刚体定轴转动
刚体的定轴转动
J
1 2 m( R12 R2 ) 2
1 mR 2 2 若R1 R2 R, J mR 2
16
例：求长度为L，质量为m的均匀细棒AB的转动惯量。 （1）对于通过棒的一端与棒垂直的轴。 （2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。 m 解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： l L 1 3 2 2 dm A B J A x dm x dx L o 0 3 x
2 0
2
0
dm MR
2
绕圆环质心轴的转动惯量为
M
o
R
பைடு நூலகம்dm
J MR
2
讨论：若圆环绕其直径轴转动，再求此圆环的转动 惯量。
14
例: 一质量为m，半径为R的均匀圆盘，求对通过盘 中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
m 解： σ πR 2
dm σ 2π rdr
dJ r dm 2πσ r dr
5
匀变速圆周运动的基本公式
p
1 2 0 0t t 2
0 t
s
R
o
p
x
2 2 0 2 ( 0 )
定轴转动刚体上任一点的速度和加速度 s R 路程与角位移之间的关系：
v R 线速度与角速度的关系：
加速度与角量的关系： 2 dv d v at R R , an 2 R, dt dt R
1
柱壳形状的质元 ,其长为l半径为r厚度为dr, 则该质元的质量为 dm dV ( 2 rdr )l
R2
R2
l
J r dm 2lr dr
2 3 m R1
l
2
刚体的定轴转动
刚体的定轴转动一、刚体极其运动刚体——受力时不改变形状和体积的物体。
注：（1）刚体是固体物件的理想模型。
（2）刚体是一个特殊的质点系（各质点间的相对位置在运动中保持不变）。
刚体的运动分为平动和转动。
平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位置间的连线。
（用质点力学处理）转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动。
二、刚体转动的角速度和角加速度刚体定轴转动时，由于各质元间的相对位置保持不变，因此描述各质元的角量是一样的。
角坐标：θ=θ(t)角位移：?θ=θ(t+?t)-θ(t) 角速度：?θdθ=?t→0?tdt角速度的方向：右手螺旋法则。
dω角加速度：α= dt定轴转动的特点：（1）每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；（2）任一质点运动?θ,ω,α均相同，但v,a不同；（3）运动描述仅需一个坐标。
三、匀变速转动公式匀变速转动------刚体绕定轴转动的角加速度为恒量。
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比匀变速转动匀变速直线运动v=v+at x=x0+v0t+at2212222v=v0+2a(x-x0)2ω=lim 匀四、角量与线量的关系v=rωaτ=rαan=rω24-2力矩转动定律转动惯量一、力矩设一质点系由n个质点组成，其中i质点受力为n-1j=1Fi外+∑fjin-1 Mi=ri?(Fi外+∑fji)现对i质点所受力的力矩：j=1对i求和，刚体所受力的力矩为n M=∑Mi=∑ri?Fi外ii=1（内力矩为零）二、刚体的转动定律组成刚体的各质点间无相对位移，所以刚体对给定轴的力矩为dω2 M=rma=(rm)α=J=Jα∑iz∑∑iiτiidtii即刚体定轴转动的转动定律：绕定轴转动的刚体的角加速度与作用于刚体上的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
它在定轴转动中的地位相当于牛顿第二定律在质点力学中的地位。
刚体定轴转动定律
o
P
x
2.角位移
描写刚体位置变化的物理量。
角坐标的增量：
称为刚体的角位移
y v2 p v1
P
3.角速度
R
x
描写刚体转动快慢和方向
的物理量。
角速度 lim d
t0 t dt 方向：满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴 转动角速度的方向只有两个，在表 示角速度时只用角速度的正负数值 就可表示角速度的方向，不必用矢 量表示。
11mb 2
例4、半径为 R 质量为 M 的 圆环，绕垂直于圆环平面的 质心轴转动，求转动惯量J。
解： J R2dm MR 2
M o R dm
例5、半径为 R 质量为 M 的圆盘，绕垂直于圆盘 平面的质心轴转动，求转动惯量 J。
解：分割圆盘为圆环
dm
M
R2
2
rdr
J r2dm
M
dr
R
0
t 细杆绕一端的转动惯量
J 1 ml 2 3
摩擦阻力
t
例8、质量为 m1 和m2 两个物体， 跨在定滑轮上 m2 放在光滑的桌 面上，滑轮半径为 R，质量为 M，求：m1 下落的加速度，和 绳子的张力 T1、T2。
解：m1 g T1 m1a （1）
T2 m2a
b)作圆周运动的质点的角动量 L＝ r m v
c)角动量是描述转动状态的物理量；
P L
