用空间向量求直线与平面的夹角资料
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题之二：夹角问题
法向量的夹角即可.
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,∠ACB=90°,P为BC的
中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面
A1B1C1夹角的余弦值.
解：先做出平面PQR与平面A1 1 1 的
典型例题
例5如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2,AA1=3,
∠ACB=90°,P为BC的中点，点Q, R分别在棱AA1,BB1上，
A1Q=2AQ,BR=2RB1.求平面PQR与平面A1B1C1夹角的余弦值.
分析：因为平面PQR与平面A1B1C1的夹角
可以转化为平面PQR与平面A1B1C1的法向
若异面直线l1,l2所成的角为 (0 ≤ ) ，其方向向量分别为 , Ԧ
则 =< , Ԧ >, 或 = −<, >
Ԧ
2
∙ Ԧ
= < , Ԧ > =
Ԧ
不要将两异面直线所成的角与其方向向量的夹角等
同起来,因为两异面直线所成角的范围是0 ≤ ,而
交线。
做PE⊥ 1 1 于E,则PE//Q1 ,PQ∩
1 = .
PR∩ 1 1 = ,则GH即为平面PQR与
平面A1 1 1 的交线。
做PF⊥ 于F,连C1 , ∠1 就是平面
PQR与平面A1 1 1 的二面角的平面角。
我们在⊿PF1 中求∠1 ，接下去就是
= < 1 , 2 > =
.
1 2
反思：1、三式中到底是sin还是cos，我们要通过记图来记住公
空间向量直线与平面的夹角公式
直线与平面的夹角公式是什么?
直线与平面的夹角公式为sina=cos=|n·s|/(|n|·|s|)，其空间中平面方程为Ax+By+Cz+D=0，法向量n=(A，B，C)。
线面夹角是指过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条直线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的锐角或直角。
斜线与它在平面上的射影所成的角为线面夹角。
两平面夹角公式的推导
两平面的夹角公式为：k=(y2-y1)/(×2-x1)。
夹角公式是基本数学公式，分为正切公式和余角公式，正切公式用tan表示，余角公式用cos表示。
两直线的夹角指的是两直线所成的小于等于90°的角，但是当夹角为90°时，k不存在，故当k存在时，正切值始终为正。
用空间向量求直线与平面的夹角
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用空间向量求直线与平面的夹角
1、 平面的平行线与平面所成的角：规定为 0°;
2、 平面的垂线与平面所成的角：规定为
90°; 3、 平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角。
4、 直线和平面所成的角的范围是（0 °，90°）；
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角： “一作，二证，三计算” . AB - m
5、直线AB 与平面所成角： (
'为平面a 的法向
量） 6、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量 dt 与&，在空间中任取一点
O,作
向；当 ，则/ AOB 叫做向量 ，当 =0时, 2时， -与 h 垂直，记口丄3 。
（2）两个向量的夹角唯一确定且 a r A
7、空间向量夹角的坐标表示: |31 丁 J 凸;+口：+虽-尿+皆+闰 注：（1）规定:
<7T a 与#的夹角，记作
时,
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高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角10121数学
12/13/2021
• [证明] 解法1：(1)连接OC，因为OA＝OC，
D是AC的中点，所以AC⊥OD．
• 又PO⊥底面⊙O，AC 底面⊙O，所以 AC⊥PO，因为OD，PO是平面POD内的两 条相交直线，所以AC⊥ 平面POD，而AC
12/13/2021
设平面 ADE 法向量 n2＝(x2，y2，z2)， 则 n2·D→E＝n2·A→D＝0 解得：n2＝(1,0， 2) 设平面 ABD 与平面 ADE 夹角为 θ，
cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝1＋4×0＋32＝
3 2
∴平面 ABD 与平面 ADE 的二面角平面角为π6.
5.3直线与平面的夹角
12/13/2021
• 1．共面直线的夹角 • 当 角两中条，直范线围在l1与__l2_共_面_[0_，时_π2_]，__我__们内把的两角条叫直作线两交直
线的夹角． • 2．异面直线的夹角 • 当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取
一点A作AB∥l2，我们把直线l1与直线AB的夹 角叫作异面直线l1和l2的夹角．
12/13/2021
4．平面夹角的概念 在两个平面所成的二面角的平面角中，称范围在 ___[_0_，__π2_]____ 内的角为两个平面的夹角． 5．平面夹角的求法 设平面 α 与平面 β 的法向量分别为 n1 与 n2，两平面的夹角为 θ.当 0≤〈n1，n2〉≤π2时，θ＝_〈__n_1_，__n_2_〉___；当π2<〈n1，n2〉≤π 时，θ＝_π_－__〈__n_1，__n__2〉_．即 cosθ＝|_c_o_s〈__n_1_，__n_2_〉_.|
用空间向量求直线与直线、直线与平面所成的角
