历届全国高中数学联赛中的平面几何题
专题17平面解析几何C辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值. 【答案】3√3【解析】不妨设等腰直角△ABC 的顶点A,B,C 逆时针排列,A 为直角顶点. 设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(s,t),则AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(−t,s)且△ABC 的面积S △ABC =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=s 2+t 22.注意到A 在双曲线xy =1上,设A(a,1a)，则B(a +s,1a+t), C(a −t,1a+s).由B,C 在双曲线xy =1上,可知(a +s)(1a+t)=(a −t)(1a+s)=1,这等价于：s a+at =−st① −ta+as =st .②由①、②相加,得s−t a+a(t +s)=0,即a 2=t−s t+s. ③由①、②相乘,并利用③,得−s 2t 2=(s a +at)(−t a +as)=(a 2−1a 2)st +s 2−t 2=(t −s t +s −t +s t −s ]⋅st +s 2−t 2=4st s 2−t2⋅st +s 2−t 2 =(s 2+t 2)2s 2−t 2.所以由基本不等式得：(s 2+t 2)4=−s 2t 2(s 2−t 2)2=14⋅2s 2t 2⋅2s 2t 2⋅(s 2−t 2) ⩽14⋅(2s 2t 2+2s 2t 2+(s 2−t 2)23]3=(s 2+t 2)6108,④故s 2+t 2⩾√108=6√3.以下取一组满足条件的实数(s,t,a),使得s 2+t 2=6√3(进而由s,t,a 可确定一个满足条件的△ABC ,使得S △ABC =s 2+t 22=3√3).考虑④的取等条件,有2s 2t 2=(s 2−t 2)2,即s 2t 2=2±√3.不妨要求0<s <t ,结合s 2+t 2=6√3,得s =√3(√3−1), t =√3(√3+1). 由①知a <0,故由③得a =−√t−s t+s,其中t =√√3+1√3−1=√3+1√2,从而有a =−√√3+1−√2√3+1+√2.综上, △ABC 的面积的最小值为3√3.2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值. 【答案】−15【解析】由对称性,设椭圆Γ的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0),A(a,0),B(0,b), F 1(−c,0),F 2(c,0),其中c =√a 2−b 2.由条件知AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−c −a)(c −a)+(−c 2+b 2)=a 2+b 2−2c 2=0.所以a 2+b 2−2c 2=−a 2+3b 2=0,a =√3b,c =√2b . 记O 为坐标原点,则tan∠ABO =a b=√3, tan∠OBF 1=tan∠OBF 2=cb=√2.所以tan∠ABF 1tan∠ABF 2=tan(∠ABO +∠OBF 1)⋅tan(∠ABO −∠OBF 1) =√3+√21−√3⋅√2√3−√21+√3⋅√2=−15.3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径. 【答案】4√39【解析】易知的焦点F 的坐标为(1，0).设圆的半径为r (r >0).由对称性，不妨设Ω在x 轴上方与x 轴相切于点F ，故Ω的方程为(x −1)2+(y −r)2=r 2. ①将x =y 24代入①并化简，得(y 24−1)2+y 2−2ry =0.显然y >0，故r =12y[(y 24−1)2+y 2]=(y 2+4)232y②根据条件，②恰有一个正数解y ，该y 值对应Ω与Γ的唯一公共点. 考虑f(y)=(y 2+4)232y(y >0)的最小值.由平均值不等式知y 2+4=y 2+43+43+43⩾4√y 2⋅(43)34，从而f(y)⩾132y⋅16√y 2⋅(43)3=4√39.当且仅当y 2=43，即y =2√33时，f (y )取到最小值4√39.由②有解可知r ⩾4√39.又假如r >4√39，因f (y )随y 连续变化，且y →0+及y →+∞时，f (y )均可任意大，故②在(0,2√33)及(2√33,+∞)上均有解，与解的唯一性矛盾.综上，仅有r =4√39满足条件(此时(13,2√33)是Ω与Γ的唯一公共点).4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值. 【答案】答案见解析【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，并记c =√a 2−b 2.由对称性，可设F 为Γ的右焦点.易知F 到Γ的左顶点的距离为a +c ，到右顶点的距离为a －c ，到上下顶点的距离均为a .分以下情况讨论: (1)A 、B 分别为左、右顶点.此时a +c =3，a －c =2，故|AB|=2a =5(相应地，b 2=(a +c )(a －c )=6，Γ的方程为4x 225+y 26=1).(2)A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点.此时a +c =3，a =2，故c =1，进而b 2=a 2−c 2=3， 所以|AB|=√a 2+b 2=√7(相应Γ的方程为x 24+y 23=1).(3)A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点.此时a =3，a －c =2，故c =1，进而b 2=a 2−c 2=8， 所以|AB|=√a 2+b 2=√17(相应Γ的方程为x 29+y 28=1).综上可知，|AB |的所有可能值为5,√7,√17.5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形. 【答案】证明见解析【解析】设点P 坐标为(x 0,y 0).由于OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ;OR ⃗⃗⃗⃗⃗ //OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，故存在实数λ、μ，使得OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ),OR ⃗⃗⃗⃗⃗ =μ(OP⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 此时点Q 、R 的坐标可分别表示是(λ(x 0+a ),λy 0),(μ(x 0−a ),μy 0). 由于点Q 、R 都在椭圆上，所以λ2((x 0+a )2a 2+y 02b2)=μ2((x 0−a )2a 2+y 02b 2)=1.结合x 02a2+y 02b 2=1知，上式可化为λ2(2+2x 0a)=μ2(2−2x 0a)=1，解得λ2=a2(a+x 0),μ2=a2(a−x 0)，因此|OQ|2+|OR|2=λ2((x 0+a )2+y 02)+μ2((x 0−a )2+y 02)=a 2(a +x 0)((x 0+a )2+y 02)+a 2(a −x 0)((x 0−a )2+y 02)=a (a +x 0)2+ay 022(a +x 0)+a (a −x 0)2+ay 022(a −x 0)=a 2+ay 022(1a +x 0+1a −x 0)=a 2+ay 022⋅2a a 2−x 02 =a 2+a 2⋅b 2(1−x02a2)a 2−x 02=a 2+b 2=|BC|2.从而线段OQ 、OR 、BC 能构成一个直角三角形.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围. 【答案】[4,8)∪(8,200)【解析】设P (t 2，2t )，则直线l 的方程为y =x +2t －t 2， 代入曲线C 2的方程得(x −4)2+(x +2t −t 2)2=8， 化简可得2x 2−2(t 2−2t +4)x +(t 2−2t )2+8=0①由于l 与C 2交于两个不同的点，故关于x 的方程①的判别式△为正. 计算得，Δ4=(t 2−2t +4)2−2[(t 2−2t )2+8]=(t2−2t)2−8(t2−2t)+16−2(t2−2t)2−16=−(t2−2t)2+8(t2−2t)=−(t2−2t)(t2−2t−8)=−t(t−2)(t+2)(t−4)，因此有t∈(−2,0)∪(2,4)②设Q、R的横坐标分别为x1,x2，由①知，x1+x2=t2−2t+4,x1x2=12[(t2−2t)2+8]，因此，结合的倾斜角为45°可知，|PQ|⋅|PR|=√2(x1−t2)⋅√2(x2−t2)=2x1x2−2t2(x1+x2)+2t4 =(t2−2t)2+8−2t2(t2−2t+4)+2t4=t4−4t3+4t2+8−2t4+4t3−8t2+2t4 =t4−4t2+8=(t2−2)2+4③由②可知，t2−2∈(−2,2)∪(2,14)，故(t2−2)2∈[0,4)∪(4,196)，从而由③得，|PQ|⋅|PR|=(t2−2)2+4∈[4,8)∪(8,200).注1利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式|2√2|<2√2，同样可以求得②中t的范围.注2更简便的计算|PQ|⋅|PR|的方式是利用圆幂定理.事实上，C2的圆心为M(4，0)，半径r=2√2，故|PQ|⋅|PR|=|PM|2−r2=(t2−4)2+(2t)2−(2√2)2=t4−4t2+8.7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆x22+y2=1的左、右焦点.设不经过焦点F1的直线l与椭圆交于两个不同的点A，B，焦点F1到直线l的距离为d.如果直线AF1，l，BF1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围【答案】(√3,2)【解析】由条件知，点F1，F2的坐标分别为(－1，0)和(1，0).设直线l的方程为y=kx+m，点A，B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，则x1,x2满足方程x22+(kx+m)2=1，即(2k2+1)x2+4kmx+(2m2−2)=0①由于点A，B不重合，且直线l的斜率存在，故x1,x2是方程①的两个不同实根，因此有式①的判别式Δ=(4km)2−4⋅(2k2+1)⋅(2m2−2)=8(2k2+1−m2)>0即2k2+1>m2②由直线AF1,l,BF1的斜率y1x1+1,k,y2x2+1依次成等差数列知y1x1+1+y2x2+1=2k.又y1=kx1+m,y2=kx2+m，所以(kx1+m)(x2+1)+(kx2+m)(x1+1)=2k(x1+1)(x2+1).化简并整理得(m−k)(x1+x2+2)=0，假如m=k，则直线l的方程为y=kx+k.即l经过点F1(－1，0)，不符合条件.因此必有x1+x2+2=0.故由方程①及韦达定理知4km2k2+1=−(x1+x2)=2，即m=k+12k③由式②与③知2k2+1>m2=(k+12k )2，化简得k2>14k2，这等价于|k|>√22.反之，当m，k满足式③及|k|>√22时，l必不经过点F1(否则将导致m=k，与式③矛盾)，而此时m，k满足式②，故l与椭圆有两个不同的交点A，B，同时也保证了AF1，BF1的斜率存在(否则x1,x2中的某一个为－1，结合x1+x2+2=0知x1=x2=−1，与方程①有两个不同的实根矛盾).点F2(1，0)到直线l：y=kx+m的距离为d=√2=√2|2k+12k|=√1k2+1(2+12k2).注意到|k|>√22，令t=√1k2+1，则t∈(1,√3)，上式可改写为d=1t⋅(t22+32)=12(t+3t)④考虑到函数f(t)=12⋅(t+3t)在[1,√3]上单调递减，故由式④得f(√3)<d<f(1)，即d∈(√3,2).8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线l与PO垂直.设直线l与直线PO，x轴的交点分别为Q，R.(1)证明R是一个定点；(2)求|PQ||QR|的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2) 2√2.【解析】(1)设点P的坐标为(a，b)(b≠0)，易知a≠0.记两切点A，B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则P A，PB的方程分别为yy1=2(x+x1)①yy 2=2(x +x 2)②而点P 的坐标(a ，b )同时满足式①与②，故A ，B 的坐标(x 1,y 1),(x 2,y 2)均满足方程by =2(x +a)③故式③就是直线AB 的方程.