八年级数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性
等腰三角形与等边三角形的性质与判定
等腰三角形与等边三角形的性质与判定等腰三角形与等边三角形的性质与判定课首沟通上讲回顾（错题管理）；作业检查；询问学生学习进度等。
知识导图等腰三角形的槪念等腰三角形等髏三角也的性质制判定V等腰三角形的“三线合一”等边三角形的性质和判定含30度的直角三角形课首小测1、（2014萝岗区期末）如果等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为（）A.9B.7C.12D.9 或12 2、（2014番禺区期末）下列说法正确的是（）A.等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合B.等腰三角形的两个底角相等C.等腰三角形一边不可以是另一边的二倍D.顶角相等的两个等腰三角形全等3、（2014白云区期末）在/△ABC中，/ A=42°/ B=96°，则它是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形4、如图，MBC中，AB=AD=DC/ BAD=40，则 / C=.5、（2014天河区期末）如图，在AABC中，/B=30°, ED垂直平分EC,垂足为D,ED=3则CE的长为。
知识梳理一、等腰三角形1.定义的叫做等腰三角形•相等的两条边叫做，另一条边叫做。
两腰所夹的角叫做，腰与底边的夹角叫做。
2•性质性质1等腰三角形的两个底角。
（简写成“”, 性质2:等腰三角形的、、相互重合（简称“”）性质3:等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，即为。
3•判定（1）有两条边的三角形是等腰三角形。
（2）如果三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“）”二、等边三角形1.定义都相等的三角形是等边三角形.2•性质性质1:等边三角形的三个内角都，并且每一个角都等于；性质2:等边三角形是，并且有对称轴，分别为三边的垂直平分线。
3•判定（1）三个角都的三角形是等边三角形；（2）都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是600的是等边三角形。
、含300的直角三角形的性质在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它对的等于的一半.导学一：等腰三角形的性质知识点讲解1：等边对等角例题1、（2014华美英语实验期中）等腰三角形的其中一个角为50°,则它的顶角是____________ 度.2、（2014 四川南充）如图，在△ABC中, AB= AC,且D 为BC上一点，CD= AC, AB= BD,则/ B的度数为（）AB D CA. 30° B . 36°C. 40° D . 45°3、如图，在等腰三角形ABC中, AB=AC BD=CEBE=CF(1)求证：AEBD^A PCE(2)若/ A=40°,求/ DEF的度数我爱展示1、（2012甘肃白银中考）如图，在/△ABC 中， AC=BC , AABC 的外角/ACE=10C °，贝V/ A= _____________ 度.上—\—£2、（2013白云区华附新世界期中）等腰三角形 一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的 度数为（）・B. 120C.60。
八年级数学 等腰三角形的判定 等边三角形的性质与判定 浙江版
【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 等腰三角形的判定2. 等边三角形的性质与判定二. 重点、难点：重点：1. 等腰三角形的判定方法及其运用。
2. 等边三角形的性质与判定。
难点：1. 等腰三角形判定方法证明中添加辅助线的思想方法以及等腰三角形性质与判定的区别。
2. 等边三角形的轴对称变换与旋转变换。
三. 知识要点及学习目标1. 理解等腰三角形的判定方法的证明过程。
判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
简单地说：在同一个三角形中，等角对等边。
如图，已知：ΔABC中，∠B =∠C。
那么：AB = AC. 即△ABC是等腰三角形。
说理如下：作△ABC的角平分线AD，则在△ABD与△ACD中，∠B =∠C （已知）∠BAD =∠CAD（角平分线的定义）AD = AD（公共边）所以：△ABD≌△ACD（AAＳ）所以：AB＝AC（全等三角形的对应边相等）所以：△ABC是等腰三角形。
2. 通过定理的证明和应用，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
应用判定方法应该有一个正确地表述，通常结合图形按下面的方式表述：如图，在△ABC中∵∠B =∠C ∴AB＝AC（在一个三角形中，等角对等边）一般解决判断一个三角形是等腰三角形的问题，通常转化为寻找一个三角形中两个角相等的问题来解决。
当然也可以通过直接寻找两边相等来解决。
3. 理解等边三角形的性质与判定。
首先明确等边三角形定义。
三边相等的三角形叫做等边三角形，也称正三角形。
其次明确等边三角形与等腰三角形的关系。
等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等边三角形的性质：（具有等腰三角形的所有性质，结合定义更特殊）1）等边三角形的内角都相等，且为60度2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）3）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形【典型例题】例1. 如下图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC＝80°，∠C＝40°，试判断△ABC 是否是等腰三角形。
初二数学轴对称知识点总结
初二数学轴对称知识点总结初二数学轴对称知识点总结一、定义1、有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对应点。
3、经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
我们也说这个图形关于这条直线[成轴]对称。
5、三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
二、重点1、把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形。
2、把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称。
3、垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
4、垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
5、如何做对称轴：如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
因此，我们只要找到一对再对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这个图形的对称轴。
同样，对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴。
6、轴对称图形的性质：对称轴方向和位置发生变化时，得到的图形的方向和位置也会发生变化。
由个平面图形可以得到它关于一条直线成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状，大小完全相等。
新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线的对称点。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。
7、等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等[等边对等角]等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合[三线合一][等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线(，底边上的高，顶角平分线)所在直线就是它的对称轴。
人教版八年级数学上册 第十三章 轴对称 等腰三角形 等边三角形第2课时 含30°角的直角三角形的性质
6．(丹东中考)如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，AD恰 好平分∠BAC.若DE＝1，则BC的长是__3__．
7．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若AB＝10 cm，则阴影部分的面积是 ____1_2_._5_c_m_2_．
8．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，添加一 个你认为适当的条件，并利用此条件说明 BD＝14 AB.
