浅谈数学解题的严谨性

浅谈数学解题的严谨性

——对几道数学题的解法辨析与完善数学以其理论上系统性，严谨性为大家熟知，但在数学问题的求解过程中因种种原因，常会在一些看似简单的问题解答过程出现缺乏严谨性的毛病，这对于数学教学是很有害的。为此，将个人在教学实践中所遇到的几个题目的解法加以辨析，引起大家关注，并将其完善，避免再以讹传讹。本文的观点不当之处敬请同行指正。

问题1、把长144厘米，宽48厘米，厚32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正文体木块，求正方体木块的棱长和锯成的块数（锯完之后木料没有剩余。）以下将原参考解答抄录：

已知求

长144厘米锯成尽可能大的同样大小的

木料宽48厘米正方体木块的棱长与块数

厚32厘米

分析：由题意可知，所求正方体木块的棱长应能整除144、48、32这三个数，所以它应是木料的长、宽、厚的公因数，由于要锯成的同样大小的正方体要尽可能大，故所求正方体的棱长就应是木料的长、宽、厚的最大公因数。

求得木料的长、宽、厚各锯成的份数后，就可以求出锯成的块数。

解：正方体木块的每条棱长是（144，48，32）＝16（厘米）

木料的长所锯成的份数是144÷16＝9

木料的宽所锯成的份数是48÷16＝3

木料的厚所锯成的份数是32÷16＝2

锯成的正方体的块数是9×3×2＝54（块）

答：正方体木块的棱长是16厘米，可以锯成54块。

解答辨析：本题的主要问题出在分析，有如下不严谨的地方，造成不易察觉的错误。

（1）、“整除”的概念在小学数学明确给出。整除是当除数为非0整数，被除数和商都是整数时所给出的除数与被除数相关的一个概念，例题中没有限制所锯成的正方体棱长一定是整厘米数，也无法直接断言所锯成尽可能大的正方体的棱长一定是整厘米数。因此，分析中的“由题意可知，所求正方体木块的棱长应能整除144、48、32这三个数”的说法是无根据的，不严谨。

（2）、分析中的“故所求正方体的棱长应是木料的长、宽、厚的最大公因数”也不妥当。因为即使按改正后的要求，也只能说“在不计锯木料时的损耗”的前提下，锯出的尽可能大的同样正方体木块的棱长才有可能是16厘米，否则将是“小于16厘米”的结论。小学教学大纲中也有关于应用题部分的例题更就注重实际情况的要求。为简化问题，降低难度也只有通过题目申明，加以注释，否则在有关问题解答过程中不能擅自添加条件。

完善措施：

（1）、照顾该题意是利用最大公因数解题，可对例题作如下变动，以使原分析和解答不再变动。把长144厘米、宽48厘米、厚32厘米的长方体木料，锯成尽可能大的同样大小的正方体木块，求正方体木块的棱长和锯成的块数。（锯完之后原木料没有剩余，假定正方体木块棱长是整厘米数，并不考虑木料时的损耗。）

（2）、如改动时公增加“考虑锯木料时的损耗”，题目难度将增大。解答可分两步进行：

1、当锯成正方体的棱长是整厘米数时，按完善后的（1）的解法可求出最大正方体木

块的棱长是16厘米。

2、假定锯成的正方体的棱长不是整厘米数时，而所锯成的最大正方体木块的棱长大于16厘米，根据题意“锯完之后原木料没有剩余”，知道这样的最大正方体木块不存在。因为厚为32厘米，用大于16厘米的长度去度量32厘米要能刚好整数次量尽只有取该长度为32厘米，但32厘米是整厘米，并且用32厘米不可能整数次量尽宽48厘米，故满足要求的棱长不是整厘米的棱长大于16厘米的正方体木块不存在。

由1、2、知，在原题只补充“不考虑锯木料时的损耗”后，原题的最后得数不会变动，但其解答过程却需要补充，否则解答是不严谨的。

问题2、

（）个长方形

（）个正方形

（）个三角形

参考答案给出图中有（2）个长方形的答案。这一答案是错误的，正确答案应是“（3）个长方形”。因为正方形是两邻边相等的长方形，如在长方形计数过程中的外延缩小了。虽然这一答案的数仅相差1，但究其错误性质是严重的，属于原则性错误，不能赞同参考书的答案，应更正为“（3）个长方形”。

问题3、某整数除193余4，除1087余7，求该数。

原解1：根据题意所给某整数能整除（193－4）和（1087－7），则该数是189的1080的公因数。因189和1089的最大公因数是27，所以所求的数是27.

原解2：在原解1的解题步骤进行到：因189和1089的最大公因数是27，27有因数1、3、9、27.所以所求的数是1、3、9、27.

解法辨析：

（1）原解1：求出最大公因数27后，未与前面分析“该数是189与1080的公因数”相照应，将公因数与最大公因数混淆，造成所求解答有遗漏。

（2）原解2：注意到最大公因数与公因数的区别和联系，但是没有注意题中“某整数除193余4，除1087余7”，这要求作为除数的某数既要是189和1080的公因数，又要大于所得出的两个余数4和7.不难看出原解2所得答案扩大了范围，造成答案错误。

正确解法：根据题意知所给整数应是（193－4）和（1087－7）的公因数，并且还要大于7。

193－4＝189，1087－7＝1080.

又因为189和1080的最大公因数是27，

27的因数有1、3、9、27。

所以，189和108的公因数有1、3、9、27。其中大于7的只有9和27.

答：所求该数为9或27.

通过上述三道在小学阶段出现的数学问题解答，我们可以看出数学解题的严谨性在教学中特别值得注意，切不可掉以轻心。