初二期末复习精品资源命题人学而思网校韩春成老师
相交线和平行线35道核心题——韩春成老师
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题不在多，而在于精！
韩老师告诉你个秘密：越付出越富有！
5.
【中】平面内两两相交的 6 条直线，其交点个数最少为几个？最多为几个？
6.
【中】 （北京市八一中学 2013 年初一数学第二学期期中试卷） 如图，直线 AB 、 CD 被直线 AC 所截，且 AB ∥CD ，按要求画图并填空： ⑴ 分别画 BAC 和 DCA 的平分线，且两线相交于点 E ； ⑵ AEC _____ ； ⑶ 过点 E 分别画 EF ⊥ AB ， EG ⊥ AC ，垂足分别为 F ， G ． ⑷ 请借助刻度尺比较点 E 到直线 AB 的距离和点 E 到直线 AC 的距离的大小．
b， c， d ，且 a b ， b c ， c d ，则 a 与 d 的位 15. 【易】在同一平面内的四条直线 a ， 置关系是（ ） a d A． B． a ∥ d C．相交但不垂直 D．不能确定
16. 【易】⑴ 如图 1，在直角三角形 ABC 中， C 90°， CD AB 于 D ，比较线段 AC 、 AB 、 CD 的大小． ⑵ 如图 2， A 点处是一座小屋， BC 是一条公路，一人在 O 处， ①此人到小屋去，怎么走最近？理由是什么？②此人要到公路，怎么走最近？理由是 什么？
A D′ B C′ F C E D
26. 【中】 （北京五中分校 2013 年初一数学第二学期期中考试）如图， AB ∥ EF ∥CD ， ABC 46 ， CEF 154 ，则 BCE __________ ．
A 46° E 154° C D B
F
27. 【中】 （2012 年青羊区初一下期末）已知：如图， BD ∥ AF ∥CE ， ABD 72 ， ACE 40 ， AP 是 BAF 的平分线，求 PAC 的度数．
学而思初二数学秋季班第15讲.代数综合.提高班.教师版
1初二秋季·第15讲·提高班·教师版整式乘法部分：一、幂的运算：整数指数幂运算性质1. n m m n a a a +⋅=(m 、n 是正整数)2. ()m n mn a a =(m 、n 是正整数)3. ()nn nab a b =(n 是正整数)4. m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 是正整数，m >n )5. 01a =，1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数） 二、乘法公式1. 完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+ 2．平法差公式：()()22a b a b a b +-=- 三、主要题型思路导航15名校期末试题点拨——代数部分题型一：整式乘除与因式分解2初二秋季·第15讲·提高班·教师版1. 基本运算2. 化简求值3. 整体法4. 消元法5. 降次法因式分解部分： 一、知识结构因式分解提公因式法乘法分配律的逆用 公式法完全平方公式()2222+=a ab b a b ±±平方差公式()()22a b a b a b -=+-十字相乘法分解某些二次三项式 分组分解法分组后能提公因式分组后能运用公式二、注意事项：1. 分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
例如()()422111x x x -=+-，就不符合因式分解的要求，因为()21x -还能分解成()()11x x +-； 2. 在没有特别规定的情况下，因式分解是在有理数范围内进行的。
三、因式分解的一般步骤：可归纳为一“提”、二“套”、三“分”、四“查”。
1. 一“提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来；3初二秋季·第15讲·提高班·教师版2. 二“套”：若多项式的各项无公因式（或已提出公因式），第二步则看能不能用公式法或十字相乘法分解；3. 三“分”：若以上两步都不行，则应考虑分组分解法，将能用上述方法进行分解的项分到一组，使之分组后能“提”或能“套”；4. 四“查”：可以用整式乘法查因式分解的结果是否正确。
学而思勤思班初二春季 第6讲 平行四边形探究(教师版)
标注 四边形 > 平行四边形 > 平行四边形问题 > 题型：平行四边形的判定
二、三角形的中位线
知识导航
定义
三角形的中位线
定义：连接三角形两边中点的线段
示例剖析
定理：三角形中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半 若为
的中位线，
则
，且
三角形中位线里隐含重要性质：
① 三角形的三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形
两组对边分别平行的四边形叫做平 平行四边形
行四边形
四边形
叫做平行四边形
平行四边形的 一般按一定的方向依次表示各顶点.
表示
如：口
平行四边形不能表示成口
，也不能表示成
口
中心
在平面内，一个图形绕某点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫
对称图形 做中心对称图形
中心对称 图形性质
中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分
∴ ， 分别是
与
的中位线，
∴
，
，
，
，
∵
，
∴
，
∴
是等腰三角形，
∵
，
，
∴
，
∴
∴
．
， ，
标注 四边形 > 四边形综合 > 中点类 > 题型：中位线性质以及应用
2 如图，
中， 、 分别是 、 的中点， 平分
，交 于点 ，若
，
，则 的长是（ ）．
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 ∵ 、 分别是 、 的中点，
∴
，
两组对边分别相等
四边形
是平行四边形
学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版
1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
学而思初二数学秋季班第2讲.倍长中线与截长补短.提高班.教师版
1初二秋季·第2讲·提高班·教师版三角形9级 全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一） 三角形7级倍长中线与截长补短倍长中线与截长补短满分晋级漫画释义2倍长中线 与截长补短2初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析倍长中线：即延长三角形的中线，使得延长后的线段是原中线的两倍．其目的是构造一对对顶的全等三角形； 其本质是转移边和角．EDABC其中BD CD =，延长AD 使得DE AD =，则BDE CDA △≌△．【例1】 已知ABC △中，AD 平分BAC ∠，且BD CD =，求证：AB AC =． 【解析】 延长AD 到E ，使DE AD =，连接CE ．则CDE BDA △≌△，∴CE AB =，CED BAD ∠=∠， ∵AD 平分BAC ∠，∴BAD CAD ∠=∠， ∴CED CAD ∠=∠，∴CE AC =， ∴AB AC =．思路导航例题精讲知识互联网题型一：倍长中线EABCDABCD3初二秋季·第2讲·提高班·教师版【教师备选】教师可借用例1对等腰三角形三线合一性质的逆命题进行简单归纳：已知角平分线+中线证等腰三角形，如例1； 已知角平分线+高证等腰三角形，如拓展1； 已知中线+高证等腰三角形，如拓展2．【拓展1】已知△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD∵AD ⊥BC ，∴∠ADB =∠ADC =90° ∴△ABD ≌△ACD (SAS) ∴AB =AC ．【拓展2】已知△ABC 中，AD ⊥BC ，且BD CD =，求证：AB =AC ． 【解析】∵AD ⊥BC ，且BD CD =∴AD 所在直线是线段BC 的垂直平分线 根据垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 故AB =AC ．【例2】 ⑴如图，已知ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．给出下列结论：①AD =2AC ；②CD =2CE ；③∠ACE =∠BCD ；④CB 平分∠DCE ，则以上结论正确的是 ． 【解析】 ①正确．∵AB AC =，BD AB =，∴AD =2AC ．②、④正确．延长CE 到F ，使EF CE =，连接BF ． ∵CE 是AB 的中线，∴AE EB =． 在EBF △和EAC △中 AE BEAEC BEF CE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩典题精练ABDEDCBA4初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴EBF EAC ≌△△∴BF AC AB BD ===，EBF EAC ∠=∠ ∴FBC FBE EBC A ACB DBC ∠=∠+∠=∠+∠=∠ 在FBC △和DBC △中 FB DB FBC DBC BC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴FBC DBC ≌△△∴2CD CF CE ==，∠FCB =∠DCB 即CD =2CE ，CB 平分∠DCE ．③错误．∵∠FCB =∠DCB ，而CE 是AB 边上中线而不是∠ACB 的角平分线故∠ACE 和∠BCD 不一定相等．⑵如图，在△ABC 中，点D 、E 为边BC 的三等分点，给出下列结论：①BD =DE =EC ；②AB +AE ＞2AD ；③AD +AC ＞2AE ；④AB +AC ＞AD +AE ，则以上结论正确的是 ．NM ED CBAEDCBA【解析】 点D 、E 为边BC 的三等分点，∴BD =DE =CE 延长AD 至点M ，AE 至点N ，使得DM =AD ，EN =AE ，连接EM 、CN ，则可证明△ABD ≌△MED ，进而可得AB +AE ＞2AD ，再证明△ADE ≌△NCE ，进而可得AD +AC ＞2AE ，将两式相加可得到AB +AE +AD +AC ＞2AD +2AE ，即AB +AC ＞AD +AE ． ∴①②③④均正确．【例3】 如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．FCAEBD5初二秋季·第2讲·提高班·教师版【解析】 延长AD 到G ，使DG AD =，连接BG∵BD CD =，BDG CDA ∠=∠，AD GD = ∴ADC GDB △≌△， ∴AC GB =，G EAF ∠=∠ 又∵AF EF =，∴EAF AEF BED ∠=∠=∠ ∴G BED ∠=∠，∴BE BG =，∴AC BE =．【例4】 在正方形ABCD 中，PQ ⊥BD 于P ，M 为QD 的中点，试探究MP 与MC 的关系．NABCDMPQ Q PMDCBA【解析】 延长PM 至点N ，使PM =MN ，连结CP 、CN 、DN ．易证△PMQ ≌△NMD ， ∴PB =PQ =DN ，∠PQD =∠NDM ∴PQ ∥DN ，又∵∠BPQ =∠BDN= 90° ∴∠PBQ =∠BDC=∠NDC =45° 再证△BPC ≌△DNC (SAS) 易证△PCN 为等腰直角三角形， 又∵PM =MN ，∴PM ⊥MC ,且PM =CM ．GFEDCBA FE D CBA6初二秋季·第2讲·提高班·教师版定 义示例剖析截长：即在一条较长的线段上截取一段较短的线段DCBA在线段AB 上截取AD AC =补短：即在较短的线段上补一段线段使其和较长的线段相等AB C D延长AC ，使得AD AB =【例5】 在ABC △中，A ∠的平分线交BC 于D ，AB AC CD =+，40B ∠=︒，求C ∠的大小．（希望杯培训题）D C B AED CB A【解析】 在AB 上截取AE AC =，连接DE ．∵AE AC =，BAD CAD ∠=∠，AD AD =，∴ACD AED △≌△， ∴C AED ∠=∠，CD DE =，∵AB AC CD =+，AE AC =，∴CD BE DE == ∴40EBD EDB ∠=∠=︒，80C AED ∠=∠=︒例题精讲思路导航题型二：截长补短7初二秋季·第2讲·提高班·教师版D CB AEDCB AD CEBAE DCB A【例6】 如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．求证：AB BD AC +=． 【解析】方法一：（截长）在AC 上截取AB AE =，连接DE ．在ABD △和AED △中AB AE =，BAD EAD ∠=∠，AD AD =∴ABD AED △≌△∴BD ED =，B AED ∠=∠又∵2AED EDC C B C ∠=∠+∠=∠=∠ ∴EDC C ∠=∠，∴ED EC =∴AB BD AC +=． 方法二：（补短）延长AB 到点E 使得AC AE =，连接DE ． 在AED △和ACD △中，AE AC =，EAD CAD ∠=∠，AD AD = ∴AED ACD △≌△，∴C E ∠=∠ 又∵22ABC E BDE C BDE ∠=∠+∠=∠=∠ ∴E BDE ∠=∠∴BE BD =，∴AB BD AC +=．方法三：（补短）延长DB 到点E 使得AB BE =，连接AE 则有EAB E ∠=∠，2ABC E EAB E ∠=∠+∠=∠ 又∵2ABC C ∠=∠，∴C E ∠=∠ ∴AE AC = EAD EAB BAD E DAC ∠=∠+∠=∠+∠C DAC ADE =∠+∠=∠∴AE DE =，∴AB BD EB BD ED AE AC +=+=== ∴AB +BD=AC若题目条件或求证结论中含有“a b c =+”的条件，需要添加辅助线时多考虑“截长补短”.建议教师此题把3种解法都讲一下，方便学生更加深刻理解这种辅助线添加方法.【例7】 已知：在ABC △中，AB CD BD =-，AD BC ⊥，求证：2B C ∠=∠．【解析】 方法一：在DC 上取一点E ，使BD DE =，如图1，在ABD △和AED △中，AD BC ⊥，BD ED =，AD AD =．典题精练DC BA8初二秋季·第2讲·提高班·教师版∴ABD AED △≌△． ∴AB AE =，B AED ∠=∠．又∵AE AB CD BD CD DE EC ==-=-= ∴C EAC ∠=∠，∴2C EAC AED C ∠+∠=∠=∠ ∴2B C ∠=∠．图1E AB CD图2EAB CD方法二：延长DB 到点E ，使BE AB =，如图2， ∴E EAB ∠=∠．∵AB CD BD =-，∴ED CD =．在AED △和ACD △中，AD BC ⊥，ED CD =，AD AD =． ∴AED ACD △≌△． ∴E C ∠=∠． ∵2ABD E ∠=∠ ∴2B C ∠=∠．【探究对象】截长补短法是几何证明题中十分重要的方法，通常来证明几条线段的数量关系，常见做辅助线方法有： 截长法：⑴过某一点作长边的垂线；⑵在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
