波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符

1(一维运动的粒子处在

的状态，其中，求:

(1)粒子动量的几率分布函数;

(2)粒子动量的平均值。

[解] 首先将归一化，求归一化系数A。

(1)动量的几率分布函数是

注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有

令

代入上式得

(2)

动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论:

?一维的傅里叶变换的系数是而不是。

?傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，

即相当于的情况，变换式的形式保持不变。

?不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。

2(设在时，粒子的状态为

求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。

[解] 方法一:根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照

求平均值。

在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取

，而，

粒子动量的平均值为

A可由归一化条件确定

故

粒子动能的平均值为

。

方法二:直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有

而

则有及。

讨论:?由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。

?本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展

开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，

得到函数。

?在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函

数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。3(一维谐振子处在

的状态，求:

(1)势能的平均值 ;

(2)动量的几率分布函数;

(3)动能的平均值

[解] 先检验是否归一化。

是归一化的。

(1)

.

其中应用及

(2)由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数

其中，

(3)

其中

由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值相等。

4(求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

[解] 一维谐振子的波函数为

式中

为厄密多项式。

对于第一激发态

故

处在第一激发态的几率正比于

欲求其最大值，必须满足

即有

讨论:?在处有极值，这是由于一维谐振子的波

函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看

是很清楚的，当及时，几率

，故和几率的关系大致如图示。

?假如过渡到经典情况，相当于，这时

。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。

5(设氢原子处在

的态，为玻尔半径，求

(1)r的平均值;

(2)势能的平均值;

(3)动量几率分布函数。

[解] 先检验是否归一化。

这表明是归一化的。

(1)

2) (

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

(3)

选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有

其中令，且应用了再令则

6(粒子在势能为

的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式

决定，其中

[解] 势能与坐标的关系如图示，按值的不同

可分为三个区域?、?和?。分别应用薛定谔方程，有

?:，

其中:

?: 其中:

?: 其中: 它们的解分别为

，

边界条件:

当;则

当，;则

连接条件(波函数的标准条件)

在处，

在处，在处，

在处，在上面四个式子，由第一和第三式可得

由第二和第四式可得

而

故

其中令

于是有

由，得

由可得

讨论:?对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。然后再利

用边界条件和波函数的标准条件定解。这种方法具有一般性。

?把?、?两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问

题变为只有一个任意常数的问题。而在区域?中没有边界条件。又因所要求的结

果具反三角函数的形式，因此把?的解写成三角函数的形式。原则上，写面指数

或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。

7(粒子处在势能为

的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。

[解] 对区域?、?、?分别有

?:

?:

?:

其解分别为

边界条件:

当时，

当时，;

于是

连接条件:

当时，，

，

当时，，

，

上列四式可重写为齐次方程式为下:

这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有