勾股定理中蕴含的数学思想

勾股定理中蕴含的数学思想

河北张家口市第十九中学 贺峰

数学思想方法是对数学的认识内容和所使用的方法的本质的认识，是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁，有了数学思想方法为灵魂，数学才有了魅力。在学习数学的过程中，既要掌握基础知识，又要注重挖掘题目中蕴含的数学思想和方法，从而不断提高数学素养，增强探索创新能力，激发学习数学的兴趣，本文着重将勾股定理中蕴含的数学思想为同学们加以分析：

一、 特殊到一般的思想

例1如图1所示的螺旋形由一系列等腰直角三角形组成，其序号依次为①、②、③、④、⑤……，则第n 个等腰直角三角形的斜边长为_____________。

析解：观察图象，第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长分别为2、4、8、16，由此类推，第n 个等腰直角三角形的斜边长为2n 。

说明：猜想型问题是近几年各地中考试题的热点问题，根据问题提

供的信息，通过观察、类比、推理、猜想、验证得出一般性规律和

结论是解决这类问题一般方法，解题时要注意数形结合。 二、 分类思想

例2 如果三条线段的长分别为6cm 、xcm 、10cm ，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么x ＝_______。

析解：本题分两种情况解答

（1）当以6cm 、xcm 为直角边，10cm 为斜边时，102＝62＋x 2，x ＝±8（舍负）

（2）当6cm 、10cm 均为直角边时，62＋102＝x 2，x ＝±234（舍负）

因此，x 为4或34。

说明：在利用勾股定理解答某些数学问题时，常见的分类情况有以直角边、斜边分类，按等腰三角形的腰与底分类，依三角形的形状分类，按展开方式的不同分类等，同学们在解题须注意这一点，以避免出现丢解或遭成错解。

三、 整体思想

例3 如图2，已知Rt △ABC 的周长为2＋6，其中斜边AB ＝2，求这个三角形的面积。 析解：在Rt △ABC 中，根据勾股定理，得 BC 2＋AC 2＝2

2 即(BC ＋AC )2－2BC ²AC ＝4 又由已知得BC ＋AC ＝ 6 所以(6)2－2 BC ²AC ＝4

解得BC ²AC ＝1

所以S ＝12BC ²AC ＝12

说明：若要直接求出BC 与AC 的值，再求三角形的面积，比较繁杂，但由S ＝12

BC ²AC B C A 图2 图1

联想到运用整体思想（将BC ²AC 视为一个整体），问题便可顺利获解。

四、 转化思想

例4如图3，已知圆柱体底面圆的半径为2π

，高为2，AB 、CD 分别是两底面的直径，AD 、BC 是母线，若一只小虫从A 点出发，从侧面爬

行到C 点，则小虫爬行的最短路线的长度是 ____(结果保留根

式)．

析解：将圆柱的侧面展开，如图4，由“两点之间，线段最短”可

知线段AC 为小虫爬行的最短路线，由勾股定理可得AC ＝AB 2＋BC 2，又因为AB ＝12³2³π³2π＝2，BC ＝2，所以AC ＝22＋22＝22。 说明：在解决立体图形的最短路径问题时，通常是将立体图形向平

面图形进行转化，利用平面内两点之间线段最短、勾股定理知识最终将问题解决。 五、 方程思想

例5 如图4，折叠矩形ABCD ，使它的边AD 落在AF 处，F 在边BC 上．已知AB ＝8cm ，BC ＝10cm ，求EC 的长． 析解：连结AE ，则△ADE ≌△AFE ，所以AF ＝AD ＝10，DE ＝EF ． 设CE ＝x ，则EF ＝DE ＝8－x ，BF ＝AF 2－AB 2＝6，CF ＝4． 在Rt △CEF 中，EF 2＝CE 2+CF 2，即（8－x ）2＝x 2＋16，故x ＝3.

说明：方程是解决数学问题的重要工具，也是重要的数学思想，在几何计算和几何证明中常常通过布列方程使问题得到解决。

六、 数形结合思想

例6 印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”：

“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；

出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，

渔人观看忙向前，花离原位二尺远；

能算诸君请解题，湖水如何知深浅？” 请用学过的数学知识回答这个问题. 析解：根据题意，画出图形，如图5，设湖水深x 尺，则露出水面部分为12尺，结合图形，由勾股定理得，(x ＋12)2＝x 2＋22，解这个方程得x ＝154，x ＋12＝154＋12＝174（尺），所以湖水深174

尺。 说明：数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

七、 类比思想

例7△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若∠C =90°，如图6，根据勾股定理，则a 2＋b 2＝c 2，若△ABC 不是直角三角形，如图7和图8，请你类比勾股定理，试猜想a 2＋b 2与

图 4 A D B C E F 图3 A A

B D

D C 图4

图5

c 2的关系，并证明你的结论。

解：若△ABC 是锐角三角形，则有a 2＋b 2＞c 2

若△ABC 是钝角三角形，∠C 为钝角，

则有a 2＋b 2＜c 2 当△ABC 是锐角三角形时， 证明：过点A 作AD ⊥CB ，垂足为D 。

设CD 为x ，则有DB ＝a －x 根据勾股定理得 b 2－x 2＝c 2―(a ―x ) 2

即 b 2－x 2＝c 2―a 2＋2ax ―x 2 ∴a 2＋b 2＝c 2＋2ax ∵a >0，x ＞0

∴2ax ＞0

∴a 2+b 2＞c 2

当△ABC 是钝角三角形时，

证明：过点B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于点D 。 设CD 为x ，则有DB 2＝a 2－x 2 根据勾股定理得 (b ＋x )2＋a 2―x 2＝c 2 即 b 2＋2bx ＋x 2＋a 2―x 2＝c 2 ∴a 2＋b 2＋2bx ＝c 2

∵b ＞0，x ＞0

∴2bx ＞0

∴a 2＋b 2＜c 2

说明：数学上的类比思想是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想，它能够解决一些表面上看似复杂困难的问题。 A C B A B C A B C 图7 图6 图8 B A C 图9 a b

c D A

B C D a c b

图10