，且a3是6a1与a2的等差中项．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=a n log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21.一个如图所示的不规则形铁片，其缺口边界是口宽4分米，深2分米(顶点至两端点所在直线的距离)的抛物线形的一部分，现要将其缺口边界裁剪为等腰梯形．(1)若保持其缺口宽度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值；(2)若保持其缺口深度不变，求裁剪后梯形缺口面积的最小值．22.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，动点P在正方体ABCD−A1B1C1D1表面上运动，且PA=r(0<r<√3).记点P的轨迹的长度为f(r).求关于r的方程f(r)=k的解的个数的所有可能的值．【答案与解析】1.答案：B解析：试题分析：先根据全集R 和集合M 求出集合M 的补集，然后根据集合M 的补集和集合N 求出两集合的交集即可．由集合M ={x|x ≤1+√2,x ∈R}，全集为实数R ，得到C R M ={x|x >1+√2}，又集合N ={1,2，3，4}，则C R M ∩N ={3,4}．故选B2.答案：D解析：解：z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=1−i 2=12−12i ．故选：D ．利用复数的除法运算法则求解即可．本题考查了复数的除法运算，属于基础题． 3.答案：A解析：解：作出不等式对应的平面区域，由z =ax +by(a >0,b >0)得y =−a b x +z b ，则目标函数对应直线的斜率−a b <0，平移直线y =−a b x +z b ，由图象可知当直线y =−a b x +z b ，经过点B 时，直线y =−a b x +z b 的截距最大，此时z 最大．由{3x −y −2=0x −y =0，解得{x =1y =1，即B(1,1)，此时z 的最大值为z =a +b =4，故选：A ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可确定z 取最大值的条件，然后利用基本不等式进行求解．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．利用平移确定目标函数取得最优解的条件是解决本题的关键．。

高三数学上学期期中试题含解析 4

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

镇海中学2021届高三数学上学期期中试题〔含解析〕本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

一、选择题〔本大题一一共10小题〕1.集合，，那么的元素的个数为A. 2B. 3C. 4D. 72.假设a，b，且，那么以下不等式中一定成立的是A. B. C. D.3.是等差数列的前n项和，且，，那么等于A. 50B. 42C. 38D. 364.函数的图象大致为A. B.C. D.5.如图是一个几何体的三视图，那么这个几何体的外表积是A. 84B.C.D.本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

6.将函数的图象向右平移个单位长度后，得到，那么的函数解析式为A. B.C. D.7.设命题p：，命题，假设q是p的必要不充分条件，那么实数a的取值范围是A. B. C. D.8.，，，那么A. B. C. D.9.椭圆和双曲线有一样的焦点，，设点P是该椭圆和双曲线的一个公一共点，且，假设椭圆和双曲线的离心率分别为，，那么的最小值为A. B. C. D.10.设a，b为正实数，且，那么的最大值和最小值之和为A. 2B.C.D. 9二、填空题〔本大题一一共7小题〕11.抛物线的焦点坐标是______，准线方程是______．12.点，，点在线段AB上，那么直线AB的斜率为______；的最大值为______．13.假设实数满足约束条件，那么的最小值为______；的最小值为______．14.长方体中，，那么直线与平面所成的角为______；假设空间的一条直线l与直线所成的角为，那么直线l与平面所成的最大角为______．15.是等比数列，且，，那么______，的最大值为______本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

16.圆O：，设点P是恒过点的直线l上任意一点，假设在该圆上任意点A满足，那么直线l的斜率k的取值范围为______．17.点，为单位圆上两点，且满足，那么的取值范围为______．三、解答题〔本大题一一共5小题〕18.的最大值为．Ⅰ务实数a的值；Ⅱ假设，求的值．19.在锐角中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，，．Ⅰ求A；Ⅱ求的取值范围．本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2020-2021学年浙江省宁波市十校高三(上)期中数学试卷

2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．13．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．114．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．19．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．210．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是|||，振幅是|||．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是|||，所有项的系数和为|||．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织|||尺，八日共织|||尺．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是||||||||．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则|．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是||||||||||||．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为|||||||||||||||；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝|||||||||||||||．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．2020-2021学年浙江省宁波市十校高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，共40分1．（4分）已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈Z}R A）∩B＝（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{1}【分析】求出A的补集，从而求出其和B的交集即可．【解答】解：A＝{x|x＞2}，B＝{x|0＜x＜7，2，3，3}则（∁R A）∩B＝{x|x≤2}∩{1，3，3，4}＝{5，故选：C．【点评】本题考查了集合的交集，补集的运算，是一道基础题．2．（4分）若复数（1+ai）（3﹣i）（i为虚数单位）的实部和虚部互为相反数，则实数a＝（）A．﹣1B．C．D．