北京中考数学27题函数综合

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2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合(含简单答案)

2023年九年级中考数学专题训练：二次函数综合一、单选题1．已知抛物线()2330y x x c x =++-≤≤与直线2y x =-有且只有一个交点，若c 为整数，则c 的值有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．方程231x x +=的根可视为函数3y x的图象与函数1y x=的图象交点的横坐标，那么用此方法可推断出方程321x x +=-的实数根x 所在的范围是（） A ．112x -<<-B ．1123x -<<-C ．1134x -<<-D ．104x -<<3．如图，已知二次函数()()5144y x x =-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，Р为该二次函数在第一象限内的一点，连接AP ，交BC 于点K ，则APPK的最小值为（）A ．94B ．2C ．74D ．544．如图．抛物线y ＝ax 2+c 与直线y ＝mx +n 交于A （﹣1，p ），B （3，q ）两点，则不等式ax 2+mx +c ＞n 的解集为（）A ．x ＞﹣1B ．x ＜3C ．x ＜﹣3或x ＞1D ．﹣1＜x ＜35．如图，抛物线y ＝12-x 2+7x ﹣452与x 轴交于点A ，B ，把抛物线在x 轴及共上方的部分记作C 1将C 1向左平移得到C 2，C 2与x 轴交于点B ，D ，若直线y ＝12-x +m 与C 1，C 2共3个不同的交点，则m 的取值范是（）A ．52928m << B ．12928m << C ．54528m << D ．14528m <<6．在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：若图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°．现将二次函数()213y ax a =≤≤的图象在直线1y =下方的部分沿直线1y =向上：翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（）A ．3060α︒≤≤︒B ．120150α︒≤≤︒C ．90120α︒≤≤︒D ．6090α︒≤≤︒7．二次函数y =2x 2﹣2x +m （0＜m ＜ 12），如果当x =a 时，y ＜0，那么当x =a ﹣1时，函数值y 的取值范围为（） A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．m ＜y ＜m +4D ．y ＞m8．如图，抛物线21322y x x =-++的图象与坐标轴交于点A ，B ，D ，顶点为E ，以AB为直径画半圆交y 负半轴交于点C ，圆心为M ，P 是半圆上的一动点，连接EP ． ①点E 在①M 的内部；①CD 的长为32①若P 与C 重合，则①DPE ＝15°；①在P 的运动过程中，若AP =PE =①N 是PE 的中点，当P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点N 运动的路径长是π．则正确的选项为（）A ．①①①B ．①①①C ．①①①D ．①①①二、填空题9．如图，已知抛物线24y x x c =-+的顶点为D ，与y 轴交于点C ，过点C 作x 轴的平行线AC 交抛物线于点A ，过点A 作y 轴的平行线AB 交射线OD 于点B ，若OA OB =，则c 的值为_____________．10．已知抛物线()2123y x m x m =-+++以及平面直角坐标系中的点()1,1E --、()3,7F ，若该抛物线与线段EF 只有一个交点，则m 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系中，抛物线215y x bx c =-+（0b >，b 、c 为常数）的顶点为A ，与y 轴交于点B ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ．若ABC 是等腰直角三角形，则BC 的长为________．12．如图，2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（A 在左边）与y 轴交于C 点，P 是线段AC 上的一点，连结BP 交y 轴于点Q ，连结OP ，当OAP △和PQC △的面积之和与OBQ △的面积相等时，点P 的坐标为______．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线214y x mx =-+与x 轴正半轴交于点A ，点B是y 轴负半轴上一点，点A 关于点B 的对称点C 恰好落在抛物线上，过点C 作//CD x 轴，交抛物线于点D ，连结OC 、AD ．若点C 的横坐标为4-，则四边形OCDA 的面积为___________．14．若243P m m m ++（，）是一个动点（m 为实数），点Q 是直线4y x =-上的另一个动点，则PQ 长度的最小值为_____．15．已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点(6,)D y 在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE 十DE 的值最小时，ACE △的面积为是____16．已知：如图，抛物线的顶点为M ，平行于x 轴的直线与该抛物线交于点A ，B （点A 在点B 左侧），我们规定：当AMB 为直角三角形时，就称AMB 为该抛物线的“优美三角形”．若抛物线26y ax bx =++的“优美三角形”的斜边长为4，求a 的值______．三、解答题17．抛物线23y ax bx =++顶点为点(1,4)D ，与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，点P 是抛物线对称轴上的一个动点．(1)求a 和b 的值；(2)是否存在点P ，使得以P 、D 、B 为顶点的三角形中有两个内角的和等于45°？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．18．如图，已知直线443y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线2y ax bx c =++经过A ，C 两点，且与x 轴的另一个交点为B ，对称轴为直线=1x -．(1)求抛物线的表达式；(2)已知点M 是抛物线对称轴上一点，当MB MC +的值最小时，点M 的坐标是___________；(3)若点P 在抛物线对称轴上，是否存在点P ，使以点B ，C ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线233384y x x =--与x 轴的交点为点A 、D (点A 在点D 的右侧)，与y 轴的交点为点C ．(1)直接写出A 、D 、C 三点的坐标；(2)在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD MC +的值最小，并求出点M 的坐标； (3)设点C 关于抛物线对称轴的对称点为点B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，已知抛物线223y ax ax =++中，当=1x -时，4y =．(1)求此抛物线的解析式；(2)点E 是抛物线上且位于直线AB 上方的一个动点，不与点A ，B 重合，求ABE 的面积最大时，点E 的坐标．(3)若1t x ≤≤时，y 的取值范围是04y ≤≤，请直接写出t 的取值范围．参考答案：1．D 2．B 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．8310．2m <-或m>2或1m = 11．6 12．2,13⎛⎫-- ⎪⎝⎭13．641415．616．12±17．(1)1a =-，2b = (2)存在，(1,2)或(1,6)-18．(1)248433y x x =--+(2)8(1,)3M -(3)存在，P 点的坐标为(1,0)-或(-或(1,-或13(1,)8-19．(1)()4,0A ，()2,0D -，()0,3C -(2)连接AC 交对称轴于点M ，点M 即为所求，91,4M ⎛⎫- ⎪⎝⎭(3)()2,0-或()6,6.20．(1)223y x x =--+(2)315()24-，(3)31t -≤≤-。

2017年北京市中考数学一模分类27题二次函数及答案

2017年北京中考数学一模 27题“二次函数综合题”西城。

在平面直角坐标系xOy 中,二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点。

（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是—6≤y ≤4—n ,求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O 。

设平移后的图象对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小,求k 的取值范围东城．二次函数2(2)2(2)5y m x m x m =+-+-+，其中20m +>．（1)求该二次函数的对称轴方程; (2）过动点C （0, n ）作直线l ⊥y 轴。

① 当直线l 与抛物线只有一个公共点时, 求n 与m 的函数关系;② 若抛物线与x 轴有两个交点,将抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象. 当n =7时,直线l 与新的图象恰好有三个公共点,求此时m 的值；（3）若对于每一个给定的x 的值，它所对应的函数值都不小于1，求m 的取值范围．xy直线lCBA–1–21234–1–2–31234O朝阳．在平面直角坐标系中xOy 中，抛物线2211222y x mx m m =-++-的顶点在x 轴上．（1）求抛物线的表达式；(2）点Q 是x 轴上一点，①若在抛物线上存在点P ，使得∠POQ =45°，求点P 的坐标； ②抛物线与直线y =2交于点E ，F （点E 在点F 的左侧），将此抛物线在点E ，F （包含点E 和点F ）之间的部分沿x 轴平移n 个单位后得到的图象记为G ,若在图象G 上存在点P ,使得∠POQ =45°,求n 的取值范围．房山. 在平面直角坐标系xOy 中，直线32-=x y 与y 轴交于点A ,点A 与点B 关于x 轴对称，过点B作y 轴的垂线l ，直线l 与直线32-=x y 交于点C. (1）求点C 的坐标;（2）如果抛物线n nx nx y 542+-= （n ＞0)与线段BC 有唯一公共点，求n 的取值范围．顺义．如图，已知抛物线28(0)y ax bx a =++≠与x 轴交于A （-2，0），B 两点，与y 轴交于C点，tan ∠ABC =2．(1)求抛物线的表达式及其顶点D 的坐标；(2）过点A 、B 作x 轴的垂线，交直线CD 于点E 、F ，将抛物线沿其对称轴向上平移m 个单位,使抛物线与线段EF （含线段端点）只有1个公共点．求m 的取值范围．平谷．直线33y x =-+与x 轴,y 轴分别交于A ,B 两点，点A 关于直线1x =-的对称点为点C ．（1）求点C 的坐标；(2）若抛物线()230y mx nx m m =+-≠经过A ，B ，C 三点，求该抛物线的表达式；(3）若抛物线()230y ax bx a =++≠ 经过A ，B 两点，且顶点在第二象限，抛物线与线段AC 有两个公共点，求a 的取值范围． yx–2–112345–5–4–3–2–112O门头沟. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线()()13y a x x =+-与x 轴交于A ,B 两点,点A 在点B 的左侧，抛物线的顶点为P ，规定:抛物线与x 轴围成的封闭区域称为“G 区域”（不包含边界）.(1）如果该抛物线经过（1, 3），求a 的值，并指出此时“G 区域"有______个整数点；（整数点就是横纵坐标均为整数的点） (2）求抛物线()()13y a x x =+-的顶点P 的坐标(用含a 的代数式表示）；（3)在（2）的条件下,如果G 区域中仅有4个整数点时，直接写出a 的取值范围。

