北师大版九年级(初三)数学上册PPT课件：用因式分解法求解一元二次方程

合集下载

北师大版初中九年级上册数学课件《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件

(2) x表示长方形的实际宽,不可能小于0
(3)不可能,因为长与宽的和是15, x可能大于15.
(1)根据题意列方程。 (2)x可能小于0吗？说出理由. (3)x可能大于15吗？说出理由. (4)能否想一个办法求得长方形的长x?
x
15-x
x
1
2
3
4
5
6
7
x2 -15x+54
40
28
18
10
4
0
解：如果设花边的宽为 x m ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为 m,根据题意,可得方程：
(8-2x)
(5-2x)
(8-2x)(5 -2x) = 18.
整理, 得
8m
10m
解:设梯子底端滑动x米,则由题意可得方程：
问题2 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多少米？
当a=2，b≠0时是一元一次方程；
3、关于x的方程ax2 -2bx＋a＝2x2 , 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
变式练习(1): (k+3)x|k|-1 -5x＋6＝0 是关于x的一元二次方程, 则k= .
变式练习(2):关于x的一元二次方程(m-1)x2 +5x＋m2-1＝0 的常数项是0, 则m= .
一元二次方程
没有未知数，不是方程
不是等式，不是方程
一元一次方程
二元一次方程
不是等式，不是方程
(1)2＋3＝5 (2)3x＋2 (3)5x＋3＝18 (4)x-2y＝5
一元一次方程、二元一次方程、分式方程
分式方程

北师大版九年级上册用因式分解法求解一元二次方程课件

5、5(x2 x) 3(x2 x);
6、(x 2)2 2x 32 ; 7、(x 2) x 3 12;
8、x2 5 2x 8 0.
解下列方程
参考答案：
1.x1 2.x1
2; x2
2 3
;
x2
1. 3 1.
3.x1 4.x1
3; 2
3; x2
x2 9.
1 2
.
5.x1 0; x2 4.
我们已经学习了几种求解一元二次方程方法？
1、配方法
2、公式法
配方法的主要步骤：
1、化：把二次项的系数化为1； 2、移：先把常数项移到方程的右边 3、配：把方程的左边配成完全平方式（两边同时
加上一次项系数一半的平方）； 4、开：方程左右两边开平方得到方程的解。
公式法
求根公式： x b b2 4ac 2a
;
2
x2
7. 5 1
3.x1
2;
x2
5. 3
4 .x1
1;
x2
1. 3
5.x1 3, x2 6.
6、(x 1)2 3 x 1 0;
6.x1 1; x2 2.
练一练
1、5x 2 3x2;
2、3x x 1 2 2x;
3、(2x 3)2 4(2x 3); 4、2(x 3)2 x2 9;
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得 x2 3x.
小亮是这样解的:
解 :由方程x2 3x, 得 x2 3x 0.
xx 3 0.
x 0,或x 3 0. x1 0, x2 3. 这个数是0或3.
小亮做得对吗?
如果a b 0,
那么a 0或b=0 如果两个因式的积等于0, 那么这两个数至少有一个为0.

北师大版初中九年级上册数学课件《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)

米．
5. 用配方法解下列方程： (1)12x2＋7x＋1＝0
解：移项，得 12x2＋7x＝－1，二次项系数化为 1，得 x2＋172x＝－112，配方得 x2＋172x＋2742＝－112＋2742，即x＋2742＝5716，开方，得 x＋274＝±214，解得 x1＝－14，x2＝－13.
巩固训练
1. 用配方法解方程13x2－x－4＝0，配方后得( C )
A. x－322＝349
B. x－322＝－349
C. x－322＝547
D. x－122＝12
2. 把一元二次方程 2x2－x－1＝0 用配方法配成 a(x－h)2
1
＋k＝0 的形式(a，h，k 均为常数)，则 h 和 k 的值分别为 4 , －－98 ．
4 两边都加上一次项系数一半的平方，得 x2＋23x＋19＝ 9 ，即
4 x＋312＝ 9 ，
开平方，得1x＋13＝ ±±23 ，解得 x1＝ 3 ，x2＝－－11 .
例题精讲
知识点 1 用配方法解二次项系数不为 1 的一元二次方程
例1 (教材 P38 例 2)解方程：3x2＋8x－3＝0.
5. 用配方法解下列方程： (2)0.8x2＋x＝0.3
解：方程化为 x2＋54x＝38，配方，得 x2＋54x＋582＝38＋582，即x＋852＝4694，开方，得 x＋58＝±78，解得 x1＝－23，x2＝41.
5. 用配方法解下列方程： (3)(x＋1)(x－3)＝2x＋5
解：方程化为 x2－4x＝8，配方，得 x2－4x＋4＝8＋4，即(x－2)2＝12，开方，得 x－2＝±2 3，解得 x1＝2＋2 3，x2＝2－2 3.
第二章一元二次方程

