第二十六章 二次函数

二次函数同步训练
1．1 二次函数
一、知识点：
一般地，形如____________________ ________的函数，叫做二次函数。

其中x 是________，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 二、基本知识练习
1．观察：①y ＝6x 2；②y ＝－3
2 x 2＋30x ；③y ＝200x 2＋400x ＋200．这三个式子中，虽然函数有一
项的，两项的或三项的，但自变量的最高次项的次数都是______次．一般地，如果y ＝ax 2＋bx ＋c （a 、b 、c 是常数，a ≠0），那么y 叫做x 的_____________．
2．函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． （1）当m__________时，该函数为二次函数； （2）当m__________时，该函数为一次函数．
3．下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数． （1）y ＝1－3x 2
（2）y ＝x (x －5)＋2
（3）y ＝3x 3＋2x 2 （4）y ＝x ＋1
x
三、综合训练 1．y ＝(m ＋1)x
m
m 2－3x ＋1是二次函数，则m 的值为_________________．
2．下列函数中是二次函数的是（ ） A ．y ＝x ＋1
2
B ． y ＝3 (x －1)2
C ．y ＝(x ＋1)2－x 2
D ．y ＝1
x
2 －x
3．若函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋a 2－1是二次函数，则（ ） A ．a ＝1
B ．a ＝±1
C ．a ≠1
D ．a ≠－1
4．在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米
B ．48米
C ．68米
D ．88米
5．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．
6．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．
求：（1）函数y与x的函数关系式；（2）当x＝4时，y的值；（3）当y＝－1
3时，x的值．
7．已知二次函数y＝－x2＋bx＋3．当x＝2时，y＝3，求这个二次函数解析式．
8．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
1．2 二次函数y ＝ax 2的图象与性质
一、知识点：
画二次函数y ＝x 2，y ＝1
2
x 2，y ＝2x 2的图象．列表，描点，并连线：
画出函数y ＝－x 2，y ＝－1
2
x 2， y ＝－2x 2的图象．列表，描点，并连线：
由图象可得二次函数y＝ax2的性质：
1．二次函数y＝ax2是一条曲线，把这条曲线叫做______________．
2．自变量x的取值范围是____________．
3．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．
4．抛物线y＝ax2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝ax2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．
5．抛物线y＝ax2有____________点（填“最高”或“最低”）
6．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越_______；当a＜0时，｜a｜越大，抛物线的开口越______；因此，｜a｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a｜越小，抛物线的开口越________．7．当a＞0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而___ ___，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．
8．当a＜0时，在抛物线y＝ax2的对称轴的左侧，y随x的增大而__ ____，而在对称轴的右侧，y随x的增大而______；函数y当x＝______时的值最______．
二、综合训练 1．填表：
2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________．
3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．二次函数y ＝mx
2
2-m 有最低点，则m ＝___________．
5．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．二次函数y ＝ax 2
的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内．
(1)y ＝2x 2
如图( )； (2)2
2
1x y =
如图( )； (3)y ＝－x 2
如图( )； (4)231x y -=如图( )；
(5)2
9
1x y =
如图( )； (6)291x y -=如图( )．
7．在下列函数中①y ＝－2x 2
；②y ＝－2x ＋1；③y ＝x ；④y ＝x 2
，回答： (1)______的图象是直线，______的图象是抛物线．
(2)函数______y 随着x 的增大而增大．函数______y 随着x 的增大而减小． (3)函数______的图象关于y 轴对称．函数______的图象关于原点对称． (4)函数______有最大值为______．函数______有最小值为______． 8．已知函数y ＝(m 2
－3m )1
22--m m x
的图象是抛物线，则函数的解析式为____ __，抛物线的
顶点坐标为___ ___，对称轴方程为___ ___，开口______． 9．已知函数y ＝m 2
22+-m m x
＋(m －2)x ．
(1)若它是二次函数，则m ＝______，函数的解析式是___ ___ ______，其图象是一条______，位于第______象限．
(2)若它是一次函数，则m ＝______，函数的解析式是_____ ___ ____，其图象是一条______，
位于第______象限． 10．已知函数y ＝m m
m
x 2
，则当m ＝______时它的图象是抛物线；当m ＝______时，抛物线的开口向
上；当m ＝______时抛物线的开口向下．
11．抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝2x －3交于点A (1，b )．
(1)求a ，b 的值； (2)求抛物线y ＝ax 2
与直线y ＝－2的两个交点B ，C 的坐标(B 点在C 点右侧)； (3)求△OBC 的面积．
12．已知抛物线y ＝ax 2
经过点A (2，1)．
