清华大学2006数学分析真题参考答案190410

清华大学 2006 数学分析真题参考答案
1．若数列{x }n 满足条件 x 差数列，证：令 y
x x x M 则称 {x n 1 1 xn2 n xn 2 1 }为有界变
n
1 0 ， y x xnn x x （n=2,3,…. ）那么 1 xn2 n xn 2 1 1
，
e
G(x)
x
则G(x)严格单调上升趋于 (x
)，G (x) 0 ，应用推广 Stolz 定理
x
lim f (x) lim
F(x) F(x 1) F(x) lim x G(x) x G(x 1) G(x)
应用柯西中值定理
x
lim f (x) lim [ f ( ) f ( )] a
(0 v 2 )
则 ds
2 Ea F dudv dudv
2
x2 y2 z2 1

f (z)ds
dv

x

1 1
f (u)du 2 f (u)du
1 1 x
9．本题只要证 lim
f (0x) a 即可，令 ( )F x f x e ()
b b a a
， 6
原 式
b
用 3
2
前
一
部
分
结
果
，
有


3 6
sin x 1 1 1 1 dx dx [ 6 x( 2 6 x 2x) 2 x( 2x)
3
3
2 1 3 1 ]dx ln ln2 2 2 2x x 6
x4[x ,1x ]2 ， x 5 [x , x 2]，使得 f (x ) f 4 (x )，也与一一映射矛盾。 3 2
f(x)在 I 必严格单调。
3．证：设 f (x) 在(a,b) 内两个不同实根为 x 由罗尔定理，存在 c(x 因为 f
x ，即 f (x ) f 1(x ) 0 。 1 2 2

因此反常积分在 x
A
1 e1 ，sup xy x e dy A x0
2

A
2
x e xydy 0(A )
0上一致收敛。
8．证：在 z u平面上，将圆
x 1 u 2 cosv x2 y2 z2 1 表示成参数就是 zu y 1 u 2sinv
x4[x ,1x ]2 ，使 f (x ) f (x )，定与一一映射矛盾。 4 3
(ii) f (x
) f3(x)
1
f (x 2) ， 这时考虑
[x 2, x ] 3
，必存在使得
x [x , x ]
523
f (x 5) f (x )1 ，也得到矛盾。
(2)若存在 x
,1 x ,2x I 且x 1 x x2 ， f ( x ) f (1x ) f (x )。由介值定理，存在 3 3 2 3
{ yn} 单 调 递 增 ， 由 条 件 知 { yn} 有 界 ， { yn} 收 敛 ， 从 而 0,N 0， 使 当
nmN时
， 有
yn y ， m
此
即
： 而
xn x xm1 xm1 ， nx 1 n1 xn2 xn x xn2 xm1 x ，由柯西准则 {x }收敛。 mx x n xnn m 11
2．证：（反证法） （1）若存在 x 1 ,
n
x, x I ，且 x x2 x 使得 f (x ) f1(x ) f (2x )，考虑 f (x ) 和 2 3 1 3 3
1
f (x 3)。
(i)若 f
(x )1 f (x )
3
f (x) [x ,在 x 上连续，由介值定理，必存在 ] 12 f (x 2) ，由于
故考察函数 f
(x)
e x y 时， f (x) f ( y) 则 xy(
从而 e
yln x
ln x ln y ) xy( ) (e x y) x y
，
exln y
1
即当 e
n
x y 时， x y y x
n 8时 e n n 1
( n) n
) f3 (x) 次 对 f (x) 在 [x 使 f (x 0。 再 一 4 [x 3 ,x] (a,b)，使 f (3) ( ) 0。 4
4．证：令 t=a+b-x,则 f (x)dx
a

b
f (a b t)dt f (a b x)dx 。对 a
,1 x )，使 f (c) 0 （ 1） 2 f (x ) f (x ) 0 （2 ） 1 2
4 4
(x) 0 ，从而为 f (x) 极小值点，由费马定理
由（1），（2）对f
(x) 在[x1 ,c]和[c, x ] 用罗尔定理，则存在 x (x , c), x1 (c, x ), 2 3 应 用 罗 尔 , x ]上 定 理， 3 4

0
A
f (x)dx
(t A) 于是对 t
1 0,0 lim f (x) dx ，原式得证。 x t
7．证： x
0时

A
x 2 e xydy xe Ax

1 [Axe Ax ] A
百度文库
t
f (t) te (t 0)
，最大值
e 1 f (1) ，故 0
( n 1)
x
6． 证 ： 由 条 件 lim f
(x) 0 ， 对 任 给 的 0， 存 在 A 0 ， 使 当 x A时 ，
对 一 切
f (x) ， 0
故
t A，
有
1 t 1 A 1 t 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx t 0 t 0 t A t
5．解：令 x
n ， y n 1 ，则 e<x<y,比较
x y 与 y x 大小 比较 e yln x 与 e xln y 大
小 比较 xy
ln x ln y ln x ln y 的大小 比较 与 xy 与 的大小。 x y y x
ln x (x 0) ， f (x) x 1 ln x x2 当 x e 时， f (x) 0 ，从而