北京中考数学27题函数综合

1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点

B 在点

C 左侧）.

（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．

2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2

224y x ax =-+（其中a ＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2

5

=

a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．

3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3

y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛

物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.

4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

经过

，

两点.

（1）求抛物线及直线AB 的解析式；

（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．

5.已知关于x 的方程()2

31220mx m x m --+-=．

（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；

（2）若关于x 的二次函数()2

3122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线

1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线

2C 的解析式；

（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．

6.已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函

数的表达式；

（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．

7.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．

（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；

（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；

（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．

8.已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．

（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根；

（2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；

（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴

的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．

9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线

经过点A （4，0）和B （0，2）．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；

（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．

10.已知关于x 的一元二次方程()2

3130kx k x +++= (k ≠0).

（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根； （2）点

在抛物线()2

313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且

和k 均为

整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；

（3） 设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABE ABC S S = ，若存在，

求出E 点坐标，若不存在，说明理由.

11.如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．

（1）求点C 的坐标及b 的值； （2）求k 的取值范围；

（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2

﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．

12.已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ． （1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;

（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;

（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.

13.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．

（1） 求二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．

2

y x bx c =++