(1)求这个函数的解析式；(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标；(3)求△OAB 的面积；(4)抛物线上是否存在点C ，使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半，若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．
1．3 二次函数y＝ax2＋k的图象与性质一、知识点
在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝x2＋1，y＝x2－1的图象．
解：先列表、描点并画图
观察图象归纳得：
1．可以发现，把抛物线y ＝x 2向______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2＋1；把抛物线y ＝x 2向_______平移______个单位，就得到抛物线y ＝x 2－1．
因此，把抛物线y ＝ax 2向上平移k （k ＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y ＝ax 2向下平移m （m ＞0）个单位，就得到抛物线_______________． 2．抛物线y ＝x 2，y ＝x 2－1与y ＝x 2＋1的形状_____________． 由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________． 二、巩固训练 1．填表
2．抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y ＝2x 2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
3．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________． 4．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．
5．抛物线y ＝4x 2＋1关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________．
6．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－1
3 x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．
7．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．
8．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________．
1．4 二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质一、知识点
画出二次函数y＝－1
2(x＋1)
2，y＝－1
2(x－1)
2的图象，并考虑它们的开口方向、对称轴、顶点以及
最值、增减性．
列表、描点并画图：
观察图象归纳得：
①抛物线y＝－1
2(x＋1)
2，y＝－1
2x
2，y＝－1
2(x－1)
2的形状大小____________．
②把抛物线y＝－1
2x
2向左平移_______个单位，就得到抛物线y＝－1
2(x＋1)
2；把抛物线y＝－1
2x
2
向右平移_______个单位，就得到抛物线y＝－1
2(x＋1)
2．
③对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是_________不同．
二、整理知识点
三、课堂训练 1．填表
3．抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是___________，与x 轴的交点坐标为________．
4．把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．把抛物线y ＝3x 2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为____________________．
5．将抛物线y ＝－1
3 (x －1)x 2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．
6．若将抛物线y ＝2x 2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为_______________．
1．5 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质
一、知识点
画出函数y ＝－1
2 (x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．
列表、描点并画图：
由图象归纳：
把抛物线y ＝－1
2 x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线
y ＝－1
2 (x ＋1)2－1．
二、整理知识点
抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________． 三、课堂训练 1．填表．
2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同． 3．顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线y ＝1
2 x 2相同的解析式为（ ）
A ．y ＝1
2 (x －2)2＋3
B ．y ＝1
2 (x ＋2)2－3
C ．y ＝1
2
(x ＋2)2＋3
D ．y ＝－1
2
(x ＋2)2＋3
4．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．
5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________；将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为________________________．
6．若抛物线y ＝a (x －1)2＋k 上有一点A （3，5），则点A 关于对称轴对称点A ’的坐标为________． 7．抛物线y ＝－3 (x ＋4)2＋1中，当x ＝_______时，y 有最________值是________． 8．要得到y ＝－2(x ＋2)2
－3的图象，需将抛物线y ＝－2x 2
作如下平移( )
A ．向右平移2个单位，再向上平移3个单位
B ．向右平移2个单位，再向下平移3个单位
C ．向左平移2个单位，再向上平移3个单位
D ．向左平移2个单位，再向下平移3个单位 9．将下列函数配成y ＝a (x －h )2
＋k 的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值． (1)y ＝x 2