1【分析】化简代数式，求出实部和虚部，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：（1+ai）（3﹣i）＝7﹣i+3ai+a＝（a+3）+（2a﹣1）i，由题意得：a+3+8a﹣1＝0，解得：a＝﹣，故选：B．【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题．3．（4分）若实数x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值是（）A．5B．7C．9D．11【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（1，化目标函数z＝x+2y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，z有最大值为7．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想，是中档题．4．（4分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．B．C．D．【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：由题意几何体的直观图如图：是一个圆锥，去掉；几何体的体积为：+＝．故选：C．【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．5．（4分）已知＝（3，m），＝（2m+1，1），则“m＝1”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据∥，求出m的值，再根据集合的包含关系判断即可．【解答】解：若∥，则m（2m+1）＝6或m＝8，由m＝﹣或m＝7推不出m＝1，故“m＝1”是“∥”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系以及向量的平行问题，是一道基础题．6．（4分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，分析可得f（x）为奇函数，由奇函数的性质排除CD，由函数的解析式分析在区间（0，1）上，f（x）＜0，排除A，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝，解可得x≠±1，f（﹣x）＝＝﹣，函数f（x）为奇函数，在区间（0，5）上，e x﹣e﹣x＞0，ln|x|＜0，排除A，故选：B．【点评】本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性的判断以及函数值的计算，属于基础题．7．（4分）如图，已知点E、F、G、H分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱AA1、AB、BC、C1D1的中点，记二面角E﹣FG﹣D的平面角为α，直线HG与平面ABCD所成角为β，则（）A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．β＝α＞γD．γ＞α＝β【分析】在图中作出α、β、γ，分别求得其正切值即可求解．【解答】解：如图，设正方体棱长为2，过A作AM⊥直线GF于M，连接EM，tan＝．过H作HN⊥CD于N，连接NG，tanβ＝，连接HD，在△HDG中，HG＝，则tan，∴α＝β＜γ故选：D．【点评】本题考查异面直线所成角、线面角、二面角的比较，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、转化思想，是中档题．8．（4分）如图，设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点P是以F1F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长PF2与椭圆交于点Q，若|PF1|＝4|QF2|，则直线PF2的斜率为（）A．﹣2B．﹣1C．D．1【分析】根据圆的性质可得PF1⊥PF2，设|QF2|＝m，利用椭圆的定义表示出|PF2|＝2a﹣4m，|QF1|＝2a﹣m，|PQ|＝2a﹣3m，根据勾股定理可得a＝3m，求出tan∠PF2F1，即可求出直线PF2的斜率．【解答】解：连接PF1、QF1，∵点P是以F3F2为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，∴PF1⊥PF3，设|QF2|＝m，∵|PF1|＝6|QF2|，∴|PF1|＝3m，∴|PF2|＝2a﹣|PF4|＝2a﹣4m，|QF6|＝2a﹣|QF2|＝7a﹣m，∴|PQ|＝2a﹣4m+m＝2a﹣3m，在Rt△F1PF4中，∵|QF2|2＝|PF6|2+|PQ|2，∴（7a﹣m）2＝（4m）4+（2a﹣3m）8，解得a＝3m，∴|PF2|＝8m在Rt△F1PQ中，∴tan∠PF2F8＝＝＝2，∴直线PF5的斜率为﹣2，故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义和圆的性质，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．9．（4分）已知a，b∈R，对任意的实数x均有（|x|+a）（|x|﹣b）2﹣1）≥0，则a+2b的最小值为（）A．B．1C．D．2【分析】可令x＝0，得到ab≥0，分别讨论a≥0和a＜0，得到a，b的关系式，再由二次函数的最值求法，可得所求最小值．【解答】解：当x＝0时，不等式即为ab（a2+4）≥0，可得ab≥0，当a≥6时，b≥02﹣7）≥0恒成立，显然b＝a2+6；当a＜0时，b≤05﹣1）≥0恒成立，显然﹣a＝a7+1，该方程无实数解．综上可得a≥0，b＝a6+1，则a+2b＝6a2+a+2≥4，a＝0时取得等号，所以a+2b的最小值为8．故选：D．【点评】本题考查不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．10．（4分）已知，为单位向量，且||≤2，若非零向量•≤•，则的最大值是（）A．B．C．D．【分析】求出cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r sinβ），r＞0，求出cosβ≤cos（α﹣β），得到2β＝α+2kπ（k∈Z），求出≤3cos（α﹣β）＝3cosβ≤，求出其最大值即可．【解答】解：由题意，可设，0），，sinα），则＝（3+2cosα，由|+3，可得（1+6cosα）2+4sin8α≤4，整理得cosα≤﹣，设＝（r cosβ，r＞0，由•≤•，可得（r cosβ，0）≤（r cosβ，sinα），即r cosβ≤r cosβcosα+r sinβsinα，故cosβ≤cos（α﹣β），当cosβ＝cos（α﹣β）时，β＝α﹣β+2kπ（k∈Z）或β＝﹣α+β+8kπ（k∈Z），即2β＝α+2kπ（k∈Z）或α＝5kπ（k∈Z），∵cosα≤﹣，∴α＝6kπ（k∈Z）不合题意，故cosβ＝cos（α﹣β）时，2β＝α+2kπ（k∈Z），而＝＝2cosβ+cos（α﹣β），∵cosβ≤cos（α﹣β），∴≤3cos（α﹣β），当4β＝α+2kπ（k∈Z）时，“＝”成立，此时3cos（α﹣β）＝5cos（β﹣2kπ）＝3cosβ，∵cosα＝cos（5β﹣2kπ）＝cos2β＝6cos2β﹣1≤﹣，故cos2β≤，即﹣，故≤5cos（α﹣β）＝3cosβ≤，故选：D．【点评】本题考查了向量的运算性质，考查三角函数问题以及不等式的性质，考查转化思想，是一道综合题．二、填空题：单空题每题4分，多空题每题6分11．（6分）物理中把简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”．现有“简谐运动的图象”所对应的函数解析式是，（x∈[0，+∞）），则该简谐运动的周期是4π，振幅是3．【分析】根据周期定义以及振幅的定义即可求解．