用空间向量求直线与直线、直线与平面所成的角作者：赵春祥来源：《理科考试研究·高中》2012年第03期在立体几何中，关于角的计算均可归结为求两个向量的夹角问题.对于空间向量a、b，有cos〈a,b〉=a·b|a||b|.利用这一结论，我们可以较方便地处理立体几何中的角的问题.一、异面直线所成的角例1如图1，在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成角的大小.分析利用cos〈BA1，AC〉=BA1·AC|BA1||AC|，求出向量BA1与AC的夹角〈BA1，AC〉，再根据异面直线所成的角的范围确定异面直线BA1与AC所成角.解因为BA1=BA+BB1，AC=AB+BC，所以BA1·AC=(BA+BB1)·(AB+BC)=BA·AB+BA·BC+BB1·AB+BB1·BC.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以BA·BC=0，BB1·AB=0，BB1·BC=0，BA·AB=-a2，所以BA·AC=-a2.又cos〈BA1，AC〉=BA1·AC|BA1||AC|=-a22a×2a=-12，所以〈BA1，AC〉=120°.所以异面直线BA1与AC所成的角为60°.例2如图2，ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且AE⊥PD，E为垂足，PA⊥平面ABCD，PD与平面ABCD成30°角.求异面直线AE与CD所成角的余弦值.解以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则C(a,a,0)、D(0,2a,0),CD=(-a,a,0).由PA⊥平面ABCD，知∠PDA是PD与平面ABCD所成角，所以∠PDA=30°.在Rt△ADE中，因为AD=2a，所以AE=12AD=a.过E作EF⊥AD于F，在Rt△AEF中，因为AE=a,∠EAF=60°，所以AF=12a,EF=32a，所以E(0，12a,32a).于是AE=(0,12a,32a).设AE与CD的交角为θ，则cosθ=AE·CD|AE||CD|=0×(-a)+a2×a+32a×002+(a2)2+(32)2×(-a)2+a2+02=24.即异面直线AE与CD所成角的余弦值是24.评析求异面直线所成角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示(例1)，或用坐标表示(例2).另外，应注意〈a,b〉的范围是［0，π］，而异面直线a与b的夹角范围是(0，π2］，两种夹角不一定相等，以防出错.(见例1)二、直线与平面所成的角例2已知四面体O—ABC的各棱长都是1，E，F分别为AB，OC的中点，(1)求OE与BF所成角的余弦值；(2)求BF与面ABC所成角的正弦值.分析取OA，OB，OC为基向量，来表示出OE，BF，再根据向量的夹角公式求解.解(1)记OA=a，OB=b，OC=c，则a·b=b·c=c·a=12.OE=12(a+b)，BF=12c-b.OE·BF=12(a+b)·(12c-b)=12(12a·c+12b·c-a·b-|b|2)=12(14+14-12-1)=-12，所以cos〈OE，BF〉=OE·BF|OE||BF|=-1232×32=-23.从而OE与BF所成角的余弦值为23.(2)作OO′⊥平面ABC于O′，设OO′与BF所成角为θ(0因为OO′=13(a+b+c),所以|OO′|2=19(a+b+c)2=19(|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2a·c+2b·c)=19(3+3)=23，所以|OO′|=63.而cos〈OO′，BF〉=13(a+b+c)·(12c-b)63×32=23(12a·c+12b·c+12|c|2-a·b-|b|2-b·c)=23(14+14+12-1[]2-1-12)=-23,所以cosθ=23,从而sinφ=sin(π2-θ)=cosθ=23.即BF与平面ABC所成角的正弦值是23.评析直线l与平面α的夹角φ，是直线l的方向向量l与平面α的法向量n的夹角θ的余角，故有sinφ=cosθ=|l·n||l||n|.。
《直线与平面的夹角》 知识清单
《直线与平面的夹角》知识清单一、直线与平面夹角的定义直线与平面的夹角，简单来说，就是直线和它在平面内的射影所成的角。
我们想象一下，一条直线斜着穿过一个平面，那么这条直线和它在平面上留下的影子所形成的那个锐角（或者直角），就是我们所说的直线与平面的夹角。
这个夹角的范围是在0 度到90 度之间。
当直线和平面垂直的时候，夹角就是 90 度；当直线和平面平行的时候，夹角就是 0 度。
二、直线与平面夹角的求法1、几何法（1）找到直线在平面内的射影。
这通常需要通过一些几何图形的性质，比如垂线的性质来确定。
（2）计算出直线和射影所成的角。
可以利用三角函数，比如正切函数来计算这个角的大小。
2、向量法（1）先求出平面的法向量。
法向量是垂直于平面的向量，可以通过平面上两个不共线向量的叉乘来得到。
（2）再求出直线的方向向量。
（3）利用向量的点积公式，计算出直线的方向向量和平面法向量的夹角的余弦值。
（4）根据直线与平面夹角和直线的方向向量与平面法向量夹角的关系，求出直线与平面的夹角。
三、直线与平面夹角的性质1、唯一性直线与平面的夹角是唯一确定的。
无论我们用什么方法去求，得到的结果都是一样的。
2、最小性直线与平面所成的角是这条直线和平面内经过斜足的直线所成角中最小的角。
四、常见题型及解法1、给出直线和平面的几何图形，求夹角这种情况下，我们要善于利用图形中的垂直关系，找到直线在平面内的射影，然后通过解三角形来求出夹角。
2、已知直线和平面的方程，用向量法求夹角先根据方程求出直线的方向向量和平面的法向量，然后按照向量法的步骤进行计算。
五、易错点1、混淆直线与平面夹角和直线与平面内某条直线的夹角要清楚直线与平面夹角是直线和它在平面内的射影所成的角，不是和平面内任意一条直线所成的角。
2、计算错误在使用三角函数或者向量运算时，要注意计算的准确性，特别是一些符号和公式的运用。
3、忽略夹角的范围夹角的范围是 0 度到 90 度，结果超出这个范围就是错误的。
直线与平面的夹角
直线与平面的夹角直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们之间的夹角是研究二者关系的重要内容之一。
本文将从不同角度探讨直线与平面的夹角，包括夹角的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、夹角的定义与性质夹角是指由两条直线或者由一条直线和一个平面所形成的角度。