d)质点的角动量又称为动量矩。
or
dL
d (r mv)
dr
mv
r
d (mv)
r
F
dt
大学物理第5章刚体的定轴转动
d ctdt
对上式两边积分得
d c td t
0 0
t
1 2 ct 2
2 2 600π π 3 rad s 由给定条件， c 2 t 300 2 75
d π 2 由角速度的定义，则任意 t 时刻的角速度可写为： d t 150
得到： 转子转数：
A M d E K
a b
动能定理
动量定理
A F ds E K
动能定理 角动量定理 角动量 守恒
t 0Fdt P
t
动量守恒
F 0, P 0
t 0 M z dt Lz
t
M 0, L 0
§5.1 刚体、刚体运动
一、一般运动 二、刚体的定轴转动 三、解决刚体动力学问题的一般方法
基本方法： 加
质点系运动定理 刚体特性 平动：动量定理
刚体定轴转动的 动能定理 角动量定理
F mac
可以解决刚体的一般运动（平动加转动）
一、一般运动
1. 刚体 特殊的质点系， 形状和体积不变化 —— 理想化模型 在力作用下，组成物体的所有质点间的距离始终保持不变 2. 自由度 确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数 z
刚体平面运动可看做刚体的平动与定轴转动的合成。 例如：车轮的滚动可以看成车轮随轮 轴的平动与绕轮轴的转动的组合。 描述刚体平面运动的自由度：3个
定点转动 刚体运动时，刚体上的一点固定不动，刚体绕过定点的一 瞬时转轴的转动，称作定点转动。
描述定点转动的自由度：3个
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
z
描述刚体绕定轴转动的角量： 角坐标
刚体定轴转动概述
m
已知： m , m1 , m2 , r , 0 0
r
求： t ?
m2
m1
思路：质点平动与刚体定轴转 动关联问题，隔离法，分别列 方程，先求角加速度, 再
23
N
β
r
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m 为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第 二定律和转动定律建立方程。 对于 m 1
3 、物理意义：转动惯性的量度 .
I 大 转动惯性大
4、转动惯量的计算
若质量离散分布 若质量连续分布
I＝ mi ri
i
2
I r dm
2
O m2
例：如图m1 ，m2绕OO′转动，
它们距轴的距离分别为
2 1 l l 3 、 3
m1
2 l 3 1 l 3
则，系统的转动惯量为
2 1 I = m1 l m2 l 3 3
dm 2rdr l
l
3
R
O
r
dr
dI r dm 2lr dr
2
I
dI
R
0
m 1 2 I mR R 2l 2
1 4 2lr dr R l 2
3
可见，转动惯量与l无关。所以，实心圆柱对其轴的转动惯量 也是mR2/2。
m1 g T1 m1a1 (1)
T2 m2 g m2 a2 (2)
2
T2 mg
T1
对于 m 2
对于滑轮 m T r T r I 1 mr 2 (3) 1 2
T2
a2
T1
m2 g
思考：
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
刚体的定轴转动
角速度是代数量，其正负表示刚体的转向。角速度为正值时表
明转角随时间而增加，刚体作逆时针转动；反之，转角随时间而减
小，刚体作顺时针转动。
角速度的单位是rad/s。工程上还常用每分钟转过的圈数表示刚
体转动的快慢，称为转速，用n表示，单位是r/min。角速度ω与转速
n之间的换算关系为
2n n
60 30
理论力学
刚体的运动\刚体的定轴转动
刚体的定轴转动
刚体运动时，若刚体内或其延伸部分有一直线始终保持不动， 刚体的这种运动称为定轴转动，简称转动。这条保持不动的直线称 为转轴。显然，刚体转动时，刚体内不在转轴上的各点都在垂直于 转轴的平面内作圆周运动，其圆心都在转轴上，圆的半径为该点到 转轴的垂直距离。
刚体的定轴转动在工程实际中随处可见，例如电动机转子的转 动，胶带轮、齿轮的转动等。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
1.1 转动方程
设某刚体绕固定轴z转动，如图所示，为确定 该刚体在任一瞬时的位置，过转轴z作一固定平 面Ⅰ，再过转轴z作一与刚体固连、随刚体一起 转动的动平面Ⅱ。这样，该刚体在任一瞬时的位
置就可以用动平面Ⅱ与定平面Ⅰ的夹角确定， 角称为刚体的转角。当刚体转动时，转角是时
间t的单值连续函数，即 (t)
上式称为刚体的转动方程。若转动方程已知，则刚体在任一瞬时的 位置就确定了。因此，转动方程反映了刚体转动的规律。
转角是一个代数量，其正负号的规定如下：从转轴z的正端向 负端看去，逆时针转为正，反之为负。转角的单位是rad。
目录
刚体的运动\刚体的定轴转动
【例6.2】已知汽轮机在启动时主动轴的转动方程为t3，式中 的单位是rad，t的单位是s，求t＝3s时该轴的角速度和角加速度。
刚体定轴转动(公式)
旋转木马通常配备安全带、护栏等安全措施，以确保乘客安全。