中考数学压轴题二次函数问题解答题解析版

27．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线(k为常数）．（1）若抛物线经过点(1,k2)，求k的值；（2）若抛物线经过点(2k,y1)和点(2,y2)，且y1>y2，求k的取值范围；（3）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值，求k的值．【答案】(1);(2)k>1；（3）1或3.（2）把点代入抛物线，得把点代入抛物线，得解得当时，对应的抛物线部分位于对称轴左侧，随的增大而减小，时，，解得，（舍去）综上，或3．【关键点拨】本题考査的知识点是二次函数的代入点求值、二次函数的最值、二次函数与一元二次不等式、方程的关系以及函数平移的问题，解题关键是熟练掌握二次函数的相关知识．28．某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．【答案】(1) 50千克(2) 12.529．随着人们生活水平的提高，短途旅行日趋火爆.我市某旅行社推出“辽阳—葫芦岛海滨观光一日游”项目，团队人均报名费用y（元）与团队报名人数x（人）之间的函数关系如图所示，旅行社规定团队人均报名费用不能低于88元.旅行社收到的团队总报名费用为w（元）. （1）直接写出当x≥20时，y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）儿童节当天旅行社收到某个团队的总报名费为3000元，报名旅游的人数是多少？（3）当一个团队有多少人报名时，旅行社收到的总报名费最多？最多总报名费是多少元？【答案】（1）；（2）30；（3）36人，3168元.（2）20×120=2400＜3000，由题意得：w=xy=x（-2x+160）=3000，-2x2+160x-3000=0，x2-80x+1500=0，（x-50）（x-30）=0，x=50或30，当x=50时，y==60，不符合题意，舍去，当x=30时，y==100＞88，符合题意，答：报名旅游的人数是30人；（3）w=xy=x（-2x+160）=-2x2+160x=-2（x2-80x+1600-1600）=-2（x-40）2+3200，∵-2＜0，∴x＜40，w随x的增大而增大，∵x=36时，w有最大值为：-2（36-40）2+3200=3168，∴当一个团队有36人报名时，旅行社收到的总报名费最多，最多总报名费是3168元．【关键点拨】本题考查了一次函数的应用以及二次函数的应用，正确得出y与x的函数关系式是解题的关键．30．一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）（2），，144元（2）根据题意知，，，当时，随的增大而增大，，当时，取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【关键点拨】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．31．综合与探究如图1所示，直线y=x+c与x轴交于点A(-4,0)，与y轴交于点C，抛物线y=-x2+bx+c经过点A，C．(1)求抛物线的解析式(2)点E在抛物线的对称轴上，求CE+OE的最小值；(3)如图2所示，M是线段OA的上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P、N．①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为；②若点P恰好是线段MN的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．注：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为()【答案】(1)y=-x2-3x+4；(2)5；(3)①或4；②存在，D点坐标为(，)或(-1+，)或(-1-，-)或(-4，3).【解析】(1)将代入将和代入抛物线解析式为(3)①当时，，则关于抛物线对称轴对称的面积为当时由已知为等腰直角三角形，过点作于点，设点坐标为，则为，代入解得的面积为4故答案为：或4【关键点拨】本题考查了直角坐标系下抛物线的综合运用与图形变换，能够综合应用相似形和分类讨论是解答本题的关键.32．如图，抛物线与轴交于，，两点（点在点的左侧），与轴交于点，且，的平分线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点，点是轴下方抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点．（1）求抛物线的解析式；（2）设点的横坐标为，当时，求的值；（3）当直线为抛物线的对称轴时，以点为圆心，为半径作，点为上的一个动点，求的最小值．【答案】（1）y x2x﹣3；（2）；（3）．（3）如图，∵PF是对称轴，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EO OA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QH CH＝1，在HA上取一点K，使得HK，此时K（）．∵HQ2＝1，HK•HA＝1，∴HQ2＝HK•HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQ AQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴当E、Q、K共线时，AQ+QE的值最小，最小值．【关键点拨】本题考查了相似三角形对应边成比例、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、待定系数法求二次函数的表达式、二次函数的图象与性质、数轴上两点间的距离公式，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.33．知识背景当a＞0且x＞0时，因为（﹣）2≥0，所以x﹣2+≥0，从而x+（当x=时取等号）．设函数y=x+（a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x=时，该函数有最小值为2．应用举例已知函数为y1=x（x＞0）与函数y2=（x＞0），则当x==2时，y1+y2=x+有最小值为2 =4．解决问题（1）已知函数为y1=x+3（x＞﹣3）与函数y2=（x+3）2+9（x＞﹣3），当x取何值时，有最小值？最小值是多少？（2）已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为0.001．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租货使用成本最低？最低是多少元？【答案】（1）6；（2）w有最小值，最小值=201.4元．【关键点拨】本题考查二次函数的应用，反比例函数的应用，函数的最值问题，完全平方公式等知识，解题的关键是学会构建函数解决问题，属于中考常考题型．34．如图，已知二次函数的图象经过点A(4,0)，与y轴交于点B．在x 轴上有一动点C(m,0)(0<m<4)，过点C作x轴的垂线交直线AB于点E，交该二次函数图象于点D．（1）求a的值和直线AB的解析式；（2）过点D作DF⊥AB于点F，设△ACE，△DEF的面积分别为S1，S2，若S1=4S2，求m 的值；（3）点H是该二次函数图象上位于第一象限的动点，点G是线段AB上的动点，当四边形DEGH是平行四边形，且▱周长取最大值时，求点G的坐标．【答案】（1），；（2）；（3）或.（2）由已知，点坐标为点坐标为轴（3）如图，过点做于点由（2）同理四边形是平行四边形整理得：，即由已知周长时，最大．点坐标为，，此时点坐标为，当点、位置对调时，依然满足条件点坐标为，或，【关键点拨】本题考查一次函数与二次函数的综合运用，解题的关键是能够根据题意找到有限条件列出解析式或表示出相关坐标.35．如图，已知二次函数y=ax2+bx+3 的图象与x轴分别交于A(1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C（1）求此二次函数解析式；（2）点D为抛物线的顶点，试判断△BCD的形状，并说明理由；（3）将直线BC向上平移t(t>0)个单位，平移后的直线与抛物线交于M，N两点（点M在y轴的右侧），当△AMN为直角三角形时，求t的值．【答案】（1）；（2）△BCD为直角三角形，理由见解析；（3）当△AMN为直角三角形时，t的值为1或4．【解析】（1）将、代入，得：，解得：，此二次函数解析式为．（3）设直线的解析式为，将，代入，得：，解得：，直线的解析式为，将直线向上平移个单位得到的直线的解析式为．联立新直线与抛物线的解析式成方程组，得：，解得：，，点的坐标为，，点的坐标为，．点的坐标为，，，．为直角三角形，分三种情况考虑：①当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；②当时，有，即，整理，得：，解得：，（不合题意，舍去）；③当时，有，即，整理，得：．，该方程无解（或解均为增解）．[来源:Z&xx&]综上所述：当为直角三角形时，的值为1或4．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、待定系数法求一次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点间的距离公式结合勾股定理的逆定理找出BC2+BD2=CD2；（3）分∠MAN=90°、∠AMN=90°及∠ANM=90°三种情况考虑．36．如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，MN=9或．理由见解析.（2）由B（3，0），C（0，3），得到直线BC解析式为y=﹣x+3，∵S△OBC=S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如图1所示，∵P（1，4），∴直线PQ解析式为y=﹣x+5，联立得：，解得：或，即Q（2，3）；②设G（1，2），∴PG=GH=2，过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y=﹣x+1，联立得：，解得：或，∴Q2（，），Q3（，）；（3）存在点M，N使四边形MNED为正方形，∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，若四边形MNED为正方形，则有NE2=MN2，∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），整理得：b2+10b﹣75=0，解得：b=﹣15或b=5，∵正方形边长为MN=，∴MN=9或．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．37．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ax﹣3a（a＜0）与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，顶点为D，直线DC与x轴相交于点E．（1）当a=﹣1时，求抛物线顶点D的坐标，OE等于多少；（2）OE的长是否与a值有关，说明你的理由；（3）设∠DEO=β，45°≤β≤60°，求a的取值范围；（4）以DE为斜边，在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE．设P（m，n），直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围．【答案】（1）（﹣1，4），3；（2）结论：OE的长与a值无关．理由见解析；（3）﹣≤a≤﹣1；（4）n=﹣m﹣1（m＜1）．(2)结论：OE的长与a值无关．理由：∵y=ax2+2ax﹣3a，∴C(0，﹣3a)，D(﹣1，﹣4a)，∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a，当y=0时，x=3，∴E（3，0），∴OE=3，∴OE的长与a值无关．(4)如图，作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，∴∠DPM=∠EPN，∴△DPM≌△EPN，∴PM=PN，PM=EN，∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，∴EN=4+n=3﹣m，∴n=﹣m﹣1，当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1，∵抛物线的顶点在第二象限，∴m＜1．∴n=﹣m﹣1(m＜1)．故答案为：(1)(﹣1，4)，3；(2)OE的长与a值无关；(3)﹣≤a≤﹣1；(4)n=﹣m﹣1（m＜1）．[来源]【关键点拨】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质.38．如图1，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．∴CD=2，且CD∥x轴，∵A（﹣1，0），∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上，∴∠DAQ不可能为直角，∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，∵A（﹣1，0），D（2，3），∴直线AD解析式为y=x+1，∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，把D（2，3）代入可求得b′=5，∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，∴Q（1，4）；【关键点拨】此题重点考察学生对于抛物线的综合应用能力，熟练抛物线的图像和性质，四边形面积的计算方法，点坐标的求解方式是解答本题的关键.39．已知抛物线F：y＝x2+bx+c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为（，0）．（1）求抛物线F的解析式；（2）如图1，直线l：y x+m（m＞0）与抛物线F相交于点A（x1，y1）和点B（x2，y2）（点A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2．①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝x2x；（2）y2﹣y1＝（m＞0）；（3）①等边三角形；②点P的坐标为（2）、（）和（，﹣2）．∴y1m，y2m，∴y2﹣y1＝(m)﹣(m)(m＞0)；②∵△AA′B为等边三角形，∴存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况，设点P的坐标为(x，y)．(i)当A′B为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(2)；(ii)当AB为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为()；(iii)当AA′为对角线时，有，解得：，∴点P的坐标为(，﹣2)．综上所述：平面内存在点P，使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2)、()和(，﹣2)．【关键点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的判定与性质以及菱形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法是解(1)的关键，将一次函数解析式代入二次函数解析式是解(2)的关键，分别求出AB、AA′、A′B的值以及分情况讨论是解(3)的关键.40．在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【答案】（1）E（3，1）；（2）S最大=，M坐标为（，3）；（3）F坐标为（0，﹣）．（2）如图①，过M作MH∥y轴，交CE于点H，设M（m，﹣m2+m+2），则H（m，﹣m+2），∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m，S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3，当m=﹣=时，S最大=，此时M坐标为（，3）；（3）连接BF，如图②所示，当﹣x2+x+20=0时，x1=，x2=，∴OA=，OB=，∵∠ACO=∠ABF，∠AOC=∠FOB，∴△AOC∽△FOB，∴，即，解得：OF=，则F坐标为（0，﹣）．【关键点拨】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数图象与性质，以及图形与坐标性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．41．如图，已知抛物线过点A(,-3) 和B(3,0)，过点A作直线AC//x轴，交y轴与点C.（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D，连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出对应点P的坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使得?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）P点坐标为（4,6）或（,- ）；（3）Q点坐标（3，0）或（-2，15）则抛物线解析式为；（2）当在直线上方时，设坐标为，则有，，当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当时，，即，整理得：，即，解得：，即或（舍去），此时，；当点时，也满足；当在直线下方时，同理可得：的坐标为，，综上，的坐标为，或，或，或；过作，截取，过作，交轴于点，如图所示：【关键点拨】二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，点到直线的距离公式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．42．已知抛物线的图象如图所示：（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为．（2）判断△ABC的形状，并说明理由．（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．（3）y x2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n）2，AC2=12+22=5.分三种情况讨论：①当AP=AC时，AP2=AC2，n2=5，方程无解；②当AP=CP时，AP2=CP2，n2（2﹣n）2，解得：n=0，即P1（，0）；③当AC=CP时，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．综上所述：在抛物线对称轴上存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标（，0），（，2），（，2）．【关键点拨】本题考查了二次函数综合题．解（1）的关键是二次函数图象的平移，解（2）的关键是利用勾股定理及逆定理；解（3）的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程，要分类讨论，以防遗漏．43．空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，已知木栏总长为100米．（1）已知a=20，矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏，且围成的矩形菜园面积为450平方米．如图1，求所利用旧墙AD的长；（2）已知0＜α＜50，且空地足够大，如图2．请你合理利用旧墙及所给木栏设计一个方案，使得所围成的矩形菜园A BCD的面积最大，并求面积的最大值．【答案】（1）利用旧墙AD的长为10米．（2）见解析.（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米①如果按图一方案围成矩形菜园，依题意得：S=，0＜x＜a∵0＜a＜50∴x＜a＜50时，S随x的增大而增大当x=a时，S最大=50a-a2②如按图2方案围成矩形菜园，依题意得S=，a≤x＜50+当a＜25+＜50时，即0＜a＜时，则x=25+时，S最大=（25+）2=，当25+≤a，即≤a＜50时，S随x的增大而减小[来源:Zxx∴x=a时，S最大==，【关键点拨】本题以实际应用为背景，考查了一元二次方程与二次函数最值的讨论，解得时注意分类讨论变量大小关系．44．如图，已知顶点为的抛物线与轴交于，两点，直线过顶点和点．（1）求的值；（2）求函数的解析式；（3）抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）﹣3；（2）y x2﹣3；（3）M的坐标为（3，6）或（，﹣2）．（3）存在，分以下两种情况：①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，∴OD＝OC•tan30°，设DC为y＝kx﹣3，代入（，0），可得：k，联立两个方程可得：，解得：，所以M1（3，6）；【关键点拨】此题是一道二次函数综合题，熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键．45．如图，已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B 点在A点右侧）与y轴交于C点．（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标；（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大．若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由；（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标．【答案】（1），点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(8，0)；（2）存在点P，使△PBC的面积最大，最大面积是16，理由见解析；（3）点M的坐标为(4-2，)、(2，6)、(6，4)或(4+2，-)．（2）当时，，点的坐标为．设直线的解析式为．将、代入，，解得：，直线的解析式为．假设存在，设点的坐标为，过点作轴，交直线于点，则点的坐标为，如图所示．，．，当时，的面积最大，最大面积是16 ．，存在点，使的面积最大，最大面积是16 ．【关键点拨】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）利用二次函数的性质求出a的值；（2）根据三角形的面积公式找出关于x的函数关系式；（3）根据MN的长度，找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．。

2023北京中考数学试卷27题

2023北京中考数学试卷27题如下：27题. 设 $x$ 为正整数，若 $x^2+5x+7$ 是一个完全平方数，则 $x$ 的最小值是多少？解析：设 $x^2+5x+7=k^2$，其中 $k$ 为正整数。

移项得 $x^2+5x+7-k^2=0$。

对于二次方程 $x^2+5x+7-k^2=0$，我们可以使用求根公式来求解。

根据求根公式 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中 $ax^2+bx+c=0$。

将 $x^2+5x+7-k^2=0$ 的系数代入，得 $a=1$，$b=5$，$c=7-k^2$。

将 $a$，$b$，$c$ 的值代入求根公式，得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(7-k^2)}}{2\cdot1}$。

