【武汉大学】量子力学第3章xin (1)
量子力学 第三章
2 2a 4a
3
二、动量算符
动量算符是 i ，它的本征函数用 （r ）表示 p
本征方程为
i（r ） p （r ） p
它的三个分量方程为 i （r ） px（r ） p x i （r ） p y（r ） p y i （r ） pz（r ） p z
ˆ 有确定值，这个确定值就是 H 的本征值。
ˆ 的本征函数 （r ） 当体系处于 P 所描写的状态时，体系 P ˆ 的本征值。 的动量有确定值，这个确定值就是 P
ˆ 当体系处于 F 的本征函数 所描写的状态时，它表示的 ˆ 力学量F 有确定值，这个确定值就是 F 的本征值。
表示力学量的算符的本征值必须是实数。 五、算符的一般性质和运算 1、两个算符的和 设
ˆ 符 F 就可以由其经典表示式 F（P，r ） 将动量 P 换成
例如，确定角动量 L 的算符， r P L
ˆ L r i） ir （
四、算符与它所表示的力学量的关系
ˆ H E 当体系处于 所描写的状态时，体系的能量有确定值 E ˆ 当体系处于 H 的本征函数所描写的状态时，体系的能量
m
Pl （cos） 是一个缔和勒让德多项式
m
1 m 2 2 d Pl （） l （ ） 1 （ 2 1 l ） l m 2 l！ d
m
l m
N lm 是归一化常数,可以通过归一化条件求出,即
0
2
0
Y（，）Y（，） dd 1 sin
Nlm
（l m） 2l 1 ！ （ ） （l m） 4 ！
u
ˆ ˆ ˆ ˆ 是任意函数，如果 Fu Gu Mu ，算符 M 称为
量子力学第三章
当 x a 或x 0，方程中含有 x 项
因 (x) 及 E 有限
( x) 0
（3）
从物理考虑，粒 子不能透过无穷 高的势壁
13
一维无限深势阱 方程（1）
当 0 xa
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
束缚态：0<E<V0
0, V ( x) V0
d 2 k 2 0 dx 2 2mE k
General Solution
V(x)
x a/2 x a/2
I
V 定理3：设 V x 具有空间反演不变性， x V x 。
4
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
宇称
空间反射：空间矢量反向的操作。
r r
(r , t ) (r , t )
归一化条件
A 2
a
17
一维无限深势阱
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
推导:
| n x | dx
2
a 2
0
| n | dx | n | dx | n | dx
2 2 2 0 a
ˆ 定义：空间反射算符，又称宇称算符 P ：
ˆ (r , t ) (r , t ) P
5
Chapter 3 One dimensional Problems of Schrodinger Eq.
量子力学第三章
2 III
0
I II
C1e x C2e x
Asin(x )
III B1e x B2e x
（3）使用波函数标准条件
I C1ex
2
2
2 (VE)
I (a) li m C1ea 0
所以 I 0
同理： III0
从物理考虑，粒子不能透过无穷高的势壁。 根据波函数的统计解释，要求在阱壁上和阱壁 外波函数为零，特别是
第11页，本讲稿共59页
综合 I 、II 结果，最后得：
m 2 2 2 Em 8a2
I III 0m来自II A sin m
2a
I III 0 II A cos m
2a
x x
对应 m = 2 n
m 0 的偶数
对应 m = 2n+1
m 奇数。
第12页，本讲稿共59页
此方程是一个二阶偏微分方程。若势可写成： V(x,y,z) = V1(x) + V2(y) + V3(z) 形式，则 S-方程可在直角坐标系中分离变量。
2 d 2
[ 2 dx 2 V1 ( x )] X ( x ) E x X ( x )
2 d 2
[ 2 dy 2 V2 ( y )]Y ( y ) E yY ( y )
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有正宇称（或偶宇称）；
( r ,t) ( r ,t)
称波函数具有负宇称（或奇宇称）；
（3）如果在空间反射下
( r ,t) ( r ,t)
，
则波函数没有确定的宇称。
第16页，本讲稿共59页
（四）讨论
一维无限深 势阱中粒子 的状态
1 2d 2 1 2d 2 1 2d 2
量子力学第三章
上式之和恒等于零，所以ρ得各次幂得系数分别等于零，即
[s(s-1)-( +1)]b0 = 0 → s(s-1)- ( +1) = 0
l s l 1
S = - 不满足
s ≥1 条件，舍去。
s = +1
高阶项系数：
[(ν+ s + 1)(ν+ s )- ( + 1)]bν+1+(β-ν-s)bν = 0
截断。Βιβλιοθήκη e / 2令最高幂次项的 νmax = nr
则
bnr bnr
1
0
0
于是递推公式改写为
因为 分子
bnr 1
nr l 1
(nr l)(nr 2l
2) bnr
0
注意 此时多项式最高项 的幂次为 nr+ + 1
