最小二乘法计算公式
最小二乘法知识
最小二乘法知识最小二乘法是一种最优化方法，经常用于拟合数据和解决回归问题。
它的目标是通过调整模型参数，使得模型的预测值与观测值之间的差异最小。
最小二乘法的核心思想是最小化误差的平方和。
对于给定的数据集，假设有一个线性模型y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... +βₙxₙ，其中β₀, β₁, β₂, ... , βₙ 是需要求解的未知参数，x₁, x₂, ... , xₙ 是自变量，y 是因变量。
那么对于每个样本点 (xᵢ, yᵢ)，可以计算其预测值ŷᵢ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ... + βₙxₙ，然后计算预测值与实际值之间的差异 eᵢ = yᵢ - ŷᵢ。
最小二乘法的目标是使得误差的平方和最小化，即最小化目标函数 E = ∑(yᵢ - ŷᵢ)²。
对于简单的线性回归问题，即只有一个自变量的情况下，最小二乘法可以通过解析方法求解参数的闭合解。
我们可以通过求偏导数，令目标函数对参数的偏导数等于零，求解出参数的最优解。
然而，对于复杂的非线性回归问题，解析方法通常不可行。
在实际应用中，最小二乘法通常使用迭代方法进行求解。
一种常用的迭代方法是梯度下降法。
梯度下降法通过反复进行参数更新的方式逐步降低目标函数的值，直到收敛到最优解。
具体而言，梯度下降法首先随机初始化参数的值，然后计算目标函数对于每个参数的偏导数，根据偏导数的方向更新参数的值。
迭代更新的过程可以通过下式表示：βₙ = βₙ - α(∂E/∂βₙ)其中，α 是学习率参数，控制每次更新参数的步长。
学习率需要适当选择，过小会导致收敛过慢，过大会导致震荡甚至不收敛。
最小二乘法除了可以用于线性回归问题，还可以用于其他类型的回归问题，比如多项式回归。
在多项式回归中，我们可以通过增加高次项来拟合非线性关系。
同样地，最小二乘法可以通过调整多项式的系数来使得拟合曲线与实际数据更加接近。
除了回归问题，最小二乘法还可以应用于其他领域，比如数据压缩、信号处理和统计建模等。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
的一个二元函数， 把 M 看成自变量 a 和 b 的一个二元函数， 那么问题就可归结为求函数 M = M ( a , b ) 在那 些点处取得最小值. 些点处取得最小值
7 ∂M ∂a = −2∑ [ yi − (at i + b )]t i = 0, i =0 令 7 ∂M = −2∑ [ yi − (at i + b )] = 0; ∂b i =0
7 7 7
(1)
计算得
∑t
i =0 7 i =0
7
i
= 28, = 208.5,
∑t
i =0 7 i =0
7
2 i
= 140, = 717.0
∑y
i
∑yt
i i
代入方程组（ ） 代入方程组（1）得
140a + 28b = 717, 28a + 8b = 208.5.
解此方程组， 解此方程组，得到 a = −0.3036, b = 27.125. 这样便得到所求经验公式(回归方程 为 这样便得到所求经验公式 回归方程 )为
在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据： 例2 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：
i
1 3
2 6
3 9
4 12
5 15
6 18
7 21 8.9
8 24 6.5
τi
yi
57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2
y 表示从实验开始算起的时间， 其中 τ 表示从实验开始算起的时间， 表示时刻τ 反应物的量． 反应物的量．试定出经验公式 y = f (τ ).
试根据上面的试验数据建立 y 和 t 之间的经验公 式 y = f (t ).