新北师大版九年级数学上册《用公式法求解一元二次方程》优质课课件(共18张PPT)

解：(1)设该项绿化工程原计划每天完成 x m2，根据题意
46 000－22 000 46 000－22 000
得：
x
－
1.5x
＝4，解得 x＝2 000，经
检验，x＝2 000 是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完

成 2 000 平方米 (2)设人行道的宽度为 x 米，根据题意得，(20
－3x)(8－2x)＝56，解得 x1＝2 或 x2＝236(不合题意，舍去)．答：人行道的宽为 2 米
2.3 用公式法求解一元二次方程
1．对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 b2－4ac≥0 时，－b± b2－4ac
它的根 x＝
2a
，我们把这个式子称为一元二次方程的
求根公式，用求根公式解一元二次方程称为公式法．
2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac>0时，
－1＋ 5
－1－ 5
则方程(x＋2)*5＝0 的解为x1＝ 2 ，x2＝ 2
．
15．用公式法解方程：
(1)7x2－6x＝5
3＋2 11
3－2 11
解：x1＝ 7 ，x2＝ 7
(2)x(2x－4)＝5－8x
－2＋ 14
－2－ 14
解：x1＝ 2 ，x2＝ 2
16．解方程 2x2＋4 3x＝2 2.有一位同学解答如下：这里 a＝ 2，b＝4 3，c＝2 2，∴b2－4ac＝(4 3)2－4× 2
(2)x2－2 3x＋3＝0 解：∵Δ＝12－4×3＝0，∴x1＝x2＝ 3
知识点二：根的判别式 6．下列关于x的方程有实数根的是( D ) A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0 C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0 7．(2014·宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1 ＝0，当b<0时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是( A ) A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝0

新北师大版九年级数学上册《一元二次方程的解》精品课件.ppt

5．若x＝1是关于x的一元二次方程x2＋3mx＋n＝0的解，则 6m＋2n＝_－__2_． 6．关于x的一元二次方程(a－2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根为 0，则a＝_－__2_．
7．小颖在做作业时，一不小心，一个方程3x2－■x－5＝0的一次项系数被墨水盖住了，但从题目的条件中，她知道方程的解是x＝5，请你帮助她求出被覆盖的数是多少．
x
3.23
3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09
16．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，满足 a＋b＋c＝0，则方程必有一个实根为___x_＝．1
17．(2014·白银)一元二次方程(a＋1)x2－ax＋a2－1＝0 的一个根为0，则a＝__1__．
知识点一：一元二次方程的解
1．下列各数中是x2－3x＋2＝0的解的是( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．0
2．已知m是方程x2－x－1＝0的一个根，则代数式m2－m的值是
( C) A．－1 B．0 C．1 D．2
3．已知关于x的一元二次方程2x2－mx－6＝0的一个根是2，则m
＝__1__．
4．写出一个根为x＝－1的一元二次方程，它可以是 x2－1＝0(答案不唯一) ．
13．观察下表：
x
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
从表中你能得出方程5x2－24x＋2方程根的取值范围．
解：一个解为x＝2，另一个解的取值范围为2.5<x<3
7…
x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …

北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质PPT

因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
用因式分解法求解一元二次方程
课后作业：
新知探索
完成课本P47 习题2.7 第1题、第2题
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
想一想
1. 例2中主要用到了因式分解的什么方法？
公式法
2. 初中阶段主要用到的因式分解公式有哪些？完全平方公式： a22abb2(ab)2 平方差公式： a2b2(ab)(ab)
新知探索
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT
用因式分解法求解一元二次方程
当堂练习
① x2-3x+1=0 ； ② 3x2-1=0 ；
③ -3t2+t=0 ； ④ x2-4x=2 ；
⑤ 2x2-x=0； ⑥ 5(m+2)2=8；
用因式分解法求解一元二次方程
课堂练习
1. 完成P47随堂练习第1题、第2题 2. 解下列方程：
(1)(3x2)2 4(3x2) (2)3(x2)2x24
(3)2x28x8x2 (4)(x2)(x3)12
新知探索
北师大版九年级上册第三节用因式分解法求解一元二次方程优质P PT

