高斯积分法讲义ppt课件
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高斯公式.ppt
P d y d z Q d z d x R d xdy
P Q R x y z d x d ydz
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
例1. 用Gauss 公式计算 其中 为柱面 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 闭域 的整个边界曲面的外侧. z 解: 这里 P ( y z ) x, Q 0, R x y 3 利用Gauss 公式, 得 原式 =
Dxy
2π 0
d 0
1
rdr
π 4
2π 0
cos 2 d
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结束
*二、通量与散度
定义: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k 其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向
目录
dv
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备用题 设 是一光滑闭曲面, 所围立体 的体
积为V, 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径
的夹角, 试证
证: 设 的单位外法向量为 则
nr cos n r
x y z cos cos cos r r r
I 2 ( x y z ) d xdydz
对称性
Dx y
h d xd y
z
1 h
2
2 z d x d ydz π h 4
先二后
0
h
4
1 πh 2
4
O x
思考: 计算曲面积分
4.3 高斯积分
节点xk 及求积系数 Ak 的选取方法
由特殊函数理论知，勒让德（Legendre）多项式
1 dn p n ( x) = n ⋅ n [( x 2 − 1) n ] 2 n! dx
在[-1，1]上是正交的，即 1 ∫Байду номын сангаас1 pn ( x) pn+1 ( x)dx = 0
[2(n + 1)]! p n+1 ( x )的首项系数为： n+1 ，故常取 2 [(n + 1)!]2
三点(n=2)高斯法计算子程序 subroutine Gauss(a,b,G) dimension t(3),w(3) data t/0.,0.774597,-0.774597/ data w/0.888889,0.555556,0.555556/ G=0.0 1 1 x = (b + a) + (b − a)t do 10 i=1,3 2 2 x=0.5*[(b+a)+(b-a)*t(i)] n 1 10 G=G+w(i)*f(x) ∫−1 f ( x)dx ≈ ∑ Ak f ( xk ) k =0 G=0.5*(b-a)*G return b−a f ( x)dx = ∫ ∫ ϕ (t )dt end 2
以上讨论中，积分区间为[-1,1]。 当实际计算区间为 [a, b] ,可采用如下变量替换：
1 1 x = (b + a) + (b − a)t 2 2
则积分区间 [a, b] 变为[-1,1]，且积分变为：
∫
b
a
b−a 1 f ( x)dx = ∫−1ϕ (t )dt 2
a+b b−a + t) 其中 ϕ (t ) = f ( 2 2
数值分析-高斯求积分
p( x)ωn ( x)dx
Ak p( xk )ωn ( xk ) 0
a
k1
即ωn( x)与任意次数不超过n 1的多项式p( x)
在[a, b]上正交
充分性：如果w(x)与任意次数不超过n-1的多项式正 交，则其零点必为Gauss点
设f ( x)为任意次数不超过2n 1次的多项式,
用n ( x)除f ( x)得
3.6 高斯（Gauss）型求积公式
主要内容
• 具有(n+1)个求积节点的Newton-Cotes公式，
b
n
f ( x)dx
Ak f ( xk )
a
k1
至少具有n阶代数精度
•在确定求积公式求积系数Ak的过程中限定求积节点 为等分节点，简化了处理过程，但也降低了求积公 式的代数精度
去掉求积节点 为等分节点的限制条件，会有什么 结果？？
1v( x)du(n 1)( x)
-1
1
1
u(n 1)( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v(1)u(n 1) (1)
1
u(n 1) ( x)v ( x)d x
-1
v (1)u(n 2) (1)
1
u(n 2) ( x)v ( x)d x
-1
v(1)u(n 1) (1) v (1)u(n 2) (1)
a
证明： 必要性： 若x1, x2 ,, xn是高斯点,则求积公式
