齐次线性方程组
线性代数第四章齐次线性方程组
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(3)设X (c1 , c2 , , cr , k1 , k2 , , knr )T 是方程组 的任意解，则X k1 X1 k2 X 2 knr X nr (d1 , d 2 , , d r ,0,0, ,0)T 是齐次方程组的解，代入BX = 0，得
b11 b12
同理，分别将xr1 ,
xr2 ,
,
x
的
n
值(0,1,
,0),
,
(0,0, ,1)代入BX = 0，求出(4.2)的解
X 2 (c12 , c22 , , cr 2 ,0,1, ,0)T ;
X nr (c1,nr , c2,nr , , cr ,nr ,0,0, ,1)T ;
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(1) X1, X 2 , , X nr是AX = 0的解； (2)考虑k1 X1 k2 X 2 knr X nr 0，即
b1n b2n
AB 0
0
0 0
brr 0
br ,r 1 0
brn 0
0
0
0
0
0
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将未知量xr1 , xr2 , BX = 0，去掉0= 0的等式，
移项得线性方程组
b11 0
b12 b22
(l1 , l2 , , lr , k1 , k2 , , knr )T (0,0, ,0,0, ,0)T ，
nr
其中li k jcij ,( j 1,2, , n r;i 1,2, , r) j 1
有k1 0, k2 0, , knr 0， 故X1, X 2 , , X nr线性无关。
0
1
x1 2x2 3x3 0
第三节 齐次线性方程组
第三节 齐次线性方程组定理 n 元齐次线性方程组Ax=0()R A n ⇔<(1) 有非零解秩 ()R A n ⇔=(2) 没有非零解秩一:齐次线性方程组Ax=0解的结构(一) 齐次线性方程组Ax=0解的结构记S={x |Ax =0}表示齐次线性方程组Ax =0解的全体，则集合S 具有如下性质 ： （1） 若ξ1，ξ2∈S ，那么ξ1＋ξ2∈S 。
即两个解的和还是方程组的解 （2） 若ξ∈S ，k ∈R ，那么 k ξ∈S 。
即一个解的倍数还是方程组的解定理1 ： n 个未知量的齐次线性方程组Ax=0的解向量集S 构成R n 的一个子空间 。
(二) 相关概念:解空间、基础解系、通解定义1: 称子空间S 是齐次线性方程组Ax=0的解空间。
解空间S 的任意一个基（即S 的极大无关组）称为齐次线性方程组Ax=0的基础解系。
注: (1) 齐次线性方程组Ax=0解的个数情况? 齐次线性方程组Ax=0有非零解,其解是否必有无穷个?(2) 设12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系,则对任意常数12,,,r k k k ,其线性组合1122r r k k k ξξξ+++是方程的解,12,,,r ξξξ 的所有线性组合就为方程所有解.定义2: 称1122r r k k k ξξξ+++ 为齐次线性方程组Ax=0的通解,其中12,,,r ξξξ 是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系, 12,,,r k k k 为任意常数.(三) 齐次线性方程组Ax=0的主要定理定理2 设齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵A 是m ×n 阶矩阵，且R(A)=r ，则方程组Ax=0的基础解系中有n-r 个向量，即解空间S 的维数dim S=n-r 。
证明 (1)对矩阵A 作初等行变换得到矩阵 A，两个方程组0Ax =与0Ax = 是同解的方程组 .(2) 因为R(A)=r ，利用矩阵的初等行变换将A 化为阶梯形矩阵，进一步化为简单阶梯形矩阵，不妨有111212121~n n m mn a a a a a A a a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 111,212,1,100010010000000000n r n r r r n r b b b b b b ---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称简单阶梯矩阵每一行的第一个非零元所对应的未知数(这里为12,,r x x x 称为非自由变量),其余的成为自由变量.故方程组同解于11111221,22112222,1122, 0(3) 0r r n r n r r n r n r r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-++++=⎧⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩把上式改写为11111221,221122221122, (4) r r n r n r r ,n r nr r r r r r n r n x b x b x b x x b x b x b x x b x b x b x ++-++-++-=----⎧⎪=----⎪⎨⎪⎪=----⎩令12r r n x x x ++⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 分别取n r -组数100010, , ....,001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭代入(4)可依次确定12r x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 为1,11122,2122,12, , ..., n r n r r n r r r b b b b b b b b b ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭从而得到0Ax =的n-r 个解1,11122,212212,12 - , , , 1 0 0 0 1 0 0 0 1n r n r r r r n r n r b b b b b b b b b ξξξ-----⎛--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ,⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎭显然12,,,n r ξξξ- 为齐次线性方程组Ax=0的n-r 个线性无关解 (3)最后，证明Ax=0的任意一个解都可由12,,,n rξξξ- 线性表示。
线性代数 3-1-齐次方程组
a2 T (a1 , a2 , , an ) 是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。 a n
问题：除了零解外，有没有其它的解？
在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全部的解？ 为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。
x r 1 , x r 2 , , x n
真未知量
自由未知量
x1 , x2 , , xr 由自由未知量 xr 1 , xr 2 , , xn 惟一确定
显然： （xr 1 , x r 2 , , xn） 构成一向量空间， V
其基含有n r个向量，最简单的一组基为 : e1 , e2 , , en r 取： 0 0 x r 1 1 0 1 xr 2 0 , , 0 1 x 0 n
故 .