【解答】解：由周期定义可得函数的周期为T＝＝4π，再由振幅的定义可得函数的振幅为3，故答案为：7π，3．【点评】本题考查了三角函数的周期性以及振幅的定义，属于基础题．12．（6分）在二项式（2x﹣）6的展开式中，常数项是60，所有项的系数和为1．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可得到常数项，通过x＝1求解二项式所有项的系数和．【解答】解：由二项式展开式的通项公式T r+1＝＝（﹣4）r ，可得r＝4，即展开式的中第5项是常数项，常数项为：32＝60．当x＝1时，所有项的系数和为：（2﹣7）6＝1．故答案为：60；5．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．13．（6分）古有女子善织布，初日织三尺，日增等尺，则第七日织15尺，八日共织80尺．【分析】该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝2，由此能求出结果．【解答】解：古有女子善织布，初日织三尺，第四日织九尺，∴该女子第n日织布的尺数a n构成首项为3，公差为d的等差数列{a n}，且a4＝3+3d＝9，解得d＝7，∴第七日织a7＝3+6×2＝15尺，八日共织S8＝5×3+＝80尺．故答案为：15，80．【点评】本题考查等差数列的第7项和前8项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．（4分）已知函数f（x）＝e x+ax2+2a，若不等式f（x）≥ax（x+1），5]恒成立，则实数a 的取值范围是（﹣∞，e3]．【分析】问题转化为a≤在（2，5]恒成立，令g（x）＝，x∈（2，5]，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，求出a的范围即可．【解答】解：若不等式f（x）≥ax（x+1）对任意x∈[2，3]恒成立，则a（x﹣2）≤e x在x∈[2，4]恒成立，x＝2时，不等式恒成立，x∈（2，4]时在（2，令g（x）＝，x∈（2，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：x＞7，解得：x＜3，故g（x）在（2，7）递减，+5]递增，故g（x）min＝g（3）＝e3，故a≤e4，故答案为：（﹣∞，e3]．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是一道中档题．15．（4分）已知a＞0，b＞﹣2，且a+b＝2，则4．【分析】原式转化为+，再利用乘“1”法即可求出最小值．【解答】解：∵a＞0，b＞﹣2，∴a+b+8＝4，∴＝+，＝a++（b+7）+，＝+，＝（+）（a+b+3），＝1+1++，≥2+7＝5，当且仅当＝时，即a＝8，故最小值为4，故答案为：4．【点评】本题考查了不等式的基本应用，考查了转化思想，属于中档题．16．（4分）已知圆C：（x﹣3）2+y2＝4，线段MN在直线y＝﹣2x+1上运动，点P是线段MN上任意一点，B，使得P A⊥PB，则线段MN长度的最大值是．【分析】设圆的切线为P A、PB，得∠APB≥90°，再求得PC的取值范围，利用点M、N到点C的距离，求得MN的最大值．【解答】解：由题意，圆心到直线l：y＝﹣2x+1的距离为d＝＝＞2（半径），故直线l和圆相离；从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，如图，B，使得P A⊥PB sin45°，∴∴在直线l上，当MN最大时、N到点C的距离等于2；∴MN的长度的最大值为2＝2．故答案为：6．【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系应用问题，考查了转化思想，属于中档题．17．（6分）一个盒子里有6个相同的球，其中3个红球，2个黄球，每次从盒中随机取出一个且不放回，则红球首先被全部取完的概率为；若红球全部被取出视为取球结束，记在此过程中取到黄球的个数为ξ，则E（ξ）＝．【分析】由题意知随机变量ξ的可能取值为0，1，2；分别计算P（ξ＝0）、P（ξ＝1）和P（ξ＝2），再求E（ξ）的值．【解答】解：红球首先被全部取出分两种情况，第一种情况：3球结束即红红红的概率P1＝××＝，第二种情况：4球结束即红红黄红的概率P2＝×××C35＝，则红球首先被全部取完的概率为P＝P1+P6＝；ξ的可以取值为0，8，2，其分布列为P（ξ＝0）＝+＝，P（ξ＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝1﹣P（ξ＝7）﹣P（ξ＝1）＝1﹣＝，∴ξ的分布列为： ξ 0 1 3 P   Eξ＝0×＝．故答案为：，．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题：5小题，共74分18．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b（a﹣b+c）（sin A+sin B+sin C）＝（2+）c sin A．（1）求角B的大小；（2）若b＝2，求AC边上的高的最大值．【分析】（1）根据正弦定理化简已知等式可得，由余弦定理可求cos B 的值，结合∠B为三角形内角，可求B的值．（2）法一：记AC边上的高为h b．由三角形的面积公式可求得，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求h b＝2sin（2A﹣）+，由已知可求A的范围，利用正弦函数的性质即可求解其最大值；法二：记AC边上的高为h b，由三角形的面积公式可得，由余弦定理，基本不等式即可求解其最大值．【解答】解：（1）根据正弦定理可将已知条件化简为，化简整理，得．由余弦定理，得，因为∠B为三角形内角，故．（2）法一：记AC边上的高为h b．由，可得，又因为，所以，在三角形ABC中，，故．当时，．法二：记AC边上的高为h b．由，可得，由余弦定理b2＝a2+c2﹣4ac cos B，可得，从而有，即．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．如图，在四棱锥E﹣ABCD中，DC∥AB，AB＝AD＝AE＝ED＝DC（1）求证：DM⊥AE；（2）求直线DM与平面BCE所成角的正弦值．【分析】（1）记AE的中点为F，连接MF、DF，证明AE⊥DF，推出AB⊥面ADE，然后证明MF⊥AE，得到AE⊥面DFM，即可证明AE⊥DM．（2）通过建系，求出面BCE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线DM与平面BCE所成角的正弦值即可．【解答】（1）证明：记AE的中点为F，连接MF．∵DE＝AD＝AE，∴AE⊥DF．∵∠BAD＝∠BAE＝90°，∴AB⊥AD，AB∩AE＝A，∴AB⊥面ADE．∵M为EB的中点，∴MF∥AB，∴MF⊥面ADE，AE⊂平面ABE，又AE⊥DF，FM∩DM＝M，∴AE⊥面DFM，DM⊂平面DFM，∴AE⊥DM．（2）解：∵AB⊥面AEM，又AB∥DC，∴DC⊥面AED，故可如右图形式以建系．不妨设DC＝4，则有，，，设面BCE的一个法向量＝（x，y，则，即，令x＝2，z＝，可得面BCE的一个法向量，则＝，所以直线DM与平面BCE所成角的正弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足S n＝2a n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证＜2，n∈N*．【分析】（1）直接根据通项公式和前n项和之间的关系即可求解，（2）对其通项公式进行放缩，即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可知，当n＝1时，a1＝3a1﹣1⇒a4＝1．当n≥2时，由可得a n＝3a n﹣2a n﹣1⇒a n＝8•a n﹣1．所以．（2）由（1）可得，法一：，所以＝．法二：，所以＝．