高等数学定积分及其计算教学课件

xi1 x i i
bx
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t), 在[T1 , T2 ]
上连续, v(t)0,求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤: 1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
高等数学定积分及其计算教学课件
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第一节 定积分及其计算
本节主要内容:
一.定积分的概念与性质 二.微积分基本公式 三.定积分的积分法 四.反常积分
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第五章 定积分及其应用
开面对面会议、远程会议或在网上给观众展
示演示文稿。
叫演
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
积分上限
[a, b]称为积分区间
b
n
a
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(i )xi
积分下限 被 积 函 数
被积 积分 表变 达量
积 分 和
式
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第一节 定积分及其计算
显然,小矩形越多,矩形总面积越接近曲边梯形面积. 观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形
面积和与曲边梯形面积的关系 .
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面 积和与曲边梯形面积的关系.
最大值 M 和最小值 m , 则
b
m (ba)af(x)dxM (ba)
y
y=f (x)
M
M (ba)
m b a f (x) dx
m(ba) Oa
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bx
第五章 定积分及其应用
例3 估计定积分 1 e x 2 d x 的值 . 1
0
0
因为在区间 [0, 1] 上, 有 x2 x3
由定积分保序性质得 1x2dx 1x3dx
0
0
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质6 (积分估值定理) 如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
Microsoft Office PowerPoint，是微软
公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或
者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打
印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的
领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不
仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 :
“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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第五章 定积分及其应用
max 1in
xi
．，
近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
n
求和：作和式 f ( i ) x i i1
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
n
取极限：当0时,
b
b
k f ( x ) d x kf ( x ) d x
a
a
性质2 b f ( x ) g ( x ) d x b f ( x ) d x b g ( x ) d x
a
a
a
此性质可推广到有限多个函数之和的情况
b
a[f1(x) fn(x)]dx
b
b
af1(x)dx afn(x)dx
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例1 利用定积分的几何意义, 证明 1 1x2dx
1
2
令 y 1x2,x[1,1]，显然 y 0
则由 y 1 x2 和直线x=-1,x=1,y=0所围成的曲边
梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 因为单位圆的面积，所以半圆 的面积为/2 .
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
b
(1)a dx;
R
(3)
R2 x2dx;
源自文库
0
a
(2)0 xdx;
2
(4)0 sinxdx.
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第五章 定积分及其应用
(四) 定积分的性质
第一节 定积分及其计算
性质1
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第一节 定积分及其计算
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exit
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第一节 定积分及其计算
性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称
若极限 lim 0
i 1
f (i )xi
存在(这
个极限值与区间 [a, b] 的分法及点 i 的取法无关 ) ，
则称函数 f(x) 在[a, b] 上可积, 并称这个极限为函数
f(x)
在区间[a,b]上的定积分，记作
b a
f ( x)dx
,即
b a
n
f(x)dxlim
0i1
f(i)xi
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(二) 定积分的概念
第一节 定积分及其计算
定义5.1.1 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义, 分割:
任取分点 a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b 把区间
[a,b] 分割成 n个小区间 [xi-1, xi] , 第i个小区间的长度
为
x ix i x i 1 (i 1 ,,n )，记
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有 限个间断点的有界函数也是可积的．
2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)
和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取
无关，即有
b
b
f(x)dx f(t)dt.
a
a
3. 在定积分的定义中, 有a<b , 为了今后计算方便，
间的各部分面积的代数和
b
f(x)0, f(x)dxA
设A为曲边梯形面积, 则
a b
f(x)0, a f(x)dxA
b
af(x)dxA 1A 2A 3A 4A 5各部分面积的代数和
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第一节 定积分及其计算
设 f (x) ex2 , f'(x)2xex2
令 f '(x) 0 得驻点 x=0 ，
比较 x=0 及区间端点 x=±1 的函数值，有 f(0)e01,f(1)e11 e
则 f(x) 在[-1,1]上的最小值为m=1/e , 最大值为M=1，
由定积分的估值性质，
2 1 ex2dx 2
我们规定:
a
b
a
b f(x)dxa f(x)dx a f (x)dx 0
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第一节 定积分及其计算
(三) 定积分的几何意义
b
a
f
( x )dx
:
介于曲线f(x)
,
x轴及两条直线x=a,x=b之
作以 [xi1, xi]为底 , f (i ) y
为高的小矩形, 并以此小
梯形面积近似代替相应
窄曲边梯形面积 Ai , 得
o a x1 xi1i x i bx
A i f(i) x i ( x i x i x i 1,i 1 ,2, ,n)
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第一节 定积分及其计算
性质3 (积分区间的可加性): 对任意的点c，有
b
c
b
af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4 如果被积函数 f(x)=C ( C为常数 )，则
b
a cdx c(ba)
b
特别地 , 当c=1时，有 dx b a a
的路程 s . 解决步骤:
1) 分割 在 [T 1,T 2]中任n意 1个 插 分 ,将入 它分点 成 n 个小段 [ti 1 ,ti](i 1 ,2 , ,n ),在每个小段上物体经 过的路程为 si(i1,2, ,n)
2) 近似 任i取 [ti 1,ti],以v(i)代替变,速得
siv(i)ti (i1,2, ,n)
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播幻灯片 75放
第五章 定积分及其应用
解决步骤: 1) 分割 2) 取近似
y
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3) 求和 4) 取极限
o a x1
xi1 x i bx i
n
Alim 0 i1
f(i )x
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n
sl im0 i1v(i)ti
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度 v v(t), 在[T1 , T2 ]
上连续, v(t)0,求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
n
3) 求和 s v(i)ti
i1
n
4) 取极限
sl im0 i1v(i)ti
(maxti) 1in
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第五章 定积分及其应用
n
n
3) 求和 A Ai f (i)xi
i1
i1
第一节 定积分及其计算
4) 取极限 令1m ian{xxi},则曲边梯形面积
n
y
A l im0i1Ai
n
limf 0i1
(i)xi
o a x1
n
Alim 0 i1
f(i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
解决步骤 : 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x 0 x 1 x 2 x n 1 x n b
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
2) 取近似 在第i 个窄曲边梯形上任取 i[xi1,xi]
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质5 (积分的保序性) : 如果在区间[a,b]上, 恒有
f(x)g(x) , 则
b
b
f(x)dx g(x)dx
a
a
例2 比较定积分 1 x 2 d x 与 1 x 3 d x 的大小 .
区间[-a, a]上连续，
①如果f(x)为奇函数，则
a
f (x)dx 0 ;
a
②如果f(x)为偶函数，则 a f(x)dx2 af(x)dx.
e 1
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质7(积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上 连续， 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点x ，使 下式成立:
a bf(x)d xf()(ba), (a,b)
一.积分的概念与性质
(一)定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 yf(x)(f(x)0)
及 x轴，以及两直线 xa,xb
所围成 , 求其面积 A .
第一节 定积分及其计算
y f(x)
A?
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第五章 定积分及其应用