在几何学中，夹角的度量单位通常采用弧度制。
夹角的定义具体如下：定义1：直线与平面的夹角是两者之间的最小的正向的角，这个角是由直线在相交点上方和平面上方所划分的。
根据这个定义，我们可以得到夹角的一些基本性质：性质1：夹角的度数大小不受直线或平面的方向而改变。
性质2：夹角的度数范围为0到180度（或0到π弧度）。
性质3：如果两条直线平行于同一个平面，那么它们与该平面的夹角为零。
二、计算计算直线与平面的夹角可以借助向量的概念来进行，具体步骤如下：步骤1：设定一条直线L和一个平面P，并选择直线L上的一个点A以及平面P上的一个点B。
步骤2：从点A到平面P作垂线，垂足为C。
步骤3：将向量AC和向量BC分别标记为向量a和向量b。
步骤4：计算向量a和向量b的夹角，即夹角的余弦值。
步骤5：夹角的度数可以通过反余弦函数来表示，即夹角的度数为arccos(cosine)，其中cosine是步骤4中计算得到的夹角余弦值。
需要注意的是，在计算夹角时，我们需要确保向量a和向量b之间的夹角范围在0到π之间，以便得到直线与平面的最小夹角。
三、直线与平面夹角的应用直线与平面的夹角在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下列举几个相关的应用例子：例子1：光的反射与折射当光线从一个介质进入另一个介质时，会发生折射和反射现象。
直线与平面的夹角可以帮助我们计算光线在介质之间的折射角和反射角，从而理解和预测光的传播路径。
例子2：建筑和工程设计在建筑和工程设计中，直线与平面的夹角可以帮助工程师确定建筑物的结构和材料的选择。
例如，太阳光的入射角可以影响建筑物的采光和能量效率。
例子3：航天与导航航天器和导航系统通常会使用直线与平面的夹角来确定飞行轨迹和导航目标。
空间几何中的平面与直线的夹角
空间几何中的平面与直线的夹角空间几何是数学中的一个重要分支，研究了点、线、面以及它们之间的关系。
在空间几何中，平面和直线是两个基本的几何元素，它们之间的夹角是我们研究的主题之一。
一、在平面上的夹角在二维平面中，两条线段之间的夹角可以通过它们的斜率来计算。
设直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，则直线L1和L2之间的夹角θ可以表示为：θ = arctan(|(k1-k2)/(1+k1k2)|)其中，arctan函数代表反正切函数，|x|代表x的绝对值。
举个例子来说明，假设直线L1的斜率为1，直线L2的斜率为-1/2，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arctan(|(1-(-1/2))/(1+1/2)|) = arctan(3/2)二、在三维空间中的夹角在三维空间中，平面与直线的夹角的计算稍微复杂一些。
我们可以通过计算平面的法向量与直线的方向向量之间的夹角来确定。
1. 平面的法向量平面可由一般式方程表示为Ax + By + Cz + D = 0。
其法向量可由系数A、B、C得到，即向量N = (A, B, C)。
2. 直线的方向向量直线可表示为参数方程：x = x0 + aty = y0 + btz = z0 + ct其中向量V = (a, b, c) 就是直线的方向向量。
3. 夹角的计算设平面的法向量为N = (A, B, C)，直线的方向向量为V = (a, b, c)，则平面与直线的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|N·V| / (|N| * |V|))其中，·代表向量的点乘，|N|和|V|分别表示向量N和向量V的模。
举个例子来说明，假设平面的法向量为N = (1, 2, 3)，直线的方向向量为V = (4, 5, 6)，则它们之间的夹角θ可以计算为：θ = arccos(|(1, 2, 3)·(4, 5, 6)| / (√(1^2+2^2+3^2) * √(4^2+5^2+6^2)))= arccos(32 / (√14 * √77))在计算夹角的过程中，要注意向量的模不为零，否则会出现除数为零的情况。
空间直线与平面的夹角解析
空间直线与平面的夹角解析在空间几何中，直线与平面是两种常见的几何元素。
它们之间的夹角是我们研究空间关系时常常需要考虑的问题。
本文将详细探讨空间直线与平面的夹角计算方法和解析过程。
一、夹角的定义与性质在开始讨论具体的计算方法之前，我们先来回顾夹角的定义和一些性质。
在三维空间中，夹角是由两个非重合的元素（可以是直线、平面或者其他几何体）之间所形成的角度。
夹角的性质如下：1. 夹角的大小范围是0到180度之间；2. 当两条线段在同一平面上时，夹角是它们在该平面内的夹角；3. 当两条线段不在同一平面上时，夹角是它们所在平面的交线与另一个平面的夹角。
二、直线与平面的夹角计算方法当我们需要计算直线与平面之间的夹角时，可以按照如下步骤进行：步骤一：确定直线和平面的方程首先，我们需确定直线和平面的方程。
直线可以用参数方程或者一般式方程表示，而平面可以通过点法向式或者一般式方程来表达。
步骤二：求解直线与平面的交点接下来，我们需要求解直线与平面的交点。
将直线的参数方程代入平面的方程中，解得直线与平面的交点坐标。
步骤三：计算直线与平面的夹角在得到直线与平面的交点之后，我们可以通过向量的方法来计算它们之间的夹角。
首先，从交点处引出直线的方向向量和平面的法向量。
然后，计算这两个向量的数量积，再根据数量积的性质，利用夹角的定义公式求解出直线与平面的夹角。
三、示例分析为了更好地理解直线与平面的夹角计算方法，让我们通过一个具体的例子来进行分析。
假设有一条直线L，其参数方程为：x = 1 + 2ty = 2 + 3tz = 3 + 4t另外，给定一个平面P，其一般式方程为：2x - 3y + z - 1 = 0首先，我们需要求解直线L和平面P的交点。
将直线L的参数方程代入平面P的方程中，得到：2(1 + 2t) - 3(2 + 3t) + (3 + 4t) - 1 = 0化简得：10t = -15解得t = -1.5，代入直线L的参数方程中，得到交点：(0, -1, -1)接下来，我们计算直线L的方向向量和平面P的法向量。
向量法求直线与平面的夹角(微课)
的正弦值。 求B1C1与面AB1C所成的角 .