儿童游乐设施
旋转木马是儿童游乐场常见的设施之一，为儿童提供娱乐和刺激。
电风扇的转动
电风扇的工作原理
电风扇通过电机驱动叶片 旋转，产生风流，实现送 风效果。
风力调节
电风扇通常配备调速器， 可调节电机转速，从而调 节风力大小。
维护保养
定期清洗电风扇叶片和外 壳，检查电线和开关是否 正常，以确保安全和正常 使用。
04
刚体定轴转动的实例分析
匀速转动的飞轮
01
02
03
飞轮的转动
飞轮在匀速转动时，其角 速度保持恒定，不受外力 矩作用。
动能与势能转换
飞轮在转动过程中，动能 和势能之间相互转换，但 总能量保持不变。
平衡状态
在匀速转动状态下，飞轮 的合力矩为零，处于平衡 状态。
旋转木马的转动
旋转木马的转动原理
旋转木马通过电机驱动，使木马旋转，当木马旋转时，离心力作 用使木马保持稳定。
力矩平衡方程
合力矩=0，即所有作用在刚体上的力对旋转轴产生的力矩之和为零。
注意事项
在应用力矩平衡方程时，需要明确各个力的作用点和方向，并计算其对旋转轴产生的力矩。同时，需要注意力的 方向和力臂的长度对力矩的影响。
如何应用动量矩守恒定律？
动量矩守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，刚体的动量矩是守恒的。
05
刚体定轴转动的常见问题与解决方案
如何计算转动惯量？
转动惯量计算公式
I=mr^2，其中m是刚体的质量，r是质心到旋转轴的距离。
注意事项
在计算转动惯量时，需要明确旋转轴的位置，并计算质心到旋转轴的距离。同时 ，需要考虑刚体的质量分布情况，因为不同位置的质量对转动惯量的贡献不同。
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律一、前言刚体的定轴转动定律是物理学中的重要概念之一，它描述了刚体在绕固定轴进行运动时的物理规律。
本文将从定义、公式、特点和应用四个方面来全面介绍刚体的定轴转动定律。
二、定义刚体的定轴转动指的是一个刚体在绕一个固定轴进行旋转运动时，其各个部分都沿着圆周运动，且旋转轴不发生移动。
而刚体的定轴转动定律则是描述这种运动状态下物理量之间关系的规律。
三、公式1. 角加速度公式角加速度指的是角速度随时间变化率，通常用符号α表示。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理，可以得到以下公式：Iα = τ其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，τ表示作用在刚体上的扭矩。
2. 角位移公式角位移指的是一个物体在绕某一点旋转时所经过的角度变化量，通常用θ表示。
根据定义可以得到以下公式：θ = s / r其中，s表示弧长，r表示绕定轴旋转的半径。
3. 角速度公式角速度指的是一个物体在绕某一点旋转时所具有的单位时间内经过的角度变化量，通常用符号ω表示。
根据定义可以得到以下公式：ω = Δθ / Δt其中，Δθ表示角位移变化量，Δt表示时间变化量。
4. 动能公式刚体绕定轴旋转时所具有的动能可以通过以下公式计算：E = 1/2 Iω²其中，I表示刚体绕固定轴旋转时所具有的惯性矩，ω表示角速度。
四、特点1. 惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
根据牛顿第二定律和角动量守恒原理可以得到Iα = τ这一公式，表明惯性矩与扭矩之间存在直接关系。
当扭矩增大时，刚体的角加速度也会增大；当惯性矩增大时，则需要更大的扭矩来产生相同大小的角加速度。
2. 角加速度与扭矩之间存在反比关系。
根据Iα = τ这一公式可以看出，当惯性矩不变时，角加速度与扭矩之间存在反比关系。
也就是说，当扭矩增大时，角加速度会减小；当扭矩减小时，角加速度会增大。
3. 角速度与角位移之间存在直接关系。
根据定义可以得到ω = Δθ / Δt这一公式，表明角速度与角位移之间存在直接关系。
刚体的定轴转动
ri
mi
z
2 L mi ri
i
2
( mi ri )
O
vi
L J
第二章 守恒定律
26
i
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
2 刚体定轴转动的角动量定理 质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
dLi d( J ) d 2 Mi (mi ri ) dt dt dt in 合外力矩 对定轴转动的刚体 M i 0 ， ex d d( J ) 2 M M i ( mi ri ) dt dt d( J ) dL M dt dt
(3) 运动描述仅需一个角坐标．
第二章 守恒定律
7
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
第二章 守恒定律
8
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
一
力矩
用来描述力对刚体 的转动作用．
M Fr sin Fd d : 力臂 F 对转轴 z 的力矩 M r F F F
Fi 0,
刚体定轴转动 (一维转动)的转动 方向可以用角速度 的正、负来表示.