化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25-4(7-k^2)}}{2}$。

继续化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{25-(28-4k^2)}}{2}$。

继续化简得 $x=\frac{-5\pm\sqrt{4k^2-3}}{2}$。

由于 $x$ 是正整数，所以 $\sqrt{4k^2-3}$ 也必须是整数。

设 $\sqrt{4k^2-3}=m$，其中 $m$ 是正整数。

整理得 $4k^2-3=m^2$。

移项得 $4k^2=m^2+3$。

对于方程 $4k^2=m^2+3$，我们可以通过列举法来找到满足条件的正整数解。

首先，由于 $k$ 是正整数，所以 $m$ 也是正整数。

我们可以逐个尝试 $m$ 的值，列举出满足方程的 $m$ 和 $k$ 的组合。

当 $m=1$ 时，$m^2+3=4$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=2$ 时，$m^2+3=7$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=3$ 时，$m^2+3=12$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

当 $m=4$ 时，$m^2+3=19$，此时 $k$ 不存在满足条件的正整数解。

中考数学：二次函数的推理计算与证明综合问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学二次函数的推理计算与证明综合问题【方法归纳】据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。

在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式． (可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)． 3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1,m )和点(3,n )在抛物线y=2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12c x x a⋅=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；②若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+ bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；②当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+ 1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；②若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；②直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；②若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2- m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a2的取值范围．17．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y 轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；②若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+ 6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+ 4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；②当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；②若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+ m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D 两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n< 1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；②若y1=y2=0，求x1的值（用含a；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．。

二次函数的推理计算与证明综合问题(真题10道+模拟30道)-中考数学重难题型押题培优导练案【原卷版】

二次函数的推理计算与证明综合问题（真题10道+模拟30道）【方法归纳】题型概述，方法小结，有的放矢据北京历年中考题型来推测，二次函数的压轴题目多数会以参数的形式出现的，难度之大，可想而知。

在解决含参数二次函数的题目时，通常先观察解析式，看能否求出对称轴，图像与坐标轴交点能否用参数来表示？根据设出点的坐标可求出相应的线段，然后观察题意，再考虑我们所学过的知识点（勾股，相似等）能否用上.常用的二次函数的基础知识有：1．几种特殊的二次函数的图象特征如下：2．用待定系数法求二次函数的解析式：(1)一般式：（a≠0）．已知图象上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式．(2)顶点式：（a≠0）．已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式．(可以看成的图象平移后所对应的函数．)(3)交点式：已知图象与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：（a≠0）．(由此得根与系数的关系：,)．3. 二次函数图象和一元二次方程的关系：【典例剖析】典例精讲，方法提炼，精准提分2y ax bx c =++()2y a x h k =-+2y ax =()()12y a x x x x =--12b x x a +=-12cx x a ⋅=【例1】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上．（1）若m=3,n=15，求该抛物线的对称轴；（2）已知点(−1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上．若mn<0，比较y1,y2,y3的大小，并说明理由．【例2】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，设抛物线的对称轴为x=t.(1)当c=2,m=n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上，若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围．【真题再现】必刷真题，关注素养，把握核心1．（2013·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)）与轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．2．（2014·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=2x2+mx+n经过点A（0，−2），B（3，4）．（1）求抛物线的表达式及对称轴；（2）设点B关于原点的对称点为C，点D是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）．若直线CD与图象G有公共点，结合函数图像，求点D纵坐标t的取值范围．3．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，过点（0，2）且平行于x轴的直线，与直线y＝x－1交于点A，点A关于直线x＝1的对称点为B，抛物线C1：y＝x2＋bx＋c经过点A，B．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围. 4．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2－2mx＋m－1（m＞0）与x轴的交点为A，B．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB上整点的个数；①若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m的取值范围．5．（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-4x+3与x轴交于点A 、B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的表达式；（2）垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)，与直线BC交于点N(x3,y3)，若x1<x2<x3，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围.6．（2018·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y=ax2+bx−3a经过点A，将点B向右平移5个单位长度，得到点C．（1）求点C的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．7．（2019·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx−1a与y轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）求点B的坐标（用含a的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点P(12,−1a)，Q(2,2)．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．8．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上任意两点，其中x1<x2．（1）若抛物线的对称轴为x=1，当x1,x2为何值时，y1=y2=c;（2）设抛物线的对称轴为x=t．若对于x1+x2>3，都有y1<y2，求t的取值范围．【模拟精练】押题必刷，巅峰冲刺，提分培优一、解答题(共30题)1．（2022·北京市广渠门中学模拟预测）已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4(a≠0)(1)该抛物线的对称轴为_____________；(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求a的值；(3)设点M(m,y1),N(2,y2)该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．2．（2022·北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的顶点坐标（用含m的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A(m−1,y1)和B(m+2,y2)，其中m>0．当y1⋅y2>0时，求m的取值范围．3．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx−1(a>0)．(1)若抛物线过点(4,−1)．①求抛物线的对称轴；①当−1<x<0时，图像在x轴的下方，当5<x<6时，图像在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图像，求出这个抛物线的表达式；(2)若(−4,y1)，(−2,y2)，(1,y3)为抛物线上的三点且y3>y1>y2，设抛物线的对称轴为直线x=t，直接写出t的取值范围．4．（2022·北京房山·二模）在平面直角坐标系xOy中，点A(2,−1)在二次函数y=x2−(2m+1)x+m的图象上．(1)直接写出这个二次函数的解析式；(2)当n≤x≤1时，函数值的取值范围是−1≤y≤4−n，求n的值；(3)将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x−ℎ)2+k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．5．（2022·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+(a+2)x+2a．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)若点（－1，y1），（a，y2），（1，y3）在抛物线上，且y1<y2<y3，求a的取值范围．6．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=3．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；(3)若抛物线与x轴相交于A,B两点，且AB≤4，求a的取值范围．7．（2022·北京平谷·二模）在平面直角坐标系xOy中，点(−1,y1)、(1,y2)、(3,y3)是抛物线y=x2+bx+1上三个点．(1)直接写出抛物线与y轴的交点坐标；(2)当y1=y3时，求b的值；(3)当y3>y1>1>y2时，求b的取值范围．8．（2022·北京四中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2tx+t2−t．(1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；(2)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在抛物线上，其中t−1≤x1≤t+2,x2=1−t．①若y1的最小值是−2，求y1的最大值；①若对于x1,x2，都有y1<y2，直接写出t的取值范围．9．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−2ax−3．(1)求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)为该抛物线上的两点，若x1=1−2a，x2=a+1，且y1>y2，求a的取值范围．10．（2022·北京密云·二模）已知二次函数y=ax2+bx+2的图象经过点(1,2)．(1)用含a的代数式表示b；(2)若该函数的图象与x轴的一个交点为(−1,0)，求二次函数的解析式；(3)当a<0时，该函数图象上的任意两点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，若满足x1=−2，y1>y2，求x2的取值范围．11．（2022·北京大兴·二模）关于x的二次函数y1=x2+mx的图象过点(−2,0)．(1)求二次函数y1=x2+mx的表达式；(2)已知关于x的二次函数y2=−x2+2x，一次函数y3=kx+b(k≠0)，在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立．①求b的值；①直接写出k的值．12．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+mx+n．(1)当m=−3时，①求抛物线的对称轴；①若点A(1,y1)，B(x2,y2)都在抛物线上，且y2<y1，求x2的取值范围；(2)已知点P(−1,1)，将点P向右平移3个单位长度，得到点Q．当n=2时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围．13．（2022·北京市十一学校模拟预测）已知二次函数y=ax2−4ax−3的图象与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），顶点为D．(1)直接写出函数图象的对称轴：_____；(2)若△ABD是等腰直角三角形，求a的值；(3)当−1≤x≤k(2≤k≤6)时，y的最大值m减去y的最小值n的结果不大于3，求a的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）已知二次函数y=ax2−4ax．(1)二次函数图象的对称轴是直线x=__________；(2)当0≤x≤5时，y的最大值与最小值的差为9，求该二次函数的表达式；(3)若a<0，对于二次函数图象上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2)，当t−1≤x1≤t+1,x2≥5时，均满足y1≥y2，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．15．（2022·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，点（m – 2, y1），（m, y2），（2-m, y3）在抛物线y = x2－2ax + 1上，其中m≠1且m≠2．(1)直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；(2)当m = 0时，若y1= y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；(3)若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．16．（2022·北京西城·二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,−2)，(2,−2)．(1)直接写出c的值和此抛物线的对称轴；(2)若此抛物线与直线y=−6没有公共点，求a的取值范围；(3)点(t,y1)，(t+1,y2)在此抛物线上，且当−2≤t≤4时，都有|y2−y1|<7．直接写出a的取值范围．217．（2022·北京东城·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2−2mx+m2+1与y轴交于点A．点B(x1,y1)是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y=kx+b(k≠0)经过A，B两点．(1)求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；(2)若点C(m−2,a)，D(m+2,b)在抛物线上，则a_______b（用“<”，“=”或“>”填空）；(3)若对于x1<−3时，总有k<0，求m的取值范围．18．（2022·北京市十一学校二模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，2）（t≠0）在二次函数y=ax2+bx+2(a≠0)的图象上．(1)当t=4时，求抛物线对称轴的表达式；(2)若点B(5−t,0)也在这个二次函数的图象上．①当这个函数的最小值为0时，求t的值；①若在0≤x≤1时，y随x的增大而增大，求t的取值范围．19．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标xOy中，点(4,2)在抛物线y=ax2+bx+2(a>0)上．(1)求抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，且t<x1<t+1，4−t<x2<5−t．①当t=3时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；2①若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．20．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y=x2−2ax+6．(1)若此二次函数图象的对称轴为x=1．①求此二次函数的解析式；①当x≠1时，函数值y______5（填“>”，“<”，或“≥”或“≤”）；(2)若a<−2，当−2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．21．（2022·北京·东直门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−(a+4)x+3经过点(2,m)．(1)若m=−3，①求此抛物线的对称轴；①当1<x<5时，直接写出y的取值范围；(2)已知点(x1,y1)，(x2,y2)在此抛物线上，其中x1<x2．若m>0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．22．（2022·北京市燕山教研中心一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3a(a≠0)与x轴的交点为点A(1,0)和点B．(1)用含a的式子表示b；(2)求抛物线的对称轴和点B的坐标；(3)分别过点P(t,0)和点Q(t+2,0)作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n．①当a=1时，求m−n的最小值；①若存在实数t，使得m−n=1，直接写出a的取值范围．23．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．(1)当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；(2)求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；(3)若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．24．（2022·北京门头沟·一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=−x2+2mx−m2+m−2（m是常数）．(1)求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式表示）；(2)如果该抛物线上有且只有两个点到直线y=1的距离为1，直接写出m的取值范围；(3)如果点A(a,y1)，B(a+2,y2)都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1>y2，求a的取值范围．25．（2022·北京房山·一模）已知二次函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，-3），其顶点为P．(1)求二次函数的解析式及P点坐标；(2)当m≤x≤m+1时，y的取值范围是-4≤y≤2m，求m的值．26．（2022·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(−2,0),(−1,y1),(1,y2),(2,y3)在抛物线y=x2+ bx+c上．(1)若y1=y2，求y3的值；(2)若y2<y1<y3，求y3值的取值范围．27．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝﹣2x+6与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象过A，B两点，且与x轴的另一交点为点C，BC＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；①设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．28．（2022·北京顺义·一模）在平面直角坐标系xOy中，点(2,−2)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．(1)求该抛物线的对称轴；(2)已知点(n−2,y1)，(n−1,y2)，(n+1,y3)在抛物线y=ax2+bx−2(a<0)上．若0<n<1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．29．（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2−2ax(a≠0)的图象经过点A(−1,3)．(1)求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；(2)一次函数y=2x+b的图象经过点A，点(m,y1)在一次函数y=2x+b的图象上，点(m+4,y2)在二次函数y=ax2−2ax的图象上．若y1>y2，求m的取值范围．30．（2022·北京市第七中学一模）在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)，B(x2,y2)在抛物线y=−x2+(2a−2)x−a2+2a上，其中x1<x2．(1)求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；(2)①当x=a时，求y的值；①若y1=y2=0，求x1的值（用含a的式子表示）；(3)若对于x1+x2<−5，都有y1<y2，求a的取值范围．11/ 11。

