历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题(解析版)

历年高考数学真题汇编专题16 以基本不等式为背景的应用题1、【2017年高考江苏卷】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．2、【2010年高考江苏卷】某兴趣小组要测量电视塔AE 的高度H (单位：m)．示意图如图所示，垂直放置的标杆BC 的高度h ＝4 m ，仰角∠ABE ＝α，∠ADE ＝β.(1) 该小组已测得一组α，β的值，tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H 的值；(2) 该小组分析若干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离d (单位：m)，使α与β之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125 m ，试问d 为多少时，α－β最大？规范解答 (1) 由AB ＝H tan α，BD ＝h tan β，AD ＝H tan β及AB ＋BD ＝AD ，得H tan α＋h tan β＝Htan β， 解得H ＝h tan αtan α－tan β＝4×1.241.24－1.20＝124.因此算出的电视塔的高度H 是124 m. (2) (1) 由题知d ＝AB ，则tan α＝H d.由AB ＝AD －BD ＝H tan β－h tan β，得tan β＝H －hd，所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝()h hH H d d-+，当且仅当d ＝555时取等号． 又0<α－β<π2，所以当d ＝555时，tan(α－β)的值最大．因为0<β<α<π2，所以当d ＝555时，α－β的值最大．3、【2013年高考江苏卷】如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1 km.某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1) 求炮的最大射程；(2) 设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2 km ，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．本小题主要考查函数、方程和基本不等式等基础知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力．满分14分．规范解答 (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2＝0，由实际意义和题设条件知x >0，k >0，故x ＝20k 1＋k 2＝20k ＋1k≤202＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10km.(2) 因为a >0，所以炮弹可击中目标等价于存在k >0，使3.2＝ka －120(1＋k 2)a 2成立，即关于k 的方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根， 所以判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0， 解得a ≤6，所以0<a ≤6.所以当a 不超过6km 时，炮弹可击中目标．一、解函数应用问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下：二、在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合.运用基本不等式解决应用题一定要注意满足三个条件：一、正；二、定；三、相等。

题型一、与几何体有关的应用题以几何为载体的应用题常见与圆、扇形等特色的图形，此类问题的关键是把各个线段表示出来，进二列出函数的解析式，与几何体有关的导数问题，常常涉及到表面积与体积的问题，解题关键就是通过引入参数表示表面积或者体积，然后运用导数进行求解。

例1、(2016常州期末）某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左、右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S(m2)．(1) 求S关于x的函数关系式；(2) 求S的最大值．规范解答 (1) 由题设得S ＝(x －8)⎝⎛⎭⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450)．(6分) (2) 因为8<x <450，所以2x ＋7 200x≥2 2x ·7 200x＝240，(8分)当且仅当x ＝60时等号成立．(10分) 从而S ≤676.(12分)答：当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.(14分) 例2、(2017南京、盐城二模）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3 600平方厘米的矩形纸板ABCD ，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒(如图)．设小正方形边长为x 厘米，矩形纸板的两边AB ，BC 的长分别为a 厘米和b 厘米，其中a ≥b .