例：在长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=5，AD=8,AA1=4,M为 z B1C1上的一点，且B1M=2， A1 N 点N在线段A1D上，A1D⊥AM,B C1 1 M 求AD与平面ANM所成的角。
A
D1
D
y
x
B
C
向量法求直线与平面的夹角
直线与平面的夹角
A
平面外一条直线与它在该 平面内的投影的夹角叫做 B 该直线与此平面的夹角。
O
若直线与平面垂直，则夹角为 2 若直线与平面平行或在平面内，则夹角 为0
[0, ] 直线与平面所成角的范围：
设平面的法向量为n，则 n, BA 与的关系？
n
B A
2
2
n， BA
B
A
n， BA 2
结论：sin
| cos 1C1D1 的棱长为1.
z A 1 解： 以AB， AD ， AA1为单 D 1 A (0 ， 0 ，， 0) 位正交基底，可得 B1 (1， 0，， 1) B1 ， ，， 0) C (11 ， ，， 0) C1 (111) ， ，，则B1C1 (01 C1 AB1 (1 ， 01) ，， AC (11 ， ， 0) y 设平面AB1C的法向量为n ( x，y，z ) A D 则n AB1 0， n AC 0 B C x z 0 所以 ，取x = 1， x x y 0 0 1 0 3 cos n， B1C1 得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
用空间向量法研究线线角和线面角
(4)判断直线和平面所成的角 θ 和〈l，n〉的关系，求出角 θ.
当堂检测：
如图所示，直三棱柱 ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，点 F1
是 A1C1 的中点，BC＝CA＝2，CC1＝1.
(1)求异面直线 AF1 与 CB1 所成角的余弦值；
(2)求直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角．
＝ ，
2 2 2
π
所以 θ＝ ，
4
π
所以直线 AF1 与平面 BCC1B1 所成的角为 .
4
课堂小结：
作业布置：
练习册 分层精炼33
高考链接：
（2022全国甲卷）18. 在四棱锥 P-ABCD中，PD⊥ 底
面ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP= ．
（1）证明：BD ⊥ PA ；
n BP 3 y 3z 0
则 cos n, DP
n DP
n DP
3, 3 , DP 0,0, 3 ，
5
，
5
所以 PD 与平面 PAB 所成角的正弦值为
5
.
5
，则 l1 与 l2 所成的角
6
为( A )
π
A.
6
5π
B.
6
π 5π
C. 或
6 6
D.以上均不对
解析 l1 与
故选 A.
π
l2 所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为0， ，
2
学以致用
正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是
A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角
直线与平面的夹角
直线与平面的夹角直线与平面的夹角是几何学中一个重要的概念，它描述了直线与平面之间的关系。
在本文中，我们将详细探讨直线与平面的夹角的概念、性质以及计算方法。
直线与平面的夹角是指通过直线的一个平面与另一个平面之间所夹的角度。
可以简单地将其理解为直线在平面上的投影线在平面内的夹角。
夹角能够帮助我们更好地理解直线与平面之间的关系，并应用于许多实际问题的解决中。
首先，我们来讨论直线与平面的夹角的计算方法。
要计算直线与平面的夹角，我们可以使用向量的知识。
假设有一条直线L和一个平面P，我们可以选择直线上的一点A以及平面上的一点B。
然后，我们构造向量$\overrightarrow{AB}$，这个向量指向平面上的一点B。
接下来，我们选择平面上的一条辅助线与直线L垂直交于点C。
再构造向量$\overrightarrow{CB}$，这个向量位于平面内。
最后，我们利用向量的点积公式计算$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CB}$的夹角。
夹角的计算可以使用以下公式：$$\cos\theta=\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CB}}{|\ov errightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{CB}|}$$其中，$\theta$表示夹角，$\overrightarrow{AB}$表示向量$\overrightarrow{AB}$的模，$\overrightarrow{CB}$表示向量$\overrightarrow{CB}$的模，$\cdot$表示向量的点积运算。
次要小节：直线与平面夹角的性质接下来，我们来讨论一些直线与平面夹角的性质。
首先，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为90度。
这是因为向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{CB}$垂直，点积为0，所以夹角的余弦为0，得到夹角为90度。
直线与平面的夹角ppt课件
| CD n |
| a |
1
，又
| CD || n |
2a 2 2 2
)
ABC
6.（多选）已知正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为 A1 D1 ，CC1 的中点，则(
A.直线 BE 与 B1 F 所成角为 90
B.直线 B1C 与 C1 D 所成角为 60
即
′
′
′
′
′
与平面
′
′
′
=2
′
，
中，sin ∠
′
′
=
是一个锐角，所以 ∠
′
′
1
2
′
′
所成角的大小为
=
，
π
6
π
6
，
.
1.在空间直角坐标系中，直线 l 的一个方向向量为 m (1, 0,3) ，平面 的一个
A)
法向量为 n (1, 5, 2) ，则直线 l 与平面 所成的角为(
A.
π
2
2
2ay 0,
n CA 0 ， n AP 0 ， a
可取 n (1, 0,1) .设直线 CD 与平面
a
2 x ay 2 z 0,
PAC 的夹角为 ，则 sin | cosCD, n |
0 90 ， 30 .故选 C.
.
设平面
则
′
⋅
′
⋅
′
′
=
′
的一个法向量为
− = 0,
=−
′
′
= 1，可得
=
(0,1,1)
.
