教你求多边形的边数

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多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350

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多边形的内角和与某一个外角的度数总和为 1350°，求多边形的边数？
3 如图 4-39，已知在四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=13，AD=12，∠B=90°．求：四边形 ABCD 的面积．
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一个 n 边形每个内角都是 150°，则这个多边形的内角和是多少？

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已知一个多边形的每个内角都为钝角，则这样的多边形有多少个？边数最少的一个是几边形？
如图 4，在△ABC 中，内角∠ABC 的平分线与外角∠ACD 的平分线相交于点 O，试说明∠BOC 与∠A 的关系？说明你的理由．
图4
4．如图 10，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP=＿＿＿．(提示：先证 AP 是△ABC 的外角平分线)
图 10

初三数学教材正多边形的面积与周长计算

初三数学教材正多边形的面积与周长计算正多边形是数学中一种重要的几何形状，它具有边数相等、内角相等的特点。

在初三数学教材中，我们学习了如何计算正多边形的面积与周长。

本文将详细介绍正多边形的面积与周长计算方法，并提供一些例题来帮助读者更好地理解和掌握这些概念。

一、正多边形的面积计算要计算正多边形的面积，首先需要知道该多边形的边长（a）和边数（n）。

正多边形的面积计算公式如下：面积= 0.25 × n × a^2 × cot(π/n)其中，cot(π/n)表示π/n的余切值。

举例来说，如果一个正六边形的边长为4cm，我们可以使用上述公式计算其面积：面积= 0.25 × 6 × (4^2) × cot(π/6)通过计算，可得该正六边形的面积为6√3 cm^2。

二、正多边形的周长计算计算正多边形的周长相对简单，只需知道该多边形的边长（a）和边数（n）。

正多边形的周长计算公式如下：周长 = a × n举例来说，如果一个正五边形的边长为6cm，我们可以使用上述公式计算其周长：周长 = 6 × 5通过计算，可得该正五边形的周长为30cm。

三、例题解析为了更好地理解和应用正多边形的面积与周长计算方法，我们来看几个例题。

例题1：一个正八边形的边长为10cm，求其面积和周长。

解析：根据上述公式，我们可以得知正八边形的面积公式为：面积= 0.25 × 8 × (10^2) × cot(π/8)通过计算，可得该正八边形的面积为100cot(π/8) cm^2。

正八边形的周长计算公式为：周长 = 10 × 8通过计算，可得该正八边形的周长为80cm。

例题2：一个正十二边形的面积为144√3 cm^2，求其边长。

解析：根据上述公式，我们可以得知正十二边形的面积公式为：144√3 = 0.25 × 12 × (a^2) × cot(π/12)通过计算，可得正十二边形的边长a ≈ 3.464cm。

中考体系-73.多边形的边和角(最全,含答案)