最小二乘法原理
最小二乘法最小二乘法是一种在误差估计、不确定度、系统辨识及预测、预报等数据处理诸多学科领域得到广泛应用的数学工具。
最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
最小二乘法公式：设拟合直线的公式为,其中：拟合直线的斜率为：；计算出斜率后，根据和已经确定的斜率k，利用待定系数法求出截距b。
在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1),(x2, y2).. (xm , ym)；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)²〕最小为“优化判据”。
令: φ= ∑(Yi - Y计)² (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ= ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Yi-Y计)²最小时，可用函数φ对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9) 这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘问题公式(一)
最小二乘问题公式(一)最小二乘问题公式1. 最小二乘问题简介最小二乘问题是一种统计学和数学中常见的优化问题。
它的目标是求解一个线性模型，使得模型中的实际观测值与模型预测值之间的残差的平方和最小。
2. 最小二乘问题公式最小二乘问题的公式可以表示为：∥Ax−b∥2minx其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
3. 相关公式下面列举一些与最小二乘问题相关的公式：正规方程最小二乘问题的解可以通过使用正规方程求解：x=(A T A)−1A T b这里，A T表示A的转置，A−1表示A的逆矩阵。
最小二乘解的闭式解对于线性模型 Ax =b ，当 A T A 是满秩矩阵时，最小二乘问题的解存在唯一的闭式解。
QR 分解法除了使用正规方程，还可以使用QR 分解法求解最小二乘问题。
使用QR 分解可以将最小二乘问题转化为一个更容易求解的等价问题。
广义逆矩阵最小二乘问题的解可以通过求解广义逆矩阵的方式得到：x =A †b这里，A † 是矩阵 A 的广义逆矩阵。
4. 示例解释假设有一组观测数据，其中 m =5 表示观测样本数量，n =2 表示模型参数数量。
我们可以将这些观测数据表示为矩阵 A 和列向量 b 。
通过求解最小二乘问题，可以得到模型的最优参数估计。
假设观测数据的矩阵表示为：A =[ 12345678910]观测数据的目标值列向量表示为：b=[3 7 11 15 19]根据最小二乘问题的公式，我们可以求解最优参数估计：x=(A T A)−1A T b带入具体数值计算后，得到最优参数估计为：x=[11]这表示线性模型的最优参数为x1=1和x2=1。
5. 总结最小二乘问题是一种常见的优化问题，用于求解线性模型的最优参数估计。
通过求解最小二乘问题的公式，可以得到模型的最优参数估计。
正规方程、闭式解、QR分解法和广义逆矩阵都是常用的求解最小二乘问题的方法。
平面度最小二乘法公式和原理
平面度最小二乘法公式和原理一、引言在工程领域中，我们经常需要对平面度进行评估和测量。
平面度是指一个物体或表面与一个理想平面之间的偏差程度。
平面度评估的目的是为了确定物体或表面是否符合设计要求。
平面度最小二乘法是一种常用的评估方法，本文将介绍其公式和原理。
二、平面度最小二乘法公式平面度最小二乘法的公式可以用数学语言描述如下：假设我们有n个待测点，分别表示为(xi, yi)，其中i从1到n。
我们需要找到一个平面方程z = f(x, y)，使得所有的点(xi, yi, zi)到这个平面的距离之和最小。
平面方程f(x, y)可以表示为：f(x, y) = ax + by + c其中a、b和c是待求的系数。
我们的目标是最小化所有点到这个平面的距离之和，即最小化以下目标函数：E = Σ[(axi + byi + c - zi)^2]我们需要找到a、b和c的取值，使得目标函数E达到最小值。
三、平面度最小二乘法原理平面度最小二乘法的原理是基于最小化误差的思想。
通过调整平面方程的系数a、b和c，我们可以使得所有点到这个平面的距离之和最小。
具体来说，我们可以使用最小二乘法的优化算法，例如梯度下降法或牛顿法，来求解最小化目标函数的系数a、b和c。
这些优化算法会迭代地调整系数的取值，直到目标函数达到最小值。
在实际应用中，我们可以使用计算机编程语言来实现这些优化算法，以自动化地求解系数的取值。
通过输入待测点的坐标和高度，我们可以得到最佳的平面方程，从而评估平面度。
四、应用案例平面度最小二乘法广泛应用于工程领域。
以下是一些应用案例：1. 汽车制造：在汽车制造过程中，平面度评估是确保车身和零件质量的关键步骤。
通过使用平面度最小二乘法，制造商可以检查车身表面的平整度，以确保其符合设计要求。
2. 电子制造：在电子产品的制造过程中，平面度评估对于保证电路板和元器件的连接性和稳定性非常重要。
通过使用平面度最小二乘法，制造商可以检查电路板表面的平整度，以确保其能够正常工作。
最小二乘公式