＋6x ＋10 (2)y ＝－2x 2－5x ＋7 (3)y ＝3x 2
＋2x
(4)y ＝－3x 2
＋6x －2 (5)y ＝100－5x 2
(6)y ＝(x －2)(2x ＋1)
10．把二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数
1)1(2
1
2-+=x y 的图象．
(1)试确定a ，h ，k 的值； (2)指出二次函数y ＝a (x －h )2
＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．
1．6 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质一、知识点
求二次函数y＝1
2x
2－6x＋21的顶点坐标与对称轴并画出图象。

解：将函数等号右边配方：y＝1
2x
2－6x＋21＝
列表：
用配方法求抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点与对称轴．二、整理知识点：
把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)配方成y＝a(x－h)2＋k形式为___ ___，顶点坐标是______，对称轴是直线______．当x＝______时，y最值＝______；当a＜0时，x______时，y随x增大而减小；x______时，y随x增大而增大．
三、综合练习
1．二次函数y＝2x2＋bx＋c的顶点坐标是（1，－2），则b＝________，c＝_________．
2．抛物线y＝3－2x－x2的顶点坐标是_ _____，它与x轴的交点坐标是______，与y轴的交点坐标是______．
3．二次函数y＝x2＋3x－4的顶点坐标为______________，对称轴为______________．
4．抛物线y＝2x2－3x－5的顶点坐标为______．当x＝______时，y有最______值是______，与x轴的交点是______，与y轴的交点是______，当x______时，y随x增大而减小，当x______时，y随x增大而增大．
5．抛物线y＝2x2先向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2，再向______平移______个单位就得到抛物线y＝2(x－3)2＋4．
6．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(1)若抛物线的顶点是原点，则____________； (2)若抛物线经过原点，则____________；
(3)若抛物线的顶点在y轴上，则____________； (4)若抛物线的顶点在x轴上，则____________．7．抛物线y＝ax2＋bx必过______点．
8．若二次函数y＝mx2－3x＋2m－m2的图象经过原点，则m＝______，这个函数的解析式是______．9．若抛物线y＝x2－4x＋c的顶点在x轴上，则c的值是______．
10．若二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝______．
11．函数y＝x2＋mx－2(m＜0)的图象是( )
12．在同一坐标系内，函数y＝kx2和y＝kx－2(k≠0)的图象大致如图( )
13．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下左图所示，那么( )
A ．a ＜0，b ＞0，c ＞0
B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0
C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0
D ．a ＜0，b ＜0，c ＜0
14．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如上中图所示，则( )
A ．a ＞0，c ＞0，b 2
－4ac ＜0 B ．a ＞0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0 C ．a ＜0，c ＞0，b 2
－4ac ＜0 D ．a ＜0，c ＜0，b 2
－4ac ＞0
15．二次函数y ＝mx 2
＋2mx －(3－m )的图象如上右图所示，那么m 的取值范围是( )
A ．m ＞0
B ．m ＞3
C ．m ＜0
D ．0＜m ＜3
16．函数x
ab
y b ax y =
+=22
1,(ab ＜0)的图象在下列四个示意图中，可能正确的是( )
17．用顶点坐标公式和配方法求二次函数y ＝1
2 x 2－2－1的顶点坐标．
18．已知抛物线y＝x2－3kx＋2k＋4．
(1)k为何值时，抛物线关于y轴对称； (2)k为何值时，抛物线经过原点．
19．已知函数y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)和y2＝mx＋n的图象交于(－2，－5)点和(1，4)点，并且y1＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于点(0，3)．
(1)求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；
(2)x为何值时，①y1＞y2；②y1＝y2；③y1＜y2．
1．7 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 解析式求法
一、知识点
用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：
1．一般式：已知抛物线过三点，设一般式为y ＝ax 2＋bx ＋c ． 2．顶点式：已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y ＝a(x －h)2＋k ．
3．双根式：已知抛物线与x 轴有两个交点（或已知抛物线与x 轴交点的横坐标），(b 2
－4ac ≥0)
设两根式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2) ．（其中x 1、x 2是抛物线与x 轴交点的横坐标）
二、基本练习
1．已知二次函数y ＝x 2＋x ＋m 的图象过点（1，2），则m 的值为________________．
2．已知点A （2，5），B （4，5）是抛物线y ＝4x 2＋bx ＋c 上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________．
3．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y ＝－1
2 x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线的解析式为