多边形的边和角一、多边形的边二、多边形的角三、多边形的对角线四、镶嵌五、多边形综合一、多边形的边已知内角和求边数1.【易】（2012年海淀二模）若一个多边形的内角和等于540︒，则这个多边形的边数是___________．【答案】52.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）若一个多边形的内角和等于720︒，则这个多边形的边数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B3.【易】（2012福建泉州中考）n边形的内角和为900︒，则n=__________．【答案】74.【易】（2012南外初二期末）一个多边形的内角和等于1080︒，则这个多边形为_____边形．【答案】八5.【易】（天津市河西区2011年初中毕业生学业考试模拟试卷（二）数学）一个多边形的内角和等于1260︒，则它是（）A．五边形B．七边形C．九边形D．十边形【答案】C已知一个内角求边数6.【易】（2012师达中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是108︒，它是_______边形．【答案】五7.【易】（丰台区2011学年度第二学期期末练习）若一个正多边形的每个内角等于120︒，则这个正多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】C8.【易】（2009年武昌水果湖第二中学初一下期末）一个多边形的每一个内角都是135︒，则这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形【答案】B9.【易】（2010北京22中初一下期中）若一个正多边形的一个内角是140︒，则这个正多边形的边数是（）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B10.【易】（北京市西城区2010年抽样测试）若一个正多边形的一个内角是144︒，则这个多边形的边数为（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】C11.【易】（东城2011二模）若一个正多边形的一个内角等于150︒，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】D12.【易】（2012年铁二中初一下期中）已知正多边形的每一个内角都是160︒，则正多边形的边数为______．【答案】18已知一个外角求边数13.【易】（2010年朝阳二模）若一个多边形的每一个外角都是36︒，则这个多边形的边数是（）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D14.【易】（2011年莆田中考）若一个正多边形的一个外角等于40︒，则这个多边形是_________边形．【答案】九15.【易】（2011年山西省初中毕业生学业考试）一个正多边形，它的每一个外角都等于45︒，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C16.【易】（北京市东城区2010学年度初三年级综合练习）若一个正多边形的一个外角是60︒，则这个正多边形的边数是（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】B17. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个正多边形的每一个外角都等于72︒，则这个多边形的边数是_________．【答案】518. 【易】（2012初二深圳罗湖统考）如图，小明从点O 出发，每前进10米后向右转20︒，再前进10米又向右转20︒，……，这样一直走下去，当小明第一次回到出发点O 时，他一共走了（）米A ．190B ．180C ．170D ．160【答案】B19. 【易】（2010初一下期中）某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向前行走1米，然后左转45︒，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了________米．（n 边形的内角和是()2180n -︒）【答案】8已知内外角关系求边数20. 【易】（2011年来宾市初中毕业升学统一考试试题）如果一个多边形的内角和是其外角和的一半，那么这个多边形是（） A ．六边形 B ．五边形 C ．四边形 D ．三角形【答案】D21. 【易】（2009年怀柔一模）若一个多边形的内角和等于它外角和的1.5倍，则这个多边形的边数是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 【答案】B22. 【易】（巴中市2013年高中阶段教育学校招生考试数学试卷）若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是_______边形.20°20°O23.【易】(娄度市2013年初中毕业学业考试数学试题卷)（西城2011二模）一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为_______．【答案】624.【易】（2013年长沙市初中毕业学业水平考试数学试卷）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形【答案】A25.【易】（2013宣武外国语实验学校第二学期期中考试）一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是___________【答案】826.【易】一个多边形的内角和等于十边形的外角和的3倍，则这个多边形是________边形【答案】八27.【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）一个多边形的内角和是外角和的倍，则这个多边形是（）边形．4A．六B．八C．十D．十二【答案】C28.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）已知多边形的内角和为其外角和的5倍，则这个多边形的边数为_________．【答案】1229.【易】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学期中）已知一个多边形的每一个内角都相等，且一个内角等于它相邻外角的9倍，则这个多边形的边数是（）A．9 B．12 C．18 D．20【答案】D30.【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）一个n边形的内角和比它的外角和的2倍还大180︒，则边数n为_________．【答案】731.【易】（2010年北京师大附中期中）某多边形的内角与外角和共1080︒，则这个多边形的边数为_________【答案】632.【易】（沈阳）若一个多边形的所有内角与某一外角的和为1350︒，那么这个多边形是（）A．七边形B．八边形C．九边形D．十边形33.【易】（初一数学下期末复习）若一个多边形的内角和与外角和等于1440︒，则这个多边形的边数是__________．【答案】834.【易】（天津市南开区2010学年度第二学期期中质量检测七年级数学试卷）一个多边形的内角和与外角和的比为5:2，则这个多边形是_________【答案】七边形35.【易】（2012育鸿中学初一下期中）一个多边形的内角和与外角和之比是7:2，则这个多边形是_________边形．【答案】九36.【易】（2010年21中初一下期中）n边形的内角和与外角和之比为4:1，则边数为__________ ．【答案】1037.【易】（2010年房山区初三年级统一练习）如果正n边形的一个外角与和它相邻的内角之比是1:3，那么n的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D38.【易】（2012人大附初一上期中）若一个正多边形的每一个外角都是相邻内角的14，则这个正多边形为（）A．正八边形B．正九边形C．正十边形D．正十二边形【答案】C39.【易】（2012首师大附中初一下期中）一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻的内角的15，则这个多边形是____边形．【答案】十二40.【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形的内角和与它的一个外角的和为570︒，那么这个多边形的边数为________ 【答案】541.【中】（耀华嘉诚2008学年第一学期九年级第二次月考）外角大于内角的正多边形是正_______边形，外角等于内角的正多边形是正_____边形，外角等于内角的23的正多边形是正_________边形．【答案】三，四，五42. 【中】（2012年度初一第二学期期末模拟）一个多边形截去一个角后所形成的多边形的内角和是1260︒，那么原多边形的边数不可能是（） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：1260180218︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：12601802110︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：126018029︒︒+=÷43. 【中】（2012重庆綦江区三江初一下期中）一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形，它的内角和为2520︒，则原来多边形的边数不可能是（） A ．15条 B ．16条 C ．17条 D ．18条【答案】D截去一个角，会有这么几个变化：1、内角增加了一个，那么原来边数是：25201802115︒︒+-=÷2、内角减少了一个，那么原来边数是：25201802117︒︒++=÷3、内角不变，那么原来边数是：2520180216︒︒+=÷44. 【中】（清华附初一下期中）在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角和为2010度，则这个多边形的边数为_____________．【答案】14或1545. 【中】（南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一个多边形少一个内角的度数和为2300︒． ⑴求它的边数；⑵求少的那个内角的度数．【答案】⑴ 15⑵ 40︒46. 【中】（沈阳）一个多边形恰有5个钝角，则此多边形的边数最多是______________．【答案】8设这个凸多边形的边数为n ，其中5个内角为钝角，()5n -个内角为直角或锐角．()()2180180590n n ∴-⋅︒⋅︒+-⋅︒＜5 n ∴＜9，取8n =.47. 【中】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形恰有4个内角是钝角，那么，这个多边形的边数n 最多为___________ 【答案】7因为凸n 边形恰有4个内角是钝角，所以这4个内角之和大于360︒，且小于720︒，而另外的()4n -个内角是直角或锐角，则这()4n -个内角之和不大于()490n-⨯︒，且大于0︒，于是，有不等式()()︒+︒-⨯︒︒+-⨯︒＜＜，解得48n n36002180720490＜＜，故边数n最多为7n二、多边形的角多边形内外角和48.【易】（百色市2011年初中毕业暨升学考试）五边形的外角和等于（）A．180︒B．360︒C．540︒D．720︒【答案】B49.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）四边形的内角和等于__________．【答案】360︒50.【易】（天津市河西区2010学年度第二学期七年级期中阶段性质量调查数学试卷）如图，已知长边形ABCD，若沿图中虚线减去B∠，则剩下的多边形AEFCD的内角和为______．【答案】540︒51.【易】（2012年北京十二中第二学期期中考试试卷）六边形的内角和是__________【答案】720︒52.【易】（2009年北京55中初一下期中）一个八边形的内角和为________︒．【答案】1080n+时，它的内角和增加（）53.【易】（沈阳）当多边形的边数由n增加到1A．180︒B．270︒C．360︒D．120︒【答案】A54.【易】（2009年北京65中初一下期中）一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（）A．内角和增加360度B．外角和增加360度C．对角线增加一条D．内角和增加180度【答案】D55.【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）下面各角能成为某多边形的内角的和的是（）A．430︒B．4343︒C．4320︒D．4360︒【答案】C56. 【易】（2010中大附中期末考试）九边形中有一个内角等于120︒，则其它内角的和为___________．【答案】1140︒57. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一个多边形的每一个内角都是144︒，则它的内角和等于（） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒【答案】B58. 【易】（2012北大附初一下期中）若一个多边形的每个外角都等于30︒，则它的内角和等于_________．【答案】1800︒59. 【易】（2012年铁二中初一下期中）(北大附中2013学年度第二学期期末考试初一年级数学试卷)一个多边形的每一个外角都等于40︒，那么这个多边形的内角和为（） A ．1260︒ B ．900︒ C ．1620︒ D ．360︒ 【答案】A60. 【易】（2010武汉市新洲区初一下期末）已知多边形的每一个外角都是72︒，则该多边形的内角和是（） A ．700︒ B ．720︒ C ．540︒ D ．1080︒ 【答案】C∵多边形的每一个外角都是72︒，∴多边形的边数为：360572=， ∴该多边形的内角和为：()52180540-︒=︒×．61. 【易】（2012人大附初一上期中）若从一个多边形的一个顶点出发，可以引3条对角线，则这个多边形的内角和为___________．【答案】720︒62. 【易】（2010年湖北武汉华一寄宿学校）从n 边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n 边形的内角和等于（） A ．1260︒ B ．1440︒ C ．1620︒ D ．1800︒ 【答案】A63. 【易】（2011年松江区初中毕业生学业模拟考试）从多边形一个顶点可作9条对角线，则这个多边形内角和为________度．【答案】180064.【易】（2013年福建省泉州市初中毕业、升学考试）九边形的外角和为_________．【答案】360︒65.【中】（天津市河西区2011学年度第二学期七年级期中质量调查）动脑筋完成下表：四边形五边形六边形边形1 2 3四边形五边形六边形n边形多边形内外角66.【易】（2012年铁二中初一下期中）正n边形的每一个内角的度数为________，每一个外角的度数为________．【答案】()1802nn-度，360n度.67.【易】（2011年无锡市中考）正五边形的每一个内角都等于________︒．【答案】10868.【易】（2013年晋江市初中学业升学考试）正六边形的每个内角的度数为______．【答案】120︒69.【易】（2011年广东省初中毕业生学业考试）正八边形的每个内角为（）A．120︒B．135︒C．140︒D．144︒【答案】B70.【易】（2011年上海静安区九年级二模）正五边形每个外角的度数是_________．【答案】72︒71.【易】（2012北京中考）正十边形的每个外角等于（）A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒【答案】B72.【中】（武汉二中广雅中学七年级（下）数学月考（四））n>），锐角最多有（）个一个n边形中（4n-A．3 B．4 C．5 D．()3【答案】A73.【中】（耀华嘉诚2009学年第一学期九年级第二次月考）正多边形的一个中心角与该正多边形的一个外角的关系是（）A．互余B．互补C．相等D．互余或互补【答案】C74.【中】（2010年武珞路中学七年级下期中）一个多边形除了一个内角外，其余各内角的度数和为2550︒，则这个内角的度数为（）A．30︒B．60︒C．120︒D．150︒【答案】D75.【中】（2010湖北武汉武昌初一下期末）小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（）A．80︒B．85︒C．95︒D．100︒【答案】C76.【中】（2009武汉二中初一下期中）下列命题中：①如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．②一个多边形的内角中最多只能有3个锐角．③三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分．④有公共端点，有一条公共边且和为180°的两个角是邻补角．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C77.【中】（2009⑴ 内角和为2005︒，小明为什么说不可能？ ⑵ 小华求的是几边形的内角和？⑶ 错把外角当内角的那个外角的度数你能求吗？是多少度呢？【答案】⑴ 因为2005︒不是180︒的整数倍，所以小明说不可能；⑵ 依题意有()21802005x -⋅=，解得2513180x =．因而多边形的边数是13，该多边形为十三边形．⑶ 13边形的内角和是()1321801980-=×度，则错把外角当内角的那个外角的度数是2005198025-=︒．78. 【难】（天津竞赛题）如果一个凸n 边形的一个顶点引出的所有对角线把这个凸n 边形分成了m 个小三角形，若m 等于这个凸n 边形对角线条数的49，那么此n 边形的内角和为___________ 【答案】720︒综合求角度79. 【易】（2009年浙江省宁波市中考数学试题及答案）如图，1∠、2∠、3∠、4∠是五边形ABCD 的外角，且123470∠=∠=∠=∠=︒，则AED ∠的度数是（）2431E DC BAA ．110︒B ．108︒C ．105︒D ．100︒ 【答案】D80. 【易】（2013年河北省初中毕业生升学文化课数学试卷）如图11，四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB ，BC 上，将BMN △沿MN 翻折，得FMN △，若MF AD ∥，FN DC ∥，则B ∠=_________．【答案】95︒81. 【易】（2013年湖北省咸宁市中考数学试卷）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l BE ∥，则1∠的度数为（） A ．30︒ B ．36︒ C ．38︒ D ．45︒【答案】B82. 【易】（北京市西城区（南区）2012学年度第一学期期末）如图，六边形ABCDEP 是轴对称图形，CP 所在的直线是它的对称轴，若150APC BCP ∠+∠=︒，则APE BCD ∠+∠的大小是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B83. 【易】（南京市2013年初中毕业生学业考试数学试题）P BCDEA150︒300︒210︒330︒如图将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到AB C D '''的位置，旋转角090αα︒︒（＜＜）．若1110∠=︒，则α∠=____________︒．【答案】2084. 【易】（乐山市2013年高中阶段教育学校招生统一考试数学）如图7，在四边形ABCD 中，45A =∠°，直线l 与边AB AD 、分别相交于点M N 、，则12+=∠∠_______.【答案】225︒85. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）求下图中x 的值．【答案】60︒86. 【易】（天津市红桥区2011七年级第二学期期中考试数学）用一条宽度相同的足够长的线条，打一个结，如图所示，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE （五个角、五条边相等），其中BAC ∠的度数为__________度．1C′D′B′DCBAED CBAx °150°120°2x°1287. 【中】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）如图，在正五边形ABCDE 中，连结AC ，AD ，则CAD ∠的度数是__________︒．【答案】3688. 【中】（福建宁德中考）图⑴表示一个正五棱柱形状的高大建筑物，图⑵是它的俯视图．小健站在地面观察该建筑物，当他在图⑵中的阴影部分所表示的区域活动时，能同时看到建筑物的三个侧面，图中MPN ∠的度数为___________【答案】36︒89. 【中】（2012育鸿中学初一下期中）如图，在四边形ABCD 中，点E 在BC 上，180A ADE ∠+∠=︒，78B ∠=︒，60C ∠=︒，求EDC ∠的度数．【答案】42︒90. 【中】（2012年铁二中初一下期中）已知：如图，DC AB ∥，BAE BCD ∠=∠，AE DE ⊥，130D ∠=︒，求B ∠的度数．图（2）图（1）91. 【中】（2012年铁二中初一下期中）如图，四边形ABCD 中，40B ∠=︒，沿直线MN 剪去B ∠，则所得五边形AEFCD 中，12∠+∠=___________．【答案】220︒92. 【中】（2011年南京）如图，过正五边形ABCDE 的顶点A 作直线l CD ∥，则1∠=________．【答案】36︒93. 【中】（长春中考题）在平面内，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α等于_______度【答案】150︒94. 【难】（希望杯竞赛题）如图，延长凸五边形12345A A A A A 的各边相交得到5个角，即1B ∠，2B ∠，3B ∠，4B ∠，5B ∠，它们的和等于________；若延长凸n 边形()5n ≥的各边相交，则得到的n 个角的和等于_________1EC DBAlα【答案】180︒，()4180n -︒三、多边形对角线95. 【易】（2012北京十一中学七年级下期中）若一个多边形从任一个顶点，只可以引三条对角线，则它是（）边形 A ．四 B ．五 C ．六 D ．七【答案】C96. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）在凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，经过观察、探索、归纳，你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条？简单扼要地写出你的思考过程．【答案】2097. 【易】（山西省太原市初中数学竞赛试卷）在凸多边形中，四边形有两条对角线，五边形有5条对角线．观察探索凸十边形有（）条对角线． A ．29 B ．32 C ．35 D ．38 【答案】C98. 【易】（北京171初一下期中）若多边形每个角都是150︒，则从此多边形的一个顶点出发的对角线条数为（） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 【答案】C99. 【中】（2011年四川省广安市中考数学试卷）若凸n 边形的内角和为1260︒，则从一个顶点出发引的对角线条数是___________. 【答案】6100. 【中】（2011年广东省河源市初中毕业生学业水平考试与高中阶段学校招生考试）凸n边形的对角线的条数记作()4n a n ≥，例如：42a =，那么：①5a =______________；②65a a -=___________；③1n n a a +-=_________．（4n ≥，用n 含的代数式表示）【答案】5；4；1n -B 5B 4B 3B 2B 1A 5A 4A 3A 2A 1101. 【中】（2011深圳中学初二上期末）已知正n 边形共有3n +条对角线，其周长为x ，对角线长度之和为y ，试求yx的值．【答案】6n =，y x =四、平面镶嵌102. 【易】（2012教师进修初一下期中）只用下列正多边形，不能进行平面镶嵌的是（） A ．正三角形 B ．正四边形 C ．正六边形 D ．正八边形【答案】D103. 【易】（2012初一下检测）某市为了让居民有更多休闲和娱乐的地方，政府新建了几处广场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖．现有下面几种形状的正多边形地砖，其中不能进行平面镶嵌的是（） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形【答案】C104. 【易】（广州）只用下列正多边形地砖中的一种，能够铺满地面的是（）A ．正十边形B ．正八边形C ．正六边形D ．正五边形【答案】C105. 【易】（2010中大附中期末考试）在海珠广场修建的工程中，计划采用同一种正多边形地板铺设地面，在下面的地板砖：①正方形 ②正五边形 ③正六边形 ④正八边形中能够铺满地面的地板砖的种数有（） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种【答案】B106. 【易】（2012首师大附中初一下期中）商店出售下列形状的地砖：⑴正方形；⑵长方形；⑶正五边形；⑷正六边形；若只选购其中一种地砖镶嵌地面，则可供选择的地砖共有（） A ．1种 B ．2种 C ．3种 D ．4种【答案】C107. 【易】（武汉二中广雅中学2011下学期期末七年级数学）能与正六边形同时进行平面镶嵌的是（） A ．正方形 B ．正八边形 C ．正五边形 D ．正三角形【答案】D108. 【易】（2012陈经纶中学七年级下期中）如果在一个顶点周围用两个正方形和个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则的值是（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6n n【答案】A109. 【易】（2012学年度第二学期河南省实验中学期中试卷）用两个正三角形与下面的（）若干个可以形成平面镶嵌 A ．正方形 B ．正六边形 C ．正八边形 D ．正十二边形【答案】B110. 【易】（2012师达中学初一下期中）用正三角形和正六边形镶嵌平面，若每一个顶点处有2个正三角形，则有________个正六边形．【答案】2111. 【易】（2012北大附初一下期中）用边长相等的正三角形和正六边形镶嵌平面，若正三角形的个数为m 个，正六边形的个数为n 个，那么m 、n 满足的关系是________．【答案】26m n +=112. 【易】（2012育鸿中学初一下期中）一幅美丽的图案，在其顶点处由四个正多边形镶嵌而成，其中三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，则第四个为（） A ．正三边形 B ．正四边形 C ．正五边形 D ．正六边形【答案】B113. 【易】（2012年中关村中学初一下期中）一幅美丽的图案，在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中两个分别为正十二边形、正四边形，则另一个为（）A ．正三角形B ．正四边形C ．正五边形D ．正六边形【答案】D114. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）一幅图案．在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成．其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是______________．【答案】12115. 【易】（清华附中初一下期中）在下列四组多边形地板砖中，①正三角形与正方形；②正三角形与正六边形；③正六边形与正方形；④正八边形与正方形．将每组中的两种多边形结合，能密铺地面的是（）A ．①③④B ．②③④C ．①②③D ．①②④ 【答案】D116. 【易】（武汉二中初一下期中）装修房子铺地板，有下列规格的地板砖供挑选：①正方形②正三角形③正五边形④正六边形，若所有地砖的边长相等，使用其中的一种或两种规格的地砖，选择方案有（） A ．5种 B ．6种 C ．7种 D ．8种【答案】B117. 【易】（2010武汉洪山去初一下期末）用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A正八边形的每个内角为：1803608135︒-︒=︒÷，两个正八边形在一个顶点处的内角和为：2135270︒=︒×，那么另一个多边形的内角度数为：36027090︒-︒=︒， ∵正方形的每个内角和为90︒， ∴另一个是正方形．118. 【易】（2010年初二第二学期综合考试）如图所示，已知等边三角形ABC 的边长为1，按图中所示的规律，用2008个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（）A ．2008B ．2009C ．2010D ．2011【答案】C119. 【易】（河南省实验中学2011年内部中考数学第一轮复习资料4）请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案．【答案】120. 【易】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（丽水市卷））下述美妙的图案中，是由正三角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶嵌而成的为（）【答案】D121. 【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）如图，是由12个边长相等的正三角形镶嵌而成的平面图形，则图中的平行四边形共有_______个．ABCD【答案】21122. 【中】（2010年河北省中考题）如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B123. 【中】（沈阳初二）如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x ，y 表示直角三角形的两直边（>x y ），下列四个说法：①2249+=x y ，②2-=x y ，③2449+=xy ，④9+=x y ．其中说法正确的是（）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】B124. 【中】（浙江省2009年初中毕业生学业考试（衢州卷））陈老师要为他家的长方形餐厅（如图）选择一张餐桌，并且想按如下要求摆放：餐桌一侧靠墙，靠墙对面的桌边留出宽度不小于80cm 的通道，另两边各留出宽度不小于60cm 的通道．那么在下面四张餐桌中，其大小规格符合要求的餐桌编号是_____________（把符合要求的编号都写上）．x yG FHEDCBA【答案】①②③④125.【中】（漳州中考题）我们知道形状为正五边形的地砖不能铺满地面，但某公园的一段路面是用型号相同的特殊的五边形地砖铺成的．如图，是拼铺图案的一部分，其中每个五边形有3个内角相等，那么这3个内角都等于________度【答案】120五、多边形综合中心角、边心距、外接/内切圆126.【易】（奉贤区调研测试）如果正多边形的中心角等于30︒，那么它的每个内角为_________度；【答案】150127.【易】（上海普陀区初三下质量调研）中心角是40︒的正多边形的边数是_____________【答案】9128.【易】（2013年天津市初中毕业生学业数学考试试卷）正六边形的边心距与边长之比为（）A3B2C．1:2D2CDEBA（第15题）桌面是边长为80cm的正方形桌面是长、宽分别为100cm和64cm的长方形桌面是半径为45cm的圆桌面的中间是边长为60cm的正方形，两头均为半圆【答案】B129.【中】（肇庆市2011年初中毕业生学业考试数学试题））A．6 B．12 C．D．【答案】B130.【中】（2011年上海金山区初三二模）已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C131.【中】（学年第一学期南汇区九年级数学期末质量抽查试卷）正六边形的边心距为3，则它的半径长为_________，面积为_________．【答案】，132.【中】（莆田市毕业考试）一个圆内接正六边形的边长为2，那么这个正六边形的边心距为_________．133.【中】（天津市初中毕业生学业考试试卷）边长为的正六边形的内切圆的半径为（）A．2a B．a CD．12a【答案】C134.【中】（台州市初中学业水平考试）如图，O的内接多边形周长为3，O的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（）ABaCD【答案】C圆外切多边形的周长大于圆周长，圆内接多边形的周长小于圆周长．圆的内接多边形周长为3，外切多边形周长为3.4，所以圆周长在3与3.4之间．只有C选项满足条件．135.【中】（2009年安徽省芜湖市中考）小赵对芜湖科技馆富有创意的科学方舟形象设计很有兴趣，他回家后将一正五边形纸片沿其对称轴对折．旋转放置，做成科学方舟模型．如图所示，该正五边形的边心距OBAC为科学方舟船头A到船底的距离，请你计算12AC AB+=______________．（不能用三角函数表达式表示）136.【中】（杭州市各类高中招生文化考试）如图，有一个圆O和两个正六边形1T，2T．1T的6个顶点都在圆周上，2T的6条边都和圆O相切（我们称1T，2T分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．⑴设1T，2T的边长分别为a，b，圆O的半径为r，求:r a及:r b的值；⑵求正六边形1T，2T的面积比12:S S的值．【答案】⑴连接圆心O和1T的6个顶点可得6个全等的正三角形．所以:1:1r a=；连接圆心O和2T相邻的两个顶点，得以圆O半径为高的正三角形，所以:2r b=；B门。

