江苏省泰州市第二中学高一数学作业(65)
新高考数学一轮二轮复习专题-专题二 二次函数、方程与不等式(原卷版)-4月5月真题汇编
专题二 二次函数、方程与不等式一、单选题1.(2020·江苏省通州高级中学高一月考)不等式210ax ax ++>对于任意的x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .()0,4 B .[]0,4C .[)0,4D .(](),04,-∞⋃+∞2.(2021·山西高三一模(理))已知,,+∈a b c R ,且4,4a ab ac >+=,则2232a b c a b c+++++的最小值是( ) A .8B .6C .4D .23.(2021·安徽省泗县第一中学高二月考(文))已知0x >,0y >,211x y+=,若222x y m m +>-恒成立,则实数m 的取值范围是( )A .4m ≥或2m ≤-B .2m ≥或4m ≤-C .24m -<<D .42m -<<4.(2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考)命题:{|19}p x x x ∃∈≤≤,2360x ax -+≤,若p 是真命题,则实数a 的取值范围为( )A .37a ≥B .13a ≥C .12a ≥D .13a ≤5.(2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考)已知0,0,236x y x y >>+=,则xy 的值可能为( ) A .0B .1C .2D .36.(2021·浙江高三专题练习)已知[]1,1a ∈-时,不等式()24420x a x a +-+->恒成立,则x 的取值范围为( ) A .(-∞,2)∪(3,+∞) B .(-∞,1)∪(2,+∞) C .(-∞,1)∪(3,+∞)D .(1,3)7.(2021·全国高二单元测试)设x y z >>,n N ∈,且11nx y y z x z+≥---恒成立,则n 的最大值为( )A .2B .3C .4D .58.(2021·安徽高三月考(理))不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支,其内容极为丰富,西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图.请研究下面一道不定方程整数解的问题:已知()202022,x y y x Z y Z +=∈∈,则该方程的整数解有( )组. A .1B .2C .3D .49.(2020·河南高二月考(文))函数2y = )A .2B .4C .6D .810.(2021·全国高三专题练习(理))已知正数,a b 是关于x 的方程()2240x m x m -++=的两根,则11a b+的最小值为( ) A .2 B.C .4D.二、多选题11.(2020·江苏省包场高级中学高二月考)下列说法正确的是( ) A .1x x+的最小值为2 B .21x +的最小值为1 C .()32x x -的最大值为2D .2272x x ++最小值为2 12.(2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考)已知a ,b ,c ,d ∈R ,则下列命题为假命题的是( )A .若,a b c d >>,则ac bd >B .若a b >,则22ac bc ≥C .若0a b >>,则()0a b c ->D .若a b >,则a c b c ->-13.(2021·河北张家口市·高三一模)已知0,0a b >>,且281a b +=,则( ) A.433a b ->B1b C .22log log 6a b +-D .221168a b +<14.(2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末)若0a b >>,则( ) A .11a b b a+>+ B .11a b b b a a+<<+ C .114a b a b +≥+ D .144b a a ab ++的最小值为2 第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 三、填空题15.(2021·全国高三专题练习)已知1a >,b R ∈,当0x >时,[]24(1)1()02x a x b x---⋅-≥恒成立,则3b a +的最小值是_____. 16.(2021·天津高三一模)设0a >,0b >,且251ab b +=,则+a b 的最小值为___________.17.(2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中)已知函数()21,1,23,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨-+>⎩,若()2f a =,则实数a 所有可能的取值组成的集合为______.18.(2021·射阳县第二中学高二开学考试)若命题x R ∃∈,2410mx mx ++≤为假命题,则实数m 的取值范围是__________.19.(2021·江苏苏州市·苏州中学高二月考)已知正数a ,b 满足30a b ab +-+=,则ab 的最小值是________.20.(2021·浙江宁波市·高三月考)若正数,a b 满足2a b ab ++=,则3711a b +--的最小值是________.21.(2020·河北石家庄市·石家庄一中高一月考)已知1,0x y ,且1211x y+=-,则2x y +的最小值为________.22.(2021·江苏高三专题练习)设,a b 为正实数,且11410a b a b+++=,则4a b +的最大值与最小值之差为_______.23.(2020·上海高一专题练习)对于11a -≤≤,不等式()2210x a x a +-+->恒成立的x 的取值范围是_____________ 24.(2020·上海高一专题练习)若1,(0,0,,a bx y a b x y+=>>为正常数且a b ,则实数x y +的取值范围_________.25.(2021·吴县中学高一月考)已知110,0,121a b a b b >>+=++,则+a b 的最小值为________.26.(2021·苏州市第五中学校高一月考)正实数x ,y 满足:21x y +=,则当21x y+取最小值时,x =___________.27.(2021·浙江衢州市·高一月考)已知0a >,0b >且25a b +=,则21ab a b++的最小值为___________.28.(2021·浙江高三月考)设实数a ,b 满足0a >,1a b +=,则22212a b a b ++-的最大值是________.29.(2021·安徽滁州市·高一期末)已知0,0,4a b a b >>+=,则411a b ++的最小值为__________.四、解答题30.(2021·安徽高三二模(文))已知a ,b ,c 为正数,且满足3a b c ++=. (1)证明:1113ab bc ac++≥. (23≥.31.(2021·吉林吉林市·高二三模(文))已知函数()41,f x x x x R =-+-∈ (1)解不等式:()5f x ≤(2)记()f x 的最小值为M ,若正实数,a b 满足a b M +=,试求:1121a b +++的最小值32.(2020·江苏常州市·常州高级中学高一期中)已知0x >,0y >,4xy x y a =++. (1)当12a =时,求xy 的最小值; (2)当0a =时,求41x y x y+++的最小值. 33.(2020·泰州市第二中学高一期中)设函数2(),,,f x ax bx c a b c R =++∈.(1)若1a =,且关于x 的不等式()0f x <的解集是()1,2,解不等式210bx cx ++>; (2)若0,1,1a b a c <=-=-,解关于x 的不等式()0f x >;(3)若0,()a f x >在区间[1,0]-上的最大值是c ,且(1)(3)f f ≤-,求22453||ab a u a-=-的取值范围. 34.(2020·泰州市第二中学高一期中)(1)已知正数a b 、满足121a b+=,求ab 的最小值;(2)已知1x <,求函数1()1f x x x =+-的最大值. 35.(2020·江苏省通州高级中学高一月考)已知(),0a b ∈+∞,,1a b +=,求12y a b=+的最小值. 解法如下:()1212233b ay a b a b a b a b⎛⎫=+=++=++≥+ ⎪⎝⎭, 当且仅当2b a a b =,即1a =,2b =- 则12y a b=+的最小值为3+.应用上述解法,求解下列问题:(1)已知(),,0,a b c ∈+∞,1a b c ++=,求111y a b c=++的最小值; (2)已知10,2⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x ,求1812y x x=+-的最小值; (3)已知正数123,,,,n a a a a ,满足1231n a a a a ++++=.求证:2222312122334112n n a a a a a a a a a a a a ++++≥++++. 36.(2020·上海高一专题练习)已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k -1)x +k 2+k -1=0有实数根.(1)求k 的取值范围;(2)若此方程的两个实数根x 1,x 2满足2212x x +=11,求k 的值.37.(2020·泰州市第二中学高二月考)关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0 (1)若a=-2解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<0(2)若a >0解关于x 的不等式ax 2-(a +1)x +1<038.(2021·浙江高二期末)设函数2()f x x ax b =-+.(1)若不等式()0f x <的解集是{23}xx <<∣,求不等式210bx ax -+<的解集; (2)当3b a =-时,()0f x ≥恒成立,求实数a 的取值范围.39.(2021·全国高三专题练习)已知函数f (x )=x 2-2ax +5(a >1).若f (x )在区间(-∞,2]上是减函数,且对任意的x 1,x 2∈[1,a +1],总有|f (x 1)-f (x 2)|≤4,求实数a 的取值范围.40.(2021·安徽芜湖市·高一期末)在“基本不等式”应用探究课中,甲和乙探讨了下面两个问题:(1)已知正数x 、y 满足21x y +=,求12x y+的最小值.甲给出的解法是:由21x y +=≥,则128x y +≥=≥,所以12x y +的最小值为8.而乙却说这是错的.请你指出其中的问题,并给出正确解法;(2)结合上述问题(1)的结构形式,试求函数()1310122f x x x x ⎛⎫=+<< ⎪-⎝⎭的最小值.41.(2020·上海高一专题练习)求下列函数的最小值(1)21(0)x x y x x++=>;(2)2)y x R =∈;(3)226(1)1x x y x x ++=>-.42.(2020·上海高一专题练习)已知a >0,b >0,且a +b =1(1)求证:11(1)(1)9ab ++≥;(2)求证:4418a b +≥;(3)求证 (a +1a )(b +1b )≥254. 43.(2021·山东日照市·高一期末)已知函数2()21f x kx kx =+-.(1)若不等式()0f x <的解集为3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭,求实数k 的值;(2)若方程()0f x =在[]12,有解,求实数k 的取值范围. 44.(2020·河南高二月考(文))已知关于x 的不等式222ax x ax -+<. (1)当1a =时,解不等式222ax x ax -+<; (2)当0a ≠时,解等式222ax x ax -+≥. 五、双空题45.(2021·渝中区·重庆巴蜀中学高一期末)已知a ,b R +∈,且2284a b +=,则2+a b的最大值为______;4122a b ++的最小值为______.。
江苏省泰州市第二中学2015届度高三上学期第一次限时作业数学(文)试题 Word版无答案