d 角加速度 dt
z
z
>0
第二章 守恒定律
<0
6
物理 （工）
2-4
刚体的定轴转动
定轴转动的特点 (1) 每一质点均作圆周运动，圆面为转动 平面；
均相同，但 (2) 任一质点运动 , , v, a 不同；
第二章 守恒定律
刚体的定轴转动
设质点系各质点质量m1、 m2、… mi、 … mn，它们的位矢r1、 r2、… ri、 … rn 。
则质心的位矢定义为：
其中：
为质点系总质量。
y mi
C
o
x
z
对质量连续分布的物体：
或：
➢ 质心相对于质点系中各质点的位置是确定的，该位置不因坐标系的不同选择而 不同。
设 为刚体所受的合外力矩，则：
刚体的转动定理：刚体所受的合外力矩等于刚体对同一转轴 角动量的时间变化率。
非相对论情况下，转动惯量I为常量：
所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题
4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M而半径为r 。绳 的质量不计且与滑轮无相对滑动，滑轮轴的摩擦力不计。求： m1 、 m2的加速度及绳中的张力。
刚体的定轴转动
§4-1 刚体的运动
A
平动：刚体内任意两点连线的 B 方向在运动中保持不变。
定轴转动：刚体上所有质点均 绕一固定直线作圆周运动，该 直线称为转轴。
A’’
B’’ A’
B’
ω
pv
非定轴转动：刚体上所有质点绕 一直线作圆周运动，该轴也在空 间运动.
本章主要讨论刚体的定轴转动。
§4-2 质心、质心运动定理
例：质量均匀的细杆，坐标原点选在一端。 例：质量均匀的细杆，坐标原点选在杆中央。
o
L/2 x dx C
M, L
x
M, L C
x
o x dx
➢ 对质量分布均匀，形状对称的物体，质心就在其几何中心。 ➢ 质心、重心是两个不同的概念，但物体不太大时，质心和重心位置重合。
刚体的定轴转动
角动量守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
30
例 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心 O 并与 纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于水平位 置时, 有一只小虫以速率 v0 垂直落在距点 O 为 l/4 处, 并背离点O 向细杆的端点 A 爬行. 设小虫与细杆的质量 均为m. 问: 欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多 大速率向细杆端点爬行? 解: 碰撞前后系统角动量 守恒
rj
j
内力矩之和 0
mi ri
2
令
J mi ri
2
M ij M ji
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
——刚体转动惯量
M J
2–6 J
刚体作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受 合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
35
4、质量为m的不太大的整个刚体的重力势能
E P yg d m g y d m
Y y yc C
dm
mg
结论：
ydm
m
m gyc
O m X
一个不太大的刚体的重力势能 和它的全部质量集中在质心时所具 有的势能一样。
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
4
转轴
转轴 Z
ri vi
O 转动平面
Δmi
Ｐ
第2章 运动定律与力学中的守恒定律
2–6 刚体的定轴转动
5
3.刚体定轴转动的特点
• 各质点都作圆周运动；
刚体的定轴转动
(3)求摆到竖直位置时端点的速度。
§5.4 定轴转动的角动量守恒定律 (The Law of Conservation of Angular Momentum About a Fixed Axis) 1.对固定轴的角动量 ⑴质点对轴的角动量
⒌ 如图，质量为m、半径为R的圆盘可绕通 过其直径的光滑固定轴转动，转动惯量 J=mR2/4，设圆盘从静止开始在恒力矩M 作用下转动，则t秒后圆盘边缘上的B点的 at = ，an= .