2020年中考数学人教版专题复习：多边形

2020年中考数学人教版专题复习：多边形一、学习目标：1.了解多边形的有关概念，了解多边形的内角和与外角和；2.知道什么样的图形可以镶嵌平面，能进行简单的镶嵌设计．二、重点、难点：重点：多边形的内角和公式与外角和．难点：多边形能覆盖平面需要满足的条件．三、考点分析：本讲内容在中考试卷中多以填空题、选择题的形式出现，属基本内容，主要考点有两个：1.多边形的边数与角度的换算，对角线的条数和边数之间的关系；2.用一种或几种正多边形镶嵌成一个平面，进行简单的镶嵌设计．知识梳理1.多边形的有关概念（1）在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（3）各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．2.多边形的内角和与外角和（1）n边形的内角和等于（n－2）·180°．（2）n边形的外角和等于360°．ABCDEF ABC DE123453.镶嵌（1）用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）．（2）一般地，多边形能覆盖平面需要满足两个条件：①拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）；②相邻的多边形有公共边．典型例题知识点一：多边形及其内角和例1. 一个十二边形有几条对角线？思路分析：题意分析：本题考查多边形的边数和对角线条数之间的关系．解题思路：过十二边形的任意一个顶点可以画9条对角线，但每条对角线在每个顶点都重复计算了一次，所以实际对角线的条数应该为12×9÷2＝54（条）．解答过程：十二边形的对角线共有54条．解题后的思考：对于一个n 边形的对角线的条数，我们可以总结出规律，共有n （n －3）2条，牢记这个公式，以后只要用相应的n 的值代入即可求出对角线的条数．例2. 已知一个多边形的内角和与外角和之比为7∶2，求这个多边形的边数．思路分析：题意分析：本题考查多边形内角和公式的应用及外角和．解题思路：由于多边形的外角和与边数无关，为360°，故此题只要根据7∶2的关系列出方程，解方程即可．解答过程：设这个多边形的边数为n ．根据题意，得（n －2）·180°360°＝72．解得，n ＝9．解题后的思考：此类问题多是通过等量关系建立方程来求边数．例3. 正五边形的一个内角的度数是__________．思路分析：题意分析：本题考查正多边形的性质和多边形的内角和公式．解题思路：根据题意得正五边形的每个内角的度数为（5－2）×180°5＝108°．解答过程：108°解题后的思考：n 边形的内角和公式为（n －2）·180°，正多边形的每个内角都相等，如果设其内角为x °，则5x ＝（5－2）×180，可解得x ＝108．或利用外角和列方程：180－x ＝360÷5．例4. 如图所示，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．AB CDEF思路分析：题意分析：这个多边形不是我们通常研究的多边形类型，需先进行转化，将其变成凸多边形，再用多边形的内角和公式求解．解题思路：要求六个角之和，则需在同一个多边形中，故需连接BF 将原多边形转化为四边形．解答过程：连接BF．A BCDEF 12因为∠1＝∠C＋∠D，∠1＝∠CBF＋∠DFB，所以∠C＋∠D＝∠CBF＋∠DFB．所以∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠DFE＝∠A＋∠ABC＋∠CBF＋∠DFB＋∠E＋∠DFE＝∠A＋∠ABF＋∠BFE＋∠E＝360°．解题后的思考：多边形问题常通过连接两点或对角线从而转化为三角形或四边形的问题来解决．例5.如图所示，已知在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝75°，将△ABC的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，∠2的度数是多少？这个结论是如何得出来的？AB C D12思路分析：题意分析：可把∠2看作四边形ABED一个内角的一部分．解题思路：解本题的基本思路是：在△ABC中求出∠C，在△CED中求出∠CDE＋∠CED，在四边形ABED中求出∠1＋∠2，进而求出∠2．解答过程：∠2＝70°．因为∠A＝60°，∠B＝75°，所以∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝45°．所以∠CDE＋∠CED＝180°－∠C＝135°．所以∠1＋∠2＝360°－（∠A＋∠B＋∠CDE＋∠CED）＝90°．又因为∠1＝20°，所以∠2＝70°．解题后的思考：折叠前后∠C的度数不变，是解此题的关键．例6.如图所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，边长AB＝2cm，BC＝8cm，CD＝11cm，DE＝6cm，求这个六边形的周长是多少？ABC D EF思路分析：题意分析：在这个六边形中，有四条边长已知，求其周长关键是要求出AF和EF的长．解题思路：由题意中各角都为120°，想到它的外角为60°，如果延长各边，能得到4个等边三角形，从而求得EF、AF的长．解答过程：向两边分别延长AB、CD、EF，如图所示，得△PQR．ABC DE FPQ R因为∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP＝60°，所以∠P＝60°．所以∠P＝∠PAF＝∠AFP．所以△PAF为等边三角形．同理△BCQ、△DER均为等边三角形．所以△PQR也为等边三角形．所以CQ＝BQ＝BC＝8（cm），DR＝ER＝DE＝6（cm）．所以QR＝8＋11＋6＝25（cm），AF＝PA＝PQ－AB－BQ＝25－2－8＝15（cm），EF＝PR－PF－ER＝25－15－6＝4（cm）．所以六边形ABCDEF的周长为2＋8＋11＋6＋4＋15＝46（cm）．解题后的思考：当题中涉及到120°、60°、45°、30°等特殊角时，应想到把它们转到特殊三角形中，如等边三角形、直角三角形等．本题就是把AF和EF转化成等边三角形的边，利用等边三角形的性质来求解的．小结：有关多边形的问题，常考查对角线的条数，多边形的内角和，外角和等知识，熟记其中蕴含的规律性的东西，遇到这些问题时就能迎刃而解．知识点二：平面镶嵌例7.如果限定用一种正多边形镶嵌，在下面的正多边形中，不能镶嵌成一个平面的是（）A.正三角形B.正方形C.正六边形D.正八边形思路分析：题意分析：本题考查用同种正多边形镶嵌平面．解题思路：当正多边形的一个内角的度数是360°的约数时，用这样的正多边形能镶嵌平面．题目中A 、B 、C 项的内角度数均是360°的约数，而只有D 项不符合，因为正八边形每个内角的度数为（8－2）×180°8＝135°，显然135°不是360°的约数，所以限定用正八边形这一种正多边形来镶嵌，不能镶嵌成一个平面，故选D ．解答过程：D解题后的思考：判断用同种正多边形能不能进行镶嵌时，只需用360°除以这个正多边形的内角．如果能整除，就能进行平面镶嵌；如果不能整除，就不能进行平面镶嵌．例8. 我们常见到如图所示图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样的材料能铺成平整、无空隙的地面．（1）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（2）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．思路分析：题意分析：这是一道平面镶嵌的实际应用问题．解题思路：解答此题时要注意观察周围环境中的镶嵌问题，从中找到灵感，还要进行多次尝试，善于创新．解答过程：（1）符合要求的铺地方案很多，下面提供几例作为参考．（2）符合要求的铺地方案很多，下面提供几例作为参考．解题后的思考：在实际生活中，镶嵌平面时最常用的是四边形，有时也会用三角形和六边形，不管用什么样的图形，只要满足镶嵌的条件即可．小结：平面镶嵌的关键是使拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°．提分技巧本讲我们探索归纳了几条规律，正确利用这些规律可大大加快解题速度和准确程度： 1. n 边形的对角线条数：n （n －3）2．2.n边形的内角和：（n－2）·180°，n边形的外角和是360°，与边数无关．3.根据镶嵌的定义可知，用一种相同的多边形能否镶嵌平面，关键是看这种多边形的几个内角之和是否等于360°（或180°），如图①和②所示；用一种相同的正多边形能否镶嵌平面，关键是看周角360°能否被正多边形的一个内角的度数整除，如图③④⑤所示．用多种多边形镶嵌平面时，如图⑦⑧⑨所示，要看两点：a.拼接在同一个点的各个角的和恰好等于360°（周角）；b.相邻的多边形有公共边．①②③④⑤⑥⑦⑧同步测试一、选择题1.一个多边形的每个内角都等于120°，这个多边形的边数为（）条A. 5B. 6C. 7D. 82.用正四边形一种图形进行平面镶嵌时，它在一个顶点周围的正四边形的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个3.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1260°，那么它的一个外角为（）A. 30°B. 36°C. 40°D. 45°4.多边形的内角和不可能是（）A. 810°B. 540°C. 1800°D. 180°5.如果多边形的边数增加1，则多边形的内角和、外角和分别（）A.增加180°，增加180°B.不变，增加180°C.不变，不变D.增加180°，不变6.能够铺满地面的正多边形组合是（）A.正八边形和正方形B.正五边形和正十边形C.正四边形和正六边形D.正四边形和正七边形*7.在n边形一边上取一点与各顶点相连，可得三角形的个数为（）A.n个B.（n－2）个C.（n－1）个D.（n＋1）个*8.过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形，这个多边形的边数为（）条A. 9B. 10C. 11D. 12二、填空题9.在正六边形ABCDEF中，∠A＝120°，AB＝2cm，则∠D＝__________，DE＝__________．10.一个正多边形的每个外角都是72°，则这个多边形是__________边形．11.n（n为整数，且n≥3）边形的内角和比（n＋1）边形的内角和小__________度．12.从n边形的一个顶点出发共引出了5条对角线，则这个n边形是__________边形，这5条对角线把n边形分成了__________个三角形．*13.如果用三种正多边形地砖镶嵌地面，一个顶点处已有一个正方形和一个正六边形地砖，则还需一个正__________边形地砖．**14.用正三角形与正方形两种图案作平面镶嵌，设在一个顶点周围有a个正三角形和b个正方形，则a＝__________，b＝__________．三、解答题15.若一个多边形的各边都相等，周长为63，且内角和为900°，求它的边长．16.如图所示，（1）四边形共有__________条对角线，五边形共有__________条对角线，六边形共有__________条对角线；（2）你能说出七边形共有多少条对角线吗？（3）由（1）、（2），请猜想n边形的对角线的总条数，说说你的理由．四边形五边形六边形*17.将五边形截去一个角后所得的多边形有几条对角线？*18.小军在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了之后，重新检查，发现是少加了一个内角，求：（1）这个多边形是几边形？（2）这个内角是多少度？四、拓广探索**19.（1）填表：（2）如果限用一种正多边形进行平面镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边（方）形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出这两种不同的正多边形进行平面镶嵌的草图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形，说明你的理由．试题答案一、选择题1. B2. C3. C 解析：因为（n －2）·180°＝1260°，解得n ＝9．这个多边形的每个内角都相等，每个外角也都相等．所以它的一个外角是360°÷9＝40°．4. A 解析：用内角和公式验证．5. D 解析：外角和与边数无关，故不变．内角和的变化从公式（n －2）·180°中可以看出，n 增加1，内角和增加180°．6. A 解析：正八边形的一个内角是135°．在一个顶点处，两个正八边形和一个正方形可拼出135°×2＋90°＝360°．所以正八边形和正方形组合能铺满地面．7. C 解析：可采用归纳猜想法，当n ＝3时，得三角形2个；当n ＝4时，得三角形3个；…；n 边形得三角形（n －1）个．8. C 解析：过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成的9个三角形中，除去两端各一个三角形，中间的7个三角形分别含有多边形的一条边，两端的三角形各含有多边形的两条边．所以多边形的边数是2＋7＋2＝11（条）．二、填空题9. 120°，2cm 10. 正五 11. 18012. 八，6 解析：这5条对角线是从一个顶点引出的，并不是所有的对角线条数． 13. 十二解析：根据题意，另一个正多边形的内角是360°－90°－120°＝150°，所以（n －2）·180°＝150°×n ，解得n ＝12．14. 3，2 解析：根据题意有60°×a ＋90°×b ＝360°，即2a ＋3b ＝12，且a 、b 为正整数，解得a ＝3，b ＝2．三、解答题15. 解：设该多边形有n 条边，则（n －2）×180°＝900°，解得n ＝7．因为63÷7＝9，所以这个多边形的边长为9．16. 解：（1）2，5，9（2）14．因为过七边形的一个顶点可引4条对角线，故过7个顶点可引28条对角线，由于每条对角线均重复计算一次，所以七边形共有14条对角线（3）n 边形共有（n －3）×n2条对角线，理由与（2）类似．17. 解：因为将五边形截去一个角后可能得到四边形、五边形、六边形三种（如图所示）多边形．当得到四边形时，有12×4×（4－3）＝2条对角线；当得到五边形时，有12×5×（5－3）＝5条对角线；当得到六边形时，有12×6×（6－3）＝9条对角线．18. 解：（1）设这是一个n 边形，则（n －2）·180°＝1125°，n ＝8.25，故这个多边形是九边形；（2）135°．设这个内角为x °，则（9－2）×180°＝1125°＋x °，解得x ＝135．四、拓广探索19. 解：（1）60°，90°，108°，120°，（n －2）·180°n．（2）根据角的度数知，正三角形、正方形、正六边形可完成平面镶嵌．（3）如正方形和正八边形，草图如图所示，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，则m ·90°＋n ·135°＝360°，即2m ＋3n ＝8，因为m 、n 为正整数，所以m ＝1，n ＝2．所以这两种正多边形只能镶嵌成一种图形．。

人教版2020八年级数学上册第11章 11.3 多边形及其内角和多边形的外角和教案 (新版)新人教版

多边形的外角和课题：多边形的外角和课时第二课时教学设计课标要求探索并掌握多边形外角和公式教材及学情分析多边形的一个外角可以用相邻的内角表示，这样外角的问题就转化为内角的问题。

运用例2的思路，n边形的外角和是n个平角减去多边形的内角和。

多边形的内角和恒等于360°，与边数的多少无关，这一点与内角和不同，要让学生注意。

本节内容的展开运用了类比、推广的方法，以及把复杂问题转化为简单问题、化未知为已知的思想方法等，教学中应结合具体内容让学生加以体会。

学生以接触过类比思想，通过类比归纳总结对学生难度不大。

课时教学目标1、探索多边形外角和公式，并能运用公式解决简单的问题。

2、通过求三角形、四边形、五边形外角和，运用类比的方法得出多边形外角和计算公式。

3、经历探索类比总结规律的过程，激发学生学习的兴趣。

重点多边形外角和公式难点多边形外角和公式的推导教法学法指导教具准备PPT教学过程提要环节学生要解决的问题或完成的任务师生活动设计意图引入新课创设情境1、什么是三角形的外角？外角有什么性质？2、三角形的外角是多少度？3、我们是如何计算三角形的外角和的呢？4、多边形的内角和是如何计算的呢？通过问题回顾三角形内角和定理，引导学生这个定理探索多边形的内角和教学过程探索多边形内角和如图，你能仿照上面的方法求四边形的外角和吗？四边形外角和=4个平角－四边形内角和=5×180°－(4－2) × 180°=360 °如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做五边形的外角和．五边形的外角和等于多少？如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？1234ABCDEF56通过运用平角的定义和多边形内角和定理逐步推导多边形外角和，培养学生归纳总结规律的能力巩固练习n边形外角和3、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组4、正n边形的每一个外角等于___.每一个内角等于 ,它是几边形？(n-2).180=3×360 行综合运用，培。

初中数学：多边形的内角和与外角和题型总结

1、多边形的内角和等于（n-2）180˚，n是多边形的边数。

2、多边形的外角和等于360˚。

这两个结论的证明也比较简单，在这里简单说明一下。

1、一个多边形，边数为n，将一个顶点与其它顶点相连，可以把这个多边形分割成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是360˚，所以多边形的内角和就是（n-2）180˚。