解：当∠A＝30°时，BD＝14 AB，理由如下：∵∠A＝30°，∠ACB＝90°，∴ ∠B＝60°，在 Rt△ABC 中，BC＝12 AB.又 CD⊥AB，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝ 30°，则 BD＝12 BC，∴BD＝12 ×12 AB＝41 AB
9．如图，△ABC为等边三角形，AE＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点 Q，PQ＝3，PE＝1，求AD的长.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，△BEN的边BN在BC上，点E在△ABC的内 部，∠E＝∠EBC＝60°，AD平分∠BAC交EN于点D，若BE＝6 cm，DE＝2 cm， 求BC的长．(提示：延长AD交BC于点M)
解：延长 AD 交 BC 于点 M，∵AB＝AC，AD 是∠BAC 的平分线，∴AM⊥BC，BM ＝MC＝12 BC，∵∠E＝∠EBN＝60°，∴△BEN 为等边三角形，∴EN＝BN＝BE＝6 cm， ∴DN＝6－2＝4(cm)，在 Rt△DMN 中，∠BND＝60°，∴∠MDN＝30°，∴MN＝12 DN ＝12 ×4＝2(cm)，∴BC＝2BM＝2(BN－MN)＝2×(6－2)＝8(cm)
解：∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC.又∵AE＝CD，∴ △ABE≌△CAD(SAS)，∴∠ABE＝∠CAD，BE＝AD.∴∠BPQ＝∠BAP＋∠ABE＝ ∠BAP＋∠CAD＝∠BAC＝60°.又∵BQ⊥PQ，∴∠AQB＝90°，∴∠PBQ＝30°， ∴PQ＝12 PB，∴PB＝2PQ＝6，∴BE＝PB＋PE＝6＋1＝7，∴AD＝BE＝7
八年级数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性
初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版【本讲教育信息】教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式一一等边三角形的轴对称性及其相关性质。
•重、难点:1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件;2. 等边三角形的概念及其性质。
三.知识要点：1. 等腰三角形(1)等腰三角形是轴对称图形。
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
(2)等腰三角形的性质(等腰三角形的判别法)①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。
(简称“三线合一”)②等腰三角形的两底角相等。
(简称“等边对等角”)③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
(简称“等角对等边”) ☆ ( 3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 等边三角形(a)三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
(b)等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60 o(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形)【典型例题】例1.已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为( )(A)2, 2, 6 ( B) 3, 3, 4(C) 4, 4, 2 ( D) 3, 3, 4 或4, 4, 2分析：可采用排除法。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2, 2, 6不满足；而3，3，4或4, 4, 2都满足题意。
答：选D。
例2. O为锐角△ ABC的/ C平分线上一点，0关于AC、BC的对称点分别为P、Q,则△ POQ - -定是( )(A)等边三角形(B)等腰三角形(C)直角三角形(D)等腰直角三角形分析：设OP、0Q分别交AC、BC于E、F,由线段的对称轴是它的垂直平分线知：1 1OE_AC，且0E = 0P;同理OF_BC,且OF = 0Q;2 2由角平分线的性质知：0E = OF,贝U 0P= 0Q。
2-5 等腰三角形的轴对称性2021-2022学年八年级数学上册讲义(苏科版)(解析版)
第2章轴对称图形2.5 等腰三角形的轴对称性课程标准课标解读1. 掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．2. 掌握等腰三角形的判定定理．3. 熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．1.理解等腰三角形是轴对称图形2.掌握等边对等角的性质3.掌握“三线合一”的性质知识点01 等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C 是底角．【微点拨】等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .1802A︒-∠目标导航知识精讲【即学即练1】1．已知等腰三角形的一边长5cm ，另一边长10cm ，则它的周长是（ ） A ．20cm B ．25cmC ．20cm 或25cmD ．无法确定【答案】B 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm 和10cm ，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】 解：分两种情况：当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形；当腰为10时，5+10＞10，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25cm ． 故选：B ．知识点02 等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）． 2.等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据． 性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等． 3.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴． 【即学即练2】2．如图，ABC 面积为9，BP 平分ABC ∠，AP BP ⊥于点P ，连结CP ，则BPC △的面积为（ ）A ．5B ．4.5C ．4D ．3.5【答案】B 【分析】延长AP 交BC 于E ，根据已知条件证得△ABP△△EBP ，根据全等三角形的性质得到AP=PE ，得出S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ，推出S△PBC=12S△ABC ． 【详解】解：延长AP 交BC 于E ，△BP 平分△ABC ， △△ABP=△EBP ， △AP△BP ，△△APB=△EPB=90°， 在△ABP 和△EBP 中，ABP EBP BP BPAPB EPB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△ABP△△EBP （ASA ）， △AP=PE ，△S△ABP=S△EBP ，S△ACP=S△ECP ， △S△PBC=12S△ABC=12×9=4.5， 故选：B ．知识点03 等腰三角形的判定1. 对应顶点，对应边，对应角定义如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）. 【微点拨】等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.【即学即练3】3．如图，ABC 中，,BF CF 分别平分ABC ∠和ACB ∠，过点F 作//DE BC 交AB于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：△DFB DBF ∠=∠；△ECF EFC ∠=∠；△ADE 的周长等于BFC △的周长；△1902BFC A ∠=︒+∠．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△【答案】C 【分析】△根据平分线的性质、平行线的性质，借助于等量代换可求出DBF DFB ∠=∠；△同理可得△的结论；△用特殊值法，当ABC ∆为等边三角形时，连接AF ，根据等边三角形的性质，角平分线定义和等腰三角形的判定便可得出BF AF CF ==，进而得BF CF AC +>，便可得出；ADE ∆的周长不等于BFC ∆的周长；△利用两次三角形的内角和，以及平分线的性质，进行等量代换，可求的BFC ∠和BAC ∠之间的关系式． 【详解】 解：△BF 是ABC ∠的角平分线，ABF CBF ∴∠=∠，又//DE BC ，CBF DFB ∴∠=∠，DBF DFB ∴∠=∠，故△正确；△同理ECF EFC ∠=∠，故△正确；△假设ABC ∆为等边三角形，则AB AB BC ==，如图，连接AF ，D BF D FB ∠=∠，ECF EFC ∠=∠，BD DF ∴=，EF EC =，ADE ∴∆的周长AD DF EF AE AD BD AE EC AB AC =+++=+++=+， F 是ABC ∠，ACB ∠的平分线的交点∴第三条平分线必过其点，即AF 平分BAC ∠， ABC ∆为等边三角形，60BAC BCA ABC ∴∠=∠=∠=︒， 30FAB FBA FAC FCA ∴∠=∠=∠=∠=︒， FA FB FC ∴==， FA FC AC +>， FB FC AC ∴+>，FB FC BC BC AC ∴++>+， FB FC BC AB AC ∴++>+，即BFC ∆的周长AD E >∆的周长，故△错误；△在ABC ∆中，180BAC ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（1）， 在BFC ∆中180CFB FBC FCB ∠+∠+∠=︒， 即1118022CFB ABC ACB ∠+∠+∠=︒⋯（2），（2）2⨯-（1）得1902BFC BAC ∠=︒+∠，故△正确；故选C ．