数学必修1专题1：抽象函数的单调性

数学必修1专题1：抽象函数的单调性

1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析

(1) 已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数y x 、都满足)()()(y f x f y x f +=+，且当0>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．

证明：令0==y x ，则)0()0()00(f f f +=+ ∴0)0(=f

令x y -=，则0)()()0()(=-+==-x f x f f x x f ∴)()(x f x f =-

在R 上任取21x x ，，且使21x x <

0)()()()()(121212<-=-+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f <

由定义可知)(x f 在R 上为单调递减函数

(2) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，

满足)()()(y f x f xy f +=，且当1>x 时，0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．

证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f 令x y 1=，则0)1()()1()1·(=+==x f x f f x x f ∴)()1(x f x

f -= 任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x <

0)()1()()()(1

21212>=+=-x x f x f x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数

(3) 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，且对一切00>>y x ，都有)()()(y f x f y

x

f -=，当1>x 时，有0)(>x f ．判断)(x f 的单调性并证明．

证明：令1==y x ，则)1()1()1(f f f += ∴0)1(=f

任取()∞+∈，，021x x ，且使21x x < 则0)(

)()(1212>=-x x f x f x f 即)()(12x f x f > 由定义可知)(x f 在()∞+，0上为单调递增函数

2. 简短评价

(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；

(2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出)0(f 或)1(f ；令x y -=或x

y 1=

针对练习：

1. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，满足1)2(=f ，且对于定义域内任意x 、y 都有)()()(y f x f xy f +=成立，那么=+)4()1(f f _______

2. 定义在R 上的函数)(x f 满足xy y f x f y x f 2)()()(++=+ )(R y x ∈，，2)1(=f ，则=-)3(f _______

3. 已知函数)(x f 在定义域()∞+，0上为增函数，且满足)()()3(y f x f xy f +=，1)3(=f

(1) 求)27()9(f f ，的值；

(2) 解不等式2)8()(<-+x f x f

4. 设函数)(x f 对任意的R b a ∈，，都有1)()()(-+=+b f a f b a f ，且当0>x 时，1)(>x f

(1) 求证：)(x f 是R 上的增函数

(2) 若5)4(=f ，解不等式3)23(2<--m m f

5. 设函数)(x f 是定义域为R ，并满足)()()(y f x f y x f +=+，1)3

1

(=f ，且当0>x 时，0)(>x f

(1) 求)0(f 的值；

(2) 判断函数的奇偶性；

(3) 如果2)2()(<++x f x f ，求x 的取值范围

6. 已知函数)(x f 对一切R y x ∈，，都有)()()(y f x f y x f +=+，若a f =-)3(，则是否可以用a 表示)12(f

7. 已知函数)(x f 的定义域是()∞+，0，当1>x 时，0)(>x f ，且)()()(y f x f xy f +=

(1) 求)1(f

(2) 证明：)(x f 在定义域上是增函数

(3) 如果1)3

1(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围 8.(河南省许昌市四校高一（上）期中联考)已知定义域为（0，+∞）的函数)(x f 满足：①x ＞1时，

0)(

1(=f ③对任意的正实数x ，y ，都有)()()(y f x f xy f += (1) 求证：0)1(=f ，)()1(x f x

f -=； (2) 求证：)(x f 在定义域内为减函数；

(3) 求不等式2)5()2(-≥-+x f f 的解集．

9.(湖南永州市祁阳四中高一（上）期中数学试卷)已知定义在R 上的函数)(x f 满足)()()(y x f y f x f +=+，当x ＜0时2)1(0)(=

(1) 求证：)(x f 为奇函数；

(2) 求)(x f 在[﹣3，3]的最值；

(3) 当t ＞2时，0)2log (log )log (2222<--+t f t k f 恒成立，求实数k 的取值范围．

10. 已知函数)(x f 定义域为[﹣1，1]，若对任意的]11[，，

-∈y x ，都有)()()(y f x f y x f +=+，且0>x 时，有0)(>x f

(1) 证明：)(x f 为奇函数；

(2) 证明：)(x f 在[﹣1，1]上为单调递增函数；

(3) 设1)(=x f ，若12)(2+-

11. 已知)(x f 的定义域为()∞+，0，且满足)()()(1)2(y f x f xy f f +==，

，又当y x >时，)()(y f x f >

(1) 求)4()1(f f 、的值；

(2) 如果2)3()(≤-+x f x f ，求x 的范围

12. 设)(x f 是定义在()∞+，0上的增函数，且对任意()∞+∈，、

0y x 都有)()()(y f x f y x f -= (1) 求)1(f

(2) 若1)4(=f ，解不等式2)1

()6(>-+x f x f