最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）：a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2 (x)m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和〔∑(Y i -Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Y i -Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i -a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Y i-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi )a1 = ∑Y i (式1-6)(∑Xi )a0 + (∑Xi2 )a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Y i)/ m -a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Y i - (∑Xi ∑Y i)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
高中数学最小二乘法
高中数学最小二乘法最小二乘法是一种常用的统计学方法，通常应用于数据拟合。
在高中数学中，最小二乘法主要用于线性回归分析，即寻找一条直线来拟合一组数据点。
假设有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条直线 $y = ax + b$，使得这条直线与这些数据点的误差平方和最小。
换句话说，就是让这条直线尽可能地接近这些数据点。
假设直线 $y = ax + b$ 与数据点 $(x_i,y_i)$ 的误差为 $e_i$，则有：$$e_i = y_i - (ax_i + b)$$将所有数据点的误差平方和表示出来，可以得到：$$sum_{i=1}^n e_i^2 = sum_{i=1}^n(y_i - (ax_i + b))^2$$ 我们的目标是使得上式的值最小，因此需要对 $a$ 和 $b$ 分别求偏导数并令其为0，得到：$$begin{cases}frac{partial}{partial a}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0 frac{partial}{partial b}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0end{cases}$$ 将上式展开并整理可得到：$$begin{cases}displaystylesum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b) = 0displaystylesum_{i=1}^n(y_i - ax_i - b) = 0end{cases}$$ 解出 $a$ 和 $b$ 即可得到最小二乘法的结果，即：$$a = frac{displaystyle nsum_{i=1}^nx_iy_i -sum_{i=1}^nx_isum_{i=1}^ny_i}{displaystyle nsum_{i=1}^nx_i^2 - (sum_{i=1}^nx_i)^2}$$$$b = frac{displaystyle sum_{i=1}^ny_i - asum_{i=1}^nx_i}{n}$$这就是高中数学中最小二乘法的基本原理和公式。
最小二乘法公式
最小二乘法公式
最小二乘法公式是一个数学的公式，在数学上称为曲线拟合，此处所讲最小二乘法，专指线性回归方程！最小二乘法公式为b=y(平均)-a*x（平均）。
拓展资料：
曲线拟合俗称拉曲线，是一种把现有数据透过数学方法来代入一条数式的表示方式。
科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。
最小二乘法
最小二乘法一、简介最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
本文主要讲直线拟合。
二、最小二乘法原理在我们研究两个变量（x,y ）之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据（x 1,y 1.x 2,y 2... x m ,y m ）；将这些数据描绘在x -y 直角坐标系中，若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如下： x a y 10a +=计 （式1-1)其中：a 0、a 1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a 0和a 1，将实测值y i 与利用（式1-1）计算值的离差计y y i -的平方和2)(∑-计y y i 最小为“优化判据”。
令：2)(∑-=计y y i ϕ （式1-2)把（式1-1）代入（式1-2）中得：210)(∑--=i i x a a y ϕ （式1-3)要求φ最小值，可用函数 φ 对a 0、a 1 求偏导数，令这两个偏导数等于零：)51(0)(x 2)41(0)(2101100-=---=∂∂-=---=∂∂∑∑式式i i i i i x a a y a x a a y a ϕϕ 亦即：)7-1()x ()x ()6-1()(12i 010式式∑∑∑∑∑=+=+i i i i i y x a a y a x ma得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出： )9-1()()8-1()(22110式式∑∑∑∑∑∑∑--=-=i i i i i i i i x x m y x y x m a m x a y a或 ∑∑∑∑∑∑--=2220)()()(i i i i i i i x x m y x x y x a把a 0、a 1 代入（式1-1）中即可。
在统计学中，这种最小二乘拟合通常成为线性回归。
最小二乘公式