直线PO 与AB 的斜率分别为ba与2b，由PO ⊥AB 知ba⋅2b=−1，故a =－2.从而式③即为y =2b(x −2).故AB 与x 轴的交点R 是定点(2，0).(2)因为a =－2，故直线PO 的斜率k 1=−b2，直线PR 的斜率k 2=−b4.设∠OPR =α，则α为锐角，且|PQ||QR|=1tanα=|1+k 1k 2k 1−k 2|=|1+(−b 2)(−b4)−b 2+b 4|=8+b 22|b|⩾2√8b 22|b|=2√2.当b =±2√2时，|PQ||QR|的最小值为2√2.9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆的方程为x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，A 1，A 2分别为椭圆的左、右顶点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上不同于A 1和A 2的任意一点.若平面中两个点Q ，R 满足QA 1⊥PA 1,QA 2⊥PA 2,RF 1⊥PF 1,RF 2⊥PF 2，试确定线段QR 的长度与b 的大小关系，并给出证明.【答案】答案见解析【解析】令c =√a 2−b 2，则A 1(−a,0),A 2(a,0),F 1(−c,0),F 2(c,0)， 设P (x 0,y 0),Q (x 1,y 1),R (x 2,y 2)，其中x 02a 2+y 02b 2=1 (y ≠0)，由QA 1⊥PA 1,QA 2⊥PA 2可知A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+a )(x 0+a )+y 1y 0=0 ① A 2Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅A 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a )(x 0−a )+y 1y 0=0①将式①与②相减，得2a (x 1+x 0)=0，即x 1=−x 0，将其代入式①，得−x 02+a 2+y 1y 0=0，故y 1=x 02−a 2y 0，于是Q (−x 0,x 02−a 2y 0).根据RF 1⊥PF 1,RF 2⊥PF 2，同理可得R (−x 0,x 02−c 2y 0)，因此|QR|=|x 02−a 2y 0−x 02−c 2y 0|=b 2|y 0|.由于|y 0|∈(0,b]，故|QR|⩾b (其中等号成立的充分必要条件是|y 0|=b ，即点P 为(0，±b )).10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6.(1)求证：|OA|⋅|OC|为定值；(2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹.【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【解析】(1)因为|OB|=|OD|，|AB|=|AD|=|CB|=|CD|，所以O，A，C三点共线.如图，联结BD，则BD垂直平分线段AC，设垂足为K.于是，有|OA|⋅|OC|=(|OK|−|AK|)(|OK|+|AK|)=|OK|2−|AK|2=(|OB|2−|BK|2)−(|AB|2−|BK|2)=|OB|2−|AB|2=62−42=20(定值)(2)设C(x，y)，A(2+2cosα,2sinα)，其中α=∠XMA(−π2⩽α⩽π2)，则∠XOC=α2，因为|OA|2=(2+2cosα)2+(2sinα)2=8(1+cosα)=16cos2α2，所以|OA|=4cosα2，由情形(1)的结论，得|OC|cosα2=5，所以x=|OC|cosα2=5，从而y=|OC|sinα2=5tanα2∈[−5,5].故点C的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5，5)，(5，－5).11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于AB两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l的左上方.(1)证明：△P AB的内切圆的圆心在一条定直线上；(2)若∠APB=60°，求△P AB的面积.【答案】(1)证明见解析；(2)117√349.【解析】(1)设直线l:y=13x+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)，将y=13x+m代入x236+y24=1中，化简整理得2x2+6mx+9m2−36=0，于是有x1+x2=−3m，x1x2=9m2−362，k PA=1√2x−3√2，k PB=2√2x−3√2，则k PA+k PB=1√2x−3√22√2x−3√2=1√2)(x2√2)+(y2√2)(x1√2)(x−3√2)(x−3√2)，因此(y1−√2)(x2−3√2)+(y2−√2)(x1−3√2)=(13x1+m−√2)(x2−3√2)+(13x2+m−√2)(x1−3√2) =23x1x2+(m−2√2)(x1+x2)−6√2(m−√2)=23⋅9m2−362+(m−2√2)(−3m)−6√2(m−√2)=3m2−12−3m2+6√2m−6√2m+12=0.从而k PA+k PB=0.又P在直线l的左上方，因此，∠APB的角平分线是平行于y轴的直线，所以△P AB的内切圆的圆心在直线x= 3√2上(2)若∠APB =60°时，结合情形(1)的结论可知k PA =√3,k PB =−√3， 直线P A 的方程为y −√2=√3(x −3√2)，代入x 236+y 24=1中，消去y 得14x 2+9√6(1−3√3)x +18(13−3√3)=0， 它的两根分别是x 1和3√2，所以x 1⋅3√2=18(13−3√3)14，即x 1=3√2(13−3√3)14，所以|PA|=√1+(√3)2⋅|x 1−3√2|=3√2(3√3+1)7，同理可求得|PB|=3√2(3√3−1)7，所以S △PAB =12⋅|PA|⋅|PB|⋅sin60°=12⋅3√2(3√3+1)73√2(3√3−1)7⋅√32=117√349.12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y 2=6x 上的两个动点A (x 1,y 1)和B (x 2,y 2)，其中x 1≠x 2且x 1+x 2=4.线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求△ABC 面积的最大值. 【答案】143√7【解析】解法一设线段AB 的中点为M (x 0,y 0)，则x 0=x 1+x 22=2,y 0=y 1+y 22，k AB =y 2−y 1x 2−x 1=y 2−y 1y 226−y 126=6y 2+y 1=3y 0，线段AB 的垂直平分线的方程是y −y 0=−y 03(x −2)①易知x =5,y =0是式①的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为(5，0). 由式①知直线AB 的方程为y −y 0=3y 0(x −2)，即x =y 03(y −y 0)+2②将式②代入y 2=6x 得y 2=2y 0(y −y 0)+12，即y 2−2y 0y +2y 02−12=0③依题意，y 1，y 2是方程③的两个实根，且y 1≠y 2，所以Δ=4y 02−4(2y 02−12)=−4y 02+48>0，所以−2√3<y 0<2√3，|AB|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√[1+(y 03)2](y 1−y 2)2=√(1+y 029)[(y 1+y 2)2−4y 1y 2]=√(1+y 029)[4y 02−4(2y 02−12)]=23√(9+y 02)(12−y 02).定点C(5，0)到线段AB的距离ℎ=|CM|=√(5−2)2+(0−y0)2=√9+y02，S△ABC=12|AB|⋅ℎ=13√(9+y02)(12−y02)⋅√9+y02=13√12(9+y02)(24−2y02)(9+y02)⩽13√12(9+y02+24−2y02+9+y023)3=143√7.当且仅当9+y02=24−2y02，即y0=±√5，A(6+√353,√5+√7)，B(6−√353,√5−√7)，或A(6+√353,−(√5+√7))，B(6−√353,−√5+√7)时等号成立.所以，△ABC面积的最大值为143√7.解法二同解法一，线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C坐标为(5，0)设x1=t12,x2=t22(t1>t2,t12+t22=4)，则S△ABC=12|501t12√6t11t22√6t21|的绝对值，则：S△ABC2=(12(5√6t1+√6t12t2−√6t1t22−5√6t2))2=32(t1−t2)2(t1t2+5)2=32(4−2t1t2)(t1t2+5)(t1t2+5)⩽32(143)3，所以S△ABC⩽143√7，当且仅当(t1−t2)2=t1t2+5且t12+t22=4，即t1=√7−√5√6t2=√7+√5√6，A(6+√353,√5+√7)，B(6−√353,√5−√7)，或A(6+√353,−(√5+√7))，B(6−√353,−√5+√7)时等号成立.所以，△ABC面积的最大值是143√7.13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216+y212=1交于不同两点A，B ，与双曲线x 24−y 212=1交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l 使得向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由. 【答案】答案见解析【解析】由{y =kx +mx 216+y 212=1消去y ，化简整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−48=0， 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则x 1+x 2=−8km 3+4k 2，Δ1=(8km)2−4(3+4k 2)(4m 2−48)>0 ①由{y =kx +m x 24−y 212=1消去y ，化简整理得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−12=0，设C (x 3,y 3),D (x 4,y 4)，则x 3+x 4=2km 3−k 2，Δ2=(−2km)2+4(3−k 2)(m 2+12)>0②因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以(x 4−x 2)+(x 3−x 1)=0，此时(y 4−y 2)+(y 3−y 1)=0. 由x 1+x 2=x 3+x 4得−8km 3+4k 2=2km 3−k 2，所以2km =0或−43+4k 2=13−k 2，由上式解得k =0或m =0，当k =0时，由式①与②得−2√3<m <2√3， 因m 是整数，所以m 的值为−3,−2,−1,0,1,2,3，当m =0，由式①和②得−√3<k <√3，因k 是整数，所以k =－1，0，1. 于是满足条件的直线共有9条.14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P 是抛物线y 2=2x 上的动点，点B ，C 在y 轴上，圆(x －1)2+y 2=1内切于△PBC ，求△PBC 面积的最小值.【答案】8【解析】设P (x 0,y 0)，B (0，b )，C (0，c )，不妨设b >c .直线PB 的方程为y −b =y 0−b x 0x ，化简得(y 0−b )x −x 0y +x 0b =0，又因为圆心(1，0)到PB 的距离为1，即00√(y 0−b )+x 0=1，故(y 0−b )2+x 02=(y 0−b )2+2x 0b (y 0−b )+x 02b 2，易知x 0>2，上式化简得(x 0−2)b 2+2y 0b −x 0=0， 同理有(x 0−2)c 2+2y 0c −x 0=0，所以b +c =−2y 0x 0−2,bc =−x 0x 0−2，则(b −c)2=4x 02+4y 02−8x 0(x 0−2)2，因为P (x 0,y 0)是抛物线上的点，有y 02=2x 0，则(b −c)2=4x 02(x 0−2)2，即b −c =2x 0x 0−2，所以S ΔPBC =12(b −c)⋅x 0=x 0x 0−2⋅x 0=(x 0−2)+4x 0−2+4⩾2√4+4=8，当(x 0−2)2=4时取等号，此时x 0=4,y 0=±2√2， 因此S △PBC 的最小值为8.15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l 与曲线C:y =x +1x (x >0)交于两个不同点M 和N .