自动控制原理课程设计--根轨迹法
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
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根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
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根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
自动控制原理第第四章 线性系统的根轨迹法
2
自动控制原理
§4.1 根轨迹的基本概念
例：开环传递函数
Gs
k1
ss
a
开环系统两个极点为：P1 0, P2 a R(s)
闭环传递函数为:
GB s
s2
k1 as
k1
-
k1
C(s)
ss a
闭环特征方程： s2 as k1 0
闭环特征根：s1,2
a 2
a 2
2
k1
（闭环极点）
3
自动控制原理
在p5附近取一实验点sd， 则∠sd-p5可以认为是p5点的出射角 Sd Z Sd P1 Sd P2 Sd P3 Sd P4 Sd P5 1800
近似为 P5 Z P5 P1 P5 P2 P5 P3 P5 P4 p 1800
p Sd P5 1800
法则4 实轴上存在根轨迹的条件——
这些段右边开环零极点个数之和为奇
数。
m
n
证明：根据相角条件 S Z j S Pi 18002q 1
j 1
i 1
p4
j s平面
例：sd为实验点
p3
z2 sd
p2 z1 p1
p5
① 实验点sd右侧实 轴上零极点提供 1800相角
③ 共轭复零点，复极点提供的相角和为 3600。
2
s1=-1.172，s2＝-6.828
33
自动控制原理
法则6 开环复数极点处根轨迹出射角为
p 1800
开环复数零点处根轨迹入射角为：
Z 1800
其中 z p（不包括本点）
34
自动控制原理
j p5
p5
p3 p3
p2
自动控制原理根轨迹
D( s ) 1 G( s ) H ( s ) 0 G( s ) H ( s ) 1
根轨迹方程
G ( s)
C (s)
H (s)
(i 0,1, 2)
m
G( s) H ( s) e jG( s ) H ( s ) 1 e j ( 180 i360 )
1、幅值条件
1、根轨迹分支数等于4；
-2.73 0
2、根轨迹起点和终点；
3、根轨迹的渐近线：n=4,m=0,四条
n m
a
p z
i 1 i j 1
j
nm
0 1 j 1 j 2.73 1.18 4
渐近线与实轴正向夹角分别是
(2l 1) a ,( l 0,1, 2, 3), 45,135, 135, 45 nm
G( s ) H ( s ) 1
即 |G(s)H(s)|
k | s zi | | s pi |
i 1 i 1 n
1
2、相角条件
G( s ) H ( s ) 180 i 360
G(s)H(s) (s-zi )- (s-pi )
i 1 i 1 m n
同样s3点也不是根轨迹上的点。
结论
实轴上某段区域右边的开环实数零点和开环实数极点总 数为奇数时，这段区域必为根轨迹的一部分。
p3
j
0
p2
°
z2
p1
°
z1 p4
六.根轨迹与实轴的交点
分离点（或会合点）：根轨迹在S平面某一点相遇后又立即分开。 分离点 会合点
K 0
d
K 0
K
自动控制原理第四章根轨迹法.
(s z j ) pi )
m
lim
sm s
n
s
lim
1
s s nm
0
即其余的 n-m 条根轨迹终止于无穷远处，即终止于系 统的n-m个无穷大零点。
回章首 回节首
18
4-2-5 实轴上的根轨迹 实轴上根轨迹的判别方法。 在实轴上选取实验点si， 如果实验点 si 的右方实轴上的开环 零点数和极点数的总和为奇数，则 实验点 si 所在的实验段是根轨迹， 否则该实验段不是根轨迹。 图中， [-1,0]段和[-∞,-5]段是根轨迹。 而(-5,-1)段和(0,+∞)段不是根轨迹。
第四章 根轨迹法
§4-1 根轨迹法的基本概念 §4-2 绘制根轨迹图的基本法则 §4-3 控制系统根轨迹的绘制
§4-4 控制系统的根轨迹法分析
退出
.R.Evans）提出了一种在复平面上由系 统的开环极、零点来确定闭环系统极、零点的图 解方法，称为根轨迹法。 意义：可以分析系统的性能，确定系统应有的结 构和参数，也可用于校正装置的综合。
回章首 回节首
22
分离点或会合点位置的计算