R B
解： M恒定 恒定 匀变速率转动 ⑴ =M/J=4M/mR2 于是 at=R=4M/mR ⑵因恒定，故有 = t=4Mt/mR2 于是 an=R2=16M2t2/m2R3
本章： 定轴转动运动学
定轴转动定律
转动中的功和能 定轴转动的角动量守恒定律
§5.1 定轴转动运动学 (Kinematics of Rotation About a Fixed Axis)
一.定轴转动: 刚体内各质点都绕同一固定不动的轴作圆 周运动. 刚体定轴转动的特点：
1）刚体上各质点都作圆运动， 但半径不一定相等。 2)与轴线垂直的园平面为转动平面. 3）刚体上各点做圆运动的半径在 相等的时间间隔内转过相同的角度， ω 、α 相等。
e.g.
细杆质量m, 长L o 则对于 oo轴，J=mL2/3 对于 cc轴，J=mL2/12
o
c c
④转动定律与牛Ⅱ比较： M～ F J ～m ～a
ii)J量度了刚体转动惯性的大小
o 讨论：
o
o
o a
a A
a
a
B C
刚体的定轴转动
不可伸长）
R m3
m1
m2
24
R
m1
m2
解 对m1 、m2，滑轮作受力分析， m1 、 m2作平动，滑轮作转动，
(T1 T1，T2 T2)
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
其一 此处滑轮质量不可忽略，大小不可忽略，所以要用到转动定律；
其二 绳与滑轮间无相对滑动，所以
；因a R
故滑轮两边绳之张力不相等。
26
例2－33 质量m=1.0kg、半径 r=0.6m 的匀质圆盘，可以绕通过其中心且垂直盘面的水
平光滑固定轴转动，对轴的转动惯量 I=mr2/2。圆盘边缘绕有绳子，绳子下端挂一质量
质量分布均匀而有一定几何形 状的刚体，质心的位置为它的 几何中心。
X
32
五、机械能守恒定律 若 A外 0 A内非 ＝０ (或只有保守力作功)
系统机械能守恒，即
1 2
mv2
1 2
I2
mghc
1 2
k x2
恒量
33
例2－35 一均匀细杆长为l，质量为m，垂直放置，o点着地。杆绕过o的光滑水平轴
m=1.0kg 的物体，如图所示。起初在圆盘上加一恒力矩使物体以速率 v0=0.6m/s 匀速上 升，如撤去所加力矩，问经历多少时间圆盘开始作反方向运动？
r
T
m、r
T
a
v0
mg
解；受力分析如图所示
mg T ma
Tr I
a r
v0 at 0
I 1 mr2 2
解得 a mgr mr I r 2g 3
03刚体的定轴转动
的质元受阻力矩大，
细杆的质量密度 m
l
质元质量 dm dx
o
xl dm m dx
x
质元受阻力矩：
dM 阻 dmgx
细杆受的阻力矩
m l
M阻
dM
阻
0l
gxdx
1 2
gl 2
1 2
mgl
24
转动中的功和能
一. 力矩的功
设刚体上P点受到外力 F 的作用， z
位移为 d
r,
dW F ds
功为 d
三. 匀变速转动公式
当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚
体做匀变速转动 .
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
x
x0
v0t
1 2
at 2
0 t
0
0t
1 2
t 2
v2 v02 2a(x x0 )
2 02 2 ( 0 )
5
定轴转动刚体的 转动定律 力矩 角动量 转动惯量
Li
质元mi对转轴Z的角动量为：
x
Liz
Li
cos( π 2
)
mi Riv i
sin
mi ri vi
对组成刚体的所有质元的角动量求和
z
vi
mi
ri Li
Ri
O
y
Lz Liz (rimivi) (miri2)ω
9
Lz Liz miri2 ( miri2 )
i
i
i
令 J miri2
刚体绕OZ轴转动的转动惯量
i
Lz Jω
刚体绕OZ轴转动的角动量
注意：
转动惯量、角动量都是相对量，都必须指明它们是
4第四章 刚体的定轴转动
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体的定轴转动
F
F
圆盘静止不动
F 圆盘绕圆心转动
F
力矩可以反映力的作用点的位置对物体运动的影响.