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系求解出通项公式，是解决本题的关键．21．已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0），圆C2：（x﹣4）2+y2＝4．抛物线C1的焦点到其准线的距离恰好是圆C2的半径．（1）求抛物线C1的方程及其焦点坐标；（2）过抛物线C1上一点Q（除原点外）作抛物线C1的切线，交y轴于点P．过点Q作圆C2的两条切线，切点分别为M、N．若MN∥PQ，求△PMN的面积．【分析】（1）利用抛物线方程求出p，然后写出焦点坐标．（2）法一：设点P（0，a），则切线PQ的方程可设为y＝kx+a，联立方程可得k2x2+（2ak﹣4）x+a2＝0，由△＝0可得ak＝1，求出切点Q坐标，设点M（x1，y1），N （x2，y2），求出切线QM：（x﹣4）（x1﹣4）+2yy1＝4，切线QN：（x﹣4）（x2﹣4）+2yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN得到直线的斜率，通过k MN＝k PQ，求解a，然后求解三角形的面积．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy0＝2（x+x0），求出Q坐标，记线段C2Q和线段MN的焦点为E，然后转化求解三角形的面积即可．【解答】解：（1）由题意可得p＝2，故抛物线C1的方程为y8＝4x，焦点坐标为（1．（2）法一：设点P（2，a），联立方程可得k3x2+（2ak﹣5）x+a2＝0，由△＝3可得ak＝1，且切点Q坐标为，设点M（x1，y5），N（x2，y2），则切线QM：（x﹣8）（x1﹣4）+8yy1＝4，切线QN：（x﹣6）（x2﹣4）+8yy2＝4，将点Q的坐标代入可得直线MN：（x﹣4）（a2﹣4）+4ay＝4，故，由k MN＝k PQ，可得，因为两种情况中的P点关于x轴对称，所以求出的面积相同情况，联立方程，可得，故，Q（2，2）y+2＝6，∴d＝＝，从而有|MN|＝＝，所以．法二：设点Q（x0，y0），则切线PQ的方程可设为yy2＝2（x+x0），显然x4＝4不满足要求；因为C2Q⊥MN，MN∥PQ3Q⊥PQ，当x0≠4时，，所以Q坐标为，记线段C5Q和线段MN的交点为E，从而有|C2Q|＝，|ME|＝，S△PMN＝＝．【点评】本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．22．已知函数f（x）＝﹣lnx+x﹣2a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，（ⅰ）求a的取值范围；（ⅱ）证明：|x2﹣x1|＜．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）求出函数的最小值，得到关于a的不等式，解出即可；（ii）令t＝2a＞e+1，令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，结合函数的单调性证明即可．【解答】解：（1），x＞0当x＞1时，f'（x）＞2；当0＜x＜1时，f（x）单调递减．所以f（x）的单调递增区间为（3，+∞），1）（2）（|i）由（1）f（x）min＝f（1）＝e+1﹣6a，若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2，则f（1）＝e+3﹣2a＜0，解得：a＞（|ii）不妨设x1＜x2，因为．令，．令h（t）＝e t（t﹣1）﹣t，则h'（t）＝e t•t﹣5，h''（t）＝e t•（t+1）＞0，所以h'（t）单调递增，又因为h'（e+8）＞0，所以h（t）单调递增．因为h（e+1）＝e e+2﹣e﹣1＞0，所以g'（t）＞5．又因为g（e+1）＞g（e）＝e e﹣1﹣5＞0，所以f（2a）＞6，x2＜2a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）由lnx≤x﹣5可知令，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（15分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及不等式的怎么，考查转化思想，是一道难题．。

2021年浙江省宁波市镇海骆驼中学高三数学理月考试卷含解析

2020-2021学年浙江省宁波市镇海骆驼中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数满足，则的最小值为0 1 9参考答案：2. 已知，则的大小关系为（）A. B. C.D .参考答案：A，因为，所以，，所以的大小关系为，选A.3. 已知p：函数有两个零点，q：，．若为真，为假，则实数m的取值范围为（）A． B．C． D．参考答案：B 略4. 已知函数满足，且的导函数，则的解集为( )A. B. C. D.参考答案：D,则,在R上是减函数.,的解集为.选D.5. 某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员得分的中位数分别为A．19、13 B．13、19C．20、18 D．18、20参考答案：A甲的中位数为，乙的中位数为13，选A.6. 从1、2、3、4、5、6六个数中任取2个数，则取出的两个数不是连续自然数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D略7. 已知函数的定义域为R，x∈[0，1]时，，对任意的x都有成立，则函数均零点的个数为A． 6 B． 7 C． 8 D． 9参考答案：D8. 已知函数()，则“”是“函数在上是增函数”的…………… ………………………（）（A）充分非必要条件. （B）必要非充分条件.（C）充要条件. （D）非充分非必要条件.参考答案：B若函数在上是增函数，则成立。

当时，函数在上不一定是增函数，所以“”是“函数在上是增函数”的必要非充分条件，选B.9. 已知变量满足约束条件则的最大值为A. B.0 C.1 D.3参考答案：【知识点】简单线性规划．E5C 解析：由得，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线，由图象可知当直线，过点A（1，0）时，直线的截距最小，此时z最大，代入目标函数，得z=1,∴目标函数的最大值是1．故选C.【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．10. 过点（，0）引直线与曲线交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线的斜率等于（）A. B. C. D.参考答案：【答案解析】B 解析：由，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线表示单位圆在x轴上方的部分（含与x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l与曲线有两个交点，且直线不与x轴重合，则-1＜k＜0，直线l的方程为y-0=k(x?)，即kx?y?k＝0．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则S△A B O＝=．令，则S△A B O＝，当t＝，即时，S△A B O有最大值为．此时由，解得k=．故选B．【思路点拨】由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含与x轴的交点），由此可得到过C 点的直线与曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设为虚数单位），则＝_______.参考答案：812. 电影院一排10个位置，甲、乙、丙三人去看电影，要求他们坐在同一排，那么他们每人左右两边都有空位且甲坐在中间的坐法有种．参考答案：40【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，先排好7个空座位，注意空座位是相同的，其中有6个空位符合条件，考虑顺序，将3人插入6个空位中，注意甲必须在三人中间，由倍分法分析可得答案．【解答】解：先排7个空座位，由于空座位是相同的，则只有1种情况，其中有6个空位符合条件，考虑三人的顺序，将3人插入6个空位中，则共有1×A63=120种情况，由于甲必须坐在三人中间，则有符合要求的坐法有×120=40种；故答案为：40．13. 关于的方程的一个根是，则_________．参考答案：因为方程的根为虚根，所以也是方程的根，所以，即。