初中数学旋转解题几何
旋转基础练习一一、选择题1．在26 个英文大写字母中，通过旋转180°后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个2．从 5 点15 分到 5 点20 分，分针旋转的度数为（）A．20°B．26°C．30°D．36°3．如图1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ABC 旋转到△A′B′的C位置，其中A′、B′分别是A、B 的对应点，且点 B 在斜边A′B上′，直角边CA′交AB 于D，则旋转角等于（）A．70°B．80°C．60°D．50°(图1) (图2) (图3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为________，转动的角为________．2．如图2，△ABC 与△ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠AED 都是直角，点 E 在AB 上，如果△ABC 经旋转后能与△ADE 重合，那么旋转中心是点_________；旋转的度数是__________．3．如图3，△ABC 为等边三角形， D 为△ABC 内一点，△ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（1）旋转中心是________；（2）旋转角度是________；（3）△ADP 是________ 三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图4，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图5，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置．(图4) (图5) (图6) (图7) 如图6，以A 点为中心，把△ABC 旋转90°，可以变到△AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题如图7，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BA 延长线上一点，AF= 12AB ．（1）在如图7 所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ADF 的位置？（2）指出如图7 所示中的线段BE 与DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么 B 点从开始至结束所走过的路径长是多少？旋转基础练习二一、选择题1．△ABC 绕着 A 点旋转后得到△AB′C，′若∠BAC′=130，°∠BAC=80°，则旋转角等于（）A．50°B．210°C．50°或210°D．130°2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ABC 和△ADE 均是顶角为42°的等腰三角形，BC、DE 分别是底边，图中的△ABD 绕A 旋转42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中BD CE（填“>”,“<”或“=”）．3．如图，自正方形ABCD的顶点A引两条射线分别交BC、CD于E、F，∠EAF=45°，在保持∠EAF=45°的前提下，当点E、F分别在边BC、CD上移动时，BE+DF与EF的关系是________．三、解答题1．如图，正方形ABCD的中心为O，M为边上任意一点，过OM随意连一条曲线，将所画的曲线绕O点按同一方向连续旋转3次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ABC的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD的纸片，沿EF折叠后，ED′与BC的交点为G，点D、C分别落在D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，则∠1=（）A．55°B．125°C．70°D．110°二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是_________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（6）梯形．三、解答题1．仔细观察所列的26 个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z对称中心轴对称旋转形式只有一条对称轴有两条对称轴对称对称2．如图，在正方形ABCD 中，作出关于P 点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点 B 是AC 的中点，画出此图形关于点 B 成中心对称的图形．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等边三角形B．等腰梯形C．平行四边形D．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）21085 A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形3．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“21085在”镜子中的像是（）A．21085 B．28015 C．58012 D．51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做__________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．（1）判断下列命题的真假（在相应括号内填上“真”或“假”）②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°；（）（2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°是_____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形A1B1C1D1沿EF折叠，使B1点落在A1D1边上的B处；沿BG折叠，使D1点落在D处且BD过F点．（1）求证：四边形BEFG是平行四边形；（2）连接BB，判断△B1BG的形状，并写出判断过程．D1ABAEF GB1C1DC3．如图，直线y=2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°得到△A1OB1．（1）在图中画出△A1OB1；（2）设过A、A1、B三点的函数解析式为y=ax2+bx+c，求这个解析式．y2BA-1Ox学而思韩春成老师题库资料分享第5页答案：一、1．D 2．D 3． D二、1．中心对称图形2．答案不唯一3．答案不唯一三、1．（1）①假②真（2）①③（3）①例如正五边形正十五边形? ②例如正十边正二十边形2．（1）证明：∵A1D1∥B1C1，∴∠A 1BD= ∠C1FB又∵四边形ABEF 是由四边形 A 1B1EF 翻折的，∴∠B1FE=∠EFB，同理可得：∠FBG=∠D1BG， 初中数学资源网∴∠EFB=90°- 12∠C1FB ，∠FBG=90° -12∠A1BD ，∴∠EFB=∠FBG∴EF∥BG，∵EB∥FG∴四边形BEFG 是平行四边形．（2）直角三角形，理由：连结BB ，∵BD1∥FC1，∴∠BGF= ∠D1BG，∴∠FGB=∠FBG 同理可得：∠B1BF=∠FB1B．∴∠B1BG=90°，∴△B1BG 是直角三角形3．解：（1）如右图所示y2 1 B A1AB1-2 -1 1O-12 x（2）由题意知 A 、A1、B1 三点的坐标分别是（-1，0），（0，1），（2，0）∴0a b cc10 4a 2b c解这个方程组得abc12112∴所求五数解析式为y=- 12x2+2+12x+1．旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（）A．y= 1xB．y=2x+1 C．y=-2x+1 D．以上三种都不可能2．如图，已知矩形ABCD 周长为56cm，O 是对称线交点，A D 点O 到矩形两条邻边的距离之差等于8cm，则矩形边长中较长的一边等于（）OA．8cm B．22cm C．24cm D．11cmB C 二、填空题1．如果点P（-3，1），那么点P（-3，1）关于原点的对称点P′的坐标是P′______．_2．写出函数y=- 三、解答题3x与y=3x具有的一个共同性质________（用对称的观点写）．y1．如图，在平面直角坐标系中，A（-3，1），B（-2，3），C（0，2），画出△ABC 关于x 轴对称的△A′B′，C再′画出△A′B′关C′于y 轴对称的△A″B″C，″那么△A″B″C″B 43与△ABC 有什么关系，请说明理由．A 21CO x-1y -2-34A 32 2．如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A、B 两点，1B-4 学而思韩春成老师题库资料分享第7 页O x -3 2 3 -2-1 1-1-2-3且A（0，3），B（3，0），现将直线AB 绕点O 顺时针旋转90°得到直线A1B1．（1）在图中画出直线A1B1；（2）求出过线段 A 1B1 中点的反比例函数解析式；（3）是否存在另一条与直线A1B1 平行的直线y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．答案:一、1．A 2．B二、1．（3，-1）2．答案不唯一参考答案：关于原点的中心对称图形．三、1．画图略，△A″B″C″与△ABC 的关系是关于原点对称．2．（1）如右图所示，连结A1B1；（2）A 1B1 中点P（1.5，-1.5），设反比例函数解析式为y= kx，则y=-2.25x．（3）A 1B1：设y=k 1x+b1 b310 3k 31k1b113∴y=x+3∵与A 1B1 直线平行且与y= 2.25x相切的直线是A1B1? 旋转而得到的．∴所求的直线是y=x+3 ，2.25 下面证明y=x+3 与y=-x 相切，43yAy x 3212.25 B(A) y 初中数学资源网O x -4 -32 3-2 -1 1 x-1x2+3x+2.25=0 ，b2-4ac=9-4 1××2.25=0，2+3x+2.25=0 ，b2-4ac=9-4 1××2.25=0，-2∴y=x+3 与y=- 2.25x相切．-3 B学而思韩春成老师题库资料分享第8 页***旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的4个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（）2．将三角形绕直线L旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题1．（1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？学而思韩春成老师题库资料分享第9页******学而思韩春成老师题库资料分享第10页***。
【20寒】初二数学直播目标班(全国版)讲义
解直角三角形 / 第 02 讲
011
例7
第
如图，在海面上产生了一股强台风，台风中心 (记为点 M) 位于滨海市 (记作点 A) 的南
偏西
15◦，距离为
√ 61 2
千米，且位于临海市
(记作点
B)
正西方向
√ 60 3
千米处．台风
02
中心正以 72 千米/时的速度沿北偏东 60◦ 的方向移动 (假设台风在移动过程中的风力
2
016
学而思数学目标班·初二（全国版）「寒」
( 2 ) 已知二次函数解析式为 y = mx2 − (m − 1) x − 2m + 3，当 x > 2 时，函数值随着 x 的
增大而减小，求 m 的取值范围．
第
03
讲
( 3 ) 已知抛物线 y = ax2 + 2ax + 4 (0 < a < 3)，A (x1, y1)、B (x2, y2) 是抛物线上两点，若
第 04 讲
p.023
二次函数的解析式和图象变换
模块 01 二次函数的解析式 模块 02 二次函数的图象变换 模块 03 函数中的绝对值变换
第 05 讲
p.031
二次函数的应用
模块 01 用函数观点看方程与不等式 模块 02 实际应用问题
第 06 讲
p.039
一元二次方程区间根的分布
模块 01 一元二次方程区间根的分布
i（i
=
h ）；坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作
l
α
（tan α
=
i
=
h ）．
l
二、解直角三角形实际问题的一般解法
1. 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）； 2. 适当选用锐角三角比去解直角三角形； 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案．
学而思寒假八年级尖子班讲义第1讲平行四边形性质、判定
1 平行四边形性质、判定目标1 掌握平行四边形的性质掌握平行四边形的性质目标2 掌握平行四边形的判定掌握平行四边形的判定目标3 应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题应用平行四边形的性质、判定、三角形全等解决综合问题【专题简介】【专题简介】与三角形一样，平行四边形也是一种基本的几何图形，宏观的建筑物、开关自如的栅拦门、别具一格的灵柩••••••现实世界中很多物体都有平行四边形的形象。