求曲线C 在点M ，N 处的切线的交点轨迹. 【答案】答案见解析【解析】设点M ，N 的坐标分别为(x 1,y 1)和(x 2,y 2)，曲线C 在点M ，N 处的切线分别为l 1，l 2，其交点P 的坐标为(x p ,y p ).若直线l 的斜率为k ，则l 的方程为y =kx +1， 由方程组{y =x +1x y =kx +1 消去y ，得x +1x=kx +1， 即(k −1)x 2+x −1=0，由题意知，该方程在(0，+∞)上有两个相异的实根x 1,x 2，故k ≠1， 且Δ=1+4(k −1)>0 ①x 1+x 2=11−k>0 ② x 1x 2=11−k >0③由此解得34<k <1， 对y =x +1x 求导，得y ′=1−1x 2，则 y ′|x=x 1=1−1x 12， y ′|x=x 2=1−1x 22，于是，直线l 1的方程为y =y 1=(1−1x 12)(x −x 1)，即y −(x 1+1x 1)=(1−1x 12)(x −x 1)，化简后得直线l1的方程为y=(1−1x12)x+2x1④同理可求得直线l2的方程为y=(1−1x22)x+2x2⑤④－⑤得(1x22−1x12)x p+2x1−2x2=0，因为x1≠x2，故有x p=2x1x2x1+x2⑥将②，③两式代入式⑥得x p=2，④+⑤得2y p=(2−(1x12+1x22))x p+2(1x1+1x2)①其中1x1+1x2=x1+x2x1x2=1，1x12+1x22=x12+x22x12x22=(x1+x2)2−2x1x2x12x22=(x1+x2x1x2)2−2x1x2=1−2(1−k)=2k−1，代入式⑦得2y p=(3−2k)x p+2，而x p=2，得y p=4−2k，又由34<k<1得2<y p<52，即点P的轨迹为(2，2)，(2,52)两点间的线段(不含端点).16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点.【答案】证明见解析【解析】因为y2=nx−1与y=x的交点为x0=y0=n±√n2−42，显然有x0+1x0=n，若(x0m,y0m)为抛物线y2=kx−1与直线的一个交点，则k=x0m+1x0m，记k m=x0m+1x0m ，则k m+1=k m(x0+1x0)−k m−1=nk m−k m−1(m⩾2)①由于k1=n是整数，且k2=x02+1x02=(x0+1x0)2−2=n2−2也是整数，所以根据数学归纳法，通过式①可证明对于一切正整数m，k m=x0m+1x0m是正整数.现在对于任意正整数m，取k=x0m+1x0m，使得y2=kx−1与y=x的交点为(x0m,y0m).17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC =λ1；点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.【答案】y =13(3x −1)2 (x ≠23)【解析】解法一过抛物线上点A 的切线斜率为y ′= 2x |x=1=2，故切线AB 的方程为y =2x −1. 于是B ，D 的坐标分别为B(0,−1),D (12,0)，所以D 是线段AB 的中点.设P(x,y),C (x 0,x 02),E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由AE EC=λ1知x 1=1+λ1x 01+λ1,y 1=1+λ1x 021+λ1，由BF FC=λ2得x 2=λ2x 01+λ2,y 2=−1+λ2x 021+λ2，所以，EF 所在直线方程为y−1+λ1x 021+λ1−1+λ2x 021+λ2−1+λ1x 021+λ1=x−1+λ1x 01+λ1λ2x 01+λ2−1+λ1x 01+λ1，化简得[(λ2−λ1)x 0−(1+λ2)]y=[(λ2−λ1)x 02−3]x +1+x 0−λ2x 02① 当x 0≠12时，直线CD 的方程为y =2x 02x−x 022x 0−1②联立式①与②解得{x =x 0+13y =x 023， 消去x 0，得点P 轨迹方程为y =13(3x −1)2.当x 0=12时，EF 方程为−32y =(14λ2−14λ1−3)x +32−14λ2，CD 方程为x =12，联立解得(x,y)=(12,112)也在点P 的轨迹上.因C 与A 不能重合，x 0≠1,x ≠23，所以所求轨迹方程为y =13(3x −1)2 (x ≠23).解法二由解法一知，AB 的方程为y =2x −1，B(0,−1),D (12,0)，故D 是AB 的中点.令γ=CD CP，t 1=CA CE=1+λ1，t 2=CB CF=1+λ2，则t 1+t 2=3，因为CD 为△ABC 的中线，所以S ΔCAB =2S △CAD =2S △CBD ，而1t1t2=CE⋅CFCA⋅CB=SΔCEFS△CAB=SΔCEP2S△CAD+SΔCFP2S△CBD=12(1t1γ+1t2γ)=t1+t22t1t2γ=32t1t2γ，所以γ=32，故P是△ABC的垂心.设P(x,y),C(x0,x02)，因点C异于A，则x≠1，故重心P的坐标为x=0+1+x03=1+x03(x≠23)，y=−1+1+x023=x023，消去x0，得y=13(3x−1)2，故所求轨迹方程为y=13(3x−1)2(x≠23).18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0,43),B(−1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围.【答案】(1) 8x2−17y2+12y−8=0；(2) {0,±12,±2√3417,±√22}.【解析】(1)直线AB，AC，BC的方程依次为y=43(x+1)，y=−43(x−1)，y=0，点P(x，y)到AB，AC，BC的距离依次为d1=15|4x−3y+4|，d2=15|4x+3y−4|，d3=|y|，依设d1d2=d32得116x2−(3y−4)2|=25y2，即16x2−(3y−4)2+25y2=0或16x2−(3y−4)2−25y2=0，化简得点P的轨迹方程为：圆S：2x2+2y2+3y−2=0与双曲线T：8x2−17y2+12y−8=0.(2)由前知，点P的轨迹包含两部分：圆S：2x2+2y2+3y−2=0①与双曲线T：8x2−17y2+12y−8=0②因为B(－1，0)和C(1，0)是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B，C.△ABC的内心D也是适合题设条件的点，由d1=d2=d3解得D(0,12)，且知它在圆S上.直线l经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，的斜率存在，设l的方程为y=kx+12③(i)当k=0时，l与圆S相切，有唯一的公共点D.此时，直线y=12平行于x轴，表明l与双曲线有不同于D的2个公共点，所以l恰好与点P的轨迹有3个公共点.(ii)当k≠0时，l与圆S有2个不同的交点.这时，l与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：情况1：直线l经过点B或点C，此时l的斜率k=±12，直线l的方程为x=±(2y−1)，代入方程②得y(3y−4)=0，解得E(53,43)或F(−53,43).表明直线BD与曲线T有2个交点B，E；直线CD与曲线T有2个交点C，F.故当k=±12时，恰好与点P的轨迹有3个公共点.情况2：直线l不经过点B和C(即k≠±12)，因为l与S有2个不同的交点，所以与双曲线T有且只有1个公共点，即方程组{8x2−17y2+12y−8=0y=kx+12有且只有1组实数解，消去y并化简得(8−17k2)x2−5kx−254=0，该方程有唯一实数解的充要条件是8−17k2=0④或(−5k)2+4(8−17k2)254=0⑤解方程④得k=±2√3417，解方程⑤得k=±√22.综合得直线l的斜率k的取值范围是有限集{0,±12,±2√3417,±√22}.19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围.【答案】y≤0或y≥4.【解析】设点B坐标为(y12−4,y1)，点C坐标为(y2−4,y).显然y12−4≠0，故k AB=y1−2y12−4=1y1+2.由于AB⊥BC，所以k BC=−(y1+2)，从而y−y1=−(y1+2)[x−(y12−4)]，y2=x+4，消去x，注意到y≠y1，得(2+y1)(y+y1)+1=0，所以y12+(2+y)y1+(2y+1)=0，由△≥0解得y≤0或y≥4.当y=0时，点B的坐标为(－3，－1)；当y=4时，点B的坐标为(5，－3)，均满足题意.故点C的纵坐标的取值范围是y≤0或y≥4.20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线C1:x2a2+y2=1(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P.(1)求实数m的取值范围(用a表示)；(2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<12时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示).【答案】(1) −a<m<a；(2) (SΔDAP)max={12a√1−a2(0<a⩽13)a√a−a2(13<a<12).【解析】(1)可将曲线C1与C2的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组成的方程组解的个数问题.由{x2a2+y2=1y2=2(x+m)，所以x2+2a2x+2a2m−a2=0①问题转化为方程①在区间(－a，a)上有唯一解或两个相等的实根.设f(x)=x2+2a2x+2a2m−a2，当△=0，即m=a 2+12时，由−a<−a2<a得0<a<1，这时方程①有等根.当f(−a)=f(a)<0，即−a<m<a时，方程①在区间(－a，a)内有一个根(另一个根在区间外).当f(−a)=0，即m=a时x p=a−2a2，由−a<a−2a2<a得0<a<1，这时方程①在区间(－a，a)内有唯一解；当f(a)=0，即m=−a时，x p=−a−2a2，由−a<−a−2a2<a得a∈∅，故综上所述，当0<a<1时，m=a 2+12或−a<m⩽a，当a≥1时，−a<m<a.(2)因为A (－a ，0)，所以S ΔoAP =12ay p ，当0<a <12时，由情形(1)知−a <m ⩽a ，由方程①得x p =−a 2+a√a 2+1−2m ， 显然，x p >0，从而y p =√1−x p2a 2，要使y p 最大，则x p 应最小.易知，当m =a 时，(x p )min =a −2a 2，从而(y p )max =2√a −a 2， 故(S ΔOAP )max =a√a −a 2. 当m =a 2+12时，x p =−a 2，从而y p =√1−a 2，故S △OAP =12a√1−a 2.下面比较a√a −a 2与12a√1−a 2的大小.因为(√a −a 2)2−(12√1−a 2)2=⋯=−14(3a −1)(a −1)，所以当0<a ⩽13时，a√a −a 2⩽12a√1−a 2，当13<a <12时，a√a −a 2>12a√1−a 2，(S ΔDAP )max ={12a√1−a 2(0<a ⩽13)a√a −a 2(13<a <12). 21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知C 0:x 2+y 2=1和C 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0).试问：当且仅当a ，b 满足什么条件时，对C 1上任意一点P ，均存在以P 为顶点，与C 0外切，与C 1内接的平行四边形?并证明你的结论 【答案】答案见解析【解析】利用极坐标解决：以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系， 则椭圆的极坐标方程为1ρ2=cos 2θa 2+sin 2θb 2①显然此平行四边形ABCD 必为菱形，设A (ρ1,θ)，则B (ρ2,90°+θ). 代入式①相加1ρ12+1ρ22=1a 2+1b 2，由于该菱形必与单位圆相切，故原点到AB 的距离为1，所以ρ1ρ2=1⋅√ρ12+ρ22，从而1ρ12+1ρ22=1，所以1a2+1b 2=1.22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A (－2，2)，已知B 是椭圆x 225+y 216=1上的动点，F 是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B 的坐标.【答案】B (−52√3,2)【解析】记椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为a ，b ，c ，离心率为e ， 则a =5,b =4，c =√a 2−b 2=√52−42=3，e =c a=35，左准线为x =−253，如图，过点B 作左准线x =−253的垂线，垂足为N ，过A 作此准线的垂线，垂足为M .