第5章 代数系统的基本概念

（2）在R+集合上，f : R+→R+,
x∈ R+, f (x)= 1/x （但在R上，倒数不是一元运算，
因为0无像）。
（3）A为集合，ρ(A)为其幂集。f :ρ (A) →ρ (A)。f
是补运算～。
（3）A={0, 1}，f : A→A。f 是¬。
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例2: 下面均是二元运算的例子。
一个元素 θl A，使对 a A，都有 θl * a = θl ，
则称 θl 是A中关于运算 * 的左零元；若 一个元素θr
A，使对 a A，都有 a * θr = θ r ，则称 θr 是 A
中关于运算 * 的右零元；若 一个元素 θ A，使对 a A，都有θ * a = a * θ = θ，即 θ 既是左零元又 是右零元，则称 θ 是A中关于运算 * 的零元。
素a 对于运算 * 是左可逆的，并称 a l -1为 a 的左逆元；
若 一个元素 a r -1A，使得 a * a r -1 = e ，则称元素a
对于运算 * 是右可逆的，并称a r -1为a的右逆元；若 一个元素 a -1A ，使得 a -1* a = a * a -1 = e ，则称元素 a 对于运算 * 是可逆的，并称a -1为 a 的逆元。 显然，若a -1为 a 的逆元，则 a 也为a -1的逆元
1、单位元
定义5.1.3：设 * 是定义在集合 A 上的二元运算，若
一个元素 e l A，使对 a A，都有 e l * a = a，则
称 e l是A中关于运算 * 的左单位元；若 一个元素e r
A，使对 a A，都有 a * e r = a，则称 e r 是A中 关于运算 * 的右单位元；若 一个元素 e A，使对 a A，都有e * a = a * e = a，即 e 既是左单位元又 是右单位元，则称 e 是A中关于运算 * 的单位元。
对于全集E的ρ (E) 的交“∩”运算，Φ是零元;
在命题公式集合中，对于 “∨”运算，重言式是零元；
在命题公式集合中，对于 “∧”运算，矛盾式是零元。
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3、逆元 设 * 是集合A上具有单位元 e 的二元运算，对于元素 a
A，若 一个元素 a l -1A，使得 a l -1* a = e ，则称元
令其为θ，有 x*θ=θ*x=θ
设另有一零元为θ′，那么θ=θ*θ′=θ′
故θ对*运算是唯一的零元。
注意：同样，需强调零元是针对于哪个运算的
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【例5.1.7】
在实数集 R 中，对加法“+”运算，没有零元；
在实数集 R 中，对乘法“×”运算，0是零元；
对于全集E的ρ (E)的并“∪”运算，E是零元；
【例 5.1.4】 设 A 是集合，在 A 的幂集 ρ(A) 上 的二元运算并∪、交 ∩满足交换律、结合律、 吸收律、幂等律且彼此满足分配律。 【例5.1.5】 设A={a, b}, A上的运算*、分别 如表5.1.3、5.1.4所示。
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表 5.1.3 * a b a a b 表 5.1.4 a b a a a b a b b b a
( a b ) b =a b =a
所以是可结合的。
a (b b)=a b=a
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(1) b (a*b)=b b=b
(2) a (a*b)=a b=a b (a*a)=b a=a b (b*b)=b a=a a (a*a)=a a=a a (b*b)=a a=a
注意：Ran(f ) A, 即运算结果是A中的元素，这称为 运算的封闭性。另外，运算是函数，要具备函数所具 有的对每一个自变元有唯一的像的特性。
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例1: 下面均是一元运算的例子。
（1）在 Z 集合上（或Q, 或R），
f : Z → Z, x ∈Z, f (x) = - x。
代数系统的算是自然数集上
的二元运算，减法和除法便不是。但是减法是
有理数集、实数集上的二元运算，除法却仍不
是。减法不满足这些定律。乘法“ ”对加法
“+”运算满足分配律（对“ -”也满足）。但加 法“+”对乘法“ ”运算不满足分配律。
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S = { n | n Z+, n整除30 } = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }
则 Z e Z+ ，S Z+ ， Z e对二元运算 + 是封闭的， 但 S 对二元运算 + 不封闭。 Z e 称为集合 Z+ 在运算 + 下封闭的子集 。
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令其为e，有x*e=e*x=x
设另有一单位元为e′，那么 e =e*e′=e′ 故 e 对*是唯一的单位元。 注意：需强调单位元是针对于哪个运算的