一、力矩
刚体绕Oz轴旋转,力 F作用在刚体上点P,且在转动平面内, 由 点O 到力的作用点P的径矢为 。r
F 对转轴z的力矩
MrF 大小
M F rsin
z
M
Or
d
F
P
Fd
d : 力臂
二、力矩的功
F 力 F 对质元P所做的元功：
角位置： ( t ) 单位：r a d
角速度： d dt
角加速度：
d
dt
d 2
dt2
角量与线量的关系
v a
i it
ri ri
a
in
ri
2
质元
vi
ri mi x
转动平面
固定轴
方向: 右手螺旋方向
刚体定轴转动的转动方向可以用角速度的正负来表示.
z
z
0
0
2 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动.
dW FdrFcosds
cossin
dsrd
d W F r s i n d
又 M F r s in
d W M d
力矩的功 W 2 Md 1
z
d
F dr
rP
y
F
dr
d r
P
o
x
三、转动动能
在刚体上取一质元 p ：i
动能：Eki
1 2
mivi2
1 2
mi
ri22
F 对刚体上所有质元的动能求和：
M F d J 1 t 2 2 F2dJt2 126N
5刚体的定轴转动
2J
yc
m(R
l )2 2
R
l
R
m
m
2( 2 mR2 mR2 mlR ml2 )
5 14 mR2 2mlR ml2
4
(2)J //
2J y//
2
2 5
mR2
5
2
4 mR2
5
39
例4：从一个半径为R的均匀薄板上挖去一个直径为R的
圆板，所形成的圆洞中心在距薄板中心R/2处，所剩薄
▲ 定点转动：运动中刚体上只有一点固定不动， 整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。
6
7
三、 刚体的定轴转动
定轴转动：
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径的圆周运 动，且在相同时间内转过相同的角度。
角位移，角速度和角加速度均相同； 特点： 质点在垂直转轴的平面内运动，且作圆周
运动。
角位移
角速度
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
11
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+αt 得
0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数
N 分别为
板的质量为m，求此时薄板对于通过原中心而与板面垂
直的轴的转动惯量。
JO
J DO
J dO
1 2
MR 2
1
2
md
R 2
2
md
(
R )2 2
1 2
MR 2
3 2
md
R 2
刚体定轴转动定律
F ma
(2) 列方程: 对于刚体：定轴转动定律 M J
线量与角量的关系：at R
(3) 解方程.
例题. 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，滑轮可视为
圆 盘 ， 绳 的 两 端 分 别 悬 有 质 量 为 m1 和 m2 的 物 块 ， 且 m1<m2. 设滑轮的质量为M，半径为R，绳与轮之间无 相对滑动，求物块的加速度和绳中张力.
本次课所讲知识点是刚体力学这部分内容的重点， 希望大家课后好好复习，多多练习，熟练掌握。
切向分量式： Fit fit miait
ait ri Fit fit miri
ri
作圆周运动. z
o
f Fit
i fit
ri mi
Fir
Fi
上式两端同乘以ri再对所有质点求和：
Fit ri fit ri miri2
i
i
i
合外力矩M 内力矩之和 =0 转动惯量J
M J
刚体所受的对某一固定转轴的合外力矩等于刚体 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用下所 获得的角加速度的乘积.
二、 刚体定轴转动定律与牛顿第二定律的比较
定律方程
牛顿第二定律 F ma
促使运动状态发 生变化的因素
合外力：F
阻碍运动状态发 生变化的因素
产生的物理量
质量：m
加速度：a
刚体定轴转动定律
M J
合外力矩：M
ห้องสมุดไป่ตู้转动惯量：J
角加速度：
三、 刚体定轴转动定律的应用
解题思路:
(1) 受力分析;
对于质点：牛顿第二定律
刚体定轴转动定律
一、 刚体定轴转动定律的证明
刚体可看成是由n个质点组成的连续质点系.