即 r 11 r 2 2 n n r .
所以 1 , , n r 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系. 说明 １．解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A). 2．若 1 , 2 , , n r 是 Ax 0 的基础解系，则 x k11 k2 2 kn r n r . 其通解为 其中k1 , k 2 ,, k n r 是任意常数. 3 当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解
由于与都是方程Ax 0的解,而Ax 0又等价于
方程组
x1 c11 xr 1 c1,n r xn x c x c r 1 r 1 r ,n r xn r
线性代数齐次线性方程组
x11 x2 2 xn n 0 有非零解
, , 线性相关 矩阵 A ( , ,, )的秩 R( A) n
1 2 n
2 1 n
于是我们得到下面的一个非常重要的判定定理 定理1 齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解的 充要条件是它的系数矩阵的秩小于未知量的个 数，即 R A n.
由于系数行列式为零，所以有非零解
方法二
对系数矩阵A作初等行变换
1 1 5 1 0 2 7 4 0 2 7 4 0 4 14 8
1 1 5 1 r2 r1 1 1 2 3 r 3r 3 1 A 3 1 8 1 r4 r1 1 3 9 7 1 1 5 1 r3 r2 0 2 7 4 r4 2r2 0 0 0 0 0 0 0 0
由于与都是方程Ax 0的解, 而Ax 0又等价于
x1 b11 x r 1 b1,n r x n x b x b r 1 r 1 r ,n r x n r
方程组
而方程组的前r个未知量的值由后面n－r个 未知量唯一确定
（1）
若记
a11 a12 a21 a22 A a m 1 am 2
a1n a2 n , amn
x1 x2 x x n
则上述方程组（1）可写成矩阵方程
Ax 0.
x 1 2
齐次线性方程 组的解对于加 法运算封闭
证明 A1 0 , A 2 0
A1 2 A1 A 2 0
故 x 1 2 也是Ax 0的解.
（2）若 x 为 Ax 0的解， k 为实数，则 x k 也是 Ax 0 的解． 齐次线性方程 证明
齐次线性方程组
定理:齐次线性方程组 ① ,如果它的系数矩阵的秩 R(A)=n,那么它只有零解,没有基础解系,如果 R(A)<n,那么它有无穷多解,存在基础解系,且它的 基础解系所含的解向量的个数为n-r个(其中=R(A)). 定理: a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n 有非零解 A 0 an1 x1 an 2 x2 ann xn 0 证明:
b12 2 b1,n r n r br 2 br ,n r 无关 0 , , 0 . 1 0 无关 0 1
1 1 1 1 r2 r1 0 0 2 4 r3 r1 0 0 1 2
20
返回
1 r3 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 2 4 0 0 0 0
1 r2 ( ) 2
1 1 1 1 0 0 . 1 2 0 0 0 0
§2 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组的非零解
1
返回
一、齐次线性方程组解的性质
齐次线性方程组
a11 x1 a1n xn 0 am1 x1 amn xn 0 AX = 0 ②
①
x1 c1 记 [註]: 1. 若 X ξ, 则 x n cn
x2 x2
x4 2 x4 x4
则
x2 1 令 , x4 0
线性代数——齐次线性方程组
综上可知方程组 Ax = 0与( AT A) x = 0同解, 因此 R( AT A) = R( A).