b
f ( x)dx
a
n
Ak f ( xk )具有2n 1次代数精度
k1
作多项式, ωn( x) ( x x1)( x x2 ) ( x xn ), 设p( x)为
《高斯公式》课件
机遇
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
随着科技的发展和实际问题的多样化，高斯公式的应用前景越来越广阔。例如，在计算机图形学、物理模拟、工 程设计等领域，高斯公式的应用将更加广泛和深入。同时，随着数学与其他学科的交叉融合，高斯公式的应用也 将得到更多的创新和发展。
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数值微分
高斯公式也可以用于数值微分问题的 求解。通过将微分区间划分为足够小 的微元，然后利用高斯公式计算每个 微元的导数值并求和，可以得到整个 区间的导数值。
04 高斯公式的扩展与推广
高斯公式的变种
广义高斯公式
适用于更广泛的积分区域和函数类型，包括非凸区域 和非光滑函数。
离散高斯公式
将高斯公式应用于离散点集，用于数值计算和统计分 析。
高斯公式
目录
• 高斯公式简介 • 高斯公式的推导过程 • 高斯公式的应用实例 • 高斯公式的扩展与推广 • 总结与展望
01 高斯公式简介
高斯公式的定义
01
高斯公式是微积分中的一个基本定理，用于计算多维空间 中封闭曲线的积分。它是由德国数学家卡尔·弗里德里希· 高斯发现的，因此得名。
02
高斯公式的基本形式是：对于一个封闭的二维曲面或三维 体积，其内部的积分可以通过其表面的积分来表示。具体 来说，对于一个封闭的二维曲面S，其内部任一点P处的值 可以通过S上各点的值来计算。
应用拓展
随着科技的不断进步，高斯公式的应用领域也在不断拓展。未来需要加强高斯公式在各 个领域的应用研究，以促进数学与实际问题的结合。
数值计算
随着数值计算技术的发展，高斯公式的数值计算方法也需要不断改进和完善，以提高计 算精度和效率。
高斯公式在实际应用中的挑战与机遇
挑战
高斯型多维积分公式 ppt课件
m0 m1
x i , Pr ( x )
E xi
1
m1
det
Dr 1
m r 1
m2 mr
1 x
m0 m1
1
m1
E det
m2
Dr 1
m r 1 m r
x i
x i 1
m r 1 mr
mr m r1
m2r2
m 2r 1
x r 1
xr
m r 1 mr
mr m r1
(13 )
2.1 数值积分
Hunan University of Science and Technology
❖
n
E[y]=Hxxdx w sHts s1
2.2 多项式混沌展开
Hunan University of Science and Technology
❖
0 kr
Pk(x),Pr(x) =Pk(x)Pr(x)(x)dx Dr Dr1
Hunan University of Science and Technology
❖
n
E [y ] w sH ts
nw sRa rts rRa r nw sts r (9)
s 1
s 1 r 0
r 0
s 1
n
wstsr mr，r0,1, ,R
(10
s1
)
sin(x) sin(x)k0
❖
y I2 I2H wsHTs
权 重 ws 1 11 4 22 1 11 4 22 1 11 4 22 1 11 4 22
节点 T s
1， 1 1， 1 1， 1 1， 1
3.1 张量积
Hunan University of Science and Technology
《高等数学教学课件》 第六、七节 高斯、斯托克斯公式(共15页PPT资料
(1).是 分 片 光 滑 的 有 向 曲 面, 的 侧
与 它 的 边 界 曲 线的 方 向 满 足"右手法则"
(见 图 所 示).
(2).函 数P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z)
在 包 含 曲 面的 某 邻 域 内 有 连 续 的 偏导 数.
则 P Q d x R d y d ( R y z Q z ) d y ( P z d R x z ) d z ( Q x d P y x ) d.x
Gauss
3 (x2y2z2)dv
2R
3 2d2sin dRr4d r 6 R 4
2R0 0
0
5
例 2、计 算 曲 面积 (x2c分 osy2cos z2cos)dS
其 中 为 锥x面 2 y2 z2介 于 平 z面 0及zh(h0)之 间
的 部 分 的 ,c下 os,侧 cos,cos是在 点 (x,y,z)处 的 法 向
xyz1被 三 个 坐 标三 面角 所形 截的 成,它 整 的的 个正 边 界
向 与 这 个 三法 角向 形量 上之 侧间 的则 符 . 合 右 手 规
解 如图所示有向 (上 曲侧 )面
方程:为 z1xy,(x, y)Dxy;
Dxy:0x1,0 y1x.
