切比雪夫多项式-详细-Chebyshev polynomials

切比雪夫多项式是与棣美弗定理有关，以递归方式定义的一系列正交多项式序列。

通常，第一类切比雪夫多项式以符号Tn表示，第二类切比雪夫多项式用Un表示。

切比雪夫多项式Tn 或Un 代表n 阶多项式。

切比雪夫多项式在逼近理论中有重要的应用。

这是因为第一类切比雪夫多项式的根（被称为切比雪夫节点）可以用于多项式插值。

相应的插值多项式能最大限度地降低龙格现象，并且提供多项式在连续函数的最佳一致逼近。

在微分方程的研究中，数学家提出切比雪夫微分方程
和
相应地，第一类和第二类切比雪夫多项式分别为这两个方程的解。

这些方程是斯图姆-刘维尔微分方程的特殊情形.
定义：第一类切比雪夫多项式由以下递推关系确定
也可以用母函数表示
第二类切比雪夫多项式由以下递推关系给出
此时母函数为
从三角函数定义：第一类切比雪夫多项式由以下三角恒等式确定
其中n = 0, 1, 2, 3, .... . 是关于的n次多项式，这个事实可以这么看：
是:的实部（参见棣美弗公式），而从左边二项展开式可以看出实部中出现含的项中，都是偶数次的，从而可以表示成的幂。

用显式来表示
尽管能经常碰到上面的表达式但如果借助于复函数cos(z), cosh(z)以及他们的反函数，则有
类似，第二类切比雪夫多项式满足
以佩尔方程定义：切比雪夫多项式可被定义为佩尔方程
在多项式环R[x] 上的解(e.g., 见Demeyer (2007), p.70). 因此它们的表达式可通过解佩尔方程而得出:
归递公式
两类切比雪夫多项式可由以下双重递归关系式中直接得出:
T0(x) = 1 U − 1(x) = 1 Tn + 1(x) = xTn(x) − (1 − x2)Un − 1(x) Un(x) = xUn − 1(x) + Tn(x) 证明的方式是在下列三角关系式中用x 代替
xTn(x) − (1 − x2)Un(x)
正交性
Tn 和Un 都是区间[−1,1] 上的正交多项式系.
第一类切比雪夫多项式带权
即:
可先令x= cos(θ) 利用Tn (cos(θ))=cos(nθ)便可证明.
类似地，第二类切比雪夫多项式带权即:
其正交化后形成的随机变量是Wigner 半圆分布).
基本性质
对每个非负整数n，Tn(x) 和Un(x) 都为n次多项式。

并且当n为偶（奇）数时，它们是关于x 的偶（奇）函数，在写成关于x的多项式时只有偶（奇）次项。

时，Tn 的最高次项系数为2n − 1 ，n = 0时系数为1 。

最小零偏差
对，在所有最高次项系数为1的n次多项式中，对零的偏差最小，即它是使得f(x)在[ − 1,1] 上绝对值的最大值最小的多项式。

其绝对值的最大值
为，分别在- 1 、1 及f 的其他n − 1 个极值点上达到。

两类切比雪夫多项式间的关系
两类切比雪夫多项式间还有如下关系：
切比雪夫多项式是超球多项式或盖根堡多项式的特例, 后者是雅可比多项式的特例.
切比雪夫多项式导数形式的递推关系可以由下面的关系式推出：
例子
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是T0, T1, T2, T3, T4 T5.
前几个第一类切比雪夫多项式是
前六个第一类切比雪夫多项式的图像，其中-1¼<x<1¼, -1¼<y<1¼; 按颜色依次是U0, U1, U2, U3, U4 U5. 虽然图像中无法显示,我们实际有Un(1)=n+1 以及Un(-1)=(n+1)(-1)n.
前几个第二类切比雪夫多项式是
按切比雪夫多项式的展开式
一个N 次多项式按切比雪夫多项式的展开式为如下：
多项式按切比雪夫多项式的展开可以用Clenshaw 递推公式计算。

切比雪夫根
两类的n次切比雪夫多项式在区间[−1,1]上都有n 个不同的根, 称为切比雪夫根, 有时亦称做切比雪夫节点，因为是多项式插值时的插值点. 从三角形式中可看出Tn 的n个根分别是：
类似地，Un 的n个根分别是：。