黑龙江省实验中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理(扫描版)

黑龙江省高二数学上学期期中试题理（扫描版）

一、 选择题

BCBDCC CACABD 二、

填空题

13.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭

[]0,8 三、

解答题

17. 解：（1）设(),M x y ，因为2AM BM k k ⋅=-，所以

()2111

y y

x x x ⋅=-≠±+-化简 得：()2

2

221x y x +=≠± …………….4分

（2）设()11,C x y ，()22,D x y 当直线l x ⊥轴时，直线l 的方程为1

2x =

，则1,22C ⎛ ⎝⎭

，1,2D ⎛ ⎝⎭

，其中点不是N ，不合题意 设直线l 的方程为112y k x ⎛

⎫-=-

⎪⎝⎭

将()11,C x y ，()22,D x y 代入()2

2

221x y x +=≠±得

221122x y += （1） 222222x y += （2）

（1）-（2） 整理得：()12121212221121

x x y y k x x y y +-⨯=

=-=-=--+⨯

直线l 的方程为112y x ⎛⎫

-=--

⎪⎝

⎭

，经检验符合0∆> 即所求直线l 的方程为2230x y +-= …………10分 18.解：（Ⅰ）连结1A C 交1AC 于点O ，连结OD

1A C 交1AC 于点O ∴O 是1A C 的中点

又

D 是BC 的中点 ∴OD 是1A BC ∆的一条中位线

∴ 1A B ∥OD 又 1OD ADC ⊂平面

∴ 1A B ∥平面1ADC ………5分

（Ⅱ）以点D 为坐标原点，DB 所在直线为X 轴，AD 所在直线为Y 轴，垂直于面ABC 的直线为Z 轴，建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），A （0

，0），C （12-，0，0）1

1C 012-（，，） 在平面ADC 1中，DA=（0

，0），1DC = 1012（，，）-

设m=(,,)ｘｙｚ为平面ADC 1的一个法向量，则有1m?DA=0m?DC =0

⎧⎪⎨⎪⎩

，即0102

y x z ⎧=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩

不妨令2x =，则1z =，0y =，所以()2,0,1m =

又1A 012⎛⎫

- ⎪ ⎪⎝⎭

，，则()10,0,1A A →=- 设1A A 与平面1ADC 所成角为θ，则1sin cos ,m A A θ==

11·m A A m

A A

⋅=

5

∴ 1A A 与平面1ADC 所成角的正弦值为5

. ………………12分

19. 解：（1）22

194

x y += ………4分

（2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()12

1202101020

0660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=

+=⇒--+--=--

即()()12012026120x x x x x x -+++=①

联立()()

22

222214910893636094

6x y k x k x k y k x ⎧+

=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩

，且0∆>，则2122

2

122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩

将其代入①得()()22

20003546964902

k k

x x k x --+++=⇒=

故0x 的值为

3

2

…………….12分 20. 解：（1）取AD 中点O ,连接,,OP OB BD . 因为PA PD =,所以PO AD ⊥.

因为菱形ABCD 中,60BCD ∠=,所以AB BD =. 所以BO AD ⊥.

因为BO PO O ⋂=,且,BO PO ⊂平面POB ,所以AD ⊥平面POB . 所以AD PB ⊥. ………………5分 （2）由（1）可知，BO AD ⊥，PO AD ⊥， 因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD

底面

ABCD AD =，

所以PO ⊥底面ABCD ．

以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -．

则0()10D -，，，0()13E -，，，()001P ，，，0()23C -，，，()1

00A ，，， 设() 01PQ PC λλ=<<，(2)31PC -=-，，，(10)1PA =-，，．

设(),,Q x y z ，则( ,),1PQ x y z =-，又因为 23()PQ PC λλλλ=--=，，，

所以2 31x y z λ

λλ=-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩

，即1()23Q λλλ--+，，

，( 0)30DE =，，， 1231()DQ λλλ--=，，， 131PE =--（，，）

， 23PQ λλλ=--（，，）， 设平面DEQ 的法向量()1

,,n x y z =，

则11

30 (12)(1)0n DE y n DQ x z λλ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩， 所以平面DEQ 的法向量为1 1021

()n λλ

--=，，， 设平面PEQ 的法向量为2( ),,n x y z =，

则2220 0

n PQ x y z n

PE x z λλ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩

，取1y =，得2 n =（， 因为平面DEQ ⊥平面PEQ ，

所以12 0110210n n λλ=⨯-+⨯-=⋅（）（），解得1

2

λ=

， 故Q 为PC 中点时，平面DEQ ⊥平面PEQ ． …………………12分 21. 解：(1)设AB 直线方程为1x ty =+，与2

4y x =联立得 2

440y ty --=，0∆> 恒成立

设()()112

2,,,A x y B x y ， 124y y =-，1212111

()2222

AOB S y y y y ∆=

-=+≥⨯= 所以面积最小值为2.当且仅当122y y =-= 时取得。……………5分 (2)设直线AB 的方程为()1y k x m =-，()()1122,,,A x y B x y ，

由()124y k x m y x

⎧=-⎨=⎩得2

11

440k y y k m --=，1214y y k +=，124y y m =-， 故21122,M m k k ⎛⎫+

⎪⎝⎭，同理22222,N m k k ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭ ∴直线MN 的方程为1221122y k k x m k k ⎛⎫

-=-- ⎪⎝

⎭，即()122y k k x m =-+，

∴直线MN 恒过定点()m,2． ………………12分

22.解：

（1）由已知得：1c =，2

2

1a b -

=

，2c =所以

22

a =

220a -=，解得a b ==