由椭圆的定义|BN|=|BF|e=53|BF|，于是|AB|+53|BF|=|AB|+|BN|⩾|AN|⩾|AM|.等号成立当且仅当B 是AM 与椭圆的交点时，此时B (−52√3,2).23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y 2=2px 及定点A (a ，b )，B (－a ，0)(ab ≠0，b 2≠2pa )，M 是抛物线上的点，设直线AM ，BM 与抛物线的另一交点分别为M 1,M 2.求证：当点M 在抛物线上变动时(只要M 1,M 2存在且M 1≠M 2)，直线M 1M 2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.【答案】证明见解析【解析】设M,M 1,M 2的坐标分别为(y 022p,y 0),(y 122p,y 1),(y 222p,y 2)，由A,M,M 1共线，得y 122p −y 022py 1−y 0=y 022p−ay 0−b，化简得y 1y 0=b (y 1+y 0)−2pa ， 所以y 1=by 0−2pa y 0−b①同理，由B,M,M 2共线，得y 2=2pa y 0−b②设(x ，y )是直线M 1M 2上的点，则y 1y 2=y (y 1+y 2)−2px③由式①，②和③消y1,y2得(by0−2pa)2pay0−b =y(by0−2pay0−b+2pay0)−2px，整理得y02(2px−by)+y0⋅2pb(a−x)+2pa(by−2pa)=0.由于方程组{2px−by=0a−x=0by−2pa=0有解x=a,y=2pab，所以，动直线M1M2恒过定点(a,2pab).24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹.【答案】直线x=a+b2除去与y=0或y2=x的三个交点.【解析】设l的方程为y−kx+ka=0，m的方程为y－k'x+k'b=0.于是，过l，m与y2=x的四个不同交点的二次曲线，应有方程(y2−x)+λ(y−kx+ka)(y−k′x+k′b)=0.即(1+λ)y2−λ(k+k′)xy+λkk′x2+λ(ka+k′b)y−(λkk′(a+b)+1)x+λkk′ab=0.它成为圆的充要条件是{k=−k′1+λ=λkk′，即{k=−k′λ=−11+k2.所以，直线l：y−kx+ka=0与直线m：y−k′x+k′b=0的交点P(x0,y0)的坐标为{x0=a+b2y0=k2(b−a).即点P在线段AB的中垂线上.所以点P的轨迹是直线x=a+b2除去与y=0或y2=x的三个交点.25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ= b，求△OPQ的面积.【答案】a√ab【解析】以F为极点，F x为极轴建立极坐标系，则抛物线的方程为l=2a1−cosθ.设点P的极角为θ(θ∈(0,π))，则点Q的极角为π+θ.所以|PQ|=l P+l Q=2a1−cosθ+2a1−cos(π+θ)=4asin2θ.即4asin2θ=b.所以sinθ=2√ab.又S△opF=12a|FP|sinθ，SΔoor=12a|FQ|sinθ，所以SΔOPQ=SΔOPF+SΔOQF=12a(|FP|+|FQ|)sinθ=12absinθ=12ab⋅2√ab=a√ab.优质模拟题强化训练1．易知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为4，离心率为e1.双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)的渐近线为y=±x，离心率为e2，且e1⋅e2=1.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为k1,k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）x 28+y24=1（2）是定值，k1+k2=0.【解析】（1）由题意可知：2b=4，b=2，nm =1，双曲线的离心率e2=√1+nm=√2，则椭圆的离心率为e1=√22.椭圆的离心率e1=ca=√1−b2a2=√22，则a=2√2.所以椭圆的标准方程：x 28+y24=1.（2）k1+k2是定值，证明如下：如图，设直线MN的方程为y=k(x−4)(k≠0).联立{y=k(x−4)x2+2y2=8消去y整理得(1+2k2)x2−16k2x+32k2−8=0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1+x2=16k22k2+1,x1x2=32k2−82k2+1，k1+k2=y1x−2+y2x−2=k(x1−4)x−2+k(x2−4)x−2=k ⋅(x 1−4)(x 2−2)+(x 2−4)(x 1−2)(x 1−2)(x 2−2)=k ⋅2x 1x 2−6(x 1+x 2)+16(x 1−2)(x 2−2).将x 1+x 2=16k 22k 2+1,x 1x 2=32k 2−82k 2+1，代入上式得2x 1x 2−6(x 1+x 2)+16=0，即k 1+k 2=0.2．如图，椭圆C 1:x 24+y 2=1，抛物线C 2:x 2=2py(p >0)，设C 1,C 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点.（1）若△ABO 的外心在椭圆上，求实数p 的值； （2）若△ABO 的外接圆经过点N(0,132)，求实数p 的值. 【答案】（1）7−√136；（2）3【解析】(1)由抛物线、椭圆和圆的对称性可知，△AB 的外心为椭圆的上顶点M (0，1).则有MA =MB =MO =1.设B (x 0,y 0)(x 0>0)，则有{x 02=2py 0x 024+y 02=1x 02+(y 0−1)2=1，解得{x 02=4(2√13−5)9y 0=−1+√133p =7−√136.(2)因为O 、A 、N 、B 四点共圆，设AB 与y 轴相交于C(0,y 0)，由相交弦定理得AC •CB =CN •CO ，即y 0(132−y 0)=x 0x 0=2py 0， 解得y 0=132−2p ①代入x 02=2y 0，解得x 02=2p(132−2p). ② 将①、②代入椭圆方程得13p−4p 24+(132−2p)2=1，解得p =3.3．如图所示，设k >0且k ≠1，直线l ：y =kx +1与l 1：y =k 1x +1关于直线y =x +1对称，直线l 与l 1分别交椭圆E :x 24+y 2=1于点A 、M 和A 、N .（1）求k⋅k1的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.【答案】（1）1；（2）证明见解析【解析】（1）直线l与l1的交点为A(0，1)设点P(x，y)是直线l上异于点A(0，1)的任意一点，点P0(x0,y0)是点P关于直线y=x+1的对称点.由y+y02=x+x02+1得y−x=x0−y0+2①由y−y0x−x0=−1得y+x=y+x0②联立①②解得{x=y0−1y=x0+1.代入直线l：y=kx+1可得x0=k(y0−1).又由点P0(x0,y0)在直线l1:y=k1x+1上，有y0=k1x0+1，则y0−1=k1x0.所以有x0=kk1x0，从而由x0≠0可得kk1=1.（2）设点M、N的坐标分别为(x1,y1)与(x2,y2).由{y1=kx1+1x124+y12=1可得(4k2+1)x12+8kx1=0.所以有x1=−8k4k2+1,y1=1−4k24k2+1.同理求得x2=−8k14k12+1,y2=1−4k124k12+1.由kk1=1可得x2=−8k4+k2,y2=k2−44+k2.则直线MN的斜率为k MN=y1−y2x1−x2=1−4k24k2+1−k2−44+k2−8k4k2+1−−8k4+k2=8−8k48k(3k2−3)=−k2+13k.所以直线MN的方程为y−1−4k 24k2+1=−k2+13k(x−−8k4k2+1)，化简得y=−k 2+13kx−53.因此，对任意的k，直线MN恒过定点(0,−53).4．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1､F 2，右顶点为A ，P 为椭圆C 上任意一点.已知PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3，最小值为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l ：y =kx +m 与椭圆C 相交于M ､N 两点(M ､N 不是左右顶点)，且以MN 为直径的圆过点A .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）x 24+y 23=1.（2）证明见解析，定点(27,0)【解析】（1）因为P 是椭圆C 上任一点，所以|PF 1|+|PF 2|=2a 且a −c ⩽|PF 1|⩽a +c ，y =PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠F 1PF 2=12(|PF 1|2+|PF 2|2−4c 2) =12[|PF 1|2+(|2a −|PF 1|)2−4c 2] =(|PF 1|−a)2+a 2−2c 2.当|PF 1|=a 时，y 有最小值a 2-2c 2；当|PF 1|=a -c 或a +c 时，y 有最大值a 2−c 2.所以{a2−c 2=3a 2−2c 2=2，解得{a 2=4c 2=1，故b 2=a 2−c 2=3. 因此椭圆的方程为x 24+y 23=1.（2）设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2)，将y =kx +m 代入椭圆方程得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2−12=0， 所以x 1+x 2=−8km 4k 2+3,x 1x 2=4m 2−124k 2+3.因为y 1=kx 1+m, y 2=kx 2+m ，所以y 1y 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2. 又因为以MN 为直径的圆过点A ，所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故7m 2+16km +4k 2=0. 所以m =−27k 或m =-2k ，都满足△>0若m =-2k ，直线l 恒过定点(2，0)，不合题意舍去 若m =−27k ，直线l:y =k(x −27)恒过定点(27,0). 5．已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1过点M(0,2)，且右焦点为F(2,0)．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，交y 轴于点P ．若PA =mAF,PB =nBF ，求证：m +n 为定值； （3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值． 【答案】（1）x 28+y 24=1（2）见解析（3）163【解析】（1）由题意b=2，c=2，所以a 2=8，椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),(0,t)． 由PA =mAF 知x 1=2m 1+m ，y 1=t1+m ． 又点A 在椭圆C 上，则(2m1+m )28+(t1+m )24=1，整理得2m 2+8m −t 2+4=0． 由PB =nBF ，同理得到 2n 2+8n −t 2+4=0．由于A 、B 不重合，即m ≠n ，故m 、n 是二次方程2x 2+8x −t 2+4=0的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为x 2+y t =1，即y =−t2(x −2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得 (2+t 2)x 2−4t 2x +4t 2−16=0，Δ=16t 4−4(2+t 2)(4t 2−16)=32t 2+128>0， 所以x 1+x 2=4t 22+t2,x 1⋅x 2=4t 2−162+t 2，而 S ΔQAB =12⋅|2t|⋅|x 1−x 2|=|t|⋅|x 1−x 2| S ΔQAB 2=t 2(x 1−x 2)2=t 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=t 2[16t 4(2+t 2)2−16t 2−642+t 2]=t 2⋅32t 2+128(2+t 2)2．=32[1−4(2+t 2)2]由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得|t|⩾2，即t 2⩾4，所以S ΔQAB 2的最小值为32×89=2569，故三角形QAB 面积的最小值为163． 6．．。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O=∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而ABDCEFP1O 2O∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