�
例1 求齐次线性方程组 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0, 2 x 1 5 x 2 + 3 x 3 + 2 x 4 = 0, 7x 7x + 3x + x = 0 1 2 3 4 的基础解系与通解. 解 对系数矩阵 A作初等行变换,变为行最简矩 阵,有
1 1 1 1 A = 2 5 3 2 7 7 3 1 1 0 2 7 3 7 ~ 0 1 5 7 4 7 , 0 0 0 0
b1,n r x n br , n r x n
所以 ξ 与 η 都是此方程组的解 , λ1 c1 λ c r r 由 ξ = λ r + 1 η = λ r + 1 λ1 = c1 , λ λ r+2 r+2 λ λ n n
现对 x r +1 ,
, x n 取下列 n r 组数:
0 1 , 0 0 0 , . 1
b1 ,n r xn br ,n r xn
xr +1 1 xr + 2 0 = , x 0 n
x1 = b11 xr +1 分别代入 x = b x r 1 r +1 r
=
2 7 5 7 ,ξ 1 0
2
=
3 7 4 7 , 0 1
2 7 3 7 x1 x2 5 7 4 7 = c 1 1 + c 2 0 , ( c 1 , c 2 ∈ R ). x3 0 1 x4
例2 解线性方程组
+ ktη t
, k n r 是任意常数 .
的一组基础解系, 那么, Ax = 0 的通解可表示为
齐次线性方程组
0
0
1
,
,
0 .
0
1
分别
代入
x1 b11 xr1 b1,nr xn
xr
br1 xr1
br ,nr xn
依次得x1 Fra bibliotekb11
,
b12
,
,
b1 ,n r
.
xr br1 br 2
br
,n r
从而求得原方程组的 n r 个解：
b11
Ax 0只 有 零 解 A 0; Ax 0有 非 零 解 A 0.
证 （1）Ax 0只 有 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
Ax 0有 非 零 解 V 0 dimV n r( A) 0
n r( A).
当m n时 ， 必 有r( A) minm, n m n,此 时Ax 0必 有
br 1
1 1 ,
0
解 系 ， 证 明 ：1 2 3 , 2 1 32 23 , 3 21
一
2
定
是Ax
0的
基
础
解
系.
证 根 据 已 知 条 件 可 以 写 出矩 阵 等 式 ：
1 1 2
（1， 2， 3）（1，2，3）1 3 1，
0 2 0 记 为B A.因 为 表 出 矩 阵 的 行 列 式
112 P 1 3 1 2 0，
是Ax
0
的基础解系。证毕。
２.齐次线性方程组的通解的求法
设齐次线性方程组的系数矩阵为 A ，并不妨 设A的前 r 个列向量线性无关．于是 A通过初等变换可化为
1
0
b11
b1,n r
0 A~
齐次方程组
一、齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a21 x1 a22 x2
a1nxn 0, a2n xn 0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0
未
称为齐次线性方程组。
a11
A
a21
a12 a22
am1 am2
系
知
a1n
数 矩
向
x1
量
a2n
阵
若齐次线性方程组的解空间存在一组基 1,2, ,s , 则方程组的全 部解就是 k11 k22 kss , 这称为方程组的通解。
由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。
定义：若齐次方程组的有限个解 1,2 , ,s , 满足： (i) 1,2 , ,s线性无关 (ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示 则称 1,2 , ,s是齐次方程组的一个基础解系。
也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是 基础解系的线性组合，即为：
k11 k22 kss .
基础解系 怎么求？
定义：若齐次方程组的有限个解1,2 , ,s , 满足：
(i) 1,2 , ,s线性无关
(ii) 方程组的任一解都可由1,2, ,s线性表示 则称 1,2 , ,s是齐次方程组的一个基础解系。
X
x2
amn
xn
a11 x1 a12 x2 a21x1 a22 x2
am1x1 am2 x2
a1nxn 0, a2n xn 0,
amn xn 0.