_____________________．
4．已知抛物线的对称轴为直线x ＝2，与x 轴的一个交点为),0,2
3
(
则它与x 轴的另一个交点为____． 5．已知抛物线经过点A （－1，0），B （4，5），C （0，－3），求抛物线的解析式．
6．已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
7．已知抛物线与x 轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．
8．二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，求： (1)对称轴方程____________； (2)函数解析式____________； (3)由图象回答：
当y ＞0时，x 的取值范围______；当y ＝0时，x ＝______；当y ＜0时，x 的取值范围______． 9．如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 与x 轴的交点为A ，B (B 在A 左侧)，
与y 轴的交点为C ，OA ＝OC ．下列关系式中，正确的是( )
A ．ac ＋1＝b
B ．ab ＋1＝c
C ．bc ＋1＝a
D ．
c b
a
=+1 10．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 过(0，4)，(1，3)，(－1，4)三点，求抛物线的解析式．
11．抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c 的顶点为(2，4)，且过(1，2)点，求抛物线的解析式．
12．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过(－3，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．
13．抛物线过(－1，－1)点，它的对称轴是直线x＋2＝0，且在x轴上截得线段的长度为,2
2求抛物线的解析式．
14．把抛物线y＝(x－1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3，0)，求平移后的抛物线的解析式．
15．二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值等于－3a，且它的图象经过(－1，－2)，(1，6)两点，求二次函数的解析式．
16．已知函数y1＝ax2＋bx＋c，它的顶点坐标为(－3，－2)，y1与y2＝2x＋m交于点(1，6)，求y1，y2的函数解析式．
2．1 用函数观点看一元二次方程
一、知识点
1．一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的值为m的自变量x的值．
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式△＝b2－4ac．
（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有两个交点；
（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个交点；
（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴没有公共点．
二、基本练习
1．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数__________________的函数值为3的自变量x 的值．
2．二次函数y＝x2－3x＋2，当x＝1时，y＝________；当y＝0时，x＝_______．
3．二次函数y＝x2－4x＋6，当x＝________时，y＝3．
4．如下左图，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为________________
5．如上右图一元二次方程ax2＋bx＋c＝3的解为____________
6．如图填空：
（1）a________0 （2）b________0 （3）c________0 （4）b2－4ac________0 7．根据左下图的图象填空：
（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac_____0；（5）a＋b＋c_____0；（6）a－b＋c_____0；（7）2a＋b_____0；
（8）方程ax2＋bx＋c＝0的根为__________；（9）当y＞0时，x的范围为___________；
8．如上右图，利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式
（1）方程ax2＋bx＋c＝0的根为___________；（2）方程ax2＋bx＋c＝－3的根为__________；（3）方程ax2＋bx＋c＝－4的根为__________；（4）不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为________；（5）不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为_______；（6）不等式－4＜ax2＋bx＋c＜0的解集为______．9．已知抛物线y＝x2－2kx＋9的顶点在x轴上，则k＝____________．
10．已知抛物线y＝kx2＋2x－1与坐标轴有三个交点，则k的取值范围___________．
11．若二次函数y＝x2－3x＋m的图象与x轴只有一个交点，则m＝______．
12．若二次函数y＝mx2－(2m＋2)x－1＋m的图象与x轴有两个交点，则m的取值范围是______．13．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过P(1，0)点，则a＋b＋c＝______．
14．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的系数a，b，c满足a－b＋c＝0，则这条抛物线必经过点______．15．关于x的方程x2－x－n＝0没有实数根，则抛物线y＝x2－x－n的顶点在第______象限．
16．一次函数y＝2x＋1与二次函数y＝x2－4x＋3的图象交点( )
A．只有一个B．恰好有两个
C．可以有一个，也可以有两个D．无交点
17．已知直线y＝5x＋k与抛物线y＝x2＋3x＋5交点的横坐标为1，则k＝_____，交点坐标为_____．18．直线y＝4x＋1与抛物线y＝x2＋2x＋k有唯一交点，则k是( )
A．0 B．1 C．2 D．－1
19．y＝x2＋kx＋1与y＝x2－x－k的图象相交，若有一个交点在x轴上，则k值为( )
1
A．0 B．－1 C．2 D．
4
20．对称轴平行于y轴的抛物线过A(2，8)，B(0，－4)，且在x轴上截得的线段长为3，求此函数的解析式．
21．m 为何值时，抛物线y ＝(m －1)x 2
＋2mx ＋m －1与x 轴没有交点?
