历届全国高中数学联赛中的平面几何题

1994—2009年全国联赛中的平面几何题

1.如图,设的外接圆的半径为,内心为,,,的外角平分线交圆于.ABC ∆O R I °=∠60B C A ∠<∠A ∠O E 证明:(1)(2)(1994年)

;AE IO =.)31(2R IC IA OI R +<++<

2.如图,菱形的内切圆与各边分别相切于在与上分别作圆的切线交ABCD O ,,,,H G F E ⌒EF ⌒

GH O AB 于,交于,交于,交于.证明:.(1995年)

M BC N CD P DA Q NP MQ //

3.如图示,圆与圆和的三边所在的直线都相切,为切点,直线和相交于1O 2O ABC ∆H G F E ,,,EG FH P 点.证明:.(1996年)

BC PA ⊥

4.如图,已知两个半径不相等圆与圆相交于两点,且圆,圆分别与圆内切于两点.1O 2O N M ,1O 2O O T S ,求证:三点共线.(1997年)

T N S MN OM ,,⇔⊥

5.如图,分别为的外心和内心,是边上的高,在线段上.求证:的外接圆半I O ,ABC ∆AD BC I OD ABC ∆径等于边上的旁切圆半径.注:的边上的旁切圆是与边的延长线以及边都相切BC ABC ∆BC AC AB ,BC 的圆.(1998年)

6.如图,在凸四边形中,平分,是线段上的一点.,.ABCD AC BAD ∠E CD F AC BE =∩G BC DF =∩求证:.(1999年)

GAC EAC ∠=∠C

A

7.如图,锐角的边上有两点,满足,作(是ABC ∆BC F E ,CAF BAE ∠=∠AC FN AB FM ⊥⊥,N M ,垂足),延长交的外接圆于点.证明:四边形的面积与的面积相等.(2000年)

AE ABC ∆D AMDN ABC ∆D

8.如图,中,为外心,三条高交于点,直线和交于点,直线和交ABC ∆O CF BE AD ,,H ED AB M FD AC 于点,求证:(1)(2).(2001年)

N ;,DE OC DF OB ⊥⊥MN OH ⊥

9.如图,在中,,,点是的外心,高交于点,点分别在ABC ∆°=∠60A AC AB >O ABC ∆CF BE ,H N M ,线段上,且满足.求的值.(2002年)HF BH ,CN BM =OH

NH MH +

10.过圆外一点作圆的两条切线和一条割线,切点为,所作割线交圆于两点,在之间.在P B A ,D C ,C D P ,弦上取一点使.求证:.(2003年)

CD ,Q PBC DAQ ∠=∠PAC DBQ ∠=∠

11.如图,在锐角中,上的高与上的高相交于点,以为直径的圆分别与两边ABC ∆AB CE AC BD H DE 相交于两点,求的长.(2004年)

AC AB ,G F ,.7,20,25,====BE BD BC K AH FG ∩AK C

12.如图,在中,过作外接圆的切线,又以点为圆心,为半径作圆分别交ABC ∆,AC AB >A ABC ∆l A AC 线段于点交直线于点.证明:直线分别通过的内心与一个旁心.(2005年)

AB ,D l F E ,DF DE ,ABC ∆E

A

13.如图,以为焦点的椭圆与的边交于.在的延长线上任取点,以10,B B 10B AB ∆i AB )1,0(=i C i 0AB 0P 0B 为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交00P B 00Q P 01B C 0Q 1C 01Q C 01Q P A B 1的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半1P 1B 11P B 11Q P 01C B 1Q 0C 10Q C 径作圆弧交的延长线于点.试证明:(1)与点重合,且圆弧与圆弧相内切于点;

21P Q 0AB 2P 2P 0P 00Q P 10Q P 0P (2)四点共圆.(2006年)

1010,,,Q Q P P

14.如图,在锐角中,,是边上的高,是线段上一点,过作,垂足ABC ∆AC AB

P ABC ∆B

15.如图,凸四边形,,,其中是平面上的ABCD °<∠+∠180D B AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=)(P 一动点.(1)求证:当达到最小值时,四点共圆;

)(P f C B A P ,,,(2)设是外接圆的弧上一点,满足:,且圆E ABC ∆O AB ,13,23−==EC BC AB AE ECA ECB ∠=∠2

1的两条切线为,,求的最小值.(2008年)

O DC DA ,2=AC )(P f

E

16.如图,已知分别为锐角三角形()的外接圆上弧,弧的中点.过点作N M ,ABC ∆B A ∠<∠ΓBC AC C 交圆于点,为的内心,连接并延长交圆于.

MN PC //ΓP I ABC ∆PI ΓT (1)求证:;(2)在弧(不含点)上任取一点,记,的NT NP MT MP ⋅=⋅AB C ),,(B T A Q Q ≠AQC ∆QCB ∆内心分别为.求证:四点共圆.(2009年)

21,I I ,,T Q 21,I I