历年初三数学中考函数经典试题集锦及答案

中考数学函数经典试题集锦

1、已知：m n 、是方程2

650x x -+=的两个实数根，且m n <，抛物线2

y x bx c

=-++的图像经过点A(,0m )、B(0n ，).

(1) 求这个抛物线的解析式；

(2) 设（1）中抛物线与x 轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△

BCD 的面积；（注：抛物线2

y ax bx c =++(0)a ≠的顶点坐

标为2

4(,)24b ac b a a

--） (3) P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于H

点，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2：3的两部分，请求出P 点的坐标.

[解析] （1）解方程2

650,x x -+=得125,1x x == 由m n <，有1,5m n ==

所以点A 、B 的坐标分别为A （1，0）,B （0，5）.

将A （1，0）,B （0，5）的坐标分别代入2

y x bx c =-++.

得105b c c -++=⎧⎨

=⎩解这个方程组，得4

5b c =-⎧⎨=⎩

所以，抛物线的解析式为2

45y x x =--+

（2）由2

45y x x =--+，令0y =，得2

450x x --+=

解这个方程，得125,1x x =-=

所以C 点的坐标为（-5，0）.由顶点坐标公式计算，得点D （-2，9）. 过D 作x 轴的垂线交x 轴于M.

则1279(52)22DMC S ∆=

⨯⨯-= 12(95)142MDBO S =⨯⨯+=梯形，125

5522

BOC S ∆=⨯⨯=

所以，2725141522

BCD DMC BOC MDBO S S S S ∆∆∆=+-=+-=梯形. （3）设P 点的坐标为（,0a ）

因为线段BC 过B 、C 两点，所以BC 所在的值线方程为5y x =+.

那么，PH 与直线BC 的交点坐标为(,5)E a a +，

PH 与抛物线2

45y x x =--+的交点坐标为2

(,45)H a a a --+.

由题意，得①32EH EP =

，即23

(45)(5)(5)2a a a a --+-+=+ 解这个方程，得3

2

a =-或5a =-（舍去）

②23EH EP =，即2

2(45)(5)(5)3

a a a a --+-+=+

解这个方程，得2

3a =-或5a =-（舍去）

P 点的坐标为3(,0)2-或2

(,0)3

-.

2、某工厂用一种自动控制加工机制作一批工件，该机器运行过程分为加油过程和加工过程：

加工过程中，当油箱中油量为10升时，机器自动停止加工进入加油过程，将油箱加满后继续加工，如此往复．已知机器需运行185分钟才能将这批工件加工完．下图是油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数图象．根据图象回答下列问题： (1)求在第一个加工过程中，油箱中油量y(升)与机器运行时间x(分)之间的函数关系式(不必写出自变量x 的取值范围)；

(2)机器运行多少分钟时，第一个加工过程停止? (3)加工完这批工件，机器耗油多少升?

[解析] (1)设所求函数关系式为y=kx+b ．

由图象可知过(10，100)，(30，80)两点，

得101003080k b k b +=⎧⎨+=⎩

解得1

110

k b =-⎧⎨

=⎩

∴ y=-x+llO

(2)当y=10时，-x+110=10，x=100

机器运行100分钟时，第一个加工过程停止

(3)第一个加工过程停止后再加满油只需9分钟 加工完这批工件，机器耗油166升

3、已知抛物线y x x c 12

2=-+的部分图象如图1所示。

图1 图2

（1）求c 的取值范围；

（2）若抛物线经过点（0，-1），试确定抛物线y x x c 12

2=-+的解析式；

（3）若反比例函数y k

x

2=

的图象经过（2）中抛物线上点（1，a ），试在图2所示直角坐标系中，画出该反比例函数及（2）中抛物线的图象，并利用图象比较y 1与y 2的大小。 [解析] （1）根据图象可知c <0 且抛物线y x x c 12

2=-+与x 轴有两个交点

所以一元二次方程x x c 2

20-+=有两个不等的实数根。 所以()∆=--=->244402

c c ，且c <0 所以c <1

（2）因为抛物线经过点（0，-1） 把x y ==-011，代入y x x c 12

2=-+ 得c =-1

故所求抛物线的解析式为y x x 1221=-- （3）因为反比例函数y k x

2=

的图象经过抛物线y x x 12

21=--上的点（1，a ） 把x y a ==11，代入y x x 12

21=--，得a =-2 把x a ==-12，代入y k

x

2=，得k =-2 所以y x 22=

-

画出y x

22

=-的图象如图所示。

观察图象，y y 12与除交点（1，-2）外，还有两个交点大致为()-12，和()

21，- 把x y =-=122，和x y ==-212，分别代入y x x 12

21=--和y x

22

=

-可知， ()-12，和()21，-是y y

1

2

与的两个交点

根据图象可知：当x <-1或01<2时，y y 12> 当x x x =-==112或或时，y y 12=

当-<<<<1012x x 或时，y y 21>

4、某旅游胜地欲开发一座景观山．从山的侧面进行堪测，迎面山坡线ABC 由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB 所在的抛物线以A 为顶点、开口向下，BC 所在的抛物线以C 为顶点、开口向上．以过山脚（点C ）的水平线为x 轴、过山顶（点A ）的铅垂线为y 轴建立平

面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB 所在抛物线的解析式为84

1

2+-=x y ，BC 所在

抛物线的解析式为2)8(4

1

-=

x y ，且已知)4,(m B ． （1）设),(y x P 是山坡线AB 上任意一点，用y 表示x ，并求点B 的坐标； （2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶．这种台阶每级的高度为20厘米，长度

因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）． ①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）； ②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？

（3）在山坡上的700米高度（点D ）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的

起点选择在山脚水平线上的点E 处，1600=OE （米）．假设索道DE 可近似地看成一

段以E 为顶点、开口向上的抛物线，解析式为2)16(28

1

-=x y ．试求索道的最大悬空．．