全国高中数学联赛加试平面几何汇编
全国高中数学联赛加试平面几何汇编全国高中数学联赛加试平面几何汇编篇一：1990-2011全国高中数学联赛加试平面几何汇编1990年第二试(10月14日上午10∶30—12∶30)一．(本题满分35分)四边形ABCD内接于圆O，对角线AC与BD相交于P，设三角形ABP、BCP、CDP和DAP的外接圆圆心分别是O1、O2、O3、O4．求证OP、O1O3、O2O4三直线共点．证明∵O为⊿ABC的外心，∴OA=OB．∵O1为⊿PAB 的外心，∴O1A=O1B． E1∴OO1⊥AB．D作⊿PCD的外接圆⊙O3，延长PO3与所作圆交于点E，并与AB O3交于点F，连DE，则?1=?2=?3，?EPD=?BPF，∴?PFB=?EDP=90?．O4∴PO3⊥AB，即OO1∥PO3．同理，OO3∥PO1．即OO1PO3是平行四边形．O∴O1O3与PO互相平分，即O1O3过PO的中点．同理，O2O4过PO中点．OA∴OP、O1O3、O2O4三直线共点．FO3OO 2 OOAF BC3B1991年二．设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个1点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于．4证明：考虑四边形的四个顶点A、B、C、D，若△ABC、△BCD、△CDA、△DAB的面积，设其中面积最小的三角形为△ABD．1⑴若S△ABDA、B、C、D即为所求．413⑵若S△ABD<S△BCD，取△BCD的重心G，则以B、C、D、G这4点中的任意4413点为顶点的三角形面积．411⑶若S△ABD= S△ABD=．4413由于S△ABC+S△ACD=1，而S△ACD，故S△ABC<=S△BCD．44∴过A作AE∥BC必与CD相交，设交点为E．BC111则∵S△ABCS△ABD，从而S△ABES△ABD=．S△ACE=S△ABES△BCE=S△ABC．即A、B、444C、E四点即为所求．11⑷若S△ABD==，这个三角形不可能是△BCD，(否则ABCD的面积=，不妨设S△ADC= S△ABD=．则AD∥24BC，四边形ABCD为梯形．13由于S△ABD=，S△ABC=AD=a，则BC=3a，设梯形的高=h，44B3aAEaFC则2ah=1．设对角线交于O，过O作EF∥BC分别交AB、CD于E、F．∴AE∶EB=AO∶OC=AD∶BC=1∶3．a·3+3a·13133991∴EF=A．S△EFB=S△EFC=h=1+322241632413991S△EBC=S△FBC=·3aah=．于是B、C、F、E四点为所求．综上可知所248162证成立．又证：当ABCD为平行四边形时，A、B、C、D四点即为所求．当ABCD不是平行四边形，则至少有一组对边的延长线必相交，设延长AD、BC交于E，且设D与AB的距离<C 与AB的距离，1⑴若ED≤AE，取AE中点P，则P在线段AD上，作PQ ∥AB交BC于Q．若2333PQ=a，P与AB距离=h．则AB=2a，SABQP=ABEABCD=．444131即a+2a)h，ah 2421111∴S△APQ=S△BPQ=．S△PAB=S△QAB=ah．即A、B、Q、P为所求．24241⑵若EDAE，取AE中点P，则P在线段DE上，作PR ∥BC交CD 于R，2NAEDCQABEFCQSBAN∥BC，交CD于N，由于∠EAB+∠EBA<π，故R 在线段CD 上．N在DC延长线上．作1RS∥AB，交BC于S，则RS=AB，延长AR交BC于F，则S△FAB=SABCNSABCD=1．问题化2为上一种情况．1992年四、(20分)设l，m是两条异面直线，在l上有A，B，C 三点，且AB=BC，过A，B，C分7别作m的垂线AD，BE，CF，垂足依次是D，E，F，已知AD=15，BE=10，求l2与m的距离．解：过m作平面α∥l，作AP⊥α于P，AP与l确定平面β，β∩α=l?，l?∩m=K．作BQ⊥α，CR⊥α，垂足为Q、R，则Q、R∈l?，且AP=BQ=CR=l与m的距离d．? 连PD、QE、RF，则由三垂线定理之逆，知PD、QE、RF都⊥m．PD=15－d，QE= 492d，RF=10－d．4l'mKF当D、E、F在K同侧时2QE=PD+RF，E?49－4d=15－d+10－d．解之得d=6当D、E、F不全在K同侧时2QE=PD－RF，?49－4d=15－d－10－d．无实解．∴l与m距离为6．1993年三、（35分）水平直线m通过圆O的中心，直线l?m，l与m相交于M，点M 在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l 与圆O相切时，AB?CR+BC?AP=AC?BQ；(2)l与圆O相交时，AB?CR+BC?AP＜AC?BQ；(3)l与圆O相离时，AB?CR+BC?AP＞AC?BQ.证明：设MA=a，MB=b，MC=c，OM=d，⊙O的半径=r．且设k=d2－r2．则当k0时，点M在⊙O外，此时，直线l与⊙O相离；当k=0时，点M在⊙O上，此时，直线l 与⊙O相切；当k<0时，点M在⊙O内，此时，直线l与⊙O相交．∴AP=a+d －r=a+k，同理，BQ=b+k，CR=c+k．则AB?CR+BC?AP－AC?BQ= AB?CR+BC?AP－(AB+BC)?BQ=BC×(AP－BQ)－AB×(BQ－CR)AP2－BQ2BQ2－CR2=BC×AB×AP+BQBQ+CR(b－c)(a－b)(a+b)(a－b)(b－c)(b+c) =AP+BQBQ+CRa+bb+c=(a－b)(b－c)()AP+BQBQ+CR=(a－b)(b－c)a·BQ+a·CR+b·CR－b·AP－c·AP－c·BQ．(AP+BQ)(BQ+CR)a2·BQ2－b2·AP2(a2－b2)k注意到a?BQ－b?AP=．b·AP+a·BQb·AP+a·BQ故k0时，a?BQ－b?AP0，k=0时，a?BQ－b?AP=0，k<0时，a?BQ－b?AP<0；同理可得，k0时，b?CR－c?BQ0，k=0时，b?CR－c?BQ =0，k<0时，b?CR－c?BQ <0；k0时，a?CR－c?AP0，k=0时，a?CR－c?AP =0，k<0时，a?CR－c?AP <0；即当k0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ0；当k=0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ=0，当k<0时，AB?CR+BC?AP－AC?BQ<0．故证．、1994年三、(本题满分35分) 如图，设三角形的外接圆O的半径为R,内心为I，∠B=60?,∠A<∠C,∠A的外角平分线交圆O于E．C证明:(1) IO=AE；(2) 2R<IO+IA+IC<(1+3)R．证明：∵∠B=60°，∴∠AOC=∠AIC=120°．B∴A，O，I，C四点共圆．圆心为弧AC的中点F，半径为R．∴O为⊙F的弧AC中点，设OF延长线交⊙F于H，AI 延长线交弧BC于D．由∠EAD=90°（内外角平分线）知DE为⊙O的直径．∠OAD=∠ODA．但∠OAI=∠OHI，故∠OHI=∠ADE，于是RtΔDAE≌RtΔHIO∴AE=IO．由ΔACH为正三角形，易证IC+IA=IH．由OH=2R．∴IO+IA+IC=IO+IHOH=2R．设∠OHI=α，则0<α<30°．∴IO+IA+IC=IO+IH=2R(sinα+cosα)=2R2sin(α+45°) 又α+45°<75°，故IO+IA+IC<2 2R(6+2)/4=R(1+3)1995年三、(35分) 如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC 于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．分析要证MQ∥NP，因AB∥DC，故可以考虑证明∠AMQ=∠CPN．现∠A=∠C，故可证ΔAMQ∽ΔCPN．于是要证明AM∶AQ=CP∶CN．证明设∠ABC=2?，∠BNM=2?，∠BMN=2γ．则1由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=(180?－2?)=90?－?；2同理，∠OMN=∠OMA=90?－γ．而∠CON=180?－∠OCN－∠ONC=?+?=90?－γ，于是ΔCON∽ΔAMO，∴AM∶AO=CO∶CN，即AM·CN=AO2．同理，AQ·CP=AO2，∴AM·CN=AQ·CP．∴ΔAMQ∽ΔCPN，∴∠AMQ=∠CPN．∴MQ∥NP．A2HDCBNF1996年三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P 点。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题25平面几何A辑(解析版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题25平面几何A辑L【2020高中数学联赛A卷（第02试）】如图,在等腰Zk/IBC中,48 = BC，/为内心. M为出的中点/为边4C 上•点，满足NQ3PCJV延长线上•点H满足。
为，13C的外接圆上劣孤劣的中点.证明［解析］取AC的中点N由4P=3PC,可知P为NC的中点.易知BIN共线,NWO90。
.由/为」X3C的内心，可知C7经过点OM Z OIB= AIBC^rZICB= ZABI+ ZACO= ZABI±ZABO=Z OBI.又M为BI的中点，所以0M_L双进而OM// CN.考虑」HMQ与JfflA由于A<H一PH.W4HM5=90屋4HMI= NHIB.又/血m=N，VP=90。
,故詈=* h 日HM NP 1 NC 1 MQ MQr 足—= ---- - ---- - ----- - --HI N1 2 Nl 2 MI IB所以△ HMQ sA H1B,得N HQM= /HBL从而HMBQ四点共阅.于是有N5/QN氏1丝=90。
抑BHLQH.2. 12020高中数学联赛B卷（第02试）】如图是圆。
上顺次的五点，满足ABC=BCD=CDE,点P.O分别在线段AD.BE上，且P在线段CQ上证明:NR10=N庄Q【解析】记S为40与BE的交点,T为CQ延长线与圆Q的交点.注意到ABOBCACDEW设AB.CD所对的圆周角均为aJBCDE所对的圆周角均为£.于是N/Q/ATC=o邛,乙PTE=Z CTE=。
邛 2PS 折 ABDA- NDBE』-B.由ZATO=ZPSO得S4工Q四点共网，又由NP公NPS0得PST.E四点共圆.所以ZR4O=ZPTS= ZPEO.3.12019高中数学联赛A卷（第02试）】如图，在锐角△HBC中，M是3C边的中点点尸在△Z3C内，使得乂尸平分NA4。
.直线MP与△43尸、ZUCP的外接圆分别相交于不同于点尸的两点。
全国高中数学联赛A卷加试平面几何真题讲义(2013-2019)
平面几何真题 讲解
2019年全国高中数学联赛A卷 加试第一题（40分）
如图，在锐角 ABC中， M 是 BC 边的中点.点 P 在ABC 内，使得 AP 平分BAC . 直线 MP 与 ABP， ACP 的外接圆分别相交于不同于点 P 的两点 D, E . 求证：若 DE MP，则 BC 2BP .
A
I
B
CA卷 加试第二题（40分）
如图所示，在 ABC中，X 、Y 是直线 BC 上的两点（ X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得 BX AC CY AB . 设 ACX ， ABY 的外心分别为 O1,O2 ，直线O1O2 与 AB 、 AC 分别交于点U 、V . 证明： AUV 是等腰三角形.
A
求证： AM AN .
O
B
C
M N
F
D
E
G
2013年全国高中数学联赛A卷 加试第一题（40分）
如图 ， AB 是圆 的一 条弦 ， P 为弧 AB 内一 点， E 、 F 为线 段 AB 上两 点， 满足
AE EF FB，连接 PE 、 PF 并延长，与圆 分别相交于点C 、 D .
求证： EF CD AC BD.
2018年全国高中数学联赛A卷 加试第二题（40分）
ABC为锐角三角形，AB AC ，M 为 BC 边的中点，点 D 和 E 分别为ABC 的外接圆
上弧 BAC 和弧 BC 的中点. F 为 ABC的内切圆在 AB 边上的切点，G 为 AE 与 BC 的交
D
点， N 在线段 EF 上，满足 NB AB .
2015年全国高中数学联赛A卷 加试第三题（50分）
如图， ABC内接于圆O ， P 为弧 BC 上一点，点 K 在线段 AP 上，使得 BK 平分ABC ，过K 、P 、 C 三点的圆 与边 AC 交于点 D ，连接 BD交圆 于点 E ，连接 PE 并延长与边 AB 交于点F .