北京中考数学27题全练习

27题补充练习1．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()24440y mx mx m m =-++≠的顶点为P ．P ，M两点关于原点O 成中心对称．（1）求点P ，M 的坐标；（2）若该抛物线经过原点，求抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿x 轴翻折，翻折后的图象在05x ≤≤的部分记为图象H ，点N 为抛物线对称轴上的一个动点，经过M ，N 的直线与图象H 有两个公共点，结合图象求出点N 的纵坐标n 的取值范围．2.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数5)12(2-++-=m x m mx y 的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤x ≤1时，函数值y 的取值范围是-6≤y ≤4-n ，求n 的值；③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O . 设平移后的图象对应的函数表达式为k h x a y +-=2)(，当x ＜2时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围.3．已知：抛物线C 1：y=2x 2+bx+6与抛物线C 2关于y 轴对称，抛物线C 1与x 轴分别交于点A （﹣3，0），B （m ，0），顶点为M ．（1）求b 和m 的值；（2）求抛物线C 2的解析式；（3）在x 轴，y 轴上分别有点P （t ，0），Q （0，﹣2t ），其中t ＞0，当线段PQ 与抛物线C 2有且只有一个公共点时，求t 的取值范围．4. 已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=. （1）求证：无论m 取任何实数，方程总有实数根；（2）若抛物线21y x mx m =-+-经过()1,8k -和()5,8k -+两点，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若此抛物线与x 轴交与A 、B （点A 在点B 的左边），(),M a b 为抛物线上任意一点，若045MAB <∠≤，请直接写出a 的取值范围．5.已知抛物线2154(3)22m y x m x -=--+．（1）求证：无论m 为任何实数，抛物线与x 轴总有两个交点；（2）若抛物线对称轴x=-1,且反比例函数(0,0)k y k x x=>>的图象与抛物线在第一象限内的交点的横坐标为0x ，且满足023x <<，求k 的取值范围.6．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线1222+-+-=m mx x y 的对称轴是直线1=x ．（1）求抛物线的表达式；（2）点()1,y n D ，()2,3y E 在抛物线上，若21y y <，请直接写出n 的取值范围；（3）设点()q p M ,为抛物线上的一个动点，当12p -<<点M 关于y 轴的对称点都在直线4-=kx y 的上方，求k7.已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D (0，m ) 作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请求出．．m 的取值范围．8.已知二次函数()2(4)425y t x t x --=+-在0x =与5x =的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，一次函数y kx b =+经过B ，C 两点，求一次函数的表达式；（3）在（2）的条件下，过动点D (0，m ) 作直线l //x 轴，其中2->m ．将二次函数图象在直线l 下方的部分沿直线l 向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y kx b =+与新图象M 恰有两个公共点，请求出．．m 的取值范围．。

北京初三(上)期末数学各区试题汇总-二次函数综合问题

●知识模块５：二次函数综合1.(门头沟18期末２6)在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2y x bx c =++的图象如图所示.（1)求二次函数的表达式；(2）函数图象上有两点1(,)P x y ，2(,)Q x y ，且满足12x x <,结合函数图象回答问题；①当3y =时，直接写出21x x -的值；ﻩ②当213x x -2≤≤，求y 的取值范围．２.(平谷18期末26）已知函数22y x mx =-的顶点为点D .(1)求点Ｄ的坐标（用含m 的代数式表示）； (2)求函数22y x mx =-的图象与x 轴的交点坐标;(３)若函数22y x mx =-的图象在直线y=m 的上方,求m 的取值范围.３．(丰台18期末26）在平面直角坐标系x Ｏy 中,抛物线2y x bx c =-++经过点(２，3)，对称轴为直线ｘ =1.(１）求抛物线的表达式; (２）如果垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于两点A (1x ，1y ），Ｂ（2x ，2y ),其中01<x ，02>x ，与y 轴交于点C ，求BC -AC 的值;(3）将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x 轴上，原抛物线上一点P 平移后对应点为点Q ，如果O Ｐ=OQ ,直接写出点Q 的坐标.ﻬ 4.（昌平1８期末26)在平面直角坐标系ｘＯy 中,抛物线y=mx 2－２m ｘ－３ (m ≠0)与y 轴交于点Ａ,其对称轴与x 轴交于点B 顶点为C 点. (1）求点A 和点B 的坐标;(2)若∠ACB =45°，求此抛物线的表达式；（3)在(2）的条件下,垂直于轴的直线与抛物线交于点Ｐ(x 1,ｙ1)和Q （x 2,y 2),与直线AB 交于点N （x 3，y 3)，若x 3<x 1<x 2，结合函数的图象,直接写出ｘ１+x 2＋x ３的取值范围为．5．(朝阳１８期末27）已知抛物线ｌ１与l 2形状相同,开口方向不同，其中抛物线l 1：2782--=ax ax y 交x 轴于A ，B 两点（点Ａ在点B 的左侧），且AB ＝6；抛物线l 2与l 1交于点A 和点C (5,n ）. （1)求抛物线l 1,l 2的表达式;（２)当ｘ的取值范围是时,抛物线l 1与ｌ2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大；（３)直线MN ∥y 轴,交ｘ轴，l 1,l 2分别相交于点P （ｍ,0)，M ，Ｎ,当１≤m ≤7时，求线段MN 的最大值.ﻬ6．（东城1８期末２6）在平面直角坐标系x Ｏy 中,抛物线ｙ=ｍx 2﹣2mx+n （m ≠0)与x 轴交于点A, B ,点A 的坐标为（-２,0）.（1）写出抛物线的对称轴;(2）直线n m x y -4-21=过点B ,且与抛物线的另一个交点为C ．①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式;②点P 为抛物线对称轴上的动点，过点Ｐ的两条直线ｌ１: ｙ=x ＋a 和l 2 : y=－x ＋ｂ组成图形G .当图形Ｇ与线段BC 有公共点时，直接写出点Ｐ的纵坐标t 的取值范围.y l7．(海淀18期末２６)已知二次函数243y ax ax a =-+.（1)该二次函数图象的对称轴是x = ;（２)若该二次函数的图象开口向下,当14x ≤≤时,y 的最大值是2,求当14x ≤≤时，y 的最小值； (3）若对于该抛物线上的两点11() P x y ， ,22() Q x y ，,当1+1t x t ≤≤，25x ≥时,均满足12y y ≥,请结合图象，直接写出t 的最大值.8.(石景山18期末26)在平面直角坐标系ｘO ｙ中,抛物线n mx x y ++-=2经过点)0,1(-A 和)3,0(B .（1)求抛物线的表达式;（2）抛物线与x 轴的正半轴交于点C ，连接ＢC .设抛物线的顶点P 关于直线t y =的对称点为点Q ，若点Q 落在△O ＢＣ的内部，求t 的取值范围． 9．（西城1８期末2５）已知抛物线Ｇ:221y x ax a =-+-（ａ为常数）.（1）当3a =时,用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为(,)P p q .①分别用含a 的代数式表示ｐ，q ;②请在①的基础上继续用含ｐ的代数式表示q ;③由①②可得，顶点Ｐ的位置会随着a 的取值变化而变化，但点P 总落在的图象上.Ａ．一次函数 ﻩB ．反比例函数 C ．二次函数（３）小明想进一步对(２)中的问题进行如下改编：将(2）中的抛物线Ｇ改为抛物线H ：22y x ax N =-+(ａ为常数),其中N 为含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足:无论a取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上．请按照小明的改编思路,写出一个符合以上要求的新抛物线Ｈ的函数表达式:（用含ａ的代数式表示),它的顶点所在的一次函数图象的表达式y kx b =+（k ,b 为常数，k ≠0）中，ｋ= ,b= .10.（西城18期末2６）在平面直角坐标系x Ｏy 中，抛物线Ｍ：2 (0)y ax bx c a =++≠经过(1,0)A -，且顶点坐标为(0,1)B .（１)求抛物线M 的函数表达式; (2）设(,0)F t 为x 轴正半轴．．．上一点,将抛物线M 绕点F 旋转18０°得到抛物线1M . ①抛物线1M 的顶点1B 的坐标为；②当抛物线1M 与线段AB 有公共点时,结合函数的图象，求t 的取值范围．11．（怀柔1８期末２6）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线与直线：相交于点A （，7）．(1）求m 、n 的值；(2）过点A 作AB ∥x 轴交抛物线于点Ｂ，设抛物线与x 轴交于点C 、D (点C 在点D 的左侧），求△BC Ｄ的面积; (３)点E (t ,0）为x 轴上一个动点,过点E 作平行于y 轴的直线与直线和抛物线分别交于点Ｐ、Q .当点P 在点Q 上方时，求线段PQ 的最大值. ﻬ12.（密云１8期末26）已知抛物线:221(0)y mx mx m m =-++≠．（1)求抛物线的顶点坐标.（2)若直线1l 经过（2,0）点且与x 轴垂直，直线2l 经过抛物线的顶点与坐标原点,且1l 与2l 的交点P 在抛物线上．求抛物线的表达式. (3)已知点Ａ(0,2),点A 关于x 轴的对称点为点Ｂ.抛物线与线段ＡB 恰有一个公共点，结合函数图象写出m 的取值范围.3242---=m mx mx y l n x y +-=22-l１3.（大兴1８期末26）已知一次函数111 2=-y x,二次函数224=-+y x mx(其中m>4）. (1）求二次函数图象的顶点坐标(用含m的代数式表示）;（2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m，求当10y>且2y≤0时，自变量x的取值范围;②如果满足10y>且2y≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围.--１4．（通州１8期末２3）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数()0122>+-=a ax ax y 的对称轴为b x =．点()m A ,2-在直线3+-=x y 上.(1)求m ,b 的值;ﻩ)2)若点()23，D 在二次函数()0122>+-=a ax ax y 上,求a 的值;(3）当二次函数()0122>+-=a ax ax y 与直线3+-=x y 相交于两点时，设左侧的交点为()11,y x P ,若131-<<-x ，求a 的取值范围．15．（燕山1８期末2７）在平面直角坐标系 x Ｏy 中,反比例函数k y x=的图象经过点 A (1，4），B (m ,ｎ）.（1)求反比例函数k y x=的解析式；（2)若二次函数y ＝(x -１)２的图象经过点Ｂ，求代数式22314m m n mn--+-的值; （3)若反比例函数k y x=的图象与二次函数 y =a (x -1）2的图象只有一个交点,且该交点在直线y ＝x 的下方，结合函数图象,求a 的取值范围.--16.（顺义18期末２8）在平面直角坐标系xOy 中,抛物线219y x bx =+经过点A （-３，4). （1）求ｂ的值；(2）过点A 作x 轴的平行线交抛物线于另一点B ，在直线AB 上任取一点Ｐ，作点A 关于直线O Ｐ的对称点C ；①当点Ｃ恰巧落在x 轴时,求直线OP 的表达式； ②连结BC ,求BC 的最小值．。

2024年北京市中考真题数学试卷含答案解析

2024年北京市中考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180︒，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的判断是解题的关键．【详解】解：A 、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；B 、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；C 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D 、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；故选：B ．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒【答案】B【分析】本题考查了垂直的定义，平角的定义，熟练掌握知识点，是解题的关键．根据OE OC ⊥得到90COE ∠=︒，再由平角180AOB ∠=︒即可求解．【详解】解：∵OE OC ⊥，∴90COE ∠=︒，∵180AOC COE BOE ∠+∠+∠=︒，58AOC ∠=︒，∴180905832EOB ∠=︒-︒-=︒，故选：B ．3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．16【答案】C【分析】根据方程的根的判别式()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=即可．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．【详解】∵方程240x x c -+=，1,4,a b c c ==-=，∴()22Δ44410b ac c =-=--⨯⨯=，∴416c =，解得4c =．故选C ．5．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．14共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有∴两次都取到白色小球的概率为故选：D ．6．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯【答案】D【分析】用移动小数点的方法确定a 值，根据整数位数减一原则确定n 值，最后写成10n a ⨯的形式即可．本题考查了科学记数法表示大数，熟练掌握把小数点点在左边第一个非零数字的后面确定a ，运用整数位数减去1确定n 值是解题的关键．【详解】17184105210m =⨯⨯=⨯，故选D ．7．下面是“作一个角使其等于AOB ∠”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等【答案】A【分析】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，解答即可.本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是边边边原理是解题的关键.【详解】根据基本作图中，同圆半径相等，判定三角形全等的依据是边边边原理，故选A.8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

