教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法

满足插值条件（2.9）埃尔米特插值多项式，则对任何 x ∈[a,b] ，插值余项
R2n+1(x) =
f (x) − H2n+1(x) =
1 (2n + 2)!
f
(2n+2)
(ξ
)π
2 n+1
(
x)
（2.10）
其中ξ ∈ (a,b) 依赖于 x 。
§2.6 分段低次插值法
2.6.1 龙格现象 构造未知函数或复杂函数的插值多项式，并不是次数越高越好。
f (1) = 0, f (2) = 0.693147, f ′(2) = 0.5.
试用埃尔米特插值法计算 f (1.5) 的近似值。 重点讲解基函数的构造和计算过程。
2.5.2 构造差商表的方法 如果插值条件中不仅出现了一阶导数，还出现了高阶导数，那么利用构造差
商表的方法十分有效。方法如下：
（1）．在利用插值条件构造差商表时，把具有一阶导数要求的节点看成是二 重节点（即两个节点），把具有二阶导数要求的节点看成是三重节点（即三个节
如果还知道被插函数 f (x) 在每个节点处的导数值 mi ，那么我们就可以在区
3
间 [xi−1, xi ](i = 1, 2,L, n) 上构造三次埃尔米特插值多项式近似被插函数，即当
x ∈[xi−1, xi ]时，
f
(x)
≈
H
(i 3
)
(
x)
=
yi −1α i −1 ( x)
+
yiαi (x)
例 2.6.1 给定函数
f (x) = 1 , −1 ≤ x ≤ 1 1+ 25x2
取等距节点
xi
=
−1+ ih, h
=
2 n
，构造
f
(x)
的
n
次拉格朗日插值多项式，并画
出 f (x) 和 Ln (x)(n = 4,10) 的图象。
利用本例说明龙格现象。 龙格现象说明前面介绍的插值方法未必收敛，即其截断误差并不一定随着 n 趋于无穷大而随之减小。
+
mi −1βi −1 ( x)
+
miβi (x)
其中，
αi−1
(
x)
=
⎛⎜1 + ⎝
2
x xi
− xi−1 − xi−1
⎞⎛ ⎟⎜ ⎠⎝
x − xi xi−1 − xi
⎞2 ⎟ ⎠
,
αi
(
x)
=
⎛ ⎜1
+
⎝
2
x − xi xi−1 − xi
⎞ ⎟ ⎠
⎛ ⎜ ⎝
x xi
− −
xi−1 xi−1
⎞2 ⎟ ⎠
2.6.2 分段低次插值法
最基本的分段低次插值是分段线性插值，就是通过相邻两个插值点作插值来
构造分段插值多项式的。即在区间[xi−1, xi ](i = 1, 2,L, n) 上，有
f
(
x)
≈
P(i) 1
(
x)
x − xi xi−1 − xi
yi−1 +
x − xi−1 xi − xi−1
yi
从几何上看，分段线性插值就是用连接插值点的折线代替被插函数。 因为每一段上的截断误差为
（2.9）
因为该插值条件包含 2n+2 个独立等式，所以一定可以确定唯一一个 2n+1 次的
多项式 H (x) 满足上述条件。记之为 H2n+1(x) 。
1
2.5.1 构造基函数的方法
类似于拉பைடு நூலகம்朗日插值多项式的构造方法，用具有特殊性质的基函数来构造 埃尔米特插值多项式。利用插值节点构造如下两类特殊的 2n+1 次多项式：
教案三 埃尔米特插值法和分段低次插值法
基本内容提要 1 埃尔米特插值法及基函数 2 龙格现象 3 分段低次插值法 教学目的和要求 1 掌握埃尔米特插值法及其相关概念 2 理解利用基函数构造埃尔米特插值多项式的思想 3 理解分段低次插值法的基本思想 教学重点 1 埃尔米特插值基函数及插值多项式的表达式 2 分段低次插值法的基本思想 教学难点 1 利用基函数的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程 2 利用构造差商表的方法构造埃尔米特插值多项式的思想方法和过程 3 插值余项公式的证明思路 课程类型 新知识理论课 教学方法 结合提问，以讲授法为主 教学过程
点），以此类推。
显然，在计算重合节点的差商时，要利用公式
f
[ xi
,
xi ,L,
xi
]
=
1 n!