AX O 方程组的矩阵形式
方程组的 代数形式
引
a11
a12
进 向
1
a 21
,
2
齐次线性方程组解的判定、线性组合与线性相关1
1 2 4 ~ 2 −1 3 A= − 1 1 − 1 5 1 11
1 2 0 − 5 0 3 0 − 9
4 −5 3 −9
1 2 0 1 0 0 0 0
4 1 0 0
三、向量组间的线性表示 1.定义：设有两向量组 A:α1,α2,···,αs；B:β1,β2,···,βt 若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示， 则称向量组B能由向量组A线性表示。 若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个 A B 向量组等价。 2.定理：若向量组A可由向量组B线性表示，向量组B 可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性 表示。(传递性）
k1α1 + k2α 2 + ⋯ + knα n = O
1.定义：对于向量组:α1,α2,···,αs，如果存在一组不全 为零的数k1,k2,···,ks, 使得： k1α1+k2α2+···+ksαs=O 则称向量组α1,α2,···,αs 线性相关； 如果当且仅当k1=k2=···=ks=0时上式才成立，则称向 量组α1,α2,···,αs 线性无关。 例 α1=(1,1)T,α2=(2,2) T 线性相关。 2α1－α2=O 例 n维单位向量组 ε1 , ε 2 ,⋯, ε n 线性无关。 若 k1ε1 + k2ε 2 + ⋯ + knε n = O = (k1 , k2 ,⋯, kn )T 则： 1 = k2 = ⋯ = kn = 0 k
练习： 1.α=(1,1,1)T, β=(1,3,0)T, γ =(2,4,1)T, 试将α表示为β, γ的 线性组合。 性相关性。 线性相关性。 4.课本96页第7题。 α=－β＋γ 线性相关 线性相关 2.讨论α1=(1,2,1)T, α2=(4,－1,－5)T, α3 =(2,1,－1)T 的线 3.若α1,α2, α3线性无关，讨论α1－α2,α2－α3 ,α3－α1的
求齐次线性方程组的通解
齐次线性方程组通解
可以把齐次方程组的系数矩阵看成是向量组。
令自由元中一个版为1 ，其余为0 ，求得n –r 个解向量，即为一个基础解系。
齐次线性方程组AX= 0：若X1，X2…，Xn-r为基础解系，则权X=k1 X1＋k2 X2 +…+kn-rXn-r，即为AX= 0的全部解（或称方程组的通解）。
齐次线性方程组
1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。
2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。
3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。
4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)<n,方程组有无数多解。
齐次线性方程组
x1 2x2 2x3 x4 0 , 例1 求齐次线性方程组 2x1 x2 2x3 2x4 0 , 通解和基础解系 x1 x2 4x3 3x4 0.
1 2 2 A 2 1 2 1 1 4 1 r 2 r 1 2 0 0 1 r 2 1 2 r 2 r3 r 1 3 5 0 2 3 4 1 2 3 0 0 0
我们有Cramer法则：当且仅当 det( A )0有唯一解，而且解为：
a a a 11 1 i 1 b 1 a 1 i 1 1 n D i x D det( A ), D det i , i D a a b a a n 1 n 1 i n n 1 i n n
把上式记作
x c c c 1 1 2 2 n r n r
发现： 1 . , , , Ax 0 的解向量 1 2 n r是
2 . , , , . 1 2 n r线性无关
3 . 任一解向量 x 能由 , , , 线性表 1 2 n r
系数矩阵的秩 R ( A ) n
下面我们用向量组线性 相关性理论来讨论齐 线性方程 .