2020北京市中考数学专题复习：一次函数、反比例函数综合题(含答案)

2. (2019 通州区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝2x 与函数 y ＝ x (x >0)的图象交于点 A (1， (2)过点 A 作 x 轴的平行线 l ，直线 y ＝2x ＋b 与直线 l 交于点 B ，与函数 y ＝ (x >0)的图象交于点 C ，与一、简单专题集训一次函数、反比例函数综合题(连续 5 年考查)类型一根据线段关系确定参数取值范围(8 年 2 考：2017.23、2016.21)1. (2019 海淀区二模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝x ＋b 与 x 轴、y 轴分别交于点 A ，B ，2与双曲线 y ＝x 的交点为 M ，N .(1)当点 M 的横坐标为 1 时，求 b 的值；(2)若 MN ≤3AB ，结合函数图象，直接写出 b 的取值范围.第 1 题图m2).(1)求 m 的值；mxx 轴交于点 D.①当点 C 是线段 BD 的中点时，求 b 的值；②当 BC >BD 时，直接写出 b 的取值范围.第 2 题图3.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，3)、点B(3，0)，一次函数y＝－2x的图象与直线AB交于点P.(1)求点P的坐标；(2)若点Q是x轴上一点，且△PQB的面积为6，求点Q的坐标；(3)若直线y＝－2x＋m与△AOB三条边只有两个公共点，求m的取值范围.第3题图数 y ＝x (x ＜0)的图象经过点 A. (2)若过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ，且与函数 y ＝ (x ＜0)图象的另一个交点为 D. ②横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记函数 y ＝x (x ＜0)的图象在点 A ，D 之间的部分与线段 AD 围成的类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围(8 年 2 考：2019.25、2018.23)1. 在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)与直线 y ＝kx (k ≠0)平行，与直线 y ＝3 相交于点A (3，3).(1)求 k 和 b 的关系式；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记直线 l ∶y ＝kx ＋b 、y ＝kx 、y ＝3 与 x 轴构成的封闭区域(不含边界)为 W .①当 k ＝2 时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 2 个整点，直接写出 k 的取值范围.2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，B (3，－3)，C (5，0)，以 OC ，CB 为边作平行四边形 OABC ，函k(1)求 k 的值；kx①求直线 l 的表达式；k区域(含边界)为 W .结合函数图象，直接写出区域 W 内(含边界)的整点个数.第 2 题图3. (2019 延庆区一模)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y ＝x (x＞0)的图象经过边长为 2 的正方形OABC 的顶点 B ，直线 y ＝mx ＋m ＋1 与 y ＝ (x ＞0)的图象交于点 D (点 D 在直线 BC 的上方)，与 x 轴交于点 (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记y ＝ (x ＞0)的图象在点 B 、D 之间的部分与线段 AB 、AE 、DEkkxE .(1)求 k 的值；kx围成的区域(不含边界)为 W .1①当 m ＝2时，直接写出区域 W 内的整点个数；②若区域 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，求 m 的取值范围.第 3 题图2.(2018石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，函数y＝x(x＞0)的图象与直线l1：y＝x＋b交于点类型三根据面积关系确定参数取值范围1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝kx＋1(k≠0)交y轴于点A，交x轴于点B(3，0)，平行于y轴的直线x＝2交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线x＝2上一点，且在点D的上方，设P(2，n).(1)求直线l的表达式和点A的坐标；(2)连接AP、BP，若△SABP ≤2△SABO，求n的取值范围.第1题图aA(3，a－2).(1)求a，b的值；(2)直线l2：y＝－x＋m与x轴交于点B，与直线l1交于点C，若S△ABC≥6，求m的取值范围.1. 如图，直线 y ＝3x ＋4 与 x 轴相交于点 A ，与 y 轴相交于点 B.2. (2019 东城区一模)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y ＝kx (k ≠0)与双曲线 y ＝x (x ＞0)交于点 A (2，n ).类型四根据线段、面积、图形求点坐标(8 年 2 考：2015.23、2012.17)2(1)求△AOB 的面积；(2)过点 B 作直线 BC 与 x 轴相交于点 △C ，若 ABC 的面积是 16，求点 C 的坐标.第 1 题图8(1)求 n 及 k 的值；(2)点 B 是 y 轴正半轴上的一点，且△OAB 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 B 的坐标.k3.(2019房山区一模)已知一次函数y＝2x的图象与反比例函数y＝x(k≠0)在第一象限内的图象交于点A(1，m).(1)求反比例函数的表达式；(2)点B在反比例函数的图象上，且点B的横坐标为2.若在x轴上存在一点M，使MA＋MB的值最小，求点M的坐标.第3题图k4.(2019西城区二模)在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax＋b与双曲线y＝x交于点A(1，m)和点B(－2，－1)，点A关于x轴的对称点为点C.(1)①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；(2)过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E.若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围.1. 解：(1)∵点 M 是双曲线 y ＝上的点，且点 M 的横坐标为 1， b2. 解：(1)把 A (1，2)代入函数 y ＝ (x ＞0)中，把 y ＝1 代入函数 y ＝x中，参考答案类型一根据线段关系确定参数取值范围2x∴点 M 的坐标为(1，2).∵点 M 是直线 y ＝x ＋b 上的点， ∴b ＝1；(2)b ≤－1 或 b ≥1.【解法提示】当 b ＝±1 时，满足 MN ＝3AB ，如解图，结合函数图象可得，的取值范围是 b ≤－1 或 b ≥1.第 1 题解图mx解得 m ＝2；(2)①如解图①，过点 C 作 x 轴的垂线，交直线 l 于点 E ，交 x 轴于点 F . ∵点 C 是线段 BD 的中点， ∴CE ＝CF ＝1.∴点 C 的纵坐标为 1.2得 x ＝2.∴点 C 的坐标为(2，1).把 C (2，1)代入函数 y ＝2x ＋b 中得：1＝4＋b ，解得 b ＝－3；第 2 题解图①【解法提示】如解图②，当 BC >BD 时，点 C 在 AB 的上方，当 BC ＝BD 时，y C ＝2y B ＝4，∴可得 C (2 ，4).把 C ( ，4)代入函数 y ＝2x ＋b 中解得 b ＝3.∴当 BC ＞BD 时，b 的取值范围为 b ＞3.由题意：2·|m －3|·6＝6，⎩ ⎩②b ＞3.112第 2 题解图②3. 解：(1)如解图，∵A (0，3)、点 B (3，0)，∴直线 AB 的解析式为 y ＝－x ＋3.⎧⎪y ＝－2x ，由⎨⎪y ＝－x ＋3，⎧⎪x ＝－3，解得⎨⎪y ＝6，∴P (－3，6)；(2)设 Q (m ，0)，1解得 m ＝5 或 1，∴Q (1，0)或 Q (5，0)；(3)当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 O 时，m ＝0，当直线 y ＝－2x ＋m 经过点 B 时，m ＝6，∴若直线 y ＝－2x ＋m 与△AOB 三条边只有两个公共点，则 M 的取值范围为 0＜m ＜6.第 3 题解图【解法提示】将函数表达式 y ＝x与直线表达式 y ＝－x －5 联立并整理得：x 2＋5x ＋6＝0，解得 x ＝－2类型二根据区域内整点个数确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点 A (3，3)， ∴3＝3k ＋b .∴k 和 b 的关系式为 b ＝3－3k ； (2)①如解图所示，当 k ＝2 时，直线 l 表达式为 y ＝2x －3，直线 y ＝kx 为 y ＝2x ，结合函数图象，区域 W 内的整点个数有 2 个；第 1 题解图②1＜k ≤2.【解法提示】当直线 y ＝kx 过点(2，2)时，此时直线的表达式为 y ＝x ，∵直线 l ：y ＝kx ＋b 过点(3，3)且与 y ＝x 平行，故此时直线 l 的表达式也为 y ＝x ，区域 w 内没有整点，又由(1)可知，当区域 W 内有 2 个整点时，k ＝2.综上所述，若区域 W 内恰有 2 个整点时，k 的取值范围为 1<k ≤2.2. 解：(1)∵B (3，－3)，C (5，0)，四边形 OABC 是平行四边形，∴AB ＝OC ＝5.∴点 A 的坐标为(－2，－3). ∴k ＝6；(2)①设直线 OB 的表达式为 y ＝mx ，由 B 点坐标(3，－3)，可得 m ＝－1， ∵过点 A 的直线 l 平行于直线 OB ， ∴设直线 l 的表达式为 y ＝－x ＋b ，把点 A 的坐标(－2，－3)代入上式并解得 b ＝－5， ∴直线 l 的表达式为 y ＝－x －5； ②区域 W 内(含边界)有两个整点．6或－3，由(1)知 A (－2，－3)，∴点 D 的坐标为(－3，－2)，∴区域 W 内(含边界)只有 D 、A 两个整点．3. 解：(1)∵正方形 OABC 的边长为 2，把 B (2，2)代入 y ＝x(x ＞0)中，解得 k ＝2×2＝4；【解法提示】①当 m ＝2时，则直线 y ＝mx ＋m ＋1 为 y ＝2 x ＋2 ，②当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 2 个整点，如解图①所示，此时 m ＝2 ，结合函数图象，区域 W 内恰有 3 个整点，m 的取值范围为2 ＜m ≤1.∴B (2，2).k(2)①区域 W 内有 2 个整点；1 1 3作出图象如解图①所示，结合函数图象，区域 W 内有 2 个整点．第 3 题解图①3 1当直线 y ＝mx ＋m ＋1 过(0，2)时，区域 W 内恰好有 3 个整点，如解图②所示，第 3 题解图②则 2＝m ＋1，解得 m ＝1，1∴直线 l 的表达式是 y ＝－3x ＋1.∵x ＝2 时，y ＝－3 x ＋1＝3 ，且点 P 在点 D 的上方，∴PD ＝n －3 ，∴△S APD ＝2AM ·PD ＝2 ×2×(n －3 )＝n －3 ； ∴△S BPD ＝2×1×(n －3 )＝2 (n －3 )， ∴△S P AB ＝△S APD ＋△S BPD ＝2n －2 ； ∵2△S ABO ＝2×2 ·AO ·BO ＝1×3＝3.当 △S ABP ＝2△S ABO 时，2n －2 ＝3，解得 n ＝3 ，综上所述，当 △S ABP ≤2△S ABO 时，n 的取值范围为3<n ≤3 . 2. 解：(1)∵点 A 在 y ＝图象上，类型三根据面积关系确定参数取值范围1. 解：(1)∵直线 l ：y ＝kx ＋1(k ≠0)交 y 轴于点 A ，交 x 轴于点 B (3，0)， ∴0＝3k ＋1.1∴k ＝－3 .1当 x ＝0 时，y ＝1，∴点 A (0，1)；(2)如解图，过点 A 作 AM ⊥PD ，垂足为点 M ，则有 AM ＝2，1 111 1 1 1∵B (3，0)，∴点 B 到直线 x ＝2 的距离为 △1，即 BDP 的边 PD 上的高长为 1，1 1 1 13 113 1 71 7第 1 题解图axa∴a －2＝3 .∴a ＝3.∴A (3，1).∵点 A 在 y ＝x ＋b 图象上，⎧x ＝m ＋2，解得⎨ ∴C ( 2， ). ∴2 ·(m －2)· 2－ (m －2)×1≥6. ⎪ ⎩ 2∴1＝3＋b .∴b ＝－2；(2)由(1)知直线 l 1 为 y ＝x －2.设直线 l 1∶y ＝x －2 与 x 轴的交点为 D ， ∴D (2，0).①当点 C 在点 A 的上方如解图①，第 2 题解图①∵直线 y ＝－x ＋m 与 x 轴交点为 B ，∴B (m ，0).∵点 C 在点 A 的上方， ∴m ＞4.∵直线 y ＝－x ＋m 与直线 y ＝x －2 相交于点 C ，⎧y ＝x －2， ∴⎨⎪y ＝－x ＋m ，2⎩y ＝m －2．m ＋2 m －22∵△S ABC ＝△S BCD －△S ABD ≥6，1 m －2 1 2∴m ≥8；②若点 C 在点 A 下方，如解图②，此时 m ＜4.第 2 题解图②∵△S ABC ＝△S ABD ＋△S BCD ≥6，1 1 2－m∴2 (2－m )×1＋2 (2－m )·2 ∴m ≤－2.综上所述，m ≥8 或 m ≤－2.≥6.1.解：(1)把x＝0代入y＝x＋4得：y＝4，把y＝0代入y＝x＋4得：x＋4＝0，33∴△S AOB＝×6×4＝12；2∴△S ABC＝×4·AC＝16，22.解：(1)∵点A(2，n)在双曲线y＝上，∴n＝＝4.2(2)点B坐标为(0，8)，(0，25)，(0，).解得m＝，22类型四根据线段、面积、图形求点坐标23∴B(0，4)，22解得x＝－6，∴A(－6，0)，1(2)根据题意得：点B到AC的距离为4，1解得AC＝8，即点C到点A的距离为8，∴点C的坐标为(－14，0)或(2，0).8x8∴点A的坐标为(2，4).将A(2，4)代入y＝kx，得：4＝2k，解得k＝2；52【解法提示】分三种情况考虑，过点A作AC⊥y轴于点C，如解图所示．①当AB1＝AO时，CO＝CB1＝4，∴点B1的坐标为(0，8)；②当OA＝OB2时，∵点A的坐标为(2，4)，∴OC＝4，AC＝2.∴OA＝OC2＋AC2＝25.∴OB2＝25.∴点B2的坐标为(0，25)；③当B3O＝B3A时，设OB3＝m(m＞0)，则CB3＝4－m，AB3＝m，在Rt△ACB3中，AB3＝CB23＋AC2，即m2＝(4－m)2＋22，5∴点B3的坐标为(0，2).将A(1，2)代入反比例函数y＝x得k＝2，∴反比例函数的表达式为y＝x；∴点M的坐标为(3，0).⎪⎩⎩55综上所述：点B的坐标为(0，8)，(0，25)，(0，2).第2题解图3.解：(1)∵A(1，m)在一次函数y＝2x的图象上，∴m＝2.k2(2)如解图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点M，此时MA＋MB最小，∴点A关于x轴的对称点A′(1，－2)，∵B(2，1)，⎧－2＝n＋b，设A′B的表达式为y＝nx＋b，代入点A′、B得⎨⎪1＝2n＋b，⎧⎪n＝3，解得⎨⎪b＝－5，∴直线A′B的表达式为y＝3x－5.5第3题解图4. 解：(1)①∵点 B (－2，－1)在双曲线 y ＝上， ∵点 A (1，m )在双曲线 y ＝上，x⎩ kx∴k ＝(－2)×(－1)＝2.2∴反比例函数解析式为 y ＝x .2∴m ＝2.∴A (1，2).∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴C (1，－2)；②∵直线 l ：y ＝ax ＋b 经过点 A (1，2)和点 B (－2，－1)，⎧⎪2＝a ＋b ，得⎨⎪－1＝－2a ＋b ，⎧⎪a ＝1，解得⎨⎪⎩b ＝1.∴直线 l 的解析式为 y ＝x ＋1；(2)1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .【解法提示】如解图，∵点 A 关于 x 轴的对称点为点 C ， ∴AC ∥y 轴． ∵BD ⊥y 轴，∴∠BDC ＝90°，D (1，－1). ∵C (1，－2)， ∴CD ＝1.①当点 E 在点 D 左侧时，当∠CED ＝45°时，DE ＝CD ＝1， ∴t ＝0.当∠CE ′D ＝30°时，DE ′＝ 3 CD ＝ 3 ， ∴t ＝1－ 3 .∵30°≤∠CED ≤45°， ∴1－ 3 ≤t ≤0；②当点 E 在点 D 右侧时，同理可得，2≤t ≤1＋ 3 ，综上所述，1－ 3 ≤t ≤0 或 2≤t ≤1＋ 3 .第4题解图。