从本讲开始，我们将依次学习平行四边形、举行、菱形、正方形的概念，并在理解她们的基础上，利用已有的几何知识和方法，搜索并证明他们的性质定理和判定定理:进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，进一步体会研究图形的几何性质的思路和方法，即通过观、即通过观、即通过观、类比、类比、类比、特殊化等途径和方法发特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们现图形的几何性质，在通过逻辑推理证明他们模块一 平行四边形的性质 知识导航知识导航 定义定义示例剖析示例剖析平行四边形:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形（如图）:平行四边形的表示：一般按照一定的方向依次表示各项点:如右图的平行四边形不能表示平行四边形ACBD ，也不能表示平行四边形ADBC叫做平行四边形四边形ABCD ÞþýüBC // AD CD // AB 记作□ABCD性质性质示例剖析示例剖析①平行四边形的对边平行；①平行四边形的对边平行；四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．②平行四边形的对边相等：②平行四边形的对边相等：四边形ABCD 为平行四边形ÞAB ∥DC ， AD ∥ BC ．③平行四边形的对角相等③平行四边形的对角相等四边形ABCD 为平行四边形Þ∠A=∠C ，∠B=∠D④平行四边形的对角线互相平分④平行四边形的对角线互相平分四边形ABCD 为平行四边形ÞOA=OC ，OB=OD【例1】如图，D 为平行四边形ABCD 的对角线的交点：过O 点作直线EF 分别交CD 、AB 于点E 、F ． (1)求证：OE= OF ；(2)若AB =5，BC =4，OE= 1.5，求四边形EFBC 的周长。
学而思初二数学秋季班第3讲.全等三角形的经典模型(一).提高班.教师版
作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级漫画释义3全等三角形的 经典模型（一）DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°． ∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中，M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中， 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ，∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
八年级暑假学而思全等百题斩(2)拓展版教师版
八年级暑假学而思全等百题斩（2）拓展版教师版1.如图，已知BO=CE, N1 = N2,求证：AB=AC.【解答】证明：・.・N1 = N2,，ZAEC=ZADB.二NA在△A3。
与AACE 中，/AEC二/ADB，CE=BD•••△ABOgZXACE,：.AB=AC.2.如图：AB=AC, MEA-AB. MFLAC.垂足分别为 E、F, ME=MF.求证：MB=MCAZB=ZC9： ME LAB, MF A. AC.：.ZBEM=ZCFM=90^ ,在△BME和△CMF中，Z B二Nc「ZBEM=ZCFM=90° ,ME=MF，ABMEg XCMF (AAS),：.MB=MC.3.己知：如图所示，AB=AD. BC=DC, E、F分别是OC BC的中点，求证：AE=AF.【解答】证明：连接AC,D在△AC。
和△ACB中，'AD 二AB•J AC=AC，CD=CB(SSS),/. ZACE= NACF,9：BC=DC, E,尸分别是。
C、8C的中点,:・CE=CF,在AACE和△ACF中，'CE = CF•••< ZACE=ZACF,AC=AC:•△kCEQ2ACF (SAS),：.AE=AF.4.己知 BC=EO, AB=AE, NB=NE,尸是 CO 的中点，求证：AF1CD.【解答】解：如图，连接AC、AD.在△ABC和△AE。
中, 'AB=AE, ZB=ZE>BC=EDA/^ABC^AAED (SAS).：.AC=AD.•••△AC。
是等腰三角形.又•・•点/是co的中点，：.AFLCD.5.己知：AC 平分NBA。
，CE±AB. ZB+ZD= 180° .求证：AE=AD+BE.9：CE±AB.：・CF=CB,:・/CFB=/B,•••NAEC+NCFB =180° , ZD+ZB=180° ,：.ZD=ZAFC,〈AC 平分 NBA。
初二期末复习--常考题总结
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韩春成 学而思初中数学教研主任 关键词：精炼、严谨、专业、有效果 学而思面授班讲义的编撰者 学而思初中数学六级体系的原创者 状元教师、杯赛命题人 学而思培优大 S 级教师 韩春成题库内部资料
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初二期末复习常考题总结
主讲人：韩春成 学而思初中数学教研主任 1、 直播间地址： /Lecturelives/index/3015 2、 讲义说明：题量非常大，基础薄弱或中档的同学建议提前做做题目。
八年级暑假学而思全等百题斩(2)拓展版 教师版
八年级暑假学而思全等百题斩（2）拓展版教师版1．如图，已知BD＝CE，∠1＝∠2，求证：AB＝AC．【解答】证明：∵∠1＝∠2，∴∠AEC＝∠ADB，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴AB＝AC．2．如图：AB＝AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME＝MF．求证：MB＝MC．【解答】证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵ME⊥AB，MF⊥AC，∴∠BEM＝∠CFM＝90°，在△BME和△CMF中，∵，∴△BME≌△CMF（AAS），∴MB＝MC．3．已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证：AE＝AF．【解答】证明：连接AC，在△ACD和△ACB中，∵，∴△ACD≌△ACB（SSS），∴∠ACE＝∠ACF，∵BC＝DC，E，F分别是DC、BC的中点，∴CE＝CF，在△ACE和△ACF中，∵，∴△ACE≌△ACF（SAS），∴AE＝AF．4．已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，F是CD的中点，求证：AF⊥CD．【解答】解：如图，连接AC、AD，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS）．∴AC＝AD．∴△ACD是等腰三角形．又∵点F是CD的中点，∴AF⊥CD．5．已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D＝180°．求证：AE＝AD+BE．【解答】解：如图，在EA上取点F，使EF＝BE，连接CF，∵CE⊥AB，∴CF＝CB，∴∠CFB＝∠B，∵∠AFC+∠CFB＝180°，∠D+∠B＝180°，∴∠D＝∠AFC，∵AC平分∠BAD，即∠DAC＝∠F AC，在△ACD和△ACF中，，∴△ACD≌△ACF（AAS），∴AD＝AF，∴AE＝AF+EF＝AD+BE．6．已知：如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D＝180°，求证：AE＝AD+BE．【解答】证明：在AE上截取AM＝AD，连接CM，∵AC平分∠BAD，∴∠1＝∠2，在△AMC和△ADC中，∴△AMC≌△ADC（SAS），∴∠3＝∠D，∵∠B+∠D＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠4＝∠B，∴CM＝CB，∵CE⊥AB，∴ME＝EB（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合），∵AE＝AM+ME，∴AE＝AD+BE．7．如图，已知AP∥BC，∠P AB的平分线与∠CBA的平分线相交于点E，CE的连线交AP于点D，求证：AD+BC ＝AB．【解答】证明：如图，在AB上截取AF＝AD，连接EF，∵AE平分∠P AB，∴∠DAE＝∠F AE，在△DAE和△F AE中，∵，∴△DAE≌△F AE（SAS），∴∠AFE＝∠ADE，∵AD∥BC，∴∠ADE+∠C＝180°，∵∠AFE+∠EFB＝180°，∴∠EFB＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠EBF＝∠EBC，在△BEF和△BEC中，∵，∴△BEF≌△BEC（AAS），∴BC＝BF，∴AD+BC＝AF+BF＝AB．8．已知：AB∥ED，∠EAB＝∠BDE，AF＝CD，EF＝BC，求证：∠F＝∠C．【解答】证明：∵AB∥ED，∴∠DEA+∠EAB＝180°，∠EDB+∠DBA＝180°，∵∠EAB＝∠BDE，∴∠AED＝∠ABD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，在△AFE和△CDB中，，∴△AFE≌△CDB（SSS），∴∠F＝∠C．9．如图，已知∠A＝∠D，AB＝DE，AF＝CD，BC＝EF．求证：BC∥EF．【解答】证明：连接BF、CE，在△ABF和△DEC中，，∴△ABF≌△DEC，∴BF＝CE（全等三角形对应边相等），∵BC＝EF，∴四边形BCEF是平行四边形，∴BC∥EF．10．已知：∠1＝∠2，CD＝DE，EF∥AB，求证：EF＝AC．【解答】证明：过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，∵∠1＝∠2，∴DM＝DN，∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，∵S△ABD：S△ACD＝BD：CD，∴＝．∵EF∥AB，∴＝；∴，又∵CD＝DE，∴EF＝AC．11．如图，AC，BD相交于O，∠A＝∠D，AB＝DC．求证：AC＝BD．【解答】解：在△ABO和△DCO中，∴△ABO≌△DCO（AAS），∴OA＝OD，OB＝OC，∴OA+OC＝OD+OB，∴AC＝BD．12．已知，如图△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：AD平分∠BAC．【解答】证明：如右图所示，∵BD＝DC，∴∠3＝∠4，又∵∠1＝∠2，∴∠1+∠3＝∠2+∠4，即∠ABC＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴AB＝AC，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．13．已知AB＝4，AC＝2，D是BC的中点，AD是整数，求AD．【解答】解：延长AD至E，使得AD＝DE，连接EC，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在△ADB和△EDC中，，∴△ADB≌△EDC，∴EC＝AB＝4，∵AC＝2，∴4﹣2＜AE＜4+2，即：2＜AE＜6，∴1＜AD＜3，∵AD是整数，∴AD＝2．14．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，猜想线段DE、AD与BE有怎样的数量关系？请写出这个关系（不用证明）；（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【解答】（1）解：DE＝CD+CE＝AD+BE．（2）证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，又AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE．（3）解：DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DN，∴∠ACD+∠CAD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，又AC＝BC，∴△ACD≌△CBE（AAS），∴AD＝CE，BE＝CD，DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．15．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB＝CD，AF＝CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB＝MD，ME＝MF；（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．【解答】解：（1）连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BF A中，∵，∴Rt△DEC≌Rt△BF A（HL），∴DE＝BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB＝MD，ME＝MF；（2）成立．连接BE，DF．∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC＝∠BF A＝90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BF A中，∵，∴Rt△DEC≌Rt△BF A（HL），∴DE＝BF．∴四边形BEDF是平行四边形．∴MB＝MD，ME＝MF．第 11 页共 11 页。
学而思寒假八年级尖子班讲义第3讲正方形性质、判定