bnr 0 所以 nr l 1 0
nr l 1 n
2 2
(
1 r2
) r
(r 2
r
)
1 s in
(sin
)
1 sin 2
2
2
Zes2 r
E
2
2r
2
(r 2 r
) r
Lˆ2
2r 2
Zes 2 r
E
此式使用了角动量平方 算符 L2 的表达式：
Lˆ2
2
1
sin
(sin
1
) sin2
2
2
2.求解 Schrodinger 方程
（2）能级简并性 当 E < 0 时，能量是分立谱，束缚态，束缚于阱内，在无
穷远处，粒子不出现，有限运动,波函数可归一化为一。
量子力学讲义第三章讲义详解
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= 是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
量子力学第3章
类似 I 中关于 n = m 的讨论可知：
HRB EGNEERING UNIVERSITY 2009
( n 0 ,1, 2 , )
第三章 一维定态问题
综合 I 、II 结果，最后得：
（量子力学）
m 2 2 2 Em 8a 2
两种情况：
cos(a ) sin 0 sin(a ) cos 0
( 3) (4)
由（4）式
sin 0 cosa 0 cos 0 sina 0
I.
sin 0 0
n a
2
则
cos 1
( n 0 , 1, 2 , )
1 2 ( n ) 2 2 a
( n 0 , 1 , 2 , )
2
En
2 2 2
( 2 n1)2 2 2 8 a 2
I III 0 n II n 1 2n 1 2 A sin( x ) A cos x A cos x A cos x n 2 a 2a
第三章 一维定态问题
cos 0 sina 0
II .
（量子力学）
则 sin 1
由（3）式
cos 0 2
cos a 0
( 3)
cos(a ) sin 0
1 a ( n ) 2
所以
于是波 函数：
1 ( n ) 2 a
2
sin a 0
a n
所以
因
E
2
2 E 2
n 2 a
量子力学导论第3章答案
第三章一维定态问题3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，⎩⎨⎧∞<<<<=其余区域,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如b a = ，能级的简并度如何？解：能量的本征值和本征函数为mE yx n n 222π =)(2222b n a n yx +,2,1, ,sinsin2==y x y x n n n n byn axn abyxππψ若b a =，则 )(222222y x n n n n maE yx +=π ay n a x n a y x nn yxππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11''==y x n n ）3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即⎩⎨⎧∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。
如c b a ==，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为)(222222222cn b n an m n n n E z yxzy x ++=π ,,3,2,1,, ,sin sin sin 8==z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n zy x πππψ当c b a ==时，)(2222222z y x n n n man n n E z y x ++=π ay n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsinsin sin 223⎪⎭⎫ ⎝⎛= z y x n n n ==时，能级不简并；z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学 第三章习题与解答
第三章习题解答3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。
解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμω μωμωππαμω ⋅==⋅=2222221111221ω 41= (2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x 22222122221)(21ααμπα ⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x xααααμπα]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222 ω 41=或 ωωω 414121=-=-=U E T (3) ⎰=dx x x p c p )()()(*ψψ 212221⎰∞∞---=dx ee Px i xαπαπ⎰∞∞---=dx eePx i x222121απαπ⎰∞∞--+-=dx ep ip x 2222)(21 21αααπαπ ⎰∞∞-+--=dx ee ip x p 222222)(212 21αααπαπ παπαπα22122p e -=22221απαp e-=动量几率分布函数为 2221)()(2απαωp ep c p -==#3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。