f
n
( xi
)
2
（2）．根据所构造的差商表，按牛顿插值多项式的写法就能得到埃尔米特插 值多项式。
上述方法又称作推广的牛顿插值法。
定理 2.5.1 假设 f (2n+1) (x) 在[a, b] 上连续， f (2n+2) (x) 在 (a, b) 内存在。 H2n+1(x) 是
|
f
(x) −
P1i
|=
1 2
|
f
′′(ξ )(x
−
xi−1)(x −
xi ) |≤
1 8
|
f
′′(ξ ) | (xi
−
xi −1 ) 2
≤
1 8
|
f
′′(ξ ) |
h2
其中 h
=
max {|
1≤i≤n
xi
−
xi−1
|} ，所以只要
f
′′( x)
在插值区间上连续，且
h
→
0
时，那么
分段线性插值的截断误差趋于零，即分段线性插值法是一种收敛方法。
4
( xk
)
=
[1 −
2( xk
−
xi
)li' (xi
)]li2
( xk
)
=
⎧1, k ⎨⎩0, k
= i, ≠ i.
αi' (xk ) = 0. βi (xk ) = 0.
βi'
(
xk
)
=
⎧1, k ⎨⎩0, k
= ≠
i, i.
利用上述性质，构造埃尔米特插值多项式：
n
∑ H2n+1(x) = [ yiαi (x) + miβi (x)] 。 i=0
由 于 H2n+1(x) 是 αi (x) 和 βi (x),i = 0,1,L, n, 的 线 性 组 合 ， 组 合 系 数 为
yi , mi ,i = 0,1,L, n, 所以称αi (x) 和 βi (x) 为埃尔米特插值多项式的基函数，并把上 述求埃尔米特插值多项式的方法叫做构造基函数方法。 例 2.5.1 设 f (x) = ln x 。现已知 f (x) 的下列数据：
|
f
(4) (ξ ) | h4
其中
h
=
max {|
1≤i≤n
xi
−
xi−1
|} ，所以只要
f
(4) (x) 在插值区间上连续，且
h
→
0
时，那么
分段三次埃尔米特插值的截断误差也趋于零，即分段埃尔米特插值法是收敛的。
课堂小结
布置作业
参考文献
1. Burden R L, Faires J D.Numerical Ananlysis(Fourth Edition). Prindle, Boston, Weder and Schmidt,1989. 2. Stoer J.,Bulirsch R.,Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, SpringerVerlag, NewYork, 1992. 3. 邓建中，刘之行. 计算方法（第二版）.西安交通大学出版社，2001. 4. 韩旭里. 数值分析. 中南大学出版社，2003.
,
βi−1
(x)
=
(x
−
)⎛
xi−1 ⎜ ⎝
x − xi xi−1 − xi
⎞1 ⎟ ⎠
,
βi
(
x
)
=
(
x
−
xi
)
⎛ ⎜ ⎝
x xi
− −
xi −1 xi −1
⎞2 ⎟ ⎠
,
因为截断误差：
|
f
(x) −
H
(i 3
)
(
x)
|=
1| 4!
f
(4) (ξ )(x
−
xi−1)2 (x −
xi )2
|≤
1 384
⎧α ⎨ ⎩
i
(
x) = βi
[1 − (x)
2( x = (x
− −
xi )li' (xi )]li2 xi )li2 (x),
(
x),
i = 0,1,L, n,
其中， li (x),i = 0,1,L, n, 是拉格朗日插值多项式的基函数。
可以验证，αi (x) 和 βi (x) 具有性质：
αi
问题引入
如果插值条件要求插值多项式与被插函数在某些点的函数值和导数值分别 对应相等，这种插值多项式为埃尔米特（Hermite）插值多项式，构造埃尔米特 插值多项式的方法就是埃尔米特插值法。
§2.5 埃尔米特插值法
假设待构造的多项式 H (x) 需要满足如下插值条件：
H (xi ) = yi , H ' (xi ) = mi ,i = 0,1,L, n.