【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第八章 平面解析几何 计时双基练52 圆的方程 理 北师大版

计时双基练五十二圆的方程

A组基础必做

1．若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )

A．－1 B．1

C．3 D．－3

解析因为圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为(－1,2)，

所以3³(－1)＋2＋a＝0，解得a＝1。

答案 B

2．设圆的方程是x2＋y2＋2ax＋2y＋(a－1)2＝0，若0

A．原点在圆上B．原点在圆外

C．原点在圆内D．不确定

解析将圆的一般方程化成标准方程为(x＋a)2＋(y＋1)2＝2a，

因为00，

即 0＋a 2＋ 0＋1 2> 2a，所以原点在圆外。

答案 B

3．(2016²银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( ) A．x2＋y2＋10y＝0 B．x2＋y2－10y＝0

C．x2＋y2＋10x＝0 D．x2＋y2－10x＝0

解析设圆心为(0，b)，半径为r，则r＝|b|，

∴圆的方程为x2＋(y－b)2＝b2，

∵点(3,1)在圆上，

∴9＋(1－b)2＝b2，解得b＝5，

∴圆的方程为x2＋y2－10y＝0。

答案 B

4．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )

A．52－4 B.17－1

C．6－2 2 D.17

解析圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值。又C1关于x 轴对称的点为C3(2，－3)，如图所示，

∴|PC 1|＋|PC 2|－4的最小值为＝|C 3C 2|－4＝ 2－3 2

＋ －3－4 2

－4＝52－4。故选A 。

答案 A

5．点P (4，－2)与圆x 2

＋y 2

＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1 B ．(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝4 C ．(x ＋4)2

＋(y －2)2

＝4 D ．(x ＋2)2

＋(y －1)2

＝1

解析 设圆上任一点为Q (x 0，y 0)，PQ 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4＋x 0

2，y ＝－2＋y

2

，解得⎩

⎪⎨

⎪⎧

x 0＝2x －4，

y 0＝2y ＋2。因为点Q 在圆x 2＋y 2＝4上，所以x 20＋y 2

0＝

4，即(2x －4)2＋(2y ＋2)2

＝4，

化简得(x －2)2

＋(y ＋1)2

＝1。 答案 A

6．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2

＋y 2

＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )

A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－12，12

C ．[－2，2]

D.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤－

22，22 解析 解法一(几何法)：如图所示，设点A (0,1)关于直线OM 的对称点为P ，则点P 在圆O 上，

且MP 与圆O 相切，而点M 在直线y ＝1上运动，由圆上存在点N 使∠OMN ＝45°， 则∠OMN ≤∠OMP ＝∠OMA ，

∴∠OMA ≥45°，∴∠AOM ≤45°。 当∠AOM ＝45°时，x 0＝±1。

∴结合图像知，当∠AOM ≤45°时，－1≤x 0≤1， ∴x 0的范围为[－1,1]。 解法二(代数法)：

设MN 与x 轴交点为P ，∠MOP ＝α，则∠MPE ＝α＋π

4

，

所以k MN ＝tan ⎝

⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝1＋

1x 01－

1x 0

＝x 0＋1x 0－1，利用点斜式建立MN 方程可得y －1

＝x 0＋1x 0－1(x －x 0)，化简得(1＋x 0)x ＋(1－x 0)y －(x 20＋1)＝0，则O 到MN 的距离满足|x 2

0＋1|2＋2x 2

≤1，化简得－1≤x 0≤1，故选A 。

答案 A

7．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是________。 解析 如图，设圆心坐标为(2，y 0)，则

⎩

⎪⎨

⎪⎧

y 2

＋4＝r 2

，|1－y 0|＝r ，

解得y 0＝－32，r ＝52

，

∴圆C 的方程为(x －2)2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254。

答案 (x －2)2

＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋322＝254

8．已知圆x 2

＋y 2

＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，则a －b 的取值范围是________。

解析 ∵圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2

＝5－a ， ∴其圆心为(－1,2)，且5－a >0，即a <5。 又圆关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称， ∴2＝－2＋b ，∴b ＝4。∴a －b ＝a －4<1。 答案 (－∞，1)

9．(2016²绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2

＋y 2

＋2kx ＋2y ＋k 2

＝0上的点的距离的最小值是________。

解析 圆的方程化为标准式为(x ＋k )2

＋(y ＋1)2

＝1。 ∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1。 易知点P (1,2)在圆外。 ∴点P 到圆心C 的距离为：

|PC |＝ k ＋1 2

＋32

＝ k ＋1 2＋9≥3。 ∴|PC |min ＝3。

∴点P 和圆C 上点的最小距离d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2。 答案 2

10．圆C 通过不同的三点P (k,0)，Q (2,0)，R (0,1)，已知圆C 在点P 处的切线斜率为1，求圆C 的方程。

解 设圆C 的方程为x 2

＋y 2

＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2

＋E 2

－4F >0)，则k 、2为x 2

＋Dx ＋F ＝0的两根，

∴k ＋2＝－D,2k ＝F ，即D ＝－(k ＋2)，F ＝2k ， 又圆过R (0,1)，故1＋E ＋F ＝0。 ∴E ＝－2k －1。

故所求圆的方程为x 2

＋y 2－(k ＋2)x －(2k ＋1)y ＋2k ＝0， 圆心坐标为⎝

⎛⎭⎪⎫k ＋22

，2k ＋12。

∵圆C 在点P 处的切线斜率为1， ∴k CP ＝－1＝2k ＋1

2－k ，∴k ＝－3。

∴D ＝1，E ＝5，F ＝－6。

∴所求圆C 的方程为x 2

＋y 2

＋x ＋5y －6＝0。

11．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410。

(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程。