全国高中数学联赛分类汇编 专题 解析几何
1、（2000一试3）已知点A 为双曲线x 2-y 2=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 （ ） (A)33 (B) 233 (C) 33 (D) 633、（2002一试2）若实数x, y 满足(x+5)2+(y12)2=142，则x 2+y 2的最小值为( )(A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】B【解析】利用圆的知识结合数形结合分析解答，22x y +表示圆上的点（x,y ）到原点的距离。
4、（2002一试4）直线134=+yx 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有( )(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个【答案】B5、（2003一试2）设a，b∈R，ab≠0，那么直线ax－y+b=0和曲线bx2+ay2=ab的图形是（）A. B. C. D.【答案】B6、（2003一试3）过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（）(A)163(B)83(C)1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=pk=43上，即AB中点为(43，43)，中垂线方程为y=－33(x－43)+43，令y=0，得点P的坐标为163．∴PF=163．选A．7、（2004一试2）已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ≠∅，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 【答案】A【解析】点(0，b )在椭圆内或椭圆上，⇒2b 2≤3，⇒b ∈[－62，62]．选A ．8、（2005一试5）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线 【答案】C9、（2007一试5）设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）【答案】A【解析】设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、O 2，且离心率分别是212r r c +和||221r r c -的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)专题17平面解析几何C辑(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值. 3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围. 7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点.设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点F 1到直线l 的距离为d .如果直线AF 1，l ，BF 1的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy 中，P 是不在x 轴上的一个动点，满足条件：过P 可作抛物线y 2=4x 的两条切线，两切点连线l 与PO 垂直.设直线l 与直线PO ，x 轴的交点分别为Q ，R.(1)证明R是一个定点；(2)求|PQ||QR|的最小值.9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足QA1⊥PA1,QA2⊥PA2,RF1⊥PF1,RF2⊥PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6.(1)求证：|OA|⋅|OC|为定值；(2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹.11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于AB两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l的左上方.(1)证明：△P AB的内切圆的圆心在一条定直线上；(2)若∠APB=60°，求△P AB的面积.12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+ x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值.13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216+y212=1交于不同两点A，B，与双曲线x24−y212=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由.14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹.16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点.17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC =λ1；点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0,43),B(−1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围.19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围.20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线C1:x2a2+y2=1(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P.(1)求实数m的取值范围(用a表示)；(2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<12时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示).21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知C0:x2+y2=1和C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0).试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标.23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.求证：当点M在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1≠M2)，直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹.25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ= b，求△OPQ的面积.优质模拟题强化训练1．易知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为4，离心率为e1.双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)的渐近线为y=±x，离心率为e2，且e1⋅e2=1.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为k1,k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.2．如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设C1,C2相交于A、B两点，O为坐标原点.（1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点N(0,132)，求实数p的值.3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆E:x24+y2=1于点A、M和A、N.（1）求k⋅k1的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.5．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点M(0,2)，且右焦点为F(2,0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线l与椭圆C交于A,B两点，交y轴于点P．若PA=mAF,PB=nBF，求证：m+n为定值；（3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积的最小值．6．．已知点F是椭圆x 21+a2+y2=1(a>0)右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x轴、y上的动点，且满足MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点P 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x =−a 分别交于点S 、T （其中O 为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.8．已知离心率为12的椭圆的左焦点F 1为抛物线y 2=4px(p >0)的准线与x 轴的交点，右焦点F 2也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长PF 1，与该抛物线交于点Q ，M 为抛物线上一个动点，且M 在点P 与Q 之间运动.若ΔPF 1F 2的边长恰为三个连续的正整数，求ΔMPQ 面积的最大值. 9．如图，已知⊙G:(x −2)2+y 2=r 2是椭圆x 216+y 2=1的内接△ABC 的内切圆，其中，A 为椭圆的左顶点.（1）求⊙G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作⊙G 的两条切线与椭圆交于E 、F 两点，证明:直线EF 与⊙G 相切.10．已知双曲线x 2−y 2=2的左、右焦分别为点F 1、F 2，过定点P(2,3)作双曲线x 2−y 2=2的切线，切点分别为A 、B ，且点A 的横坐标小于点B 的横坐标。
近十年全国高中数学联赛试题一试(解析几何)
2
AE BF 1 ;点 F 在线段 BC 上，满足 2 ，且 EC FC
1 2 1 ，线段 CD 与 EF 交于点 P.当点 C 在抛物线上移动时，求点 P 的轨迹方程.
解 一 ： 过 抛 物 线 上 点 A 的 切 线 斜 率 为 ： y 2 x | x1 2, 切 线 AB 的 方 程 为
2
）
16 3
(B)
8 3
(C)
16 3 3
易知直线 AB 的方程为 y 3x ,因此 A,B 两点的横坐标满足方程 3x 8x 16 0 ,从而弦 AB 中点的横坐标为 x 0
4 4 ,纵坐标 y 0 ,进而求得中垂线方程之后，令 y=0，得点 P 的横坐 3 3
标即 PF=
立，得 x 2 2 x b x1, 2 1 b 1. 令正方形边长为 a, 则 a 2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 ) 2 5( x1 x2 ) 2 20(b 1). ① 在 y 2 x 17 上任取一点（6，,5） ，它到直线 y 2 x b 的距离为 a, a ①、②联立解得 b1 3, b2 63. a 80, 或 a 1280 . amin 80.
十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分 一、选择题 2 2 2000、已知点 A 为双曲线 x y =1 的左顶点，点 B 和点 C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边 三角形，则△ABC 的面积是 【答】 （ ） (A)Biblioteka 3 3(B)3 3 2
(C) 3 3
(D) 6 3
答案： C 。 解析： 如图所示， 设 BD=t， 则 OD= 3 t-1， 从而 B （ 3 t-1， t） 满足方程 x 2 y 2 1 ， 可以得到 t= 3 ,所以等边三角形，Δ ABC 的面积是 3 3 .
1988-2018全国高中数学联赛真题(二试)分类汇编---平面几何
全国高中数学联合竞赛（加试）试题分类汇编一【平几】1、【1988·2】(本题满分35分)如图，在△ABC中，P、Q、R将其周长三等分，且P、Q在AB边上，求证：S∆PQRS∆ABC>29．NACBPQ RH2、【1989·1】(本题满分35分)已知在ΔABC中，AB>AC， A的一个外角的平分线交ΔABC的外接圆于点E，过E作EF⊥AB，垂足为F．求证：2AF=AB-AC．EAFB C3、【1990·1】(本题满分35分)四边形ABCD 内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，设三角形ABP 、BCP 、CDP 和DAP 的外接圆圆心分别是O 1、O 2、O 3、O 4．求证OP 、O 1O 3、O 2O 4三直线共点．O OA B C DP 1O O O 234F4、【1991·2】(本题满分35分)设凸四边形ABCD的面积为1，求证：在它的边上(包括顶点)或内部可以找出四个点，使得以其中任意三点为顶点所构成的四个三角形的面积大于1 4．5、【1992·1】(本题满分35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为△A2A3A4、△A3A4A1、△A4A1A2、△A1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．6、【1993·3】(本题满分35分)水平直线m通过圆O的中心，直线l⊥m，l与m相交于M，点M在圆心的右侧，直线l上不同的三点A,B,C在圆外，且位于直线m上方，A点离M点最远，C点离M点最近，AP,BQ,CR 为圆O的三条切线，P,Q,R为切点．试证：(1)l与圆O相切时，AB⨯CR+BC⨯AP=AC⨯BQ；(2)l与圆O相交时，AB⨯CR+BC⨯AP＜AC⨯BQ；(3)l与圆O相离时，AB⨯CR+BC⨯AP＞AC⨯BQ.7、【1994·3】(本题满分35分)如图，设三角形的外接圆O 的半径为R,内心为I ，∠B=60 ,∠A <∠C,∠A 的外角平分线交圆O 于E ．证明:(1)IO=AE ；(2)2R <IO +IA +IC <(1+3)R ．AB COIE8、【1995·3】(本题满分35分)如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．9、【1996·3】（本题满分35分）如图，圆O 1和圆O 2与△ABC 的三边所在的三条直线都相切，E 、F 、G 、H 为切点，并且EG 、FH 的延长线交于P 点。
高中数学联赛真题分类平面解析几何C辑(原卷版)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题17平面解析几何C 辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系中,点A ,B ,C 在双曲线xy =1上,满足△ABC 为等腰直角三角形.求△ABC 的面积的最小值.2．【2020高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆Γ中,A 为长轴的一个端点,B 为短轴的一个端点, F 1,F 2为两个焦点.若AF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,求tan∠ABF 1⋅tan∠ABF 2的值.3．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，圆Ω与抛物线Γ:y 2=4x 恰有一个公共点，且圆Ω与x 轴相切于Γ的焦点F .求圆Ω的半径.4．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.5．【2018高中数学联赛B 卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 与C 、D 分别是椭圆Γ:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点与上、下顶点.设P ，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ ∥AP ，M是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R .证明:线段OQ ，OR ，BC 能构成一个直角三角形.6．【2017高中数学联赛B 卷（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:y 2=4x ，曲线C 2:(x −4)2+y 2=8.经过C 1上一点P 作一条倾斜角为45°的直线l ，与C 2交于两个不同的点Q 、R ，求|PQ|⋅|PR|的取值范围.7．【2015高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 22+y 2=1的左、右焦点.设不经过焦点F 1的直线l 与椭圆交于两个不同的点A ，B ，焦点F 1到直线l 的距离为d .如果直线AF 1，l ，BF 1的斜率依次成等差数列，求d的取值范围8．【2014高中数学联赛（第01试）】平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线y2=4x的两条切线，两切点连线l与PO垂直.设直线l与直线PO，x轴的交点分别为Q，R.(1)证明R是一个定点；(2)求|PQ||QR|的最小值.9．【2013高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1，A2分别为椭圆的左、右顶点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于A1和A2的任意一点.