2020-2021宁波市宁波中学(一中)高中必修三数学上期中模拟试卷及答案

2020-2021宁波市宁波中学（一中）高中必修三数学上期中模拟试卷及答案一、选择题1．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s <>2．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x （天） 3 4 56 繁殖个数y （千个）2.5344.5由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+，则当7x =时，繁殖个数y 的预测值为（） A ．4.9 B ．5.25 C ．5.95 D ．6.153．在区间上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“12x y +≥”的概率，2p 为事件“12x y -≤”的概率，3p 为事件“12xy ≤”的概率，则（） A ．123p p p << B ．231p p p << C ．312p p p <<D ．321p p p <<4．如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x ＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N ＝3，则输出的i ＝A ．9B ．8C ．7D ．65．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为A．45B．35C．25D．156．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率是( ) ．A．12B．13C．23D．17．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．100，20B．200，20C．100，10D．200，108．为计算11111123499100S=-+-++-…，设计了下面的程序框图，则在空白框中应填入A．1i i=+B．2i i=+C．3i i=+D．4i i=+9．若框图所给的程序运行结果为，那么判断框中应填入的关于k的条件是A ．？B ．？C ．？D ．？10．将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到200住在第一营区，从201到500住在第二营区，从501到600住在第三营区，三个营区被抽中的人数依次为（）． A ．16，26，8B ．17，24，9C ．16，25，9D ．17，25，811．若同时掷两枚骰子，则向上的点数和是6的概率为（） A ．16B ．112C ．536D ．51812．同时掷三枚硬币，至少有1枚正面向上的概率是（） A ．78B ．58C ．38D ．18二、填空题13．在平面直角坐标系中，从六个点：A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)、F(3,3)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是（结果用分数表示）. 14．已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=，点A 的极坐标为7(22,)4π，则点A 到直线l 的距离为____．15．已知某人连续5次投掷飞镖的环数分别是8，9，10，10，8，则该组数据的方差为______．16．如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ．则点M 恰好取自阴影部分的概率是．17．如图，四边形ABCD 为矩形，3AB =，1BC =，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧»DE，在DAB ∠内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.18．某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，现采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，则这两人来自同一组的概率为__________． 19．高二某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为__________．20．程序框图如图所示，若输出的y＝0，那么输入的x为________．三、解答题21．国家公安机关为给居民带来全方位的安全感，大力开展智慧警务社区建设.智慧警务建设让警务更智慧，让民生更便利，让社区更安全.下表是某公安分局在建设智慧警务社区活动中所记录的七个月内的该管辖社区的违法事件统计数据：月份1234567违法案件数196101663421116根据以上数据，绘制了如图所示的散点图.（1）根据散点图判断，用y a bx=+与(0,01)xy c d b d=⋅<<<哪一个更适宜作为违法案件数y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果及表中所给数据，求y关于x的回归方程（保留两位有效数字），并预测第8个月该社区出现的违法案件数（取整数）.参考数据：y v71i iix y=∑71i iix v=∑721iix=∑ 2.5410 62.14 1.5494536.186140346.74其中i iv lgy=，7117iiv v==∑.参考公式：对一组数据()11,u v，()22,u v，…，(),n nu v，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：µ1221ni iiniiu v nuvu nuβ==-=-∑∑，µµv uαβ=-.22．如图是某地区2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：万吨）的折线图.注：年份代码17~分别表示对应年份20122018~.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数r（0.75r>线性相关较强）加以说明；（2）建立y与t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2019年该区生活垃圾无害化处理量.（参考数据）719.32iiy==∑，()()712.89i iit t y y=--≈∑()7210.55iiy y=-≈∑，()7212 2.646iit t=-≈⨯∑，()72128iit t=-≈∑， 2.890.992 2.6460.55≈⨯⨯，2.890.10328≈.（参考公式）相关系数()()()()12211ni iin ni ii it t y yrt t y y===--=--∑∑∑，在回归方程$$y bt a=+$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()121ni iiniit t y ybt t==--=-∑∑$，a y bt=-$$.23．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =- 24．