立体几何题型总结

立体几何类型题
如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，
又
//AD BC ，AD DC ⊥， 且33PD BC AD ===. （Ⅰ）画出四棱准P ABCD -的正视图； （Ⅱ）求证：平面PAD ⊥平面PCD ；
并求
PE EB
（Ⅲ）求证：棱PB 上存在一点E ，使得//AE 平面PCD ，的值.
（Ⅰ）解：四棱准P ABCD -的正视图如图所示.
………………3分
（Ⅱ）证明：因为 PD ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，
所以 PD AD ⊥. ………………5分 因为 AD DC ⊥，PD CD D =I ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以AD ⊥平面PCD . ………………7分 因为 AD ⊂平面PAD ，
所以 平面PAD ⊥平面PCD . ………………8分
（Ⅲ）分别延长,CD BA 交于点O ，连接PO ，在棱PB 上取一点E ，使得1
2
PE EB =.下证//AE 平面
PCD .
………………10分
因为 //AD BC ，3BC AD =，
所以 13OA AD OB BC ==，即12OA AB =.
所以 OA PE AB EB
=
. 所以 //AE OP . ………………12分 因为OP ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，
所以 //AE 平面PCD . ………………14分
2如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，AD BC //，AB AD ⊥，
AD BC AB 2
1
==，PA ⊥底面ABCD ，过BC 的平面交PD 于M ，交PA 于
N （M 与D 不重合）
． （Ⅰ）求证：BC MN //； （Ⅱ）求证：CD PC ⊥
；
（Ⅲ）如果BM AC ⊥，求此时PM
PD
的值．
证明：（Ⅰ）因为梯形ABCD ，且AD BC //，
又因为⊄BC 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ，
所以//BC 平面PAD ． 因为平面I BCNM 平面PAD =MN ， 所以BC MN //． ……………………4分 （Ⅱ）取AD 的中点Q ，连结CQ ．
因为AD BC //，AD BC 2
1
=
， 所以AQ BC //，且AQ BC =． 因为AB BC =，且AB AD ⊥， 所以ABCQ 是正方形． 所以BQ AC ⊥.
又因为BCDQ 为平行四边形，所以且//CD BQ 所以⊥CD AC ． 又因为PA ⊥底面ABCD ，
所以PA ⊥CD ． 因为A AC PA =I ，
所以⊥CD 平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC ，
所以⊥CD PC ． （Ⅲ）过M 作//MK PA 交AD 于K ，连结BK ．
因为PA ⊥底面ABCD ，
O
E
D C
B
A
P
C
N
M
P
D
B
A
K
A B
D
P
M
C
Q
A
B
D
P
M
C
A
B
C
C 1
A 1
B 1
M
所以MK ⊥底面ABCD ． 所以MK AC ⊥．
又因为BM AC ⊥，BM MK M =I ， 所以⊥AC 平面BMK ， 所以AC BK ⊥．
由（Ⅱ）知AC CD ⊥，
所以在平面ABCD 中可得BCDK 是平行四边形． 所以BC DK AK ==， 因为K 是AD 中点，
所以M 为PD 中点．
所以1
2PM PD
=
． 3如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，平面SAD ⊥平面ABCD ，SA=SD ，
E ，P ，Q 分别是棱AD ，SC ，AB 的中点． （Ⅰ）求证：PQ ∥平面SAD ； （Ⅱ）求证：AC ⊥平面SEQ ； （Ⅲ）如果SA=AB=2，求三棱锥S -ABC 的体积．
（Ⅰ）证明：取SD 中点F ，连结AF ，PF ．
因为 P ，F 分别是棱SC ，SD 的中点， 所以 FP ∥CD ，且FP =CD ．
又因为菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，
所以 AQ ∥CD ，且AQ =CD ．
所以 FP //AQ 且FP =AQ ． 所以 AQPF 为平行四边形． 所以 PQ //AF ．
又因为 平面，
平面，
所以 PQ //平面SAD ． …………………5分
（Ⅱ）证明：连结BD ，
因为 △SAD 中SA=SD ，点E 棱AD 的中点，
所以 SE ⊥AD ． 又 平面SAD ⊥平面ABCD ，
平面SAD 平面ABCD=AD ，
SE 平面，
所以 SE ⊥平面ABCD ， 所以SE ⊥AC ．
因为 底面ABCD 为菱形，
E ，Q 分别是棱AD ，AB 的中点， 所以 BD ⊥AC ，EQ ∥BD ．
所以 EQ ⊥AC ， 因为 SE EQ=E ，
所以 AC ⊥平面SEQ ． …………………11分
（Ⅲ）解：因为菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AB=2，
所以=
． 因为SA=AD=SD=
2，E 是AD 的中点，所以SE ． 由（Ⅱ）可知SE ⊥平面ABC ，
所以三棱锥S -ABC 的体积 =． …………………14分
4．如图，在三棱柱11
1C B A ABC -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 中点. AB BC =，
2AC =，1AA ．
（Ⅰ）求证：1B C //平面1A BM ；
（Ⅱ）求证：1AC ⊥平面1A BM ；
（Ⅲ）在棱1BB 的上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面C C AA 11？如果存在，求此时
1
BN
BB 的值；如果不存在，说明理由．
（Ⅰ）连结1AB 交1A B 于O ，连结OM ．
在1B AC ∆中，因为M ，O 分别为AC ， 1AB 中点， 所以OM //1B C ．
又因为OM ⊂平面1A BM ，1B C ⊄平面1A BM ， 所以1B C //平面1A BM ． ……………………4分
1
21
2
PQ ⊄SAD AF ⊂SAD I ⊂SAD I ABC S ∆1
sin 2
AB BC ABC ⋅⋅∠V 113
ABC S SE ∆⋅=O
M
B 1
A 1
C 1
C
B
A
（Ⅱ）因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，BM
⊂平面ABC ，
所以1AA BM ⊥．
又因为M 为棱AC 中点，AB BC =， 所以BM AC ⊥． 因为1AA AC A =I ，所以BM
⊥平面11ACC A ．
所以1BM AC ⊥．
因为M 为棱AC 中点，2AC =，所以1AM =．
又因为1AA =1Rt ACC ∆和1Rt A AM ∆
中，11
tan tan AC C AMA ∠=∠=． 所以11AC C A MA ∠=∠，即111190AC C C AC A MA C AC ∠+∠=∠+∠=o
．
所以11A M AC ⊥． 因为1BM A M M =I ，
所以1AC ⊥平面1A BM ． ……………………10分 （Ⅲ）当点N 为1BB 中点时，即
11
2
BN BB =，平面1AC N ⊥平面11AAC C ． 设1AC 中点为D ，连结DM ，DN ． 因为D ，M 分别为1AC ，AC 中点，
所以DM //1CC ，且11
2
DM CC =．
又因为N 为1BB 中点，
所以DM //BN ，且DM BN =． 所以BM //DN ， 因为BM
⊥平面11ACC A ，
所以DN ⊥平面11ACC A ．
又因为DN ⊂平面1AC N ，所以平面1AC N ⊥平面11ACC A ． ……………………14分
M
B 1
A 1
C 1
C
B
A
D
N。