北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第1课时)

二次项系数为 5，一次项系数为 36，常数项为－32
课堂练习 6. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）有一根1m长的铁丝，怎样用它围一个面积为0.06m2的长方形?
解：设长方形的长为xm，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得x(0.5-x)=0.06, 整理，得50x2-25x+3=0.
数的平方和吗？
解：如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为： x+1 , x+2, x+,3 x+.根4 据题意，可得方程：
x2 + (x + 1)2 + (x + 2)2 = (x + 3)2 + (x + 4)2. 化简得，x2 - 8x - 20＝0. ②
去括号、移项、合并同类项
2x2-13x+11=0 x2 -8x-20=0 x2＋12x－15＝0
只含有1个未知数
未知数的最高次数是2
都是整式方程
新知讲解
一元二次方程的定义：
只含有一个未知数x，并且可以化成ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0) 的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式：
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0) 特征：方程的左边按x的降幂排列，右边＝0
（2）参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少人参加这次聚会？
解：设有x人参加了这次聚会, 根据题意，得 x(x-1)=10，整理，得x2-x-20=0.
课堂总结
一元二次方程
概念
只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a,b,c为常数, a≠0)的形式.

新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共19张PPT)

由x 5 3，得x 8;
( )
由x 2 6，得x 4.
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.用因式分解法解下列方程：
①(x－5)(x+2)=18
②(2a－3)2=(a－2)(3a－4)
③ 2 y2=3y
④x2+7x+12=0
⑤t(t+3)=28
⑥(4x－3)2=(x+3)2
(7)x2 ( 3 2)x 6 0
直接开平方法配方法公式法因式分解法
右化零两因式
简记歌诀：左分解各求解
解题框架图
解：原方程可变形为：
=0 ( 一次因式A )( 一次因式B )=0
一次因式A =0或一次因式B =0 ∴ x1= A解 , x2= A解
1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月18日星期五2022/2/182022/2/182022/2/18 2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/182022/2/182022/2/182/18/2022 3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/182022/2/18February 18, 2022 4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/182022/2/182022/2/182022/2/18
检程，其关键是什么？
测 3、用因式分解法解一元二次方
题程的理论依据是什么?
4、用因式分解法解一元二方程，
必须要先化成一般形式吗？
例1、解下列方程
1、x2－3x－10=0

北师大版初中九年级上册数学课件《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件

第二章一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程
1 课堂讲解因式分解法的依据
用因式分解法解方程
用适当的方法解一元二次方程
2 课时流程
逐点导讲练
课堂小结
作业提升
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？
你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但
7 97
7 97
x1 4 , x2 4
知3－讲
知3－讲
(3) (x－1)2－3(x－1)＝0，(x－1)(x－1－3)＝0， ∴x－1＝0或x－4＝0， ∴x1＝1，x2＝4.
（来自点拨）
总结
知3－讲
在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
知2－讲
总结
知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
导引：方程(1)选择配方法；方程(2)选择公式法；方程(3)选择因式分解法．
知3－讲
（来自点拨）
解： (1)x2－2x－3＝0，
移项，得x2－2x＝3，
配方，得(x－1)2＝4，x－1＝±2，
∴x1＝3，x2＝－1.
(2)2x2－7x－6＝0，

北师大九年上学期数学课件：用因式分解法求解一元二次方程

例1 解方程： (2)(2x－5)2－(x－2)2＝0；解：∵[(2x－5)＋(x－2)][(2x－5)－(x－2)]＝0， ∴(3x－7)(x－3)＝0， ∴3x－7＝0 或 x－3＝0，解得 x1＝73，x2＝3.
例1 解方程： (3)x(x＋2)＝3x＋6. 解：移项，得 x(x＋2)－(3x＋6)＝0，即 x(x＋2)－3(x＋2)＝0，(x＋2)(x－3)＝0, ∴x＋2＝0 或 x－3＝0，解得 x1＝－2，x2＝3.
有一个因式是 x－5，则 p 的值是( A )
A. 3
B. －3
C. －2
D. 2
2. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 x2－
3x＝4(x－3)的两个实数根，则该直角三角形的斜边长是( C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3. 已知代数式 x(x－5)＋1 与代数式 9x－6 的值互为相反数，则 x＝－－55或或11 ．
3，x2＝3－25
3 .
(直接开平方法)
5. 我们已经学习了一元二次方程的多种解法，例如因式分解法、配方法和公式法等．请从以下一元二次方程中任选一个进行求解，并说明你求解这个方程的方法以及思路．
(2)x2＋2x－35＝0；
解：移项，得 x2＋2x＝35，x2＋2x＋1＝36， (x＋1)2＝36，x＋1＝±6，x＝－1±6， ∴x1＝5，x2＝－7.(配方法)
【归纳总结】用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)把方程一边化为 0；(2)将不为 0 的一边分解因式；(3)根据 a·b＝0，则 a＝0 或 b＝0，将方程转化为两个一元一次方程； (4)解两个一元一次方程得到原方程的解．
知识点 2 选择适当的方法解一元二次方程例2 (教材 P48T2(3)) 解方程：(x－2)(x－3)＝12. 【思路点拨】先将方程化为一般形式，再根据方程的特征，选择合适的方法求解．