已知关于x 的一元二次函数2()4 1.f x ax bx =-+（1）若,a b 分别表示将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次时第一次、第二次正面朝上出现的点数，求满足函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率；（2）设点(,)a b 是区域28000x y x y +-≤⎧⎪>⎨⎪>⎩内的随机点，求函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数的概率.25．为了调查教师对教育改革认识水平，现从某市年龄在[]20,45的教师队伍中随机选取100名教师，得到的频率分布直方图如图所示，若从年龄在[)[)[]30,35,35,40,40,45中用分层抽样的方法选取6名教师代表．（1）求年龄在[)35,40中的教师代表人数；（2）在这6名教师代表中随机选取2名教师，求在[)35,40中至少有一名教师被选中的概率．26．2019年，河北等8省公布了高考改革综合方案将采取“3+1+2”模式，即语文、数学、英语必考，然后考生先在物理、历史中选择1门，再在思想政治、地理、化学、生物中选择2门.为了更好进行生涯规划，甲同学对高一一年来的七次考试成绩进行统计分析，其中物理、历史成绩的茎叶图如图所示.(1)若甲同学随机选择3门功课，求他选到物理、地理两门功课的概率； (2)试根据茎叶图分析甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科？并说明理由； (3)甲同学发现，其物理考试成绩y (分)与班级平均分x (分)具有线性相关关系，统计数据如下表所示，试求当班级平均分为50分时，其物理考试成绩.参考数据: 72134840ii x ==∑，72150767ii y ==∑，7141964i i i x y ==∑，71()()314iii x x y y =--=∑.参考公式：y bx a =+$$$，1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y n x yb x x x n x====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑$，$a y bx =-⋅$(计算$a b$，时精确到0.01).【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】【分析】分别根据数据的平均数和方差的计算公式，求得2,x s 的值，即可得到答案．【详解】由题意，根据平均数的计算公式，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x L ，则()()()()()2222212481757070706070907050x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()2221248170707050050x x x L ⎡⎤=-+-++-+⎣⎦，()()()()()222222124817070708070707050s x x x ⎡⎤=-+-++-+-+-⎣⎦L ()()()222124817070701007550x x x ⎡⎤=-+-++-+<⎣⎦L ，故275s <．选A ．【点睛】本题主要考查了数据的平均数和方差的计算公式的应用，其中解答中熟记数据的平均数和方差的公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，数基础题．2．B解析：B 【解析】【分析】根据表格中的数据，求得样本中心为97(,)22，代入回归直线方程，求得ˆ0.35a =，得到回归直线的方程为ˆ0.70.35yx =+，即可作出预测，得到答案．【详解】由题意，根据表格中的数据，可得34569 2.534 4.57,4242x y ++++++====，即样本中心为97(,)22，代入回归直线方程ˆˆ0.7yx a =+，即79ˆ0.722a=⨯+，解得ˆ0.35a=，即回归直线的方程为ˆ0.70.35y x =+，当7x =时，ˆ0.770.35 5.25y=⨯+=，故选B ．【点睛】本题主要考查了回归直线方程的应用，其中解答中熟记回归直线方程的特征，求得回归直线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．3．B解析：B 【解析】【分析】【详解】因为,[0,1]x y ∈，对事件“12x y +≥”，如图（1）阴影部分，对事件“12x y -≤”，如图（2）阴影部分，对为事件“12xy ≤”，如图（3）阴影部分，由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，根据几何概型公式可得231p p p <<．（1）（2）（3）考点：几何概型．4．B解析：B 【解析】模拟执行程序，当3,1n i == ，n 是奇数，得10,2n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，5,3n i == ，不满足条件1n =，满足条件n 是奇数，16,4n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，8,5n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，4,6n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，2,7n i ==，不满足条件1n =，不满足条件n 是奇数，1,8n i ==，满足条件1n =，输出8i =，选B.点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．5．C解析：C 【解析】选取两支彩笔的方法有25C 种，含有红色彩笔的选法为14C 种，由古典概型公式，满足题意的概率值为142542105C p C ===. 本题选择C 选项. 考点：古典概型名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.6．C解析：C【解析】【分析】【详解】解：甲，乙，丙三人中任选两名代表有233C =种选法，甲被选中的情况有两种，所以甲被选中的概率23223P C ==，故选C. 7．B解析：B 【解析】【分析】【详解】试题分析：由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题.8．B解析：B 【解析】分析：根据程序框图可知先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此累加量为隔项.详解：由11111123499100S =-+-+⋯+-得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减.因此在空白框中应填入2i i =+，选B.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9．A解析：A 【解析】【分析】根据所给的程序运行结果为，执行循环语句，当计算结果S 为20时，不满足判断框的条件，退出循环，从而到结论．【详解】由题意可知输出结果为，第1次循环，，，第2次循环，，，此时S 满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为．故选：A ．【点睛】本题主要考查了循环结构，是当型循环，当满足条件，执行循环，同时考查了推理能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】【分析】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，从而求出三个营区被抽中的人数. 