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6、参考文献少，并标页（如4到8页），力学、理论力学书上都有刚体内容7、好多公式中角速度符号不对，8、论述顺序：1）刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度如何表示，文字和公式都写2）刚体定轴转动的角动量、动能如何表示，文字和公式都写3）固定轴的动量矩定理如何表示，文字和公式都写 4）线量与角量的关系如何表示，文字和公式都写9 刚体定轴转动与质点匀加速直线运动的对比：这段中列表给出两种运动的相应量，并论述刚体定轴转动的教学研究陈爽（学号：20081116127）（物理与电子信息学院物理学专业2008级汉班，内蒙古呼和浩特010022）指导老师：赵凤岐1摘要刚体力学是理论力学中一节比较重点的章节。
它是继学习了质点力学与质点组力学之后又一重点、难点课程，它是质点后又一个重要的物理模型。
刚体这种模型比质点更接近实际，这个章节理解的情况直接关系到以后其他物理模型的建立。
关键词：刚体定轴转动直线运动1 刚体定轴转动的内容2·1刚体在任何力的作用下，体积和形状都不发生改变的物体叫做刚体。
在物理学内，理想的刚体是一个固体的，尺寸值有限的，形变情况可以被忽略的物体。
不论有否受力，在刚体内任意两点的距离都不会改变。
在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。
刚体是力学中的一个科学抽象概念，即理想模型。
事实上任何物体受到外力，不可能不改变形状。
实际物体都不是真正的刚体。
若物体本身的变化不影响整个运动过程，为使被研究的问题简化，可将该物体当作刚体来处理而忽略物体的体积和形状，这样所得结果仍与实际情况相当符合。
2.2刚体定轴转动的定义及特点刚体上每点绕同一轴线做圆周运动,且转轴空间位置及转动方向保持不变.如果刚体在运动过程中，至少有两个质点保持不动，那么将这两个质点的连线取为一个坐标系的一个公共坐标轴(z)轴，则刚体上各点都饶此轴作圆周运动，这种运动称为定轴转动。
刚体作定轴转动时，整个刚体绕一固定的轴转动．其上各点的位移、速度和加速度是不相同的．但各点转过的角度却相同．所以在定轴转动中，应当用角度来描述刚体的运动．作定轴转动的刚体只有一个自由度2·3定轴转动各个基本量的描述P，都在垂刚体绕固定轴转动时，如取固定轴为z轴，则刚体中任何一点i直于z轴的平面内，亦即在平行于xy平面内作圆周运动，而以z轴与此平面的交点O'为圆点，如图1所示。
既然各点的轨道都是平行于xy 平面而以z 轴上某点为圆点的圆周，那么只要考虑任一与xy 平面相平行的平面内的运动情况就可以了。
设在一平面内，某一质点的位失是i r ，它和z 轴的垂直距离为)(i i i R R P O '=，则因各点的线位移、线速度和线加速度都和)(i i r R 或有关，不甚方便，所以常用角量来表征整个刚体的运动情况。
因为在定轴转动中，各点的角位移θ,加速度w 和角加速度α都是一样。
而且只要知道了角位移θ，就能完全确定刚体的位置，所以刚体作定轴转动时，只有一个独立变量。
如果在某一时刻，质点i P 的线速度为i v ，则由式r w dtr d v ⨯==知 i iv r ω=⨯式中w 是刚体绕z 轴转动的加速度。
写成标量形式，则为w R wr v i i i i ==θsin在定轴转动中，w 的方向不变，恒沿固定的转动轴，其量值则可改变，每一质点都在与xy 平行的平面内作半径为i R 的圆周运动，故其加速度可分为切向分量it a 及法向分量in a ，即 ⎪⎩⎪⎨⎧======ii i i in i i i it wv w R R v a R w R v a 22α 式中α是角加速度。
在定轴转动中，α的指向与w 相同或相反，并且也是沿着同一转动轴线。
由定轴转动的特点可知，刚体做定轴转动时只有一个独立变量—角速度，用ω表示。
设刚体在主动力1F ,2F ,…,n F 的作用下，绕固定轴转动，则可将固定轴当做轴z （图2），而按固定轴的动量矩定理，得z z M dtJ d = (1) 因为0==y x ωω,ωω=z ,故由式(1)知ωωzz z zz z I I J == (2)式中zz I 为刚体绕z 轴的转动惯量.把式中的(2)代入式(1)，并且因为zz I 为常量，即得刚体绕固定轴转动的动力学方程为αωzz zz x I I M == (3) 式(3)与质点动力学中的F=ma 形式相似。