最小二乘法公式最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2最小二乘公式（针对y=ax+b形式）：a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)b=y(平均)-ax（平均）最小二乘法在我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2 (x)m , y m)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中(如图1), 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)其中：a0、a1 是任意实数为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Y i与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Y i-Y计)的平方和〔∑(Y i -Y计)2〕最小为“优化判据”。
令: φ = ∑(Y i -Y计)2 (式1-2)把(式1-1)代入(式1-2)中得:φ = ∑(Y i -a0 - a1 Xi)2 (式1-3)当∑(Y i-Y计)平方最小时，可用函数φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)(式1-5)亦即：m a0 + (∑Xi )a1 = ∑Y i (式1-6)(∑Xi )a0 + (∑Xi2 )a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)得到的两个关于a0、a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：a0 = (∑Y i)/ m -a1(∑Xi) / m (式1-8)a1 = [∑Xi Y i - (∑Xi ∑Y i)/ m] / [∑Xi2 - (∑Xi)2 / m)] (式1-9)这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
最小二乘法公式例题
最小二乘法公式例题在我们学习数学的过程中，有一个非常实用的工具叫做最小二乘法。
这玩意儿听起来可能有点高大上，但其实没那么可怕，咱们通过一些例题来好好瞅瞅它。
我记得有一次给学生们讲最小二乘法的时候，有个学生瞪着大眼睛，一脸迷茫地问我：“老师，这到底是啥呀？”我笑着回答：“别着急，咱们一步步来。
”咱们先来说说最小二乘法的公式：对于给定的一组数据（x₁, y₁），（x₂, y₂），...，（xₙ, yₙ），要找到一条直线 y = a + bx 来拟合这些数据，使得误差的平方和最小。
这里误差就是实际的 y 值减去通过直线计算得到的 y 值。
那误差的平方和 S 就可以表示为：S = Σ（yᵢ - （a + bxᵢ））²。
为了找到使 S 最小的 a 和 b 的值，我们需要对 S 分别关于 a 和 b 求偏导数，并令它们等于 0。
经过一系列计算（这个过程咱就不细说了，不然脑袋得晕），最终可以得到求解 a 和 b 的公式：b = [Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）] / [Σ（xᵢ - x）²] ，a = ȳ - b x。
这里x是 x 的平均值，ȳ是 y 的平均值。
咱们来看个例题哈。
假设我们有一组数据：（1，2），（2，3），（3，5），（4，6），（5，7）。
首先，咱们来计算一下 x 的平均值x和 y 的平均值ȳ 。
x = （1 + 2 + 3 + 4 + 5）/ 5 = 3 ，ȳ = （2 + 3 + 5 + 6 + 7）/ 5 = 4.6 。
然后计算Σ（xᵢ - x）（yᵢ - ȳ）和Σ（xᵢ - x）²。
（1 - 3）×（2 - 4.6） + （2 - 3）×（3 - 4.6） + （3 - 3）×（5 - 4.6）+ （4 - 3）×（6 - 4.6） + （5 - 3）×（7 - 4.6），（1 - 3）² + （2 - 3）² + （3 - 3）² + （4 - 3）² + （5 - 3）²。
最小二乘法LSQ(least square)_计算公式
( 3)
∑ τ = 108, ∑ τ ∑ lg y = 10.3, ∑ τ
i 1 8= i i =1 8 i =1 i i =1
8
8
2
i
= 1836, lg yi = 122.
i
将他们代入方程组（ ） 将他们代入方程组（3）得
1836a + 108b = 122, 108a + 8b = 10.3. a = 0.4343m = −0.045, 解这方程组， 解这方程组，得 b = lg k = 1.8964.
71728140273036由2式算出的函数值与实测270268265263261257253243算得2712526821265182621425911256072530325000偏差01250021001800860189009300030200偏差的平方和我们把称为均方误差它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏
达到最小． 求 f ( t )，使 M = ∑ [ yi − (at i + b )] 达到最小．
2 i =1
n
注意：计算机与数据拟合． 注意：计算机与数据拟合．
（参看高等数学实验课讲义 郭锡伯 徐安农编） 徐安农编）
最小二乘法
一、经验公式
在工程问题中，常常需要根据两个变量的 在工程问题中， 几组实验数值——实验数据，来找出这两个变 实验数据， 几组实验数值 实验数据 量的函数关系的近似表达式． 量的函数关系的近似表达式．通常把这样得到 的函数的近似表达式叫做经验公式 经验公式. 的函数的近似表达式叫做经验公式. 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？ 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
最小二乘法的原理及证明
最小二乘法的原理及证明最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它的本质是通过寻找最小化残差平方和的参数组合进行数据拟合。
在现实生活中，很多实际问题都可以通过最小二乘法来求解，如线性回归、曲线拟合、方程求解等。