【详解】由题意可知，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则抽到的号构成以3为首项，12为公差的等差数列，记为{},n a n N +∈，其中13a =，公差12d =，则第n 个号()11129n a a n d n =+-=-.令200n a ≤，即5129200,1712n n -≤∴≤，所以第一营区抽17人；令500n a ≤，即5129500,4212n n -≤∴≤，所以第二营区抽421725-=人；三个营区共抽50人，所以第三营区抽5017258--=人. 故选： D . 【点睛】本题考查系统抽样，属于基础题.11．C解析：C 【解析】由图表可知,点数和共有36种可能性,其中是6的共有5种,所以点数和是6的概率为536,故选C.点睛:本题考查古典概型的概率,属于中档题目.具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A 包括的结果有m 个，那么事件A 的概率P (A )＝．12．A解析：A 【解析】【分析】先根据古典概型概率公式求没有正面向上的概率，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】因为没有正面向上的概率为112228=⨯⨯，所以至少有1枚正面向上的概率是1-1788=，选A. 【点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.二、填空题13．【解析】【分析】【详解】已知六个点任取三个不同取法总数为：；可构成三角形的个数为：所以所求概率为：解析：34【解析】【分析】【详解】已知A C E F B C D 、、、共线；、、共线；六个点任取三个不同取法总数为：36C ；可构成三角形的个数为：33364315C C C --=，所以所求概率为：3336433634C C C C --=. 14．【解析】直线的直角坐标方程为点的直角坐标为所以点到直线的距离为解析：522【解析】直线l 的直角坐标方程为1y x -= ，点A 的直角坐标为(2,2)- ，所以点A 到直线l 的距2215222++=.15．【解析】16．【解析】试题分析：根据题意正方形的面积为而阴影部分由函数与围成其面积为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为则正方形中任取一点点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考解析：【解析】试题分析：根据题意，正方形的面积为而阴影部分由函数与围成，其面积为，则正方形中任取一点,点取自阴影部分的概率为.则正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为考点：定积分在求面积中的应用几何概型点评:本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积.17．【解析】【分析】连接可求得满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点根据几何概型的概率公式可得【详解】连接如图所示所以满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交即直线AP与线段BC有公共点解析：1 3【解析】【分析】连接AC，可求得CAB∠，满足条件的事件是直线AP与线段BC有公共点，根据几何概型的概率公式可得CAB PDAB∠=∠.【详解】连接AC，如图所示，3tanCBCABAB∠==，所以π6CAB∠=，满足条件的事件是直线AP在∠CAB内且AP与BC相交，即直线AP与线段BC有公共点，所以所求事件的概率π16π32CABPDAB∠===∠.故答案为：1 3 .【点睛】本题考查几何概型的概率计算，考查学生的计算能力与推理能力，属于基础题. 18．【解析】某班按座位将学生分为两组第一组18人第二组27人采取分层抽样的方法抽取5人第一组抽取：第二组抽取：再从这5人中安排两人去打扫卫生基本事件总数这两人来自同一组包含的基本事件个数∴这两人来自解析：2 5【解析】某班按座位将学生分为两组，第一组18人，第二组27人，采取分层抽样的方法抽取5人，第一组抽取：18521827⨯=+人，第二组抽取：27531827⨯=+人，再从这5人中安排两人去打扫卫生，基本事件总数2510n C==，这两人来自同一组包含的基本事件个数22234m C C＝，=+∴这两人来自同一组的概率为42105mpn＝＝＝．即答案为2 5 .【点睛】本题考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，其中正确掌握有关知识是解题的关键19．【解析】∵高二某班有学生56人用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本∴样本组距为56÷4=14则5+14=19即样本中还有一个学生的编号为19解析：19【解析】∵高二某班有学生56人，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，∴样本组距为56÷4=14，则5+14=19，即样本中还有一个学生的编号为19.20．－3或0【解析】分析程序中各变量各语句的作用再根据流程图所示的顺序可知：该程序的作用是计算分段函数的函数值当x＜0时y=x+3=0∴x=-3满足要求当x=0时y=0∴x=0满足要求当x＞0时y=x+解析：－3或0【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数3,00,05,0x x y x x x +<⎧⎪==⎨⎪+>⎩的函数值，当x ＜0时，y =x +3=0，∴x =-3满足要求，当x =0时，y =0，∴x =0满足要求，当x ＞0时，y =x +5，∴x =-5，不满足要求，故输入的x 的值为：-3或0.三、解答题21．（1），xy c d =⋅更适宜（2）$0.25346.7410xy =；预计为4 【解析】【分析】（1）根据散点图判断，xy c d =⋅更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型. （2）由xy c d =⋅得()lg lg lg lg xy c dc xd =⋅=+⋅，设lg v y =，则lg lg v c x d =+⋅，然后算出$lg 2.540.25y x =- 【详解】解：（1）根据散点图判断，xy c d =⋅更适宜作为违法案件数y 关于月份x 的回归方程类型.（2）xy c d =⋅Q ，()lg lg lg lg xy c dc xd ∴=⋅=+⋅，设lg v y =，lg lg v c x d ∴=+⋅，4x =Q ， 1.54v =，$7172221736.18674 1.54lg 0.25140747i ii i i x vxvdx x==--⨯⨯===--⨯-∑∑，$lg 4lg 2.54c v d =-⨯=$， $lg lg 2.540.25v c x d x ∴=+⋅=-$$，即$lg 2.540.25y x =-.y ∴关于x 的回归方程为：$ 2.542.540.250.250.2510346.74101010x x x y -===. 当8x =时，$0.2582346.74346.743.4671010y ⨯===，则第8个月该社区出现的违法案件数预计为4. 【点睛】本题考查的是用最小二乘法计算线性回归直线方程，解答本类题的关键是计算能力.22．（1）见解析；（2）1.744 【解析】【分析】(1)根据题中所给的公式得到r=0.99>0.75,进而得到结论；（2）根据公式计算得到回归方程，再将2019年所对应的t=8代入方程可得到估计值.. 【详解】 (1)由题意得,()()()()71772211i ii i i tty y r tty y ===--=--∑∑∑∴0.75>所以与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.（2）由已知得()()()71721 2.890.10328ˆi i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑， 1.3310.10340.