无穷级数练习题word版

无穷级数习题

一、填空题 1、设幂级数

n

n n a x

∞

=∑的收敛半径为3，则幂级数

1

1

(1)

n n

n na x ∞

+=-∑的收敛区间为 。

2、幂级数

0(21)n

n n x

∞

=+∑的收敛域为 。

3、幂级数

21

1(3)

2

n n

n

n n

x ∞

-=-+∑的收敛半径R = 。 4

、幂级数

n

n ∞

=的收敛域是 。 5、级数21

(2)4n

n

n x n ∞

=-∑的收敛域为 。 6、级数0

(ln 3)2n

n

n ∞

=∑的和为 。 7、

1

1

1()2n n n ∞

-==∑ 。 8、设函数2

()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为

01

(cos sin )2

n n n a a nx b nx ∞

=++∑，则其系数3b 的值为 。

9、设函数2

1,

()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,

x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。 10、级数

1

1

(1)(2)n n n n ∞

=++∑的和 。 11、级数21

(2)4n

n

n x n ∞

=-⋅∑的收敛域为 。 参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3

、R = 4、[1,1)- 5、(0,4)

6、

22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1

4

11、(0,4)

二、选择题

1、设常数0λ>，而级数

21

n n a ∞=∑

收敛，则级数1

(1)n

n ∞

=-∑是（ ）。

（A ）发散 （B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=

，2

n n

n a a q -=， 1.2n =，则下列命题中正确的是（ ）。

（A ）若

1n

n a

∞

=∑条件收敛，则

1n

n p

∞

=∑与

1n

n q

∞

=∑都收敛。

（B ）若

1n

n a

∞

=∑绝对收敛，则

1n

n p

∞

=∑与

1n

n q

∞

=∑都收敛。

（C ）若

1n

n a

∞

=∑条件收敛，则

1n

n p

∞

=∑与

1n

n q

∞

=∑的敛散性都不一定。

（D ）若

1

n

n a

∞

=∑绝对收敛，则

1

n

n p

∞

=∑与

1n

n q

∞

=∑的敛散性都不定。

3、设0,1,2

n a n >=，若

1n

n a

∞

=∑发散，

1

1

(1)

n n n a ∞

-=-∑收敛，则下列结论正确的是（ ）。

（A ）

21

1n N a

∞

-=∑收敛，

21

n

n a

∞

=∑发散. （B ）

21n

n a

∞

=∑收敛，

21

1

n n a

∞

-=∑发散.

（C ）

21

21

()n n n a

a ∞

-=+∑收敛. （D ）2121

()n n n a a ∞

-=-∑收敛.

4、设α

为常数，则级数

21

sin()(

n n n α∞

=∑是（ ） （A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关. 5、级数

1

(1)(1cos

)n n n

α

∞

=--∑（常数0α）是（ ）

（A ）发散. （B ）条件收敛. （C ） 绝对收敛. （D ）收敛性与α有关. 6

、设(1)ln(1)n

n u =-+

，则级数 （A ）

1

n

n u

∞

=∑与

21

n

n u

∞

=∑都收敛. （B ）

1

n

n u

∞

=∑与

21

n

n u

∞

=∑都发散.