初中数学北师大版九年级上册《用因式分解法解一元二次方程》课件

（1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两个实数根分
别为p，q. （2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个一元二次方程可以写成（x - p）(x - q )=0的形式.
解下列方程：
（1）（2x + 3）2 = 4 (2x + 3) ;
（2）(x - 2) 2 =
有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
( x－1 )( x－1 ) = 0. 有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0，
11 11 x1 2 , x2 2 .
x1=x2=1.
4.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为r，根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
小颖的思路：
小明的思路：
由方程 x2 = 3x ,得
x2 - 3x = 0
因此 x 3 9 2
x1 = 0, x2 = 3. 所以这个数是0或3.
方程 x2 = 3x 两边同时约去x, 得 x=3. 所以这个数是3.
小亮的思路：
(2x
+
3)
2 .
解：（2x + 3）2 - 4 (2x + 3) =0 , 解：（x - 2）2 - (2x + 3) 2 =0,
(2x + 3) (2x + 3 - 4) = 0, ( x -2+ 2x+ 3) (x -2 - 2x - 3)=0,
(2x + 3) (2x - 1) = 0.

北师大九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》课件(共14张PPT)

请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
(2)x2－11x＋28＝0. 解：∵x2＋(－4－7)x＋(－4)×(－7)＝0，(x－4)(x－7)＝0，
∴x1＝4，x2＝7
B．(x＋3)(x－1)＝1，∴x＋3＝0 或 x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3，∴x－2＝2 或 x－3＝3
D．x(x＋2)＝0，∴x＋2＝0
3．方程 x(x－2)＋x－2＝0 的解是( )
A．2
B．－2，1
C．－1
4．解方程： (解1)(：2xx＋1＝3)－2－322，x－x2＝3＝－01
13．先化简，再求值：(x－x21－x＋1)÷4x2－1－4xx＋1，其中 x 满足 x2＋x－2＝0.
x2－（x－1）（x－1）
1－x
解：原式＝
x－1
· 4x2－4x＋1 ＝
2xx－－11·（21x－－x1）2＝1－12x.由 x2＋x－2＝0，解得 x1＝－2，x2＝1，
由题意，得 x≠1，将 x＝－2 代入，得原式＝51
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
14．阅读理解：例如：因为x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3，所以x2＋5x＋6＝(x ＋2)(x＋3)．所以方程x2＋5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝－3，x2＝－2. 又如：x2－5x＋6＝x2＋[－2＋(－3)]x＋(－2)×(－3)．所以x2－ 5x＋6＝(x－2)(x－3)．所以方程x2－5x＋6＝0用因式分解法解得x1＝2，x2＝3. 一般地，x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．所以x2＋(a＋b)x＋ab ＝0，即(x＋a)(x＋b)＝0的解为x1＝－a，x2＝－b.

初中数学北师大九年级上册第二章一元二次方程-用因式分解法解一元二次方程PPT

回顾与复习
什么是因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。
因式分解有哪些方法
1.提公因式法平方差公式: a2-b2=(a+b)(a-b)
2.公式法完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
心动不如行动
一元二次方程一般式： ax2+bx+c = 0 (a≠0)
4 3
x1=-
1 2
，x2=-
4 7
4. x2+5=6x-4;
x 1=x 2 =3Βιβλιοθήκη 小结拓展回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的
乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
• 分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零.”
二次三项式两个一次因式的乘积
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种解一元二次方程的方法称为因式分解法
A·B = 0
∴A=0或B=0
(因式分解法的根据)
例题欣赏 ☞ 因式分解法
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
解 : 1 .5x 2 4 x 0, 因式分解法解一元二次方程的步骤是:
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0.
x1
0;
x2
4 5
.
2.x 2 xx 2 0,
1.方程化为一般形式;