二.齐次线性方程组解的结 构
设有齐次线性方程组
a 11 a 12 a 21 a 22 记 A a a 1 m 2 m
x a x a 0 , a 11 1 12 2 1 nx n a x a x a 0 , 2 11 2 2 2 2 nx n ( 1 ) a x a a x 0 , m 1 1 m 2x 2 mn n a x 1 n 1 a x 2 n 2 则 (1)式可写成矩阵方程 , x Ax 0 ( 2 ) x a mn n 则 ( 1 ) 写成向量方程
什么是齐次线性方程组
什么是齐次线性方程组
齐次”从词面上解释是“次数相等”的意思。
微分方程中有两个地方用到“齐次”的叫法：
1、形如y'=f(y/x)的方程称为“齐次方程”，这里是指方程中每一项关于x、y的次数都是相等的，例如x^2,xy,y^2都算是二次项，而y/x算0次项，方程y'=1+y/x中每一项都是0次项，所以是“齐次方程”。
2、形如y''+py'+qy=0的方程称为“齐次线性方程”，这里“齐次”是指方程中每一项关于未知函数y及其导数y',y'',......的次数都是相等的（都是一次），而方程y''+py'+qy=x就不是“齐次”的，因为方程右边的项x不含y及y的导数，是关于y,y',y'', 0
项，因而就要称为“非齐次线性方程”。
另外在线性代数里也有“齐次”的叫法，例如f=ax^2+bxy+cy^2称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f中每一项都是关于x、y的二次项
齐次线性方程组是指有几个齐次线形方程组成的方程组。
可以,直接对非齐次线性方程组用高斯消元法解,即对增广矩阵用初
等行变换化为阶梯阵,再分析系数矩阵和增广矩阵的秩,必须两者相等,再继续求出全部解(一组或无穷多组)。
1.3齐次线性方程组
二、齐次线性方程组解的性质
设 (a1 , a2 ,, an ) (b1 , b2 ,bn ) 均是 齐次线性方程组的解，则 ⑴ (a1 b1 , a2 b2 ,, an bn ) 也是齐次线性方程 组的解；
⑵ (ka1 , ka2 ,, kan )也是齐次线性方程组的解.
例2：当 c 取何值时？齐次线性方程组有非零解.
第一章 线性方程组与矩阵
1.3 齐次线性方程组
一、齐次线性方程组的定义ห้องสมุดไป่ตู้
如果线性方程组中的常数项为均为0，则称此
线性方程组为齐次线性方程组，即：
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
注：①齐次线性方程组一定有解（零解）； ②除了零解，齐次线性方程组有非零解的充要 条件是齐次线性方程组有无穷多解.
例1：解下列齐次线性方程组
2 x1 3x2 0 ① x1 x2 0
x1 2 x2 x3 x4 0 ② 3 x1 6 x2 2 x3 x4 0 x 2 x x 7 x 0 2 3 4 1
2 x1 3x2 0 cx1 x2 0
三、齐次线性方程组有非零解的条件
定理：对齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 am 2 x2 amn xn 0
若 m n ，那么它必有非零解.
例3：不求出方程的解，判断下列齐次线性方程 组是否有非零解.
3.4 齐次线性方程组
解:对矩阵 A 作初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
1 2 1 1 1 1 2 4 3 1 1 0 A= → → 1 2 1 3 3 0 0 0 2 4 2 0 2 0 1 0 1 0 0 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 0 0 0 0 2 0 0
x1 = 2 x2 2 x5 得 x3 = x5 ( x2 , x5为自由未知量) x = 0 4
xr +1 1 0 0 xr + 2 0 1 , , ,0 = 1 xn 0 0
共n r个
代入上述一般解公式,即求得AX = O 的基础解系.
3. 齐次线性方程组的结构式通解 定理 设 A 是一个 m × n 矩阵,若秩( A) = r < n ,
而有 b1 = b2 = = bm = 0 ,故有 AX 0 = O ,即 X 0 也是 方程组 AX = O 的解.因此,方程组 AT AX = O 的基 础解系可由方程组 AX = O 的基础解系线性表示, 从而有 n r ( AT A) ≤ n r ( A) ,所以 r ( AT A) ≥ r ( A) . 综上述可得 r ( AT A) = r ( A) .再用 AT代替 A 就可得
复习
3.4 齐次线性方程组有非零解的条件 及解的结构
齐次线性方程组的三种形式: 齐次线性方程组的三种形式: 一般形式 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = 0
a x + a x + + a x = 0 21 1 22 2 2n n am1 x1 + am 2 x2 + + amn xn = 0
程组 AT AX = O的解都是齐次线性方程组AX = O的解. 事实上,设 X 0 ∈ n 是方程组 AT AX = O 的一个解, 令 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T,则 AX 0 = [b1 , b2 , , bm ]T ∈ m.