解：(1)ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=0/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr ea e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω 0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω令 0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。
量子力学第三章
(dS = rdrd ) θ
(2)氢原子的磁矩为
M = ∫ dM = ∫
π ∞
0 0
∫
−
ehm
µ
πψnlm r2 sinθ drd θ
2
=− =−
=−
π ∞ ehm 2 ⋅ 2π ∫ ∫ ψnlm r 2 sinθ drd θ 0 0 2µ
ehm 2π π ∞ 2 ψnlm r2 sinθ drd dϕ θ 2µ ∫0 ∫0 ∫0
1
3 π a0
e−r / a0 ，求：
(1)r 的平均值；
e2 (2)势能 − 的平均值； r
(3)最可几半径；
(4)动能的平均值；
(5)动量的几率分布函数。 解：(1) r = rψ2π ∞ −2r / a0 2 re r sinθ drdθ dϕ 3 πa0 ∫0 ∫0 ∫0
∫
=
1 2πh
∫
∞
−∞
i α − 1α x − h Px 2 e e dx π
2 2
=
1 2πh
α ∞ −2α x −h Px ∫−∞ e e dx π
1
2 2
i
= = = 1
1 2πh 1 2πh 2πh
α e π ∫−∞
∞
ip p2 1 − α 2 ( x+ 2 )2 − 2 2 2 α h 2α h
4 −2r / a0 2 e r dr 3 a0
ω(r) =
dω(r) 4 2 = 3 (2 − r )re−2r / a0 dr a0 a0
令
dω(r ) = 0， r1 = 0, ⇒ dr
r2 = ∞,
r3 = a0
当 r1 = 0, r2 = ∞时， (r) = 0 为几率最小位置 ω
量子力学 第三章 课件
可以看出，相邻两本征值的间隔 P 2 L 与 L 成 反比。当 L 足够大时，本征值间隔可任意小；当 L 时 Px 0 ，即离散谱→连续谱
（3）在自由粒子波函数 P r , t 所描写的状态中， 粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这 个态中的本征值。
5
3.1 表示力学量的算符
（1）算符的定义 对一函数作用得到另一函数的运算符号
ˆ Fu v
例：
ˆ F dx ˆ Fx
ˆ d F dx
ˆ F 称为算符 d uv dx
udx v
xu v
(2）算符的本征方程 ˆ 算符 F 作用在函数 上，等于一常数 乘以 ˆ ˆ 即 F 此称为算符 F 的本征方程
17
2 角动量算符 （1）轨道角动量算符的定义
z
r
r y
ˆ r P ˆ L
ˆ ˆ zP i y z Lx yPz ˆy z y ˆ ˆ xP i z x Ly zPx ˆz x z ˆ xP yP i x y ˆ ˆ Lz y x y x
ˆ 证明动量算符的一个分量 px 是厄密算符
证明：
ˆ px dx i x dx
* *
* * ˆ i i dx ( px )* dx x
11
3.2 动量算符与角动量算符
1 动量算符
z
dz
Pz P ( z )
z
P ( z ) C3e
z
归一化系数的确定
1）若粒子处在无限空间中，则按 函数的归 一化方法确定归一化常数 A ，即
量子力学3-1
★算符的运算离不开 对波函数的作用
对于任意的波函数都成立
则
（特例：若I ，则I 称为单位算符）
（2）算符相加： ˆB ˆ B ˆ ) A ˆ (A 这是算符最基本的运算。
5
交换律和结合律：
ˆB ˆ ˆB ˆA A ˆ (B ˆ) (A ˆB ˆ ˆ C ˆ) C A
（3）算符乘积：
ˆ (B ˆB ˆ ) ( A ˆ ) A
运算依次从右向左进行
注意算符的乘积一般不对易：
ˆB ˆ ˆB ˆA A
6
（4）算符对易
ˆ 、B ˆ 满足关系 如果算符A
即 A ˆB ˆ 0 ˆB ˆ ˆB ˆA ˆ B ˆA A ˆ ，B ˆ] 0 ˆ 、B ˆ 对易， 并记作 [ A 则称算符A
d2 2 ( ) ( ) ( ) 0 2 d
x
18
( ) e
2 / 2
u( )
求解厄米方程，得到厄米多项式解 u ( )
最终得到一维谐振子哈密顿算符的本征能量
1 E n (n )，n 0,1,2, 2 及相应的本征波函数
第三章 力学量用算符表示 与表象变换