泰州二中2014-2015学年度第一学期第一次限时作业高三数学(文科)一、填空题:(共14小题,每小题5分,计70分.请把答案填写在答题纸相应位置上)1.已知全集,集合{}=12A ,,{}=23B ,,则()U C A B ⋃= ▲ . 2. 设i 为虚数单位,复数ii-12等于____▲_______ 3.已知函数()4(0,0)af x x x a x=+>>在3x =时取得最小值,则a = ▲ . 4.“22a b >”是22log log a b >”的 ▲ 条件.5. 抛物线241x y =的准线方程是 ▲ .{}1,2,3,4U =6.在等比数列{}a 中,若,a a 是方程2420x x ++=的两根,则a 的值是___▲____.8. 如果实数,x y 满足不等式组1,10,220,x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则221x y +-的最小值是▲ .9.函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ .10.设m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面,则下列四个命题:①若,,m n m α⊥⊥则n α∥; ②若,,m βαβ⊥⊥则m α∥;③若βα⊥⊥m m ,,则α∥β;④若,,,m n m n αβ⊥⊥⊥则αβ⊥. 其中正确的命题序号是 ▲ .11. 已知函数f (x )=201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥,,若((2))()f f f k ->,则实数k 的取值范围为 ▲ . 12.下列说法中,正确的有 ▲ .(写出所有正确命题的序号).①若f '(x 0)=0,则x 0为f (x )的极值点;②在闭区间[a ,b ]上,极大值中最大的就是最大值; ③若f (x )的极大值为f (x 1),f (x )的极小值为f (x 2),则f (x 1)>f (x 2); ④有的函数有可能有两个最小值;⑤已知函数x e x f =)(,对于)(x f 定义域内的任意一个1x 都存在唯一个1)()(,212=x f x f x 使成立.13. 如图,PQ 是半径为1的圆A 的直径,△ABC 是边长为1的正三角形,则CQ BP ∙的最大值为 ▲ .14.设(,)P x y 为函数21(y x x =->图象上一动点,记353712x y x y z x y +-+-=+--,则当z 最小时,点P 的坐标为 ▲ .二、解答题:(本题共6小题,计90分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15. (本题14分)如图,在直三棱柱111A B C ABC -中, AB ⊥BC ,E ,F 分别是1A B ,1AC 的中点. (1)求证:EF ∥平面ABC ;(2)求证:平面AEF ⊥平面11AA B B ;16.(本题14分)已知(3,cos())a x ω=-,(sin(b x ω=,其中0ω>,函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间;(2)在ABC ∆中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.且()2A f =, ①求角A 的大小.②求CB A T 222sin sin sin ++=的范围 17.(本题15分)某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段,已知跳水板AB 长为2 m ,跳水板距水面CD 的高BC 为3 m ,CE =5 m ,CF =6 m ,为安全和空中姿态优美,训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h ≥1)时达到距水面最大高度4 m ,规定:以CD 为横轴,CB 为纵轴建立直角坐标系.(1)当h =1时,求跳水曲线所在的抛物线方程;(2)若跳水运动员在区域EF 内入水时才能达到压水花的训练要求,求达到压水花的训练要求时h 的取值范围.18. (本题15分)在ABC △中,内角,,A B C 对边的边长分别是,,a b c .已知2,3c C π==.(1)若ABC △ABC △的形状,并说明理由; (2)若sin sin()2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.19.(本题16分)已知数列{}n a 前n 项和为11,,,2n n n S a a S 首项为且,成等差数列.(1)求数列{}a 的通项公式;1b ++<(1)当0a >时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()y f x =的图象在点(2(2))f ,处的切线的倾斜角为45︒,且函数21()()()2g x x nx mf x m n '=++∈R ,当且仅当在1x =处取得极值,其中()f x '为()f x 的导函数,求m 的取值范围;FB CEA 1A 1B1C。
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |0<x <2},B ={x |1<x <4},则A ∪B =( ) A .{x |0<x <2}B .{x |2<x <4}C .{x |0<x <4}D .{x |x <2或x >4}2.命题“∀x ∈R ,x 2+2x +2>0”的否定是( ) A .∀x ∈R ,x 2+2x +2≤0 B .∃x ∈R ,x 2+2x +2≤0 C .∀x ∈R ,x 2+2x +2<0D .∃x ∈R ,x 2+2x +2>03.“﹣2<x <4”是“x 2﹣x ﹣6<0”的( ) A .必要而不充分条件 B .充分而不必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.已知a =log 1.80.8,b =1.80.8,c =0.80.8,则a 、b 、c 的大小关系为( ) A .a >b >cB .c >a >bC .c >b >aD .b >c >a5.函数y =1−x +√1−2x 的值域为( ) A .(−∞,12]B .[0,+∞)C .[12,+∞)D .(12,+∞)6.设函数f(x)={2−x −1,x ≤0x 12,x >0,若f (x 0)<3,则x 0的取值范围是( )A .(﹣2,+∞)B .(﹣2,9)C .(﹣∞,﹣2)∪(9,+∞)D .(﹣2,0)∪(9,+∞)7.牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时长t (单位:h )与储藏温度x (单位:℃)之间的关系为t =192×(732)x 22,若要使牛奶保鲜时长超过96h ,则应储藏在温度低于( )℃的环境中.(附:lg 2≈0.301,lg 7≈0.845,答案采取四舍五入精确到0.1) A .10.0B .10.3C .10.5D .10.78.若函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x >0,y >0,满足f(x)−f(y)=f(x y),则不等式f(x +3)−f(1x )<2f(2)的解集为( ) A .(﹣1,4)B .(﹣4,1)C .(0,1)D .(0,4)二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9.若函数y =e x 的图象上存在不同的两点A ,B 到直线l 的距离均为e ,则l 的解析式可以是( )A .y =﹣eB .y =eC .x =eD .y =x10.下列说法正确的是( ) A .不等式2x+1≥1的解集是(﹣1,1]B .若函数f (x )的定义域为[1,4],则函数f (x +1)的定义域为[0,3]C .函数y =2x+1在单调递减区间为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞)D .函数f(x)=√−x 2+2x 的单调递增区间为[0,1] 11.已知a >0,b >0,a +b =1,则( ) A .ab ≤14B .log 2a +log 2b ≥﹣2C .1a +1b ≥4D .(12)a−b <212.用C (A )表示非空集合A 中元素的个数,定义A ∗B ={C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)<C(B),已知集合A ={x |x 2+x =0},B ={x ∈R |(x 2+ax )(x 2+ax +1)=0},则下面正确结论正确的是( ) A .∃a ∈R ,C (B )=3 B .∀a ∈R ,C (B )≥2C .“a =0”是“A *B =1”的必要不充分条件D .若S ={a ∈R |A *B =1},则C (S )=3三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 .14.已知幂函数f (x )=(a 2﹣a ﹣1)x a 在区间(0,+∞)上单调递减,则函数g (x )=b x +a ﹣1(b >1)的图象过定点 .15.若函数f (x )的值域为(0,1],且满足f (x )=f (﹣x ),则f (x )的解析式可以是f (x )= . 16.已知函数f (x )=x 2,g (x )=a |x ﹣1|,a 为常数,若对于任意x 1,x 2∈[0,2],且x 1<x 2,都有f (x 1)﹣f (x 2)<g (x 1)﹣g (x 2),则实数a 的取值范围为 .四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)计算求值:(1)(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)﹣1+(5+2√6)0(2)e 2ln 3+ln (e √e )﹣log 49•log 278﹣log 2(log 216)+lg √2+lg √518.(12分)已知全集U =R ,集合M ={x |(x +4)(x ﹣6)<0},N ={x |x ﹣5<0}. (1)求M ∪N ,∁R N ;(2)设P={x||x|=t},若P⊆M,求t的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)={x+4,x≤1x+kx,x>1,其中k>0(1)若k=1,f(m)=174,求实数m的值;(2)若函数f(x)的值域为R,求k的取值范围.20.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数.(1)求实数a的值.(2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明.(3)解关于x的不等式f(4x)+f(8﹣9×2x)>0.21.(12分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)﹣b为y关于x的奇函数,给定函数f(x)=13x+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)已知函数g(x)=﹣x2+mx,若对任意的x1∈[﹣1,1],总存在x2∈[1,+∞),使得g(x1)≤f(x2),求实数m的取值范围.22.(12分)已知函数f(x)=x(m|x|﹣1),m∈R.(1)若m=1,写出函数f(x)在[﹣1,1]上的单调区间,并求f(x)在[﹣1,1]内的最小值;(2)设关于对x的不等式f(x+m)>f(x)的解集为A,且[﹣1,1]⊆A,求实数m的取值范围.2023-2024学年江苏省泰州市姜堰中学高一(上)期中数学试卷参考答案与试题解析一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<4},则A∪B=()A.{x|0<x<2}B.{x|2<x<4}C.{x|0<x<4}D.{x|x<2或x>4}解:集合A={x|0<x<2},B={x|1<x<4},则A∪B={x|0<x<4}.故选:C.2.命题“∀x∈R,x2+2x+2>0”的否定是()A.∀x∈R,x2+2x+2≤0B.∃x∈R,x2+2x+2≤0C.∀x∈R,x2+2x+2<0D.∃x∈R,x2+2x+2>0解:原命题为:∀x∈R,x2+2x+2>0,∵原命题为全称命题,∴其否定为存在性命题,且不等号须改变,∴原命题的否定为:∃x∈R,x2+2x+2≤0.故选:B.3.“﹣2<x<4”是“x2﹣x﹣6<0”的()A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解:不等式x2﹣x﹣6<0,即(x+2)(x﹣3)<0,可得﹣2<x<3,因为条件“﹣2<x<4”对应的集合包含“﹣2<x<3”对应的集合,所以“﹣2<x<4”是“x2﹣x﹣6<0”的必要而不充分条件.故选:A.4.已知a=log1.80.8,b=1.80.8,c=0.80.8,则a、b、c的大小关系为()A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.b>c>a解:∵a=log1.80.8<log1.81=0,b=1.80.8>1.80=1,0<c=0.80.6<0.80=1,故b>c>a.故选:D.5.函数y =1−x +√1−2x 的值域为( ) A .(−∞,12]B .[0,+∞)C .[12,+∞)D .(12,+∞)解:易知函数的定义域为(−∞,12],由于y =1﹣x 在(−∞,12]上单调递减,y =√1−2x 在(−∞,12]上单调递减, 则函数y =1−x +√1−2x 在(−∞,12]上单调递减, 故y ≥1−12+√1−2×12=12, 即函数的值域为[12,+∞). 故选:C .6.设函数f(x)={2−x −1,x ≤0x 12,x >0,若f (x 0)<3,则x 0的取值范围是( )A .(﹣2,+∞)B .(﹣2,9)C .(﹣∞,﹣2)∪(9,+∞)D .(﹣2,0)∪(9,+∞)解:函数f(x)={2−x −1,x ≤0x 12,x >0,由f (x 0)<3,可得①{x 0≤02−x 0−1<3,解得﹣2<x 0≤0,②{x 0>0x 012<3,解得0<x 0<9;则x 0的取值范围是:(﹣2,9). 故选:B .7.牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同,假定保鲜时长t (单位:h )与储藏温度x (单位:℃)之间的关系为t =192×(732)x22,若要使牛奶保鲜时长超过96h ,则应储藏在温度低于( )℃的环境中.(附:lg 2≈0.301,lg 7≈0.845,答案采取四舍五入精确到0.1) A .10.0B .10.3C .10.5D .10.7解:由题意得t =192×(732)x 22>96, ∴(732)x 22>12,∴x 22<log 73212=−log 7322,∴x 22<−log 7322=−lg2lg7−5lg2≈0.456,解得x <10.032,∴应储藏在温度低于10.0℃的环境中.故选:A .8.若函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,且对一切x >0,y >0,满足f(x)−f(y)=f(x y),则不等式f(x +3)−f(1x)<2f(2)的解集为( ) A .(﹣1,4)B .(﹣4,1)C .(0,1)D .(0,4)解:因为对一切x >0,y >0,满足f(x)−f(y)=f(xy ),所以令x =4,y =2,得f (4)﹣f (2)=f (2),即f (4)=2f (2), 则不等式f (x +3)﹣f (1x )<2f (2)可化为f ((x +3)x )<f (4),又因为函数f (x )是定义在(0,+∞)上的增函数,所以{x +3>0x >0(x +3)x <4,即{x >−3x >0x 2+3x −4<0,解得0<x <1.故选:C .二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9.