定轴转动的动能与角动量通过上面的推导，联系刚体的转动动能公式)222(21222y x xy x z zx z y yz z zz y yy x xx w w w w w w w w w I -I -I -I +I +I =T 可得到刚体定轴转动的动能公式221w zz I =T 刚体定轴转动定理：由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定轴的角动量分别为 1J 、 2J 、…i J ，则该系统对该轴的角动量为：对于该系统还有在外力矩作用下，从 ,角动量变为 , 则由 得 角动量定理的微分形式：定义为 时间内力矩M 对给定轴的冲量矩。
2.3刚体定轴转动与直线运动的对比i i i z J L ω∑= ,2,1=i ⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑i i i Z Z J t t L M ωd d d d t t →0()00ωJ L z =ωJ L Z =()ωJ dt d M z =00d ωωJ J t M t t -=⎰⎰t t t M 0d 0t t t -=∆通过上表的分析刚体定轴直线运动与质点的直线运动相似。
在教学中可运用质点力学中F=ma对比讲解定轴转动。
这种方法称为类比教学法。
类比法（Method of analogy）也叫“比较类推法”，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种属性的推理方法。
在数学教学过程中,经常会发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性,其中包括数学新概念的相似性、数学新定理的相似性、数学题型的相似性等等。
类比法就在于发现和探索这一相似性,从而利用已知系统的数学规律去寻找未知系统的数学规律。
3.2基本概念的对比讲解刚体转动与质点力学都是机械运动的内容。
刚体的转动是机械运动的转动部分，质点力学是机械运动的平动部分。
在理论力学教材中，质点力学在最前面，随后是刚体力学，而且初、高中对力学的讲解都是以质点为模型，学生对于质点的理解比较深刻，容易接受，所以讲解刚体定轴转动时可由对刚体的定义出发。
刚体是由特殊的质点组成的特殊质点组，特殊在这一质点组，在外力的作用下，系统内的任意两个质点间的距离始终保持不变，从而让定轴转动与质点密不可分。
对于激发学生的学习兴趣，降低理解难度有帮助，但是必须清楚两者表示的物理模型。
多数情况下，质点主要用来处理机械运动的平动问题，刚体主要用来处理机械运动的转动问题。
3.3基本量的对比讲解在刚体的定轴转动过程中主要涉及以下几个物理量及物理方程：角速度ω角加速度α转动惯量 I动量矩 J转动力矩 MαI M = 221ωzz I T =在质点力学中涉及的物理量及方程： 速度 v加速度 a质量 m动量 p力 Fma F = mv P = 221mv E k =通过对比不难发现质点的运动学规律与刚体定轴转动的规律有相似之处。
质量与转动惯量分别是质点力学和刚体转动力学最基本的量，在各自的领域的地位相当。
质量已经不是新概念了，但是应该强调它的物理意义，是平动惯量的量度。
转动惯量是转动中惯量大小的量度，但是转动惯量又具有其特殊性，转动惯量在具体问题中是一个需要计算的量，它与刚体质量、刚体的质量分布即转轴的位置有关。
在涉及运动过程时，力（F ）与力矩（M ）就分别是最基本的量，牛顿第二定律与刚体的定轴转动定律分别是质点的平动和刚体的转动的最基本定律。
其中加速度（a ）与角加速度（α）它们的地位相当。
速度（v ）与角速度（ω）地位也相当。
通过了解这些学生不难推出、理解刚体的角动量，转动动能。
3.4导出公式的对比通过上述对一般量的对比，发现了许多相似之处。
其导出公式也有许多相似之处。
首先回顾牛顿第二定律的微分形式，继而是力对时间的积分和空间的积分问题，即分别是冲量（I ）和功（W ）,就是质点的动量定理和动能定理。
力和力矩是相当的物理量，可得到力矩对时间和空间的积分分别是⎰21t t dt M 和⎰21θθθd M ，表示冲量矩与力矩功，而冲量矩和力矩的功分别可用角动量的增量和转动动能的增量表示的，分别是刚体定轴转动的角动量定理和刚体定轴转动的动能定理。
4总结通过以上的分析，在进行刚体定轴转动的讲解时，可以利用质点力学的分析方法，类比进行讲解。
首先要明确质点与刚体之间的区别与联系，强调两者的适用范围，对比质点力学，强调质点力学中各个物理基本量作用。
分析刚体定轴转动的特点，与质点力学进行紧密联系，在教学中大量运用对比、分析出各个系统中的对应的相当物理量，从而进行类比式讲解。
在掌握基本量的基础上，再对一般公式、定理进行类比式推导，这样使难懂的定轴转动转换为易学易懂的质点运动学的另一个刚体版本。
这样才有助于教师的讲解即学生的理解。
图1 图2 【1】 周衍柏 理论力学教程 高等出版社 2009年7月第三版 139138P P .【2】李化南刚体定轴转动讲授心得 赤峰学院报 2008年7月第二十四转 第4期。