2、一个多边形，边数为n，每一个内角和它相邻的外角构成一个平角，n条边就构成n 个平角。

外角和就等于n个平角减去多边形的内角和，也就是360˚。

这两个知识在考查时，主要有四种类型，我们来看一下。

1、考查多边形边数和内角和的关系。

这类型题主要是知道边数求出内角和，或者知道内角和求出边数。

第（1）题，知道边数，求内角和。

第（2）题，知道内角和，求边数。

第（3）题，稍微复杂，两个多边形，知道边数之比和内角和之比，列方程求出边数。

第（4）、（5）、（6）题，稍为复杂，知道边数，先求出内角和，再去求多边形中的某个内角。

这些题型都比较简单。

这里还有一道题比较复杂一点，同学们可以尝试做一下。

2、外角和与内角和相结合这类型的关键点是，要知道多边形的内角和是隐藏的已知量，它等于360˚。

这类题型都是根据多边形内角和与外角和的关系，列一个方程，求出边数。

3、多边形，少一个角，其余内角和是一定值。

这种题型，运用到了不等式，是一个难点和重点。

它的运用的知识是，多边形的一个内角，它的取值范围是大于0，小于180。

除去的这个角的度数等于内角和减去其余内角和，据此，可以列一个不等式组，进行求解。

下面有练习，大家可以试一下。

4、正多数形正多边形的内角相等，边相等。

考查类型，1、知道边数，求内角；2、知道内角，求边数；3、知道外角，求边数。

在考试中，经常考察的方式是这样的。

初中数学竞赛资料第二辑专题14 多边形的边与角

专题14多边形的边与角阅读与思考主要是指多边形的边、内外角、对角线、凸多边形、凹多边形等基本概念和多边形内角和定理、外角和定理，其中多边形内、外角和定理是解有关多边形问题的基础．多边形的许多性质与问题往往可以利用三角形来说明、解决，将多边形问题转化为三角形问题是解多边形问.题的基本策略，转化的方法是连对角线或向外补形．多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，但外角和却总是不变的，所以，我们常以外角和的“不变”来制约内角和的“变”，把内角问题转化为外角问题来处理，这是解多边形相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】两个凸多边形，它们的边长之和为12，对角线的条数之和为19，那么这两个多边形的边数分别是＿＿＿＿和＿＿＿＿．（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：设两个凸多边形分别有m，n条边，分别引出(3)2m m-，(3)2n n-条对角线，由此得m，n方程组．【例2】凸边形有且只有3个钝角，那么n的最大值是（）A．5B．6C．7D．8解题思路：运用钝角、锐角概念，建立关于n的不等式，通过求解不等式逼近求解．【例3】凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值．（山东省竞赛试题）解题思路：利用n边形内角和公式，以及边数n为大于等于3的自然数这一要求，推出该角大小，进而求出n的值．【例4】如图，凸八边形ABCDEFGH的八个内角都相等，边AB，BC，CD，DE，EF，FG的长分为7，4，2，5，6，2，求该八边形的周长．（全国通讯赛试题）解题思路：该八边形每一内角均为135°，每一外角为45°，可将八边形问题转化为特殊三角形解决、特殊四边形加以解决．A BCD EFGH【例5】如图所示，小华从M点出发，沿直线前进10米后，向左转20°，再沿直线前进10米后，又向左转20°，…这样走下去，他第一次回到出发地M时，行走了多少米？解题思路：试着将图形画完，你也许就知道答案了．20︒20︒20︒M能力训练A级1．如图，凸四边形有＿＿＿个；∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝＿＿＿．（重庆市竞赛试题）ABCD EF G第1题ABCD第2题2．如图，凸四边形ABCD的四边AB，BC，CD和DA的长分别为3，4，12和13，∠ABC＝90°，则四边形ABCD 的面积为＿＿＿．3．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝＿＿＿．A BC DE F G 第3题AB CD247x第4题第7题4．如图，ABCD 是凸四边形，则x 的取值范围是＿＿＿．.5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A ．9条B ．8条C ．7条D ．6条（“祖冲之杯”邀请赛试题）6．—个凸n 边形的内角和小于1999°，那么n 的最大值是（）（全国初中联赛试题）A ．11B ．12C ．13D ．147．如图，是一个正方形桌面，如果把桌面砍下一个角后，桌面还剩（）个角．A ．5个B ．5个或3个C ．5个或3个或4个D ．4个8．—个凸n 边形，除一个内角外，其余1n 个内角的和为2400°，则n 的值是（）A ．15B ．16C ．17D ．不能确定9．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝8，∠A ＝60°，∠D ＝150°，四边形周长为32，求BC 和DC 的长．ABCD10．—个凸n 边形的最小内角为95°，其他内角依次增加10°，求n 的值．（“希望杯”邀请赛试题）11．平面上有A，B，C，D四点，其中任何三点都不在一直线上，求证：在△ABC，△ABD，△ACD，△BDC中至少有—个三角形的内角不超过45°．（江苏省竞赛试题）12．我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料铺成的，这样形状的材料能铺成平整的、无空隙的地面．问：（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图．（安徽省中考试题）B级1．一个正m边形恰好被正n边形围住（无重叠、无间隙，如图所示是m＝4，n＝8的情况），若m ＝10，则n＝＿＿＿＿．第1题AB CDEF第2题1A1B2A2B3B4B5B3A4A5A第3题2．如图，六边形ABCDEF中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F，且AB＋BC＝11，FA CD＝3，则BC＋DE＝＿＿＿＿．（北京市竞赛试题）3．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到五个角：∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于＿＿＿．若延长凸n 边形（n ≥5）的各边相交，则得到的n 个角的和等于＿＿＿＿．（第十二届“希望杯”邀请赛试题）4．如图，在四边形ABCD 中，AB＝4BC ＝1，CD ＝3，∠B ＝135°，∠C ＝90°，则∠D ＝（）A ．60°B ．67.5°C ．75°D ．不能确定（重庆市竞赛试题）ABCD第4题O ABCD第5题5．如图，已知O 是四边形ABCD 内一点，OA ＝OB ＝OC ，∠ABC ＝∠ADC ＝70°，则∠DAO ＋∠DCO 的大小是（）A ．70°B ．110°C ．140°D ．150°6．在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数为（）A ．12B ．12或13C ．14D ．14或15（江苏省竞赛试题）7．一个凸十一边形由若干个边长为1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸十一边形各个内角大小，并画出这样的凸十一边形的草图．（全国通讯赛试题）8．一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果使用较小的相同正方形地砖，那么需n ＋76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n 的值．（上海市竞赛试题）9．设有一个边长为1的正三角形，记作A1如下左图，将A1的每条边三等分，在中间的线段上各向形外作正三角形，去掉中间的线段后得到的图形记作A2（如下中图）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如下右图）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，求A4的周长．A2A3A1（全国初中数学联赛试题）10．在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案．也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫作平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（360°）时，就拼成了一个平面图形．（1）请根据下列图形，填写表中空格：正多边形边数3456…n正多边形每个内角的度数60°90°（2）如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？（3）从正三角形、正四边形、正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形（草图）；并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形．说明你的理由．专题14多边形的边与角例157例2B例3n ＝17提示：设此角为x ，则（n －2）×180°＝x ＋2570°，得2570360180x n +︒+︒=︒，x ＝130°，此时n ＝17.例4双向延长AB ，CD ，EF ，GH 得四边形MNPQ ，如图，原八边形的内角都相等，其每一内角均为(82)1801358-⨯︒=︒，每一外角均为45°，因此MNPQ 为长方形，△BPC ，△DQE ，△FMG ，△ANH .＝x ，，由MQ ＝MF＋FE ＋EQ ＝NA ＋AB ＋BP 5226722y +=++，∴3y =-∵MN ＝QP ，∴x ＝3＋，∴周长＝7＋4＋2＋5＋6＋2＋3＋＋3＝32＋.例5将整个图形画完，就知道是一个边长为10米的正多边形，且每个外角的大小都是20°，由多边形的外角和等于360°知这是一个18边形，所以小华第一次回到M 点时走的总路程是180米.A 级1.7；540°2.363.540°4.1＜x ＜135.D6.C7.C8.A9.BC ＝10，DC ＝610.n ＝611.提示：分构成凸四边形和凹四边形两种情况讨论，并用反证法加以证明推出矛盾.12.(1)所用材料的形状不能是正五边形,因为,正五边形的每个内角都是108°,要铺成平整的,无空隙的地面,必须使若干个正五边形拼成一个周角，但找不到符合条件的以n ×108°=360°的n 值,故不能用形状是正五边形的材料铺地面.⑵⑶略.B 级1.5 2.143.180°;(n －4)180°4.B5.D 由OA=OB=OC 得∠BAO=∠ABO,∠BCO=∠OBC,所以∠DAO+∠DCO=360°－3×70°=150°6.D7.提示：因凸十一边形由正方形或正三角形拼成，故其内角的大小只能是60°,90°,120°,\150°四种可能,设这些角的个数分别为x ,y ,z ,w ,则116090120150(112)180x y z w x y z w +++=⎧⎨+++=-⨯⎩解得x =y =0,z =1,w =10.说明这个十一边形一个内角为120°,由两个正三角形的内角拼成，其余10个角均为150°,由一个正三角形内角与一个正方形内角拼成,图略.8.n =3249.649提示：从A 1开始,每进行一次操作,所得到的图形的周长是原来图形周长的43倍.10.(1)108°;120°;()02180n n-⨯(2)正三角形、正四边形(或正方形)正六边形.假定在接合处一共有k 块正边形地砖，由于正n 边形的所有内角都相等，则()002180360n k n-⨯= 即24222n k n n ==+--.因k 为整数，故n －2|4，n —2=1，2，4，得n=3,4或6，由此可见，只有三种正多边形的瓷砖，可以按要求铺地，即正三角形、正方形和正六边形.(3)如:正方形和正八边形，草图如下，设在一个顶点周围有m 个正方形的角，n 个正八边形的角，那么，m ，n 应是方程m ·90°+n ·135°=360°的整数解.即2m +3n =8的整数解.∵这个方程的整数解只有12m n =⎧⎨=⎩一组∴符合条件的图形只有一种.。

多边形的边角与对角线

多边形的边角与对角线知识纵横边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和，多边形内、外角和定理，不等式，方程等知识。

将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成(n-2)个多角形，共可引出2)3(nn条对角线。

例题求解例1（1）边数为偶数的两个正多边形的内角和为1800°，则两个正多边形的边数分别为______(2）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=n*90°,则n=_________思路点拔：对于（1），设两多边形边数分别为a,b，由内角和公式建立a,b的方程；对二（2），恰当连线或利用角的转换，将凹多边形内角和转化为凸多边形内角和。

例2.在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A.0B. 1C. 3D. 5思路点拔多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨。

练习：凸n边形中有且仅有两个内角为钝角，则n的最大值为_________.例3.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，求这个多边形的边数。

思路点拔设除去的角为x°,y°，多边形的边数为n,又0<x<180°, 0<y<180°,又可得到关于n的不等式。

注意n为自然数的隐含条件。

练习：在一个n边形中，除了一个内角外，其余(n-1)个内角的和为2750°，则这个内角度数为_________.能力拓展1.如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a 3,第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a 4, ...,以此类推，由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数记为a n (n ≥3），则a 5的值是______。

多边形的边与角新思维初中数学

23.多边形的边与角解读课标大街上的行人道，装修一新的居家，在许多地方，我们可以看到各种形状（呈多边形）的地砖或瓷砖铺成的漂亮的地面和墙面.一般地，由n条不在同一直线上的首尾顺次连接组成的平面图形称为n边形，又称多边形.边、角、对角线是多边形中最基本的概念.多边形的许多性质常可以用三角形来说明、解决，连对角线或向外补形，是把多边形问题转化为三角形问题来解决的基本策略.n-⨯︒随n的变化而变化，而多边形多边形的内角和性质反映出一定的规律性：()2180的外角和性质反映出更本质的规律：外角和是360°的一个常数.把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形相关问题的常用技巧.问题解决例1 如图，A B C D E F∠+∠+∠+∠+∠+∠=.（河南省竞赛题）例1图例4图试一试运用三角形外角的性质，或连线运用对顶角三角形的性质，把分散的角加以集中.例2 凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形边数的最大值是（）A.4B.5C.6D.7试一试把凸多边形内角问题转化为外角问题.例3 凸n边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n的值.试一试设除去的角为x︒，可建立关于x，n的不定方程；又0180x︒<<︒，又可得到关于n的不等式，故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.例4 如图四边形ABCD 中，已知,,,AB CD AD BC AE BC E AF CD F ⊥⊥∥∥于于，求证：180BAD EAF ∠+∠=︒.试一试从四边形AECF 内角和入手.例5 （1）如图①，任意画一个五角星，求A B C D E ∠+∠+∠+∠+∠的度数. （2）如图②，用“一笔画”方法画成的七角形，求A B C D E F G ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠度数.（3）如图③，用“一笔画”方法画成的21n +角形（2n ≥），且12221n n B B B B + 是凸21n +边形，求123221n n A A A A A +∠+∠+∠+∠+∠+ 度数.等角六边形法国著名数学家傅里叶曾说：“对自然界的深刻研究是数学发现的最丰富的源泉.”蜂房结构、飞舞雪花肥皂泡的聚接等，六边形备受自然界的青睐.例6定义：六个内角相等的六边形叫等角六边形. （1）研究性质①如图1，等角六边形ABCDEF 中，三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么位置关系？证明你的结论.②如图2，等角六边形ABCDEF 中，如果有AB=DE ，则其余两组正对边BC 与EF ，CD 与AF 相等吗？证明你的结论.③如图3，等角六边形ABCDEF 中，如果三条正对角线AD ，BE ，CF 相交于一点O ，那么三组正对边AB 与DE ，BC 与EF ，CD 与AF 分别有什么数量关系？证明你的结论.（2）探索判定三组正对边分别平行的六边形，至少需要几个内角为120°，才能保证六边形一定是等角六边形？数学冲浪知识技能广场1.平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则312_____∠+∠-∠=度.（2015年河北省中考题）2.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510︒，则这个多边形对角线的条数是.（2015年山东省莱芜市中考题）1题3题4题3.如图，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=度.4. 用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图1.用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为（）（河北省中考题）5题6题7题5. 将五边形纸片ABCDE按如图方式折叠，折痕为AF，点E. D分别落在E′、D′，已知76AFC∠=︒，则∠CFD′等于( )A.31°B.28°C.24°D.22°（湖北省武汉市中考题）6.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P的度数为( )A.1902α︒- B.1902α︒+ C.12α D.360α︒-（四川省达州市中考题）7.如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340︒的新多边形，则原多边形的边数为（）. A.13 B.14 C.15 D.16（贵州省毕节市中考题）8.一个多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是 ( )A.9条B.8条C.7条D.6条9. 如图，已知,,,130DC AB BAE BCD AE DE D ∠=∠⊥∠=︒∥，求∠B 的度数.（江苏省竞赛题）9题11题10.P 表示n 边形对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P 与n 的关系式是：212(4)()n n P n an b -=∙-+ (其中a ，b 是常数，n ⩾4) (1)填空：通过画图可得：四边形时，P =___(填数字);五边形时，P =___(填数字).(2)请根据四边形和五边形对角线的交点个数，结合关系式，求a 和b 的值.(注：本题中的多边形均指凸多边形)（2015年湖南省株洲市中考题）思维方法天地11.如图，一个六边形的内角都相等，其中4条边的边长分别是3，7，4，8，则另外两条边的长度的和a b +=.（第25届“希望杯”邀请赛试题）12.一个多边形截去一个(三角形状的)角后，形成另一个多边形，其内角和是3060°，则原多边形是______边形．（《时代学习报》数学文化节试题）13.如图，若120CGE ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=___. 14. 如图，求A B C D E F G H I K ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数为.BAFE DC应用探究乐园21. 在平面直角坐标系中，若点()P x y ，的坐标x y ，均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1,0,4S N L ＝＝＝. (1) 求出图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 的值；(2) 已知格点多边形的面积可表示为S N aL b ＝＋＋，其中a ，b 为常数.若某格点多边形对应的82,38N L ＝＝，求S 的值.（四川省宜宾市中考题）22. 如图是一个多边形，求1232324A A A A A ∠+∠+∠++∠+∠ 的度数.（世界数学团体锦标赛试题）。