3.正方形的性质和判定知识目标目标一：掌握正方形的性质目标二：掌握正方形的判定目标三：综合应用正方形的性质和判定解题模块一：正方形的性质和判定知识导航1.正方形的性质：正方形具有矩形、菱形和平行四边形的一切性质.（1）四边都相等，四角都相等；（2）对角线相等，互相平分，互相垂直；每一条对角线平分一组对角、即正方形的对角线与边的夹角为45°. （3）正方形收轴对称图形，有4条对称轴.2.正方形的判定由于正方形不仅是特殊的平行四边形，特殊的矩形，还是特殊的菱形，因此，可以根据这些联系来判别正方形.（1）平行四边形+一组邻边相等+一个直角；（2）矩形+菱形的一条特性；（3）菱形+矩形的一条特性.这就是说，判断一个四边形是正方形，可以先判断它是矩形，再判断这个矩形也是菱形，也可以判断这个四边形是菱形，再判断这个菱形也是矩形.3.常见辅助线：题型一：正方形的性质例1.1.如图，正方形ABCD中，点P为AC上一点，连PB、PD，延长BP交AD于E.（1）求证：PB=PD（2）若∠BPD=140°，求∠AEB的度数.P EDCB A2. 如图，点P 为正方形ABCD 对角线BD 上的一点. （1）图中的全等三角形有： ；（2）若∠DAP=20°，求∠BPC 的度数.练如图，正方形ABCD ，以AB 为边向正方形外作等边△ABE ，CE 与DB 相交于点F ，求∠AFD 的度数.例2.1. 如图，在正方形ABCD 中，已知AE =DF ，求证AE ⊥DF .2. 如图，在正方形ABCD 中，已知AE =HF ，求证AE ⊥HF .P ED CB A F E D CB AFED C B A H FE D C B A3. 如图，在正方形ABCD 中，已知FE =HG ，求证：FE ⊥HG .练如图1，在正方形ABCD 中，E 是BC 上一点，过点F 作GH ⊥AF ，交直线AB 于G ，交直线CD 于H . （1）求证：BG =CH －BE ；（2）如图2，若F 是AE 延长线上一点，其余条件不变，试探究：BG 、BE 、CH 之间的相等的数量关系.例3.如图正方形ABCD ，DE 与HG 相交于点O .（1）如图1，当∠GOD =90°，①求证DE =GH ；②当点E 在线段AB 上运动时，求证：GD +EH； （2）如图2，当∠GOD =45°，边长AB =4，HG=，求DE 的长.G HF EDCB A 图2图1A BC DEFG H FED C B A OG 图2图1A BCDEHGH OE DC BA练如图，正方形ABCD的边长为2，点E、F分别为边AD、BC上的点，EF，点G、H分别为边AB、CD上的点，连结GH，若线段GH与EF的夹角为45°，求GH的长.例4.如图，正方形ABCD中，AC、BD交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E. （1）求∠DEA的度数；（2）若BD=2，求DE的长.练如图，正方形ABCD，AE平分∠BAC于F点，交BC于E点.（1）求证：OF=12 CE；（2）若BFOF的长.EFHGDCBAEODCBAFEODCBA题型二：正方形的判定 例5.如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 是BD 延长线上一点，且△ACE 是等边三角形，若∠AED =2∠EAD ，求证：四边形ABCD 是正方形. 练如图，四边形ABCD ，AC ⊥BD 于点O ，点E 、F 、G 、H 分别为四边形各边的中点，若AC =BD ，求证：四边形EFGH 是正方形.模块二：正方形的综合应用例6.如图，点E 为正方形ABCD 对角线BD 上一点，EM ⊥BC ，EN ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，连AE . （1）求证：MN =AE ； （2）求证：MN ⊥AE .E O D C B A CH G B D E F A NMED CB A如图，E 是正方形ABCD 中AD 边上的中点，BD 、CE 相交于F 点.（1）求证：△ABE ≌△DCE ； （2）求证：AF =CF ； （3）求证：AF ⊥BE .拓如图，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE =DF ，连接CF 交BD 于G ，连接BE 交AG 于点H .（1）求证：AG ⊥BE ；（2）如图，连DH ，若正方形的边长为4，则线段DH 长度的最小值是 .例7.如图1，正方形ABCD ，P 为OB 上一动点，过D 点作DQ ⊥AP 于点Q ，交AC 于点R . （1）求证：OP =PR ；（2）如图2，若点P 在OB 的延长线上，其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明； （3）若点P 在BO 的延长线上（不与点D 重合），其它条件不变，上述结论是否仍然成立，画图并证明.FE DC B A A B C DE F HGG H F E D C B A 图2图1Q RPR OP Q A B CDD C B A如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE =BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC 于点Q ，PR ⊥BE 于点R ，求PQ +PR 的值？例8.如图，四边形ABCD 为正方形.（1）如图1，点P 为△ABC 的内心（角平分线的交点），猜测DP 与DA 的数量关系并证明； （2）如图2，若点E 在CB 边上（不与点C 、B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF =CE ，点P 为△FBE 的内心，猜测DP 与DF 的数量关系并证明；（3）如图3，若点E 在CB 的延长线上（不与点B 重合），点F 在BA 的延长线上，AF =CE ，点P 是△FEB中与∠FEB 、∠FBE 相邻的两个外角平分线的交点，完成图3，猜测DP 与DF 的数量关系并证明.RE Q PD CBA 图3图2A B C DA B C 图1C B A如图1，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，AF 平分∠BAC ，交BD 于点F . （1）求证：EF +12AC =AB ； （2）点C 1从点C 出发，沿着线段CB 向点B 运动（不与点B 重合），同时点A 1从点A 出发，沿着BA 的延长线运动，点C 1与A 1的运动速度相同，当点C 1停止运动时，另一动点A 1也随之停止运动，如图2，A 1F 1平分∠BA 1C 1，交BD 于点F 1，过点F 1作F 1E 1⊥A 1C 1于点E 1，请猜想E 1F 1、12A 1C 1与AB 三者 之间的数量关系，并证明你的猜想.图2A 1F 1E 1C 1ABCDE FE 图1DCBA例9.如图1，正方形ABCD ，CQ 平分∠DCP ，M 是BC 上一点，过M 作MN ⊥AM 交直线CQ 于点N . （1）求证：AM =MN ；（2）如图2，当M 在BC 延长线上时，其它条件不变，求证：AM =MN ； （3）如图3，当M 在CB 延长线上时，其它条件不变，求证：AM =MN .PQ NM 图1D C B A A B C DM N QP图2M P A B CD 图3NQ练如图1，正方形ABCD ，M 是BC 上一点，MN ⊥AM ，且MN =AM . （1）求证：CN 平分∠DCP ；（2）如图2，当M 在BC 延长线上，其它条件不变，求证：CN 平分∠DCP ； （3）如图3，当M 在CB 延长线上，求证：∠NCM =45°P QNM图1DCBA ABCDMNQP图2MPA BC D图3N Q3.正方形的性质和判定课后作业1. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）A .对角线互相平分B .对角线相等C .对角线互相垂直D .一条对角线平分一组对角2. 如图，在正方形ABCD 的对角线上取点E ，使得∠BAE =45°，连结AE ，CE .延长CE 到F ，连接BF ，使得BC =BF .若AB =1，则下列结论：①AE =CE ；②F 到BC；③BE +EC =EF ；④S △AED=14 ⑤S △EBF=其中正确的个数是（ ） A .2个 B .3个 C .4个D .5个第2题图 第3题图 第4题图3. 如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CD 和AD 上的点，且CE =DF ，AE ，BF 相交于点O ，下列结论：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ；（3）AO =OE ；（4）S △AOB =S 四边形DEOF 中正确的有（ ）A .4个B .3个C .2个D .1个4. 如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为对角线AC 上一点，且CP =，PE ⊥PB 交CD 于点E ，则PE = .5. 如图，正方形ABCD 的面积为256，点F 在AD 上，点E 在AB 的延长线上，直角△CEF 的面积为200， 则BE = .F E D C B A O F E D C BA P E D CB A F ED CB A第5题图第6题图第7题图6.如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为.7.如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE=BC，点P在EC上，PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，则PM+PN= .8.如图，E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于F点.（1）求证：EB=EC；（2）求证：∠DAF=∠DCF；（3）求证：AF⊥BE；（4）过F作FG//BE交BC于G，求证FG=FC.9.如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥P A交BC于E，PF⊥BC，垂足为F点.（1）求证：∠PEC=∠BAP；（2）求证：EF=FC；（3）求证：DP.FEDCBABGFEDCBAFEPDCBA。
学而思2018春季八下培优班讲义1-15讲(word版)教师版
第2讲勾股复习及综合13
第3讲中位线与斜边中线（一）25
第4讲中位线与斜边中线（二）37
第5讲几何最值49
第6讲期中复习之勾股定理59
第7讲期中复习之四边形69
同步中考培优课程
1二次根式巩固
知识目标与切片
目标一复习巩固二次根式相关基础概念
目标二熟练掌握二次根式的化简和计算
模块一二次根式回顾
∴DF＝2AP＝2AB＝2 AE.
例6★★
已知：在△ABC中，∠B＝2∠C，M是BC中点，AD⊥BC于D.求证：DM＝ AB.
证明：延长CB至点K，使BK＝AB，连接AK，则∠K＝∠C，AK＝AC，∵AD⊥BC，∴CD＝ CK，
∵M是BC中点，∴CM＝ BC，∴DM＝CD－CM＝ CK－ BC＝ (CK–BC)＝ BK＝ AB.
∴ ＝
1二次根式巩固
1．若 与5 既是最简二次根式，又是同类二次根式，则x＝
解：4＋3x＝x＋6x＝1
2.若 ＋b2－2b＋1＝0，则 －| －b|＝
答案： ＋（b－1）2＝0
∴a2－3a＋1＝0b＝0∴a－3＋ ＝0，∴a＋ ＝3，∴ ＝7
原式＝1
3．计算：
(1) 3 － ＋ － (2)7a －4a2 ＋7a
知识目标切片
目标一掌握斜边中线定理
目标二学会运用斜边中线
目标三掌握斜边中线的构造方法
模块一斜边中线定理
知识导航
直角三角形斜边中线（定理）：如果一个三角形是直角三角形三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，BD为△ABC斜边上的中线，求证：BD＝ AC
例5★★
把下列各式分母有理化
学而思初二数学秋季班第13讲.几何综合.提高班.教师版
1初二秋季·第13讲·提高班·教师版全等三角形是初中几何学习中的重要内容之一，是今后学习其他知识的基础。
判断三角形全等的公理有SAS 、ASA 、AAS 、SSS 和HL （直角三角形），如果所给条件充足，则可直接根据相应的公理证明，但是如果给出的条件不全，就需要根据已知的条件结合相应的公理进行分析，先推导出所缺的条件，引出相应的辅助线然后再证明。
一、常见辅助线的作法有以下几种：1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对称”；2. 若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”；3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对称”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理；思路导航13名校期末试题点拨——几何部分题型一：全等三角形与轴对称2初二秋季·第13讲·提高班·教师版4. 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；5. 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。
这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。
二、常见模型1.最值问题：“将军饮马”模型；2. 全等三角形经典模型：三垂直模型、手拉手模型、半角模型以及双垂模型等。
三、尺规作图部分地区会考察尺规作图，难点在于构造轴对称图形解决几何问题。