若函数y =e x 的图象上存在不同的两点A ,B 到直线l 的距离均为e ,则l 的解析式可以是( ) A .y =﹣e B .y =eC .x =eD .y =x解:如图所示:函数y =e x 的图象上的点到直线y =﹣e 的距离都大于e ,故A 错误; 当x <1时,函数y =e x 的图象上的点到直线y =e 的距离都小于e ,当x >1时,函数y =e x 的图象上存在一个点到直线y =e 的距离等于e ,故B 错误;当x<e时,函数y=e x的图象上存在一个点到直线x=e的距离等于e,当x>e时,函数y=e x的图象上存在一个点到直线x=e的距离等于e,故C正确;点A(0,1)到直线x﹣y=0的距离|AB|=√22<e,则点A(0,1)两边各存在一点到直线x﹣y=0的距离等于e,故D正确.故选:CD.10.下列说法正确的是()A.不等式2x+1≥1的解集是(﹣1,1]B.若函数f(x)的定义域为[1,4],则函数f(x+1)的定义域为[0,3]C.函数y=2x+1在单调递减区间为(﹣∞,﹣1)∪(﹣1,+∞)D.函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0,1]解:根据题意,依次分析选项:对于A,不等式2x+1≥1,变形可得1−xx+1≥0,解可得﹣1<x≤1,即不等式的解集为(﹣1,1],A正确;对于B,若函数f(x)的定义域为[1,4],对于函数f(x+1),有1≤x+1≤4,解可得0≤x≤3,即函数f(x+1)的定义域为[0,3],B正确;对于C,函数y=2x+1由函数y=2x向左平移1个单位得到,则函数y=2x+1在单调递减区间为(﹣∞,﹣1)和(﹣1,+∞),C错误对于D,对于f(x)=√−x2+2x,有﹣x2+2x≥0,解可得0≤x≤2,即函数的定义域为[0,2],设t=﹣x2+2x,则y=√t,t=﹣x2+2x在区间[0,1]上为增函数,在区间[1,2]上为减函数,y=√t在[0,+∞)上为增函数,故函数f(x)=√−x2+2x的单调递增区间为[0,1],D正确.故选:ABD.11.已知a>0,b>0,a+b=1,则()A.ab≤14B.log2a+log2b≥﹣2C.1a +1b≥4D.(12)a−b<2解:对选项A,因为a>0,b>0,且a+b=1,所以ab≤(a+b)24=14,当且仅当a=b=12时,等号成立,故A正确.对选项B,log2a+log2b=log2ab≤log214=−2,当且仅当a =b =12时,等号成立,故B 错误. 对选项C ,因为a >0,b >0,a +b =1,1a+1b=(1a+1b )(a +b)=2+b a+a b≥2+2√b a ⋅ab=4,当且仅当ba=a b时,即a =b =12时等号成立,故C 正确.对选项D ,因为a >0,a +b =1,所以b =1﹣a ,2a ﹣1>﹣1, 所以(12)a−b =(12)2a−1<(12)−1=2,故D 正确. 故选:ACD .12.用C (A )表示非空集合A 中元素的个数,定义A ∗B ={C(A)−C(B),C(A)≥C(B)C(B)−C(A),C(A)<C(B),已知集合A ={x |x 2+x =0},B ={x ∈R |(x 2+ax )(x 2+ax +1)=0},则下面正确结论正确的是( ) A .∃a ∈R ,C (B )=3 B .∀a ∈R ,C (B )≥2C .“a =0”是“A *B =1”的必要不充分条件D .若S ={a ∈R |A *B =1},则C (S )=3解:对于A ,当a =2时,B ={0,﹣2,﹣1},此时C (B )=3,故A 正确; 对于B ,当a =0时,B ={0},此时C (B )=1,故B 错误;对于C ,当a =0时,B ={0},所以C (B )=1,A ={0,﹣1},所以C (A )=2,所以A *B =1; 当A *B =1时,因为C (A )=2,所以C (B )=1或3, 若C (B )=1,满足{a =0Δ=a 2−4=0,解得a =0;若C (B )=3,因为方程x 2+ax =0的两个根x 1=0,x 2=﹣a 都不是方程x 2+ax +1=0的根,所以需满足{a ≠0Δ=a 2−4=0,解得a =±2, 所以“a =0“是“A *B =1”的充分不必要条件,故C 错误;对于D ,因为C (A )=2,要得A *B =1,所以C (B )=1或3,由C 可知:a =0或a =±2, 所以S ={0,2,﹣2},所以C (S )=3,故D 正确; 故选:AD .三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13.函数y =√2−x +log 2(x −1)的定义域为 . 解:要使函数有意义则{2−x ≥0x −1>0,∴{x ≤2x >1,即1<x ≤2, 即函数的定义域为{x |1<x ≤2}. 故答案为:{x |1<x ≤2}.14.已知幂函数f (x )=(a 2﹣a ﹣1)x a 在区间(0,+∞)上单调递减,则函数g (x )=b x +a ﹣1(b >1)的图象过定点 .解:∵幂函数f (x )=(a 2﹣a ﹣1)x a 在区间(0,+∞)上单调递减, ∴{a 2−a −1=1a <0,解得a =﹣1, ∴g (x )过定点(1,0). 故答案为:(1,0).15.若函数f (x )的值域为(0,1],且满足f (x )=f (﹣x ),则f (x )的解析式可以是f (x )= . 解:由题意可知,函数的值域为(0,1],且函数为偶函数,满足条件的其中一个函数为f(x)=(12)|x|. 故答案为:(12)|x|(答案不唯一).16.已知函数f (x )=x 2,g (x )=a |x ﹣1|,a 为常数,若对于任意x 1,x 2∈[0,2],且x 1<x 2,都有f (x 1)﹣f (x 2)<g (x 1)﹣g (x 2),则实数a 的取值范围为 .解:对于任意x 1,x 2∈[0,2],且x 1<x 2,都有f (x 1)﹣f (x 2)<g (x 1)﹣g (x 2),即f (x 1)﹣g (x 1)<f (x 2)﹣g (x 2),令F (x )=f (x )﹣g (x )=x 2﹣a |x ﹣1|,即F (x 1)<F (x 2),只需F (x )在[0,2]单调递增即可, 当x =1时,F (x )=0,图象恒过(1,0)点, 当x >1时,F (x )=x 2﹣ax +a , 当x <1时,F (x )=x 2+ax ﹣a , 要使F (x )在[0,2]递增,则当1<x ≤2时,F (x )=x 2﹣ax +a 的对称轴x =a2≤1,即a ≤2, 当0≤x <1时,F (x )=x 2+ax ﹣a 的对称轴x =−a2≤0,即a ≥0, 故a ∈[0,2], 故答案为:[0,2]四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)计算求值: (1)(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)﹣1+(5+2√6)0(2)e 2ln 3+ln (e √e )﹣log 49•log 278﹣log 2(log 216)+lg √2+lg √5 解:(1)(√23×√3)6−3235−√23×(4−13)−1+(5+2√6)0=108−8−2+1=99;(2)e 2ln 3+ln (e √e )﹣log 49•log 278﹣log 2(log 216)+lg √2+lg √5 =9+32−2lg32lg2•3lg23lg3−2+lg √10 =9+32−1﹣2+12 =8.18.(12分)已知全集U =R ,集合M ={x |(x +4)(x ﹣6)<0},N ={x |x ﹣5<0}. (1)求M ∪N ,∁R N ;(2)设P ={x ||x |=t },若P ⊆M ,求t 的取值范围.解:(1)因为M ={x |﹣4<x <6},N ={x |x <5},所以M ∪N ={x |x <6},∁R N ={x |x ≥5}. (2)当P =∅时,t <0;当P ≠∅时,{t ≥0−4<t <6−4<−t <6,解得0≤t <4.综上所述,t <4,即t 的取值范围为(﹣∞,4). 19.(12分)已知函数f (x )={x +4,x ≤1x +kx,x >1,其中k >0(1)若k =1,f(m)=174,求实数m 的值; (2)若函数f (x )的值域为R ,求k 的取值范围. 解:(1)当k =1时,f(x)={x +4,x ≤1x +1x ,x >1, 由f(m)=174,得{m +4=174m ≤1或{m +1m =174m >1, 解得m =14或m =4, 所以实数m 的值为14或4.(2)当x ≤1时,f (x )=x +4,值域为(﹣∞,5]. 分以下两种情形来讨论:若0<k ≤1,此时√k ≤1,则f(x)=x +kx 在区间(1,+∞)上单调递增,此时f (x )的值域为(k +1,+∞),所以函数f (x )的值域为(﹣∞,4]∪(k +1,+∞)=R ,满足题意. 所以0<k ≤1满足题意.若k>1,此时√k>1,则f(x)=x+kx在区间(1,√k]上单调递减,在区间(√k,+∞)上单调递增,此时f(x)的值域为[2√k,+∞),所以f(x)的值域为(−∞,5]∪[2√k,+∞),由题意可得2√k≤5,解得k≤254,所以1<k≤254.综上:k的取值范围是{k|0<k≤254 }.20.(12分)已知定义域为R的函数f(x)=1−a⋅2x2x+1是奇函数.(1)求实数a的值.(2)试判断f(x)的单调性,并用定义证明.(3)解关于x的不等式f(4x)+f(8﹣9×2x)>0.解:(1)∵函数f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(﹣x)+f(x)=0,即f(x)+f(−x)=1−a⋅2x2x+1+1−a⋅2−x2−x+1=(a−1)(2x+1)2x+1=0恒成立,∴a=1.(2)f(x)在R上为减函数,证明如下:由于f(x)=1−2x2x+1=−1+22x+1,任取x1,x2∈R且x1<x2,则f(x1)−f(x2)=(−1+22x1+1)−(−1+22x2+1)=22x1+1−22x2+1=2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1).∵x1<x2,∴2x2−2x1>0,又(2x1+1)(2x2+1)>0,∴f(x1)>f(x2),∴函数f(x)在R上为减函数.(3)由(2)得,奇函数f(x)在R上为减函数,∴f(4x)>f(9×2x﹣8),即22x<9•2x﹣8,令2x=t(t>0),则t2﹣9t+8<0,可得1<t<8,即20=1<2x<23,可得不等式的解集为(0,3).21.(12分)函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,可以将其推广为:函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)﹣b为y关于x的奇函数,给定函数f(x)=13x+1.(1)求f(x)的对称中心;(2)已知函数g(x)=﹣x2+mx,若对任意的x1∈[﹣1,1],总存在x2∈[1,+∞),使得g(x1)≤f(x2),求实数m的取值范围.解:(1)假设f (x )的图像存在对称中心(a ,b ),则h (x )=f (x +a )﹣b 的图像关于原点成中心对称,因为h (x )的定义域为R ,所以ℎ(−x)+ℎ(x)=13a−x −b +13x+a −b =0恒成立, 即(1﹣2b )(3a ﹣x +3a +x )+2﹣2b ﹣2b •32a =0恒成立,所以{1−2b =02−2b −2b32a =0, 解得{a =0b =12, 所以 f (x )的图像存在对称中心(0,12);(2)因为 f (x )在区间[1,+∞)上递减,可得f (x )的最大值为f (1)=14,由题意可得﹣x 2+mx ≤14在x ∈[﹣1,1]上恒成立,当x =0时,不等式化为0≤14恒成立;当0<x ≤1时,可得m ≤(x +14x )min , 由y =x +14x ≥2√14=1(当且仅当x =12∈(0,1]时,取得等号), 则m ≤1;当﹣1≤x <0时,可得m ≥(x +14x )max, 由y =x +14x ≤−2√14=−1(当且仅当x =−12∈[﹣1,0)时,取得等号),则m ≥﹣1;所以m 的取值范围是[﹣1,1].22.(12分)已知函数f (x )=x (m |x |﹣1),m ∈R .(1)若m =1,写出函数f (x )在[﹣1,1]上的单调区间,并求f (x )在[﹣1,1]内的最小值;(2)设关于对x 的不等式f (x +m )>f (x )的解集为A ,且[﹣1,1]⊆A ,求实数m 的取值范围. 解:(1)若m =1,f (x )=x (|x |﹣1)={x 2−x ,x ≥0−x 2−x ,x <0, 所以f (x )的单调增区间为[﹣1,−12],[12,1],递减区间为[−12,12],又f (﹣1)=0,f (12)=−14, 所以f (x )在[﹣1,1]内的最小值为−14.(2)因为关于对x的不等式f(x+m)>f(x)的解集为A,且[﹣1,1]⊆A,所以f(x+m)>f(x)在[﹣1,1]上恒成立,当m=0时,不符合题意,当m<0时,f(x)在[﹣1,1]上单调递减,符合题意,当m>0时,令x=0得f(m)>f(0),所以m(m2﹣1)>0,解得m>1,当x∈[﹣1,0),x+m∈[m﹣1,m),则f(x+m)=(x+m)(mx+m2﹣1),f(x)=x(﹣mx﹣1),又f(x+m)>f(x),所以2x2+2mx+m2﹣1>0,令h(x)=2x2+2mx+m2﹣1,x∈[﹣1,0),当−m2<−1,即m>2时,h(x)在[﹣1,0)上单调递增,所以h(x)min=h(﹣1)=m2﹣2m+1>0,所以m>2;当−m2≥−1,即1<m≤2时,h(x)在[﹣1,−m2)上单调递减,(−m2,0)单调递增,所以h(x)min=h(−m2)>0,所以m>√2,所以√2<m≤2,所以m>√2时恒成立,当x∈(0,1],x+m∈(m,m+1],则f(x+m)=(x+m)(mx+m2﹣1),f(x)=x(mx﹣1),又f(x+m)>f(x),所以2mx+m2﹣1>0恒成立,令h(x)=2x2+2mx+m2﹣1,x∈[﹣1,0),综上:实数m的取值范围为(﹣∞,0)∪(√2,+∞).。
突破高考难点 浅析两类含参数问题——“解一题、会一类、通一路”
(5)能力要求大幅度提 高.如 何越 过这些 大 山,克服 学习 中
的 困难 呢 ?