第二节 齐次线性方程组
如果1,2,,k是齐次线性方程组
AX=0的一个基础解系,则对任意常数
1,2,,k, 11+22++kk也是AX=0
的解,称这种形式的解为AX=0的通解.
注: 解齐次线性方程组的关键即求其基础 解系,进而求出通解.
若齐次线性方程组AX=0只有零解,则 它没有基础解系
定理一 设n元齐次方程组AX=0的系数矩阵 的秩R(A)=r,则齐次线性方程组AX=0的基 础解系含有nr个向量.
0 0
5x1 x2 11x3 0
1 2 4
设A
（1T
,
T 2
,
T 3
)
2 -1
-1 1
3 -1
5 1 11
R(
A
A)
2
1
0
0 0
3
2 4 -5 -5
1 2 4 0 1 1
1 0 2 0 1 1
未-知39 量-个 39数（向量00 个00数）,00齐次线00性方00 程00组 有非零解
0)T
c2
(
3 7
,
4 7
,
0, 1)T
(c1 , c2 R)
25
返回
例2 求方程组的通解
x1 x2 x3 x4 0 x1 x2 x3 3x4 0
x1
x2
2x3
3x4
0
1
A 1
1
1 1 1
1 1 2
1 1
3 0
3
0
1 0 0
1 2 1
1 1
4 0
2
A1 O, A2 O, A(1 2 ) A1 A O
性质2 若若1 ,是2解 是解向向量量，，则则k1也 是2也解是向解量向。 量。的A解x 空 0间
齐次线性方程组解的结构
一. 齐次线性方程组解的结构
1. 解向量 齐次线性方程组 Ax0,
若 x 1 1 , x 2 1 2 , , 1 x n n 1 为方程A x0的解，则
11
x
1
21
n 1
称为方程组的解向量.
2
（1）若 x1,x2为 A x0的解，则
x12
也是 Ax0的解.
A 1 2 A 1 A 2 0
（2）若 x1 为A x0的解，k为实数，则
xk1也是 A x0的解． A k 1 k 1 A k 0 0 .
推广： 齐次线性方程组的解的线性组合
k 1 1 k 2 2 k n n
都是方程组的解 3
2. 基础解系
1 A2
1
2 1 -1
2 -2 -4
1 -2 -3
r2 -2r1 r3 - r1
1 0 0
2 -3 -3
2 -6 -6
1 - 4 - 4
1 2 2 1
1 0 - 2 -5/ 3
r3 -r2 r2(-3)
0 0
1 0
2 0
4 / 3
r1 -2r2
0
0
0
1 0
2 0
4/ 3
0
(2) 由标准阶梯形得到方程组为 x x12- 22xx33- ((54//33))xx44 00,.
简化 阶梯形矩阵
方程组有无穷多解 可写出一般解 自由未知 量适当取值 基础解系
是
线性组合
方程组有唯一零解
写出全部解
14
习题4.6 3(2)
( 2 )A 0 x 的任1 一 ,2 , ,t线 解. 性 都
即方程组的通解就是
4.2 齐次线性方程组
推论 n个方程n个未知数的齐次线性方程组只有零解的 充要条件是系数行列式不等于零.
由上面的定理4.1自然可以得到齐次线性方程组有非
零解的如下结论： 定理4.2 对于齐次线性方程组, 下列命题等价:
(1) 方程组有非零解;
(2) 向量组 1 , 2 , , n 线性相关;
(3) 系数矩阵的秩 r ( A) n. 推论 n个方程n个未知数的齐次线性方程组有非零解充要
得到同解方程组
x1 b1,r 1 x r 1 b1n x n , x 2 b2,r 1 x r 1 b2 n x n , x r br ,r 1 x r 1 brn x n .
0 1 0
条件是系数行列式等于零.
2、齐次线性方程组的通解 我们写出齐次方程组的矩阵形式
Ax 0
(4.5)
定理4.3
(1) 若 x1 、x 2是齐次线性方程组(4.5)的两个
解, 则 x1 x2 也是(4.5)的解; (2) 若 x 是齐次线性方程组(4.5)的解, k 为任意常数,
则 kx 也是(4.5)的解.