考法01 等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．【典例1】如图所示，OB 平分,CBA OC ∠平分ACB ∠，且//BC MN ，设18,16,12AB BC AC ===，则AMN 的周长为（ ）A ．30B ．33C ．36D ．39【答案】A 【分析】能力拓展根据BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ，且MN△BC ，可得出MO=MB ，NO=NC ，所以三角形AMN 的周长是AB+AC ． 【详解】解：△BO 平分△CBA ，CO 平分△ACB ， △△MBO=△OBC ，△OCN=△OCB ， △MN△BC ，△△MOB=△OBC ，△NOC=△OCB ， △△MBO=△MOB ，△NOC=△NCO ， △MO=MB ，NO=NC ， △AB=18，AC=12，△△AMN 的周长=AM+MN+AN=AB+AC=18+12=30． 故选：A ．考法02 等腰三角形的判定判定方法：在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：在同一三角形中，等角对等边） 【典例2】如图，C 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），在AB 同侧分别作等边ACD △和等边,BCE AE 与BD 交于点F ，AE 与CD 交于点G ，BD 与CE 交于点H ，连接GH ．以下四个结论：△EAB BDC ∠=∠；△CGH 为等边三角形；△60FGH FHG ∠+∠=︒；△AC DH =．其中正确的是（ ）A ．△△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△【答案】A 【分析】根据等边三角形的性质可以得出△ACE△△DCB ，就可以得出△CAE ＝△CDB ，通过证明△ACG△△DCH 就可以得出CG ＝CH ，AG=DH ，可以得出△GCH 是等边三角形，再判断AC 与DH 的大小关系，求出△DFG=△GCA=60°，利用外角定理即可得到60FGH FHG ∠+∠=︒． 【详解】△△ACD 和△BCE 是等边三角形，△AD ＝AC ＝CD ，CE ＝CB ＝BE ，△ACD ＝△BCE ＝60°． △△ACB ＝180°， △△DCE ＝60°． △△DCE ＝△BCE ．△△ACD ＋△DCE ＝△BCE ＋△DCE ， △△ACE ＝△DCB ．在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CE CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ACE△△DCB （SAS ）， △CAE CDB ∠=∠即EAB BDC ∠=∠，△正确；在△ACG 和△DCH 中，60ACG DCH AC DC CAG CDH ∠=∠=︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，△△ACG△△DCH （ASA ）， △GC=HC,AG=DH 又△GCH=60°，△CGH 为等边三角形，△正确； 又AC≠AG ，△DH≠AC ，△错误；△△GAC+△ACG+△AGC=180°，△GDF+△DFG+△DGF=180° 又△AGC=△DGF ，△GAC=△GDF △△DFG=△ACG=60°又△DFG=FGH FHG ∠+∠， △60FGH FHG ∠+∠=︒，△正确； 故选A ．题组A 基础过关练1．若等腰三角形的周长为26cm ，一边为6cm ，则腰长为（ ）分层提分A．6cm B．10cm C．10cm或6cm D．以上都不对【答案】B【分析】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．【详解】解：△当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边=26-6-6=14cm，因为14＞6+6，所以不能构成三角形；△当6cm为底边时，则腰长=（26-6）÷2=10cm，因为6-6＜10＜6+6，所以能构成三角形；故腰长为10cm．故答案为：B．2．等腰三角形的两边长分别为4cm，8cm，则该三角形的周长为（）A．16cm B．20cm C．16cm或20cm D．以上都不对【答案】B【分析】根据题意得出两种情况，根据三角形的三边关系定理看看能否组成三角形，再求出周长即可．【详解】解：当等腰三角形的三边长是4cm，4cm，8cm时，4+4=8，不符合三角形的三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边长是4 cm，8 cm，8 cm时，符合三角形的三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长是4+8+8=20（cm），所以该三角形的周长是20 cm，故选：B．3．下列关于等边三角形的性质的叙述中，错误的是（）A．是等腰三角形B．三个角都相等C．三条边都相等D．只有一条对称轴【答案】D【分析】利用等边三角形的性质依次分析即可得出答案．【详解】解：A、等边三角形也是等腰三角形，原说法正确，故此选项不合题意；B、等边三角形三个角都相等，原说法正确，故此选项不合题意；C、等边三角形三条边都相等，原说法正确，故此选项不合题意；D 、等边三角形有3条对称轴，原说法错误，故此选项符合题意； 故选：D ．4．已知直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ，则斜边的长为（ ） A ．8 cm B ．6 cmC ．4 cmD ．2 cm【答案】A 【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可求得斜边长． 【详解】解：△直角三角形中30°角所对的直角边为4cm ， △斜边长为8cm ． 故选：A ．5．已知ABC ∆中，3,60,AC AB C ==∠=︒则ABC ∆的周长等于（ ）A B ．3 C ．6 D ．9【答案】D 【分析】判断ABC 为等边三角形即可求出其周长． 【详解】根据题意可知ABC 为等边三角形， △ABC 的三条边相等且等于3， △ABC 的周长为33=9⨯． 故选：D ．6．如果等腰三角形的两边长分别为7cm 和3cm ．那么它的第三边的长是（ ） A ．3cm B ．4cmC ．7cmD ．3cm 或7cm【答案】C 【分析】根据等腰三角形腰的情况分类讨论，然后根据三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：若7cm 为等腰三角形的腰长， △3＋7＞7△3cm 、7cm 、7cm 能构成三角形，故符合题意； 若3cm 为等腰三角形的腰长， △3＋3＜7△3cm 、3cm 、7cm 不能构成三角形，故不符合题意； 综上：它的第三边的长是7cm 故选C ．7．若等腰三角形的一个角为100︒，则它一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．50︒ B ．40︒C ．10︒D ．80︒【答案】A 【分析】根据题意先画出图形，由题意可知等腰三角形的顶角为100°，根据等腰三角形的性质得出=40B ACB ∠=∠︒，由CD BD ⊥，可得90B BCD ∠+∠=︒，则BCD ∠可得．【详解】 如图：△等腰三角形的一个角为100°，△等腰三角形的顶角为100°，即100BAC ∠=︒， △△ABC 是等腰三角形， △AB=AC ，△=40B ACB ∠=∠︒， △CD BD ⊥, △90D ∠=︒， △90B BCD ∠+∠=︒,△90904050BCD B ∠=︒-∠=︒-︒=︒， 故选：A ．题组B 能力提升练1．下列命题的逆命题是真命题的是（ ） A ．同位角相等，两直线平行 B ．等边三角形是锐角三角形 C ．若两个角是直角，则它们相等 D ．全等三角形的对应角相等【答案】A 【分析】先写出逆命题，再根据平行线的性质、等边三角形的定义、全等三角形的判定逐项判断即可得． 【详解】A 、逆命题：两直线平行，同位角相等， 此逆命题是真命题，此项符合题意；B 、逆命题：锐角三角形是等边三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意；C 、逆命题：若两个角相等，则它们是直角， 此逆命题是假命题，此项不符题意；D 、逆命题：三个角分别对应相等的两个三角形是全等三角形， 此逆命题是假命题，此项不符题意； 故选：A ．2．已知等边ABC 的边长为3，点E 在直线AB 上，点D 在直线CB 上，且ED EC =，若6AE =，则CD 的长为（ ） A ．6 B ．9C ．3或6D ．3或9【答案】D 【分析】△E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，△当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，根据等边三角形的性质求出BE 长和60ABC ∠=︒，解直角三角形求出BF ，求出CF ，即可求出答案． 【详解】解：点E 在直线AB 上，6AE =，点E 位置有两种情况： △E 在线段AB 的延长线上时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，633BE ∴=-=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1322BF BE ∴==， 39322CF ∴=+=， ED EC =，CF DF ∴=，9292CD ∴=⨯=；△如图2，当E 在线段AB 的延长线时，过E 点作EF CD ⊥于F ，ABC ∆是等边三角形，ABC ∆的边长为3，6AE =，639BE ∴=+=，60ABC∠=︒，60EBF ∴∠=︒，30BEF ∴∠=︒，1922BF AE ∴==， 93322CF ∴=-=， ED EC =，CF DF ∴=，3232CD ∴=⨯=；C=或3，即9故选：D．3．下列命题是假命题的是（）A．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等B．三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和C．有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形D．有两边和一角对应相等的两个三角形全等【答案】D【分析】根据垂直平分线的性质、三角形外角的定义、等边三角形的判定定理、全等三角形的判定定理依次判断即可．