清华大学数学实验_实验8 线性规划1

实验8 线性规划

实验目的：

1）掌握用matlab优化工具箱解线性规划的方法

2）练习建立实际问题的线性规划模型

实验内容：

6，信息如下表所示。市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此

（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；

（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4

（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。

①若该经理有1000万元资金，应该如何投资？

②如果能够以2.75%的李律借到不超过100万元资金，该经理应如何操作？

③在1000万元资金的情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？

解：

①

问题的建模：

令总收益为z，每项投资各为x1,x2,x3,x4,x5

则有：

z=0.043x1+0.054*0.5x2+0.050*0.5x3+0.044*0.5x4+0.045x5

约束为：

x2+x3+x4≥400

0.6x1+0.6x2-0.4x3-0.4x4+3.6x5≤0 (平均信用等级不超过1.4)

4x1+10x2-x3-2x4-3x5≤0 （平均到期年限不超过5年）

x1+x2+x3+x4+x5=1000

x1,x2,x3,x4,x5≥0

模型的求解：

matlab代码如下：

c=[0.043 0.054*0.5 0.050*0.5 0.044*0.5 0.045];

A1=[0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];

b1=[-400 0 0]

A2=[1 1 1 1 1];

b2=[1000];

v1=[0 0 0 0 0];

opt=optimset(‘LargeScale’,’off’,’simplex’,’on’); %选用单纯形法求解

[x,z0,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,A2,b2,v1,[],[],opt)

lag.ineqlin, lag.eqlin

结果是：

x =

218.1818

736.3636

45.4545

z0 =

-29.8364

lag =

ineqlin: [3x1 double]

eqlin: 0.0298

upper: [5x1 double]

lower: [5x1 double]

ans =

0.0062

0.0024

ans =

0.0298

因此：该经理应购入A 218.18万元，C 736.3636万元，E 45.4545万元。最大收益是

29.8364万元。

②如果能够以2.75%的李律借到不超过100万元资金

问题的建模：

则z=0.043x1+0.054*0.5x2+0.050*0.5x3+0.044*0.5x4+0.045x5-（x1+x2+x3+x4+x5-1000）*0.0275

1000≤x1+x2+x3+x4+x5≤1100

其余不变。

模型的求解：

Matlab代码如下：

c=[0.043 0.054*0.5 0.050*0.5 0.044*0.5 0.045]-[1 1 1 1 1]*0.0275;

A1=[0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3;1 1 1 1 1;-1 -1 -1 -1 -1]; b1=[-400 0 0 1100 -1000]

v1=[0 0 0 0 0];

opt=optimset(‘LargeScale’,’off’,’simplex’,’on’); %选用单纯形法求解[x,z0,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,[],[],v1,[],[],opt)

lag.ineqlin, lag.lower

结果是：

x =

240.0000

810.0000

50.0000

z0 =

-2.5700

lag =

ineqlin: [5x1 double]

eqlin: [0x1 double]

upper: [5x1 double]

lower: [5x1 double]

ans =

0.0062

0.0024

0.0023

ans =

0.0302

0.0006

因此：该经理应购入A 240万元，C 810万元，E 50万元。最大收益是2.57+1000*0.0275=30.07万元。

③修改matlab代码如下：

A税前收益增加为4.5%

c=[0.045 0.054*0.5 0.050*0.5 0.044*0.5 0.045];

A1=[0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];

b1=[-400 0 0]

A2=[1 1 1 1 1];

b2=[1000];

v1=[0 0 0 0 0];

opt=optimset('LargeScale','off','simplex','on'); %选用单纯形法求解[x,z0,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,A2,b2,v1,[],[],opt)

lag.ineqlin,lag.eqlin

算得x =

218.1818

736.3636

45.4545

与①相同，所以说不应该改变投资计划。

C税前收益减少为4.8%：

c=[0.043 0.054*0.5 0.048*0.5 0.044*0.5 0.045];

A1=[0 -1 -1 -1 0;0.6 0.6 -0.4 -0.4 3.6;4 10 -1 -2 -3];

b1=[-400 0 0]

A2=[1 1 1 1 1];

b2=[1000];

v1=[0 0 0 0 0];

opt=optimset('LargeScale','off','simplex','on'); %选用单纯形法求解[x,z0,ef,out,lag]=linprog(-c,A1,b1,A2,b2,v1,[],[],opt)