大家都 知道 ,科 学的学 习方法 是 :预 习、听课 、作业 、复
习.在这里 ,我要强 调的是 复 习的重要 性.德 国教育 学家第
斯 多惠说 :“必须时常 回复到所学的东西上 而加 以复 习……
牢 固地记住所学 会 的东西 ,这 比贪 学新 东西而 又很快 忘 掉
’ .
‘
,(0):1,.‘.只要,(2)≤0得
m≤一÷
;
f对称轴 0<L <2 ,
(2)当o< l< 2≤2时,{△:(m—1) /一4≥0,
tf(2)≥O,
·
一
了3 ≤m≤ 一
1.
..
综 上 所 述 ,m≤ 一1. 变 式 2 设 0 E R,二 次 函 数 f( )= 一2x一2a.若 厂( )>0的解集为 A,B={ I1< <3},A nB= ,求实 数 。
解 题 技 巧 与 方 法
·
●
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突破 考难点 浅撅 粪 含参数 题
“解 一 题 、会 一 类 、通 一 路 ”
◎季礼 萍 徐 明杰 (1.江苏省泰州市第二 中学,江苏 泰州 225300;2.泰州市第二 中学附属初 中,江 苏 泰 州 225300)
【摘要 】当前,教 育 系统 比较 流行 的一句 话是 :教 学 要 “解 一题 、会 一 类 、通 一路 ”.区别 于 义 务 教 育 阶段 ,针 对 高 中 各 学科教材 的特 点,如何实 现真正 意义上 学 生学 习能力 的 提高 ,从而更好地 胜任 高考 、适应 社会 ,摆 在 了一线教 师和 学生面前.借 助各 地 高考或模 拟试 题 中频繁 出现 两 类含参 数 问题 ,启发读者 (包括教师和学生)多做研 究性学 习.
高一数学 子集、真子集教案
江苏省泰州市第二中学高一数学教案子集、真子集一、复习引入1、回答以下概念:集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图2、用列举法表示下列集合:①32{|220}x x x x--+=②{(x,y)|x∈{1,2},y∈{1,2}}3、用描述法表示集合:1111 {1,,,,} 23454、用两种方法表示:“与2相差3的所有整数所组成的集合”5、用自己的语言表述下列两个集合有什么样的关系?(1)A={-1, 1},B={-1, 0, 1, 2}(2)A=N,B=R(3)A={x|x为北京人},B={x|x为中国人}6、模仿5中两个集合的关系,试举再出两个这样的例子①②二、概念生成通过5、6两个例子讨论生成子集的概念子集:理解为 a∈A⇒a∈BVenn图来表示真子集:,记为,读作理解为:若A⊆B,且,称A是B的真子集.规定①φ⊆A,即空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集②A⊆A 小组讨论:① A⊆B与B⊆A能否同时成立②A⊆B,B⊆C,则C A例1、写出N,Z,Q,R的包含关系,并用文氏图表示例2 、写出集合{a, b}的所有子集变式: ①写出集合{1,2,3}的所有子集②写出满足∅A ⊆},,,{d c b a 的集合A 有多少个?例3、已知A ={x |x <-2或x >3},B ={x |4x +m <0},当A ⊇B 时,求实数m 的取值范围.三、小结四、作业第(1)课时课题:书法---写字基本知识课型:新授课教学目标:1、初步掌握书写的姿势,了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点:基本笔画的书写。
难点:运笔的技法。
教学过程:一、了解书法的发展史及字体的分类:1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体:颜、柳、赵、欧体,分类出示范本,边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求:1、书写姿势:做到“三个一”:一拳、一尺、一寸(师及时指正)2、了解钢笔的性能:笔头富有弹性;选择出水顺畅的钢笔;及时地清洗钢笔;选择易溶解的钢笔墨水,一般要固定使用,不能参合使用。
江苏省2020-2021学年高一上学期数学期中试题汇编04:函数的概念与性质【填选题】(答案版)
8.(江苏省南京市第十二中学2020-2021学年上学期期中4)下面各组函数中表示同个函数的是()
A. , B. ,
C. , D. ,
【答案】B
【解析】对于A, 的定义域为 ,而 的定义域为 ,两函数的定义域不相同,所以不是同一函数;
对于B,两个函数的定义域都为 ,定义域相同, ,所以这两个函数是同一函数;
A.0B.2
C.4D.-2
【答案】B
【解析】取 ,则 ,
因为函数为奇函数,则 , 即 ,
整理可得 ,即 .故选:B
10.(江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中4)已知函数 ,若 =10,则实数a的值为()
A 5B.9C.10D.11
【答案】B
【解析】由 ,令 ,则 .
因为 ,所以a=9.故选:B
A.-4 B.5 C.14 D.23
【答案】C
【解析】由题意可设 ,则当 时, 单调,且 ≥0恒成立,因为 的对称轴方程为 ,则 或 ,解得6≤a≤17或-3≤a≤-2,即 ,则只有14满足题意,故答案选C.
23.(江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中6)已知 是偶函数,且其定义域为 ,则 的值是()
【答案】C
【解析】满足条件的函数的定义域为 、 、 、 、 、 、 、 、 ,共 个.故选:C.
18.(江苏省南京市南师附中2020-2021学年上学期期中5)函数 的值域为( )
A. B. C. D.
【答案】D
19.(江苏省南通市西亭高级中学2020-2021学年上学期期中5)已知函数 的值域是()
C.[-4,-1]∪[0,2]D.(-∞,-1]∪[0,2]
江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期初高一数学试题(学生版)
江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期初高一数学试题 姓名 一、选择题.请把答案直接填涂在答题卡相应位置上......... 1.设全集U R =,集合{}{}2,lg(3)A y y x B x y x ====-,则()U A C B ⋂= ( )A .(2,)+∞B .(3,)+∞C .[0,3]D .{}(,2]3-∞⋃2.中文“函数” ()function 一词,最早由近代数学家李善兰翻译,之所以这么翻译,他给出的原因是“凡此变数中函数彼变数者,则此为彼之函数”,也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化,下列选项中,两个函数是同一个函数的是 ( )A .1()1()y x x R y x x N =-∈=-∈与B .2y x y x x ==⋅与 C .33y x y x ==与 D .2x y x y x==与 3.若2321log 5,2,log 3a b c -===,则,,a b c 的大小关系为 ( ) A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >> D .b c a >>4.已知1,0,2a b a b >>+=,则1112a b +-的最小值为 ( ) A .322+ B .3242+ C .322+ D .1223+ 5.函数22sin 1()x f x x -=的部分图象大致是 ( )6.已知圆O 与直线l 相切于点A ,点,P Q 同时从点A 出发,P 沿着直线l 向右,Q 沿着圆周按逆时针方向以相同的速度运动,当Q 运动到当A 时,点P 也停止运动,连接,OQ OP (如图),则阴影部分面积12,S S 的大小关系是 ( )A .12S S =B .12S S ≤C .12S S ≥D .121212S S S S S S <=>先,再,最后7.下列函数中同时具有性质:①最小正周期是π,②图象关于的5(,0)12π-对称,③在[,]63ππ-上为减函数的是 ( )A .sin()26x y π=+B .sin(2)6y x π=- C .cos(2)3y x π=+ D .cos(2)6y x π=- 8.已知函数22()21f x x ax a =-+-,若关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集,则实数a 的取值范围是 ( )A .(3,2)--B .[3,2]--C .(,2)-∞D .(,2]-∞-二、多选题:(每小题给出的四个选项中,不止一项是符合题目要求的,请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上)9.下列命题正确的是 ( )A .2,,2(1)0a b R a b ∃∈-++≤B .,,2a R x R ax ∀∈∃∈>使得C .2200ab a b ≠+≠是的充要条件D .1,11a b a b a a≥>-≥++ 10.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x R ∈,用[]x 表示不超过x 的最大整数,则y []x =称为高斯函数,例如:[ 3.5]4,[2.1]2-=-=.已知函数1()12x x e f x e =-+,则下列关于函数()[()]g x f x =的叙述正确的是 ( )A .()g x 是偶函数B .()f x 是奇函数C .()f x 在R 是增函数D .()g x 的值域是{}1,0,1-11.已知函数22,0(),0x a x f x x ax x +<⎧=⎨-≥⎩,若关于x 的方程(())0f f x =有8个不同的实根,则a 的值可能为为 ( )A .6-B .8C .9D .1212.下列命题正确的是 ( )A .若,αβ是第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>B .函数5sin(2)2y x π=-是偶函数 C .sin y x =是周期为2π的周期函数D .函数cos()3y x π=+的图象关于点(,0)6π成中心对称 三、填空题.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.........13.函数1()lg(1)f x x =+的定义域为 . 14.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且()f x 在[0,)+∞上是减函数,如果(2)(23)f m f m ->-,那么m 的取值范围是 .15. 已知函数2()2sin cos 3f x x x =-+-,若()4,02f x x π=-<<且,则cos x =;若x R ∈,则()f x 的值域为 . 16.设函数2222,0()log (2)1,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨++<⎩,则((1))f f -= ,若互不相等的实数123,,x x x 满足123()()()f x f x f x ==,则123x x x ++的取值范围是 .四、解答题.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.计算:(1)310322391(2)2()()5481--+⨯-;(2)22lg 25lg8lg 5lg 20(lg 2).3+++18.(1)已知sin 2cos 0αα-=,求23sin ()2sin sin()2ππααα-+-的值;(2)已知1sin()63πθ+=,求cos()3πθ-的值.19.已知点3(,0)8M π在函数()Asin()(0,0,0)f x x A ωϕωϕπ=+>><<的图象上,且()f x 的图象上与点M 最近的一个最低点的坐标为5(,3)8π-. (1)求()f x 的解析式;(2)用“五点法”画出函数()f x 在7[,]88ππ-上的图象.20.某心里学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p 与听课时间t 之间的关系满足如图所示的曲线,当(0,14]t ∈时,曲线是二次函数图象的一部分,当(14,40]t ∈时,曲线是log (5)83(0,1)a y t a a =-+>≠图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p 大于等于80时,听课效果最佳.(1)试求()p f t =的函数关系式;(2)一道数学难题,讲解需要22分钟,问老师能否经过合理安排在校生听课效果最佳时讲完?请说明理由.21.已知函数()(0,1).x x f x a a a a -=+>≠(1)若10a =,求(12lg 5)f -的值;(2)用定义证明:()f x 在[0,)+∞上单调递增;(3)若[3,0],(24)()x f x f x m ∀∈-+<+成立,求m 的取值范围.22. 如图,已知123(,),(,2),(,4)(2)A x m B x m C x m m ++≥是指数函数()2x f x =图象上的三点.(1)当2m =时,求123()f x x x ++的值;(2)设231L x x x =+-,求L 关于m 的函数()L m ;(3) 设ABC ∆的面积为S ,求S 关于m 的函数()S m 及其最大值.。
2022-2023学年江苏省镇江市扬中市第二高级中学高一上学期期末模拟数学试题带讲解
若 ,则 ,不符合题意,舍去;
若 ,则方程的两根异号或方程有两相等正根,
或 ,
解得 或 ,
综上,实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查不等式的恒成立问题转化为求函数最值问题,函数图象有且只有一个公共点转化为方程只有一正根,分类讨论以及转化思想的应用,考查了推理能力与计算能力.