【例1】 ⑴如下左图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ）（2013海淀期末）A ．24°B ．25°C ．30°D ．35°⑵长为20，宽为a 的矩形纸片（10＜a ＜20），如上右图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n 次操作后，剩下的矩形为正方形，则操作停止．当n =3时，a 的值为 ．典题精练21C'B'FE CBA 第二次操作第一次操作3初二秋季·第13讲·提高班·教师版【解析】⑴∵∠A =60°，∴∠AEF +∠AFE =180°-60°=120°， ∴∠FEB +∠EFC =360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B ′EF +∠EFC ′=∠FEB +∠EFC =240°， ∴∠1+∠2=240°-120°=120°， ∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°， 故选：B ．⑵由题意，可知当10＜a ＜20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a ，宽为20-a ，所以第二次操作时剪下正方形的边长为20-a ，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a ，2a -20． 此时，分两种情况： ①如果20-a ＞2a -20，即a ＜403，那么第三次操作时正方形的边长为2a -20． 则2a -20=（20-a ）-（2a -20），解得a =12； ②如果20-a ＜2a -20，即a ＞403，那么第三次操作时正方形的边长为20-a ． 则20-a =（2a -20）-（20-a ），解得a =15． ∴当n =3时，a 的值为12或15． 故答案为：12或15．【例2】 ⑴如图所示，在长方形ABCD 称轴l 上找点P ，使得△P AB 、△PBC 均为等腰三角形，则满足条件的点P 有（ ）．A ．1个B ．3个C ．5个D ．6个lD C BA4初二秋季·第13讲·提高班·教师版【解析】C⑵已知，横线和竖线相交的点叫做格点，P 、A 、B 为格点上的点，A 、B 的位置如图所示，若此三点能够构成等腰三角形，P 点有 种不同的位置？ 【解析】12种，如下图所示：【例3】 ⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小；⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小；⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．图4图3图2图1P DCAOP C BAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；BA5初二秋季·第13讲·提高班·教师版⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【例4】 如图1，在ABC △中，2ACB B ∠=∠，BAC ∠的平分线AO交BC 于点D ，点H 为AO 上一动点，过点H 作直线l AO ⊥于H ，分别交直线AB AC BC 、、于点N E M 、、. ⑴当直线l 经过点C 时（如图2），证明：BN CD =； ⑵当M 是BC 的中点时，写出CE 和CD 之间的等量关 系，并加以证明；⑶请直接写出BN CE CD 、、之间的等量关系.（海淀期末考试）【解析】 ⑴证明：连接ND .∵AO 平分BAC ∠， ∴12∠=∠.∵直线l AO ⊥于H ，6初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴4590∠=∠=︒. ∴67∠=∠. ∴AN AC =. ∴NH CH =.∴AH 是线段NC 的中垂线. ∴DN DC =. ∴89∠=∠. ∴AND ACB ∠=∠.∵3AND B ∠=∠+∠，2ACB B ∠=∠， ∴3B ∠=∠. ∴BN DN =. ∴BN DC =.⑵如图，当M 是BC 中点时，CE 和CD 之间的等量关系为2CD CE =. 证明：过点C 作'CN AO ⊥交AB 于'N . 由（1）可得'BN CD =，'AN AC =，AN AE =. ∴43,'NN CE ∠=∠=.过点C 作CG AB ∥交直线l 于G . ∴42∠=∠，1B ∠=∠. ∴23∠=∠. ∴CG CE =. ∵M 是BC 中点，7初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴BM CM =.在BNM △和CGM △中， 1,,,B BM CM NMB GMC ∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BNM CGM △≌△. ∴BN CG =.∴BN CE =.∴''2CD BN NN BN CE ==+=. ⑶BN CE CD 、、之间的等量关系： 当点M 在线段BC 上时，CD BN CE =+； 当点M 在BC 的延长线上时，CD BN CE =-； 当点M 在CB 的延长线上时，CD CE BN =-.一、直角三角形的性质 1. 直角三角形的两个锐角互余；2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3. 直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab =c h ；4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即222c b a =+；5. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半（或含30°的直角三角形三边之比为1：3：2）；思路导航题型二：直角三角形与勾股定理8初二秋季·第13讲·提高班·教师版6. 含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2． 二、直角三角形的判定1. 有一个角为90°的三角形是直角三角形；2. 两个锐角互余的三角形是直角三角形；3. 勾股定理的逆定理：在以a 、b 、c 为边的三角形中，若222c b a =+，则这个三角形是以c 为斜边的直角三角形；4. 一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．【例5】 在给定的图形内作一条折线AB 1C 1D 1E ，使AB 1⊥AB ，B 1C 1⊥BC ，C 1D 1⊥CD ，D 1E ⊥DE ，且A ，B ，C ，D ，E ，B 1，C 1，D 1都是格点．EDCBA【解析】典题精练9初二秋季·第13讲·提高班·教师版D 1C 1B 1EDCBA【例6 如图，AC =AB ，DC =DB ，∠CAB =60°，∠CDB =120°，E 是AC 上一点，F 是AB 延长线上一点，且CE =BF ．图1C AEG BFD图2DABCE 思考验证：⑴求证：DE =DF ；⑵在图1中，若G 在AB 上且∠EDG =60°，试猜想CE 、EG 、BG 之间的数量关系并证明； 探究应用：⑶运用⑴⑵解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，∠ABC =90°，∠CAB =∠CAD =30°，E 在AB 上，DE ⊥AB ，且∠DCE =60°，若AE =3，求BE 的长．【解析】⑴∵∠A +∠C +∠CDB +∠ABD =360°，∠A =60°，∠CDB =120°，∴∠C +∠ABD =180°， ∵∠ABD +∠DBF =180°， ∴∠C =∠DBF ， 在△DEC 和△DFB 中，10 初二秋季·第13讲·提高班·教师版CE BFC DBFCD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DEC≌△DFB，∴DE=DF．⑵CE+BG=EG，证明：连接DA，在△ACD和△ABD中AC ABAD ADCD DB=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD≌△ABD，∴∠CDA=∠BDA=60°，∵∠EDG=∠EDA+∠ADG=∠ADG+∠GDB=60°，∴∠CDE=∠ADG，∠EDA=∠GDB，∵∠BDF=∠CDE，∴∠GDB+∠BDF=60°，即∠GDF=60°在△DGF和△DGE中DE DFEDG GDFDG DG=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DGF≌△DEG，∴FG=EG，∵CE=BF，图1CAEG B FDM图2DABCE11初二秋季·第13讲·提高班·教师版∴CE +BG =EG ．⑶过C 作CM ⊥AD 交AD 的延长线于M ， 在△AMC 和△ABC 中 AMC ABC DAC BAC AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△ABC ， ∴AM =AB ．CM =CB ， 由⑴⑵可知：DM +BE =DE ，∵AE =3，∠AED =90°，∠DAB =60°， ∴AD =6，由勾股定理得：DE =33 ∴DM =AB -6=BE +3-6=BE -3， ∴BE -3+BE =33， 即BE =()13332+【例7 已知等腰三角形ABC 中，∠ACB =90°，点E 在AC 边的延长线上，且∠DEC =45°，点M 、N 分别是DE 、AE 的中点，连接MN 交直线BE 于点F ．当点D 在CB 边的延长线上时，如图1所示易证：MF +FN =12BE ．⑴当点D 在CB 边上时，如图2所示，上述结论是否成立？若成立，请给与证明；若不成立，请写出你的猜想，并说明理由．⑵当点D 在BC 边的延长线上时，如图3所示，请写出你的结论，并说明理由．12 初二秋季·第13讲·提高班·教师版M 图3图2图1NEDEMBFC AF N D CBAEF NMDBC A【解析】⑴答：不成立，猜想：FN -MF =12BE ， 理由如下：证明：如图2，连接AD ，∵M 、N 分别是DE 、AE 的中点， ∴MN =12AD ， 又∵在△ACD 与△BCE 中， AC BC ACB BCE DC CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD =BE ， ∵MN =FN -MF ， ∴FN -MF =12BE ；⑵图3结论：MF -FN =12BE ， 证明：如图3，连接AD ，ABCDN FE图2M AC F BMEDN图313初二秋季·第13讲·提高班·教师版∵M 、N 分别是DE 、AE 的中点， ∴MN =12AD ， ∵在△ACD 与△BCE 中， AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCE （SAS ）， ∴AD =BE ， ∴MN =12BE ， ∵MN =FM -FN ， ∴MF -FN =12BE ．14 初二秋季·第13讲·提高班·教师版NMDC BA训练1. ⑴如图所示，EFGH 是一个台球桌面，有黑白两球分别置于A B 、两点的位置上，试问怎样撞击黑球A ，经桌面HE EF 、连续反弹后，准确击中白球B ？（写出作法并画图）HGF EAB⑵如图，在锐角△ABC 中，4245AB BAC =∠=，°，BAC ∠的平分线交BC于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是___________．【解析】 ⑴ 如图所示：分别作点A B ，关于HE EF ，的对称点''A B ，，连结''A B 与HE EF ，交于M N ，两点.折线AM MN NB --就是白球的运动路径.（可由对称证明角度相等，类似于物理中的镜面反射问题）⑵ 过B 作BE AC ⊥，与AD 交点即为M ，过M 作MN AB ⊥，垂足即为N ，BM MN BE +=，又∵垂线段最短，∴BE 为最短距离，长为4.训练2. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°. 将△ABC 绕点C 逆时针旋转α角，得到△A 1B 1C ，连结BB 1，设B 1C 交AB 于D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于E 、F .⑴ 当090︒<α<︒时，如图1，请在不添加任何线段的情况下，找出一对全等三角形，并加以证明（△ABC ≌△A 1B 1C 除外）；⑵ 在⑴的条件下，当△BB 1D 是等腰三角形时，求α；⑶ 当90180︒<α<︒时，如图2，求证：△A 1CF ≌△BCD . （三帆期中）图2图1ABCA 1B 1E F DDFEB 1A 1CBA【解析】 ⑴ 答案不唯一，例如：1ACF BCD △≌△，1B CF ACD △≌△ 思维拓展训练(选讲)BAEF G H NMB'A'15初二秋季·第13讲·提高班·教师版⑵ 由题意得111902CB B CBB ∠=∠=︒-α∴11452DBB ∠=︒-α，又145BDB ∠=︒+α在1BDB △中，只能有11BDB BB D ∠=∠，即190452︒-α=︒+α解得30α=︒⑶ 111CB CA BCD ACF B A =∠=∠∠=∠，，, ∴△A 1CF ≌△BCD .训练3. 已知如图，AB=AC ，PB=PC ，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E .PEDC B AAB C DEP⑴ 求证：PD=PE ；⑵ 若BP AB =，o 45=∠DBP ,2=AP ,求四边形ADPE 的面积. 【解析】 ⑴ 证明：连接AP ,在ABP △和ACP △中，∵AB ＝AC ，PB ＝PC ，AP =AP ， ∴ABP △≌ACP △（SSS ）∴CAP BAP ∠=∠,AP 是A ∠的平分线； 又∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ∴PD ＝PE （角平分线上点到角的两边距离相等）⑵ 解：∵PD ⊥AB ，o 45=∠DBP , ∴BDP △是等腰直角三角形.设x DP =，则x BP ⋅=2，在直角ADP △中，由勾股定理()[]42122=++x x ，整理得：()42242=+x ，2222+=x .∴四边形ADPE 的面积=2⨯ADP △的面积 =()()22222121=+⋅+=+x x16 初二秋季·第13讲·提高班·教师版训练4. ⑴如图，等腰直角三角形ABC 分别沿着某条直线对称得到图形b 、c 、d ．若上述对称关系保持不变．平移ABC ∆，使得四个图形能够拼成一个重叠且无缝隙的正方形，此时点C 的坐标和正方形的边长为（ ）（海淀期末）A ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，， B ．(11)2-，，C ．(11)2-，，D ．11222⎛⎫- ⎪⎝⎭，，⑵如图，△ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝120°，AB 的垂直平分线交AC 于D . 试猜想AD 与DC 间的数量关系，并证明. 【解析】 ⑴ D⑵ 连结BD ，证90DBC ∠=︒，可得12AD DC =DE CAB图 311-1-1OABC d c ba y x17初二秋季·第13讲·提高班·教师版【练习1】 ⑴如图，正方形纸片ABCD 的边长为1，M ，N 分别是AD 、BC 边上的点，将纸片的一角沿过点B 的直线折叠，使点A 落在MN 上，落点记为A '，折痕交AD 于点E ．若M 、N 分别是AD 、BC 边的中点， 则A N '=_________；若M 、N 分别是AD 、BC 边上距DC 最近的n 等 分点（2n ≥，且n 为整数），则A N '=_________（用含有n 的式子表示）（北京中考）⑵如图，D 为ABC △内一点，CD 平分ACB ∠， BD CD ⊥，A ABD ∠=∠， 若5AC =，3BC =，则BD 的长为（ ） A ．1 B ．1.5 C ．2 D ．2.5【解析】 ⑴32，21n n-（2n ≥，且n 为整数）⑵ A （提示：延长BD ）【练习2】 如图，ABC △是等腰三角形，AB AC =，AD 是角平分线，以AC 为边向外作等边三角形ACE ，BE 分别与AD 、AC 交于点F 、点G ，连接CF ．⑴ 求证：FBD FCD ∠=∠；⑵ 若1FD =，求线段BF 的长． (实验期末)【解析】 ⑴ ∵AB AC =，AD 是角平分线∴AD BC ⊥，D 是BC 中点∴BF CF =∴FBC FCB ∠=∠⑵ ∵AB AC =，∴ABC ACB ∠=∠∵FBC FCB ∠=∠，∴ABE ACF ∠=∠ 由题意AB AE AC CE === ∴ABE AEB ACF ∠=∠=∠ ∴60EFC CAE ∠=∠=° ∴60BFD CFD ∠=∠=° ∴22BF FD ==复习巩固DCB AG F EDCBA18 初二秋季·第13讲·提高班·教师版第十五种品格：创新创新的力量20世纪40年代，美国有许多制糖公司向南美洲出口方糖，因方糖在海运中会有受潮现象，这给公司带来巨大损失。