= 0,
用空间向量求直线与平面所成的角
O
2
P
n
O
思考：
设平面 的法向量为 n 则
n
A
n, AP 与 的关系？
n
2
- n, An, AP
n
n, AP -
2
例：正方体 ABCD A B C D
角的正弦值。
1 1 1 1
的棱长为1. 求直线 B1C1 与平面 AB1C 所成
则n AB1 0， n AC 0 x z 0 所以 ，取x = 1， x y 0
D
y
C
得y = z = -1，故n = (1， -1， -1)， cos n， B1C1
0 1 0 3 3 1 3 3 所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为 。 3
在立体几何中涉及的角有异面直线所成的 角、直线与平面所成的角、二面角等。用几何 法求这些角，需要经过“找（作）”、“证”、 “算” 等步骤，过程较为繁琐，若归结为求两 个向量的夹角问题，可将问题简单化。本节课， 我们主要探讨“直线与平面所成的角”也即 “线面角” 的求法。
x
向量法求线面角的一般步骤
(1) 恰当的构建空间直角坐标系； (2) 正确求得所对应点的坐标，直线的方向 向量的坐标及平面的法向量的坐标；
(3)求直线的方向向量与平面的法向量的夹 角的余弦值； (4)取步骤(3)中两向量夹角的余弦值的绝 对值，其对应于线面角的正弦值；
(5) 根据题意，转化为几何结论.
z
B1
A B
解：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系A—xyz A(0， 0，， 0) B1 (1 ， ，， 0) C1 (111) ， ，， ， 0，， 1) C (11
用空间向量研究夹角问题
用空间向量研究夹角问题课程标准 学习目标1.能用向量方法解决简单夹角问题.2.体会向量方法在研究几何问题中的作用1.知道两个相交平面夹角的含义,借助直线的方向向量和平面的法向量,能求直线与直线、直线与平面、平面与平面所成的角或夹角.2.能分析和解决一些立体几何中的角度问题,体会向量方法与综合几何方法的共性和差异,体会直线的方法向量和平面的法向量的作用,感悟向量是研究几何问题的有效工具知识点一 空间角空间图形范围 向量法几何法 异面直线所成的角0°< θ≤90°cosθ=|cos <u ,v>|= 平移交于一点,解三角形直线与平面所成的角sin θ=|cos <u ,n>|=过直线上一点作平面的垂线,解三角形 平面与平面的夹角cos θ=|cos <n 1,n 2>|=作两平面的垂面解三角形【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)异面直线所成的角与其方向向量的夹角相等.( )(2)若平面α的法向量为u ,直线l 的方向向量为v ,直线l 与平面α所成的角为θ,则cos θ=|u ·v ||u ||v |.( )(3)二面角的大小等于平面与平面的夹角. ( ) 知识点二 解决立体几何中空间角问题的步骤用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”可以概括为“一化二算三译”六字诀.“一化”就是把立体几何问题转化为向量问题;“二算”就是通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系以及它们之间的角度问题;“三译”就是把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.探究点一 异面直线所成角的求法例1 (1)已知在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 是DC 的中点,建立如图1-4-27所示的空间直角坐标系,图1-4-27则AB 1与D 1E 所成角的余弦值为( )A .√1010 B .√105 C .-√1010D .-√105(2)如图1-4-28所示,在三棱柱OAB-O 1A 1B 1中,平面OBB 1O 1⊥平面OAB ,∠O 1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO 1=2,OA=√3,求异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值.图1-4-28[素养小结]用向量法求异面直线的夹角时,常在两异面直线a 与b 上分别取点A ,B 和C ,D ,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 分别为a ,b 的方向向量,若异面直线a ,b 的夹角为θ,则cos θ=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |.运用向量法常有两种途径:①基底法:在一些不适合建立坐标系的题型中,经常采用取基底的方法.在由公式cos <a ,b>=a ·b|a ||b |求向量a ,b 的夹角时,关键是求出a ·b ,|a|与|b|,一般是把a ,b 用基向量表示出来,再求有关的量.②坐标法:根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系,写出相关各点的坐标,利用坐标法求线线角,避免了传统找角或作角的步骤,使过程变得简单.探究点二求直线和平面所成的角例2 [2020·安徽芜湖高二期中] 如图1-4-29,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是AB的中点.(1)证明:AC1⊥平面D1B1C;(2)求直线CE与平面D1B1C所成角的余弦值.图1-4-29变式[2020·山东肥城高二期中] 在如图1-4-30所示的多面体中,AD⊥平面PDC,四边形ABCD为平行四边形,E为AD的中点,F为线段BP上一点,∠CDP=120°,AD=3,AP=5,CD=2.(1)若F为BP的中点,证明:EF∥平面PDC;BP,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.(2)若BF=13图1-4-30[素养小结]向量法求线面角的步骤:①分析图形中的位置关系,建立空间直角坐标系;②求出直线的方向向量s和平面的法向量n;③求出夹角<s,n>;④判断直线和平面所成的角θ和<s ,n>的关系,求出角θ.拓展 [2021·北京丰台区高二期中] 如图1-4-31,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,AA 1=3.M 是AB 的中点,N 是B 1C 1的中点,点P 在线段A 1N 上,且A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,Q 是BC 1与B 1C 的交点.(1)求证:PQ ∥平面A 1CM.(2)在线段AA 1上是否存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214?请说明理由.图1-4-31探究点三 求平面与平面的夹角例3 [2020·江苏如皋高二期中] 如图1-4-32所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AB=BC ,AA 1,AC ,A 1C 1的中点分别为D ,E ,F. (1)求证:AC ⊥平面BEF ;(2)若异面直线AA 1与BF 所成的角为45°,且BC 与平面BEF 所成角的正弦值为√55,求平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值.图1-4-32变式 [2020·江苏盐城亭湖区月考] 如图1-4-33所示,在三棱锥P-ABC 中,△PAC 为等腰直角三角形,∠APC=90°,△ABC 为正三角形,AC=2. (1)证明:PB ⊥AC ;(2)若平面PAC ⊥平面ABC ,求平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值.图1-4-33[素养小结]设n 1,n 2分别是平面α,β的法向量,则向量n 1与n 2的夹角(或其补角)就是两个平面的夹角θ,用坐标法的解题步骤如下:(1)建系:依据几何条件建立适当的空间直角坐标系; (2)求法向量:在建立的坐标系下求两个平面的法向量n 1,n 2; (3)计算:cos θ=|n 1·n 2||n 1||n 2|.拓展 如图1-4-34,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥AD ,AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,E ,F 分别为PC ,CD 的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE ⊥平面BEF ;(2)设PA=a ,若平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,求a 的取值范围.图1-4-341.若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l 与平面α所成的角等于( )A .120°B .60°C .30°D .以上均错2.已知两个平面的法向量分别是m=(1,2,-1),n=(1,-1,0),则这两个平面所成的二面角的余弦值为 ( ) A .-√36或√36B .-√33或√33C .-√36D .√363.