定积分的应用习题答案

1．填空题

⑴函数的单调减少区间__

[解答] ，令，可得

当时，，单调递减.

所以的单调递减区间是或.

⑵曲线与其在处的切线所围成的部分被轴分成两部分，这两部分面积之比是__

[解答] 直线方程为，即，

两直线的交点可求得，即求解

方法一：已知其一根为，设方程为

通过比较可得，可解得另外一根为

方法二：分解方程有

即

所以

则

⑶设在上连续，当＿时，取最小值.

[解答]

令，则

即

所以

⑷绕旋转所成旋转体体积__

[解答] 令，则

当时，

当时，

所以

⑸求心脏线和直线及围成的图形绕极轴旋转所成旋转体体积__

[解答] 将极坐标化为直角坐标形式为，

则

所以

2．计算题

⑴在直线与抛物线的交点上引抛物线的法线，求由两法线

及连接两交点的弦所围成的三角形的面积.

[解答] 由题意可计算两法线的方程为

，即

，即

两直线的交点为，则

⑵过抛物线上的一点作切线，问为何值时所作的切线与抛物线

所围成的面积最小.

[解答] 直线的斜率，则直线方程为，与抛物线相交，即，设方程的两根为且，则

，从而

又，所以

⑶求通过点的直线中使得为最小的直线方程.

[解答] 设，则

则

由可得即可得

又则当时为最小，此时方程为

⑷求函数的最大值与最小值.

[解答] 令，可得

当时，，即在取最小值，此时

当时，，即在取最大值

此时.

⑸求曲线与所围阴影部分面积，并将此面积绕轴旋转所构成的旋转体体积，如图所示.

[解答]

⑹已知圆，其中，求此圆绕轴旋转所构成的旋转体体积和表面积.

[解答] 令，如图所示，则

⑺设有一薄板其边缘为一抛物线，如图所示，铅直沉入水中，

①若顶点恰好在水平面上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？[解答] 抛物线方程为，则在水下到这一小块所受的静压力为

所以整块薄板所受的静压力为

若下沉，此时受到的静压力为

要使，解得.

②若将薄板倒置使弦恰好在水平面在上，试求薄板所受的静压力，将薄板下沉多深，压力加倍？

[解答] 建立如图坐标系，则抛物线方程为，则在水下到这一小块所

受的静压力为

所以整块薄板所受的静压力为

若下沉，此时受到的静压力为

要使，解得.????