若平面中两个点Q，R满足QA1⊥PA1,QA2⊥PA2,RF1⊥PF1,RF2⊥PF2，试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.10．【2012高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的边长为4，且|OB|=|OD|=6.(1)求证：|OA|⋅|OC|为定值；(2)当点A在半圆M：(x－2)2+y2=4(2≤x≤4)上运动时，求点C的轨迹.11．【2011高中数学联赛（第01试）】作斜率为13的直线l与椭圆C:x236+y24=1交于AB两点(如图所示)，且P(3√2,√2)在直线l的左上方.(1)证明：△P AB的内切圆的圆心在一条定直线上；(2)若∠APB=60°，求△P AB的面积.12．【2010高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1≠x2且x1+ x2=4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求△ABC面积的最大值.13．【2009高中数学联赛（第01试）】设直线l：y=kx+m(其中k，m为整数)与椭圆x216+y212=1交于不同两点A，B，与双曲线x24−y212=1交于不同两点C，D，问是否存在直线l使得向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若存在，指出这样的直线有多少条?若不存在，请说明理由.14．【2008高中数学联赛（第01试）】如图，P是抛物线y2=2x上的动点，点B，C在y轴上，圆(x－1)2+y2=1内切于△PBC，求△PBC面积的最小值.15．【2007高中数学联赛（第01试）】已知过点(0，1)的直线l与曲线C:y=x+1x(x>0)交于两个不同点M和N.求曲线C在点M，N处的切线的交点轨迹.16．【2006高中数学联赛（第01试）】给定整数n≥2，设M0(x0,y0)是抛物线y2=nx－1与直线y=x的一个交点.试证明对于任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m,y0m)为抛物线y2=kx－1与直线y=x的一个交点.17．【2005高中数学联赛（第01试）】过抛物线y=x2上的一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于D，交y轴于B.点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足AEEC =λ1；点F在线段BC上，满足BFFC=λ2，且λ1+λ2=1，线段CD与EF交于点P.当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程.18．【2004高中数学联赛（第01试）】在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0,43),B(−1,0),C(1,0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB，AC距离的等比中项.(1)求点P的轨迹方程；(2)若直线l经过△ABC的内心(设D)，且与点P的轨迹恰好有3个公共点，求l的斜率k的取值范围. 19．【2002高中数学联赛（第01试）】已知点A(0，2)和抛物线y2=x+4上两点B，C使得AB⊥BC，求点C的纵坐标的取值范围.20．【2001高中数学联赛（第01试）】设曲线C1:x2a2+y2=1(a为正的常数)与C2：y2=2(x+m)在x轴上方有一个公共点P.(1)求实数m的取值范围(用a表示)；(2)O为原点，若C与x轴的负半轴交于点A，当0<a<12时，试求△OAP的面积的最大值(用a表示).21．【2000高中数学联赛（第01试）】已知C0:x2+y2=1和C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0).试问：当且仅当a，b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形?并证明你的结论22．【1999高中数学联赛（第01试）】给定A(－2，2)，已知B是椭圆x225+y216=1上的动点，F是左焦点，当|AB|+53|BF|取最小值时，求B的坐标.23．【1998高中数学联赛（第01试）】已知抛物线y2=2px及定点A(a，b)，B(－a，0)(ab≠0，b2≠2pa)，M是抛物线上的点，设直线AM，BM与抛物线的另一交点分别为M1,M2.求证：当点M在抛物线上变动时(只要M1,M2存在且M1≠M2)，直线M1M2恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.24．【1993高中数学联赛（第01试）】设0<a<b，过两定点A(a，0)和B(b，0)分别引直线l和m，使之与抛物线y2=x有四个不同的交点，当这四点共圆时，求这种直线l与m的交点P的轨迹.25．【1991高中数学联赛（第01试）】设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知OF=a，PQ= b，求△OPQ的面积.优质模拟题强化训练1．易知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，其短轴为4，离心率为e1.双曲线x2m−y2n=1(m>0,n>0)的渐近线为y=±x，离心率为e2，且e1⋅e2=1.（1）求椭圆E的方程；（2）设椭圆E的右焦点为F，过点G(4，0)斜率不为0的直线交椭圆E于M、N两点设直线FM和FN的斜率为k1,k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.2．如图，椭圆C1:x24+y2=1，抛物线C2:x2=2py(p>0)，设C1,C2相交于A、B两点，O为坐标原点.（1）若△ABO的外心在椭圆上，求实数p的值；（2）若△ABO的外接圆经过点N(0,132)，求实数p的值.3．如图所示，设k>0且k≠1，直线l：y=kx+1与l1：y=k1x+1关于直线y=x+1对称，直线l与l1分别交椭圆E:x24+y2=1于点A、M和A、N.（1）求k⋅k1的值；（2）求证：对任意的实数k，直线MN恒过定点.4．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1､F2，右顶点为A，P为椭圆C上任意一点.已知PF1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为3，最小值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于M､N两点(M､N不是左右顶点)，且以MN为直径的圆过点A.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.5．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点M(0,2)，且右焦点为F(2,0)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，交y 轴于点P ．若PA =mAF,PB =nBF ，求证：m +n 为定值； （3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值． 6．．已知点F 是椭圆x 21+a 2+y 2=1(a >0)右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x 轴、y 上的动点，且满足MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若点P 满足OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ． （1）求P 点的轨迹C 的方程；（2）设过点F 任作一直线与点P 的轨迹C 交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x =−a 分别交于点S 、T （其中O 为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．7．设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.8．已知离心率为12的椭圆的左焦点F 1为抛物线y 2=4px(p >0)的准线与x 轴的交点，右焦点F 2也为抛物线的焦点，椭圆与抛物线在x 轴上方的交点为P ，延长PF 1，与该抛物线交于点Q ，M 为抛物线上一个动点，且M 在点P 与Q 之间运动.若ΔPF 1F 2的边长恰为三个连续的正整数，求ΔMPQ 面积的最大值. 9．如图，已知⊙G:(x −2)2+y 2=r 2是椭圆x 216+y 2=1的内接△ABC 的内切圆，其中，A 为椭圆的左顶点.（1）求⊙G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作⊙G 的两条切线与椭圆交于E 、F 两点，证明:直线EF 与⊙G 相切.10．已知双曲线x2−y2=2的左、右焦分别为点F1、F2，过定点P(2,3)作双曲线x2−y2=2的切线，切点分别为A、B，且点A的横坐标小于点B的横坐标。
2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编 专题46平面解析几何第六讲(学生版+解析版)
2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题46平面解析几何第六讲1．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值.2．【2018年福建预赛】已知△DEF 三边所在的直线分别为l 1:x =－2，l 2：x +√3y －4=0，l 3：x －√3y －4=0，⊙C 为△DEF 的内切圆. （1）求⊙C 的方程；（2）设⊙C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在⊙C 内，且满足|PC |2=|PA |⋅|PB |.记直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1 k 2的取值范围.3．【2018年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4，过点P(0,1)的直线l 与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值。
4．【2018年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，ΔABD 与ΔABC 的内心分别为I 1和I 2，直线I 1I 2分别与AC ，BD 交于点M ，N ，求证：PM =PN .5．【2018年贵州预赛】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率e =√22，直线y =2x －1与C 交于A 、B 两点，且|AB |=89√5 ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C交于不同的两点E、F（E在点F、M之间），记λ=SΔOMESΔOMF，求λ的取值范围．6．【2018年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29+y2=1相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.7．【2018年重庆预赛】设椭圆C的左、右顶点为A，B(a,0)，过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2，试证：k1k2为定值，并求此定值（用a的函数表示）8．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x 28+y24=1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ.9．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C的方程；（2）设过点B的直线l与椭圆x 28+y24=1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ.10．【2018年陕西预赛】如图，圆C与x轴相切于点T(2,0)，与y轴的正半轴相交于A,B两点（A在B的上方），且|AB|=3.（1）求圆C 的方程；（2）设过点B 的直线l 与椭圆x 28+y 24=1相交于P ，Q 两点，求证：射线AB 平分∠PAQ .11．【2018年湖南预赛】已知抛物线C 1的顶点(√2−1,1)，焦点(√2−34,1)，另一抛物线C 2的方程为y 2−ay +x +2b =0，C 1与C 2在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C 2必过定点，并求该点的坐标.12．【2018年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC=MD.分别过点C 、D 作边BC 、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P 作PQ ⊥AB 与Q.求证：∠PQC =∠PQD .13．【2018年贵州预赛】已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a >b >0）的离心率e =√22，直线y =2x －1与C 交于A 、B两点，且|AB |=89√5 ． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M (2，0)的直线l （斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E 、F （E 在点F 、M 之间），记λ=S ΔOME S ΔOMF，求λ的取值范围．14．【2018年广西预赛】已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为√32的椭圆过点(√2,√22).设不过原点O的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，且直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．15．【2018年安徽预赛】设O 是坐标原点，双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线于A 、B 两点.⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程.16．【2018年山东预赛】已知圆O:x 2+y 2=4与曲线C:y =3|x −t |，A (m,n )，B (s,p )，(m,n,s,p ∈N ∗)为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值k (k >1)，求t 的值． 17．【2018年湖北预赛】已知O 为坐标原点，N (1,0)，点M 为直线x =−1上的动点，∠MON 的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）过点Q (−12,−12)作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.18．【2018年甘肃预赛】已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1过点M (0,2)，且右焦点为F (2,0)． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于A,B 两点，交y 轴于点P ．若PA⃗⃗⃗⃗⃗ =mAF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =nBF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：m +n 为定值； （3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．19．【2018年吉林预赛】如图，已知抛物线y =ax 2过点P （-1，1），过点Q （−12，0）作斜率大于0的直线l 交抛物线与M 、N 两点（点M 在Q 、N 之间），过点M 作x 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B.△PMA 与△OAB 的面积分别记为S 1、S 2，比较S 1与3S 2的大小，说明理由.20．【2018年天津预赛】如图，F1、F2是双曲线x2−y24=1的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切，且分别交两条渐近线于A、B.又设O为坐标原点，求证：（1）|OA|⋅|OB|=|OF1|2；⑵F1、F2、A、B 四点在同一个圆上.21．【2018年河南预赛】已知方程17x2−16xy+4y2−34x+16y+13=0在xOy平面上表示一椭圆．试求它的对称中心及对称轴．22．【2018年河北预赛】如图，椭圆x2y +y2b=1（a>b>0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A、B两点.当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴、y轴分别交于D、E两点.记△GDF的面积为S1，△OED（O坐标原点）的面积为S2.求S1S2的取值范围.23．【2018年四川预赛】已知双曲线x24−y23=1，设其实轴端点为A1、A2，点P是双曲线上不同于A1、A2的一个动点，直线PA1、PA2分别与直线x=1交于M1、M2两点.证明：以线段M1、M2为直径的圆必经过定点.24．【2018年浙江预赛】已知动直线l与圆O：x2+y2=1相切，与椭圆x29+y2=1相交于不同的两点A，B.求原点到AB的中垂线的最大距离.25．