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在正整数 ,使得不等式 在区间 上有解,若存在,求出 的最大值,若不存在,请说明理由.
(Ⅰ) ; (Ⅱ) ;(Ⅲ) .
【分析】(Ⅰ)令2x-3=1得x=2,即得定点的横坐标,代入函数解析式即得定点坐标;(Ⅱ)先求出 ,再利用对数的运算运算法则求 ;(Ⅲ)化为 在区间 上有解,令 ,求 得解.
15.使等式 成立的角 的集合为______.
【分析】先由题意得到 ,进而得到 或 ,从而可求出结果.
【详解】因为
,
所以 解得 或 ,
则 或 ,
所以角 的集合为 或 .
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系的应用,熟记公式即可,属于常考题型.
16.已知函数 ,若存在实数t,使 的值域为 ,则实数a的取值范围是______.
当 时,原式 ,故选项C不正确;
当 时,原式 ,故选项D正确,
故选:ABD
12.已知定义在 上的偶函数满足 ,且当 时, 是减函数,则下列四个命题中正确的是()
A.
B.直线 为函数 图象的一条对称轴
C.函数 在区间 上存在2个零点
D.若 在区间 上的根为 ,则
ABD
【分析】利用赋值法及偶函数的定义,结合函数的周期性、对称性及单调性即可求解.
【详解】(1)设 ( ),
的图象经过原点, ,
2021年沪教版数学必修二同步第10讲 向量的概念和线性运算(练习)教师版
第10讲 向量的概念和线性运算(练习)夯实基础一、单选题1.(2021·天津市第八中学高一月考)有关向量a 和向量b ,下列四个说法中: ①若0a =,则0a =; ②若a b =,则a b =或a b =-;③若//a b ,则a b =; ④若0a =,则0a -=.其中的正确有( )A .1B .2C .3D .4【答案】B【分析】由零向量的定义、向量的模、共线向量的定义,即可得出结果.【详解】由零向量的定义,可知①④正确;由向量的模定义,可知②不正确;由向量共线可知③不正确.故选:B2.(2021·江苏泰州市·泰州中学高一月考)在ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ( )A .3144AB AC B .1344AB AC C .3144AB ACD .1344AB AC 【答案】A【分析】根据平面向量的线性运算法则,准确运算,即可求解.【详解】根据向量的线性运算法则,可得:1122EB ED DB AD CB =+=+= 111()()222AB AC AB AC ⨯++-3144AB AC =-. 故选:A .3.(2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一月考)平行四边形ABCD 中,BC BA CD +-等于( )A .CBB .BC C .D .AC 【答案】B【分析】由平行四边形ABCD 得,BA CD =,由此可得选项.【详解】在平行四边形ABCD 中,BA CD =,所以BC BA CD BC +-=,故选:B.4.(2021·浙江高一期末)已知AM 是ABC 的BC 边上的中线,若,AB a AC b ==,则AM 等于( )A .()12b a -B .()12a b +C .()12a b -D .()12a b -+ 【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算可求得结果.【详解】因为AM 是ABC 的BC 边上的中线,所以M 为BC 的中点,所以AM AB BM =+12AB BC =+()12AB AC AB =+- 11112222AB AC a b =+=+. 故选:B5.(2021·江苏省昆山中学高一月考)已知点O 为ABC 所在平面内一点,若动点P 满足()()0OP OA AB ACλλ=++,则点一定P 经过ABC 的( ) A .外心B .内心C .垂心D .重心 【答案】D【分析】取BC 的中点D ,由()()0OP OA AB AC λλ=++,得2AP AD λ=,从而可得AP 与AD 共线,得直线AP 与直线AD 重合,进而得结论【详解】解:取BC 的中点D ,则2AB AC AD +=,因为()()0OP OA AB ACλλ=++,所以2AP AD λ=,所以AP 与AD 共线,即直线AP 与直线AD 重合,所以直线AP 一定过ABC 的重心,故选:D6.(2021·天津市武清区杨村第一中学高一月考)下列各式中不能化简为AD 的是( )A .()AB DC CB --B .()AD CD DC -+ C .()()CB MC DA BM -+-+D .BM DA MB --+【答案】D【分析】根据向量加减法的法则,分别判断每个选项,得到正确答案.【详解】()AB DC CB AB BC CD AD --=++=; ()0AD CD DC AD AD -+=-=;()()()CB MC DA BM CB BM DA MC CM DA CM AD -+-+=-+--=--+=; 2BM DA MB MB AD AD --+=+≠.故选:D.【点睛】本题考查向量的加减运算,关键是准确灵活使用向量的加法和减法运算法则,注意使用相反向量进行转化.7.(2021·浙江高一期末)下列各式中,不能化简为PQ 的是( )A .PA AB BQ +-B .()()AB PC BA QC ++- C .QC QP CQ -+D .()AB PA BQ ++【答案】A 【分析】直接利用向量的加减法一一计算即可.【详解】对于A: PA AB BQ PB BQ +-=-;对于B: ()()AB PC BA QC AB BA PC QC CQ CP PQ ++-=++-=-=;对于C: QC QP CQ QC CQ QP PQ -+=+-=;对于D: ()AB PA BQ AB BQ PA PA AQ PQ ++=++=+=.故选:A二、填空题8.(2021·天津市第八中学高一月考)CD AM BC MB +++=___________.【答案】AD【分析】利用向量加法的三角形法则化简可得结果.【详解】CD AM BC MB AM MB BC CD AD +++=+++=.故答案为:AD .9.(2021·浙江高一期末)已知向量(),3a x =,()4,6b =且//a b ,则x =___________.【答案】2【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于x 的等式,由此可解得实数x 的值.【详解】已知向量(),3a x =,()4,6b =且//a b ,则64312x =⨯=,解得2x =. 故答案为:2.10.(2021·江苏高一课时练习)如图所示,已知AD =3,B ,C 是线段AD 的两个三等分点,分别以图中各点为起点和终点,模长度大于1的向量有___________.【答案】,,,,,AC CA BD DB AD DA【分析】结合图形,分模长为2或3的向量求解.【详解】满足条件的向量有以下几类:模长为2的向量有:,,,AC CA BD DB .模长为3的向量有:,AD DA .故答案为:,,,,,AC CA BD DB AD DA11.(2021·江苏高一课时练习)若点A (-2,0),B (3,4),C (2,a )共线,则a =________. 【答案】165【分析】由向量平行的坐标表示计算即可. 【详解】因为A (-2,0),B (3,4),C (2,a ),所以(5,4),(4,),AB AC a →→==因为A ,B ,C 三点共线,所以//AB AC →→,故5a -16=0,所以a =165. 故答案为:165. 12.(2021·江苏高一课时练习)与向量()3,4a -=平行的单位向量是________. 【答案】34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】设所求单位向量的坐标为(),x y ,由与向量()3,4-平行可得340y x --=,又由其为单位向量,则221x y +=,联立即可求出答案.【详解】解:设所求单位向量的坐标为(),x y ,由与向量()3,4-平行可得340y x --=,又由其为单位向量,则221x y +=, ∴224301x y x y +=⎧⎨+=⎩得:3545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或3545x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴故答案为:34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭13.(2021·全国高一课时练习)菱形ABCD 中,∠BAD =60°,|AB |=1,则||BC CD +=_____.【答案】1 【分析】易知ABD 为等边三角形,再利用平面向量的加法运算求解.【详解】因为在菱形ABCD 中,∠BAD =60°, 所以△ABD 为等边三角形,所以||||||1BC CD BD AB +===|.故答案为:114.(2021·全国高一课时练习)已知点()3,4A -与()1,2B -,点P 在直线AB 上,且AP PB =,则点P 的坐标为________.【答案】()1,1-【分析】根据模长相等关系可确定P 为线段AB 中点,由中点坐标公式计算得到结果.【详解】P 在直线AB 上,且AP PB =,P ∴为线段AB 中点,又()3,4A -,()1,2B -,()1,1P ∴-.故答案为:()1,1-.三、解答题15.(2021·江苏高一课时练习)已知点A (3,-4)与B (-1,2),点P 在直线AB 上,且|AP |=|PB |,求点P 的坐标.【答案】(1,-1).【分析】由||||AP PB =且P 在直线AB 上,知:P 在A 、B 之间,结合向量的坐标表示及AP PB =,可求P 的坐标.【详解】设P 点坐标为(x ,y ),又||||AP PB =知:P 在线段AB 上, ∴AP PB =,即 (x -3,y +4)=(-1-x ,2-y ),∴3142x x y y -=--⎧⎨+=-⎩,解得11x y =⎧⎨=-⎩. ∴P 点坐标为(1,-1).16.(2021·全国高一课时练习)已知平面上三个点坐标为A (3,7),B (4,6),C (1,-2),求点D 的坐标,使得这四个点为构成平行四边形的四个顶点.【答案】D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15).【分析】根据四点构成平行四边形分别为ABCD 时AB DC =、ABDC 时AB CD =、ADBC 时AD CB =,利用向量的坐标表示即可求D 的坐标.【详解】设点D 的坐标为(x ,y ),(1)当平行四边形为ABCD 时,即有AB DC =,∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x ,y ),∴1121x y -=⎧⎨--=-⎩,解得01x y =⎧⎨=-⎩, ∴(0,1)D -.(2)同理,当平行四边形为ABDC 时,AB CD =,得(2,3)D -.(3)同理,当平行四边形为ADBC 时,AD CB =,得(6,15)D .综上,D 可能为(0,1)-或(2,3)-或(6,15).17.(2020·全国高一课时练习)已知(3,2)a =,(1,2)b =-,(4,1)c =.(1)求3a b c +-的坐标;(2)求满足条件a mb nc =+的实数m ,n .【答案】(1)(4,7);(2)58,99m n ==. 【分析】(1)利用向量的坐标运算即可求3a b c +-的坐标.(2)由已知线性关系,结合坐标表示得到4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩,解方程组即可. 【详解】(1)根据题意,(3,2)a =,(1,2)b =-,(4,1)c =,则3(9a b c +-=,6)(1+-,2)(4-,1)(4=,7),(2)根据题意,若a mb nc =+,即(3,2)(1m =-,2)(4n +,1),则有4322m n m n -+=⎧⎨+=⎩,解可得5989m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, 故58,99m n ==. 18.(2020·全国高一单元测试)已知平面向量,a b ,(1,2)a =.(1)若(0,1)b =,求2a b +的值;(2)若(2,)b m =,a 与a b -共线,求实数m 的值.【答案】(1;(2)4.【分析】(1)求出2a b +,即可由坐标计算出模;(2)求出a b -,再由共线列出式子即可计算.【详解】(1)2(1,2)(0,2)(1,4)+=+=a b ,所以2|2|14a b +=+=(2)(1,2)m -=--a b ,因为a 与a b -共线,所以1(2)2(1)0m ⨯--⨯-=,解得m =4.19.(2020·威远中学校高一月考(理))设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB a b =+,28BC a b =+,()3CD a b =-,求证:,,A B D 三点共线.