前面我们学习了两个量子力学的基本原理 1）微观粒子体系的状态可以用波函数来表示； 2）描述微观粒子运动状态的方程是薛定谔方程； 这里介绍量子力学的另一个基本原理 3）量子力学中的力学量可以用算符来表示
ˆ 即 F ( p, r ) ~ F (i, r )
对易关系的一般运算法则
ˆ, B ˆ] B ˆ, C ˆ][A ˆ, B ˆ ˆC ˆ [A ˆ ]C 最常用的运算法则 [ A
ˆB ˆ] A ˆ [B ˆ][A ˆ, C ˆ ]B ˆ, C ˆ, C ˆ [A
量子力学讲义第3章
量子力学讲义第3章第三章量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值∞∞-∞∞-∞∞-==>=<="" d="" p="" r="" t="" w="">3),(ψψψ分量：?∞∞->=<="" p="" r="" t="" x="">3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值∞∞-∞∞-∞∞-==>=3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p< p="">（注意r d t r p p 32),(?>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：?∞∞->=3*),(),(将 r d e t r t p C r p i∞∞-?-=323),()2(1),(ψπ 代入，有∞∞-?-∞∞-?>=<p< p="">d r de t r p r d e t r p r p i x r p i x 3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ -?=])2(1)[,(),(3)(3 //3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i -??-=??-=?∞∞--?δπ 于是??∞∞-∞∞--??->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ?∞∞-??-=。
量子力学第三章算符及量子力学主要知识点复习资料
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv =（3.1-1）ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =，3v =(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx ，x dx ∞-∞，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFGuGFu u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆF Fv FF v v --==，从而由ˆFv af =得：1ˆF af υ-=。
量子力学曾谨言习题解答第三章
第三章： 一维定态问题[1]对于无限深势阱中运动的粒子（见图3-1）证明2a x =）（）（22226112πn ax x -=- 并证明当∞→n 时上述结果与经典结论一致。
[解]写出归一化波函数： ()ax n ax n πsin2=ψ （1）先计算坐标平均值：xdx axn axdx ax n axdx x aaa）（⎰⎰⎰-==ψ=222cos11sin2ππ 利用公式：2sin cos sin ppx p pxx pxdx x +-=⎰（2）得2c o s s i n c o s ppx ppxx pxdx x +-=⎰（3）22cos 22sin 221022a a x n n a a x n x n a xa x a=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛-=ππππ计算均方根值用()x x x x x ，）（222-=-以知，可计算2xdx axn x adx axn x adx x xaa）（⎰⎰⎰-==ψ=2222222cos11sin2ππ 利用公式px ppx x ppx x ppxdx x sin 1cos 2sin 1cos 3222-+=⎰（5）aa x n x n a a x n n a x n a x a x222222cos 222sin 22311πππππ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=222223πn aa-=()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 2222212πn aa-=（6）在经典力学的一维无限深势阱问题中，因粒子局限在（0，a ）范围中运动，各点的几率密度看作相同，由于总几率是1，几率密度a1=ω。
210a xdx axdx x aa===⎰⎰ω31222adx x axa==⎰()22222222223⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-a n aaxx x x π）（ 故当∞→n 时二者相一致。
