立体几何线面关系的常见规律解剖

立体几何线面关系的常见规律

规律一：线线平行与线线垂直的判定

1、直线与直线平行的判定方法：

公理4：平行与同一条直线的两条直线互相平行

直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直与同一个平面，那么这两条直线平行

直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行

两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两交线平行

2、直线与直线垂直的判定方法：

利用直线与平面垂直的定义来判定：如果一条直线垂直于一个平面，那么它就与平面内的任意一条直线垂直

例题1：(2012·南通调研)如图，在六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1∥CC1，A1B ＝A1D，AB＝AD.求证：

(1)AA1⊥BD；

(2)BB1∥DD1.

证明(1)取BD的中点M，连结AM，A1M.因为A1D＝A1B，AD＝AB，所以BD ⊥AM，BD⊥A1M.又AM∩A1M＝M，AM，A1M⊂平面A1AM，

所以BD⊥平面A1AM.

因为AA1⊂平面A1AM，所以AA1⊥BD.

(2)因为AA1∥CC1，AA1⊄平面D1DCC1，CC1⊂平面D1DCC1，所以AA1∥平面

D1DCC1.

又AA1⊂平面A1ADD1，平面A1ADD1∩平面D1DCC1＝DD1，所以AA1∥DD1.

同理可得AA 1∥BB 1，所以BB 1∥DD 1.

例题2：（13泰州期末）在三棱锥S-ABC 中，SA ⊥平面ABC ，SA=AB=AC=

3

BC ,点D 是BC 边的中点，点E 是线段AD 上一点，且AE=4DE,点M 是线段SD 上一点，求证：BC ⊥AM

方法小结：

（1）要证明线线垂直有两条思路：第一条：把其中一条直线平移，使得两条直线在同一个平面，然后用平面几何的知识证明垂直即可；第二条：通过证明线面垂直证明。即证明其中一条直线垂直另一个直线所在的平面。第二条思路用的较多，要熟练，第一条用的较少，但也不能忘

（2）证明线线垂直也主要有两条思路，第一条：证明其中一条直线平行另一条直线所的平面，在用线面平行的性质；第二条：先证明两条直线所在的平面平行，再证明这两条直线为第三个平面与两平行平面所交的交线，即运用面面平行的性质定理。面面平行与线面平行的性质定理在证明过程中容易被学生忽视，所以教学过程中应引起重视

同步练习1：在如图所示的多面体中，11//AA BB ，11CC AC CC BC ⊥⊥，．

（1）求证：1CC AB ⊥；

A

1A

（2）求证：11//CC AA ．

同步练习2：如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，已知平面⊥C C AA 11平面,ABCD 且

3===CA BC AB ,1==CD AD .求证：;1AA BD ⊥

同步练习3：（13南京期初）如图，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，D 为BC 的

中点，若平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，求证：AD ⊥DC 1；

规律二：线面平行的判定：

方法一：直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；

方法二：平面与平面平行的定义：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任

1A

E

C D B

A

1D

1B

1C 第16题

A

B

C D

A 1

B 1

C 1

(第16题)

一条直线平行于另一个平面

例题2：三棱柱111ABC A B C -中，面11BB C C ⊥面ABC ，AB AC =，D 是BC

的中点，M 为1AA 上一动点． 若1AM MA =，求证：AD ∥平面1MBC ；

例题3：如图，已知▱ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点．

求证：直线AE ∥平面BDF ；

例题4：在直角梯形

ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2BC ＝4，CD ＝3，E

为AB 中点，过E 作EF ⊥CD ，垂足为F ，如(图1)，将此梯形沿EF 折成一个直二面角A —EF —C ，如(图2)． 求证：BF ∥平面ACD ；

方法小结：

在证明线面平行有两条思路：第一：通过线面平行的判定，即在平面上找一条直线与已知直线平行，在平面上找直线与已知直线平行有三种方法：1、构造平行四边形；2、通过中位线寻找平行；3、通过比例关系找平行相似。第二，当在已知平面找不出或很难找出直线与已知直线平行时可以考虑用面面平行的性质来证明，即过已知直线构造平面与已知平面平行。

同步练习1：在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 是BC 的中点，1BC BB =．

求证：1A C ∥平面1AB D ；

同步练习2：如图，直三棱柱ABCA ′B ′C ′，∠BAC ＝90°，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点． 证明：MN ∥平面A ′ACC ′；

证明 法一 连接AB ′，AC ′，如图，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABCA ′B ′C ′为直三棱柱， 所以M 为AB ′中点．

又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.

D

C 1

B 1

A 1

C

B

A

又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

法二

取A′B′的中点P，连接MP，NP，AB′，如图，而M，N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.

又MP∩NP＝P，因此平面MPN∥平面A′ACC′.

而MN⊂平面MPN，因此MN∥平面A′ACC′.

同步练习3：如图，在四面体ABCD中，F，E，H分别是棱AB，BD，AC的中点，G为DE的中点．证明：直线HG∥平面CEF.

证明法一如图1，连接BH，BH与CF交于K，连接E K.

图1

∵F，H分别是AB，AC的中点，

∴K是△ABC的重心，

∴B K

BH＝2 3.

又据题设条件知，BE

BG＝2 3，