(1) 当a ＝90时，求纸盒侧面积的最大值；(2) 试确定a ，b ，x 的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．思路分析 (1) 纸盒侧面积S (x )是关于x 的函数，即求S (x )max .(2) 先猜想并证明a ＝b 时，底面积取最大，这样问题变为求体积关于x 的函数的最大值．规范解答 (1) 当a ＝90时，b ＝40，纸盒的底面矩形的长为90－2x ，宽为40－2x ，周长为260－8x . 所以纸盒的侧面积S (x )＝(260－8x )x ＝－8x 2＋260x ，其中x ∈(0,20)，(3分)故S (x )max ＝S ⎝ ⎛⎭⎪⎫654＝4 2252.答：当a ＝90时，纸盒侧面积的最大值为4 2252平方厘米．(6分)(2) 纸盒的体积V ＝(a －2x )(b －2x )x ，其中x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，b 2，a ≥b ＞0，且ab ＝3 600.(8分)因为(a －2x )(b －2x )＝ab －2(a ＋b )x ＋4x 2≤ab －4abx ＋4x 2＝4(x 2－60x ＋900)，当且仅当a ＝b ＝60时取等号，所以V ≤4(x 3－60x 2＋900x )，x ∈(0,30)．(10分) 记f (x )＝4(x 3－60x 2＋900x )，x ∈(0,30)， 则f ′(x )＝12(x －10)(x －30)， 令f ′(x )＝0，得x ＝10，列表如下：由上表可知，f (x )答：当a ＝b ＝60，且x ＝10时，纸盒的体积最大，最大值为16 000 立方厘米．(14分)例3、(2016盐城三模）一位创业青年租用了一块边长为1百米的正方形田地ABCD 来养蜂、产蜜与售蜜，他在正方形的边BC ，CD 上分别取点E ，F (不与正方形的顶点重合)，连结AE ，EF ，FA ，使得∠EAF ＝45°. 现拟将图中阴影部分规划为蜂源植物生长区，△AEF 部分规划为蜂巢区，△CEF 部分规划为蜂蜜交易区. 若蜂源植物生长区的投入约为2×105元/百米2，蜂巢区与蜂蜜交易区的投入约为105元/百米2，则这三个区域的总投入最少需要多少元？规范解答 设阴影部分面积为S ，三个区域的总投入为T .则T ＝2×105·S ＋105·(1－S )＝105·(S ＋1)，从而只要求S 的最小值即可．(2分) 设∠EAB ＝α(0°<α<45°)，在△ABE 中，因为AB ＝1，∠B ＝90°，所以BE ＝tan α， 则S △ABE ＝12AB ·BE ＝12tan α，(4分)又∠DAF ＝45°－α，同理得S △ADF ＝12tan(45°－α)，(6分)所以S ＝12[tan α＋tan(45°－α)]＝12tan α＋1－tan α1＋tan α，(8分)令x ＝tan α∈(0,1)，S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 1＋x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x －1x ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＋1－1(10分)＝()121221x x ⎡⎤++-⎢⎥+⎣⎦≥12(22－2)＝2－1， 当且仅当x ＋1＝2x ＋1，即x ＝2－1时取等号．(12分) 从而三个区域的总投入T 的最小值约为2×105元．(14分) 题型二、与利润等有关的应用题与利润有关的问题关键是要认真审题，只有在审题的基础上才可以正确列出函数的解析式，要特别注意函数的定义域和单位的统一。

例4、(2019南京学情调研）销售甲种商品所得利润是P 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式P ＝att ＋1；销售乙种商品所得利润是Q 万元，它与投入资金t 万元的关系有经验公式Q ＝bt ，其中a ，b 为常数．现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售；若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元．若将3万元资金中的x 万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元．(1) 求函数f(x)的解析式；(2) 怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使得利润总和最大，并求最大值． 规范解答 (1)由题意P ＝att ＋1，Q ＝bt ， 故当t ＝3时，P ＝3a 3＋1＝94，Q ＝3b ＝1. (3分)解得a ＝3，b ＝13. (5分)所以P ＝3t t ＋1，Q ＝13t.从而f(x)＝3x x ＋1＋3－x 3，x ∈. (7分)(2)由(1)可得f(x)＝3xx ＋1＋3－x 3＝133－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1＋x ＋13. (9分) 故3x ＋1＋x ＋13≥2，当且仅当3x ＋1＝x ＋13，即x ＝2时取等号．从而f(x)≤133－2＝73. (11分)所以f(x)的最大值为 73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元．