[2020·江苏南通高一期末] 在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,则直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角的正弦值为 ( ) A .√63B .√102C .√155D .√1054.[2021·天津部分区高二期中] 如图1-4-35,在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,则平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为 ( )图1-4-35A .√33 B .√22C .1D .13用空间向量研究夹角问题参考答案【课前预习】知识点一|u ·v ||u ||v |0°≤θ≤90° |u ·n ||u ||n |0°≤θ≤90° |n 1·n 2||n 1||n 2|诊断分析(1)× (2)× (3)× [解析] (1)当两个方向向量的夹角是锐角或直角时,向量的夹角与异面直线所成的角相等;当两个方向向量的夹角为钝角时,向量的夹角与异面直线所成的角互补.故错误. (2)sin θ=|u ·v ||u ||v |,故错误.(3)二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角.故错误. 【课中探究】探究点一例1 (1)A [解析] ∵A (2,2,0),B 1(2,0,2),E (0,1,0),D 1(0,2,2),∴AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2),∴|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√2,|ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0-2+4=2,∴cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2×√5=√1010,∴AB 1与ED 1所成角的余弦值为√1010. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系,则O (0,0,0),O 1(0,1,√3),A (√3,0,0),A 1(√3,1,√3),B (0,2,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,-√3),O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,-1,-√3),所以|cos <A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|O 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |= √3,√3)·(√3,√3√7×√7=17,所以异面直线A 1B 与AO 1所成角的余弦值为17.探究点二例2 解:(1)证明:如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A (2,0,0),E (2,1,0),C (0,2,0),B 1(2,2,2),C 1(0,2,2),D 1(0,0,2), ∴CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-2,2),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2). ∵AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×0+2×(-2)+2×2=0, AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2×2+2×0+2×2=0,∴AC 1⊥D 1C ,AC 1⊥B 1C ,又D 1C ∩B 1C=C , ∴AC 1⊥平面D 1B 1C.(2)由(1)知,EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,2,2)是平面D 1B 1C 的一个法向量,设直线CE 与平面D 1B 1C 所成的角为θ,则sin θ=|cos <EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√5×2√3=√155,∴直线CE 与平面D 1B 1C 所成角的余弦值为(√155)=√105. 变式 解:(1)证明:以D 为坐标原点,DC 所在直线为x 轴,过点D 且与平面ABCD 垂直的直线为y 轴,DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系(图略),则D (0,0,0),C (2,0,0),B (2,0,3),P (-2,2√3,0),A (0,0,3). 因为E 为AD 的中点,F 为BP 的中点,所以E 0,0,32,F 0,√3,32,所以直线EF 的方向向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 易知平面PDC 的一个法向量为n=(0,0,1). 因为EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=0,所以EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ,又EF ⊄平面PDC , 所以EF ∥平面PDC.(2)由(1)知,CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2√3,0), 设F (x ,y ,z ),BF⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-2,y ,z-3)=13BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43,23√3,-1, 所以F23,23√3,2,所以AF⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23√3,-1.设平面PBC 的法向量为n 1=(x ,y ,z ),则{n 1·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 1·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3z =0,4x -2√3y =0,取y=1,得n 1=√32,1,0,所以cos <AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1>=AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 1|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 1|=23×√32+23√3√49+43+1×√34+1=√353×√72=6√2135, 所以直线AF 与平面PBC 所成角的正弦值为635√21.拓展 解:(1)证明:以A 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图所示,则A 1(0,0,3),C (2,0,0),M (0,1,0),N (1,1,3),Q 1,1,32,∴A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1,1,-32,CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,3),∴A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23A 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23,23,0,∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1Q ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -A 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13,13,-32.设平面A 1CM 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-2x +3z =0,-2x +y =0,取z=2,得n=(3,6,2),∴PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n=3×13+6×13-2×32=0,∴PQ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n , 又PQ ⊄平面A 1CM ,∴PQ ∥平面A 1CM.(2)假设在线段AA 1上存在点S ,使得直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214. 