#[2]试求在不对称势力阱中粒子的能级。
量子力学3-1
ψ1' ψ2' = ， ψ1 ψ2
ψ1 即 ln = 0 ψ 2
'
或
[lnψ2 −lnψ1]' = 0
ψ2 对 积 ，ln =常 （ x无 ， 数 为 c） x 分 数 与 关 常 取 ln ψ 1 所 ψ2 = cψ1 以
故 ψ2与 1代 同 量 态 其 级 简 。 ψ 表 一 子 ， 能 不 并
现 讨 此 征 方 。 下 理 4对 在 论 本 值 程 以 定 1− 于 维 题 样 立 三 问 同 成 。
3
定 1 理： 设 (x)是 程 一 解 对 的 量 征 为E, ψ 方 的 个 ， 应 能 本 值 则 *(x)也 方 的 个 ， 应 能 也 E。 ψ 是 程 一 解 对 的 量 是 即 量E 可 是 重 并 。 能 能 二 简 的
5
故 (x)可 为 函 ψ 取 实 数
当 级 简 时 用 理 能 有 并 ， 定 2 定理2：对于能量的某个本征值E，总可找到方 程的一组实解，凡是属于 E 的任何解，均可表 成这一组实解的线性叠加.即这组实解是完备的。
证 ： 明 设 (x)是 于 量 的 何 征 数 解 ψ 属 能 E 任 本 函 ( )
24
③势垒
V(x)
V(x)
梯形势(散射问题) ④其他形式
势垒(隧道贯穿)
超晶格
谐振子
﹟
25
▲量子力学中常用的二阶常系数 齐次线性微分方程的解 对方程 ψ' '+pψ'+qψ = 0 其特征方程为
r2 + pr +q = 0
若 个 为r，2， 其 为 两 根 1 r 则 解
(1 两 相 的 根1,2 ) 不 等 实 r
量子力学第三章作业答案
1、指出下列算符哪个是厄米算符，说明其理由。
224 dxd dx d i dx d ，，，x p x ˆˆ， )ˆˆˆˆ(21x p p x x x + 解： 不是， 是， 是 不是 是 (1) ˆx p是厄米算符，又因为，ˆx d p i dx =- ，所以d i dx 也是厄米算符，ddx不是厄米算符。
(2) 2222ˆxd p dx =- 是厄米算符，所以224d dx是厄米算符。
(3) ()†††ˆˆˆˆˆˆˆˆx x x x xpp x p x xp ==≠，所以不是厄米算符。
(4)()()()††††††††11ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()2211ˆˆˆˆ2211ˆˆˆˆ221ˆˆˆˆ2x x x x x x x x x x xp p x xp p x xp p x p x x p p x xp ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭=+=+=+所以是厄米算符 2、如果 Fˆ和 G ˆ都是厄米算符，但互不对易，试判断下列算符中哪些是厄米算符？（1）G F ˆˆ； （2）F G ˆˆ；（3）G F ˆˆ+F G ˆˆ； （4）G F ˆˆF G ˆˆ-； （5）i （G F ˆˆ+F G ˆˆ）； （6）i （G F ˆˆF G ˆˆ-）； （7）G Fˆˆ+； （8）G F ˆˆ-； （9）)ˆˆ(G F i +； （10）)ˆˆ(G F i -；解：（1）（2）不是。
（3）是，（4）不是，（5）不是，（6）是，（7）是（8）是，（9）不是，（10）不是3、下列函数哪些是算符22dx d 的本征函数，其本征值是什么？①2x ， ② x e ， ③x s i n， ④x c o s 3， ⑤x x c o s s i n + 解：22dxd 2x =2 不是22dxd xe =x e ，是，本征值为1.22dxd x sin =-x sin ，是，本征值为-1. 22dxd x cos 3=-x cos 3，是，本征值为-1. 22dxd （x x cos sin +）=-(x x cos sin +), 是，本征值为-14、证明：[Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0 证明：[Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]]= [Ô, ÛÊ-ÊÛ]+ [Û, ÊÔ -ÔÊ]+ [Ê, Ô Û -Û Ô]=[Ô, ÛÊ] -[Ô, ÊÛ]+ [Û, ÊÔ]- [Û, ÔÊ]+ [Ê, ÔÛ] -[Ê, ÛÔ]=ÔÛÊ- ÛÊÔ- ÔÊÛ+ÊÛÔ+ ÛÊÔ-ÊÔÛ- ÛÔÊ+ ÔÊÛ+ÊÔÛ- ÔÛÊ-ÊÛÔ+ ÛÔÊ=05、证明：处于1s 、2p 和3d 态的氢原子中的电子，当它处于距原子核的距离分别为00094a a a 、、的球壳处的几率最（0a 为第一玻尔轨道半径）。
量子力学课件第三章(2020年7月整理).pdf
但是我估计它并非是一个你可以很快熟悉的形式。在 N 维空间中，可以简单地用对应
于 N 个正交归一基矢的分量，an ，的一个 N 行列矩阵表示一个矢量 ，即：
的定值态。（实际上，我们已经知道一个例子：哈密顿的定态是定值态；测量一个粒子处于定态
n 时的总能量，必定得到相应的“允许的”能量 En 。） Q 的标准差，在定值态下应该是 0，即：
2 = (Qˆ − Q )2 = (Qˆ − q)2 = (Qˆ − q) (Qˆ − q) = 0.