韩春成暑假班必会40题系列——有理数(韩老师原创)
第一章 有理数第一节 有理数及相关概念【典题精析】例1. 下列说法正确的个数是（ ）.⑴a 一定大于0； ⑵a -一定是负数； ⑶m -的倒数一定是1m； ⑷1a -－一定是负数； ⑸若0a b ⋅=.则,a b 均为0；⑹若x y =，则x 与y 相等或互为相反数； ⑺若0,x y +=则,x y 中至少有一个为0. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【思路点拨】0,10,a a ≥--< ∴⑴错误，⑷正确. a 可以表示正数、0和负数，∴a 不一定是负数. ⑵错误. m -的倒数为1m，且0m . ∴⑶错误. 0a b ⋅=，,a b 至少有一个为0，∴⑸错误. 两数相等或互为相反数，则这两个数的绝对值相等，∴⑹正确. 0,x y +=则x=y=0.∴⑺错误. 【答案】C例2 试比较3a 与a 的大小.【思路点拨】因为a 可以是正数、0或负数，所以3a 与a 不能确定大小，需要分类讨论. 【解】32a a a -=，⑴当0a >时，3.a a > ⑵当0a <时，3.a a < ⑶当0a =时，3.a a =【能力提升】1. －3的相反数的倒数是 .2. 数轴上的P 点与表示有理数2的点的距离是6个单位长度，则P 点表示的数是 .3. ⑴如图，数轴上点P 表示数a ，将数a ，－a ，1按从小到大的顺序排列为 （用“<”4. 若26m 与10互为相反数，则m= .5. 若a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，m 为最小的正整数，n 的绝对值为2，且n<0. 求20142014a bcd n m 的值.第二节 数轴及相关概念【典题精析】【例1】在数轴上，A 点和B 点所表示的数分别为－2和1，若欲使A 点表示的数是B 点表示的数的3倍，应把A 点（ ）.A.向左移动5个单位B.向右移动5个单位C.向右移动4个单位D.向左移动1个单位或向右移动5个单位【思路点拨】此题借助数轴来讨论， -2对应的点在1对应的点的左边，1的3倍是3，3在1的右边，所以A 应该向右移动；-2和3之间有5个单位长度，所以应该向右移动5个单位长度. 【答案】B【例2】如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A B C D ，，，对应的数分别为整数a b c d ，，，，并且29b a -=，那么数轴的原点为（ ）. A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点【思路点拨】观察数轴可知，b-a=4，29b a -=，即可求出a ，b 的值，进而确定数轴的原点.【答案】C【能力提升】 6．在数轴上与原点的距离等于4个单位长度的点有 个，这样的点表示的有理数是_____．7．数轴上表示3的点记为A ，表示2的点记为B ，那么把A 点向____边移动_____个单位长度得到B 点．8. 如图所示A ，B ，C ，D 四点在数轴上分别表示有理数a ，b ，c ，d ，则大小顺序正确的是______.9. 如图，一滴墨水洒在一条数轴上，根据图中标出的数值判断墨迹盖住的整数的个数有多少个?10. 下表是我国几个城市的二月份的平均气温（℃）（1）在同一数轴上将6个数表示出来，并用“＜”将6个数连接起来；（2）根据数轴指出最高温度和最低温度分别是多少？并求出最低温度比最高温度低多少摄氏度？第三节 绝对值及相关概念【典题精析】【例1】 化简：224x x --+.【思路点拨】本类型的题既没有条件限制，又没有数轴信息，所以要对各种情况分类讨论，可采用零点分段讨论法，本例的难点在于x -2和x +4的正负不能确定，由于x 是不断变化的，所以它们为正、为负、为零都有可能，应当对各种情况—一讨论. 千万不要想当然地增加一些附加条件，以免得出错误的结果.【解】令20x -=，40x +=，分别求得2,4x x ==-，所以零点值：4x =-和2x =. 把数轴上的数分为三个部分（如图）① 当2x >时, 20,40.x x ->+>∴原式2(2)(4)8x x x =--+=-. ② 当42x -<≤时，20,40x x -≤+≥，∴原式2(2)(4)3x x x =---+=-. ③ 当4x ≤-时，20,40x x -<+≤，∴原式2(2)(4)8x x x =--++=-+. ∴原式=8(2).3(42).8(4).x x x x x x ->⎧⎪--<≤⎨⎪-+≤-⎩【巩固提高】1. 如图，O 是原点，A ，B ，C 三点所表示的数分别为a ，b ，c. 根据图中各点的位置，下列各数的絶对值的比较何者正确？A ．|b|＜|c|B ．|b|＞|c|C ．|a|＜|b|D ．|a|＞|c|2. 若︱x-1︱+4︱y+3︱＝0,则x= ，y= .3. 代数式5-︱a+b ︱的最大值 ，此时a 与b 是 .4. 若|a-3|=1，则a 的值为_______.5. 满足|x+5|+|x-2|=7的整数有_____.6. 如果|a|=3，|b|=4，且a>b ，求|a+b|的值.7. 数a ，b ，c 在数轴上如图，化简︱a-c ︱-︱a+b ︱-︱c+b ︱.第四节 有理数加减法【典题精析】【例1】下列说法中正确的有（ ）个.①若a ，b 同号，则a+b=|a|+|b|；②若a ，b 异号，则a+b=|a|-|b|；③若a ＜0，b ＜0，则a+b=-(|a|+|b|)；④若a ，b 异号，则|a-b|=|a|+|b|；⑤若a+b=0，则|a|=|b|． A.1 B. 2 C.3 D. 4【思路点拨】本题根据a,b 的符号判断加法减法的具体表达式. 若a, b 同号，a+b 的符号与a,b 相同，所以①错③对；若a, b 异号，a+b 的符号与a,b 中绝对值大的相同，所以②错，a-b=a+(-b),所以④对;因为a=-b ，所以⑤对. 【答案】B例2 计算下列各题：（1）（+66）+（-12）+（+11.3）+（-7.4）+（+8.1）+（-2.5）（2）（-352）-（-287）-（-3125）-（-181）-（（3）（+641）-（+21）+（-6.25）+（-65）【思路点拨】（1要注意不要遗漏括号；（2（3）含有有理数加、减混合运算的算式都可以看成和式，进而灵活运用加法运算律，简化计算. 【答案】（1）（+66）+（-12）+（+11.3）+（-7.4）+（+8.1）+（-2.5）=（66 + 11.3 + 8.1）+[（-12）+（-7.4）+（-2.5）] = 85.4 +（–21.9） -287）-（-3125）-（-181）-（+553）-（+5125）+ 287 + 3125 + 181 - 553 -512552）+（2+87）+（3+125）+（1+81）-（5+53）-（5+125）=（-3+2+3+1-5-5）-52-53+87+81+125–125=-7（3）（-641）-（+21）-（-6.25）+（+31）-（-97）+（-65）=-641+6.25-21+(31-65)+97= -21-21+97 =-29【巩固提高】1. 笑笑超市一周内各天的盈亏情况如下:(盈余为正,亏损为负，单位：元)：132，-12，-105，127，-87，137，98，则一周总的盈亏情况是( ). A. 盈了 B. 亏了 C. 不盈不亏 D. 以上都不对 2. 填上适当的符号，使下列式子成立:(1)(_____5)＋(－15)＝－10；(2)(－3)＋(_____3)＝0；(3)(_____37)＋(－331)＝－1．3. 用“＞”或“＜”号填空：有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图：则a ＋b ＋c______0；|a|______|b|；a －(b －c)______0；a ＋c ＿＿＿b ；c －b ＿＿＿a ； 4. 已知a =312，b =2.6，a b a b -=+． (1)判断a,b 是正数还是负数，为什么？ (2)试求a b +和a b -的值．.5. 计算下列各题：（1）-0.8()+1.2+-0.7()--2.1()+0.8-3.5 （2）717-223--267æèçöø÷（3）-13311æèçöø÷+5211-+7911æèçöø÷+15711（4）6. 计算.7. 已知有理数a,b 满足：a ＜0，b ＞0且a b <，化简a -b +a +b -b -a --b -a ()．323212(5[412{)213(312+-+--+-第五节 有理数乘除法及混合运算【典题精析】【例1】计算 3377171481223⎛⎫⎛⎫⎛⎫--÷-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【思路点拨】首先先算乘方，再乘除；观察到括号内分母和除数的分母公因数较多，所以考虑先把除法转化成乘法，再利用分配律进行简算，最后算加法.【解】原式=()37771848123⎛⎫⎛⎫--÷-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=14714733-++-=773-+=243-【例2】太阳的半径约为696000km ，把696000这个数用科学记数法表示为 ，保留2个有效数字用科学记数法表示为 .【思路点拨】把绝对值大于10的较大数写成科学记数法的形式，确定n 的值时，要看把原数变成a 时， n 的值与小数点移动的位数相同． 696000=569610.⨯，科学记数法表示的数有效数字只看乘号前面的数字即可，所以保留两位有效数字约为57010.⨯. 【答案】569610.⨯；57010.⨯.【典题精练】1. 关于近似数和有效数字，下列说法正确的是（ ）. A.近似数3.50的精确度与近似数3.5的精确度一样； B.近似数02.1C.近似数3D.近似数2.104的有效数字的个数一样. 2. 计算： ⑴1)5.0(4322--⨯- ⑵|)2()4(|134)216()2(222+÷-÷⨯---+-；⑶2221227)317713()713(⨯⨯-⨯+3. 使用恰当的方法进行计算. （1）)24()438165(-⨯--（2） 744)1115736()1115(----（3）9423)32(25.0⨯⨯-÷- （4） 322006)43(6)12(3111-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡÷-+--⑸-0.125()12´-123æèçöø÷7´-8()13´-35æèçöø÷94. 若2630x y ++-=，求yx-x -y ()的值.5. 如果a,b 是有理数，求a a +b b +abab的值．[标准答案]第一节 有理数及相关概念【答案】 1. 132. 8或－43. ⑴1a a ；⑵<. 4.2 5.2011 【解】由题意，得0,1,1,2a b cd m n . ∴原式=0+201421=2011.第二节 数轴及相关概念 【答案】6. 2个；±4.7. 右；5个.8. b <a <d <c9. -202.45到-49.5之间包含-202到-50共153个整数；50.5到199.5之间包含51到199之间共159个整数；墨迹合计盖住312个整数. 10. ⑴ -18<-5<-3<4<12<15⑵最高温15°C，最低温-18°C，最低温与最高温之差是-33°C第三节 绝对值及相关概念【答案】 1. A 2. 1;-3 3.5;a=-b 4.2或4.5.-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2;【提示】由数轴的几何意义可得当52x ≤≤时均成立.6.由题意知，a =3,b =-4或a =-3,b =-4，于是a +b 等于1或7.7. 由数轴可知0a c ->,a +b <0,c +b <0,所以原式=a -c +a +b +c +b =2a +2b .有理数加减法【答案】 1. A2. +;+;+.3. <;<;<;<;<.异号.于是有a +b =±0.9，a -b =±6.1 2）713；（3）1511；（4）214b ＞0且a b <，所以a -b =b -a ，a +b =b +a ，b -a =b -a ，a ，原式=b-a+b+a-b+a+b+a=2b+2a第五节 有理数乘除法及混合运算典题精练1.D2.（1）-415；⑵1； ⑶-4 3.（1）1；（2）-11；（3）14；（4）-1316，⑸-7225.4.-105．a,b 都是正数时，原式等于3；a,b 都是负数，原式等于-1，一正一负时，原式等于-1。
初中数学旋转解题几何