北京中考初中数学27题

中考数学试卷一、单项选择题（共12分）1．对于反比例函数y=kx(k≠0)，下列所给的四个结论中，正确的是（）A．过图象上任一点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别A，B，则矩形O APB 的面积为kB．若点(2,4)在其图象上，则(−2,4)也在其图象上C．反比例函数的图象关于直线y=x和y=−x成轴对称D．当k>0时，y随x的增大而减小2.如图，四边形ABCD是矩形，E是边BC延长线上的一点，AE与CD相交于点F，则图中的相似三角形共有（）A．4对 B．3对C．2对D．1对3.如图，以A、B、C为顶点的三角形与以D、E、F为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为（）A．2:1B．3:1C．4:3D．3:24．一个由相同正方体堆积而成的几何体如图所示，从正面看，这个几何体的形状是（）。

A．B．C．D．5．已知m3=n4，那么下列式子中一定成立的是（）A．4m=3n B．3m=4n C．m=4n D．mn=12 6．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3D．x1＝0，x2＝37．如图图形中是中心对称图形的为（）A．B． C． D．8．一元二次方程x2﹣3x＝0的根是（）A．x＝3 B．x1＝0，x2＝﹣3C．x1＝0，x2=√3 D．x1＝0，x2＝3二、填空题（共24分）9．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

10．小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75米，他的影长2.0米，小红比小明矮7厘米，此刻小红的影长是（）米。

11.如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B、F的坐标分别为（-4,4）、（2,1）则位似中心的坐标为（）。

12．把一张半径为2cm，圆心角为120°的扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面积是。

北京中考数学二次函数综合题难题压轴题解析汇总

北京中考数学----二次函数综合题24、（2007•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2+2mx+n经过P（，5），A（0，2）两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为B，将直线AB沿y轴向下平移两个单位得到直线l，直线l与抛物线的对称轴交于C点，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，求到直线OB，OC，BC距离相等的点的坐标．考点：二次函数综合题。

专题：代数综合题。

分析：（1）把P，A坐标代入抛物线解析式即可．（2）先设出平移后的直线l的解析式，然后根据（1）的抛物线的解析式求出C点的坐标，然后将C点的坐标代入直线l中即可得出直线l的解析式．（3）本题关键是找出所求点的位置，根据此点到直线OB、OC、BC的距离都相等，因此这类点应该有4个，均在△OBC的内角平分线上（△OBC外有3个，三条角平分线的交点是一个），可据此来求此点的坐标．解答：解：（1）根据题意得，解得，所以抛物线的解析式为：．（2）由得抛物线的顶点坐标为B（，1），依题意，可得C（，﹣1），且直线过原点，设直线的解析式为y=kx，则，解得，所以直线l的解析式为．（3）到直线OB、OC、BC距离相等的点有四个，如图，由勾股定理得OB=OC=BC=2，所以△OBC为等边三角形．易证x轴所在的直线平分∠BOC，y轴是△OBC的一个外角的平分线，作∠BCO的平分线，交x轴于M1点，交y轴于M2点，作△OBC的∠BCO相邻外角的角平分线，交y轴于M3点，反向延长线交x轴于M4点，可得点M1，M2，M3，M4就是到直线OB、OC、BC距离相等的点．可证△OBM2、△BCM4、△OCM3均为等边三角形，可求得：①OM1==×2=，所以点M1的坐标为（，0）．②点M2与点A重合，所以点M2的坐标为（0，2），③点M3与点A关于x轴对称，所以点M3的坐标为（0，﹣2），④设抛物线的对称轴与x轴的交点为N，M4N=，且ON=M4N，所以点M4的坐标为（，0）综合所述，到战线OB、OC、BC距离相等的点的坐标分别为：M1（，0）、M2（0，2）、M3（0，﹣2）、M4（，0）．点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定，一次函数的平移以及角平分线定理的应用等知识点．综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法24、（2008•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0），将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过B，C两点．（1）求直线BC及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标；（3）连接CD，求∠OCA与∠OCD两角和的度数．考点：二次函数综合题。

2021北京中考真题数学(附答案)

2021北京中考真题数学姓名_____________准考证号____________考场号_______________座位号一、选择题(共16分，每题2分)第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1.右图是某几何体的展开图，该几何体是(A)长方体 (B)圆柱 (C)圆锥 (D)三棱柱2.党的十八大以来，坚持把教育扶贫作为脱贫攻坚的优先任务，2014-2018年，中央财政累计投入“全面改善贫困地区义务教育薄弱学校基本办学条件”专项补助资金1692亿元.将169 200 000 000用科学记数法表示应为 (A)0.1692×1012(B)1.692×1012(C)1.692×1011 (D)16.92×10103.如图，点O 在直线AB 上，OC ⊥OD .若∠AOC =120°，则∠BOD 的大小为(A)30°(B)40°(C)50°(D)60°4.下列多边形中，内角和最大的是(A)(B)(C)(D)5.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是(A)a >-2(B)a b >(C)a +b >0(D)b -a <06.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是(A)14(B)13(C)12(D)237.已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116.若n 为整数，且1n n <<+，则n 的值为(A)43(B)44(C)45(D)468.如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为x m ，它的邻边长为y m ，矩形的面积为S m 2，当x 在一定范围内变化时，y 和S 都随x 的变化而变化，则y 与x ，S 与x 满足的函数关系分别是(A)一次函数关系，二次函数关系 (B)反比例函数关系，二次函数关系 (C)一次函数关系，反比例函数关系(D)反比例函数关系，一次函数关系第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9.x 的取值范围是_________.10.分解因式：2255x y -=__________.11方程213x x=+的解为__________. 12在平面直角坐标系xOy 中，若反比例函数()0ky k x=≠的图象经过点A (1，2)和点B (-1，m )，则m 的值为___________.13.如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 是切点.若∠P =50°，则∠AOB =____________°.14.如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，AF =EC .只需添加一个条件即可证明四边形AECF 是菱形，这个条件可以是__________(写出一个即可). 15.有甲、乙两组数据，如下表所示：甲、乙两组数据的方差分别为s s 甲乙，，则s s 甲乙(填“>”，“<”或“=”) 16.某企业有A ，B 两条加工相同原材料的生产线，在一天内，A 生产线共加工a 吨原材料，加工时间为(4a +1)小时；在一天内，B 生产线共加工b 吨原材料，加工时间为(2b +3)小时，第一天，该企业将5吨原材料分配到A ，B 两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到A 生产线的吨数与分配到B 生产线的吨数的比为_________.第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A 生产线分配了m 吨原材料，给B 生产线分配了n 吨原材料若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则mn的值为_________. 三、解答题(共68分，第17-20题，每题5分，第21-22题，每题6分，第23题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，17.计算：(02sin 605π︒--+.18.解不等式组：451,34.2x x x x ->+⎧⎪⎨-<⎪⎩19.已知22210a b +-=，求代数式()()22a b b a b -++的值.20.《淮南子·天文训》中记载了一种确定东西方向的方法，大意是：日出时，在地面上点A 处立一根杆，在地面上沿着杆的影子的方向取一点B ，使B ，A 两点间的距离为10步(步是古代的一种长度单位)，在点B 处立一根杆；日落时，在地面上沿着点B 处的杆的影子的方向取一点C ，使C ，B 两点间的距离为10步，在点C 处立一根杆，取CA 的中点D ，那么直线DB 表示的方向为东西方向.(1)上述方法中，杆在地面上的影子所在直线及点A ，B ，C 的位置如图所示.使用直尺和圆规，在图中作CA 的中点D (保留作图痕迹)；(2)在上图中，确定了直线DB 表示的方向为东西方向.根据南北方向与东西方向互相垂直，可以判断直线CA 表示的方向为南北方向，完成如下证明. 证明：在△ABC 中，BA =__________，D 是CA 的中点， ∴CA ⊥DB (____________)(填推理的依据). ∵直线DB 表示的方向为东西方向， ∴直线CA 表示的方向为南北方向.21.已知关于x 的一元二次方程22430x mx m -+=.(1)求证：该方程总有两个实数根；(2)若m >0，且该方程的两个实数根的差为2，求m 的值.22如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F.(1)求证：四边形AECD是平行四边形；(2)若AE平分∠BAC，BE=5，4cos5B=，求BF和AD的长.23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数12y x=的图象向下平移1个单位长度得到.(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>-2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围.24.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E.(1)求证：∠BAD=∠CAD；(2)连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC，若⊙O的半径为5，OE=3，求GC和OF的长.25.为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入(单位：百万元)的数据，并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.a.甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下(数据分成5组：6≤x <8，8≤x <10，10≤x <12，12≤x <14，14≤x ≤16)：b .甲城市邮政企业4月份收入的数据在10≤x <12这一组的是： 10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8c 甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：(1)写出表中m 的值；(2)在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为1p .在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为2p .比较1p ，2p ，的大小，并说明理由；(3)若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入(直接写出结果).26.在平面直角坐标系xOy 中，点(1，m )和点(3，n )在抛物线()20y ax bx a =+>上.(1)若m =3，n =15，求该抛物线的对称轴；(2)已知点123()()()124y y y -，，，，，在该抛物线上，若mn <0，比较123y y y ，，，的大小，并说明理由，27.如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =α，M 为BC 的中点，点D 在MC 上，以点A 为中心，将线段AD 顺时针旋转α得到线段AE ，连接BE ，DE .(1)比较∠BAE 与∠CAD 的大小；用等式表示线段BE ，BM ，MD 之间的数量关系，并证明； (2)过点M 作AB 的垂线，交DE 于点N ，用等式表示线段NE 与ND 的数量关系，并证明.28.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.对于点A 和线段BC ，给出如下定义：若将线段BC 绕点A 旋转可以得到⊙O 的弦B 'C '(B '，C '分别是B ，C 的对应点)，则称线段BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”.(1)如图，点112233A B C B C B C ，，，，，，，的横、纵坐标都是整数，在线段112233B C B C B C ，，，中，⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”是____________；(2)△ABC 是边长为1的等边三角形，点A (0，t )，其中t ≠0.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，求t 的值；(3)在△ABC 中，AB =1，AC =2.若BC 是⊙O 的以点A 为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC 长.2021北京中考真题数学参考答案10.【答案】5(x +y )(x -y ) 11.【答案】x =3 12.【答案】-2 13.【答案】130°14.【答案】AF =FC （答案不唯一） 15.【答案】> 16.【答案】2：3；1217.【答案】4 18.【答案】2<x <4 19.【答案】120.【答案】（2）BC ；等腰三角形三线合一 21.【答案】（1）240m ∆=≥；（2）m =1 22.【答案】 23.【答案】（1）11;2y x =-（2）112m ≤≤ 24.【答案】（2）GC =6；2511OF =25.【答案】（1）10.1；（2）12p p <，因为甲城市中位数低于平均数，1p 最大为12个；乙城市中位数高于平均数，2p 至少为13个.（3）2200百万元. 26.【答案】（1）1x =-;（2）213y y y <<解析：二次函数综合，考察点和对称轴的位置判断函数值的大小.①当m <0,n >0时，由二次函数恒过（0，0）点知此时抛物线开口向下，a <0,与a >0矛盾；②当m >0,n <0时，对称轴为13,22x <<故351357(1),2,4.222222x x x <--<<-<<-< ∴()214x x x -<--<-∵0a >∴213y y y <<27.【答案】（1）∠BAE =∠CAD ，BE +MD =BM解析：易证△AEB ≌△ADC .（2）NE =ND解析：方法1：过点E 作EH ⊥AB①易证BH =BE =CD →DM =HM②由MN ∥EH →△DMN ∽△DHE →N 是DE 中点得证（模型：角平分线对称+A 相似（中位线））方法2：模型：相似方法3：模型：角平分线对称+8字相似（中位线）方法4：模型：角平分线对称+8字相似（中位线）方法5：模型：角平分线对称+8字相似（中位线）B C28.【答案】（1）22（2）t=解析：如图所示（3）min 1OA =时，此时max 2BC OA ==时，此时BC =情况一：如图所示，min 1OA =时，此时BC =情况二：如图所示，max 2OA =时，此时BC =。