【详解】解：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以A选项为真命题，不符合题意；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，所以B选项为真命题，不符合题意；有一个外角是120°的等腰三角形，与它相邻的内角等于60°，是等边三角形，所以C选项为真命题，不符合题意；有两边和其夹角对应相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题，符合题意；故选：D．4．下列命题中，假命题是（）A．直角三角形的两个锐角互余B．等腰三角形的两底角相等C．面积相等的两个三角形全等D．有一个角是60︒的等腰三角形是等边三角形【答案】C【分析】根据直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的概念、等边三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互余，本选项说法是真命题；B、等腰三角形的两底角相等，本选项说法是真命题；C、面积相等的两个三角形不一定全等，本选项说法是假命题；D、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题；故选：C．5．等腰ABC中，过点B的直线BD分ABC为两个等腰三角形，则顶角为_____度．【答案】36°或1807或90°或108°【分析】根据题意分四种情况画出图形，结合等腰三角形的性质进行求解．【详解】解：△ABC中，AB=AC，若AD=BD，BC=BD，△△A=△ABD，△BDC=△C，则△C=△BDC=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+2△A+2△A=180°，△△A=36°；若AD=BD，BC=CD，△△A=△ABD，△CBD=△CDB，则△CDB=2△A，△△A+△ABC+△C=△A+△A+2△A+3△A=180°，△△A=1807︒；若AD=BD ，AD=CD ， △△B=△C=△BAD=△CAD ， △△BAC+△ABC+△C=180°， △△BAD=△CAD=45°， △△BAC=90°；若AD=BD ，AC=CD ，△△B=△BAD ，△CAD=△CDA ，则△CDA=2△BAD ，△C=180°-2△CAD=180°-4△BAD ， △△B=△C ，△△BAD=180°-4△BAD ， △△BAD=36°，△△BAC=3△BAD=108°；故答案为：36°或1807︒或90°或108°． 6．已知在ABC 中，16C ∠=︒且为最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个等腰三角形，则B∠=_______︒【答案】123°或132°或90°或48°【分析】根据题意作图，结合等腰三角形的性质分情况讨论即可求解．【详解】解：如图，若BC=CD，AD=BD，由题意可得：△DBC=△BDC=（180°-△C）÷2=82°，△△ABD=△BAD=12△BDC=41°，△△ABC=△ABD+△DBC=123°，△△ADB=180°-82°=98°，则在BC=CD的前提下只有AD=BD；如图，若CD=BD，AB=BD，由题意可得：△DBC=△C=16°，△△ADB=2△C=32°，△△A=△ADB=32°，△ABD=180°-△A-△ADB=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=132°，符合最小的内角为△C=16°，如图，若BD=CD，AB=AD，则△C=△DBC=16°，△△ADB=△ABD=2△C=32°，△△A=180°-2×32°=116°，△△ABC=△ABD+△DBC=48°；如图，若BD=CD，AD=BD，△△ADB=2△C=2△DBC=32°，△△A=△ABD=（180°-32°）÷2=74°，△△ABC=△ABD+△DBC=90°；若BD=BC，则△C=△CDB=16°，△△ADB=180°-△CDB=164°，则只能满足AD=BD，△△A=12△CDB=8°，即△A＜△C，不满足；综上：△ABC 的度数为123°或132°或90°或48°． 故答案为：123°或132°或90°或48°．7．如图，在四边形ABDE 中，C 是BD 的中点，3AB =，4BD =，5DE =，若120ACE ∠=︒，则线段AE 的最大值为___________．【答案】10 【分析】作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ．根据两点之间线段最短解决问题即可． 【详解】解：作B 关于AC 的对称点F ，D 关于EC 的对称点G ，连接AF ，FC ，CG ，EG ，FG ，如图所示：△C 是BD 边的中点， △CB=CD=12BD=2， △点B 、点F 关于AC 对称，△CF=CB=2，AF=AB=3，△BCA=△FCA ． 同理CD=CG=2，ED=EG=5，△DCE=△GCE ， △CG=CF=2， △△ACE=120°，△△BCA+△DCE=180°-120°=60°． △△FCA+△GCE=60°． △△FCG=60°．△△FGC 是等边三角形． △FG=2，△AE≤AF+FG+EG=3+2+5=10，△当A 、F 、G 、E 共线时，AE 的值最大2，最大值为10， 故答案为：10．题组C 培优拔尖练1．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，点P 是CA 延长线上一点，点O 在AD 延长线上，OP OB =，下面的结论：△30APO OBD ∠-∠=︒；△BPO △是正三角形；△AB AP AO -=；△2BOC AOBP S S =四边形△，其中正确的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】由题意易得OB=OC ，则有△OBD=△OCD ，△APO=△OCP ，进而根据角的关系可证△，然后可得△PBO=△PBA+△APO ，由三角形内角和可得△OPB=60°，可判断△，在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ，由此可得AP=PE=AE ，△APE=60°，进而可证△BPE△△OPA ，然后根据全等三角形的性质可判断△，最后根据等积法及三角形全等的性质与判定可判断△． 【详解】解：△AB AC =，AD BC ⊥，120BAC ∠=︒， △BD=DC ，△ACB=△ABC=30°， △OB=OC ， △△OBD=△OCD ， △OB=OP ， △OC=OP ， △△APO=△OCP ，△△OCP -△OCB=△ACB=30°，△30APO OBD ∠-∠=︒，故△正确； △OP=OB ， △△OPB=△PBO ，△△PBO=△PBA+△ABD+△OBC=△PBA+30°+△APO -30°， △△PBO=△PBA+△APO ，△在△ABC 中，△BAC+△ABC+△ACB=180°，即△OPB+△APO+△PBA+△ABC+△ACB=180°， △2△OPB+60°=180°， △△OPB=60°，△△BPO 是正三角形，故△正确；在AB 上找一点E ，使AE=AP ，连接PE ，如图所示：△△PAE=60°，△△PAE 是等边三角形， △AP=PE=AE ，△APE=60°，△△BPE=△APB -△APE ，△OPA=△APB -△BPO ， △△BPE=△OPA ， △OP=BP ，△△BPE△△OPA （SAS ）， △BE=AO ， △AB -BE=AE ， △AB -OA=AP ，△AB AP AO -=，故△正确；延长AO ，在AO 的延长线上找一点F ，使AF=AB ，连接BF ， △△ABF 是等边三角形， △△ABF=60°，△△ABO+△OBF=60°，△ABO+△PBA=60°， △△PBA=△OBF ，△PB=OB ，AB=BF ， △△APB△△FOB （SAS ）， △AOBP S S =四边形△ABF ，如要证2BOC AOBP S S =四边形△，需证12OD AD =，由题意无法证明12OD AD =，故△错误； 所以正确的个数有3个； 故选：C ．2．如图，在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，45C ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线分别交AC 、AD 于E 、F 两点，M 为EF 的中点，AM 的延长线交BC 于点N ，连接EN ，下列结论：△AFE ∆为等腰三角形；△DF DN =；△AN BF =；△EN NC ⊥．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】△由等腰直角三角形的性质得△BAD=△CAD=△C=45°，再根据三角形外角性质可得到△AEF=△AFE ，可判断△AEF 为等腰三角形，于是可对△进行判断；求出BD=AD ，△DBF=△DAN ，△BDF=△ADN ，证△DFB△△DAN ，即可判断△△；连接EN ，只要证明△ABE△△NBE ，即可推出△ENB=△EAB=90°，由此可知判断△． 【详解】解：△等腰Rt△ABC 中，△BAC=90°，AD△BC ， △△BAD=△CAD=△C=45°，BD=AD ， △BE 平分△ABC ， △△ABE=△CBE=12△ABC=22.5°， △△AEF=△CBE+△C=22.5°+45°=67.5°， △AFE=△FBA+△BAF=22.5°+45°=67.5°， △△AEF=△AFE ，△AF=AE ，即△AEF 为等腰三角形，所以△正确；△M 为EF 的中点， △AM△BE ，△△AMF=△AME=90°，△△DAN=90°−67.5°=22.5°=△MBN ， 在△FBD 和△NAD 中FBD NAD BD ADBDF ADN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， △△FBD△△NAD （ASA ），△DF=DN ，AN=BF ，所以△△正确； △AM△EF ，△△BMA=△BMN=90°， △BM=BM ，△MBA=△MBN ， △△MBA△△MBN ， △AM=MN ，△BE 垂直平分线段AN ， △AB=BN ，EA=EN ， △BE=BE ， △△ABE△△NBE ， △△ENB=△EAB=90°， △EN△NC ，故△正确， 故选：D ．3．如图，在Rt△ABC 中，△BAC ＝90°，AB ＝AC ，BF 平分△ABC ，过点C 作CF △BF 于F 点，过A 作AD △BF 于D 点．