数学百大经典例题

典型例题一

例1 设有四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体；

②棱长都相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体；

④对角线相等的平行六面体是直平行六面体．

其中真命题的个数是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

分析：命题①是假命题．因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体．底面是矩形，侧棱不垂直于底面，这样的四棱柱仍是斜平行六面体；

命题②是假命题．底面是菱形，底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体；

命题③是假命题．因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直．

命题④是真命题，如图所示，平行六面体

1111-D C B A A B C D 中所有对角线相等，对角面11BDD B 是

平行四边形，对角线D B BD 11=，所以四边形11BDD B 是

矩形，即BD BB ⊥1，同理四边形11ACC A 是矩形，所以

AC AA ⊥1，由11//BB AA 知⊥1BB 底面ABCD ，

即该平行六面体是直平行六面体．

故选A ．

说明：解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别，要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题．

下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”，由此，我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的．见表

典型例题二

例2 如图，正四棱柱1111-D C B A ABCD 中，对角线81=BD ，1BD 与侧面C C BB 11所成角为

30，求：（1）1BD 与底面ABCD 所成角；（2）异面直线1BD 与AD 所成角；（3）正四棱柱的全面积．

分析：正四棱柱是一种特殊的长方体，它的两底面

ABCD 、1111D C B A 是正方形，长方体中有比较多的线面垂直

关系，而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条

件．题中无论是已知线面成角，还是求线面成角，都要把它们

转化为具体的角，落实线面成角，先要找线面垂直关系．异面

直线1BD 与AD 所成角通过11//D A AD ，落实为具体的

B D A 11∠．正四棱柱各个面都是矩形，求面积只要用矩形面积公式．

解：（1）在正四棱柱C A 1中，∵⊥11C D 面C C BB 11，

∴11BC D ∠是B D 1与侧面C C BB 11所成角，即 3011=∠BC D ．

∵ 81=BD ，∴ 411=C D ，341=BC ，

∵ 1111D C B A 是正方形，∴41111==C D C B ，

⊥D D 1平面ABCD ，∴ BD D 1∠是B D 1与底面ABCD 所成角，

在Rt △DB D 1中，2411==D B BD ，81=BD ， ∴2

2cos 11==∠BD BD BD D ，∴ 451=∠BD D ， 即1BD 与底面ABCD 所成角为 45．

（2）∵11//D A AD ，

∴B D A 11∠是1BD 与AD 所成角（或补角）

． ∵⊥11A D 平面B B AA 11，∴ B A A D 111⊥，

Rt △B D A 11中，411=D A ，81=BD ， ∴2

1cos 11=∠B D A ，∴ 6011=∠B D A ， 即异面直线AD 与1BD 所成角为 60．

（3）Rt △11C BB 中，411=C B ，341=BC ．

∴ 241=BB ，

∴ ()()

12232244244442+=⨯+⨯+⨯=全S ．

说明：长方体是一种特殊的棱柱，充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键，各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件．

典型例题三

例3 如图，已知长方体1111-D C B A ABCD 中，棱长51=AA ，12=AB ，求直线11C B 与平面11BCD A 的距离．

分析：求直线到平面的距离，首先要找直线上的点到平

面的垂线，而找平面的垂线的一个很有用的思路是，找平面

内一条直线与某一平面垂直，这里我们不难看出，长方体中

有⊥CB 平面11BB AA ，这样，只要作B A H B 11⊥，又有

CB H B ⊥1，得到⊥H B 1平面11A BCD ．

解：长方体1AC 中，有⊥BC 平面11BB AA ，

过1B 作B A H B 11⊥于H ，又有H B BC 1⊥， ∴ ⊥H B 1平11A BCD ，即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离．

在Rt △11A BB 中，由已知可得，51=BB ，1211=B A ，

∴ 131=B A ，∴13

601=H B ． 即H B 1是11C B 到平面11BCD A 的距离为

1360． 说明：长方体中有棱与面的线面垂直关系，正方体除此之外，还有对角线与对角面的线面垂直关系，比如，求正方体

1AC 中，11C A 与面BD C 1所成角．这

里，要找11C A 与BD C 1所成角，必须找1A 到平面BD C 1的垂线，

因为⊥BD 面C C AA 11，

在对角面1AC 内，过1A 作11OC H A ⊥于H ，则H A BD 1⊥，所以⊥H A 1面BD C 1，可以得到O C A 11∠为

11C A 与面BD C 1所成角，在对角面C C AA 11中可计算

2arctan 11=∠O C A ．

典型例题四