(2)试确定实数k ,使ka b +和a kb +反向共线.【答案】(1)见解析(2)1k =-【分析】(1)运用向量共线定理,证得AB 与BD 共线,即可得证;(2)由题意可得存在实数λ,使()ka b a kb λ+=+,展开后,运用方程思想,即可得到所求值.【详解】(1)证明:∵AB a b =+,28BC a b =+,()3CD a b =-,∴()()283283355BD BC CD a b a b a b a b a b AB =+=++-=++-=+=. ∴AB 、BD 共线,又∵它们有公共点B ,∴A 、B 、D 三点共线(2)∵ka b +与a kb +反向共线,∴存在实数()0λλ<,使()ka b a kb λ+=+ 即ka b a kb λλ+=+,∴()()1k a k b λλ-=-∵a ,b 是不共线的两个非零向量,∴10k k λλ-=-=,∴210k -=,∴1k =±,∵0λ<,∴1k =-【点睛】本题考查向量共线定理的运用,考查方程思想和运算能力,属于基础题. 能力提升一、单选题1.(2021·全国高一课时练习)向量PA →=(k ,12),PB →=(4,5),PC →=(10,k ),若A ,B ,C 三点共线,则k 的值为( )A .-2B .11C .-2或11D .2或11 【答案】C【分析】求出,AB BC →→的坐标即得解.【详解】由题得AB PB PA →→→=-=(4-k ,-7),BC PC PB →→→=-=(6,k -5), 由题知//AB BC →→,故(4-k )(k -5)-(-7)×6=0,解得k =11或k =-2.故选:C【点睛】结论点睛:1122(,),(,),//a x y b x y a b →→→→==则12210x y x y -=.2.(2021·全国高一课时练习)已知()1,3A -、18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且A 、B 、C 三点共线,则点C 的坐标可以是( )A .()9,1-B .()9,1-C .()9,1D .()9,1-- 【答案】C【分析】本题首先可设点C 的坐标为(),x y ,然后通过题意得出//AB AC ,再然后写出AB 、AC ,最后通过向量平行的相关性质即可列出算式并通过计算得出结果.【详解】设点C 的坐标为(),x y ,因为A 、B 、C 三点共线,所以//AB AC ,因为()1,3A -,18,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以77,2AB ,1,3AC x y ,则773102y x ,整理得27x y -=,将()9,1-、()9,1-、()9,1、()9,1--代入27x y -=中,只有()9,1满足,故选:C. 【点睛】关键点点睛:本题考查通过三点共线求点坐标,主要考查向量平行的相关性质,若11,a x y ,22,b x y ,//a b ,则12210x y x y -=,考查计算能力,是中档题.3.(2021·湖南长沙一中高一月考)在ABC 中,点D 是线段BC (不包括端点)上的动点,若AB x AC y AD =+,则( )A .1x >B .1y >C .1x y +>D .1xy 【答案】B【分析】设()01BD BC λλ=<<,由此用,AC AD 表示出AB ,则可得,x y 关于λ的表示,从而通过计算可判断出正确的选项.【详解】设()01BD BC λλ=<<,所以AD AB AC AB λλ-=-,所以()1AB AD AC λλ-=-,所以111AB AD AC λλλ=---, 所以1,11x y λλλ=-=--,所以01x λλ=-<-,11=11111y λλλλλλ-+==+>---, 又111x y λλ-+==-,()201xy λλ=-<-,故选:B.【点睛】结论点睛:已知平面中、、A B C 三点共线 (O 在该直线外),若OA xOB yOC =+,则必有1x y +=.4.(2021·浙江高一期末)在ABC 中,M 为边BC 上的点,且2xAM AB y AC =+,满足则5432y x x y+++( )A .有最小值8+B .有最小值332C .有最小值12D .有最小值16【答案】D【分析】由,,M B C 三点共线得12xy +=,然后用基本不等式求最小值. 【详解】因为M 在边BC 上,且2xAM AB y AC =+,所以12x y +=且0,0x y >>, 5432534253422y x y x y x x y x y x y x y x y x y ⎛⎫++⎛⎫+=+++=++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭494416x y y x =++≥+=,当且仅当49x y y x =,即64,77x y ==时等号成立. 故选:D .【点睛】思路点睛:本题考查平面向量的三点共线,考查用基本不等式求最值.基本不等式求最值的三个条件:一正二定三相等,本题中原式没有定值,因此利用“1”的代换凑配出积为定值,这样和才有最小值.5.(2019·四川德阳市·什邡中学)已知O 为四边形ABCD 所在的平面内的一点,且向量OA ,OB ,OC ,OD 满足等式OA OC OB OD +=+,若点E 为AC 的中点,则EABBCDS S ∆∆=( ) A .14B .12C .13D .23【答案】B【分析】由OA OC OB OD +=+可得BA CD =,再由平行四边形数形结合求解即可. 【详解】∵向量OA ,OB ,OC ,OD 满足等式OA OC OB OD +=+, ∴OA OB OD OC -=-,即BA CD =,则四边形ABCD 为平行四边形,∵E 为AC 的中点,∴E 为对角线AC 与BD 的交点, 则EAB ECD ADE BCE S S S S ∆∆∆∆===,则12EAB BCD S S ∆∆=, 故选B .【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算及数形结合的能力,属于中档题.6.(2020·榆树市第一高级中学校高一期末)已知(),0A a ,()0,C c ,2AC =,1BC =,0AC BC ⋅=,O 为坐标原点,则OB 的取值范围是( )A.(1⎤⎦B.(1⎤⎦ C.1⎤⎦D.)1,+∞【答案】C【分析】法一:将A ,C 视为定点,根据A 、C 分别在 x 轴、y 轴上,得到垂直关系,O 是AC 为直径的圆上的动点,AC 的中点为圆心M ,根据圆心M 和BO 的位置关系即可得取值范围.法二:设B 的坐标,根据2AC =,1BC =得到224a c +=,()221x y c +-=,整理式子至()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,利用均值不等式得出OB d ==,则212d d -≤即可算出距离的取值范围.【详解】解:法一:将A ,C 视为定点,OA OC ⊥,O 视为以AC 为直径的圆上的动点,AC的中点为M ,当BO 过圆心M ,且O 在B ,M 之间时,OB 1,O 在BM的延长线上时,OB 1. 故选:C法二:设(),B x y ,则224a c +=,()221x y c +-=,()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++,即221ax cy x y +=+-,ax cy +≤=,取等号条件:ay cx =,令OB d ==,则22112{210d d d d d ≥-≤⇔--≤或201{210d d d <<⇔+-≥,解得11d ≤≤.故选:C【点睛】本题考查向量的坐标运算和圆的基本性质,综合性强,属于中档题. 二、填空题7.(2021·全国高一课时练习)ABC 是正三角形,给出下列等式: ①AB BC BC CA +=+; ②AC CB BA BC +=+; ③AB AC CA CB +=+;④AB BC AC CB BA CA ++=++.其中正确的有__________.(写出所有正确等式的序号) 【答案】①③④【分析】作出图形,结合平面向量加法法则可判断①②③④的正误. 【详解】对于①,AB BC AC +=,BC CA BA +=,AC BA =,①正确;对于②,AC CB AB +=,如下图所示,以BA 、BC 为邻边作平行四边形ABCD ,由平面向量加法的平行四边形法则可得BA BC BD +=,显然AB BD ≠,②错误; 对于③,以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ,则AB AC AE +=, 以CA 、CB 为邻边作平行四边形ACBF ,则CA CB CF +=. 由图可知,AE CF =,即AB AC CA CB +=+,③正确;对于④,2AB BC AC AC ++=,2CB BA CA CA ++=,因为AC CA =,④正确.故答案为:①③④.【点睛】关键点点睛:求解本题的关键就是化简平面向量的运算结果,并作出图形,结合图形的几何特征进行判断.8.(2021·全国高一课时练习)已知(),2OA k =,()1,2OB k =,()1,1OC k =--,且相异三点A 、B 、C 共线,则实数k =________. 【答案】14-【分析】本题首先可根据向量的运算法则得出AB 、AC ,然后通过题意得出//AB AC ,最后通过向量平行的相关性质即可得出结果.【详解】()1,22AB OB OA k k =-=--,12,3ACOC OA k ,因为相异三点A 、B 、C 共线,所以//AB AC ,则3122120k k k,解得14k =-或1k =,当1k =时,OA OB =,A 、B 重合,舍去,故答案为:14-.【点睛】关键点点睛:本题考查通过三点共线求参数,主要考查向量平行的相关性质,若11,ax y ,22,bx y ,//a b ,则12210x y x y -=,求出k 的值后要注意检验,考查计算能力,是中档题.9.(2021·内蒙古包头市·高一期末)在矩形ABCD 中,已知E 、F 分别是BC 、CD 上的点,且满足2BE EC =,3CF FD .若(),AC AE AF R λμλμ=+∈,则λμ+的值为______. 【答案】1310【分析】本题首先可根据题意得出23BEAD 、14DF AB =,然后将AC AE AF λμ=+转化为2314AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再然后根据AC AB AD=+列出算式,最后通过计算即可得出结果. 【详解】如图,结合题意绘出图像:因为2BE EC =,3CF FD ,所以2233BE BC AD ,1144DF DC AB , 则23AEAB BE AB AD ,14AF AD DF AD AB ,故3142AB AD AC AE AF AD AB λμλμ⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+4231AB AD λμλμ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为AC AB AD =+,所以114213λμλμ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得910λ=,25μ=,1310λμ+=,故答案为:1310.【点睛】关键点点睛:本题考查向量的相关运算,主要考查向量的三角形法则以及平行四边形法则的应用,考查计算能力,考查数形结合思想,是中档题.10.(2020·全国高一)已知向量()1,3a =,1(2,)2b =-,若()//2c a b -,则单位向量c =______.【答案】34(,)55-或34(,)55-【分析】先求得2(3,4)a b -=-,由//(2)c a b -,设(3,4)c λλ=-,结合向量c 为单位向量,求得λ的值,即可求解.【详解】由题意,向量()1,3a =,1(2,)2b =-,可得2(3,4)a b -=-, 因为//(2)c a b -,设(3,4)c λλ=-,又由向量c1=,解得15λ=±, 所以34(,)55c =-或34(,)55c =-. 故答案为:34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】利用两个向量共线的条件求向量的坐标,一般地,在求一个已知向量a 共线的向量时,可设所求向量为()a R λλ∈,然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入a λ即可求得所求向量.11.(2020·江西高一期末(文))O 为坐标原点,已知向量()1,5OA =,()4,2OB =,()6,8OC =,,x y 为非负实数且01x y ≤+≤,CD xCA yCB =+,则OD 的最小值为_______________【答案】【分析】根据题意得D 表示的区域为ABC 及内部的点,进而得当⊥OD AB 时,OD取得最小值,再计算即可得答案.