AC 与BF 交于E 点，下列四个结论：△BE ＝2CF ；△AD ＝DF ；△AD ＋DE =12BE ；△AB ＋BC ＝2AE ．其中正确结论的序号是（ ）A ．只有△△△B ．只有△△C ．只有△△△D ．只有△△【答案】A 【分析】适当做辅助线，构建三角形.延长CF 并交BA 延长线于H△证明△ABE△△ACH ，得到BE=CH ，又可证CH=2CF ，故可得BE ＝2CF△若要得到AD ＝DF ，则需要证明△ADF 为等腰直角三角形，需要证明△DAF 为45°即可 △过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，EM MF =12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+===△过E 作EN BC ⊥于点N ，证明2AE AE EN AE EC AC =+<+=，得到22AB BC AE BC AE +>+>，即可证明△错误. 【详解】△延长BA 、CF ，交于点H ，△,BF CH CBF HBF ⊥∠=∠ △BCH H ∠=∠ △BC BH = △2CH CF =△90ABE AEB ∠+∠=︒ 90FCE FEC ∠+∠=︒ AEB FEC ∠=∠ △ABF ACF ∠=∠△90BAF CAH ∠=∠=︒ AB AC = △BAE CAH ≌ △,2BE CH BE CF ==△由△知，F 为CH 中点，又CAH 为直角三角形 故12AF CH CF HF === △H FAH ∠=∠△,45BC BH HBC =∠=︒ △67.5H FAH ∠=∠=︒ △90HAC ∠=︒ △22.5FAC ∠=︒ 又BF 为HBC ∠的平分线 △22.5HBF ∠=︒ △67.5BAD ∠=︒△9067.522.5CAD ∠=︒-︒=︒45FAD FAC DAC ∠=∠+∠=︒在RT ADF 中，45DAF DFA ∠=∠=︒ △AD DF =△过E 作EM AF ⊥交AF 于点M ，由△知，CA 为△DAF 的平分线△,DE EM AD AM == △EMF 为等腰直角三角形 △EM MF =△12AD DE AM EM AM MF AF CF BE +=+=+=== △过E 作EN BC ⊥于点N ，可知AE EN =在RT ENC 中，EN EC <△2AE AE EN AE EC AC =+<+= 即2AE AC <,而AC AB = △2AE AB <故22AB BC AE BC AE +>+>△2AB BC AE +≠,故△错误，本题答案选A.4．如图，AD 为等腰△ABC 的高，其中△ACB =50°，AC =BC ，E ，F 分别为线段AD ，AC 上的动点，且 AE =CF ， 当 BF ＋CE 取最小值时，△AFB 的度数为（ ）A ．75°B ．90°C ．95°D ．105°【答案】C 【分析】先构造△CFH 全等于△AEC ，得到△BCH 是等腰直角三角形且FH=CE ，当FH+BF 最小时，即是BF+CE 最小时，此时求出△AFB 的度数即可． 【详解】解：如图，作CH△BC ，且CH=BC ，连接HB ，交AC 于F ，此时△BCH 是等腰直角三角形且FH+BF 最小，△AC=BC ，△CH=AC，△△HCB=90°，AD△BC，△AD//CH，△△ACB=50°，△△ACH=△CAE=40°，△△CFH△△AEC，△FH=CE，△FH+BF=CE+BF最小，此时△AFB=△ACB+△HBC=50°+45°=95°．故选：C．5．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，BM△AD,垂足为M,且AB=5,BM=2,AC=9,则△ABC与△C 的关系为（）A．△ABC=2△C B．△ABC=52△C C．14△ABC=△C D．△ABC=3△C【答案】D【分析】延长BM到E,证明△ABF△△AEM,利用线段长度推出△BCE是等腰三角形,再根据角度转换求出即可.【详解】证明:延长BM，交AC于E，△AD平分△BAC，BM△AD，△△BAM=△EAM ，△AMB=△AME 又△AM=AM ， △△ABM△△AEM ，△BM=ME ，AE=AB ，△AEB=△ABE, △BE=BM+ME=4，AE=AB=5, △CE=AC -AE=9-5=4, △CE=BE ，△△BCE 是等腰三角形， △△EBC=△C ，又△△ABE=△AEB=△C+△EBC. △△ABE=2△C ，△△ABC=△ABE+△EBC=3△C. 故选D.6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（ ）个． △EF BE CF =+；△90BGC A ∠=︒+∠；△点G 到ABC 各边的距离相等； △设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；△AEF 的周长等于+AB AC 的和．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】△根据△ABC 和△ACB 的平分线相交于点G 可得出△EBG=△CBG ，△BCG=△FCG ，再由EF△BC 可知△CBG=△EGB ，△BCG=△CGF ，故可得出BE=EG ，GF=CF ，由此可得出结论；△先根据角平分线的性质得出△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB ），再由三角形内角和定理即可得出结论；△根据三角形角平分线的性质即可得出结论；△连接AG ，由三角形的面积公式即可得出结论；△根据BE=EG ，GF=CF ，进行等量代换可得结论．【详解】解：△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△EBG=△CBG，△BCG=△FCG．△EF△BC，△△CBG=△EGB，△BCG=△CGF，△△EBG=△EGB，△FCG=△CGF，△BE=EG，GF=CF，△EF=EG+GF=BE+CF，故△正确；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△△GBC+△GCB=12（△ABC+△ACB）=12（180°-△A），△△BGC=180°-（△GBC+△GCB）=180°-12（180°-△A）=90°+12△A，故△错误；△△△ABC和△ACB的平分线相交于点G，△点G也在△BAC的平分线上，△点G到△ABC各边的距离相等，故△正确；△连接AG，作GM△AB于M，如图所示：△点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，△GD=GM=m，△S△AEF=12AE•GM+12AF•GD=12（AE+AF）•GD=12nm，故△错误．△△BE=EG，GF=CF，△AE+AF+EF=AE+AF+EG+FG=AE+AF+BE+CF=AB+AC，即△AEF的周长等于AB+AC的和，故△正确，故选：C．7．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB 于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD△BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MA＝MC，推出MC+DM＝MA+DM≥AD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接AD，MA．△△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，△AD△BC，△S△ABC＝12BC•AD＝12×4×AD＝16，解得AD＝8 cm，△EF是线段AC的垂直平分线，△MA＝MC，△MC+DM＝MA+DM≥AD，△AD的长为CM+MD的最小值，△△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+12BC＝8+12×4＝10（cm）．故选：D．。
新人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》知识点归纳并练习
第十三章（精编）轴对称《轴对称、线段垂直平分线、、等腰三角形、等边三角形》轴对称图形如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，•这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．轴对称有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，•那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．图形轴对称的性质如果两个图形成轴对称，•那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：找到关键点，画出关键点的对应点，按照原图顺序依次连接各点。
轴对称与轴对称图形的区别轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，•成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．考点一、关于“轴对称图形”与“轴对称”的认识1.下列几何图形中，○1线段○2角○3直角三角形○4半圆，其中一定是轴对称图形的有【】A．1个B．2个C．3个D．4个2．图中，轴对称图形的个数是【】A．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．正n 边形有___________条对称轴，圆有_____________条对称轴线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，•叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）．（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，•与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．考点二、线段垂直平分线的性质4．如图，△ABC 中，∠A ＝90°，BD 为∠ABC 平分线，DE ⊥BC ，E 是BC 的中点，求∠C 的度数。
人教版八年级数学上册课件 第十三章 轴对称 等腰三角形 等边三角形 第1课时 等边三角形的性质与判定
27 2
(cm)
17．(14分)(原创题)已知△ABC是等边三角形，点D是直线BC上一点， 以AD为一边在AD的右侧作等边三角形ADE.