多边形的边角与对角线

第十四讲多边形的边角与对角线边、角、对角线是多边形中最基本的概念，求多边形的边数、内外角度数、对角线条数是解与多边形相关的基本问题，常用到三角形内角和、多边形内、外角和定理、不等式、方程等知识.多边形的内角和定理反映出一定的规律性：（n —2）X 180°随n的变化而变化；而多边形的外角和定理反映出更本质的规律；360。

是一个常数，把内角问题转化为外角问题，以静制动是解多边形有关问题的常用技巧.将多边形问题转化为三角形问题来处理是解多边形问题的基本策略，连对角线或向外补形、对内分割是转化的常用方法，从凸n边形的一个顶点引出的对角线把凸n边形分成（n -2）个多角形，凸n边形一共可引出W）对角线.例题求解【例1】在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是_______ .（第17届江苏省竞赛题）思路点拨设除去的角为。

，y°,多边形的边数为n,可建立关于x、y的不定方程；又0 ° <x<180 ° , 0° <y<180。

，又可得到关于n的不等式.故有两种解题途径，注意n为自然数的隐含条件.链接世界上的万事万物是一个不断地聚合和分裂的过程，点是几何学最原始的概念，点生线、线生面、面生体，几何元素的聚合不断产生新的图形，另一方面，不断地分割已有的图形可得到新的几何图形，发现新的几何性质，多边形可分成三角形，三角形可以合成其他一些几何图形. 【例2】在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A . 0 B. 1 C . 3 D . 5 （2003年全国初中数学竞赛题）思路点拨多边形的内角和是随着多边形的边数变化而变化的，而外角和却总是不变的，因此，可把内角为锐角的个数讨论转化为外角为钝角的个数的探讨.【例3】如图，已知在厶ABC中，AB = AC , AD丄BC于D，且AD=BC=4，若将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长•（2002年鸟鲁木齐市中考题）思路点拨把动手操作与合情想象相结合，解题的关键是能注意到重合的边作为四边形对角线有不同情形.注教学建模是当今教学教育、考试改革最热门的一个话题，简单地说，“数学建模”就是通过数学化（引元、画图等）把实际问题特化为一个数学问题，再运用相应的数学知识方法(模型)解决问题.本例通过设元，把“没有重叠、没有空隙”转译成等式，通过不定方程求解.【例4】在日常生活中，观察各种建筑物的地板，就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案. 也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠(在几何里叫做平面镶嵌)，这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角(360° )时，就拼成了一个平面图形.⑴请根据下列图形，填写表中空格：(2) 如果限于用一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？(3) 从正三角形、正四边形，正六边形中选一种，再在其他正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成的一个平面图形(草图);并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由. (2003年陕西省中考题)正多边形边数3 4 :i 6|nr正多边形每亍内曲的度数60"90°. --思路点拨本例主要研究两个问题：①如果限用一种正多边形镶嵌，可选哪些正多边形;②选用两种正多边形镶嵌，既具有开放性，又具有探索性•假定正n边形满足铺砌要求，那么在它的顶点接合的地方，n个内角的和为360 °,这样，将问题的讨论转化为求不定方程的正整数解.【例5】如图，五边形ABCDE的每条边所在直线沿该边垂直方向向外平移4个单位，得到新的五边形A'B'C'D'E'.(1 )图中5块阴影部分即四边形AHA'G、BFB'P、COC'N、DMD'L、EKE'I 能拼成一个五边形吗？说明理由.(2)证明五边形A'B'C'D'E'的周长比五边形ABCD正的周长至少增加25个单位.(第14届江苏省竞赛题)思路点拨(1)5块阴影部分要能拼成一个五边形须满足条件：，A'GB' ; B'PC';C'ND' ; D'LE' ; E'IA'三点分别共线；/ 1 + Z 2+ / 3+/ 4+ / 5=360 ° ; (2)增加的周长等于A'H+A'G+B'F+B'P+C'O+C'N+D'M+D'L+E'K+ E'I，用圆的周长逼近估算.cm,周学历训练1如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是长最小的是 ___________ cm .（选6《荚国中小学数学课程标准》）2. ______________________________________ 如图，/ 1 + / 2+ / 3+ / 4+ / 5+ / 6= .（第1题）（第2题〉（第3题）.3. __________________________________________________________________________ 如图，ABCD 是凸四边形，AB=2 , BC=4 , CD=7,则线段AD 的取值范围是 __________________ 4•用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律，拼成若干个图案：（1） ___________________________ 第4个图案中有白色地面砖块；（2） ___________________________ 第n 个图案中有白色地面砖块.（2003年江西省中考题）第*个第2令第3令5•凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，贝Un 的最大值是（）A . 4B . 5C . 6D . 7. （第12届“希望杯”邀请赛试题）6.一个凸多边形的每一内角都等于 140°,那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）A . 9条B . 8条C . 7条D .6条7.有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖（）A . 216块B . 288块C . 384块D . 512块.（第14届“希望杯”邀请赛试题）&已知△ ABC 是边长为2的等边三角形，△ ACD 是一个含有30°角的直角三角形，现将 △ ABC 和厶ACD 拼成一个凸四边形 ABCD .（上海市闵行区中考题）（1））画出四边形 ABCD ;⑵求出四边形 ABCD 的对角线BD 的长.9•如图，四边形ABCD 中，AB = BC = CD，/ ABC=90 °，/ BCD = 150°，求/ BAD 的度数.（2003年北京市竞赛题）10. 如图，在五边形A1A2A3A4A5中，B i是A!的对边A3A4的中点，连结我们称人冋是这个五边形的一条中对线，如果五边形的每条中对线都将五边形的面积分成相等的两部分，求证：五边形的每条边都有一条对角线和它平行. （2003年安徽省中考题）11. ______________________ 如图，凸四边形有______________________________ 个；/ A+ / B+ / C+ / D+ / E+ / F+ / G= ___（重庆市竞赛题）12. 如图，延长凸五边形A1A2A3A4A5的各边相交得到5个角，/ B1,/ B?，/ B3,/B4,/ B5,它们的和等于_________ ;若延长凸n边形（n >5）的各边相交，则得到的n个角的和等于_______ .（第12届“希望杯”邀请赛试题）（第14题）（第16题）15•在一个n 边形中，除了一个内角外，其余度数为（）A . 130° D . 140° C . 105°（第17题）（n 一 1）个内角的和为2750 °，则这个内角的 D . 120°16. 如图，四,AB=BC=2 3 , AC=6 , AD=3，贝U CD 的长为( )A . 4 B . 4、2 C . 3、，2D . 3- 3（第16届江苏省竞赛题））（山东省竞赛题）求证：在厶ABC 、△ ABD 、13•设有一个边长为1的正三角形，记作 A i （图a ）,将每条边三等分，在中间的线段上向外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A 2（图b ），再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 3（图c ）;再将每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作 A 4,那么，A A 的周长是 ____________ ； A A 这个多边形的面积是原三角形面积的倍.（全国初中数学联赛题）14.女口图，六边形 ABCDEF 中，/ A= / B= / C=Z D= / E= / F ,且 AB+BC=11 , FA — CD=3 ,则BC+DC= _______ .（北京市竞赛题）注按题中的方法’不断地做下去，就会成为下图那样的图形，它的边界有一个美丽的名称一一雪花曲线或科克曲线（瑞典数学家），这类图形称为“分形”，大量的物理、生物与数学现象都导致分形，分形是新兴学科“混沌”的重要分支.17. 如图，设/ CGE= a ，则/ A+ / B+ / C+Z D+ / C+ / F=（ A . 360° 一 a B . 270 ° 一 a C . 180 ° +a D . 2 a .18. 平面上有A 、B , C 、D 四点，其中任何三点都不在一直线上, △ ACD 、△ BDC 中至少有一个三角形的内角不超过45 ° .20.如图，凸八边形ABCDEFGH 的8个内角都相等，边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FG 的22. 一个凸n 边形由若干个边长为 1的正方形或正三角形无重叠、无间隙地拼成，求此凸 19. 一块地能被n 块相同的正方形地砖所覆盖，如果用较小的相同正方形地砖，那么需n+76块这样的地砖才能覆盖该块地，已知n 及地砖的边长都是整数，求n. （上海市竞赛题）长分别为7, 4, 2, 5, 6, 2，求该八边形的周长.21. （2003年淄博市中考题）如图I 是一张可折叠的钢丝床的示意图，这是展开后支撑起来放在地面上的情况，如果折叠起来，床头部分被折到了床面之下（这里的A 、B 、C 、D 各点都是活动的），活动床头是根据三角形的稳定性和四边形的不稳定性设计而成的，其折叠过程可由图2的变换反映出来.如果已知四边形 ABCD 中，AB=6 , CD=15，那么BC 、AD 取多长时，才能实现上述的折叠变化?边形各个内角的大小，并画出这样的凸 n 边形的草图.占 * *CABms求解】fll 14 或巧由题意再200f< ) X Ifi0'<200f13 ^|<n< 15«2 SC外角中触宦的个数不龍超过3个戊内角与朴第互莽，故内宦中税角J#多不能超过3个. fl 3经过适当拼合可以组翊下四种不同形状的四边机对角线长分别为2屈4和4何2和2 0*2用1寧.働定在接合处一其有上块正”边形地砖，由于正”边形的所有内甬邪相等・》M(«-2)X180360即上二岛三？+ 占•因*为整散，放n-2|4+M'-2=h2Jn = 3,4 ^6由此可见*只有三种正务边形的瓷砖.可以按要求構地，即正三和形、正方形和正六边廉+ 茁)如t 正方形和正入边税草阿如右¥设在一『頂点碣因有附个正方形的角*牛正八边形的角.那么•曲』应是方程加* 90fl +n * 135d =36Q*的整敘翼即2^+3»=8的慕敷解.m —1一组・：•符合条件的图理只有一(1)图中5块阴賂都分徒拼威一牛小五边形BF^AG=AH^= EI=EK = DADM=CN=CO M tiP=4ZBFfi'=ZA6A ,=Zax v =ZBPB'=^DMD^=^CN(/ = ZEK^^ZDLD^ZAH4，=i /£/^=90 ・又(Z4H + ZB ，+ zr + Z/y + ZE x ) +(Zl + Z2+Z34-Z4 + Z5)= 5X180\3JiZA' + ZB* + ZC ，+ZD ，+ZE t -(5-2)X 180,=3X180p :' Z]+Z2+Z3+Z4+Z&=360*<2)多边形增加的周民尊于A'H+“G+拼F+FP+TO*广N+D'M4D1+EK + Fh 其值惜为朗屮阴形，区戟构底的更边形的周长+该五边影存在一个半径为4的量大BL 其周艮圆周氏肛，艮>lk ：>gX£ 14 = 25.12A25,【学力训练】h ?2.561 360*1?'(4+2><j-<7+l+2,^ l<j<134, (l)18,(2)^+2.B "边理外箱中蠣多有3牛角为純鬼■即内角中聂多有3个不是挽仙，得”冬3+2="5&D 7, C8.如图*可分别BD=#*y^T.2y79, 75*聖 4 (I)I08\120°f —<2>iE 三角形、正四边带(威正方形几正六边形.to.耽儿儿的中点目准為耳4缶人凡、為島個为缶讯=3儿.騎以忙八又因为四边瞪A 旳禹尽与四边册儿禺儿儿的面枳相尊.所以民. 同理龟％内廊以矢州A 内工龟曲内・所以△斤儿血与△凡九凡的公共边氐儿上的高相绯.所以乩儿A,.同理可证五边矗AS,AM/$的蒔条边分列与一条时角线平行.1L 7-540* IX 18O\(JT-2)* lBO'-ir ・180" + 5-2) * 18『三"一4)・180°B. (D3X(^)*=^1(2)S4-3X1S+3X4X1S+3I X4X^S=^S.U, 14向外补形得正三角影15. A D过D作DE丄AC于E 17. D佩假设从四点中任送出的三点枸戒的三傀脳的三个内鶴都大于45°,当AECD构成凸四边形时•可得吝角和大于360\与四4 +^i-19边形内驚和为矛盾i 当ABfD 构成凹国边形时，可為各角和大于180打与三角形内角和为必『矛盾. B.设大小正方帑边长分别为J ■小则討=5+76)亍，若(小⑷二讥记尸如,y=dyi .(x, y )= 1,则njr = (n + 76)>^变形得(Jr, + J ^I ) (Jj ) n = 76j^ = 21 X 19 X y?,JI =io» HI x=324, y 严920.双向延长AB 、CD 、EFeH 得Bl 边形MNFQ*原人边形内角郁相等•其蒔-牛内甬为邑弩丄生=I 肘,每一个外角为4罠因此MNPQ 为忻方形仏BPC 、氏DQE 、压FMG 、 △ANH 都是綁慶直角三角形'设GHmnHA=y,由MQ=NP ・得MF+FE+EQ=NA+ AB+UP.WV2 + 6卡罟=%+ 7 + 2我，和严3F*同理由 MN=QP,得了 = 3+2我.放该八边形周怏为32+^2.2L 由图2的第一个图^^：AC t +CD z =4D I ,即(6+BCF + 1护二心/ ①又由图2的第三和弟四个图形轉AJ3+AD=CD+BC^G+^D=15+BC ②解由①、②联立的方程姐得BC=30,AO=39.故BC.AD 分别取30^39时，才能冥现上述的折叠变化.11因为凸十一边形是由正三甬形和正方形拼底的•所以•各内甯的大小只可60\&0\120\150\设这4个轴个歌分别为 |i+y+r+w=11160x+90j+ 120r+ ISOw 31 (11 ^2) X 180牝简得龄+2$+*二1,正整數解为j=y=O^=hw^lO*M 说明•所求凸十一边理一个角是」2叭它由两个正三働形的内痢拼故’碁余】0个角都咼巧0°，咼由一牛正三痢形的内箱利一个正方形的内博携故.草图賂.。