[3.21]
[3.20]
3.2.2 定值态（Determinate States） 通常的，当你对全同体系组成的系综测量一个可观测量 Q ，每个体系都处于相同的状态 ，每
次测量并不能得到相同的结果 — 这就是量子力学中的不确定性。9 问题：是否能够制备一个态
使得每一次观测 Q 都一定得到同样的值（记作 q ）？如果你喜欢，可以称这样的态为可观测量 Q
它们在 必定趋于零。8 注意到在分部积分时 i 的复共轭伴随着一个负号的产生 ⎯ 算符
d dx （没有 i ）不是厄密的，它不能表示可能的可观测量。
*习题 3.3 证明如果对于所有（希耳伯特空间中）的函数 h 都有 h Qˆh = Qˆh h ，那么，对
于所有的 f 和 g 就有 f Qˆg = Qˆf g （即，两种对于厄密算符的定义 — 等式 3.16 和 3.17 — 是等价的）。提示：首先设 h = f + g ，然后令 h = f + ig 。
量子力学习题解答-第3章
=c
2.
b * 1 a
ò
f
* 1
( x ) g ( x ) dx + c ò f ( x ) g ( x ) dx = c
展开系数 C ( p, t ) 称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数 C ( p, t ) 来研究这个 态。 Y 的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。
ˆ 的本征态为分立谱 f 时， 当力学量 F n Y = å cn f n ,
n
cn = f n Y
ˆ 表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展 在 F ˆ 表示为一个方矩阵 开系数 {c 可表示为一列矩阵，算符 G n } æ c æ G11 G12 1 ö ç c ÷ çG 22 ç 2 ÷ ç 21 G Ψ = ç M ÷ G = ç ... ... ç ÷ ç ç cn ÷ ç Gn1 ... ç M ÷ ç ... ... è ø è
2
测量力学量 Q ，得到的可能结果必是 Q 本征值中的一个，得到 q n 几率为 c n 。对系综测量 力学量 Q （具有大量相同 Y 态系综中的每一个 Y 进行测量）所得的平均值（期待值）为
Q = å qn cn
n
2
ˆ Ydx 计算方法等价。 这与用 Q = ò Y Q
*
ˆ 具有连续谱的本征函数系 如果力学量 Q
a a
量子力学 第三章
ˆ ˆ ˆ ˆ (∆A) (∆B) ≥ (∆Aψ , ∆Bψ ) = (ψ , ∆A∆Bψ )
2
ˆ, ˆ ˆ, ˆ [∆A ∆B]+ [A B] ψ ) + i(ψ , ψ) = (ψ , 2 2i
2
2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆψ = (ψ ,[∆A, ∆B]+ψ ) + (ψ ,[A, B] ) 4 4
1 2 1 2 2 1 2 1
ˆ ˆ ˆ ˆ c =1, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = (Aψ2 ,ψ1) − (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ c = i, (ψ1, Aψ2 ) − (Aψ1,ψ2 ) = −(Aψ2 ,ψ1) + (ψ2 , Aψ1) ˆ ˆ ˆ ˆ + : (ψ , Aψ ) = (Aψ ,ψ ), − : (Aψ ,ψ ) = (ψ , Aψ )
± lm
ˆ 因为 lz 的本征值 (m ±1)h非简并，所以 ˆ λ l±Y (θ,ϕ) = λ±Y,m±1(θ,ϕ)， ± 是常数 lm l