2024年北京中考数学试题及答案(1)

2024年北京中考数学试题及答案考生须知：1.本试卷共6页，共两部分.三道大题，28道小题。

满分100分。

考试时间120分钟。

2.在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。

3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4.在答题卡上.选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

第一部分选择题一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D．2．如图，直线AB 和CD 相交于点O ，OE OC ⊥，若58AOC ∠=︒，则EOB ∠的大小为（）A ．29︒B ．32︒C ．45︒D ．58︒3．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ．1b >-B ．2b >C ．0a b +>D ．0ab >4．若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．165．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（　）A ．34B ．12C ．13D ．146．为助力数字经济发展，北京积极推进多个公共算力中心的建设.北京数字经济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为17410⨯Flops （Flops 是计算机系统算力的一种度量单位），整体投产后，累计实现的算力将是日前已部署上架和调试的设备的算力的5倍，达到m Flops ，则m 的值为（）A ．16810⨯B ．17210⨯C ．17510⨯D ．18210⨯7．下面是“作一个角使其等于AOB ”的尺规作图方法.（1）如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA ，OB 于点C ，D ；（2）作射线O A ''，以点O '为圆心，OC 长为半径画弧，交O A ''于点C '；以点C '为圆心，CD 长为半径画弧，两弧交于点D ¢；（3）过点D ¢作射线O B ''，则A O B AOB '''∠=∠.上述方法通过判定C O D COD '''△≌△得到A O B AOB '''∠=∠，其中判定C O D COD '''△≌△的依据是（）A ．三边分别相等的两个三角形全等B ．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等C ．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等D ．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等8．如图，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，O 为对角线的交点.将菱形ABCD 绕点O 逆时针旋转90︒得到菱形A B C D ''''，两个菱形的公共点为E ，F ，G ，H .对八边形BFB GDHD E ''给出下面四个结论：①该八边形各边长都相等；②该八边形各内角都相等；③点O 到该八边形各顶点的距离都相等；④点O 到该八边形各边所在直线的距离都相等。

【2020精品中考数学提分卷】北京—第15讲代数压轴题27题+答案

代数压轴题1．（2020北京朝阳初三二模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(9)6y x m x =-++-的对称轴是2x =．（1）求抛物线表达式和顶点坐标；（2）将该抛物线向右平移1个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点A ，求点A 的坐标；（3）抛物线22(9)6y x m x =-++-与y 轴交于点C ，点A 关于平移后抛物线的对称轴的对称点为点B ，两条抛物线在点A 、C 和点A 、B 之间的部分（包含点A 、B 、C ）记为图象M ．将直线22y x =-向下平移b （b >0）个单位，在平移过程中直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．2．（2020北京朝阳初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx x y ++=2经过点（0，–3），（2，–3）．（1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将c bx x y ++=2（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．3.（2020北京东城中考二模）二次函数21:C y x bx c =++的图象过点A （-1,2），B （4,7）.（1）求二次函数1C 的解析式；（2）若二次函数2C 与1C 的图象关于x 轴对称，试判断二次函数2C 的顶点是否在直线AB上；（3）若将1C 的图象位于A ，B 两点间的部分（含A ，B 两点）记为G ，则当二次函数221y x x m =-+++与G 有且只有一个交点时，直接写出m 满足的条件.4.（2020北京房山初三二模）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知点P （-1,0），C ()11-2，，D （0，-3），A ，B 在x 轴上，且P 为AB 中点，1=∆CAP S .（1）求经过A 、D 、B 三点的抛物线的表达式．（2）把抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一个新的图象G ，点Q 在此新图象G 上，且APC APQ S S ∆∆=，求点Q 坐标．（3）若一个动点M 自点N （0,-1）出发，先到达x 轴上某点（设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F ），最后运动到点D ，求使点M 运动的总路程最短的点E 、点F 的坐标．5.（2020北京房山初三一模）如图，二次函数c=2y的图象（抛物线）与x-+x+bx轴交于A(1,0),且当0x=和2x-=时所对应的函数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积.6.（2020北京丰台初三一模）已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b 的取值范围．xOy中，抛物线223(0)y mx mx m =--≠3，0）．y 的取值范围；x 轴翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图M 在直线21=x 左侧的部分只有一个公共点，结合图象求k 的取值范围．8.（2020北京海淀中考二模）已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1） 1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动所经过的两个位置，判断1n ，2n 的大小，并说明理由；（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.9.（2020北京怀柔初三二模）已知：二次函数y 1=x 2+bx+c 的图象经过A （-1,0），B （0，-3）两点.(1)求y 1的表达式及抛物线的顶点坐标;(2)点C （4，m ）在抛物线上，直线y 2=kx+b(k≠0)经过 A ， C 两点，当y 1 >y 2时，求自变量x 的取值范围;(3) 将直线AC 沿y 轴上下平移，当平移后的直线与抛物线只有一个公共点时，求平移后直线的表达式.10．（2020北京怀柔初三一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）．(1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H，求此时函数y的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象H的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若直线y=x+b与图象M有三个公共点，求b的取值范围．11．（2020北京平谷初三一模）已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A ，点A 关于直线1x =-的对称点为点B ．（1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．12．（2020北京石景山初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ．（1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0），结合函数的图象，求m 的取值范围．13．（2020北京顺义初三一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-．（1）求a 的值及抛物线22y ax x =-与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线22y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B （1，0）之间，求m 的取值范围．14.（2020北京通州初三一模）已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C . （1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；15. （2020北京通州中考二模）已知：二次函数c bx -x y ++=2的图象过点A （-1，0）和C （0，2）.（1）求二次函数的表达式及对称轴；（2）将二次函数c bx -x y ++=2的图象在直线y =1上方的部分沿直线y =1翻折，图象其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G ，点M（m ，1y ）在图象G 上，且0y 1≥，求m 的取值范围。

2023年北京中考数学27题

2023年北京中考数学27题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：2023年北京中考数学27题在考试中占据了重要的地位，涉及了数学的各个方面和知识点。

学生在备考过程中需要系统地复习和掌握各种数学知识，以保证能够顺利通过这一重要考试。

一、数与式1. 下列数中，最小的数是（）A．-5 B．5 C．0 D．-12.已知a＝5，则a²-3a+2=（）A．15 B．20 C．18 D．103.ab=3，c＝0.5，则ab÷c=（）A．3 B．6 C．15 D．9四、概率10.某班的学生有30人，其中A、B两个小组各有12人，C组有6人。

从这班学生中任意抽取1人，他是A组的概率是（）A．1/5 B．1/3 C．1/6 D．1/211.一个色子被投掷1次，若出现奇数点数，事件A={1，3，5}。

则得出黄色的概率是（）A．1/2 B．1/3 C．2/3 D．1/612.有甲、乙两个盒子，甲中有4个白球，5个黑球，乙中有3个白球，1个黑球。

现抽取一个盒子，再从中抽取一个球，从甲中抽到白色球的概率是（）A．4/9 B．4/13 C．13/36 D．11/36五、综合13.某游乐场门票售价为18元/人，团体买票打9.5折。

已知某团体共花了342元买门票，这个团体是多少人？14.冷链物流公司有4个分仓，每个仓库存50把雨伞，预计每天发货980把雨伞。

若运营一周，每个仓库平均每天要发货多少把雨伞？15.一个数学班共有男女生60人，男生人数是女生人数的一半，若女生考试平均分是85分，男生考试平均分是75分，那么这个班的平均成绩是多少分？六、实践16.借助计算器，计算9.5+2.56*3.8-5.2的结果。

17.在平面直角坐标系中，画出y=2x+3和y=-(1/2)x+2的图像，求出两条直线的交点坐标。

18.某商品原价是300元，现在打折促销8折出售，求出最终的售价。

以上27道数学题目覆盖了中考数学考试的各个知识点和难度，学生在备考过程中应该对每一道题目进行认真、细致的分析和解答，从而在考试中取得优异的成绩。

北京中考数学27题函数综合解析

1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．5.已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．6.已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．7.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．8.已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根；（2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．10.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0). （1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）点在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3）设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABEABCSS=，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．（1）求点C 的坐标及b 的值；（2）求k 的取值范围；（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．12.已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.13.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．2y x bx c =++14.已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．15.已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.16.已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的17.已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.18.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x =t 和x =t +2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G .①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数的图象与x 轴的正半轴交于A )0(1，x 、B )0(2，x 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .点A 和点B 间的距离为2，若将二次函数的图象沿y 轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x 轴两交点间的距离为4. （1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；（3）设二次函数的图象的顶点为D ，在x 轴上是否存在这样的点F ，使得？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.20.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．21.如图，抛物线c bx x y ++-=2经过、两点，与轴的另一交点是．（1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值． (10)A -，(04)C ，x B D BC22.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠=，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=2x 2+bx+c 的图象经过（-1，0）和（23，0）两点. （1）求此二次函数的表达式. （2）直接写出当-23＜x ＜1时，y 的取值范围. （3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后，与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标分别是a 和b,其中a<2<b ，试求m 的取值范围. 24.已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．25.抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为(1+k ，0)．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B'C'（B 的对应点记作B'，C 的对应点记作C'），使其经过（2）中所得使得抛物线G 的顶点M ，求点B'到直线OC'的距离h 的取值范围．26.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．27.（2014年丰台二模）如图,二次函数2y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）. （1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.28.（2014年石景山二模）关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．29.(2014年顺义二模)已知关于的一元二次方程2440mx x m ++-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．30.(2014年房山二模) 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.x31.（2014年大兴二模）已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．32.（2014年平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．34在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2ky x=（20k <）交于点C . x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E .(1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）； (2)若点E 恰好在双曲线1k y x=（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.。