的 法 向 量:方 cos向 co余 sc弦 os为 1;
时针方. 向
解 取为球面的上侧被
所围成的部分,
令 :F (x ,y ,z)x 2y2 z2 2 Rx
F x 2 x 2 R ;F y 2 y ;F z 2 z .的法向 :n量 (x为 R,y,z),
cos ; co s ; xR (xR )2y2z2
高斯积分点以及有限元中应用ppt课件
5
高斯积分法
当n=2时，能保证式子精确成立所允许的多项式的 最高次数是3，此时，f(ξ)的通式为
f ( ) C0 C1 C2 2 C3 3
其精确积分为 数值积分为
I
1
f ( )d
1
2C0
2 3
C2
2
I H i f (i ) H1 f (1 ) H 2 f (2 ) i 1
H1 (C0
1 1
nn
f ( ,)dd
1 1
H i H j f (i , j )
i1 j1
1 1 1
nnn
f ( ,, )ddd
1 1 1
H i H j H k f (i , j , k )
i1 j 1 k 1
10
高斯积分法
由前面的推导可见，当在每个方向取n个积分点时， 只要多项式被积函数中自变量的次数m≤2n-1，则用高斯 求积公式求得的积分值是完全精确的。
分点的应力。:{σ}={D}{B}{U}
16
有限元分析主要步骤
可见，在应变和应力计算方面，高斯积分点的应变和应 力是最最准确的。
利用特定单元的形函数以及高斯点的应力，应变值，将 这些值外推到该单元的节点上，就得到了单元上节点的应 力应变值。
显然，不同的单元会共用一些节点，而从不同单元内的 积分点外推到这些公共节点的应变值和应力值一般不相同, 将一个公共节点的多个应力进行平均，以代表该节点的应 力值。
15
有限元分析主要步骤
所谓积分点是指，在对单元建立方程时，例如刚度矩阵 是需要通过积分而得到的，而积分时为了能够方便计算， 大多数有限元软件采用了所谓高斯积分的方式，即在单元 内分布一些高斯点
这样，有限元软件会首先获得这些高斯点的应力和应变， 其方法如下： 在高斯积分点上，依据几何方程:{ε}={B}{U} 计算出高斯积分点上的应变:ε 然后基于虎克定律及几何方程推导的结果来计算高斯积
高等数学--高斯公式 PPT
例如, 球面所围区域 既是一维也是二维单连通区域 ; 环面所围区域 是二维但不是一维单连通区域 ; 立方体中挖去一个小球所成的区域 是一维但
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
不是二维单连通区 域.
2. 闭曲面积分为零的充要条件
定理2 设 P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)在空间二维单
连通域G内具有连续一阶偏导数, 为G内任一闭曲面, 则
为
所围立体,
判断下列演算是否正确?
(1)
x3 r3
d
yd
z
y3 r3
d
zd
x
z3 r3
d
xd
y
1 R3
x3 d y d z y3 d z d x z3dx d y
1 R3
3( x 2
y2
R2
z2)d
v
3 R
d v 4 πR2
(2)
Q u y
R u v
u x
v x
u y
v y
u z
v d xd y d z
z
z
其中 是整个 边界面的外侧.
注意:
高斯公式
P x
Q y
R z
dx d
ydz
P d y d z Q d z d x R d x d y
其中 为柱面
及平面 z = 0 , z = 3 所围空间
闭域 的整个边界曲面的外侧.
解 这里 P ( y z)x, Q 0, R x y
z
利用Gauss 公式, 得
第07讲 高斯积分-11_805707009
(6-25)
则：
I = ∫ f (ξ )d ξ = 2(C0 + C2 / 3)
−1
+1
若选两个高斯积分点 ξ1和ξ2, 相应得权系数为H1 和H2 ，则：
= f (ξ ) H + f (ξ ) H I 1 1 2 2
(6-26)
将f (ξ1) 和f (ξ2) 由(6-24)代入(6-26)：
= H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) + H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) I 1 0 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2
ξ1 = −ξ 2 = −
(6-29)
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
*两点高斯积分 上式表明，对三次多项式的被积函数，采用两点高 斯积分，并满足(6-29)，便可得到精确解。 两点高斯积分的几何定义如下图：
f (ξ )
ξ
-1
ξ1 = −1/ 3
ξ 2 = 1/ 3
+1
H1
H2
n × n − 高斯积分点数 H i H j − 权系数
汽车工程系
结构分析与CAE研究室
6.5 高斯积分法简介
6.5.2 二维和三维高斯积分 三维高斯积分
I =∫
1 −1 −1 −1
∫ ∫
j
1
1