22．当m 取何值时，抛物线y ＝x 2
与直线y ＝x ＋m ，(1)有公共点；(2)没有公共点．
23．已知抛物线y ＝－x 2
－(m －4)x ＋3(m －1)与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点． (1)求m 的取值范围．
(2)若m ＜0，直线y ＝kx －1经过点A 并与y 轴交于点D ，且25=⋅BD AD ，求抛物线的解析式．
3．1 实际问题与二次函数（1）
一、知识点
几何问题中应用二次函数的最值． 二、基本练习
1．抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 2．抛物线y ＝1
2 x 2－x ＋1中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________．
3．抛物线y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）中，当x ＝___________时，y 有_______值是__________． 4．用总长为60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积S 随矩形一边长l 的变化而变化，当l 是多少时，场地的面积S 最大？
5．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
6．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式是h ＝30t －5t 2．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
7．如图，四边形的两条对角线AC 、BD 互相垂直，AC ＋BD ＝10，当AC 、BD 的长是多少时，四边形ABCD 的面积最大？
D
C
B
A
8．一块三角形废料如图所示，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝12．用这块废料剪出一个长方形CDEF ，其中，点D 、E 、F 分别在AC 、AB 、BC 上．要使剪出的长方形CDEF 面积最大，点E 应造在何处？
F E
D
C
B
A
9．如图，点E 、F 、G 、H 分别位于正方形ABCD 的四条边上，四边形EFGH 也是正方形．当点E 位于何处时，正方形EFGH 的面积最小？
H
G
F
E D C
B
A
3．2 实际问题与二次函数（2）
一、知识点
商品价格调整问题
二、基本练习：
1．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，应如何定价才能使利润最大？
2．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
3．蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x（月份）与市场售价P（元/千克）的关系如下表：
这种蔬菜每千克的种植成本y（元/千克）与上市时间x（月份）满足一个函数关系，这个函数的图
象是抛物线的一段（如图）．
（1）写出上表中表示的市场售价P（元/千克）关于上市时间x（月份）的函数关系式；
（2）若图中抛物线过A、B、C三点，写出抛物线对应的函数关系式；
（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？（收益＝市场售价－种植成本）
4．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空间．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定介增加x元，求：
（1）房间每天入住量y（间）关于x（元）的函数关系式；
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式；
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式，当每个房间的定价为多少元时，w 有最大值？最大值是多少？
3．3 实际问题与二次函数（3）一、知识点
桥洞水面宽度问题
二、基本练习
1．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y＝－1
4x
2，当拱桥下水位线在AB位置时，水面宽为12m，
这时水面离桥拱顶端的高度h是（）
A．3m B．2 6 m C．4 3 m D．9m
2．有一抛物线拱桥，已知水位线在AB位置时，水面的宽为4 6 米，水位上升4米，就达到警戒线CD，这时水面宽为4 3 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5米的速度上升，则水过警戒线后几小时淹没到拱桥顶端M处？