【2018年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系xOy，设点M(x0,y0)是椭圆C:x24+y2=1上一点，左右焦点分别是F1、F2，从原点O向圆M：(x−x0)2+(y−y0)2=r2(0<r<1)作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、OQ的斜率分别记为k1、k2.(1)设直线MF1、MF2分别与圆交于A、B两点，当|AF1|−|BF2|=2r，求点A的轨迹方程；(2)当k1·k2为定值时，求|OP|·|OQ|的最大值.26．【2018年江西预赛】若椭圆x225+y29=1上不同的三点A(x1,y1)，B(4,95)，C(x2,y2)到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC的中垂线l交x轴于点T，求直线BT的方程．27．【2018年湖南预赛】设曲线C:|x2−16y|=256−16|y|所围成的封闭区域为D.（1）求区域D的面积；（2）设过点M(0,−16)的直线与曲线C交于两点P、Q，求|PQ|的最大值.28．【2018年福建预赛】已知F1、F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P(2√63,1)在椭圆C上，且△F1PF2的垂心为H(2√63,−53)．（1）求椭圆C的方程；（2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C于D、D两点．记直线AD、AE的斜率分别为k1、k2，若k1+k2=−12，求直线l的方程．29．【2018年全国】在平面直角坐标系xOy中，设AB是抛物线y2=4x的过点F（1，0）的弦，△AOB的外接圆交抛物线于点P（不同于点O，A，B）.若PF平分∠APB，求|PF|的所有可能值.30．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A、B与C、D分别是椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q是Γ上且位于第一象限的两点，满足OQ∥AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明:线段OQ，OR，BC能构成一个直角三角形.2015-2021七年高中数学联赛真题分类汇编专题46平面解析几何第六讲1．【2019高中数学联赛B 卷（第01试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A 、B 为两个顶点若|F A |=3，|FB|=2，求AB 的所有可能值. 【答案】答案见解析【解析】不妨设平面直角坐标系中椭圆Γ的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，并记c=√a 2−b 2.由对称性，可设F 为Γ的右焦点.易知F 到Γ的左顶点的距离为a +c ，到右顶点的距离为a －c ，到上下顶点的距离均为a .分以下情况讨论: (1)A 、B 分别为左、右顶点.此时a +c =3，a －c =2，故|AB|=2a =5(相应地，b 2=(a +c )(a －c )=6，Γ的方程为4x 225+y 26=1). (2)A 为左顶点，B 为上顶点或下顶点.此时a +c =3，a =2，故c =1，进而b 2=a 2−c 2=3，所以|AB|=√a 2+b 2=√7(相应Γ的方程为x 24+y 23=1).(3)A 为上顶点或下顶点，B 为右顶点.此时a =3，a －c =2，故c =1，进而b 2=a 2−c 2=8，所以|AB|=√a 2+b 2=√17(相应Γ的方程为x 29+y28=1).综上可知，|AB |的所有可能值为5,√7,√17.2．【2018年福建预赛】已知△DEF 三边所在的直线分别为l 1:x =－2，l 2：x +√3y －4=0，l 3：x －√3y －4=0，⊙C 为△DEF 的内切圆. （1）求⊙C 的方程；（2）设⊙C 与x 轴交于A 、B 两点，点P 在⊙C 内，且满足|PC |2=|PA |⋅|PB |.记直线P A 、PB 的斜率分别为k 1、k 2，求k 1 k 2的取值范围. 【答案】（1）x 2+y 2=4.（2）(－1，0] 【解析】（1)解法一：设C (a ，b )，⊙C 半径为r ，则 |a +2|=|a+√3b−4|2=|a−√3b−4|2=r ，结合点C (a ，b )在△DEF 内，可得a +2=−(a+√3b−4)2=−(a−√3b−4)2=r .解得a =b =0，r =2.∴⊙C 的方程为x 2+y 2=4. 解法二：设C (a ，b )，⊙C 半径为r .如图，由条件知，l 2、l 3的倾斜角分别为150°和30°，且它们关于x 轴对称，同时l 1⊥x 轴. 因此，△DEF 为正三角形. ∴点C 在x 轴上，且a =－2+r ，b =0.由l 2、l 3交x 轴于点D (4，0)，知△DEF 的高为6. ∴r =13×6=2，a =0.∴⊙C 的方程为x 2+y 2=4.（2）由（1）知，C (0，0)，A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，则x 2+y 2<4. ∵|PC |2=|PA ||PB |，∴x 2+y 2=√(x +2)2+y 2⋅√(x −2)2+y 2， 化简得，x 2－y 2=2. ∴k 1k 2=yx+2⋅yx−2=y 2x 2−4=x 2−2x 2−4=1+2x 2−4. 由x 2+y 2<4，以及x 2－y 2=2，y 2≥0，得2≤x 2<3. ∴k 1 k 2∈(－1，0].∴k 1 k 2的取值范围为(－1，0].3．【2018年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O 的方程为x 2+y 2=4，过点P(0,1)的直线l 与圆O 交于点A ，B ，与x 轴交于点Q ，设QA⃗⃗⃗⃗⃗ =λPA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =μPB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求证：λ+μ为定值。
平面几何加试真题及讲解--全国高中数学联赛A卷
全国高中数学联赛决赛（A 卷）试题---- 平面几何专题（2014）如图，在锐角ABC ∆中，︒≠∠60BAC ，过点B 、C 分别作ABC ∆的外接圆⊙O 的切线BD 、EC ，且满足BC CE BD ==.直线DE 与AB 、AC 的延长线分别交于点F 、G .设CF 与BD 交于点M ，CE 与BG求证：AN AM =.（2015）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为弧BC 上一点，点K 在线段AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过K 、P 、C 三点的圆Ω与边AC 交于点D ，连接BD 交圆Ω于点E ，连接PE 并延长与边AB 交于点F .求证：FCB ABC ∠=∠2（2016）如图所示，在ABC ∆中，X 、Y 是直线BC 上的两点（X 、B 、C 、Y 顺次排列），使得AB CY AC BX ⋅=⋅.设ACX ∆，ABY ∆的外心分别为O O ',，直线O O '与AB 、AC 分别交于点U 、V .（2017）如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，IB 为半径作圆2Γ，过点B 、I 的圆3Γ与1Γ、2Γ分别交于点P 、Q （不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R . 求证：CR BR ⊥.A（2018）ABC ∆为锐角三角形，AC AB <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为ABC ∆的外接圆上弧BAC 和弧BC 的中点.F 为ABC ∆的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足AB NB ⊥.证明：若EM BN =，则FG DF ⊥.(2019)如图，锐角三角形ABC ∆的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M . 求证：若MN OK ⊥，则C D B A ,,,四点共圆.NG F E DMBAC答案（2014）（2015）（2017）（2019）。
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 F.G.online 整理 默认采用非官方解法2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = πABDCEFP1O2O注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
全国高中数学联赛二试平面几何赛题精选
历年全国高中数学联赛二试几何题汇总1 （类似九点圆）如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。
过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。
1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。
求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。
证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。
因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。
又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。
同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。
于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。
因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。
充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O =∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。
ABDCEFP1O 2O因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。
历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编
历年全国高中数学联赛《平面几何》专题真题汇编1、如图，在锐角三角形ABC 的BC 边上有两点E 、F ，满足∠BAE =∠CAF ，作FM ⊥AB ，FN ⊥AC （M 、N 是垂足），延长AE 交三角形ABC 的外接圆于D ．证明：四边形AMDN 与三角形ABC 的面积相等．2、如图：⊿ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。
求证：（1）OB ⊥DF ，OC ⊥DE ；（2）OH ⊥MN 。
【解析】证明：(1)∵A 、C 、D 、F 四点共圆 ∴∠BDF ＝∠BAC又∠OBC ＝21(180°－∠BOC )＝90°－∠BAC∴OB ⊥DF ． (2)∵CF ⊥MA∴MC 2－MH 2＝AC 2－AH 2 ① ∵BE ⊥NA∴NB 2－NH 2＝AB 2－AH 2 ② ∵DA ⊥BC∴BD 2－CD 2＝BA 2－AC 2 ③ ∵OB ⊥DF∴BN 2－BD 2＝ON 2－OD 2 ④ ∵OC ⊥DE∴CM 2－CD 2＝OM 2－OD 2 ⑤ ①－②＋③＋④－⑤，得NH 2－MH 2＝ON 2－OM 2 MO 2－MH 2＝NO 2－NH 2 ∴OH ⊥MN∵1-=DF OB k k ∴OB ⊥DF 同理可证OC ⊥DE ． 在直线BE 的方程)(b x a cy -=中令x ＝0得H (0，a bc -)∴ac ab bc a c b a bc a a bc k OH++=+++=32222直线DF 的方程为x bc a acab y +-=2由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+-=)(2c x c a y x bc a ac ab y 得N (22222222,2c bc a ac abc c bc a bc c a -+--++) 同理可得M (22222222,2b bc a ab abc b bc a c b b a -+--++) ∴bc a ac ab bc a bc a b c bc a c b a k MN3)3)()(())((222222++-=++-+-=∵k OH ·k MN ＝－1，∴OH ⊥MN ．3、如图，在⊿ABC 中，∠A=60°，AB>AC ，点O 是外心，两条高BE 、CF 交于H点，点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM=CN ，求OH NH MH +的值。
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1994—2009年全国联赛中的平面几何题
1.如图,设的外接圆的半径为,内心为,,,的外角平分线交圆于.ABC ∆O R I °=∠60B C A ∠<∠A ∠O E 证明:(1)(2)(1994年)
;AE IO =.)31(2R IC IA OI R +<++<
2.如图,菱形的内切圆与各边分别相切于在与上分别作圆的切线交ABCD O ,,,,H G F E ⌒EF ⌒
GH O AB 于,交于,交于,交于.证明:.(1995年)
M BC N CD P DA Q NP MQ //
3.如图示,圆与圆和的三边所在的直线都相切,为切点,直线和相交于1O 2O ABC ∆H G F E ,,,EG FH P 点.证明:.(1996年)
BC PA ⊥
4.如图,已知两个半径不相等圆与圆相交于两点,且圆,圆分别与圆内切于两点.1O 2O N M ,1O 2O O T S ,求证:三点共线.(1997年)
T N S MN OM ,,⇔⊥
5.如图,分别为的外心和内心,是边上的高,在线段上.求证:的外接圆半I O ,ABC ∆AD BC I OD ABC ∆径等于边上的旁切圆半径.注:的边上的旁切圆是与边的延长线以及边都相切BC ABC ∆BC AC AB ,BC 的圆.(1998年)
6.如图,在凸四边形中,平分,是线段上的一点.,.ABCD AC BAD ∠E CD F AC BE =∩G BC DF =∩求证:.(1999年)
GAC EAC ∠=∠C
A
7.如图,锐角的边上有两点,满足,作(是ABC ∆BC F E ,CAF BAE ∠=∠AC FN AB FM ⊥⊥,N M ,垂足),延长交的外接圆于点.证明:四边形的面积与的面积相等.(2000年)
AE ABC ∆D AMDN ABC ∆D
8.如图,中,为外心,三条高交于点,直线和交于点,直线和交ABC ∆O CF BE AD ,,H ED AB M FD AC 于点,求证:(1)(2).(2001年)
N ;,DE OC DF OB ⊥⊥MN OH ⊥
9.如图,在中,,,点是的外心,高交于点,点分别在ABC ∆°=∠60A AC AB >O ABC ∆CF BE ,H N M ,线段上,且满足.求的值.(2002年)HF BH ,CN BM =OH
NH MH +
10.过圆外一点作圆的两条切线和一条割线,切点为,所作割线交圆于两点,在之间.在P B A ,D C ,C D P ,弦上取一点使.求证:.(2003年)
CD ,Q PBC DAQ ∠=∠PAC DBQ ∠=∠
11.如图,在锐角中,上的高与上的高相交于点,以为直径的圆分别与两边ABC ∆AB CE AC BD H DE 相交于两点,求的长.(2004年)
AC AB ,G F ,.7,20,25,====BE BD BC K AH FG ∩AK C
12.如图,在中,过作外接圆的切线,又以点为圆心,为半径作圆分别交ABC ∆,AC AB >A ABC ∆l A AC 线段于点交直线于点.证明:直线分别通过的内心与一个旁心.(2005年)
AB ,D l F E ,DF DE ,ABC ∆E
A
13.如图,以为焦点的椭圆与的边交于.在的延长线上任取点,以10,B B 10B AB ∆i AB )1,0(=i C i 0AB 0P 0B 为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交00P B 00Q P 01B C 0Q 1C 01Q C 01Q P A B 1的延长线于点;以为圆心,为半径作圆弧交的延长线于点;以为圆心,为半1P 1B 11P B 11Q P 01C B 1Q 0C 10Q C 径作圆弧交的延长线于点.试证明:(1)与点重合,且圆弧与圆弧相内切于点;
21P Q 0AB 2P 2P 0P 00Q P 10Q P 0P (2)四点共圆.(2006年)
1010,,,Q Q P P
14.如图,在锐角中,,是边上的高,是线段上一点,过作,垂足ABC ∆AC AB <AD BC P AD P AC PE ⊥为,作,垂足为,分别是的外心.求证:四点共圆的充要条E AB PF ⊥F 21,O O CDE BDF ∆∆,F E O O ,,,21件为是的垂心.(2007年)
P ABC ∆B
15.如图,凸四边形,,,其中是平面上的ABCD °<∠+∠180D B AB PC CA PD BC PA P f ⋅+⋅+⋅=)(P 一动点.(1)求证:当达到最小值时,四点共圆;
)(P f C B A P ,,,(2)设是外接圆的弧上一点,满足:,且圆E ABC ∆O AB ,13,23−==EC BC AB AE ECA ECB ∠=∠2
1的两条切线为,,求的最小值.(2008年)
O DC DA ,2=AC )(P f
E
16.如图,已知分别为锐角三角形()的外接圆上弧,弧的中点.过点作N M ,ABC ∆B A ∠<∠ΓBC AC C 交圆于点,为的内心,连接并延长交圆于.
MN PC //ΓP I ABC ∆PI ΓT (1)求证:;(2)在弧(不含点)上任取一点,记,的NT NP MT MP ⋅=⋅AB C ),,(B T A Q Q ≠AQC ∆QCB ∆内心分别为.求证:四点共圆.(2009年)
21,I I ,,T Q 21,I I。