(1)如图①，点D在线段BC上移动时，求证：CE＋CD＝AB； (2)如图②，点D在线段BC的延长线上移动时，那么： ①线段CE，CD，AB之间有怎样的数量关系？请加以证明； ②∠DCE的度数为___6_0_°___； (3)如图③，点D在线段BC的反向延长线上移动时，∠DCE的大小是否 发生变化？线段CE，CD，AB之间又有怎样的数量关系？请直接写出结 论．
2．(3分)如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC＝35°，
则∠ADB的度数为( ) D
A．25°
B．60°
C．85°
D．95°
3．(3分)如图，已知△ABC是等边三角形，点B，C，D，E在同一直线 上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝___1_5_°___．
4 ． (3 分 ) 如 图 ， 在 等 边 三 角 形 ABC 中 ， CD⊥AB 于 点 D ， 过 点 D 作 DE∥BC交AC于点E，若△ABC的边长为2，则△ADE的周长是__3__．
∠E，∴DB＝DE
6．(3分)下列四个说法中，正确的有( D ) ①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有两个角等于60°的三角形 是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；④有两个 角相等的等腰三角形是等边三角形． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．(3分)等腰三角形补充下列条件后，仍不一定成为等边三角形的是 ( C)
14．(台州中考)如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC 上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA方向各剪一刀，则剪 下的△DEF的周长是___6_．
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形
初中数学难点之八：等腰三角形、等边三角形、直角三角形等腰三角形、等边三角形、直角三角形是初中数学重点考察内容，也是学习的难点。
一、等腰三角形的概念1. 定义有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
两条相等的边叫做腰，所夹的角叫做顶角，另一边叫做底边，底边与腰形成的两个角叫做底角。
2. 性质（1）等腰三角形是轴对称图形，底边中线是对称轴（底边的高、顶角的角的角平分线都是对称轴）（2）等腰三角形两个底角相等，简称等边对等角。
（3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）两内角相等的三角形叫做等腰三角形（2）两个边相等的三角形叫做等腰三角形二、等边三角形1. 定义三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
2. 性质（1）等边三角形有三条对称轴，中线是对称轴（2）等边三角形三个角相等，每个角都为60º（3）等边三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，简称三线合一。
3. 判定（1）三条边都相等的三角形是等边三角形（2）三个角都相等的三角形叫做等边三角形（3）有一个内角是60º的等腰三角形是等边三角形。
三、直角三角形1. 定义有一个角是直角的三角形叫做直角三角形2. 性质（1）直角三角形两个锐角互余（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（3）直角三角形中，30º角所对的直角边等于斜边的一半（4）勾股定理：a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边）3. 判定（1）有一个角是直角的三角形，或者两个锐角和为90º的三角形为直角三角形。
（2）一边的中线等于这条边的一半，这个三角形是直角三角形。
（3）勾股定理逆定理：如果有a2+b2=c2（a、b、c为三角形的三个边），则三角行为直角三角形四、基础题型1. 例题1如图，边长为4的等边ΔABC中，D、E分别为AB、BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为？解：连接DE，因为：EF⊥AC，∠C=60º所以∠FEC=30º,因为：ΔABC为等边三角形，DE为中位线所以有：2. 考察知识点（1）等边三角形及内角为60º（2）三角形中位线（3）直角三角形30度内角所对直角边等于斜边的一半（4）直角三角形勾股定理3. 解题思路和技巧DG是非常孤立的，既不是中位线，也不平行某一边，即不是三角形的某一边，也不是规则四边形的边，很难下手，因此必须画辅助线把DG融入某个三角形内，因为D、E分别是所在边的中点，连接起来是三角形的中位线，因此连接DE，尝试解题。
苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2
苏科版数学八年级上册2.5《等腰三角形的轴对称性》说课稿2一. 教材分析《等腰三角形的轴对称性》是苏科版数学八年级上册第二章第五节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握等腰三角形的轴对称性，并会运用轴对称性解决一些实际问题。
教材通过引入等腰三角形的定义和性质，引导学生探究等腰三角形的轴对称性，从而让学生更深入地理解等腰三角形的性质。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了三角形的性质，对三角形有了一定的了解。
但等腰三角形是三角形的一种特殊形式，它的性质和普通三角形有所不同，所以学生需要通过学习来掌握等腰三角形的性质。
另外，学生已经学习过轴对称的概念，但对轴对称性的理解和应用还不够深入，这也是本节课需要重点解决的问题。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解等腰三角形的轴对称性，并能运用轴对称性解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生自主探究、合作交流的方式，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和自主学习能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：等腰三角形的轴对称性。
2.教学难点：如何引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用学生自主探究、合作交流的教学方法，引导学生发现和证明等腰三角形的轴对称性。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学辅助工具，帮助学生直观地理解等腰三角形的轴对称性。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的性质，引出等腰三角形的定义和性质。
2.探究：让学生分组讨论，每组尝试找出等腰三角形的轴对称性，并说明理由。
3.展示：每组选出一名代表，向全班展示他们的探究成果。
4.讲解：教师对学生的探究结果进行点评，并给出正确的证明过程。
5.练习：让学生运用轴对称性解决一些实际问题，巩固所学知识。
6.小结：对本节课的内容进行总结，强调等腰三角形的轴对称性。
七. 说板书设计板书设计如下：等腰三角形的轴对称性1.定义：等腰三角形2.性质：轴对称性3.证明：利用几何画板，展示等腰三角形的轴对称性八. 说教学评价本节课的教学评价主要从学生的学习效果和课堂表现两个方面进行。
八年级上册数学第十三章 轴对称 知识点总结
第十三章轴对称一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (x, y) 关于x 轴对称的点的坐标为P ' (x, y) .②点P (x, y) 关于y 轴对称的点的坐标为P " ( x, y) .⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1 条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3 条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.。
八年级上册数学等腰三角形的轴对称性(3)
学案1.5 等腰三角形的轴对称性班级姓名学号教学目标：1、知道等腰梯形的概念，等腰梯形的轴对称性极其相关性质能够画出简单的轴对称图形.2、等边三角形性质的运用教学重点：等腰梯形的轴对称性极其相关性质；教学难点：能利用等腰梯形的性质进行有条理的说理；教学过程：一、复习提问：1．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，它们分别是_______．2．等边三角形ABC中，AD是BC•边上的中线，•那么∠ADB=•_____•°，•∠BAD=_____°．3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，CD是AB边上的中线，△BCD•是等边三角形吗？为什么？二、探索新知：1、等边三角形的概念三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形.2、那么等边三角形具有什么性质？等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴.等边三角形都等于0603、探索活动思考：（1）3个角相等的三角形是等边三角形吗？为什么？（2）有两个角等于060的三角形是等边三角形吗？为什么？（3）有一个角等于060的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？（对于问题2要引导学生借助于两块相同的含060直角三角板进行拼图实验；对于问题3要引导分类思考.）CDEBA三、例题示范：例1. 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形吗？为什么？ 分析：应分两情况讨论，一是当这个角是底角时；二是当这个角是顶角时.例2如图,在△ABC 中,AB=AC ，∠BAC=120°, AD ⊥AB,AE ⊥AC. ⑴图中,等于30°的角有__ _,等于60°的角有 ; ⑵△ADE 是等边三角形吗?为什么?⑶在Rt △ABD 中, ∠B=_____,AD=_____BD;在Rt △ACE 中,有类似结论吗?五、课堂小结：等边三角形是底和腰相等的等腰三角形，有3条对称轴，每个角都是600. 