3．一座拱桥的轮廓是抛物线（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），其关系式y＝ax2＋c的形式，请根据所给的数据求出a、c的值；
（2）求支柱MN的长度；
（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．
图①
3．4 二次函数综合应用
1．若函数y ＝x 2
－mx ＋m －2的图象经过(3，6)点，则m ＝______． 2．函数y ＝2x －x 2的图象开口向______，对称轴方程是______． 3．抛物线y ＝x 2
－4x －5的顶点坐标是______．
4．函数y ＝2x 2－8x ＋1，当x ＝______时，y 的最______值等于______．
5．抛物线y ＝－x 2＋3x －2在y 轴上的截距是______，与x 轴的交点坐标是_____． 6．把y ＝2x 2
－6x ＋4配方成y ＝a (x －h )2
＋k 的形式是_______________． 7．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示．
(1)对称轴方程为____________； (2)函数解析式为____________； (3)当x ______时，y 随x 的增大而减小； (4)当y ＞0时，x 的取值范围是______． 8．已知二次函数y ＝x 2－(m －4)x ＋2m －3．
(1)当m ＝______时，图象顶点在x 轴上； (2)当m ＝______时，图象顶点在y 轴上； (3)当m ＝______时，图象过原点．
9．二次函数y ＝kx 2＋2x ＋1（k ＜0）的图象可能是（ ）
10．若A （－134 ，y 1），B （－1，y 2），C （5
3 ，y 3）为二次函数y ＝－x 2－4x ＋5图象上的三点，则y 1、
y 2、y 3的大小关系是（ ）
A ．y 1＜y 2＜y 3
B ．y 3＜y 2＜y 1
C ．y 3＜y 1＜y 2
D ．y 2＜y 1＜y 3
11．抛物线y ＝(x －2) (x ＋5)与坐标轴的交点分别为A 、B 、C ，则△ABC 的面积为__________． 12．将抛物线y ＝x 2
＋1绕原点O 旋转180°，则旋转后抛物线的解析式为( )
A ．y ＝－x 2
B ．y ＝－x 2
＋1
C ．y ＝x 2
－1
D ．y ＝－x 2
－1
13．抛物线y ＝x 2－mx ＋m －2与x 轴交点的情况是( ) A ．无交点
B ．一个交点
C ．两个交点
D ．无法确定
14．函数y ＝x 2
＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别为( ) A ．4和－3
B ．5和－3
C ．5和－4
D ．－1和4
15．已知函数y ＝a (x ＋2)和y ＝a (x 2
＋1)，那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )
16．已知二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，当x ＝－1时有最小值－4，且图象在x 轴上截得线段长为4，求函数解析式．
17．二次函数y ＝x 2
－mx ＋m －2的图象的顶点到x 轴的距离为,16
25
求二次函数解析式．
18．如图，有一座抛物线型拱桥，已知桥下在正常水位AB 时，水面宽8m ，水位上升3m ， 就达到警戒水位CD ，这时水面宽4m ，若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶．
19．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m＝162－3x．
(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式；
(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?
20．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程，下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．
根据图象提供的信息，解答下列问题：
(1)由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式；
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；
(3)求第8个月公司所获利润为多少万元?