2014-2023北京中考真题数学汇编：二次函数的图像和性质

2014-2023北京中考真题数学汇编二次函数的图像和性质（1）求点C 的坐标；（2）求抛物线的对称轴；（3）若抛物线与线段BC 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．7．（2017北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2-4x+3与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）求直线BC 的表达式；（2）垂直于y 轴的直线l 与抛物线交于点()()1122P ,,,x y Q x y ，与直线BC 交于点()33N ,x y ，若x 1<x 2<x 3，结合函数的图象，求x 1+x 2+x 3的取值范围.8．（2016北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=mx 2－2mx ＋m －1（m ＞0）与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．①当m=1时，求线段AB 上整点的个数；②若抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域内（包括边界）恰有6个整点，结合函数的图象，求m 的取值范围．9．（2015北京中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，过点（0，2）且平行于x 轴的直线，与直线y ＝x －1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B ．（1）求点A，B的坐标；（2）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；（3）若拋物线C2：y＝ax2（a≠0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.（3）过点(0，m)（0m >）作平行于x 21||(1)(2)6y x x x x =-+≥-的图象有两个交点，则抛物线的表达式为对称轴的取值范围是∵经过点代入得：∴抛物线的表达式为对称轴二次函数的最小值为的解析式为时，的取值范围是251034a a a --=，解得13a =．②当抛物线过点B 时．34a -=，解得43a =-．③当抛物线顶点在BC 上时．此时顶点为（1，4）∴234a a a --=，解得1a =-．∴综上所述43a <-或13a ≥或1a =-点睛：属于二次函数的综合题，考查了一次函数与坐标轴的交点，点的平移，抛物线对称轴，抛物线与线段交点问题，注意分类讨论思想在解题中的应用7．（1）y=-x+3;(2)7<x 1+x 2+x 3<8.【详解】试题分析：（1）先求A 、B【点睛】本题考查二次函数与形正确地求解是关键.8．（1）顶点坐标（1，－【详解】试题分析：（1）将抛物线表达式变为顶点式，即可得到顶点坐标；（2）①m=1时，抛物线表达式为②抛物线顶点为（1，-1）0，所以即要求AB线段上（含到A、B两点坐标分别为（得到123m≤<，即可得到结论．试题解析：（1）将抛物线表达式变为顶点式（2）①m=1时，抛物线表达式为的整点有（0，0），（1，0②抛物线顶点为（1，-1）。

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1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点B 在点C 左侧）.（1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标；（2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式；（3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围．2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2224y x ax =-+（其中a ＞2）．（1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题： ①若25=a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围．3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点.(1)求抛物线的解析式;(2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过，两点.（1）求抛物线及直线AB 的解析式；（2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围．5.已知关于x 的方程()231220mx m x m --+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根；（2）若关于x 的二次函数()23122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线2C 的解析式；（3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值．6.已知：关于x 的一元二次方程22(1)20(0)ax a x a a --+-=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中1x ＞2x ）．若y 是关于a 的函数，且21y ax x =+，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使231y a ≤-+，则自变量a 的取值范围为．7.已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）．（1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．8.已知关于x 的方程()2230x m x m +-+-=．（1）求证：方程()2230x m x m +-+-=总有两个实数根；（2）求证：抛物线()223y x m x m =+-+-总过x 轴上的一个定点；（3）在平面直角坐标系xOy 中，若（2）中的“定点”记作A ，抛物线()223y x m x m =+-+-与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C ，且△OBC 的面积小于或等于8，求m 的取值范围．9.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点A （4，0）和B （0，2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C ，点B 关于抛物线对称轴对称的点为D ，求直线CD 的表达式；（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A ，B 之间的部分（含点A ，B ）为图象G ，如果图象G 向上平移m （m ＞0）个单位后与直线CD 只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．10.已知关于x 的一元二次方程()23130kx k x +++= (k ≠0).（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）点在抛物线()2313y kx k x =+++上，其中12x x ＜0＜，且和k 均为整数，求A ，B 两点的坐标及k 的值；（3）设（2）中所求抛物线与y 轴交于点C ，问该抛物线上是否存在点E ，使得ABE ABC S S = ，若存在，求出E 点坐标，若不存在，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系中，点 A (5,0)，B (3,2)，点C 在线段OA 上，BC =BA ，点Q 是线段BC 上一个动点，点P 的坐标是(0,3)，直线PQ 的解析式为y=kx+b (k ≠0)，且与x 轴交于点D ．（1）求点C 的坐标及b 的值；（2）求k 的取值范围；（3）当k 为取值范围内的最大整数时，过点B 作BE ∥x 轴，交PQ 于点E ，若抛物线y=ax 2﹣5ax (a ≠0)的顶点在四边形ABED 的内部，求a 的取值范围．12.已知关于x 的方程03)13(2=+++x k kx ．（1）求证：无论k 取任何实数时，方程总有实数根;（2）若二次函数3)13(2+++=x k kx y 的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为正整数，求k 值;（3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M ，直线y=－2x ＋9与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上．若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围.13.二次函数的图象如图所示，其顶点坐标为M (1,-4)．（1）求二次函数的解析式；（2）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线y x n =+与这个新图象有两个公共点时，求n 的取值范围．2y x bx c =++14.已知关于x 的一元二次方程21(2)2602x m x m +-+-=．（1）求证：无论m 取任何实数，方程都有两个实数根；（2）当<3m 时，关于x 的二次函数21(2)262y x m x m =+-+-的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且2AB =3OC ，求m 的值；（3）在（2）的条件下，过点C 作直线l ∥x 轴，将二次函数图象在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，二次函数图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线13y x b =+与图象G 只有一个公共点时，b 的取值范围．15.已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的二次函数2(32)22y mx m x m =-+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为正整数，且m 为整数，求抛物线的解析式.16.已知二次函数()2214y x k x k =-++的图象与x 轴分别交于点()1,0A x 、()2,0B x ，且32-<1x <12-．（1）求k 的取值范围；（2）设二次函数()2214y x k x k =-++的图象与y 轴交于点M ，若OM OB =，求二次函数的表达式；（3）在(2)的条件下，若点N 是x 轴上的一点，以N 、A 、M 为顶点作平行四边形，该平行四边形的第四个顶点F 在二次函数()2214y x k x k =-++的图象上，请直接写出满足上述条件的平行四边形的17.已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点；（2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，OP =103，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.18.已知，抛物线2y x bx c =-++，当1＜x ＜5时，y 值为正；当x ＜1或x ＞5时，y 值为负. （1）求抛物线的解析式.（2）若直线y kx b =+（k ≠0）与抛物线交于点A （32，m ）和B （4，n ），求直线的解析式. （3）设平行于y 轴的直线x =t 和x =t +2分别交线段AB 于E 、F ，交二次函数于H 、G .①求t 的取值范围②是否存在适当的t 值，使得EFGH 是平行四边形？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.19.在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数的图象与x 轴的正半轴交于A )0(1，x 、B )0(2，x 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .点A 和点B 间的距离为2，若将二次函数的图象沿y 轴向上平移3个单位时，则它恰好过原点，且与x 轴两交点间的距离为4. （1）求二次函数的表达式；（2）在二次函数的图象的对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出点P 坐标；若不存在，请说明理由；（3）设二次函数的图象的顶点为D ，在x 轴上是否存在这样的点F ，使得？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.20.已知：关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +1）x +3m +3=0 （m ＞1）．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x 1，x 2（其中x 1＞x 2），若y 是关于m 的函数，且y =x 1﹣3x 2，求这个函数的解析式；（3）将（2）中所得的函数的图象在直线m =2的左侧部分沿直线m =2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m 的函数y =2m +b 的图象与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．21.如图，抛物线c bx x y ++-=2经过、两点，与轴的另一交点是．（1）求抛物线的解析式；（2）若点()1,+a a D 在第一象限的抛物线上，求点关于直线的对称点'D 的坐标；（3）在（2）的条件下，过点D 作BC DE ⊥于点E,反比例函数)0(≠=k xky 的图象经过点E ，点()3,-n m F 在此反比例函数图象上，求mn 154-的值． (10)A -，(04)C ，x B D BC22.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2()y mx m n x n =-++（0m <）的图象与y 轴正半轴交于A 点．（1）求证：该二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x 轴的两个交点中右侧的交点为点B ，若45ABO ∠= ，将直线AB 向下平移2个单位得到直线l ，求直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，设M (,)p q 为二次函数图象上的一个动点，当30p -<<时，点M 关于x 轴的对称点都在直线l 的下方，求m 的取值范围．23.在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y=2x 2+bx+c 的图象经过（-1，0）和（23，0）两点. （1）求此二次函数的表达式. （2）直接写出当-23＜x ＜1时，y 的取值范围. （3）将一次函数 y=(1-m)x+2的图象向下平移m 个单位后，与二次函数y=2x 2+bx+c 图象交点的横坐标分别是a 和b,其中a<2<b ，试求m 的取值范围. 24.已知关于x 的方程01)1(22=-+-+m x m mx 有两个实数根，且m 为非负整数.（1）求m 的值；（2）将抛物线1C ：1)1(22-+-+=m x m mx y 向右平移a 个单位，再向上平移b 个单位得到抛物线2C ，若抛物线2C 过点），（b A 2和点），（12 4+b B ，求抛物线2C 的表达式；（3）将抛物线2C 绕点(n n ,1+)旋转︒180得到抛物线3C ，若抛物线3C 与直线121+=x y 有两个交点且交点在其对称轴两侧，求n 的取值范围．25.抛物线23y x kx =--与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其中点B 坐标为(1+k ，0)．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M 落在线段BC 上，记该抛物线为G ，求抛物线G对应的函数表达式；（3）将线段BC 平移得到线段B'C'（B 的对应点记作B'，C 的对应点记作C'），使其经过（2）中所得使得抛物线G 的顶点M ，求点B'到直线OC'的距离h 的取值范围．26.已知抛物线2221y x mx m =-+-+与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ．（1）试用含m 的代数式表示A 、B 两点的坐标；（2）当点B 在原点的右侧，点C 在原点的下方时，若BOC △是等腰三角形，求抛物线的解析式；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上一个动点，在（2）的条件下，过点P 作垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交抛物线2221y x mx m =-+-+于点N ，若只有当14n <<时，点M 位于点N 的下方，求这个一次函数的解析式．27.（2014年丰台二模）如图,二次函数2y x bx c =++经过点（-1,0）和点（0，-3）. （1）求二次函数的表达式；（2）如果一次函数4y x m =+的图象与二次函数的图象有且只有一个公共点，求m 的值和该公共点的坐标；（3）将二次函数图象y 轴左侧部分沿y 轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为G ，如果直线4y x n =+与图象G 有3个公共点，求n 的值.28.（2014年石景山二模）关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．29.(2014年顺义二模)已知关于的一元二次方程2440mx x m ++-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线244y mx x m =++-与x 轴交点为A 、B （点B 在点A 的右侧），与y轴交于点C ．点O 为坐标原点，点P 在直线BC 上，且OP =12BC ，求点P 的坐标．30.(2014年房山二模) 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.x31.（2014年大兴二模）已知：关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k . （1）当方程有两个相等的实数根时，求k 的值；（2）若k 是整数，且关于x 的一元二次方程02)13()1(22=+---x k x k 有两个不相等的整数根时，把抛物线2)13()1(22+---=x k x k y 向右平移21个单位长度，求平移后抛物线的顶点坐标．32.（2014年平谷二模）已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和2(568)k k k -+-+，两点．①求这个二次函数的解析式；②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围．34在平面直角坐标系xOy 中，A 为第一象限内的双曲线1k y x =（10k >）上一点，点A 的横坐标为1，过点A 作平行于 y 轴的直线，与x 轴交于点B ，与双曲线2ky x=（20k <）交于点C .x 轴上一点(,0)D m 位于直线AC 右侧，AD 的中点为E .(1)当m=4时，求△ACD 的面积（用含1k ，2k 的代数式表示）； (2)若点E 恰好在双曲线1k y x=（10k >）上，求m 的值； (3)设线段EB 的延长线与y 轴的负半轴交于点F ，当点D 的坐标为(2,0)D 时，若△BDF 的面积为1，且CF ∥AD ，求1k 的值，并直接写出线段CF 的长.。