六、课后作业： 七、教学后记：【课后作业】1、底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.2、剪四个同样大小的等边三角形，你能将这四个三角形拼成一个三角形吗?是一个什么三角形?3、在等边三角形、角、线段这三个图形中，对称轴最多的是 ，它共有 条对称轴，最少的是 ，有 条对称轴．4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是45°，这个等腰三角形的顶角是________°．ABCMNP Q5、下列说法：（1）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；（2）等腰三角形的两腰上的中线长相等；（3）等腰三角形的腰一定大于其腰上的高；（4）等腰三角形的一边长为8，一边长为16，那么它的周长是32或40．其中不正确．．．的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．46、如图，在△ABC 中，AB=AC ， B F 与CF 是角平分线且交于点F ，DE ∥BC ，若B D+CE=9，则线段DE 的长为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97、如图，在△ABC 中，PM 、QN 分别是AB 、AC 的垂直平分线， ∠BAC=110°，那么∠PA Q 等于 °．8、如图，在等边三角形ABC 的边BC 、AC 上分别取点D 、E ，使BD=CE ，AD 与BE 相交于点F ．求∠AFE 的度数．（第7题）ABCD E FEF DC BAABCP ′P9．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 的延长线上，•且BD=CE=AF ．△DEF 也是等边三角形吗？为什么？F CB A10、如图，△ABC 是等边三角形，P 为△ABC 内部一点，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ˊ重合，如果A P=3，求PP ˊ的长．11、在两个三角形中，它们的内角分别为：（1）20°，40°，120°；（2） 20°，60°，100°，怎样把每个三角形分成两个等腰三角形？试画出图形．。
北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版八年级下册数学[等腰三角形(基础)知识点整理及重点题型梳理]北师大版八年级下册数学重难点突破：等腰三角形（基础）研究目标：1.了解等腰三角形和等边三角形的定义和概念，掌握等腰三角形的轴对称性；2.掌握等腰三角形和等边三角形的性质，并能利用这些性质进行简单的推理、证明、计算和作图；3.理解并掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法及其证明过程，初步了解转化思想，并培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力；4.理解反证法并能用反证法推理证明简单几何题。
要点梳理：要点一、等腰三角形的定义等腰三角形是指有两条边相等的三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边，∠A 是顶角，∠B、∠C是底角。
要点二、等腰三角形的性质1.等腰三角形的底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”。
推论：等边三角形的三个内角都相等，并且每个内角都等于60°。
2.等腰三角形的对称性1) 等腰三角形是轴对称图形；2) ∠B＝∠C；3) BD＝CD，AD为底边上的中线；4) ∠ADB＝∠ADC＝90°，AD为底边上的高线。
结论：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的高线或中线）所在的直线是它的对称轴。
3.等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
也称为正三角形。
等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。
要点诠释：1) 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝180A/2.2) 等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形。
等腰三角形的重要线段性质之一是“等腰三角形三线合一”，即等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合。
2022年秋八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 第1课
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13、生气是拿别人做错的事来惩罚自 己。2022/3/12022/3/12022/3/12022/3/13/1/2022
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14、抱最大的希望，作最大的努力。2022年3月1日 星期二2022/3/12022/3/12022/3/1
A．80°
B．80°或 20°
C．80°或 50°
D．20°
1．如图，AB＝AC，△ABC 的外角∠DAC＝100°，则∠B 的度数为( D )
A．80° C．60°
B．70° D．50°
2．如图在等腰△ABC 中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等 于( B )
A．36° C．18°
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等腰三角形的三线合一
等腰三角形的顶角平分线 、底边上的中线、 底边上的高线 相互重合(简写
成“三线合一”)．
自我诊断 2. 如图，AB＝AC，D 是 BC 的中点，下列结论不正确的是( D )
A．∠B＝∠C
B．AD⊥BC
C．AD 平分∠BAC
D．AB＝2BD
易错点：在求等腰三角形的角时易漏解．
自我诊断 3. 等腰三角形的一个角是 80°，则它的顶角的度数是( B )
14．如图，已知点 E 为等腰△ABC 的底边 BC 上一动点，过点 E 作 EF⊥ BC 交 AB 于点 D，交 CA 的延长线于点 F，问： (1)∠F 与∠ADF 的关系怎样？说明理由； (2)若 E 在 BC 延长线上，其余条件不变，上题的结论是否成立？若不成立， 说明理由；若成立，画出图形并给予证明．
三角形的判定定理及轴对称知识点
三角形判断及轴对称知识点一．轴对称图形1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2.定义：如果两个平面图形沿一条直线对折后能够完全重合，那么称这两个图形“成轴对称”，这条直线叫做这两个图形的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．“成轴对称”的定义包含两层含义：(1)有两个图形，且形状、大小完全相同．(2)两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全重合3.成轴对称的性质:(1)成轴对称的两个图形全等(即对应角相等,对应边相等);(2)成轴对称的两个图形中,对应点连线被对称轴垂直平分;(3)成轴对称的两个图形,对称点所连的线段平行(或在同一条直线上)二．等腰三角形的性质：(1)等腰三角形的两个底角相等。
（简写成“等边对等角”）(2)等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）(3)等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴二.等腰三角形的判定：(1)有两条边相等的三角形是等腰三角形(2)有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）三．等边三角形等边三角形的定义：有三边都相等的三角形是等边三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形。
四.等边三角形的性质：(1)等边三角形的内角都相等，且为60度;(2)等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线互相重合（三线合一）(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线五.等边三角形的判定：（首先考虑判断三角形是等腰三角形）（1）三边相等的三角形是等边三角形（定义）（2）三个内角都相等的三角形是等边三角形（3）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形六．线段垂直平分线：（1）定理：在平面内,线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（2）逆定理：在平面内,到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上.七．角平分线（1）定理：角平分线上的任意一点到角两边的距离相等。
等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点
等边三角形等腰三角形与直角三角形的特点等边三角形、等腰三角形和直角三角形是基础的三角形类型，它们都有各自独特的特点和性质。
本文将分别探讨等边三角形、等腰三角形和直角三角形的特点，并对比它们之间的异同点。
一、等边三角形的特点等边三角形是一种特殊的三角形，它的三条边长度相等，每个角都是60度。
由于其特殊的性质，等边三角形具有以下特点：1. 三条边相等：等边三角形的三条边长度都相等，符号为a = b = c，其中a、b、c代表等边三角形的三条边的长度。
2. 三个角度相等：等边三角形的每个角都是60度，符号为A = B =C = 60°，其中A、B、C分别代表等边三角形的三个角度。
3. 具有对称性：等边三角形是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。
任意一条中线都是等边三角形的对称轴。
二、等腰三角形的特点等腰三角形是一种具有两条边相等的三角形，它的两个底角也相等。
等腰三角形的特点如下：1. 两条边相等：等腰三角形的两条边长度相等，符号为a = b，其中a、b代表等腰三角形的两条边的长度。
2. 两个底角相等：等腰三角形的两个底角大小相等，符号为A = B，其中A、B代表等腰三角形的两个底角。
3. 具有对称性：等腰三角形也是一种对称图形，它具有轴对称和中心对称的特点。
任意一条中线都是等腰三角形的对称轴。