21．如图，已知在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD在x轴上，点A在原点，AB＝3，AD＝5．若矩形以每秒2个单位长度沿x轴正方向做匀速运动，同时点P从A点出发以每秒1个单位长度沿A→B →C→D的路线做匀速运动．当点P运动到点D时停止运动，矩形ABCD也随之停止运动．
（1）求点P从点A运动到点D所需的时间．
（2）设点P运动时间为t（秒）
①当t＝5时，求出点P的坐标．
②若△OAP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式（并写出相应的自变量t的取值范围）．
九年级下册第二十六章二次函数水平测试题
一、 选择题（每小题4分，共48分）
1、抛物线()2
23y x =++的顶点坐标是（ ）
A.（－2，3）
B.（2，3）
C.（－2，－3）
D.（2，－3） 2、函数243y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式是（ ） A ．2(2)1y x =-- B ．2(2)1y x =+- C ．2(2)7y x =-+
D ．2(2)7y x =++
3、二次函数362+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）
A ．3<k
B ．03≠<k k 且
C ．3≤k
D ．03≠≤k k 且
4、二次函数2
(1)2y x =-+的最小值是（ ）
A.2-
B ．2
C ．1-
D ．1
5、对于抛物线2
1(5)33
y x =--+，下列说法正确的是（ ）
A ．开口向下，顶点坐标(53)，
B ．开口向上，顶点坐标(53)，
C ．开口向下，顶点坐标(53)-，
D ．开口向上，顶点坐标(53)-，
6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（ ） A. 2(1)3y x =--- B. 2(1)3y x =-+- C. 2(1)3y x =--+ D. 2(1)3y x =-++ 7.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示， 当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．13x -<< B ．3x >
C ．1x <-
D ．3x >或1x <-
8、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不 正确的是（ ）
A 、a ＜0
B 、abc ＞0
C 、c b a ++＞0
D 、ac b 42-＞0
9、若A （-4，y 1），B （-3，y 2），C （1，y 3）为二次函数y=x 2
+4x-5的图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（ ）
.
. （8题图）
A 、y 1＜y 2＜y 3
B 、y 2＜y 1＜y 3
C 、y 3＜y 1＜y 2
D 、y 1＜y 3＜y 2
10、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2y mx mx =-（ ）
A 、有最大值
4
m B 、有最大值4
m -
C 、有最小值
4
m D 、有最小值4
m -
11、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（ ）
A 、2006
B 、2007
C 、2008
D 、2009
12、函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）
二、填空题（每小题4分，共40分）
13、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线 。

14、二次函数c bx ax y ++=2的值永远为负值的条件是
a 0，ac
b 42- 0。

15、如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，
给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自
然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．
16、将抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠向下平移3个单位，再向左平移4个单位得到抛物线
2245y x x =--+，则原抛物线的顶点坐标是 。

17、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元的水产品，据市场分析，
若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为 元时，获得的利润最多.
18、已知二次函数c bx ax y ++=21（0≠a ）与一次函数
)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所
示），则能使21y y >成立的x 的取值范围是 ．
（12题图）
第18题图
（15题图）
1米
19、请写出一个二次函数以（2, 3）为顶点，且开口向上： 。

20、抛物2
28y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．
21、在同一坐标平面内，下列4个函数①22(1)1y x =+-，②223y x =+，③221y x =--，④
2112
y x =
-的图象不可能．．．由函数221y x =+的图象通过平移变换、轴对称变换得到的函数是 （填序号）
22、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是
三、解答题（23题6分，24——30题每题8分，共62分） 23、已知函数5
42
)2(+--=k k
x k y 是关于的二次函数，求（1）满足条件的k
的值；（2）当K 为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点，这时，x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）当k 为何值时，函数有最小值？最小值是多少？这时，当x 为何值时，y 与x 的增加而减小？
24、已知抛物线2ax y =经过（-1，4），且与直线8+=ax y 交于点A ，B （1）求直线和抛物线的解析式，
（2）求△AOB 的面积。

（22题图）
25、某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。

市场调查反映：如果
每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。

设每件涨价x 元（x 为非负整数），每星期的销量为y 件．
⑴求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
26、推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式； （2）求此二次函数图象的顶点坐标；
（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点．
27、杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路
线是抛物线2
3315
y x x =-
++的一部分，如图． （1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 3.4BC =米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否
成功？请说明理由．
28、如图，平行四边形ABCD 中，4AB =，点D 的坐标是(08)，，
以点C 为顶点的抛物线2y ax bx c =++经过x 轴上的点A B ，． （1）求点A B C ，，的坐标．
（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．
（第28题）
（27题图）。