ˆ92ˆay bt =-=-⨯≈，所以，y 关于t 的回归方程为：0.92010ˆ.3yt =+ 将2019年对应的8t =代入回归方程得：0.920.1038ˆ 1.744y=+⨯=. 所以预测2019年该地区生活垃圾无害化处理量将约1.744万吨. 【点睛】本题考查回归分析，考查线性回归直线方程的计算，在一组具有相关关系的变量的数据间，这样的直线可以画出许多条，而其中的一条能最好地反映x 与Y 之间的关系，这条直线过样本中心点．线性回归方程适用于具有相关关系的两个变量，对于具有确定关系的两个变量是不适用的, 线性回归方程得到的预测值是预测变量的估计值，不是准确值.23．（1）0.5.3ˆ2yt =+；（2）在2007至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元. 【解析】试题分析：本题主要考查线性回归方程、平均数等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先利用平均数的计算公式，由所给数据计算t 和y ，代入公式中求出^a 和^b，从而得到线性回归方程；第二问，利用第一问的结论，将9t =代入即可求出所求的收入．试题解析：（1）由所给数据计算得t ＝17（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7）＝4，y ＝17（2．9＋3．3＋3．6＋4．4＋4．8＋5．2＋5．9）＝4．3，721()941014928ii tt =-=++++++=∑，71()()(3)( 1.4)(2)(1)(1)(0.7)00.110.520.93 1.614ii i tt y y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯=∑71721()()14^0.528()iii bi i t t y y t t ==--===-∑∑ ，所求回归方程为^0.5 2.3yt =+．（2）由（1）知，^0.50b=>，故2009年至2015年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0．5千元．将2017年的年份代号t ＝9，代入（1）中的回归方程，得^0.59 2.3 6.8y=⨯+=，故预测该地区2017年农村居民家庭人均纯收入为6．8千元．考点：线性回归方程、平均数．24．(1)14;(2) 15【解析】【分析】（1）由题意函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，可得0a ＞，2b a ≤，可得可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，求出所求事件包含基本事件，可得其概率；（2）由（1）可得0a ＞，2b a ≤，可得实验的全部结果所构成的区域与所求事件所构成的区域，由几何概型可得答案. 【详解】解：可得函数2()41f x ax bx =-+的对称轴为：2b x a=，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤，由题意可得先后抛掷两次骰子的基本事件数为36个，所求事件包含基本事件：(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(6,3)，所求事件包含的事件为为9个，可得所求事件的概率为：91364=；（2）由（1）得，要使函数()y f x =在区间[1,)+∞上是增函数，当且仅当0a ＞，21ba≤，2b a ≤，由题意可得实验的全部结果所构成的区域是：280(,)00a b a b a b ⎧⎫+-≤⎧⎪⎪⎪>⎨⎨⎬⎪⎪⎪>⎩⎩⎭，构成所求事件的区域为三角形部分，由2802ab ab +-≤⎧⎪⎨=⎪⎩得交点坐标168(,)55P ，可得所求事件概率为：18412515482p ⨯⨯==⨯⨯【点睛】本题主要考查不等式，线性规划问题及几何概率求解，属于中档题，注意运算准确. 25．（1）2名；（2）35【解析】【分析】（1）根据分层抽样的比例关系计算得到答案.（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D ，列出所有情况和满足条件的情况，相除得到答案. 【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在[)30,35的教师有1000.06530⨯⨯=，年龄在[)35,40的教师有1000.04520⨯⨯=，年龄在[]40,45的教师有1000.02510⨯⨯=，设年龄在[)35,40的教师代表人数为x ，则66020x =，∴2x = ∴从年龄在[)35,40中选取教师代表人数为2名；（2）记在[)35,40中选取2名教师代表为a ，b ，其余的4名代表为A 、B 、C 、D 从这6名教师中选2名教师的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD ， AB ，AC ，AD ， BC ，BD ， CD以上共15种在[)35,40中至少有一名教师被选中的选法为： ab ，aA ，aB ，aC ，aD ， bA ，bB ，bC ，bD 以上9种在[)35,40中至少有一名教师被选中为事件A ，则()93155P A ==. ∴在[35，40）中至少有一名教师被选中的概率为35. 【点睛】本题考查了频率直方图，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的综合应用能力. 26．（1）14；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)列出基本事件的所有情况，然后再列出满足条件的所有情况，利用古典概率公式即可得到答案.(2)计算平均值和方差，从而比较甲同学应在物理和历史中选择哪一门学科；（3）先计算x 和y ，然后通过公式计算出线性回归方程，然后代入平均值50即可得到答案. 【详解】(1)记物理、历史分别为12,A A ，思想政治、地理、化学、生物分别为1234,,,B B B B ，由题意可知考生选择的情形有{}112,,A B B ，{}113,,A B B ，{}114,,A B B ，{}123,,A B B ，{}124,,A B B ，{}134,,A B B ，{}212,,A B B ，{}213,,A B B ，{}214,,A B B ，{}223,,A B B ，{}224,,A B B ，{}234,,A B B ，共12种他选到物理、地理两门功课的满情形有{}{}{}112123124,,,,,,A B B A B B A B B ，共3种∴甲同学选到物理、地理两门功课的概率为31124P == (2)物理成绩的平均分为76828285879093857x ++++++==物理历史成绩的平均分为69768082949698857x ++++++==历史由茎叶图可知物理成绩的方差2s<物理历史成绩的方差2s 物理故从平均分来看，选择物理历史学科均可以；从方差的稳定性来看，应选择物理学科；从最高分的情况来看，应选择历史学科(答对一点即可) (3)57+61+65+72+74+77+84707x ==，85y =,7172221741964770853140.5834840770540ˆ7i ii i i x y x y bx x==-⋅⋅-⨯⨯∴===≈-⨯-⋅∑∑850.587044.ˆ0ˆ4ay b x =-⋅=-⨯≈ y ∴关于x 的回归方程为0.58+44.40y x =当50x =时，0.5850+44.4073y =⨯≈,当班级平均分为50分时，其物理考试成绩为73分【点睛】本题主要考查古典概型，统计数的相关含义，线性回归方程的计算，意在考查学生的阅读理解能力，计算能力和分析能力，难度不大.。

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