物理上认为： 描述同一方位， ϕ 物理上认为：ϕ与 + 2π 描述同一方位，
ψ (ϕ +2π ) =ψ (ϕ),
lz = mh, m = 0, ±1, ± 2,L
周期性边界条件 或自然边界条件
满足 (ψm,ψn ) = δmn
1 imϕ ψm (ϕ) = e 2π
ˆ 也是保证 lz 厄米的要求
例2 平面自由转子的本征能量和定态
ˆ ˆ (A− A)ψ = 0 或Aψn= Anψn
即算符的本征态时， 学量有确定测值。 学量有确定测值。
3.2.2 力学量假定
Postulate 3
v v 1. 经典力学中的任一力学量F(r , p) ，对应量 v v ˆ (r , p) = F(r ,−ih∇) ； ˆ v ˆ 子力学中的线性厄密算符 F ˆ的本征值为力学量F的测量值(称可测值)； 2. F
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3.1-2 量子力学中常见的几类算符
(1) 线性算符 满足如下运算规律的算符
Aˆ(C11 C22 ) C1Aˆ1 C2 Aˆ2
pˆ i , 1ˆ, 微商运算, 积分算符都是线性算符 开方运算、对数运算就不是线性算符 (2) 逆算符
设 Aˆ 对 作用的结果为 即 Aˆ 若 Bˆ 有作用 Bˆ
则称 Aˆ , Bˆ 互为逆算符，记为 Bˆ Aˆ 1; Aˆ Bˆ 1
注：复共轭： 把算符表达式中的所有量换成复共轭量
如 pˆ* (i )* i pˆ
(3) 厄密共轭算符
定义内积 (2, 1) *2 (r ,t)1(r ,t)d
若
(2, Aˆ1) (Bˆ2,1)
因为 (2 , 1)* (1, 2 )
பைடு நூலகம்
在具有确定值 的状态 下，力学量 Fˆ的
期望值 F , 而且均方偏差 (F)2 等于零，
即 (F )2 * (r )(Fˆ F )2 (r )d * (r )(Fˆ )2 (r )d 0
设算符 Fˆ线性厄密，上式可写成
(F )2 [(Fˆ ) (r )]*[(Fˆ ) (r )]d (Fˆ ) (r ) 2 d 0 (Fˆ ) (r ) 0
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值 3.2-2 力学量的可能取值 3.2-3 力学量在体系一个运动状态下可能
取值的几率分布 3.2-4 表示力学量算符必须满足的条件 3.2-5 量子力学的第三条假设
3.2-1 力学量在体系一个运动状态下的期望值
坐标和动量的期望值 (及势能，动能，哈密顿量)
② 没有经典的力学量对应：设算符表示为 Fˆ
期望值仍为 F *Fˆd (*, Fˆ)
3.2-2 力学量的可能取值
某时刻在体系一个状态下测量力学量 Fˆ ，
测量值有一系列的可能取值，所有可能取值 构成可能值谱；可能取值有确定的几率分布。
力学量 Fˆ 有确定值的状态：
若测量时某取值m的几率为1，其它的均为零，记为 m
有 Aˆ Bˆ
记 Bˆ Aˆ 即 (2, Aˆ1) (Aˆ 2, 1)
即 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ 2 (r ,t)]*1(r ,t)d
(4) 么正算符 满足下面条件的算符
UˆUˆ Uˆ Uˆ 1ˆ; i.e. Uˆ Uˆ 1
性质：对任意两个矢量作用，不改变这两个矢量的内积
算符之和：
Cˆ (r , t) Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Cˆ Aˆ Bˆ
算符数乘：Cˆ (r , t) [ Aˆ(r , t)] Cˆ Aˆ