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【例5.1.6】
在实数集R中，对加法“+”运算，0是单位元；
在实数集 R 中，对乘法“×”运算，1是单位元；
对于全集E的ρ (E)的并“∪”运算，Φ是单位元；
⑶ 定理：设 是定义在集合A上的一个n元运算， S1和 S2是 A 在运算 下封闭的子集，则 S1 ∩ S2 在运算 下也封闭。
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二、二元运算的性质 定义5.1.2 设 *，均为集合S上的二元运算。
（1）若xyz (x, y, z ∈S →x*(y*z)=(x*y)*z)，则称
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当A是有限集合时，运算可以用运算表给出。如 A={0, 1, 2, 3, 4, 5}, 二元运算 的定义见下表。 0 1 2 3 4 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 3 0 0 0 0 0 4 0 1 2 0 1 5 0 2 1 0 2
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(3) b*(a b)=b*a=b
(b*a) (b*b)=b a=a
故*对是不可分配的。
又由a*(ab)=a*a=a及上面（1）（2）（3）式
可知和*满足吸收律。由运算表可知， 满足
幂等律，而*不满足幂等律。
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三、与集合 A中的二元运算有关的集合 A中的特异元素
则称*运算对运算满足右分配律。若二者均成立， 则称*运算对运算满足分配律。
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（4）设 *，均可交换，若 x， y ∈A, 有
x*(x y)=x
x (x*y)=x
则称运算*和 运算满足吸收律。
（5）若 x ∈A，x*x=x, 则称*运算满足幂等律。
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都有
(a1 , a2 , , an ) S
则称 S 在运算 下是封闭的。 S 称为集合 A在运算 下封闭的子集 。
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例3：在正整数集 Z+ 上定义二元运算：
+(n1, n2) = n1+ n2
令 Z e= { 2k | k Z+ } = { 2, 4, 6, 8, … }
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定理5.1.1：设 * 是定义在集合A上的二元运算，若 A 中有关于运算 * 的左单位元 e l 和右单位元 e r ，则 e l = e r = e，且 e 是A中关于运算 * 的唯一单位元。 证明： 因为e l 和e r 分别是*的左单位元和右单位元，
故有
el* er= er， el* er= el e l =e r
当运算被称为“加法运算”（记为+）时，x的逆 元可记为-x
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定理5.1.3：若运算 * 具有单位元且可结合，元
素 a A有左逆元 a l -1和右逆元 a r -1，则 a l -1 = a r -1 =a -1 ，且a -1是 a 的唯一逆元。 证明： 设 a l -1和a r -1分别是 a 对*运算的左逆元 和右逆元，故有 a l -1 *a=a* a r -1= e 由于*可结合，于是
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解： 从*运算表可知，*是可交换的。因为
(a*a)*b=a*b=b a*(a*b)=a*b=b
(a*b)*b=b*b=a
a*(b*b)=a*a=a
所以*是可结合的。 从运算表可知， 是可交换的。因为 ( a a ) b =a b =a a (a b)=a a=a
对于全集E的ρ (E) 的交“∩”运算，E是单位元;
在命题公式集合中，对于“∨”运算，矛盾式是单位元；
在命题公式集合中，对于“∧”运算，重言式是单位元；
在AA={f|f:A→A}中，对于复合“”运算，IA是单位元。
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2、零元
定义5.1.4： 设 * 是定义在集合 A 上的二元运算，若
特别：若f：AA，则 f 称为A上的一元运算。
若f：A2A，则 f 称为A上的二元运算。
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运算符一般可以用 º ，*, ·,Δ,◇等表示，且
一元运算将其写于元素之前，二元运算将其写
于两个元素之间，
如：Z→Z 的相反数运算
如: Z×Z→Z的加法运算
f (x)= - x
f ( (x, y) )= +( (x, y) )= x + y
5
0
2
1
0
2
1
上述运算为 ( (x, y) ) = x · y (mod3)，其中 · 是普通乘法