本文将介绍最小二乘法的原理及证明。
一、最小二乘法的原理最小二乘法是一种基于误差最小化的思想进行模型参数求解的方法。
对于含有n个数据点的模型，其最小二乘法的表示形式为：$min[\sum_{i=1}^n(y_i-f(x_i))^2]$其中，$y_i$为第i个数据点的观测值，$f(x_i)$为模型在$x_i$处的预测值。
最小二乘法的目的是寻找一个最优的模型参数集合，使得预测值与观测值之间的误差平方和最小。
以线性回归为例，线性回归模型的基本形式为：$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性回归的系数，$\epsilon$为误差项。
通过最小二乘法，我们需要求解$\beta_0$和$\beta_1$，使得预测值与真实值之间的残差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法可以通过求解模型参数的偏导数，进而得到参数的估计值。
同时，最小二乘法还可以通过矩阵运算的形式进行求解，这种方法称为矩阵最小二乘法。
二、最小二乘法的证明最小二乘法的原理可以通过数学证明来得到。
在数学推导中，我们需要利用概率论和统计学的相关知识。
1、最小二乘法的基本假设首先，我们需要对最小二乘法做出一些假设。
最小二乘法的假设包括：(1)数据点满足线性关系；(2)误差项满足高斯分布；(3)误差项具有同方差性；(4)误差项之间相互独立。
在这些假设的基础上，我们可以得出以$X$为自变量，$Y$为因变量的线性模型：$Y=\beta_0+\beta_1X+\epsilon$其中，$\beta_0$和$\beta_1$为线性模型的系数，$\epsilon$为误差项。
我们需要利用概率论和统计学的方法，通过参数的似然函数来求解模型的系数。
最小二乘法计算公式推导
最小二乘法计算公式推导最小二乘法是一种常用的参数估计方法，用于拟合数据和求解线性回归模型的参数。
下面我将给出最小二乘法的计算公式推导过程。
假设我们有m个数据点，每个数据点有一个自变量x和一个因变量y，我们的目标是找到一个模型来描述x和y之间的关系。
常用的线性模型形式为：y=β0+β1*x+ε其中，β0和β1是我们需要估计的参数，ε表示模型的误差项。
最小二乘法的目标是通过最小化所有数据点与模型的差距来估计参数。
首先，我们定义残差ri为第i个观测点的观测值yi与模型预测值yi~的差：ri=yiyi~我们希望最小化所有残差的平方和来求解参数。
因此，最小二乘法的目标是使得残差平方和函数S最小：S=Σ(ri^2)其中，Σ表示对所有m个数据点求和。
我们将S对参数β0和β1分别求偏导数，并令偏导数为0，可以得到参数的估计值。
首先，对β0求偏导数：∂S/∂β0=2Σ(ri*(1))令∂S/∂β0=0，得到：Σ(ri*(1))=0这个等式的意义是残差的总和等于0。
接下来，对β1求偏导数：∂S/∂β1=2Σ(ri*(1)*xi)令∂S/∂β1=0，得到：Σ(ri*(1)*xi)=0这个等式的意义是残差与自变量的乘积的总和等于0。
利用这两个等式，我们可以求解出β0和β1的估计值。
首先，利用第一个等式，我们可以得到：Σ(ri*(1))=Σ(yiyi~)=0进一步展开得到：ΣyiΣyi~=0因此，β0的估计值可以表示为：β0=(1/m)*Σyi(1/m)*Σyi~其中，(1/m)*Σyi表示观测值y的平均值，(1/m)*Σyi~表示模型预测值yi~的平均值。
接下来，利用第二个等式可以得到：Σ(ri*(1)*xi)=Σ(yiyi~)*xi=0展开后得到：Σyi*xiΣyi~*xi=0因此，β1的估计值可以表示为：β1=(Σyi*xiΣyi~*xi)/Σxi^2其中，Σyi*xi表示观测值y与自变量x的乘积的总和，Σyi~*xi表示模型预测值yi~与自变量x的乘积的总和，Σxi^2表示自变量x的平方的总和。
最小二乘法b的计算公式
最小二乘法b的计算公式最小二乘法在数学领域，尤其是统计学中，那可是相当重要的一个工具。
咱今儿就来好好唠唠它里面关于 b 的计算公式。
先给您举个小例子哈。
比如说，咱要研究学生每天学习时间和考试成绩之间的关系。
我们找了一堆学生，记录了他们每天学习的时间和对应的考试成绩。
这时候，就可以用最小二乘法来找出这两者之间的规律。
那最小二乘法里 b 的计算公式到底是啥呢？它是：b = [nΣ(xy) - ΣxΣy] / [nΣ(x^2) - (Σx)^2]这里面的 n 表示数据的数量，x 是自变量，y 是因变量。
可别被这一堆符号给吓住了，咱慢慢捋一捋。
比如说，在刚刚说的学习时间和考试成绩的例子里，学习时间就是x，考试成绩就是 y。
假设我们有 5 个学生的数据，分别是（1，50），（2，60），（3，70），（4，80），（5，90）。
那咱们先算算Σx，就是把所有的 x 加起来，1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15。
Σy 呢，就是把所有的 y 加起来，50 + 60 + 70 + 80 + 90 = 350。
Σ(xy) 就是把每个 x 和对应的 y 相乘再相加，1×50 + 2×60 + 3×70 + 4×80 + 5×90 = 1350。
Σ(x^2) 就是把每个 x 的平方加起来，1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55。
然后把这些数代到公式里，n = 5，b = [5×1350 - 15×350] / [5×55 - 15^2] ，经过一番计算，就能得出 b 的值啦。
有了这个 b 值，我们就能得到一个大致的线性关系，比如说 y = bx + a 里的这个直线方程，从而能对未来的情况做一些预测。
再比如说，您要是开个小店，想研究商品价格和销量之间的关系，也能用这个方法。
您看，最小二乘法的 b 计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多琢磨琢磨，多找些实际的例子练练手，其实也没那么难。