【武汉大学】量子力学第3章xin (1)
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第三章 量子力学原理(Ⅱ) 力学量算符及量子条件
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
算符及其运算规则 力学量用算符表示 几个基本的力学量算符 量子条件 两个力学量同时有确定值的条件 体系的守恒量
§3.1 算符及其运算规则
3.1-1 黑伯特空间及算符 3.1-2 量子力学中常用的几类算符
有 Aˆ Bˆ
记 Bˆ Aˆ 即 (2, Aˆ1) (Aˆ 2, 1)
即 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ 2 (r ,t)]*1(r ,t)d
(4) 么正算符 满足下面条件的算符
UˆUˆ Uˆ Uˆ 1ˆ; i.e. Uˆ Uˆ 1
性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积
3.1-1 算符的基本性质 运算: 作用于(波)函数
（1）单位算符
（2）零算符
（3）算符相等
（4）算符之和
（5）算符数乘和乘积 （6）交换律结合律
（7）对易关系
单位算符: 1ˆ(r , t) (r , t) 零算符： 0ˆ (r , t) 0 算符相等： Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Aˆ Bˆ
Aˆn nn ; Aˆm mm
代入到上面的积分式中，有：
仅证明 非简并情况
* m
(r
)
Aˆn
(r
)d
[ Aˆm (r )]*n (r )d
* m
(r
)nn
(r
)d
[mm (r )]*n (r )d
(n m )
* m
(r
)n
(r
)d
0
m n
* m
(r
)n
(r
)d
0
正交
§3.2 力学量用算符表示
(Uˆ 2 ,Uˆ 1) [U 2 (r , t)]*[Uˆ 1(r , t)]d [Uˆ Uˆ 2 (r , t)]* 1(r , t)d *2 (r , t)1(r , t)d (2 , 1)
故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性
(5) 厄密算符 Aˆ Aˆ
有 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ2 (r ,t)]*1(r ,t)d (29)
3.1-2 量子力学中常见的几类算符
(1) 线性算符 满足如下运算规律的算符
Aˆ(C11 C22 ) C1Aˆ1 C2 Aˆ2
pˆ i , 1ˆ, 微商运算, 积分算符都是线性算符 开方运算、对数运算就不是线性算符 (2) 逆算符
设 Aˆ 对 作用的结果为 即 Aˆ 若 Bˆ 有作用 Bˆ
则称 Aˆ , Bˆ 互为逆算符，记为 Bˆ Aˆ 1; Aˆ Bˆ 1
注：复共轭： 把算符表达式中的所有量换成复共轭量
如 pˆ* (i )* i pˆ
(3) 厄密共轭算符
定义内积 (2, 1) *2 (r ,t)1(r ,t)d
若
(2, Aˆ1) (Bˆ2,1)
因为 (2 , 1)* (1, 2 )
r *(r,t)rˆ(r,t)d *(r,t)r(r,t)d p *(r,t) pˆ(r,t)d *(r,t)(i )(r,t)d
任意力学量的期望值为
F *(r,t)Fˆ(r,t)d (, Fˆ)
①有经典对应的力学量：F F r, p,t 其算符为 Fˆ F(rˆ, pˆ,t) F r , i ,t
在具有确定值 的状态 下，力学量 Fˆ的
期望值 F , 而且均方偏差 (F)2 等于零，
即 (F )2 * (r )(Fˆ F )2 (r )d * (r )(Fˆ )2 (r )d 0
设算符 Fˆ线性厄密，上式可写成
(F )2 [(Fˆ ) (r )]*[(Fˆ ) (r )]d (Fˆ ) (r ) 2 d 0 (Fˆ ) (r ) 0
算符之和：
Cˆ (r , t) Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Cˆ Aˆ Bˆ
算符数乘：Cˆ (r , t) [ Aˆ(r , t)] Cˆ Aˆ
算符相乘：Cˆ (r , t) Aˆ[Bˆ(r ,t)] Cˆ Aˆ Bˆ
一般不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
算符相加满足：
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值 3.2-2 力学量的可能取值 3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能
取值的几率分布 3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件 3.2-5 量子力学的第三条假设
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值
坐标和动量的期望值 (及势能，动能，哈密顿量)
算符与通常 数运算规则 不同之处
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交换律： Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ 结合律： ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ (Bˆ Cˆ )
算符对易子： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ, Bˆ 对易，此时 Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ , Bˆ 不对易
(2, Aˆ1) (Aˆ2, 1)
两个性质：1) 厄密算符的本征值全是实数
设 Aˆ 的本征值方程为 Aˆ
取 2 1 代入到(29)式中，有：
*(r ) (r )d * *(r ) (r )d
*
实数
2) 厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交
对于两个不同的本征值和本征矢量
② 没有经典的力学量对应：设算符表示为 Fˆ
期望值仍为 F *Fˆd (*, Fˆ)
3.2-2 力学量的可能取值
某时刻在体系一个状态下测量力学量 Fˆ ，
测量值有一系列的可能取值，所有可能取值 构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。
力学量 Fˆ 有确定值的状态：
若测量时某取值m的几率为1，其它的均为零，记为 m
对易子的恒等式
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ]; [ Aˆ, ] 0;
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Cˆ ]; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ] [Bˆ, Cˆ ]; [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ; [ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