= ∑∑∑ H H H f (ξ ,η , ζ ) f (ξ ,η , ζ )dξ dηdζ ≈ I i j k i j k
∫
1
-1
F (ξ )dξ ,
∫ ∫
1
则：
I = ∫ f (ξ )d ξ = 2(C0 + C2 / 3)
−1
+1
若选两个高斯积分点 ξ1和ξ2, 相应得权系数为H1 和H2 ，则：
= f (ξ ) H + f (ξ ) H I 1 1 2 2
(6-26)
将f (ξ1) 和f (ξ2) 由(6-24)代入(6-26)：
= H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) + H (C + C ξ + C ξ 2 + C ξ 3 ) I 1 0 1 1 2 1 3 1 2 0 1 2 2 2 3 2
ξ1 = −ξ 2 = −
(6-29)
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6.5 高斯积分法简介
*两点高斯积分 上式表明，对三次多项式的被积函数，采用两点高 斯积分，并满足(6-29)，便可得到精确解。 两点高斯积分的几何定义如下图：
f (ξ )
ξ
-1
ξ1 = −1/ 3
ξ 2 = 1/ 3
+1
H1
H2
n × n − 高斯积分点数 H i H j − 权系数
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6.5 高斯积分法简介
6.5.2 二维和三维高斯积分 三维高斯积分
I =∫
1 −1 −1 −1
∫ ∫
j
1
1
= ∑∑∑ H H H f (ξ ,η , ζ ) f (ξ ,η , ζ )dξ dηdζ ≈ I i j k i j k
∫
1
-1
F (ξ )dξ ,
∫ ∫
1
高斯计算入门 ppt课件
计算作业提交过程：
a. 用户登录网关－通过SSH远程登录软件实现
SSH软件(SSHSecureShellClient-3.2.9.exe)可从网络上免费 下载，安装过程与通常软件安装类似。安装完毕后，设置 网关外部网的IP地址以及账号名即可使用。
ppt课件
16
点击Profiles设置IP地址及用户名
(级别为0~19整数，数值越大优pp先t课件级越低) renice 19 79
21
(8) cat－显示文件内容，格式为：cat 文件名 (9) grep－一般用于从某个或多个文件中搜索某串字符，
格式为：grep “字符串” 文件名 例：grep “F=” vasp.out (10)scp－用于网关与内部网内各计算节点或外部网络之间 的文件传输
的研究：如对A1, A2, A3，先用大模型和基组对A1进行研究，
然后以该结果为参照，确定计算量适中的模型和方法并应用
于A1,A2,A3。
ppt课件
7
Gaussian03程序的使用
G03的安装和运行； G03的功能和程序结构； 输入文件的编写与主要功能的使用； 补充说明；
ppt课件
传输
ppt课件
22
(11) vi－文本编辑命令 该命令常用但较为复杂，它有2种模式：命令模式和插入 模式，二者之间关系为：
i
Esc
command mode insert mode command mode 在命令模式下，可实现以下功能及其对应按键：
delete a character: x
ppt课件
14
(2). Linux平台： 基于Linux系统的计算拓扑结构
计
计
计
高数高斯公式教学内容.ppt
Q y
R )dv z
1 V
AdS
高斯 ( Gauss ) 公式21
积分中值定理,
( P x
Q y
R ) z
( , ,
)
1 V
AdS
两边取极限,
P Q R lim 1
AdS
x
y
z
V M
divA
P
Q
R
x y z
优学课堂
18
说明: 1、散度是一数值。
高斯
2、梯度：u f ( x, y, z)
dxdy
h
zdz,
x2 y2
(h2 优学课堂
x2
y2
)dxdy
1 2
h4 .
12
Dxy
Dxy
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS z2dS
1
h2dxdy h4 .
Dxy
1 高斯 ( Gauss ) 公式14
z
故所求积分为
( x2 cos y2 cos z2 cos )dS
( Gauss ) 公 式22
gradf ( x, y, z) f
i
f
j
f
k
向量
例5
A
e
xy
i
cos
(
xy)
j
x
s
in(
y
xz
2
)k
z
求divA
解:
divA
P
Q
R
x y z
ye xy x sin( xy) 2xz cos( xz2 )
优学课堂
19
思考与练习
1. 设 为球面 x2 y2 z2 R2 的外侧, 为 所围立
高斯积分法讲义
f ?( ( 2 n ? 2 ) )
当 n ?时1，有
? ? ( ? 1,1).
（5.10）
0 . 4786287
0 . 5688889
由(5.8)式， 公式(5.9)的余项
? R n [ f ] ?
f ?( ( 2 n ? 2 ) )
( 2 n ? 2 )!
1 ?1
P~n2?