六年级数学下册知识讲义-5 多边形和正多边形-鲁教版(五四学制)

学习目标一、考点突破了解多边形和正多边形的有关定义，知道正多边形的特点，能够解决简单的多边形问题。

二、重难点提示重点：掌握正多边形的定义和简单性质。

难点：对多边形和正多边形中角的认识。

考点精讲1. 多边形由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭平面图形叫做多边形。

如多边形ABCDEF 中，点A 、B 、C 、D 、E 、F 是多边形的顶点；线段AB 、BC 、CD 、DE 、EF 、FA 是多边形的边；∠FAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDE 、∠DEF 、∠EFA 是多边形的内角（简称多边形的角）；AC 、AD 、AE 都是连接不相邻两个顶点的线段，像这样的线段叫做多边形的对角线。

ACDEF思考：边形有多少个顶点？多少条边？多少个内角？过边形的每一个顶点有多少条对角线？（边形有个顶点，条边，个内角。

过边形的每一个顶点有（）条对角线。

）2. 正多边形各边相等、各角相等的多边形叫做正多边形。

正多边形的性质：各边相等；各角相等。

正三角形正四边形正五边形正六边形正八边形判断：各个内角都相等的多边形为正多边形。

（）答案：错误，长方形的各个内角都等于90°，但不是正四边形，必须同时满足各边相等，各角也相等。

例题1 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A. 六边形B. 五边形C. 四边形D. 三角形思路分析：一个n 边形剪去一个角后，剩下的形状可能是n 边形或（n ＋1）边形或（n －1）边形。

答案：当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形。

故选A。

技巧点拨：剪去一个角的方法可能有三种：经过两个相邻顶点，则少了一条边；经过一个顶点和一边，边数不变；经过两条邻边，边数增加一条。

例题2一个四边形的周长是46cm，已知第一条边长是a cm，第二条边长比第一条边长的三倍还少5cm，第三条边长等于第一、第二条边长的和。

多边形的内角和问题

多边形的内角和问题1.一个多边形，除去一个内角外，其余各内角之和等于25000，求这个多边形的边数解：设这是n 边形，除去的那个内角为α，则（n-2）·1800-α=25000.∴α=（n-2）·1800-25000，∵00＜α＜1800，∴00＜（n-2）·1800-25000＜1800，即⎪⎩⎪⎨⎧-∙--∙-0000001802500180)2(02500180)2( n n ，解此不等式得，9143＜n ＜9152，∵n 为整数，∴n=16，∴这个多边形的边数是162.一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是2000°，那么这个外角是多少度？这个多边形的边数是多少？解：设这是n 边形，除去的那个内角为α，则（n-2）·1800+α=20000.∴α=20000-（n-2）·1800，∵00＜α＜1800，∴00＜20000-（n-2）·1800＜1800，即⎪⎩⎪⎨⎧∙--∙--000000180180)2(20000180)2(2000 n n ，解此不等式得，9109＜n ＜9118，∵n 为整数，∴n=13，∴这个多边形的边数是13，∴这是一个13边形，其内角和为（13-2）·1800=19800，∵20000-19800=200，∴它的一个外角度数是2003.一个多边形除去一个内角之外，其余内角之和为2670°，求这个多边形的边数和少加的内角的大小．4.若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为35600，求这个多边形的边数5.已知一个多边形的所有内角与它的一个外角之和是24000，求这个多边形的边数及这个外角的度数6.一凸多边形所有内角与一个外角之和是25700，求此多边形的边数。