算符及其运算规则 力学量用算符表示 几个基本的力学量算符 量子条件 两个力学量同时有确定值的条件 体系的守恒量
§3.1 算符及其运算规则
3.1-1 黑伯特空间及算符 3.1-2 量子力学中常用的几类算符
有 Aˆ Bˆ
记 Bˆ Aˆ 即 (2, Aˆ1) (Aˆ 2, 1)
即 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ 2 (r ,t)]*1(r ,t)d
(4) 么正算符 满足下面条件的算符
UˆUˆ Uˆ Uˆ 1ˆ; i.e. Uˆ Uˆ 1
性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积
3.1-1 算符的基本性质 运算: 作用于(波)函数
（1）单位算符
（2）零算符
（3）算符相等
（4）算符之和
（5）算符数乘和乘积 （6）交换律结合律
（7）对易关系
单位算符: 1ˆ(r , t) (r , t) 零算符： 0ˆ (r , t) 0 算符相等： Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Aˆ Bˆ
Aˆn nn ; Aˆm mm
代入到上面的积分式中，有：
仅证明 非简并情况
* m
(r
)
Aˆn
(r
)d
[ Aˆm (r )]*n (r )d
* m
(r
)nn
(r
)d
[mm (r )]*n (r )d
(n m )
* m
(r
)n
(r
)d
0
m n
* m
(r
)n
(r
)d
0
正交
§3.2 力学量用算符表示
(Uˆ 2 ,Uˆ 1) [U 2 (r , t)]*[Uˆ 1(r , t)]d [Uˆ Uˆ 2 (r , t)]* 1(r , t)d *2 (r , t)1(r , t)d (2 , 1)
故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性
(5) 厄密算符 Aˆ Aˆ
有 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ2 (r ,t)]*1(r ,t)d (29)
3.1-2 量子力学中常见的几类算符
(1) 线性算符 满足如下运算规律的算符
Aˆ(C11 C22 ) C1Aˆ1 C2 Aˆ2
pˆ i , 1ˆ, 微商运算, 积分算符都是线性算符 开方运算、对数运算就不是线性算符 (2) 逆算符
设 Aˆ 对 作用的结果为 即 Aˆ 若 Bˆ 有作用 Bˆ
则称 Aˆ , Bˆ 互为逆算符，记为 Bˆ Aˆ 1; Aˆ Bˆ 1
注：复共轭： 把算符表达式中的所有量换成复共轭量
如 pˆ* (i )* i pˆ
(3) 厄密共轭算符
定义内积 (2, 1) *2 (r ,t)1(r ,t)d
若
(2, Aˆ1) (Bˆ2,1)
因为 (2 , 1)* (1, 2 )
r *(r,t)rˆ(r,t)d *(r,t)r(r,t)d p *(r,t) pˆ(r,t)d *(r,t)(i )(r,t)d
任意力学量的期望值为
F *(r,t)Fˆ(r,t)d (, Fˆ)
①有经典对应的力学量：F F r, p,t 其算符为 Fˆ F(rˆ, pˆ,t) F r , i ,t
在具有确定值 的状态 下，力学量 Fˆ的
期望值 F , 而且均方偏差 (F)2 等于零，
即 (F )2 * (r )(Fˆ F )2 (r )d * (r )(Fˆ )2 (r )d 0
设算符 Fˆ线性厄密，上式可写成
(F )2 [(Fˆ ) (r )]*[(Fˆ ) (r )]d (Fˆ ) (r ) 2 d 0 (Fˆ ) (r ) 0
算符之和：
Cˆ (r , t) Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Cˆ Aˆ Bˆ
算符数乘：Cˆ (r , t) [ Aˆ(r , t)] Cˆ Aˆ
算符相乘：Cˆ (r , t) Aˆ[Bˆ(r ,t)] Cˆ Aˆ Bˆ
一般不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
算符相加满足：
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值 3.2-2 力学量的可能取值 3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能
取值的几率分布 3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件 3.2-5 量子力学的第三条假设
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值
坐标和动量的期望值 (及势能，动能，哈密顿量)
算符与通常 数运算规则 不同之处
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交换律： Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ 结合律： ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ (Bˆ Cˆ )
算符对易子： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ, Bˆ 对易，此时 Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ , Bˆ 不对易
(2, Aˆ1) (Aˆ2, 1)
两个性质：1) 厄密算符的本征值全是实数
设 Aˆ 的本征值方程为 Aˆ
取 2 1 代入到(29)式中，有：
*(r ) (r )d * *(r ) (r )d
*
实数
2) 厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交
对于两个不同的本征值和本征矢量
② 没有经典的力学量对应：设算符表示为 Fˆ
期望值仍为 F *Fˆd (*, Fˆ)
3.2-2 力学量的可能取值
某时刻在体系一个状态下测量力学量 Fˆ ，
测量值有一系列的可能取值，所有可能取值 构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。
力学量 Fˆ 有确定值的状态：
若测量时某取值m的几率为1，其它的均为零，记为 m
对易子的恒等式
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ]; [ Aˆ, ] 0;
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Cˆ ]; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ] [Bˆ, Cˆ ]; [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ; [ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0