历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)
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历年高考数学真题汇编
专题16 以基本不等式为背景的应用题
1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．
【答案】30
【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900
x x
=，即30x =时等号成立．
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.
(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？
规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝H
tan β
， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.24
1.24－1.20
＝124.
因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d
.
由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －h
d
，所以
tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β
＝
()h h
H H d d
-+
，
当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π
2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．
因为0<β<α<π
2
，
所以当d ＝555时，α－β的值最大．
3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2
(k >0)表示的曲线上，其
中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1) 求炮的最大射程；
(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．
本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．
规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2
＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，
故x ＝20k 1＋k 2＝
20k ＋
1k
≤20
2
＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.
(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2
成立，
即关于k 的方程a 2k 2
－20ak ＋a 2
＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2
－4a 2
(a 2