(14分)例5 （2017·苏锡常镇二模）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w （单位：百千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341w x =-+，且投入的肥料费用不超过5百元．此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）2x 百元．已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）．（1）求利润函数()L x 的函数关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 解析（1）348()164264311L x x x x x x ⎛⎫=---=-- ⎪++⎝⎭（50≤<x ）．（2）法一：()4848()643673111L x x x x x ⎛⎫=--=-++ ⎪++⎝⎭43≤=． 当且仅当()48311x x =++时，即3x =时取等号．故()max 43L x =．答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元． 法二：()()24831L x x '=-+，由()0L x '=得，3x =．故当()0,3x ∈时，()0L x '>，()L x 在()0,3上单调递增； 当()3,10x ∈时，()0L x '<，()L x 在()3,5上单调递减； 故()max 43L x =．答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元．例6、（2016镇江期末）过去的2013年，我国多地区遭遇了雾霾天气，引起口罩热销．某品牌口罩原来每只成本为6元，售价为8元，月销售5万只．(1) 据市场调查，若售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2万只，要使月总利润不低于原来的月总利润(月总利润＝月销售总收入－月总成本)，该口罩每只售价最多为多少元？(2) 为提高月总利润，厂家决定下月进行营销策略改革，计划每只售价x (x ≥9)元，并投入265(x －9)万元作为营销策略改革费用．据市场调查，每只售价每提高0.5元，月销售量将相应减少0.2(x －8)2万只，则当每只售价x 为多少时，下月的月总利润最大？并求出下月最大总利润．规范解答 (1) 设每只售价为x 元，则月销售量为⎝⎛⎭⎫5－x －80.5×0.2万只．由已知得⎝⎛⎭⎫5－x －80.5×0.2(x －6)≥(8－6)×5，(3分)所以25x 2－535x ＋2965≤0，即2x 2－53x ＋296≤0.(4分)解得8≤x ≤372.(5分)即每只售价最多为18.5元．(6分) (2) 下月的月总利润y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－x －80.5×0.2(x －8)2·(x －6)－265(x －9)(9分) ＝2.4－0.4x x －8－15x ＋234－1505＝－0.4(x －8)－0.8x －8－15x ＋845＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤45(x －8)＋x －85＋745.(10分) 因为x ≥9，所以45(x －8)＋x －85≥2425＝45，(12分)当且仅当45(x －8)＝x －85，即x ＝10，等号成立，所以y min ＝14.(13分)答：当x ＝10时，下月的月总利润最大，且最大利润为14万元．(14分)1、.某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，则这种生产设备最多使用______年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少). 答案 10解析 设使用x 年的年平均费用为y 万元. 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x，即y ＝1＋10x ＋x 10(x ∈N *).由基本不等式知y ≥1＋2 10x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号.因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元.2、为建设美丽乡村，政府欲将一块长12百米，宽5百米的矩形空地ABCD 建成生态休闲园，园区内有一景观湖EFG （图中阴影部分）.以AB 所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系xOy （如图所示）.景观湖的边界曲线符合函数1(0)y x x x =+>模型，园区服务中心P 在x 轴正半轴上，43PO =百米.（1）若在点O 和景观湖边界曲线上一点M 之间修建一条休闲长廊OM ，求OM 的最短长度； （2）若在线段DE 上设置一园区出口Q ，试确定Q 的位置，使通道PQ 最短.解：（1）设直线:OM y kx =（其中k 一定存在），代入1y x x=+，得1kx x x=+，化简为()211k x -=.设()11,M x y ，则1x =，()1k >所以OM ====令1(0)t k t =->，则221222221k t t t k t t+++==++≥-，当且仅当t =时等号成立，即1k =时成立.综上，OM （2）当直线PQ 与边界曲线相切时，PQ 最短. 若直线PQ 斜率不存在，则直线方程为43x =，不符合题意； 若直线PQ 斜率存在，设PQ 方程为43y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入1y x x=+， 化简得24(1)103k x kx ---=. 