基础解系。
若 1 , 2 ,, r 是方程组(4.5)的一个基础解系，由向 量空间的知识我们可以知道： (1) 1 , 2 ,, r 是方程组(4.5)的r个解向量； (2) 1 , 2 ,, r 线性无关； (3) 方程组(4.5)的每个解 向量都可由 1 , 2 ,, r 线性 表示，且表示方式是唯一的，即
,,
nr
例1 求齐次线性方程组
x1 x 2 x3 x 4 0, x1 x 2 x3 3 x 4 0, x x 2 x 3x 0 2 3 4 1
第二节 齐次线性方程组 齐次线性方程组的概念
定义
设1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0
的一组解向量，若它满足下列条件：
（1） 1 ,2 , r 线性无关；
（2）方程组 AX 0 的任一解向量都可由1 ,2 , r 线性表出 则称向量组 1 ,2 , r是齐次线性方程组
AX 0 的一个基础解系。
如果 1,2 , r 是齐次线性方程组 AX 0 的一个基础解系 那么，对任意常数 k1, k2 , kr ,
若令
A
a21
am1
a12 a22 am2
a1n
a2n
,
amn
x1
X
x2 xn
则 （1）可写成矩阵形式: AX 0 (2)
a1 j
若令
aj
a2 j
j 1,2, , n
amj
即向量组 a1 , a2 , an为齐次线性方程组（1）的
系数矩阵的列向量组
第二节 齐次线性方程组
齐次线性方程组的概念 齐次线性方程组的解空间 齐次线性方程组的基础解系
一、齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
齐次线性方程组
a21 x1
a22 x2
a2n xn
0
(1)
am1 x1 am2 x2 amn xn 0
a11
的基础解系，即证明了当 R（A）= r〈 n 时齐次
线性方程组 AX 0 中有n- r个自由变量，
使基础解系由n- r个解向量组成。
说明１．方程组的基础解系不是唯一的． ２．方程组的基础解系又称为解空间的基．
３．若1 ,2 , ,nr 是 Ax 0 的基础解系，
则其通解为
x k11 k22 knrnr .
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齐次线性方程组Ax=0
一、基本理论
齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A ). N(A )的一组基称为方程组的一个基础解系。
解空间的维数：dim N(A ) = n - rank(A ).
求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系.
二、Matlab 实现
实现一：rref(A )将A 化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系.
实现三：Matlab 函数null(A )可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。
三、例子
例. 求解线性方程组
12451234512345123451
2
3
4
5
25023450223024319803632490
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+++-=⎪⎪+++-=⎨⎪+--+=⎪+--+=⎪⎩ 输入系数矩阵A
A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9]
A =
1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9
解一
R=rref(A)
R =
1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
原方程化为
12453
4
5
250320
x x x x x x x +-+=⎧⎨+-=⎩
即
12453
45
5223x x x x x x x +-+=-⎧⎨=-⎩
通解
12452234245445555220251100332010001x x x x x x x x x x x x x x x x +----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+⎭⎝⎭
解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基
N=nulbasis(A)
N =
-2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1
Matlab 的null(A)给出不同的结果 null(A)
ans =
-0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805
例. 求12340x x x x +++=的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A)
ans =
-1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
实例
例. 配平下列化学方程式
138223242()C ()CO H ()O ()H O x x x x →++
解. 碳、氢、氧的原子数目在反应前后相等
13
14234
C :382H :O 2:2x x x x x x x ===+
得如下方程组
13
142
3
4
30820220
x x x x x x x -=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩
A=[3 0 -1 0; 8 0 0 -2; 0 2 -2 -1]
A =
3 0 -1 0 8 0 0 -2 0 2 -2 -1
R=rref(A)
R =
1.0000 0 0 -0.2500 0 1.0000 0 -1.2500 0 0 1.0000 -0.7500
对应如下方程组
1
24344/45/43/4x x x x x x =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
取44x =, 则11x =, 25x =, 33x =. 配平后的化学方程式
38222H 5O 3H CO O C 4++→
或直接调用 nulbasis(A) nulbasis(A)
ans =
0.2500 1.2500 0.7500 1.0000。