算符相乘：Cˆ (r , t) Aˆ[Bˆ(r ,t)] Cˆ Aˆ Bˆ
一般不满足交换律：Aˆ Bˆ BˆAˆ
算符相加满足：
(Uˆ 2 ,Uˆ 1) [U 2 (r , t)]*[Uˆ 1(r , t)]d [Uˆ Uˆ 2 (r , t)]* 1(r , t)d *2 (r , t)1(r , t)d (2 , 1)
故不改变矢量的模和相互正交矢量的正交性
(5) 厄密算符 Aˆ Aˆ
有 *2 (r ,t)Aˆ1(r ,t)d [Aˆ2 (r ,t)]*1(r ,t)d (29)
算符与通常 数运算规则 不同之处
交换律： Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ 结合律： ( Aˆ Bˆ ) Cˆ Aˆ (Bˆ Cˆ )
算符对易子： [ Aˆ, Bˆ ] Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ, Bˆ 对易，此时 Aˆ Bˆ BˆAˆ
若 [ Aˆ, Bˆ ] 0 称 Aˆ , Bˆ 不对易
Aˆn nn ; Aˆm mm
代入到上面的积分式中，有：
仅证明 非简并情况
* m
(r
)
Aˆn
(r
)d
[ Aˆm (r )]*n (r )d
* m
(r
)nn
(r
)d
[mm (r )]*n (r )d
(n m )
* m
(r
)n
(r
)d
0
m n
* m
(r
)n
(r
)d
0
正交
§3.2 力学量用算符表示
r *(r,t)rˆ(r,t)d *(r,t)r(r,t)d p *(r,t) pˆ(r,t)d *(r,t)(i )(r,t)d
任意力学量的期望值为
F *(r,t)Fˆ(r,t)d (, Fˆ)
①有经典对应的力学量：F F r, p,t 其算符为 Fˆ F(rˆ, pˆ,t) F r , i ,t
(2, Aˆ1) (Aˆ2, 1)
两个性质：1) 厄密算符的本征值全是实数
设 Aˆ 的本征值方程为 Aˆ
取 2 1 代入到(29)式中，有：
*(r ) (r )d * *(r ) (r )d
*
实数
2) 厄密算符的相应于不同本征值的本征矢量必定正交
对于两个不同的本征值和本征矢量
对易子的恒等式
[ Aˆ, Bˆ ] [Bˆ, Aˆ]; [ Aˆ, ] 0;
[ Aˆ, Bˆ Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ] [ Aˆ, Cˆ ]; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ] [Bˆ, Cˆ ]; [ Aˆ, BˆCˆ ] Bˆ[ Aˆ,Cˆ ] [ Aˆ, Bˆ]Cˆ; [ Aˆ Bˆ,Cˆ ] Aˆ[Bˆ,Cˆ ] [ Aˆ,Cˆ ]Bˆ; [ Aˆ,[Bˆ, Cˆ ]] [Bˆ,[Cˆ, Aˆ]] [Cˆ,[ Aˆ, Bˆ]] 0
第三章 量子力学原理(Ⅱ) 力学量算符及量子条件
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5 §3.6
算符及其运算规则 力学量用算符表示 几个基本的力学量算符 量子条件 两个力学量同时有确定值的条件 体系的守恒量
§3.1 算符及其运算规则
3.1-1 黑伯特空间及算符 3.1-2 量子力学中常用的几类算符
3.1-1 算符的基本性质 运算: 作用于(波)函数
（1）单位算符
（2）零算符
（3）算符相等
（4）算符之和
（5）算符数乘和乘积 （6）交换律结合律
（7）对易关系
单位算符: 1ˆ(r , t) (r , t) 零算符： 0ˆ (r , t) 0 算符相等： Aˆ(r , t) Bˆ(r , t) Aˆ Bˆ