不妨设AS=h (0≤h ≤3), 则S (0,0,h ),∴CS⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,h ), ∴|cos <CS ⃗⃗⃗⃗ ,n>|=|CS⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||CS⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√4+ℎ2×7, ∴7√4+ℎ2=√214,解得h=2或h=347(舍),∴当点S 为线段AA 1上靠近A 1的三等分点时,直线CS 与平面A 1CM 所成角的正弦值为√214.探究点三例3 解:(1)证明:由题可知,AA 1⊥平面ABC ,∵AC ∥A 1C 1,AC=A 1C 1,E ,F 分别是AC ,A 1C 1的中点,∴AE=A 1F ,∴四边形AEFA 1是平行四边形, ∴EF ∥AA 1,∴EF ⊥平面ABC ,又AC ⊂平面ABC ,∴EF ⊥AC.∵AB=BC ,E 是AC 的中点, ∴BE ⊥AC ,又BE ∩EF=E , ∴AC ⊥平面BEF.(2)∵AA 1∥EF ,∴∠BFE 为异面直线AA 1与BF 所成的角,即∠BFE=45°,∴EF=BE.∵AC ⊥平面BEF ,∴∠CBE 为直线BC 与平面BEF 所成的角, ∴sin ∠CBE=√55,∴tan ∠CBE=12,∴BE=2CE.以E 为原点,EB ,EC ,EF 所在直线分别为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设CE=1,则B (2,0,0),C (0,1,0),D (0,-1,1),B 1(2,0,2), ∴DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,2).设平面BCD 的法向量为m=(x 1,y 1,z 1),则{m ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 1-z 1=0,-2x 1+y 1=0,取x 1=1,得m=(1,2,4).设平面CDB 1的法向量为n=(x 2,y 2,z 2),则{n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{2y 2-z 2=0,2x 2-y 2+2z 2=0, 取y 2=1,得n=-32,1,2,∴cos <m ,n>=m ·n|m ||n |=172√21×√292=17√609609.设平面BCD 与平面CDB 1的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=17√609609, ∴平面BCD 与平面CDB 1夹角的余弦值为17√609609. 变式 解:(1)证明:取AC 的中点D ,连接PD ,BD ,∵△PAC 为等腰直角三角形,D 为中点,∴PD ⊥AC ,又△ABC 为正三角形,D 为中点,∴BD ⊥AC ,又PD ∩BD=D ,PD ⊂平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,∴AC ⊥平面PBD.∵PB ⊂平面PBD ,∴PB ⊥AC.(2)∵平面PAC ⊥平面ABC ,平面PAC ∩平面ABC=AC ,PD ⊂平面PAC ,PD ⊥AC ,∴PD ⊥平面ABC.由(1)知BD ⊥AC ,以D 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (1,0,0),B (0,√3,0),C (-1,0,0),P (0,0,1),∴DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1),CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,0). 设n=(x ,y ,z )为平面PBC 的法向量,则{CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x +z =0,x +√3y =0, 取x=1,得n=1,-√33,-1,又DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0)是平面PAC 的一个法向量, ∴cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=-√77, 设平面APC 与平面PCB 的夹角为θ,则cos θ=|cos <DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n>|=√77, ∴平面APC 与平面PCB 夹角的余弦值为√77.拓展 解:(1)证明:∵AB ∥CD ,CD ⊥AD ,AD=CD=2AB=2,F 为CD 的中点,∴四边形ABFD 为矩形,∴AB ⊥BF.∵DE=EC ,F 为CD 的中点,∴DC ⊥EF ,又AB ∥CD ,∴AB ⊥EF.∵BF ∩EF=F ,∴AB ⊥平面BEF.又AB ⊂平面ABE ,∴平面ABE ⊥平面BEF.(2)由(1)知DC ⊥EF ,又PD ∥EF ,AB ∥CD ,∴AB ⊥PD.又AB ⊥AD ,PD ∩AD=D ,∴AB ⊥平面PAD ,∴AB ⊥PA.以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴,AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B (1,0,0),D (0,2,0),P (0,0,a ),C (2,2,0),E 1,1,a 2, 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,0),BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,1,a 2. 易得平面ABCD 的一个法向量为n 1=(0,0,1).设平面EBD 的法向量为n 2=(x ,y ,z ),由{n 2⊥BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 2⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得{n 2·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n 2·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-x +2y =0,y +az 2=0, 取y=1,得x=2,z=-2a , 则平面EBD 的一个法向量为n 2=2,1,-2a , ∴cos θ=2a√4+1+4a 2=√5a 2+4.又∵平面EBD 与平面ABCD 的夹角θ∈π4,π3,∴cos θ∈12,√22, 即2√5a 2+4∈12,√22,∴2√55≤a ≤2√155, 故a 的取值范围是2√55,2√155.【课堂评价】 1.C [解析] ∵l 的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,∴它们所在直线的夹角为60°,则直线l 与平面α所成的角为90°-60°=30°.2.A [解析] 设两个平面的夹角为θ,则|cos θ|=|cos <m ,n>|=√6×√2=√36,故cos θ=±√36. 3.D [解析] 如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AA 1=1,以D 为原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,DD 1所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,则B (2,2,0),C 1(0,2,1),D (0,0,0),D 1(0,0,1),所以BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,1),DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面BB 1DD 1的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0,n ·DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =z =0,取x=1,得n=(1,-1,0).设直线BC 1与平面BB 1DD 1所成角为θ,则sin θ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√5×√2=√105.故选D .4.A [解析] 在四面体OABC 中,OA=OB=OC ,OA ⊥OB ,OB ⊥OC ,OC ⊥OA ,以O 为原点,OA 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OC 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系,如图所示,设OA=OB=OC=1,则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1),O (0,0,0),所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1).设平面ABC 的法向量为n=(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +y =0,n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x +z =0,取x=1,得n=(1,1,1),由题知平面AOC 的一个法向量为m=(0,1,0),设平面BAC 与平面ACO 的夹角为θ,则cos θ=|cos <m ,n>|=|m ·n ||m ||n |=√3=√33,故平面BAC 与平面ACO 夹角的余弦值为√33.故选A .。