1
(
x
)
dx
? ? [ ? 1,1],
这里 P~n ? 1 (是x )最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7)
b a
l
2 k
(x)?
( x ) dx
?
n
A
i
l
2 k
(
x
i
).
i? 0
注意到 l k ( x i ) ? ? ki , 上式右端实际上即等于 A k , 从而有
15
定理得证.
? A k ?
b a
l
2 k
(
x)?
( x ) dx
?
0.
由本定理及定理2，则得
推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的.
定理7 设 f ( x ) ? C [ a , b ], 则高斯求积公式(5.1)收敛，
解 得
令公式(5.3)对于 f ( x ) ? 1, x准, 确x 2成, x立3 ，
2
? A0 ? ?
A1 ?
; 3
? ??
x0 A5
? ?
x
2 0
A
0
?
?
x
2 1
A1
?
2; 7
? ??
x
3 0
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只要做变换
22
x bat ab,
2
2
可将[a,化b]为 [,1,1] 这时
b f (x)dx b a 1 f b a t a b dt. （5.10）
a
2 1 2
2
对等式右端的积分即可使用高斯-勒让德求积公式.
23
例6 用4点n( 3)的高斯-勒让德求积公式计算
π
I 2 x2 cos xdx. 0
利用 f在(x节) 点 H 2n1, 即
xk (k 的0埃,1,尔米, n特)插值
H2n1(xk ) f (xk ), H 2n1(xk ) f (xk ), k 0,1, , n.
于是
f ( x) H 2n1
f (2n2) (2n
( )
2)!
2 n1
(
x)
13
两端乘 (，x)并由 到a 积分b ，则得
切比雪夫多项式的零点，即为
xk
cos
2k 1 2n 2
π
(k 0,1, ,n)
(5.12)的系数
Ak
使π 用, 时将
n 1
个节n 点1公式改为
n
个节点，于是高斯-切比雪夫求积公式写成
1 f (x)
πn
1 1 x2 dx n k1 f (xk ),
xk
cos
(2k 1) 2n
π
（5.13）
4.5 高斯求积公式
1
4.5.1 一般理论
求积公式
b
n
f (x)dx
a
Ak f ( xk )
k 0
含有 2n 个2待定参数 xk , Ak (k 0,1, , n).
当 为x等k 距节点时得到的插值求积公式其代数精度至少
为 次n.
如果适当选取 xk (k 0有,1,可能, n使),求积公式 具有 2n 次1代数精度，这类求积公式称为高斯(Gauss)
[1,1], 则得公式
1
n
f (x)dx
1
Ak f ( xk ).
k 0
（5.9）
由于勒让德多项式是区间 [1上,1]的正交多项式，因此，
勒让德多项式 Pn1(的x)零点就是求积公式(5.9)的高斯点.
形如(5.9)的高斯公式称为高斯-勒让德求积公式.
17
若取
P1(x的) 零x点 做节x0 点 0构造求积公式
26
由(5.9)，余项
R[
f
]
2π 22n (2n)!
f
(2n) ( )
(1,1).
带权的高斯求积公式可用于计算奇异积分.
（5.14）
27
例7
解 可得
用5点( n )的5 高斯-切比雪夫求积公式计算积分
1
I
ex
dx.
1 1 x 2
这里 f (x) ex , f (2n) (x) ex , 当 n 时5 由公式(5.13)
4 0.5384693
0.0000000
Ak 2.0000000
1.0000000 0.5555556
0.8888889 0.3478548
0.6521452 0.2369269
0.4786287
0.5688889
20
由(5.8)式， 公式(5.9)的余项
Rn[ f ]
f (2n2) ( )
n
Ak xkm
b xm (x)dx
a
k 0
对 m 0,1,成立, n，
则得到一组关于求积系数 A0 , A1, , An
的线性方程. 解此方程则得 Ak (k 0,1, , n).
12
也可直接由 x0 , x1的,插,值xn多项式求出求积系数
Ak (k 0,1, , n).
下面讨论高斯求积公式(5.1)的余项.
(2n 2)!
1 1
P~n21
(
x)dx
[1,1],
这里 P~n1(是x)最高项系数为1的勒让德多项式. 由第3章(2.6)及(2.7)
P~n (x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x2
1)n ].
1 1
Pn
( x) Pm
( x)dx
0, 2
m
2n 1
m
n; n.
