电子科大版数理方程课后习题答案

一 准备（Preliminaries ）

A

单摆的数学模型:

牛顿第二定律: F = m a

a —物体加速度;F —合外力;m —物体质量 虎克定律:

(1) f = –k x ; f —弹力;k —弹性系数; x —弹簧伸长 (2) p = Y ux ; Y —杨氏模量; ux —弹性体相对伸长

付里叶热传导定律:

Q —热量;T —温度;κ—热导率 牛顿冷却定律: q = k (u |S – u 0)

q —热流密度; u 0—外界温度;u|S —物体温度

B 几个有用的积分公式

2

()()()2

2

2

(cos sin )cos Re(

)sin Im(

)

cos sin sin sin cos cos b

i x

x b

a

a

b

i x

x

b a

a b

i x

x

b a

a b

x x

x

b b a

a

a b b b a

a

a

b

b b a

a

a

cx e e x i x dx i e e

xdx i e e

xdx i e x

e e

xdx x x

x

x xdx x x

x

x xdx e dx αβααβααβααααββαββαββαβα

αββββ

βββββ

β+++-+=+=+=+=

-

=-

+

=

-

=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞-∞

⎰

C 函数的Fourier 展开

θ

θ

sin 22mg dt d mL -=dT Q dx

κ

=-

{}(21)()sin

2n n X x x L π+⎧⎫=⎨⎬⎩

⎭ 是正交函数系

二 练习(Exercise)

P22 ex 2.1

竖直方向合力为零：

(1)()cos ()()cos ()

(2)cos ()cos ()1

T x dx x dx gds T x x x dx x αρααα+++=+≈≈

{}⎭⎬⎫⎩

⎨⎧=x L n x X n πsin )(10(,)()sin

()(,)sin 2n n L

n n f x t f t x L

L n f t f x t xdx

L

π

π∞

===∑⎰

由此(3)

dT

g dx

ρ=- 对x=0做受力分析(4)(0)T G Lg ρ==

解一阶ODE 的初值问题(initial value problem)(3)(4)得

(5)()()T x L x g ρ=-

水平合力

(6))sin ())sin ()tt

F ma

T x dx x dx T x x dxu ααρ=++-=（（

(7)sin ()tan ()()sin ()tan ()()

x x x dx x dx u x dx x x u x αααα+≈+=+≈=

联合(6)(7)(3)(5)

(()())()x x tt xx x x tt

xx x tt

T x u x u Tu T u u L x gu gu u ρρρρρ=+=--=

P22 ex2

边界条件(Boundary conditions)

00|0x x ===端固定，u

()(,)()0

tt x x L u F t SYu L t F t ερε==--=对端做受力分析

0,|0x x L u ε=→=

初值条件(initial condition)

u (L ,t )

O

u (x ,t ) u (x+dx ,t )

x

L

O

0()()()()(1)x x t T x dx T x T x const T x SYu u k

=+===≡受力分析

水平方向

注意(2)(0,0)0,(,0)u u L b ==

解一阶ODE 的边值问题(boundary value problem)(1)(2)得

0|t b u x L

==

0|0t t u ==

P22 ex3

(,)()(,)

(1)(,)()(,)

x x T x t S x Yu x t T x dx t S x dx Yu x dx t =+=++

22

22

()()()(

)x

S x R L x dx S x dx R L

ππ=++=

由Newton 运动定律

2222

22(2)(,)(,)1()()31()()()

3()()()()

tt

T x dx t T x t dVgu x

V x R x

L

x dx V x dx R x dx L

x

dV V x dx V x R dx o dx L

ρπππ+-==++=+=+-=+ 由(1)(2)得

2

2

(3)(())()2x x x tt

x x tt xx x tt

S x Yu V u x Yu x u xYu Yu xu ρρρ==⇒+=

设w xu =，则