利用空间向量求线面夹角
利用空间向量求线面夹角最新考纲1.能用向量方法解决直线与平面的夹角的计算问题；2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.教学目标：1.能用向量方法解决线面夹角的计算问题．2.通过对例题的探究和解决的过程提高学生的逻辑推理能力、运算求解能力,培养学生规范做答的习惯。
3.通过向量方法在研究立体几何问题中的应用,发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养．教学重点：能用向量方法解决线面夹角的计算问题教学难点：应用向量方法正确求解线面夹角教学方法：探究式、启发式教学过程：一、课前测试：1、已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－1，则l与α所成的角为22、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为二、知识梳理直线与平面所成的角(1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的角叫作这条直线和这个平面所成的角。
若一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；若一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角.(2)范围：(3）设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝ ＝lα[微点提醒] 线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a 与平面的法向量n 所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|，不要误记为cos θ＝|cos 〈a ，n 〉|,不要忘记θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的取值范围.三．考点强化 用空间向量求线面角例题：如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；(Ⅱ)若PD=AD ，求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值。
四．变式练习：（1）求直线AP 与平面PDB 所成的角；（2）求直线BC 与平面PAB 所成角的正弦值。
【规律方法】求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：①传统立体几何的综合推理法：通过射影转化法作出直线与平面所成的线面角，然后在直角三角形中求角的大小.找射影的基本方法是过直线上一点作平面的垂线，连接垂足和斜足得到直线在平面内的射影；有时也可通过找到经过斜线且垂直于已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影，此时平面与垂面的交线即为射影.AB Cθ②空间向量的坐标法：建系并确定点及向量的坐标，然后利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角.五．课堂小结求直线与平面所成的角，大致有两种基本方法：①传统立体几何的综合推理法②空间向量的坐标法六、课后练习：(2016·全国)如下图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB ＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN夹角的正弦值。
空间向量中线面夹角。
空间向量中线面夹角。
空间向量是三维空间中的矢量，它由三个有序实数构成。
空间向量可以表示为从一个点指向另一个点的有向线段，这个向量的长度就是这个线段的长度。
空间向量有很多应用，如在物理学中表示力、速度和加速度等。
在空间向量中，中线面夹角是指两个面的中线所成的夹角。
中线是由一个面的两个对角线交点连向另一个面的对应点的连线。
中线面夹角可以用以下公式计算：
cosθ=(a·b)/(│a││b│)
其中，a和b分别是两个面的中线向量，·表示点乘，│a│和│b│分别表示向量a和向量b的长度。
夹角θ的单位为弧度。
中线面夹角在计算机图形学、机器人学和三维建模等领域中具有重要作用。
例如，在机器人学中，中线面夹角可以用于控制机器人的运动，使其在不同的面之间进行平滑的转移。
在三维建模中，中线面夹角可以用来计算多边形的法向量，以便进行表面绘制。
总之，中线面夹角是空间向量中的一个重要概念，它在各种应用中都发挥着重要作用。
- 1 -。
原创1：1.2.3 直线与平面的夹角
典例精析
例2: 正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为 2a，
求AC1与侧面ABB1A1所成的角θ．
易求法向量
C1
z
A1
B1
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，
3
2
C
2
则A(0，0，0)，C (－ a， ，0) ，
3
2
x
2
C1(－ a， ， 2a)，
∴1 = (－
3
a， ，
3
,
2
2)·(4, -4 3, 2 2)
又|1 |= 3，|n|=6 2，
∴cos<1 , n>=
8
3×6 2
=
2 6
.
9
∴所求角的正弦值为
2 6
，
9
课堂小结
夹角
异面线夹角
线面角
|a·b|
cos θ＝
|a||b|
|a·b|
sin θ＝
|a||b|
(0°，90°]
[0°，90°]
本
夹角求得,当两方向向量的夹角
是钝角时,应取其补角作为两异
面直线所成的角.
m
cosθ=|cos<a，b>|
典例精析
例1: 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，
z
求异面直线AE与CF所成角的余弦值．
D1
E
解析：不妨设正方体棱长为2，如图建立坐标系，
则A(2，0，0)、C(0，2，0)、
B y
跟踪练习
2
设面AMC1的法向量为n=(x,y,z)，
则1 ·n=(- , -
高中数学第二章空间向量与立体几何2.5.3直线与平面的夹角1121数学
这条直线与平面的夹角为0.
(2)如果(rúguǒ)一条直线与一个平面垂直, 这条直线与 平面的夹角为
2
因此直线和平面夹角的范围是： [ 0 , ] 2
第三页，共十七页。
想一想：
直线 AB与平面的夹 ，角 该直线的方s向 ,
夹角.。注：(1)如果一条直线与一个平面(píngmiàn)平行或在平面(píngmiàn)内,这条直线与平面 (píngmiàn)的夹角为0.。(2)如果一条直线与一个平面(píngmiàn)垂直, 这条直线与。1、已知直线 的 方向向量与平面(píngmiàn) 的一个法向量夹角为150°，求直线与平面(píngmiàn)夹角。谢谢
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用向量 法求线面角的步骤： (xiàngliàng) (1)建立(jiànlì)空间直角坐标系； (((423)))计求求算直平线：面的设l法线的向面方量向角向为量n ；,则；ssin co ss,n
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谢谢(xiè xie)
第十六页，共十七页。
内容 总结 (nèiróng)
2
所以sin 10.
5
B
第十二页，共十七页。
x
z A′
E
AO
F D′
C′ y
D C
n(2,0,1)
课堂 检测： (kètáng)
1、已知直线 l 的方向(fāngxiàng)向量与平面 的一个 法向量夹角为150°，求直线与平面夹角。
2、已知直线 l 一个法向量为
的方n 向(向2,0量,1 ，)为求直s线(2,与3,1l )平,平s(1,1,1)平, 面 的
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精品文档用空间向量求直线与平面的夹角
1、平面的平行线与平面所成的角：规定为0°；
2、平面的垂线与平面所成的角：规定为90°；
3、平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫做这
条直线和这个平面所成的角。
4、直线和平面所成的角的范围是（0°，90°）；
求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“一作，二证，三计算”。
5、直线AB 与平面所成角：（为平面α的法向量）；
6、两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量与，在空间中任取一点O ，作
，则∠AOB 叫做向量与的夹角，记作。
注：（1）规定：，当=0时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记。
（2）两个向量的夹角唯一确定且。
7、空间向量夹角的坐标表示：。