旋转基础练习一一、选择题1．在 26 个英文大写字母中，通过旋转180 °后能与原字母重合的有（）A．6 个B．7 个C．8 个D．9 个2．从 5 点 15 分到 5 点 20 分，分针旋转的度数为（）A ． 20°B ． 26°C．30°D． 36°3．如图 1，在 Rt △ ABC 中，∠ ACB=90°，∠ A=40°，以直角顶点 C 为旋转中心，将△ ABC 旋转到△ A′B′C的位置，其中 A′、 B′分别是 A、 B 的对应点，且点 B 在斜边 A′B上′，直角边 CA′交 AB 于 D，则旋转角等于（）A ． 70°B ． 80°C．60°D． 50°(图 1)(图 2)(图 3)二、填空题．1．在平面内，将一个图形绕一个定点沿着某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为________，这个定点称为 ________，转动的角为 ________．2．如图2，△ ABC 与△ ADE 都是等腰直角三角形，∠ C 和∠ AED 都是直角，点 E 在 AB 上，如果△ ABC 经旋转后能与△ ADE 重合，那么旋转中心是点 _________ ；旋转的度数是 __________ ．3．如图 3，△ ABC 为等边三角形， D 为△ ABC 内一点，△ ABD 经过旋转后到达△ACP 的位置，则，（ 1）旋转中心是 ________；（ 2）旋转角度是 ________；（ 3）△ ADP 是 ________三角形．三、解答题．1．阅读下面材料：如图 4，把△ ABC 沿直线 BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置．如图 5，以 BC 为轴把△ ABC 翻折 180°，可以变到△DBC 的位置．(图 4)(图 5)(图 6)(图 7)如图 6，以 A 点为中心，把△ ABC 旋转 90°，可以变到△ AED 的位置，像这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状和大小的图形变换，叫做三角形的全等变换．回答下列问题1如图 7，在正方形ABCD 中， E 是 AD 的中点， F 是 BA 延长线上一点，AF=AB ．2（ 1）在如图 7 所示，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 移到△ ADF 的位置？（ 2）指出如图7 所示中的线段BE 与 DF 之间的关系．2．一块等边三角形木块，边长为1，如图，现将木块沿水平线翻滚五个三角形，那么 B 点从开始至结束所走过的路径长是多少？旋转基础练习二一、选择题1．△ ABC 绕着 A 点旋转后得到△AB′ C，′若∠ BAC′ =130，°∠ BAC=80°，则旋转角等于（）A ． 50°B．210 °C． 50°或 210 °D．130 °2．在图形旋转中，下列说法错误的是（）A．在图形上的每一点到旋转中心的距离相等B．图形上每一点转动的角度相同C．图形上可能存在不动的点D．图形上任意两点的连线与其对应两点的连线长度相等3．如图，下面的四个图案中，既包含图形的旋转，又包含图形的轴对称的是（）二、填空题1．在作旋转图形中，各对应点与旋转中心的距离________．2．如图，△ ABC 和△ ADE 均是顶角为42°的等腰三角形， BC、 DE 分别是底边，图中的△ABD 绕 A 旋转 42°后得到的图形是________，它们之间的关系是______，其中 BD CE（填“ >” ,“<”或“ =”）．3．如图，自正方形ABCD 的顶点 A 引两条射线分别交BC、 CD 于 E、F，∠ EAF=45°，在保持∠ EAF=45°的前提下，当点 E、F 分别在边 BC 、CD 上移动时， BE+DF 与 EF 的关系是 ________．三、解答题1．如图，正方形ABCD 的中心为 O，M 为边上任意一点，过 OM 随意连一条曲线，将所画的曲线绕O 点按同一方向连续旋转 3 次，每次旋转角度都是90°，这四个部分之间有何关系？2．如图，以△ ABC 的三顶点为圆心，半径为1，作两两不相交的扇形，则图中三个扇形面积之和是多少？旋转基础练习四一、选择题1．在英文字母VWXYZ中，是中心对称的英文字母的个数有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个2．下面的图案中，是中心对称图形的个数有（）A．1个B．2 个C．3 个D．4个3．如图，把一张长方形ABCD 的纸片，沿EF 折叠后， ED′与BC 的交点为 G，点 D 、C 分别落在 D′、C′的位置上，若∠ EFG=55°，则∠ 1=（）A ． 55°B． 125 °C． 70° D ．110 °二、填空题1．关于某一点成中心对称的两个图形，对称点连线必通过_________．2．把一个图形绕着某一个点旋转180 °，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形是 _________图形．3．用两个全等的直角非等腰三角形可以拼成下面图形中的哪几种：_______（填序号）（ 1）长方形；（2）菱形；（3）正方形；（4）一般的平行四边形；（5）等腰三角形；（ 6）梯1．仔细观察所列的26 个英文字母，将相应的字母填入下表中适当的空格内．ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ对称轴对称旋转中心形式只有一条对称轴有两条对称轴对称对称2．如图，在正方形ABCD 中，作出关于 P 点的中心对称图形，并写出作法．3．如图，是由两个半圆组成的图形，已知点B 是 AC 的中点，画出此图形关于点 B 成中心对称的图形．旋转基础练习六一、选择题1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A ．等边三角形B ．等腰梯形C．平行四边形D．正六边形2．下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）A ．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形210853．如图所示，平放在正立镜子前的桌面上的数码“ 21085在”镜子中的像是（）A ． 21085B． 28015C． 58012D． 51082二、填空题1．把一个图形绕着某一个点旋转180 °，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做 __________．2．请你写出你所熟悉的三个中心对称图形_________．3．中心对称图形具有什么特点（至少写出两个）_____________．三、解答题1．在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角，例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，应有一个旋转角为90°．学而思韩春成老师题库资料分享第 4 页②矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为 180 °；（ ）（ 2）填空：下列图形中是旋转对称图形，且有一个旋转角为120 °是 _____．（写出所有正确结论的序号）①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形．（ 3）写出两个多边形，它们都是旋转对称图形，却有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件：①是轴对称图形，但不是中心对称图形；②既是轴对称图形，又是中心对称图形．2．如图，将矩形 A 1B 1C 1D 1 沿 EF 折叠，使 B 1 点落在 A 1D 1 边上的 B 处；沿 BG 折叠，使 D 1点落在 D 处且 BD 过 F 点．（ 1）求证：四边形 BEFG 是平行四边形；（ 2）连接 BB ，判断△ B 1BG 的形状，并写出判断过程．A D 1A 1BEB 1FG DC 1C3．如图，直线 y=2x+2 与 x 轴、 y 轴分别交于 A 、 B 两点，将△ AOB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到△ A 1OB 1．（ 1）在图中画出△ A 1OB 1；（ 2）设过 A 、 A 1、B 三点的函数解析式为 y=ax 2+bx+c ，求这个解析式．y2BA-1O x答案：一、 1．D 2．D 3． D二、 1．中心对称图形 2．答案不唯一3．答案不唯一三、 1．（ 1）①假 ②真 （2）①③（ 3）①例如正五边形正十五边形? ②例如正十边正二十边形2．（ 1）证明：∵ A 1D 1∥ B 1C 1，∴∠ A 1BD= ∠ C 1FB又∵四边形 ABEF 是由四边形A 1B 1EF 翻折的，∴∠ B 1FE=∠ EFB ，同理可得：∠ FBG= ∠ D 1BG ， 初中数学资源网 ∴∠ EFB=90°- 1 ∠C 1FB ，∠ FBG=90°- 1∠ A 1BD ，22∴∠ EFB= ∠ FBG∴ EF ∥ BG ，∵ EB ∥ FG ∴四边形 BEFG 是平行四边形． （ 2）直角三角形，理由：连结BB ，∵ BD 1∥ FC 1，∴∠ BGF= ∠ D 1BG ，∴∠ FGB= ∠ FBG 同理可得：∠ B 1BF= ∠ FB 1B ．∴∠ B 1BG=90°，∴△ B 1BG 是直角三角形3．解：（ 1）如右图所示y2B 1 A 1AB 1-2-1O 12x-1（ 2）由题意知 A 、 A 1、 B 1 三点的坐标分别是（ -1， 0），（0， 1），（2， 0）1a0 a b c2 1∴ 1 c解这个方程组得 b0 4a 2b c2 c 1∴所求五数解析式为 y=-1 x 2+ 1 x+1 ．2 2旋转基础练习七一、选择题1．下列函数中，图象一定关于原点对称的图象是（）1B ． y=2x+1C ．y=-2x+1D ．以上三种都不可能A ． y=x2．如图，已知矩形 ABCD 周长为 56cm ，O 是对称线交点，A点 O 到矩形两条邻边的距离之差等于 8cm ，则矩形边长中较长的一边等于（）OA ． 8cmB ． 22cmC ．24cmD ． 11cm二、填空题B1．如果点 P （ -3，1），那么点 P （-3，1）关于原点的对称 点 P ′的坐标是 P ′ ．2．写出函数 y=-3与 y= 3具有的一个共同性质________（用对称的观点写） ．xxDC三、解答题1．如图，在平面直角坐标系中， A （ -3，1），B （ -2， 3），C （0，2），画出△ ABC 关于 x 轴对称的△ A ′ B ′，C 再′画出△ A ′B ′关C ′于 y 轴对称的△ A ″B ″C ″那么△， A ″B ″C ″ 与△ ABC 有什么关系，请说明理由．y4 B32 CA1-4-3 -2-1O 1-1-2 y-3 4 A3 2．如图，直线 AB 与 x 轴、 y 轴分别相交于 A 、 B 两点，212 3xB且 A （ 0， 3）， B （ 3， 0），现将直线 AB 绕点 O 顺时针旋转 90°得到直线 A 1B 1． （ 1）在图中画出直线 A 1B 1；（ 2）求出过线段 A 1B 1 中点的反比例函数解析式；（ 3）是否存在另一条与直线 A 1B 1 平行的直线 y=kx+b （我们发现互相平行的两条直线斜率 k 相等）它与双曲线只有一个交点，若存在，求此直线的解析式；若不存在，请说明不存在的理由．答案 :一、 1．A 2．B二、 1．（ 3， -1） 2．答案不唯一参考答案：关于原点的中心对称图形．三、 1．画图略，△ A ″B ″C ″与△ ABC 的关系是关于原点对称．2．（ 1）如右图所示，连结 A 1B 1；（ 2）A 1B 1 中点 P （1.5， -1.5），设反比例函数解析式为 y= k，则 y=- 2.25 ．x xb 1 3 k 1 1（ 3）A 1B 1：设 y=k 1x+b 13k 1 3b 130 ∴ y=x+3∵与 A 1B 1 直线平行且与 y=2.25相切的直线是 A 1B 1? 旋转而得到的．x∴所求的直线是y=x+3 ，y与 y=-2.25相切，下面证明 y=x+34x3Ay x 322.25 初中数学资源网1B(A)y-4 -3 -2 -1O 1 2 3 xx-1x 2+3x+2.25=0 ，b 2 -4ac=9-4 1××2.25=0， -2∴ y=x+3 与 y=- 2.25 相切．-3 Bx旋转基础练习八一、选择题1．在图所示的 4 个图案中既包含图形的旋转，还有图形轴对称是（）2．将三角形绕直线L 旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（）二、填空题1．基本图案在轴对称、平移、旋转变化的过程中，图形的______和______都保持不变．2．如上右图，是由________关系得到的图形．三、解答题1．（ 1）图案设计人员在进行图设计时，常常用一个模具板来设计一幅幅美丽漂亮的图案，你能说出用同一模具板设计出的两个图案之间是什么关系吗？（2）现利用同一模具板经过平移、旋转、轴对称设计一个图案，并说明你所表达的意义．2．如图，你能利用平移、旋转或轴对称这样的变化过程来分析它的形成过程吗？学而思韩春成老师题库资料分享第10 页。
学而思-韩春成-二次函数综合能力提升各种题型逐一突破例题word版