【详解】()1,5OA =,()4,2OB =,()6,8OC =, 又,x y 为非负实数且01x y ≤+≤,CD xCA yCB =+, 所以D 表示的区域为ABC 及内部的点, 当⊥OD AB 时,OD 取得最小值, 因为AB 所在的直线方程为()()5251114y x x --=-=---,即60x y +-=,则OD 取得最小值为=故答案为:【点睛】本题考查向量的模的求解与线性规划,解题的关键是根据题意明确D 表示的区域,是中档题.12.(2019·四川遂宁市·高一期末(理))在平面内,定点,,A B C 满足DA DB DC ==,2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-,动点,P M 满足1AP PM MC ==,则2BM 的最大值为________.【答案】494【分析】由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心,又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得D 为ABC ∆的垂心,则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形.运用向量的数量积定义可得ABC ∆的边长,以A 为坐标原点,AD所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ,求得,B C 的坐标,再设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由中点坐标公式可得M 的坐标,运用两点的距离公式可得BM 的长,运用三角函数的恒等变换公式,结合正弦函数的值域,即可得到最大值. 【详解】解: 由DA DB DC ==,可得D 为ABC ∆的外心, 又DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅,可得()0,(DB DA DC DC DB ⋅-=⋅ )0DA -=,即0DB AC DC AB ⋅=⋅=, 即有,DB AC DC AB ⊥⊥,可得D 为ABC ∆的垂心, 则D 为ABC ∆的中心,即ABC ∆为正三角形, 由2DA DB ⋅=-,即有||||cos1202DA DB ︒⋅=-, 解得||2DA =,ABC ∆的边长为4cos30︒=以A 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ,可得B(3,D(2,0), 由||1AP =,可设(cos ,sin ),(02)P θθθπ≤<,由PM MC =,可得M 为PC 中点,即有3cos (2M θ+,则2223cos ||3=+2BM θ+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝22(3cos )sin )376cos 444θθθθ--+=+=3712sin 64πθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=, 当sin 16πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,即23πθ=时,取得最大值,且为494. 故答案为:494.【点睛】本题考查向量的定义和性质,以及模的最值的求法,注意运用坐标法,转化为三角函数的最值的求法,考查化简整理的运算能力,属于中档题.三、解答题13.(2020·全国高一单元测试)设直线:20l mx y ++=与线段AB 有公共点P ,其中(2,3),(3,2)A B -,试用向量的方法求实数m 的取值范围.【答案】45(,][,)32-∞-+∞.【分析】先讨论点P 与,A B 分别重合的情况,即将,A B 的坐标代入直线方程求解m ;再讨论P 与,A B 不重合的情况,利用共线向量的关系列式,AP PB λ=,将点(,)P x y 的坐标用λ进行表示,再代入直线方程求解.【详解】(1)P 与A 重合时,(2)320m ⨯-++=,所以5=2m ;.P 与B 重合时,3220m ++=,所以43m =-.(2)P 与A ,B 不重合时,设AP PB λ=,则0λ>; 设(,)P x y ,则(2,3)AP x y =+-,(3,2)PB x y =--.所以2(3)3(2)x x y y λλ+=-⎧⎨-=-⎩所以321231x y λλλλ-⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩;把,x y 代入20mx y ++=可解得2534m m λ-=+,又因为0λ>,所以25034m m ->+. 所以43m <-或52m >. 由(1)(2)知,所求实数m 的取值范围是45(,][,)32-∞-+∞. 故答案为:45(,][,)32-∞-+∞.【点睛】直线与线段有交点的问题通常有两种求解方法:(1)通过找出直线的定点坐标,将直线与线段有交点转化为定点与线段两个端点的连线的斜率问题求解,需要注意斜率的变化趋势;(2)利用向量的方法求解,需要先求解交点与线段端点重合的情况,再根据共线向量的关系列式求解交点坐标.14.(2021·浙江高一期末)已知向量(3,4)OA =-,(6,3)OB =-,(5,3)OC x =-. (1)若点A ,B ,C 三点共线,求x 的值;(2)若ABC 为直角三角形,且B 为直角,求x 的值. 【答案】(1)19x =-;(2)1x =.【分析】(1)由点A ,B ,C 三点共线可得AB 和BC 共线,解关于x 的方程可得答案; (2)由ABC 为直角三角形可得AB BC ⊥,即0AB BC ⋅=,解关于x 的方程可得答案. 【详解】(1)(3,4)OA =-,(6,3)OB =-,(5,3)OC x =-,∴(3,1)AB OB OA =-=,(1,6)BC OC OB x =-=--点A ,B ,C 三点共线,∴AB 和BC 共线, 361x ∴⨯=--,解得19x =-;(2)ABC 为直角三角形,且B 为直角,∴AB BC ⊥,∴3(1)60AB BC x ⋅=--+=,解得1x =.【点睛】方法点睛:利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用12210x y x y -=解答;(2)两向量垂直,利用12120x x y y +=解答.15.(2020·全国高一)已知向量(1,2),(2,1)a b ==-,k 、t 为正实数,211(1),x a t b y b tk a =++=-+.(1)若,x y ⊥求k 的最大值;(2)是否存在k 、t 使得//x y ?若存在,求出k 的取值范围,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)12;(2)不存在.理由见解析.【分析】(1)由,x y ⊥化简得2111t k t t t==++ ,再利用基本不等式求解.(2)根据//x y ,化简得:2110t k t++=,即20t t k ++=,再根据 k 、t 为正实数判断. 【详解】(1)因为向量(1,2),(2,1)a b ==-,k 、t 为正实数,所以()222111221(1)21,3,,x a t b t t y a b t k tk t k ⎛⎫=++=--+=-+=---+ ⎪⎝⎭. 因为,x y ⊥ 所以()()2212212130t t k t k t ⎛⎫⎛⎫----++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 211112t k t t t ==≤=++ ,当且仅当1t t =,即 1t =取等号, 所以k 的最大值12; (2)因为//x y ,所以()()222112213t t k t k t ⎛⎫⎛⎫---+=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 化简得:2110t k t++=,即20t t k ++=, 因为 k 、t 为正实数,所以不存在k 、t ,使得//x y .【点睛】方法点睛:向量,a b 共线是指存在不全为零的实数λ1,λ2,使λ1a +λ2b =0成立;若λ1a +λ2b =0当且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量,a b 不共线.16.(2021·浙江高一单元测试)已知平面非零向量a ,b 的夹角是23π. (1)若1a =,27a b +=,求b ;(2)若()2,0a =,(),3b t =,求t 的值,并求与a b -共线的单位向量e 的坐标.【答案】(1)32;(2)1t =-,31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【分析】(1)对27a b +=进行平方,利用数量积公式可求得b ;(2)根据向量坐标运算的夹角公式可求得t ,设单位向量e 的坐标根据模长和共线可得答案. 【详解】(1)向量a ,b 的夹角是23π,由27a b +=得()()()22222224144cos 73a b a b a b b b π+=++⋅=++=, 解得32b =,1b =-舍去,所以32b =. (2)()2,0a =,(),3b t =,由向量a ,b 的夹角是23π得221cos 322ta b π===-⨯⨯,解得1t =-,1t =舍去, 因为(2,(3,a b t -=-=,设单位向量(,)e x y =,所以221x y+=,又e 与a b -共线, 所以3y =,求得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,或12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 所以31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,或31,2e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了向量的数量积、夹角、模长的运算,考查了向量的坐标运算及单位向量.17.(2020·平凉市庄浪县第一中学高一期中)已知向量(),u x y =与向量(),2v y y x =-的对应关系用()v f u =表示.(1)证明:对任意向量a 、b 及常数m 、n ,恒有()()()f ma nm mf a nf b +=+;(2)设()1,1a =,()1,0b =,求向量()f a 及()f b 的坐标;(3)求使()(),f c p q =(p 、q 为常数)的向量c 的坐标.【答案】(1)证明见解析;(2)()()1,1f a =,()()0,1f b =-;(3)()2,c p q p =-.【分析】(1)设出两个向量的坐标,通过坐标运算证明()()()f ma nb mf a nf b +=+;(2)根据题中所给的映射关系写出所求向量的坐标;(3)设出(),c x y =,结合()(),f c p q =通过建立方程组可求解向量c 的坐标.【详解】(1)设11,a x y ,22,b x y ,()1212,ma nb mx nx my ny ∴+=++, ()()()()121212,2f ma nb my ny my ny mx nx +=++-+,又()()()111111,2,2mf a m y y x my my mx =-=-,()()222,2nf b ny ny nx =-, 所以,()()()()111222,2,2my my mx m ny n f y n f a n x b +-+-=()()()121212,2my ny my ny mx nx =++-+,因此,对任意向量a 、b 及常数m 、n ,恒有()()()f ma nb mf a nf b +=+;(2)()1,1a =,则()()()1,2111,1f a =⨯-=, ()1,0b =,()()()0,2010,1f b ∴=⨯-=-;(3)设(),c x y =,则()(),2f c y y x =-, ()(),f c p q =,()(),2,y y x p q ∴-=,则2y p y x q =⎧⎨-=⎩,解得2x p q y p =-⎧⎨=⎩, 因此,()2,c p q p =-.【点睛】本题考查平面向量新定义问题的求解,解题时要注意向量通过该映射关系的坐标与原坐标之间的关系,考查计算能力,属于中等题.。
江苏省泰州市08-09学年高一上学期期末联考(数学)
江苏省泰州市08-09学年高一上学期期末联考高一数学试题(考试时间:120分钟 总分160分)命题人:戴年宝(省姜堰中学) 王晓宇 (省口岸中学) 审题人:杨辉(泰州市田家炳实验中学) 石志群(泰州市教研室) 注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效。