21
得
Rn [
f
]
(k 0,1, , n), 使（5.1）具有 2n 1次代数精度. 定义4 如果求积公式(5.1)具有 2n次1代数精度，
则称其节点 xk (k 0,1为,高,斯n)点，相应公式(5.1)称为高斯求 积公式.
3
根据定义要使(5.1)具有 2次n代1数精度，只要对 f (x) xm , (m 0,1, ,2n 1), 令(5.1)精确成立，
A1
f
(
1 ), 3
18
令它对 f (x) 都1,准x 确成立，有
A0 A0
A1 1 3
2;
A1
1 0. 3
由此解出 A0 A1 1, 从而得到两点高斯-勒让德求积公式
1 f (x)dx f ( 1 ) f ( 1 ).
1
3
3
三点高斯-勒让德公式的形式是
1
5
15 8
x1 0.289949; A1 0.277556.
这样，形如(5.3)的高斯公式是
1
0 x f (x)dx 0.389111 f (0.821162)
0.277556 f (0.289949).
由于非线性方程组(5.2)较复杂，通常 n就很2难求解.
故一般不通过解方程(5.2)求 xk及Ak (k ，0,1, ,n)
而从分析高斯点的特性来构造高斯求积公式.
8
定理5 插值型求积公式(5.1)的节点
a x0 x1 xn b
是高斯点的充分必要条件是以这些节点为零点的多项式
n1(x) (x x0 )( x x1) (x xn )
与任何次数不超过 n的多项式 P(带x)权 正 (交x)，
即
b
a P(x)n1(x) (x)dx 0.
解 令公式(5.3)对于 f (x) 1, x准, 确x2成, x立3 ，
得
A0 x0 A0
A1
2; 3
x0 A0
2; 5
x02 A0
x12 A1
2; 7
x03 A0
x13 A1
2. 9
（5.3）
（5.4）
5
由于
x0 A0 x1 A1 x0 ( A0 A1) (x1 x0 ) A1,
Ak
b a
lk2
(x) (x)dx
0.
由本定理及定理2，则得
推论 高斯求积公式(5.1)是稳定的.
定理7 设 f (x) C[a, b], 则高斯求积公式(5.1)收敛，
即
n
b
lim
n
k 0
Ak
f
( xk )
a
f (x) ( x)dx.
16
4.5.2 高斯-勒让德求积公式
在高斯求积公式(5.1)中， 若取权函数 (x) 1, 区间为
证明 必要性.
设 P(x) Hn , 则 P(x)n1(x) H2n1,
（5.5）
9
因此，如果 x0 , x1, , xn 是高斯点，则求积公式(5.1)对于
f (x) P(x)精确n1成(x立) ，
即有
b
n
a P( x)n1( x) ( x)dx Ak P( xk )n1( xk ).
b
b
I a f (x)(x)dx a H2n1(x)(x)dx Rn[ f ].
（5.7）
其中右端第一项积分对 2n 次1多项式精确成立，故
n
Rn[ f ] I Ak f (xk )
k 0
b a
f (2n2) ( )
(2n 2)!
2 n1
(
x)
(
x)dx.
由于
2 n 1
(
x)
(
x)
0,
由积分中值定理得(5.1)的余项为
Rn[ f ]
f (2n2) ( )
(2n 2)!
b a
2 n1
(
x)
(
x)dx.
（5.8）
关于高斯求积公式的稳定性与收敛性，有：
14
定理6 高斯求积公式(5.1)的求积系数 Ak (k 0,1, , n) 全是正的.
证明 考察
lk (x)
n j 0
k 0
因 n1(xk ) 0(k 0,1, , n), 故(5.5)成立.
充分性. 对于 f (x) H2n1, 用 n1(除x) ，f ( x)
记商为 P( x，) 余式为q(x，) 即 f (x) P(x)n1,(x) q(x)
其中 P(x),q(x.)Hn 由(5.5)可得
b
b
a f (x) (x)dx a q(x) (x)dx.
利用(5.4)的第1式，可将第2式化为
2 3x0( Fra bibliotek1x0 ) A1
2. 5
同样地，利用第2式化第3式，利用第3式化第4式，分别得
2 5
x0
( x1
x0 ) x1 A1
2; 7
2 7
x0
( x1
x0 ) x12 A1
2. 9
从上面三个式子消去 (x1 x0有) A1,
6
2
5 2
7
x0 x0
1
1 f (x)dx A0 f (0).
令它对 f (x)准 1确成立，即可定出 A0 2. 这样构造出的一点高斯-勒让德求积公式为