浙教版数学八年级下册解码专训一：巧用多边形的内(外)角和求边角问题.docx

解码专训一：巧用多边形的内(外)角和求边角问题名师点金：多边形的内角和与外角和定理属于多边形中的基础知识，常与方程、不等式综合运用来求角的度数或多边形的边数．多边形的有关概念1．下列说法正确的是()A．若干条线段首尾顺次相接所构成的图形叫做多边形B．连结多边形两个顶点的线段叫做多边形的对角线C．从n边形的一个顶点可以引(n－2)条对角线D．n边形共有n（n－3）2条对角线利用多边形的内角和或外角和定理求边数2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是()A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形3．(中考·娄底)一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，则这个多边形的边数为________．4．已知两个多边形的内角总和是900°，且边数之比是1∶2，求这两个多边形的边数．利用多边形的内角和或外角和定理求角的度数5．在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为2∶3∶4∶3，则∠D等于()A．60°B．75°C．90°D．120°6．(中考·北京)如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝________．(第6题)7．如图，CD∥AF，∠CDE＝∠BAF，AB⊥BC，∠C＝120°，∠E＝80°，试求∠F的度数．(第7题)用不等式思想解有关多边形的边数及角的问题8．一个多边形除去一个内角后，其余内角之和是2 570°，求：(1)这个多边形的边数；(2)除去的那个内角的度数．求不规则图形的内角和9．如图，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．(第9题)多边形中的截角问题10．一个多边形截去一个角后，形成一个新多边形，新多边形的内角和是其外角和的6倍，那么原多边形的边数是多少？解码专训二：平行四边形判定的五种常用方法名师点金：平行四边形的判定方法有多种，选择判定方法时，一定要结合题目的条件，灵活选择恰当的方法，从而简化解题过程．利用两组对边分别平行判定1．如图，在▱ABCD中，DE平分∠ADC，交CB的延长线于点E，BF平分∠ABC，交AD的延长线于点F，那么四边形BFDE是否为平行四边形？说明你的理由．(第1题)利用两组对边分别相等判定2．如图，在▱ABCD中，点E、F在对角线BD上，并且BE＝DF，证明：四边形AECF是平行四边形．(第2题)利用一组对边平行且相等判定3．(中考·桂林)如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．(1)求证：四边形EBFD为平行四边形；(2)对角线AC分别与DE、BF交于点M、N，求证：△ABN≌△CDM.(第3题)利用两组对角分别相等判定4．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，那么四边形BFDE是平行四边形吗？为什么？(第4题)利用对角线互相平分判定5．如图，AB、CD相交于点O，AC∥BD，AO＝BO，点E、F分别是OC、OD的中点．求证：四边形AFBE是平行四边形．(第5题)解码专训三：平行四边形的性质与判定的五种常见题型名师点金：平行四边形的性质与判定定理的应用，是中考的重点内容之一，主要从四边形的边、角、对角线等方面进行比较，对四边形的边、角进行计算或推理论证，题型多样，命题以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．利用性质与判定证明平行四边形1．(中考·龙岩)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.(1)求证：AE＝CF；(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．(用两种不同的方法证明)(第1题)利用性质与判定判断线段的关系2．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BA交AC于E，DF∥CA交AB 于F，连结EF、AD，那么是否有下列结论？说明理由．(1)AD与EF互相平分；(2)BF＝AE.(第2题)利用性质与判定探究图形的形状3．如图，E，F分别是▱ABCD的AD，BC边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若M，N分别是BE，DF的中点，连结MF，EN，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．(第3题)利用性质与判定探究四边形中的动点问题4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD>BC，BC＝6厘米．点P、Q分别为从点A、C同时出发，点P以1厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以2厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．几秒后，四边形ABQP为平行四边形？(第4题)利用性质与判定求解翻折问题5．如图，四边形ABCD是长方形纸片，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上，设F、H分别是B、D落在AC上的两点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4 cm，BC＝3 cm，求线段EF的长．(第5题)解码专训四：平行四边形与图形变换名师点金：本章主要学习平行四边形的性质与判定，结合前面学过的平移、旋转与轴对称，可利用图形变换的性质，解决平行四边形中简单的推理与计算问题．平行四边形与平移1．将图①中的平行四边形ABCD沿对角线AC剪开，再将△ADC沿着AC 方向平移，得到图②中的△A1D1C1，连结AD1，BC1.除△ABC与△C1D1A1外，你还可以在图中找出哪几对全等的三角形(不能另外添加辅助线和字母)？请选择其中的一对加以证明．(第1题)平行四边形与旋转2．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O 沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1.(1)求线段OA1的长和∠AOB1的度数；(2)连结AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形；(3)求四边形OAA1B1的面积．(第2题)3．已知：如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA，BC的延长线于点E，F，交AB，DC于点M，N.(1)观察图形并找出一对全等三角形：△________≌△________，请加以证明；(2)在(1)中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？(第3题)平行四边形与轴对称4．△ABO在平面直角坐标系中的位置如图①，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，AB＝1，OB＝2，以OB为一边，在△OAB外作等边三角形OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E.(1)求点B的坐标；(2)求证：四边形ABCE是平行四边形；(3)如图②，将图①中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．(第4题)解码专训五：构造平行四边形巧解证明题名师点金：在解决与四边形有关的几何问题时，若能够根据题设条件和图形特征，运用平行四边形具有的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，添加适当的辅助线，巧妙地构造出平行四边形，就会化难为易，化繁为简．证两线段相等1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.求证：AG＝EG.(第1题)证两线段互相平分2．如图，在平行四边形ABCD中，E，G，F，H分别是四条边上的点，且AE＝CF，BG＝DH.求证：EF与GH互相平分．(第2题)证两线段平行3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任作一直线分别交AB，CD于点G，H.求证：GF∥EH.(第3题)证线段的和差关系4．如图，在四边形BCED中，DE∥BC，延长边BD，CE交于点A，在边BD上截取BF＝AD，过点F作FG∥BC交EC于点G.求证：DE＋FG＝BC.(第4题)解码专训六：巧用三角形的中位线名师点金：三角形的中位线是初中几何中的重要内容，通常可以利用它来证明线段的位置关系和数量关系．在实际运用中，有些问题虽没有直接给出中位线或看似与三角形中位线定理无关，但通过巧添辅助线就可运用其解决相关问题．利用三角形的中位线求线段长度或角的度数1．在△ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB＝6，AC＝4，则四边形AEDF的周长是()A．8 B．10(第2题)C．12 D．142．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，F、E、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC＝20°，∠ACB＝60°，则∠FEG＝________．利用三角形的中位线证线段的位置关系3．如图，▱ABCD中，E、F分别是AD、BC边上的点，AE＝BF，AF与BE相交于点M，CE与DF相交于点N.求证：MN∥BC.(第3题)4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝BD ，M 、P 、N 分别是边AB 、BC 、CD 的中点，Q 是MN 的中点．(1)求证：PQ ⊥MN ； (2)判断△OEF 的形状．(第4题)利用三角形的中位线证线段的倍分关系5．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，延长AB 到D ，使BD ＝AB ，E 为AB 的中点，求证：CD ＝2CE.(第5题)利用三角形的中位线证线段的和差关系6．如图，在△ABC 中，AC>AB ，M 为BC 的中点，AD 是∠BAC 的平分线，若CF ⊥AD 交AD 的延长线于F ，求证：MF ＝12(AC －AB)．(第6题)利用三角形的中位线证线段的不等关系7．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ≠CD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点．求证：EF<12(AB ＋CD)．(第7题)解码专训七：思想方法荟萃方程思想名师点金：对于所要求的数学问题，通过列方程(组)来解决的一种解题策略就是方程思想．在一些几何图形中，利用设未知数、列方程(组)求解可使问题更简单易解．1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE ＝4，AF ＝5，四边形ABCD 的周长为36，求AB ，BC 的长．(第1题)转化思想名师点金：平行四边形可被其对角线分成几个三角形(或特殊三角形)，在解决有关的计算题与证明题时，常将四边形中的问题转化到三角形中，然后用三角形知识来解决．另外，证明线段或角相等时，若不能直接证得结论，可通过转化为平行四边形的对边、对角或证三角形全等的形式来证明．2．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线交AD 于点E，交BC于点F，若▱ABCD的面积为30 cm2，求图中阴影部分的面积．(第2题)3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，EF过点O与AB交于点E，与CD交于点F，GH过点O与AD交于点G，与CB交于点H.求证：GF＝EH.(第3题)构造法名师点金：构造法是根据题设条件或结论具有的特征、性质，构造出满足条件或结论的数学模型，借助该数学模型来解决原数学问题的解题方法．对于某些问题，常采用构造平行四边形的方法，从而利用平行四边形的性质使问题变得简单．4．如图，AD为△ABC的中线，E为AC上一点，连结BE交AD于点F，且AE＝FE.求证：BF＝AC.(第4题)答案解码专训一1．D 2.B3．6点拨：设多边形的边数为n，由题意得(n－2)·180°＝360°×2.所以n ＝6.4．解：设这两个多边形的边数分别是n，2n.根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＋(2n－2)·180°＝900°，解得n＝3.所以2n＝6.所以，这两个多边形的边数分别是3，6.5．C 6.360°7．解：如图，连结AD，在四边形ABCD中，∠BAD＋∠ADC＋∠B＋∠C＝360°.∵AB⊥BC，∴∠B＝90°.又∵∠C＝120°，∴∠BAD＋∠ADC＝150°.∵CD∥AF，∴∠CDA＝∠DAF.∴∠BAF＝150°.∵∠CDE＝∠BAF，∴∠CDE＝150°.∴在六边形ABCDEF中，∠F＝720°－∠BAF－∠B－∠C－∠CDE－∠E＝720°－150°－90°－120°－150°－80°＝130°.(第7题)8．解：(1)设这个多边形的边数为n，则其内角和为(n－2)·180°.依题意，得2 570°＜(n－2)·180°＜2 570°＋180°.解得16518＜n＜17518.因为n≥3，且n是整数，所以n＝17，即这个多边形的边数为17.(2)除去的那个内角的度数为(17－2)×180°－2 570°＝130°.点拨：由于除去一个内角后，其余内角之和为2 570°，因此该多边形的内角和比2 570°大，比2 570°＋180°小．可列出关于边数的不等式，先确定边数的范围，再求边数．(第9题)9．解：如图，连结CD.∵∠1＋∠3＋∠4＝180°，∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°，∴∠1＝∠A＋∠ACF＋∠ADB.∵∠1＝∠2，∠2＋∠B＋∠E＋∠F＝360°，∴∠A＋∠B＋∠ACF＋∠ADB＋∠E＋∠F＝360°.因此，所求的度数为360°.10．解：设新多边形的边数是n，根据多边形的内角和定理，得(n－2)·180°＝6×360°.解得n＝14.一个多边形截去一个角后，所得新多边形的边数可能不变，也可能减少1，还可能增加1，所以原多边形的边数是13或14或15.解码专训二1．解：四边形BFDE为平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB，∠ADC＝∠ABC，∴FD∥BE，∠2＝∠3，∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1＝12∠ADC，∠2＝12∠ABC，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．2．证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.同理可得△ADF≌△CBE，∴AF＝CE，∴四边形AECF是平行四边形．3．证明：(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB＝CD，EB∥DF.又∵EB＝12AB，DF＝12CD，∴EB＝DF，∴四边形EBFD为平行四边形．(2)∵四边形EBFD为平行四边形，∴∠ABN＝∠CDM.∵AB∥CD，∴∠BAN＝∠DCM.又∵AB＝CD，∴△ABN≌△CDM. 4．解：四边形BFDE是平行四边形．理由：在▱ABCD中，∠ABC＝∠CDA，∠A＝∠C. ∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝12∠ABC，∠CDF＝∠ADF＝12∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠CDF＝∠ADF.∵∠DFB＝∠C＋∠CDF，∠BED＝∠ABE＋∠A，∴∠DFB＝∠BED，∴四边形BFDE是平行四边形．5．证明：∵AC∥BD，∴∠C＝∠D.∵∠AOC＝∠BOD，OA＝OB，∴△AOC≌△BOD，∴OC＝OD.∵E、F分别是OC、OD的中点，∴OE＝12OC，OF＝12OD，∴OE＝OF.又∵OA＝OB，∴四边形AFBE是平行四边形．解码专训三BC，∴∠3＝∠4.1．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，∠1＝∠2，∴∠5＝∠6，又∵AD＝CB，∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF.(2)方法一：由(1)知△ADE≌△CBF，∴DE＝BF.∵∠1＝∠2，∴DE∥BF，∴四边形EBFD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．方法二：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠BAE ＝∠DCF.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴BE＝DF.∵△ADE≌△CBF，∴DE＝BF，∴四边形EBFD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．点拨：(2)题方法不唯一．2．解：两个结论都成立，理由如下：(1)∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∴AD与EF互相平分．(2)在▱AFDE中，AE＝DF，AC∥DF，∴∠C＝∠FDB.∵AB＝AC，∴∠C＝∠B，∴∠B＝∠FDB，∴BF＝DF＝AE.3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，∠A＝∠C.∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)．(2)解：四边形MFNE是平行四边形．证明如下：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD，BE＝DF.又∵M，N分别是BE，DF的中点，∴ME＝FN.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠FBE.∴∠CFD＝∠FBE.∴EB∥DF，即ME∥FN.∴四边形MFNE是平行四边形．规律总结：(2)题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质判断另一个四边形的形状，再利用平行四边形的判定方法判定这个四边形是平行四边形．4．解：设x 秒后，四边形ABQP 是平行四边形．则AP ＝x 厘米，CQ ＝2x 厘米，BQ ＝(6－2x)厘米．∵AD ∥BC ，∴当AP ＝BQ 时，四边形ABQP 是平行四边形． ∴x ＝6－2x ，解得x ＝2.∴2秒后，四边形ABQP 是平行四边形．5．(1)证明：由题意可得∠GAH ＝12∠DAC ，∠ECF ＝12∠ACB. ∵四边形ABCD 是长方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACB.∴∠GAH ＝∠ECF ， ∴AG ∥CE ，又∵AE ∥CG ，∴四边形AECG 是平行四边形．(2)解：由勾股定理可得AC ＝5 cm ，由题意可得CF ＝BC ＝3 cm ，∴AF ＝2 cm ，设EF ＝BE ＝x cm ，则AE ＝(4－x)cm ，∴(4－x)2＝22＋x 2，解得x ＝32. ∴EF ＝32 cm .解码专训四1．解：△AA 1D 1≌△C 1CB ，△AD 1C 1≌△C 1BA. 选证△AA 1D 1≌△C 1CB ：由平行四边形和平移的性质，得AA 1＝C 1C ，A 1D 1＝CB ，∠ACB ＝∠C 1A 1D 1， ∴∠AA 1D 1＝∠C 1CB. 在△AA 1D 1和△C 1CB 中，⎩⎨⎧AA 1＝C 1C ，∠AA 1D 1＝∠C 1CB ，A 1D 1＝CB ，∴△AA 1D 1≌△C 1CB.2．(1)解：由旋转的性质得OA 1＝6，∠AOB 1＝90°＋45°＝135°.(2)证明：∵∠AOA 1＝∠OA 1B 1＝90°，∴OA ∥A 1B 1.又∵OA ＝AB ＝A 1B 1，∴四边形OAA 1B 1是平行四边形．(3)解：S 四边形OAA 1B 1＝OA·OA 1＝6×6＝36. 3．解：(1)BOM ；DON证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴BO ＝DO ，AB ∥CD ，∴∠MBO ＝∠NDO ，∠BMO ＝∠DNO. ∴△BOM ≌△DON.(2)其中一个三角形可由另一个三角形绕点O 旋转180°后得到或以点O 为对称中心作中心对称得到．点拨：(1)题答案不唯一．4．(1)解：由勾股定理得OA ＝22－12＝3， ∴点B 的坐标为(3，1)．(2)证明：∵∠OAB ＝90°，∴AB ⊥x 轴． ∵y 轴⊥x 轴，∴AB ∥y 轴，即AB ∥CE. ∵∠AOB ＝30°，∴∠OBA ＝60°. ∵D 是OB 的中点，∴OD ＝DB ＝1. ∵AB ＝1，∴AB ＝DB.∴△ABD 是等边三角形，∴∠ADB ＝60°. ∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°， ∴∠ADB ＝∠OBC ，∴AE ∥BC ， ∴四边形ABCE 是平行四边形．(3)解：设OG ＝x ，则由题意可得GA ＝GC ＝2－x.由勾股定理得，OG 2＋OA 2＝GA 2，即x 2＋(3)2＝(2－x)2，解得x ＝14，即OG ＝14.解码专训五(第1题)1．证明：∵BE ∥DF ，BD ∥EF ， ∴四边形BEFD 是平行四边形． ∴EF ＝BD.∵D 为AB 的中点， ∴AD ＝BD ，∴EF ＝AD.如图，连结DE ，AF ，∵EF ∥AD ， ∴四边形ADEF 是平行四边形． ∴AG ＝EG.2．证明：如图，连结HE ，EG ，GF ，FH.(第2题)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠A ＝∠C ，AD ＝CB. ∵BG ＝DH ， ∴AH ＝CG. 又∵AE ＝CF ， ∴△HAE ≌△GCF ， ∴HE ＝FG. 同理可证HF ＝EG.∴四边形EGFH 是平行四边形． ∴EF 与GH 互相平分．(第3题)3．证明：如图，连结GE ，FH. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AB ∥CD ，∴∠BAO ＝∠DCO. 又∵∠AOG ＝∠COH ， ∴△AOG ≌△COH ， ∴OG ＝OH.∵E ，F 分别为OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ＝12OD ＝OF ，∴四边形EHFG是平行四边形．∴GF∥EH.(第4题)4．证明：如图，过点F作FM∥AC交BC于点M，则四边形FMCG是平行四边形，∠BFM＝∠A.∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.又BF＝AD，∴△BFM≌△DAE，∴BM＝DE.∵四边形FMCG是平行四边形，∴FG＝MC，∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.解码专训六1．B 2.20°3．证明：连结EF，在▱ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，∵AE＝BF，∴DE＝CF.∴四边形ABFE和四边形EFCD都是平行四边形．∴点M、N分别是EB和EC的中点．∴MN是△EBC的中位线．∴MN∥BC.点拨：本题借助平行四边形的性质，先证明MN是△EBC的中位线，然后利用三角形中位线定理证明结论．4．(1)证明：如图，连结PM和PN，∵M、P分别是边AB、BC的中点，∴PM是△BAC的中位线．∴PM ∥AC ，PM ＝12AC.同理，PN ∥BD ，PN ＝12BD.∵AC ＝BD ，∴PM ＝PN.∵Q 是MN 的中点，∴PQ ⊥MN.(2)解：△OEF 是等腰三角形．∵PM ∥AC ，PN ∥BD ，∴∠OFE ＝∠PMN ，∠OEF ＝∠PNM.∵PM ＝PN ，∴∠PMN ＝∠PNM ，∴∠OFE ＝∠OEF.∴△OEF 是等腰三角形．(第4题)(第5题)5．证明：如图，取CD 的中点F ，连结BF ，则CD ＝2CF.∵AB ＝BD ，∴BF 是△ADC 的一条中位线，∴BF ∥AC ，BF ＝12AC.∴∠2＝∠ACB.∵AB ＝AC ，∴∠1＝∠ACB ，∴∠1＝∠2.∵E 是AB 的中点，∴BE ＝12AB ， ∵BF ＝12AC ，且AB ＝AC ，∴BE ＝BF.在△BCE 和△BCF 中，⎩⎨⎧BE ＝BF ，∠1＝∠2BC ＝BC ，，∴△BCE ≌△BCF(SAS)，∴CE ＝CF.∵CD ＝2CF ，∴CD ＝2CE.(第6题)6．证明：如图，延长AB 、CF 交于点E.∵CF ⊥AF ，∴∠AFE ＝∠AFC ＝90°.∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠1＝∠2.在△AEF 和△ACF 中，⎩⎨⎧∠1＝∠2，AF ＝AF ，∠AFE ＝∠AFC ，∴△AEF ≌△ACF(ASA)．∴AE ＝AC ，EF ＝CF.又∵M 为BC 的中点，∴MF 为△BEC 的中位线．∴MF ＝12BE ＝12(AE －AB)＝12(AC －AB)．(第7题)7．证明：如图，连结BD ，取BD 的中点M ，连结ME 和MF.∵M 、E 分别是BD 、AD 的中点，∴ME 是△ABD 的中位线．∴ME ＝12AB.同理，MF ＝12CD.在△MEF 中，ME ＋MF>EF ，∴12AB ＋12CD ＝12(AB ＋CD)>EF ，即EF<12(AB ＋CD)．解码专训七1．解：在▱ABCD中，CD＝AB.∵▱ABCD的面积＝BC·AE＝CD·AF，AE＝4，AF＝5，∴4BC＝5CD，即BC＝54CD.又2(AB＋BC)＝36，∴AB＋BC＝18，即BC＋CD＝18，∴54CD＋CD＝18，解得CD＝8.∴BC＝10.即AB＝8，BC＝10.2．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，DC＝BA.∵AC＝CA，∴△ABC≌△CDA.∴S△ABC ＝S△CDA＝12S▱ABCD＝12×30＝15(cm2)．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，AD∥BC.∴∠OED＝∠OFB，∠EDO＝∠FBO. ∴△DOE≌△BOF，∴S△DOE ＝S△BOF.∴S阴影部分＝S△BOF＋S△AOE＋S△COD＝S△DOE＋S△AOE＋S△COD＝S△CDA＝15 cm2.(第3题)3．证明：如图，连结GE，HF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，OA＝OC，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠4，∴△AEO≌△CFO(ASA)，∴OE＝OF.同理可证△OCH≌△OAG，∴OH＝OG.∴四边形GEHF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．∴GF＝EH.点拨：本题把要证明相等的两条线段转化为平行四边形的对边加以证明．4．证明：如图，延长AD至N，使DN＝AD，连结BN，CN，则四边形ABNC 是平行四边形．(第4题)∴BN＝AC，BN∥AC，∴∠BNA＝∠NAC.∵AE＝FE，∴∠FAE＝∠AFE.∵∠AFE＝∠BFN，∴∠BFN＝∠BNF.∴BN＝BF，∴BF＝AC.初中数学试卷鼎尚图文**整理制作。

初中数学华东师大七年级下册(2023年新编)第9章多边形多边形的内角和

多边形的内角和与外角和一、教材的地位和作用：本节课内容是华东师大版七年级数学下册第九章第二节《多边形的内角和与外角和》第1课时，它是多边形相关知识的重点。

教材从复习三角形的定义、内角和到学习探究多边形的定义、内角和，环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性、类比性都比较强。

通过这节课的学习，培养了学生积极参与课堂探究的习惯及探索与归纳的能力，在探究中体会从简单到复杂，从特殊到一般，以及类比、转化等重要的数学思想方法。

二、学情分析：本章的第一节学习的是三角形的有关知识，学生已经经历了三角形定义、边、角、外角及内角和的探究过程，对这些知识已经有了一定的认识，并且具备了一些探究和归纳的能力，这为本节课的学习打下了很好的基础。

因此对于学习本节内容的知识条件已经具备，通过自学、互学、小组探究，学生将会自主探究出所学的知识，轻松、愉快地完成本节课的学习任务。

三、教学目标1.知识与技能目标：学会主动探索、归纳和掌握多边形的内角和公式，并会运用其解决相关问题。

并通过多边形内角和公式的推导，体验数学中的“转化”思想。

2.过程与方法目标：经历探索多边形内角和公式等的过程，在实践中培养学生的推理能力以及主动探究意识．3.情感态度与价值观目标：经历多边形内角和的探索过程，感受从特殊到一般的类比的学习方法，初步体会转化的数学思想，在学习中感受研究数学的乐趣。

四、教学重、难点1.重点：多边形的内角和定理及运用。

2.难点：多边形的内角和定理的推导过程（数学转化思想）。

五、教学过程1.情境导入：全世界瞩目的2023年冬奥会将在中国北京举行。

如果设计师能设计一个内角和为2023度的多边形图案，那该多有纪念意义呀！那么可能吗？它会是几边形呢？2.预习提问：问题1 ：什么叫三角形？你能说出什么叫四边形、五边形、多边形吗？通过类比，总结出多边形的定义。

（学生回答）问题2：说一说下面所指的是多边形的什么（顶点、边、角）？（学生独立回答）三角形如何表示？四边形和五边形又是怎样表示呢？（通过课前预习，学生独立回答），同时通过出示多边形的图片，让学生认识凸多边形和凹多边形（不在现在的研究范围），并强调，如果教材没有特别指明，多边形都指的是凸多边形。