三、直角三角形的特点直角三角形是一种具有一个90度角的三角形，它的两条边与直角相邻。
直角三角形的特点如下：1. 一条边是直角边：直角三角形有一个边是直角边，与直角相邻，符号为90°。
2. 底边和对边关系：在直角三角形中，直角边的对边为对边，直角边的底边为底边，这两边之间满足勾股定理的关系。
3. 具有对称性：直角三角形也具有对称性，其中的直角是对称中心。
四、等边三角形、等腰三角形和直角三角形的异同点1. 边的关系：等边三角形三条边长度相等，而等腰三角形只有两条边相等，直角三角形没有边相等的情况。
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初二数学等腰三角形和等边三角形的轴对称性江苏科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：等腰三角形和等边三角形的轴对称性［目标］探索等腰三角形及其特殊形式——等边三角形的轴对称性及其相关性质。
二. 重、难点：1. 等腰三角形及其性质和一个三角形是等腰三角形的条件；2. 等边三角形的概念及其性质。
三. 知识要点：1. 等腰三角形（1）等腰三角形是轴对称图形。
顶角平分线所在直线是它的对称轴。
（2）等腰三角形的性质（等腰三角形的判别法）①等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、高重合，它们都是等腰三角形的对称轴。
（简称“三线合一”）②等腰三角形的两底角相等。
（简称“等边对等角”）③如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（简称“等角对等边”）☆（3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 等边三角形（a）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形。
（b）等边三角形特殊的性质：①等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
60。
②等边三角形各角相等，并且每一个角都等于60的等腰三角形是等边三角形）（有一个角是【典型例题】例1. 已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为（）（A）2，2，6 （B）3，3，4（C）4，4，2 （D）3，3，4或4，4，2分析：可采用排除法。
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
2，2，6不满足；而3，3，4或4，4，2都满足题意。
答：选D 。
例2. O 为锐角△ABC 的∠C 平分线上一点，O 关于AC 、BC 的对称点分别为P 、Q ，则△POQ 一定是（ ）（A ）等边三角形 （B ）等腰三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰直角三角形分析：设OP 、OQ 分别交AC 、BC 于E 、F ，由线段的对称轴是它的垂直平分线知： OE ⊥AC ，且OE ＝21OP ；同理OF ⊥BC ，且OF ＝21OQ ； 由角平分线的性质知：OE ＝OF ，则OP ＝OQ 。
∴△POQ 一定是等腰三角形 答：选B例3. （1）如果等腰直角三角形两直角边的和比斜边长4cm ，那么斜边长等于_________。
（2）等腰三角形的三个内角与顶角的一个外角之和等于260，则这个等腰三角形的顶角等于_______，底角等于__________。
（3）等边三角形的周长是30cm ，一边上的高是8cm ，则三角形的面积为_____________。
解：（1）设斜边长为x cm ，则直角边长为x 22，根据题意，4222=-⨯x x 。
解得)21(4+=x cm（2）设顶角的一个外角为m ，则260180=+m 。
而顶角的一个外角等于一个底角的2倍，所以等腰三角形的底角等于40，顶角等于100。
（3）等边三角形三边相等，则其边长为cm 10330=，∴24081021cm S =⨯⨯=∆例4. 一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少︒30，求这个三角形的三个内角 的度数。
（考虑两种情况）解：①设等腰三角形的底角为x ，则顶角为)302(-x ，则180)302(=-++x x x解得：x ＝ 5.52 ∴)302(-x ＝75②设等腰三角形的顶角为x ，则底角为)302(-x ，则180)302()302(=-+-+x x x解得：x ＝ 48 ∴)302(-x ＝66综上可得：三个内角的度数分别为 5.52， 5.52， 75或 48， 66，66。
例5. 如图所示，点D 在AC 上，点E 在AB 上，且AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，求∠A 的度数。
CDA E B解：设∠EBD ＝x ，∵DE ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ＝x ，∴∠AED ＝∠EDB+∠EBD ＝2x （三角形外角＝不相邻的两个内角和）∵AD ＝DE ，∴∠AED ＝∠A ＝2x ，∴∠CDB ＝∠ABD +∠A ＝3x （同上） ∵BC ＝BD ，∴∠C ＝∠CDB ＝3x ，又∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ＝3x ； 在△ABC 中∠A+∠C+∠ABC ＝180，即2x +3x +3x ＝180 解得：x ＝5.22 ∴∠A ＝2x ＝45°例6. 如图，在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠B ，DE ⊥BC ，若BC ＝10cm ，求△DCE 的周长。
ADCB E解：∵BD 平分∠B ， DA ⊥AB ， DE ⊥BC ∴AB ＝BE （易证Rt △BAD ≌Rt △BED ） 又∵AB ＝AC ＝ BE ， DE ＝ DA∴△DCE 的周长＝EC+DE+DC ＝ EC+DA+DC ＝ EC+AC ＝ EC+BE ＝BC ＝10cm 。
例7. 已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，求证：∠DBC ＝21∠A分析1：用折半法。
找出或作出较大角的一半的角，证明它与较小的角相等。
证法1：作顶角平分线AE 。
∵AE ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）， ∴∠EAC+∠C ＝9090180=- （三角形内角和定理） ∵BD ⊥AC （已知）， ∵∠DBC+∠C ＝9090180=-∴∠DBC+∠C ＝∠EAC+∠C （等量代换） ∴∠DBC ＝∠EAC∵∠EAC ＝21∠A （角平分线定义）， ∴∠DBC ＝21∠A （等量代换）分析2：用加倍法。
找出或作出等于较小角的两倍的角，证明它与较大的角相等。
证法2：作∠DBF ＝∠DBC ，BF 交AC 于F 。
由作法得∠FBC ＝2∠DBC ，即∠DBC ＝∠FBD 。
在△BFD 与△BCD 中，∠=∠=︒∠=∠=⎧⎨⎪⎩⎪BDC BDF DBF DBC BD BD 90（垂直定义）（辅助线作法）（公共边） ∴△BFD ≌△BCD （ASA ） ∴∠BFD ＝∠C ，∴∠FBC ＝C C BFD ∠-=∠-∠-2180180（三角形内角和定理） 又∵∠C ＝∠ABC ，∴∠A ＝180－∠B －∠C ＝180－2∠C ∴∠FBC ＝∠A （等量代换）∵∠DBC ＝21∠FBC （已证）， ∴∠DBC ＝21∠A【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 下列说法正确的是（ ）（A ）等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 （B ）顶角相等的两个等腰三角形全等（C ）等腰三角形一边不可以是另一边的二倍 （D ）等腰三角形的两个底角相等2. ABC ∆中，90=∠C ，有一点既在BC 的对称轴上，又在AC 对称轴上，则该点一定是（ ）（A ）C 点（B ）BC 中点（C ）AC 中点（D ）AB 中点3. 已知ABC ∆中，AC AB =，且θ=∠B ，则θ的取值范围是（ ）（A ） 45≤θ （B ）900<<θ（C ）90=θ （D ）18090<<θ 4. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）（A ）等腰直角三角形 （B ）有一角为︒60的等腰三角形 （C ）正方形 （D ）圆5. 在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BE 、CD 分别是底角的平分线，DE ∥BC ，图中等腰三角形的个数有（ ）A D EB CA. 3个B. 4个C. 5个D. 6个6. （1）等腰三角形中有一个角为52，则它的一条腰上的高与底边的夹角为___________。
（2）等腰三角形的一个内角为︒110，则其它两个内角为_____________。
（3）一个等腰三角形有两边分别为4 cm 和8cm ，则周长是_____________cm 。
（4）若等腰三角形的顶角为120，则腰上的高与底边的夹角为_____________。
7. 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，点E 在AD 上，用轴对称的性质证明：BE ＝CE 。
AEB D C8. 等腰△ABC 的腰长AB ＝10cm ，AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D ，△BCD 的周长为26cm ，则底边BC 的长是多少？ADB C9. 如图，有三条交叉的公路，现要在三条公路交叉所形成的区域内建一货运站，使得货运站到三条公路交叉点的路程一样长，请问如何确定货运站的位置？简单叙述你的方法。
10. 用1－3种方法，将一个等边三角形分割成4个等腰三角形。
试题答案1. D2. D3. B4. D5.D6. （1） 38或26；（2）35,35；（3）20；（4）607. 证明：∵△ABC 中，AB ＝AC ，BD ＝CD （已知）， ∴AD ⊥BC （等腰三角形“三线合一”）， ∴AD 垂直平分线段BC ，∴点C 和点B 关于直线AD 对称， 又∵点E 在对称轴AD 上， ∴BE ＝CE （轴对称的性质）8. 解：∵AB 的垂直平分线交另一腰AC 于D∴AD ＝BD∴BD+CD ＝AD+CD ＝AC 又∵AC ＝AB ＝10cm∴BC ＝△BCD 的周长－（BD+CD ）＝ △BCD 的周长－AC ＝26－10＝16cm 。
9. 作法：分别作三条公路的垂直平分线交于一点O ，则点O 的位置即为所求货运站的位置。
10. 作法如下：。