当1k =时，方程有唯一解34x =-（舍去）， 当1k ≠时，因为直线与曲线相切，所以244(1)03k k ⎛⎫∆=-+-= ⎪⎝⎭，解得3k =-或34k =（舍去）， 此时直线PQ 方程为34y x =-+， 令5y =，得13x =-，即点Q 在线段DE 上且距离y 轴13百米. 答：当点Q 在线段DE 上且距离y 轴13百米，通道PQ 最短. 3、(2016无锡期末）某公司生产的某批产品的销售量P 万件(生产量与销售量相等)与促销费用x 万元满足P ＝x ＋24(其中0≤x ≤a ，a 为正常数)．已知生产该批产品还需投入成本6⎝⎛⎭⎫P ＋1P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫4＋20P 元/件． (1) 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2) 当促销费用投入多少万元时，该公司的利润最大？规范解答 (1) 由题意知，y ＝⎝⎛⎭⎫4＋20P P －x －6⎝⎛⎭⎫P ＋1P .(3分) 将P ＝x ＋24代入化简得y ＝19－24x ＋2－32x (0≤x ≤a )．(5分)(2) y ＝22－32⎝⎛⎭⎫16x ＋2＋x ＋2≤22－316x ＋2×(x ＋2) ＝10，当且仅当16x ＋2＝x ＋2，即x ＝2时，上式取等号．(8分)所以当a ≥2时，促销费用投入2万元时，厂家的利润最大；(9分) 由y ＝19－24x ＋2－32x ，得y ′＝24(x ＋2)2－32， 当x <2时，y ′>0，此时函数y 在[0,2]上单调递增， 所以当a <2时，函数y 在[0，a ]上单调递增，(11分) 所以当x ＝a 时，函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大．(12分)综上，当a ≥2时，促销费用投入2万元，厂家的利润最大；当a <2时，促销费用投入a 万元，厂家的利润最大．(14分)4、(2017南通一调）如图，某机械厂要将长6 m ，宽2 m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪．已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P )，再沿直线PE 裁剪．(1) 当∠EFP ＝π4时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积；(2) 若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．规范解答 (1) 当∠EFP ＝π4时，由条件得∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝π4.所以∠FPE ＝π2.所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形．(3分) 所以四边形MNPE 的面积S ＝PN ·MN ＝2(m 2). (5分)(2) 解法1 设∠EFD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，由条件，知∠EFP ＝∠EFD ＝∠FEP ＝θ. 所以PF ＝()2sin 2πθ-＝2sin2θ， NP ＝NF －PF ＝3－2sin2θ， ME ＝3－2tan θ.(8分) 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2sin2θ＞0，3－2tan θ＞0，0＜θ＜π2，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin2θ＞23，tan θ＞23，0＜θ＜π2.(*) 所以四边形MNPE 面积为 S ＝12(NP ＋ME )MN ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2sin2θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2tan θ×2 ＝6－2tan θ－2sin2θ ＝6－2tan θ－2sin 2θ＋cos 2θ2sin θcos θ＝6－⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ＋3tan θ (12分) ≤6－2tan θ·3tan θ＝6－2 3. 当且仅当tan θ＝3tan θ，即tan θ＝3，θ＝π3时取“＝”．(14分) 此时，(*)成立．答：当∠EFD ＝π3时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为(6－23) m 2.(16分)5、(2016镇江期末）如图，某工业园区是半径为10km 的圆形区域，离园区中心O 点5km 处有一中转站P ，现准备在园区内修建一条笔直公路AB 经过中转站，公路AB 把园区分成两个区域．(1) 设中心O 对公路AB 的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值；(2) 为方便交通，准备过中转站P 在园区内再修建一条与AB 垂直的笔直公路CD ，求两条公路长度和的最小值．规范解答 (1) 如图1，作OH ⊥AB ，设垂足为H ，记OH ＝d ，α＝2∠AOH ，因为cos ∠AOH ＝d 10，(1分) 要使α有最小值，只需要d 有最大值，结合图像可得， d ≤OP ＝5 km ，(3分)当且仅当AB ⊥OP 时，d max ＝5 km.