一、填空题:(本大题共14小题,每小题5分,共70分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上.) 1.已知全集{}5,4,3,2,1=U ,且{}4,3,2=A ,{}2,1=B ,则B C A U ⋂等于 ▲ . 2.求值:)417cos(326sinππ-+= ▲ . 3.扇形OAB 的面积是1cm 2,半径是1cm ,则它的中心角的弧度数为 ▲ . 4.函数)13lg(1132++-+=x xx y 的定义域为 ▲ .5.函数x y 416-=值域为 ▲ .6.已知x x f 2cos 3)(sin -=,则)21(f = ▲ .7.已知平面内向量)3,3(=,)2,1(-=,)1,4(=,若t ⊥+)2(,则实数t 的值为 ▲ . 8.幂函数mmx x f 42)(-=的图象关于y 轴对称,且在()0,+∞上递减,则整数m = ▲ .9.若 )3,1(-A ,)1,8(-B ,)2,12(+-a a C 三点共线,则a = ▲ . 10.)1,(-=x ,)1,3(log 2=,若∥,则xx-+44= ▲ .11.函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-=-,,0,01),2sin()(12x e x x x f x π若2)()1(=+m f f ,则m 的所有可能值为 ▲ .12.定义在R 上奇函数)(x f ,当0<x 时的解析式为2)ln()(++--=x x x f ,若该函数有一零点为0x ,且)1,(0+∈n n x ,n 为正整数,则n 的值为 ▲ .13.已知函数()⎩⎨⎧<+-≥=2,232,)(x x a x a x f x ,为R 上的增函数,则实数a 取值的范围是 ▲ .14.关于函数)32sin(2)(π+=x x f ,有下列命题:(1))3(π+=x f y 为奇函数;(2)要得到函数x x g 2cos 2)(=的图像,可以将)(x f 的图像向左平移12π个单位; (3))(x f y =的图像关于直线12π=x 对称;(4))(x f y =为周期函数。
江苏省泰州市第二中学2014-2015学年高一上学期第一次限时作业语文试题 Word版含答案
泰州二中2014-2015学年度第一学期第一次限时作业高一语文一、语言文字训练(22分)1、下列加点字的注音全部正确的一组是(3分)()A.包扎.(zā)峥.嵘(zhēng)思忖.(cǔn)汗流浃.背(jiá)B.炽.热(chì)熏陶.(tāo)款识.(zhì)久假.不归(jiǎ)C.巷.道(hàng)脊.骨(jí)慰藉.(jiâ)济.济一堂(jǐ)D.跬.步(kuǐ)濒.危(bīn)舟楫.(jí)锲.而不舍(qiâ)2、下列词语中没有错别字的一组是(3分)()A.笔竿恢宏斑斓毕恭毕敬B.窗扉帷幕座标轴入不敷出C.舟楫凄婉遒劲出类拔萃D.辽廓关隘巨擘出奇不意3、下列各句中,加点的成语使用正确的一项(3分)()A.严冬的夜晚,凛冽的北风从后窗缝里灌进来,常常把人们从睡梦中冻醒,让人不寒..而栗..。
B.这次军事演习,蓝军一度处于劣势,他们在关键时刻反戈一击....,才夺回了战场上的主动权。
C.在座谈会上,代表们结合实际情况,广开言路....,畅所欲言,为本地区的经济发展献计献策。
D.从文章风格看,《庄子》奇幻,《孟子》雄辩,《荀子》浑厚,《韩非子》峻峭,实在各有千秋....。
4、下列各句中,没有语病的一句是(3分)()A.作为一名语文老师,他非常喜欢茅盾的小说,对茅盾的《子夜》曾反复阅读,—直被翻得破烂不堪,只好重新装订。
B.《舌尖上的中国》这部风靡海内外的纪录片,用镜头展示烹饪技术,用美味包裹乡愁,给观众带来了心灵的震撼。
C.城镇建设要充分体现天人合一理念,提高优秀传统文化特色,构建生态与文化保护体系,实现城镇与自然和谐发展。
D.执法部门对向未成年人出售、出租或以其他方式传播反动、淫秽、暴力、凶杀、封建迷信的图书报刊、音像制品,应依法从重处罚。
5、用下面的短语组成一副有关春节和端午的对联。
要求:上下联各为7字,语言连贯,符合节日和对联特点,不得重复使用短语。
2023-2024学年江苏省泰兴中学、泰州中学联考高一(下)质检数学试卷(含答案)
2023-2024学年江苏省泰兴中学、泰州中学联考高一(下)质检数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.cos22°sin52°−cos68°sin38°=( )A. 12B. −12C.32D. −322.如图,等腰梯形A′B′C′D′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中A′B′=4,C′D′=2,则原图形ABCD 的面积是( )A. 6B. 62C. 32D. 1223.若复数z 1=3+i,z 2=cosθ+isinθ(θ∈R),则|z 1−z 2|的最大值为( )A. 1B. 2C. 9D. 34.设m ,n 则是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则( )A. 若m ⊥n ,m//α,则n ⊥α B. 若m//α,m//n ,则n//αC. 若m ⊥α,m//β,则α⊥βD. 若α⊥β,m ⊥α,则m//β5.已知cos (θ+π4)=3cos(π4−θ),则sin2θ=( )A. 35B. 45C. −35D. −456.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,图1是一个正八边形窗花隔断,图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图2,若正八边形EFDH 的边长为2,P 是正八边形ABCDEFGH 八条边上的动点,则AP ⋅AB 的最大值为( )A.2 B. 4+22 C. 2+2 D. 227.已知△ABC 为锐角三角形,B =π6,则ABBC 的取值范围为( )A. (32,+∞) B. (3,2)C. (32,2 33) D. (233,2)8.棱长为2的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为BD ,C 1B 1的中点,点P 在正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的表面上运动,若MP ⊥CN ,则AP 的最大值为( )A. 2B.332C. 3D.412二、多选题:本题共3小题,共18分。
江苏省泰州市第二中学2014-2015学年高一上学期第一次限时作业数学试题 Word版无答案
泰州二中2014-2015学年度第一学期第一次限时作业高一数学一.填空题(本大题共14小题每题5分,合计70分)1设全集{}{}{},3,2,2,1,4,3,2,1===B A U 则集合)(B A C U ⋂=_____ ▲________. 2.已知{}30|<≤∈=x N x A 的真子集的个数是 ▲3. 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在(,4)-∞上是减函数,则实数a 的取值范围是 ▲4.已知映射A B →的对应法则f :31x x →+,则B 中的元素7在A 中的与之对应的元素是 ▲5.已知函数()y f x =是定义在R 上的单调减函数,且(1)(2)f a f a +>,则a 的取值范围是 ▲6.已知函数2()1f x x mx =++是偶函数,则m = ▲ 7.已知21,0()1,0x x f x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩,则((1))f f -= ▲8. 已知f(x+1) =22x +1,则f(x-1)= ▲9.10.函数y x =的值域为 ▲ .10.函数y =的定义域是 ▲ 11.设函数(1)()()x x a f x x ++=为奇函数,则a = ▲12.已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]上有最大值5和最小值2,则a +2b 的值是 ▲13.若定义在R 上的二次函数]2,0[4)(2在区间b ax ax x f +-=上是增函数,且()f m ≥(0)f ,则实数m 的取值范围是 ▲14.已知集合A ={x ∈R |mx 2-4x +1=0},若φ≠⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋂2,31A ,.则实数m 的取值范围为 ▲.二.解答题:(本大题共6小题,共90分.请在答题..纸.指定区域....内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)。
15. (本题满分14分)设全集U =R ,集合{}{}{}13,04,A x x B x x C x x a =-≤≤=<<=<。
江苏省泰州市第二中学高一数学作业(65)
江苏省泰州市第二中学 高一数学作业(65)1.设集合P={x|x 2≤1},M={a},且满足P ∪M=P ,则a 的取值范围是 2.函数y=|cos 2x-sin 2x|(x ∈R )的值域为 3.已知△ABC 平面内一点M 满足MA →+MB →+MC →=0→. 若存在实数m ,使得AB →+AC →=m AM →成立,则实数m 的值为4.若sin β=35 ,β∈(π2,π),且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)= 5.对a,b ∈R 定义⊗:a ⊗b=⎩⎨⎧>-≤-1,1,b a b b a a . 设f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),若函数y=f(x)-C 的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围为6.已知α,β为锐角,有sin α-sin β=12 ,请补充一个条件使得cos(α-β)=5972,则该条件可以是7.已知f(x)=Asin(ωx+θ)和g(x)=Acos(ωx+θ)(A>0,ω>0),若f(π3 +x)= f(π3-x),则g(π3) =8.若平行四边形ABCD 的中心为O ,P 为该平面上一点,PO →=a →,那么PA →+PB →+PC →+PD →=9.x 、y 是实数,a →、b →不共线,若(x+y-1)a →+(x-y)b →=0→,则x= ,y=10. 如图,ABCD 是一个梯形,AB ∥CD ,且AB=2CD ,M 、N 分别是DC 、AB 的中点. 已知AB =a,AD =b,用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN .11. 如果y=1-si n 2x-m cosx 的最小值为-4,求m 的值。
12.某工厂有一容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和生活用水.已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W (吨)与时间t (小时,且规定,早上6时t=0)的函数关系式为100W t .水塔的进水量分为10级,第一级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择第几级时,既保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出。
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1.设集合P={x|x 2≤1},M={a},且满足P ∪M=P ,则a 的取值范围是 2.函数y=|cos 2x-sin 2x|(x ∈R )的值域为 3.已知△ABC 平面内一点M 满足MA →+MB →+MC →=0→. 若存在实数m ,使得AB →+AC →=m AM →成立,则实
数m 的值为
4.若sin β=35 ,β∈(π2
,π),且sin(α+β)=cos α,则tan(α+β)= 5.对a,b ∈R 定义⊗:a ⊗b=⎩⎨⎧>-≤-1
,1,b a b b a a . 设f(x)=(x 2-2)⊗(x-x 2),若函数y=f(x)-C 的
图象与x 轴恰有两个公共点,则实数C 的取值范围为
6.已知α,β为锐角,有sin α-sin β=12 ,请补充一个条件使得cos(α-β)=5972
,则该条件可以是
7.已知f(x)=Asin(ωx+θ)和g(x)=Acos(ωx+θ)(A>0,ω>0),若f(π3 +x)= f(π3
-x),则g(π3
) =
8.若平行四边形ABCD 的中心为O ,P 为该平面上一点,PO →=a →,那么PA →+PB →+PC →+PD →=
9.x 、y 是实数,a →、b →不共线,若(x+y-1)a →+(x-y)b →=0→,则x= ,y=
10. 如图,ABCD 是一个梯形,AB ∥CD ,且AB=2CD ,M 、N 分别是DC 、AB 的
中点. 已知AB =a,AD =b,用a 、b 分别表示DC 、BC 、MN .
11. 如果y=1-si n 2x-m cosx 的最小值为-4,求m 的值。
12.某工厂有一容量为300吨的水塔,每天从早上6时起到晚上10时止供应该厂的生产和
生活用水.已知该厂生活用水为每小时10吨,工业用水量W (吨)与时间t (小时,且规定,早上6时t=0)的函数关系式为100W t =.水塔的进水量分为10级,第一
级每小时进水10吨,以后每提高一级,每小时进水量就增加10吨.若某天水塔原有水100吨,在开始供水的同时打开进水管,问进水量选择第几级时,既保证该厂的用水(水塔中水不空)又不会使水溢出。