二次函数的概念1、下列函数中，是二次函数的为（）2、是二次函数，则的值为函数mxmxmy mm+-++=--)3()2(42__________二次函数图像和性质3、的图像可能是（））是常数和函数在同一直角坐标系中，0(222≠++-=+=mmxmxymmxy4、的大致图像可能是（）函数的增大而增大，则二次随时，当对于反比例函数kxkxyxyxxky+=>=2,5、的图像可能是（），则二次函数且已知：cbxaxycbacba++==++>>2,6、____________65,22的值为一，则为下图中四个图象之，抛物线是常数，且设aaabxaxybba--++=>7、_____________)1(),()8(,04-)7(023b(6)42c )5()()(c(4)+a ＜b (3) 0220＜abc 15)0(22其中正确的结论有是的实数）（）（个结论：列的图象如图所示，有下已知二次函数≠+>+<>++<+>+=+≠++=m b am m b a ac b c b a b am m b a b a a c bx ax y8、的取值范围的图像一部分如图，则二次函数a c bx ax y ++=29、1）的取值共有几个的顶点在坐标轴上，则二次函数k x k x y 9)2(2++-= 2） 的取值共有几个，则的顶点的纵坐标为二次函数k n k x x y +-=62 10、1）大小的的图像上的两点，则是二次函数若点21221,1)1(2),3(),,2(y y x y y B y A --=2）的大小图像上，则的都在二次函数已知32123221,,3),1(),,(),,1(,1y y y b ax ax y y a y a y a a +-=+--<11、1）__________,033,2的最大值为则满足已知实数y x y x x y x +=-++2）______3221210332的最小值为时，二次函数当--=≤≤+-x x y x二次函数的解析式 1、，求函数解析式截得线段长，且它的图像在轴上有最小值时，当已知二次函数441,2--=++=y x c bx ax y2、说明理由坐标，如果不存在，请存在，求出标轴的距离相等；如果点到两坐不重合），使（与原点三点抛物线上是否存在）经过（轴并写出顶点坐标和对称三点的抛物线解析式，）求（，），（已知在轴正半轴上，且点，系中，等腰梯形如图，在平面直角坐标P P O P B C O B C O BC C OABC ,,2,,1.44,2A CB//OA,=解析式之间的转化 3、________________________,)(2622=++-=++=k h k h k h x y x x y 则为常数，的形式，其中化为若把二次函数配成顶点式利用配方法把二次函数1622++-=x x y4、（1）的形式变成利用配方法把二次函数k h x y x x y +-=+=22)(34-（2）果）的大小关系（直接写结请根据图像比较且图像上的两点，是二次函数）（若212122211,,134-),(,,y y x x x x y y x B y x A <<+=（3）的取值范围时，观察图像写出函数当y x 41≤≤ （4）的图像上表示出来的根在函数把方程3424422+-==+-x x y x x用函数的观点看二次方程和不等式5、的取值范围求中的抛物线没有交点，与若直线，求抛物线的解析式的距离为轴两交点间与为整数，且抛物线若有实数根取任何实数时，方程恒求证：无论的方程已知关于b b x y x m x m mx y m m m x m mx x (2)(3)222)13((2)(1)022)13(22+=-+--==-+--6、的取值范围求，轴有且只有一个公共点时，抛物线与且当若轴公共点的坐标：求该抛物线与若已知抛物线cxxbaxcbacbxaxy11,1(2)1,1(1)232<<-==-===++=7、的解析式线，求直，它的顶点为轴的交点为与且为轴的交点的图像与的二次函数已知关于CMMCyxxxxxmmxmxyx,5,0),B(,0),A(43)12(22212122=++++--=二次函数三大图像变换8、___________________________23342是变换后的抛物线解析式个单位，则个单位，再向下平移先向左平移把抛物线-+-=xxy9、___________________22解析式处，则平移后的抛物线线上的个单位后，其顶点在直平移沿着直线如图，把抛物线Axyxy==10、此时抛物线的解析式只有一个公共点？写出才能使抛物线与直线向下平移多少个单位个单位长度，再向上或中的抛物线先向左平移）把（）求该抛物线的解析式（和的图像经过如图，已知抛物线ABBAbxaxy112122++=11、值轴的线段的长度的最大图形上，平行于围成封闭和在围成一个封闭图形；求和的值在什么范围，曲线）（增大而减小）随都是下降的（和的值什么范围，抛物线）（的解析式，求：轴对称的曲线关于的解析式；以及得到的心抛物线个单位后，所向左平移试写出把抛物线已知：抛物线y f f f f x x y f f x f x f f f x y f 212121212212.5)2(:+--=12、解析式，求得到新的抛物线的转轴的交点旋绕着它与，将抛物线）在平面直角坐标系中（︒++=1803212y x x y的解析式后的抛物线成中心对称时，求平移关于点，当的顶点为平移后的抛物线轴翻折，再向右平移，）将抛物线沿的坐标顶点）求抛物线的解析式和的横坐标为的左边），点在点两点（点轴相交于，与的顶点为：）抛物线（22212P 11B B A B ,5442C B M P M C x A x P a ax ax y C -++=的取值范围只有一个公共点时，与预想当直线，请你结合图像回答：记为到一个新的图像其余部分保持不变，得翻折，二次函数图像的部分沿直线轴左侧的轴，将二次函数图像在作直线）的条件下，过点）在（（b 31//23G b x y G l y x l C +=13、解析式的下方，求该抛物线的段位于直线这一的上方，并且在这一段位于直线）若改抛物线在（的解析式对称，求直线关于该抛物线的对称轴与直线）设直线（的坐标）求点（轴交于点其对称轴与，轴交于点与中，将抛物线在平面直角坐标系AB x l x l AB l B A Bx A y m mx mx y xoy 321232,1)0(222<<-<<-≠--=二次函数与反比例函数综合14、的值求，为斜边的直角三角形时是以，当顶点为）设二次函数的图像的（的取值范围件以及应满足的条的增大而增大，求随着次函数都是）要使反比例函数和二（析式时，求反比例函数的解）当（和点的图像交于点反比例函数与二次函数在平面直角坐标系中，k AB ABQ Q x k x y k k k A x x k y ∆-=--+=3221),1B()(1,)1(2二次函数与面积问题综合15、的值求的面积为，若四边形轴的对称点为关于，点的对称点为直线关于点在第四象限设抛物线上的点直线记该抛物线的对称轴为轴和顶点坐标并写出该抛物线的对称求该抛物线的解析式，过点过点，抛物线标系如图，已知平面直角坐n m F y E E l P n m P l A c bx x y c bx x y xoy ,20OAPF ,),(,(2)(1)B(1,3)(4,0),B(1,3)A(4,0),22++-=++-=16、AMB?AMP(3)3(2)(1)A(2,0)36232∆∆=++=≌，使存在点轴下方的抛物线上是否在为平行四边形，使四边形上是否存在点如图，在直线的坐标，点的值，求出点求为点轴的另一交点，与设顶点为点经过已知抛物线MxOPBDDxyBPbBxPbxxy二次函数与几何综合17、平行四边形？为顶点的四边形能否为，以交抛物线于点作上的任意一点，过点为直线，为与抛物线对称轴的交点设直线的坐标小值及点长最小时，求出这个最点所围成的四边形的周四轴上一点，当以点为个动点，为抛物线对称轴上的一若点求抛物线的解析式的坐标为，点的坐标为，且点轴交于点，与的直线与抛物线交于点，过点，顶点为交于点轴两点，与轴交于与中，抛物线在平面直角坐标系NM,D,P,NMN//PDMAEMPAE(3)HG,FH,G,C,HG(2)(1)(2,3)E)0,3(,2xBFyEADCyBAxcbxxyxoy++-=欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
八上期末地理知识总结
4、人口密度 （1）我国人口地理分界线大致为黑龙江黑河一云南腾冲一线。此线东南部人口多，人口密度大，西北 部人口少，人口密度小。 （2）中国人口地区分布特点
八年级（上）期末地理知识总结
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方位
邻国名称
所在亚洲分区
东
朝鲜
东亚
1 / 34
北亚(俄罗斯与中国的相邻部分)、东亚(蒙
北
俄罗斯、蒙古
古)
西北 哈萨克斯坦、吉尔吉斯斯坦、塔吉克斯坦
中亚
西
阿富汗、巴基斯坦
西南
印度、尼泊尔、不丹
南
缅甸、老挝、越南
（2）我国是世界海洋大国
大陆海岸线
长 18000 多千米
西亚(阿富汗)、南亚(巴基斯坦) 南亚
雪顿节、晒佛节、锅庄舞
朝鲜族 苗族
长鼓 芦笙
跳板、长鼓舞、荡秋千 芦笙节
高山族
口琴、弓琴、叶琴、杵、臀板、腰铃、 丰收节、背篓会、开垦祭、播种祭
脚铃、笛子
壮族
合欢箫
对歌、三月三歌会
彝族
葫芦丝、口弦、月琴
火把节
哈萨克族
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1 4
a2b2
a2
b2 2
c2
2
．②
其实“海伦公式”与“秦九韶公式”实质上是同一个公式，所以我们也称①为“海伦—秦九韶公
式”．同学们，你会用因式分解的知识，对公式②进行变形，一步步推出公式①吗？试一试！
7. （全等三角形、30°角定理）如图，在 △ABC 中， AC BC ， ACB 90 ， D 为
△ABC 内一点，BAD 15 ，AD AC ，CE AD
于 E ，且 CE 5 . （1）求 BC 的长； （2）求证： BD CD .
解：（1）
A
E D
B
C
（2）证明：
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8. 我们知道，假分数可以化为带分数. 例如： 8 = 2+ 2 = 2 2 . 在分式中，对于只含有一 3 33
A
D
B
C
E
F
⑵当我们把 △DEF 的顶点 E 与 A 点重合时，使 ED 、 EF 与 BC 相交，设交点为 P 、G （点 பைடு நூலகம் 在点 G 的左侧），你能证明 BP CG 与 PG 的关系，请你完成自己的证明。
A(E)
B D
C F
10. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， BAC 90 ， D 、 E 分别为 AB 、 AC 边上的点，
AD AE ， AF BE 交 BC 于点 F ，过点 FG CD 交 BE 的延长线于点 G ，交 AC 于点
M。 ⑴求证： △EGM 为等腰三角形； ⑵判断线段 BG 、 AF 与 FG 的数量关系并证明你的结论。
A G
E D
M
A G
E D
M
C
F
BC
F
B
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例如： x 1 = (x 1) 2 1 2 ；
x 1 x 1
x 1
x2
x2 11 （x 1)(x 1) 1
x 1
1
.
x 1 x 1
x 1
x 1
（1）将分式 x 1 化为带分式； x2
（2）若分式 2x 1 的值为整数，求 x 的整数值； x 1
S p p a p b p c ．①
古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元 50 年），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，
在他的著作《度量》一书中，给出了这一公式和它的证明．
我国南宋时期数学家秦九韶（约 1202——1261），曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶
公式” S
⑥
⑤
④
③
②
①
（1）当内空格点多边形边上的格点数为 10 时，此多边形的面积为
；
（2）设内空格点多边形边上的格点数为 L，面积为 S，请写出用 L 表示 S 的关系式
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6. 如果一个三角形的三边长分别为 a ， b ， c ，设 p a b c ，则三角形的面积为 2
11. 王一复习时看到这样一道题：如图 1， △ABC 中， BAC 2ACB ，点 D 是 △ABC 内 一点，且 DC DA ， BD BA ， BAC 90 ，探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
王一的解题思路是：注意到 DC DA ， △DCA 是等腰三角形，以 AC 为边的中垂线为轴， 将 △ABD 翻折，就可以得到 △KCD ，题目从而得到解决。 王一的解法如下：作 KCA BAC ，过点 B 作 BK ∥ AC 交 CK 于点 K ，连结 DK 。进而 得到一个等腰梯形 KCAB ， KC AB 。 如图 2 在题目条件和王一推得的条件下试完成下面的证明 ⑴证明： KD DB ; ⑵求 KBD 的度数； ⑶探究 DBC 与 ABC 度数的比值。
）
A． 24°
B． 25°
C． 30°
D． 35°
A
2
B' 1
F
E
B
C
4. 若 关 于 x 的 二 次 三 项 式 x2 + k x b因 式 分 解 为 (x 1) x( 3，) 则 k + b 的 值 为
__________.
5. 如图，图中的方格均是边长为 1 的正方形，每一个正方形的顶点都称为格点. 图①~⑥⑥ 这些多边形的顶点都在格点上，且其内部没有格点，象这样的多边形我们称为“内空格 点多边形”.
（3）（函数）求函数 y 2x2 1 图象上所有横纵坐标均为整数的点的坐标. x 1
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9. 已知：如图， △ABC 和 △DEF 都是等腰直角三角板， BAC 90 ， EDF 90 。 ⑴请你利用这两块三角板画出 BC 的中点（用示意图表示）；
个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分
子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 例如： x 1 ， x2 这样的分式 x 1 x 1
就是假分式； 3 ， 2x 这样的分式就是真分式 . x 1 x2 1
带分式（即：整式与真分式和的形式）.
类似的，假分式也可以化为
A． 2x2 4x
B． x2 x 1 4
C． x2 9 y2
2. 已知整数 m 满足 m 38 m 1，则 m 的值为（
D．1 m2
）
A．4
B． 5
C．6
D．7
3. 如图，把△ ABC 沿 EF 对折，叠合后的图形如图所示.若
C'
A 60 ， 1 95 ，则∠2 的度数为（
AC 10 .
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初二期末复习精品资源 命题人：学而思网校韩春成老师
简 介：学而思初中数学教研主任、学而思五佳教师、状元教师、杯赛命题人
代表作：《几何辅助线秘籍》 、 《培优辅导跟踪练习》等系列书籍
网校课程：/t/hanchuncheng
1. 下列各式不能分解因式的是
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【答案】
1. C
2. C
3. B
4. 1
5.
4， S 1 L 1 2
6. 略（提示：运用公式法进行因式分解）
7. 解：（1）在△ ABC 中，
AC BC , ACB 90 ,
BAC 45.
BAD 15 ,
CAD 30 .
CE AD , CE 5 ,