此时αmin ＝2∠AOH ＝2×π3＝2π3.(4分) 设AB 把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S ，由题意得S ＝f (α)＝S 扇形－S △AOB ＝50(α－sin α)，(6分)f ′(α)＝50(1－cos α)≥0恒成立，所以f (α)为增函数，(7分)所以S min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝502π3－32 km 2.(8分) 答：视角的最小值为2π3，较小区域面积的最小值是502π3－32km 2.(9分) 图1(2) 如图2，过O 分别作OH ⊥AB ，OH 1⊥CD ，垂足分别是H ，H 1，记OH ＝d 1，OH 1＝d 2，由(1)可知d 1∈[0,5]， 所以d 21＋d 22＝OP 2＝25，且d 22＝25－d 21，(10分)因为AB ＝2100－d 21，CD ＝2100－d 22，所以AB ＋CD ＝2(100－d 21＋100－d 22)＝2(100－d 21＋75＋d 21)，(11分)记L (d 1)＝AB ＋CD ＝2(100－d 21＋75＋d 21)，可得L 2(d 1)＝4[175＋，(12分) 由d 21∈[0,25]，可知d 21＝0或d 21＝25时，L 2(d 1)的最小值是100(7＋43)，从而AB ＋CD 的最小值是(20＋103) km.(13分)答：两条公路长度和的最小值是(20＋103) km.(14分)图26、(2018扬州期末）如图，射线OA 和OB 均为笔直的公路，扇形OPQ 区域(含边界)是一蔬菜种植园，其中P ，Q 分别在射线OA 和OB 上．经测量得，扇形OPQ 的圆心角(即∠POQ)为2π3、半径为1千米，为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ 区域外修建一条公路MN ，分别与射线OA ，OB 交于M ，N 两点，并要求MN 与扇形弧PQ ︵相切于点S.设∠POS ＝α(单位：弧度)，假设所有公路的宽度均忽略不计．(1) 试将公路MN 的长度表示为α的函数，并写出α的取值范围；(2) 试确定α的值，使得公路MN 的长度最小，并求出其最小值．规范解答 (1) 因为MN 与扇形弧PQ ︵相切于点S ，所以OS ⊥MN.在Rt △OSM 中，因为OS ＝1，∠MOS ＝α，所以SM ＝tan α.在Rt △OSN 中，∠NOS ＝2π3－α，所以SN ＝tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α， 所以MN ＝tan α＋tan ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，(4分) 其中π6<α<π2.(6分) (2) 解法1(基本不等式) 因为π6<α<π2，所以3tan α－1>0. 令t ＝3tan α－1>0，则tan α＝33(t ＋1)， 所以MN ＝33⎝⎛⎭⎫t ＋4t＋2.(8分)由基本不等式得MN ≥33·⎝⎛⎭⎫2t ×4t ＋2＝23，(10分) 当且仅当t ＝4t，即t ＝2时取“＝”．(12分) 此时tan α＝3，由于π6<α<π2，故α＝π3.(13分) 解法2(三角函数) MN ＝3（tan 2α＋1）3tan α－1＝33sin αcos α－cos 2α＝332sin 2α－12cos 2α－12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6－12.(10分)因为π6<α<π2，所以π6<2α－π6<5π6，故12<sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6≤1，(12分) 所以当sin ⎝⎛⎭⎫2α－π6＝1，即α＝π3时，MN min ＝31－12＝2 3.(13分) 答：(1) MN ＝3（tan 2α＋1）3tan α－1，其中π6<α<π2； (2) 当α＝π3时，MN 的长度最小，为23千米．(14分) (注：第(2)问中最小值对，但第(1)问定义域不对的扣2分．)7、某市近郊有一块400 m×400 m 正方形的荒地，准备在此荒地上建一个综合性休闲广场，需先建造一个总面积为3 000 m 2的矩形场地(如图所示) ．图中，阴影部分是宽度为2 m 的通道，三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小矩形场地形状、大小相同），塑胶运动场地总面积为S m 2．（1）求S 关于x 的函数关系式，并给出定义域；（2）当x 为何值时S 取得最大值，并求最大值．解析 （1）设矩形场地的另一条边的长为y ，则xy ＝3 000即y ＝3 000x，且7.5＜x ＜400． S ＝(x －4)a +(x －6)a ＝(2x －10)a ．因为2a + 6＝y ，所以a ＝y 2－3＝1 500x－3， 所以S ＝(2x －10)·()15003x -＝3030－()150006x x +，其定义域是(7.5，400)．（2）S ＝3 030－()150006x x +≤3 030－26x ·15 000x＝3 030－2×300＝2 430． 当且仅当15 000x＝6x ，即x ＝50∈(7.5，400)时，上述不等式等号成立， 此时x ＝50，S max ＝2430(m 2)．答：当x ＝50m 时，S 取得最大值，其最大值为2430m 2．。