湘教版数学八年级下册_《多边形的内角和与外角和》典型例题

《多边形的内角和与外角和》典型例题【题1】正五边形的一个内角的度数是 .【解析】一个多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°，因此可通过两种方法求内角度数.方法1：设正五边形的一个内角的度数为a ，则a=5180)25(︒⨯-=108° 方法2：因为5360︒=720°，所以一个内角的度数=180°-72°=108° 【知识规律串讲】一、多边形的内角和与外角和公式n 边形的内角和为：（n-2）·180°（正n 边形的每个内角的度数是n ︒⨯1802)-(n ） n 边形的外角和为360°（正n 边形的每个外角的度数都是n︒360）二、多边形的内角和与外角和的运用1.求多边形的边数例1：1.若一个多边形的每个外角都等于45°，则这个多边形的边数是 .2.如果一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形是边形. 解析: 第1题计算的根据是多边形的外角和都等于360°，n 边形有n 个外角，360÷40=9,即为多边形的边数，注意多边形的外角和与边数无关.第2题的解答主要依据多边形的内角和（n-2）·180°.此公式的逆向的运用，即可用内角和公式求边数.答案：1. 九边形 2. 五边形点评：在利用多边形的内角和公式时一定要注意到n-2，在由公式求边数时,一般先求出n-2，再求n.例如：已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是_______. 答案：十五边形2. 外角和的性质n 边形的外角和为360°，它不随边数的变化而变化.例2：随着边数的增加, n边形的外角和()A. 不变B. 增加C. 减少D. 不一定答案：A3.判断角的可能性例3：在四边形的四个内角中，最多能有几个钝角？最多能有几个锐角？最多能有三个钝角，最多能有三个锐角.理由是：解析:设四边形的四个内角的度数分别为：α°，β°，γ°，δ°，则α+β+γ+δ=360°，α、β、γ、δ的值最多能有三个大于90°，否则α、β、γ、δ都大于90°.α+β+γ+δ＞360°.同理最多能有三个小于90°.4.内角的镶嵌例4：下图是三个完全相同的正多边形拼成的无缝隙不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？解析:这种正多边形是正六边形，理由是：设这个正多边形的一个内角为x°，则由题图得：3x=360°.x=120°.再根据多边形的内角和公式得：n×120°=(n－2)×180°.解得n=6答案：六边形。

怎样求多边形的内角度数

怎样求多边形的内角度数
1、多边形的内角度数有计算公式：度数=180度×(n-2)其中n 表示多边形的边的数量。

（得出结论）
2.多边形的内角可以通过多边形内角和的公式来计算。

先用多边形内角和的公式计算出多边形内角的和，然后除以多边形内角的个数就可以计算出来。

(原因解释)
3、已知多边形的内角和，求边数的公式：n边形的边=（内角和÷180°）+2。

（内容延伸）
怎样求多边形的内角度数
一般的，这里的多边形是正多边形(边长相等，内角也相等的多边形)。

把n边形内任一点与它的各顶点连接，n边形分成了n个三角形，所以n边形的内角和是n＊180度-360度=(n-2)＊180度。

所以，正n边形的每个内角是:(n-2)＊180度
/n。

怎样求多边形的内角度数
因为一个多边形可以分成（n-2）个三角形，一个三角形的内角和是180°，所以
多边形内角和=(n-2)×180°
n为多边形的边数.如五边形的内角和即为 (5-
2)×180°=540°。

多边形内角和

例01．已知：一个多边形的内角和是︒1800，求这个多边形的边数.解答：设这个多边形的边数为n ，根据题意，得︒=︒-1800180)2(n .102=-n ，12=n说明：本题考查多边形的内角和定理，解题关键是设边数为n ，根据多边形内角和定理及已知条件列出关于n 的方程.典型例题二例02．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍，求此多边形的边数.解答：设此多边形的边数为n . 则2360180)2(⨯︒=︒⋅-n∴6=n答：这个多边形是六边形.说明：本题考查了多边形的内角和、外角和定理，解题关键是设边数为n ，列出关于n 的方程.典型例题三例03．已知：如图，求G F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.解法1：∵︒=∠+∠+∠+∠3602D C B ，︒=∠+∠+∠+∠36031F E ，∴ ︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠720321F E D C B∵︒=∠+∠18032，G A ∠+∠=∠1，∴︒=︒-︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠540180720G F E D C B A解法2：连结BF ，则︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠540GFB EFG E D C ABC ABF ∵ G A GFB ABF ∠+∠=∠+∠∴ ︒=∠++∠+∠+∠+∠540G EFG D C ABC A说明：求复杂图形的角度时，要善于利用三角形和四边形.例04．多边形的内角中最少应有（）锐角.A ．1个B ．2个C ．3个D ．没有错解：选A.正解：选D.说明：错解中没有考虑当多边形为四边形时，四个内角可以都为直角，故没有锐角.典型例题五例05．如图，已知六边形ABCDEF 中，︒=∠=∠=∠=∠=∠=∠120F E D C B A . 求证：ED EF BC AB +=+.证明：向两方分别延长AB 、CD 、EF ，如图，得PQR ∆.∵︒=︒-︒=∠-︒=∠60120180180BAF PAF .同理︒=∠60AFP∴︒=∠60P∴AFP PAF P ∠=∠=∠∴ PAF ∆为等边三角形.同理，BCQ ∆、DER ∆均为等边三角形.∴PQR ∆也为等边三角形.∴RE DE BQ BC PR AP PR PQ ====,,,∴PF RP PA PQ -=-即FR AQ = RE FE BQ AB +=+∴ ED EF BC AB +=+说明：本题的解题关键是作辅助线，构成等边三角形.典型例题六例06．已知：一个四边形的四个内角的比为3:3:2:1，求它的四个内角的度数.分析：若设四边形四个内角中，最小的角为︒x ，则另外的三个角都可以用x 表示出来. 因四边形的内角和是一个已知数，我们就可以得到关于x 的方程，从而求出四边形的四个内角的度数.解答：设四边形的最小的角的度数为︒x ，则另外3个度数为︒)2(x ，︒)3(x 和︒)3(x ，根据题意，得360332=+++x x x x ，解得 40=x ， ∴ 802=x ，1203=x即四边形的四个角度数为︒40，︒80，︒120和︒120.说明：四边形不具有稳定性，但它的内角和是固定的，等于︒360，所以在求解四边形的内角的过程中，内角和起着重要作用.典型例题七例07．如图，已知：求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.分析：我们只知规则图形的内角之和. 所以想办法把F E ∠+∠移到和其他几个角同一图形中，因此考虑到连结AD . 所以有MDA MAD F E ∠+∠=∠+∠，所以求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠就是求四边形ABCD 的内角和.解答：连结AD ，则在MEF ∆和MAD ∆中，ADM MAD AME F E ∠+∠=∠=∠+∠.在四边形ABCD 中，︒=∠+∠+∠+∠360CDA BAD C B ，即︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360CDE ADM MAD BAF C B .∵︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E CDE BAF C B∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F E D C B A说明：此类型题的求法，一般是将所要求的角归纳到几个四边形和三角形中，利用四边形、三角形的性质来解，在求解过程中，不妨适当添加辅助线，使所求角处在四边形或三角形中.典型例题八例08．一个多边形的每个内角度数都为︒150，求它的边数.分析：多边形的内角和可以通过公式︒-180)2(n 计算出来. 如果知道每个内角的度数，则可由每个内角度数x 角的个数来表示出来.解答：设多边形的边数为x ，根据题意得，x x 150180)2(=-，解得12=x即多边形为12边形.说明：多边形的内角和常常用到，而多边形的外角和用起来往往也很方便，因为外角和是一个固定的值，它不受边数变化的影响，总是︒360，所以我们也能利用外角和求解. 如，本题中，每个内角为︒150，所以空的每个外角为︒30. 因为多边形的外角和为︒360，而1230360=，所以它是12边形. 典型例题九例09．已知一个多边形共有27条对角线.求：（1）这个多边形是几边形？（2）此多边形的内角和的度数.分析：要求多边形的边数是多少，实际上是要求掌握对角线与边数之间的关系式，即对角线数2)3(-=n n ，若求出了边数，内角和就容易求到. 解答：（1）设边数为n ，根据题意得：272)3(=-n n ，解得9=n 或6-=n （舍） ∴ 这个多边形是9边形.（2）∵︒=︒⨯-1260180)29(，∴此多边形的内角和为︒1260.典型例题十例10．如图，已知：四边形ABCD 中， BD 平分ABC ∠. 若CD AD =，CB AB >. 求证：︒=∠+∠180C A .分析：直接证明︒=∠+∠180C A 比较困难，又由BD 平分CBA ∠考虑到添加辅助线，构造与A ∠或C ∠相等的角. 作BC BE =，连结DE ，则容易证出C DEB ∠=∠，CD DE =，又由DE CD AD ==，可知DEA A ∠=∠. 因此可证出︒=∠+∠180C A .证明：在AB 上截取BC BE =，连结DE .∵BD 平分ABC ∠，∴CBD EBD ∠=∠.在EBD ∆和CBD ∆中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=)()()(公共边已证已作DB DB CBD EBD CB EB∴)(SAS CBD EBD ∆≅∆ ∴DEB C ∠=∠，AD CD DE ==∴DEA A ∠=∠ ∵ ︒=∠+∠180DEB DEA∴ ︒=∠+∠180C A说明：对于任意多边形的问题，经常分解为若干个三角形，然后利用三角形的性质去解，这是处理四边形问题时常用的重要思路.选择题1．已知一个多边形的外角和等于它的内角和，则这个多边形是（）A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形2．若多边形的边数由3倍增加到n （n 为正整数，且3>n ），则其外角和的度数（）A ．增加B ．减少C ．不变D ．不确定3．若一个多边形的内角和是外角和的k 倍，那么这个多边形的边数是（）A ．kB ．12+kC ．22+kD ．22-k4．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，这个多边形的边数是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．一个五边形有三个内角是直角，另两个都等于n °，则n 的值是（）A ．45B ．135C ．120D ．1086．所有内角都相等的18边形，它的每个内角、外角的度数是（）A ．120°，60°B ．140°，40°C ．160°，20°D ．100°，80°7．过n 边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形边数是（）A ．8B ．9C ．10D ．118．下列命题中，正确的有（）①七边形有14条对角线；②外角和大于内角和的多边形只有三角形；③若一个多边形的内角和与外角和是4：1，则它是九边形.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个参考答案1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．C 7．C 8．C填空题1．六边形的内角和是_________，十二边形的内角和是_________.2．如果一个多边形的内角和为1260°，那么边数是________.3．当多边形的边数增加一条时，其内角和增加_____度.4．将n 边形的边数增加一倍，那么它的内角和增加_______度.5．过m 边形的一个顶点有7条对角线，n 边形没有对角线，k 边形共有k 条对角线，则.______)(=-nk m参考答案1．720°，1800°2．93．180°4．︒⋅180n5．125．（提示：可求5,3,10===k n m ）解答题1．已知一个多边形的内角和等于外角和的5倍，求这个多边形的边数.2．在五边形ABCDE 中，若︒=∠=∠90D A ，7:8:3::=∠∠∠E C B . 求B ∠、C ∠、E ∠的度数.3．一个多边形的内角和与外角和的差为︒900，求它的边数.4．一个多边形的每个内角都等于144°，求它的边数.5．一个多边形，除去一个内角之外，其余各角之和为3290°，求这个内角的度数（用两种方法）.6．一个n 边形除去一个内角之外的所有内角之和是︒1200，求这个内角的度数.7．多边形的每一个内角都等于它相邻的外角的4倍，求多边形的边数.8．五边形ABCDE 中，已知.2,2E C B D A ∠+∠=∠∠=∠. 求.B A ∠+∠9．有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1：2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数.10．如图，求F E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠+∠的度数.11．在六边形ABCDEF 中，DE AB CD AF //,//，且︒=∠︒=∠80,120B A ，求C ∠和D ∠的度数.12．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数.13．在四边形ADEF 中，AD EC ⊥于C ，AD FB ⊥于B ，已知6,5,10,8====EC FB BD AC ，求四边形ADEF 的面积.14．在四边形ABCD 中，︒=∠===︒=∠90,4,8,60D CD BC AB B ，求A ∠和C∠的度数.15．如图所示，ABCD 是一块四边形菜地的示意图，EFG 是流过这块菜地的水渠，水渠东边的地属张家承包，水渠西边的地属李家承包，现在村委会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直，并且要保持张、李两家的承包土地面积不变，请你设计一个挖渠的方案，就在给出的图形上画出设计示意图，并说明理由.16．如图，是一个用六根竹条联接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到内架的稳定性、对称性、实用性等因素，请再加三根竹条与其顶点连接，设计出两种不同的联接方案（用直尺连接）.参考答案1．122．解：设︒=∠︒=∠︒=∠x E x C x B 7,8,3，则有︒⨯-=︒+︒+︒+︒+︒180)25(9090783x x x∴ 20=x . ∴ ︒=∠︒=∠︒=∠140,160,60E C B .3．解：设边数为n . 则︒=︒-︒⋅-900360180)2(n ∴9=n答：这个多边形是9边形.4．10=n5．130°6．解法1：∵<︒0除去的内角︒<180，∴︒<︒-︒-<︒1801200180)2(0n ，18015601801560+<<n ∴101180156018015608<+<<<n ∴9=n 所求的角为︒=︒-︒-601200180)29( 解法2：设除去的角为α，则︒<180α，︒+︒⨯=︒12018061200因为多边形的内角和是︒180的整数倍，则除去的角与上面的余数和为︒180，即︒=︒+180120α. ∴ ︒=60α. 7．108．180°.（提示：,540︒=∠++∠+∠+∠E D C B A Θ∴︒=∠+∠+∠+∠54022A B B A ，∴︒=∠+∠180B A ）9．12，2410．解：连BE ，则︒=∠+∠+∠+∠360F BEF ABE A∵ 21∠+∠=∠+∠C D ，∴︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠360F DEF D C ABC A11．A ∠与D ∠的两边分别平行，则这两个角相等或互补，结合图形可得︒=∠=∠120D D . 连接DF ，五边形ABCDEF 内角和为︒=︒⨯-540180)25(，则︒=∠+∠+∠+∠+∠540DFA CDF C B A ，︒=∠+∠∴180,//DFA CDF CD AF Θ.︒=︒-︒-︒-︒=∠∴16080120180540C .12．设这个多边形边数为n ，则有6.180)2(2)140100(=∴⋅-=+n n n . 13．5014．︒=∠︒=∠90,120A C15．略16．连结EG ，过F 作EG 的平行线交AB 于H ，（交CD 于P ），则EH 为所求，理由略图中（1）～（5）依题意而作，而（6）～（8）均不符合联结要求.。

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