(1) 重根法 数条根轨迹在复平面上某点相遇又分开，该点 必为特征方程的重根。 如两条根轨迹相遇又分开，该点为二重根。 三条根轨迹相遇又分开，该点为三重根等等。 重根的确定可以借助于代数重根法则。
回章首
回节首
23
代数重根法则
已知n次代数方程为
f ( x) x n an1x n1 ... a1x a0 0
根轨迹法是一种简便的图解方法，在控制工 程上得到了广泛的应用。
回章首
2
§4-1 根轨迹法的基本概念
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
自动控制原理第四章-根轨迹分析法
×
p4 z 2
×
p3
×
×
p 2 z1 p1
σ
规则4：根轨迹的分会点（分离点和会合点）d。 （1）定义：分会点是指根轨迹离开实轴进入复平面的点（分 离点）或由复平面进入实轴的点（汇合点），位于相邻两极点 或两零点之间。
（2）位置：大部分的分会点在实轴上，若出现在复平面内时，则 成对出现。
（3）特点：分会点对应于闭环特征方程有重根的点；根轨迹离开
（4）与虚轴的交点：
方法1：闭环特征方程为s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 令s = jω得：-jω3 -6ω2 + j8ω + K* = 0
-6ω2 + K* = 0 即
-ω3 + 8ω= 0
K* = 48 ω= 2.8 s-1
方法2：闭环特征方程为 s3 + 6s2 + 8s + K*= 0 列劳斯表如下：
规则1：根轨迹的起点和终点。 根轨迹起始于开环极点，终止开环零点或无穷远。
m
i 1
s
zi
n
s
l 1
pl
1 K
K
K
0 s pl
s s
zi , m条 （, n
m）条
规则2: 根轨迹的条数和对称性。 n阶系统有n条根轨迹。根轨迹关于实轴对称。
规则3: 实轴上的根轨迹分布。
由实数开环零、极点将实轴分为若干段，如某段右边 开环零、极点（包括该段的端点）数之和为奇数，则该段就 是根轨迹，否则不是。如下图所示。
又因为开环传函的零极点表达式为：
m
GK (s)
G(s)H(s)
K
n
(s
自动控制原理第四章根轨迹法
i 1
j 1
开环极点到此被测零点 (终点)的矢量相角
8. 根轨迹的平衡性(根之和） （ n-m 2）
特征方程 Qs KPs 0
sn an1sn1 a1s a0 K sm bm1sm1 b1s b0 0
n
Qs KPs s p j sn cn1sn1 c1s c0 0 j 1
i 1
j1
k 0,1,2,
s zoi i 开环有限零点到s的矢量的相角
s poj j 开环极点到s的矢量的相角
矢量的相角以逆时针方向为正。
幅值条件：
s
m
m
s zoi
li
A s
i 1 n
i 1 n
s poj
Lj
j 1
j1
li αi
-zoi
Lj βj
×
-poj
开 环 有 限 零 点 到s的 矢 量 长 度 之 积 开环极点到s的矢量长度之积
， 2 2
c 2k 11800 2
由此可推理得到出射角：
其余开环极点到被测极 点(起点)的矢量相角
n1
m
c 2k 1180o j i
j 1
i 1
有限零点到被测极点
(起点)的矢量相角
同理入射角：
其余开环有限零点到被测 零点(终点)的矢量相角
m1
n
r 2k 1180o i j
1 GsHs 0
m
GsHs
KPs Qs
K
i 1
n
s
s
zoi
poj
j 1
P s sm bm1sm1 b1s b0
Q s sn an1sn1 a1s a0
于是，特征方程
自动控制原理实验报告根轨迹分析法
相关根轨迹知识
根轨迹的概念 根轨迹是开环系统某一参数从零变化到无穷大时， 闭环系 统特征根在 s 平面上变化的轨迹。 增设零、极点对根轨迹的影响 (1)增加开环零点对根轨迹的影响 第一，加入开环零点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环零点，相当于增加微分作用，使根轨迹向左 移动或弯曲，从而提高了系统的相对稳定性。系统阻尼增加，过 渡过程时间缩短； 第三，增加的开环零点越接近坐标原点，微分作用越强，系 统的相对稳定性越好。 (2)增加开环极点对根轨迹的影响 第一，加入开环极点，改变渐近线的条数和渐近线的倾角； 第二，增加开环极点，相当于增加积分作用，使根轨迹向右 移动或弯曲，从而降低了系统的相对稳定性。系统阻 尼减小，过渡过程时间加长；
-4-
五、实验过程
第一题 Gc=1：
Gc=s+5：
Gc=(s+2)(s+3)：
-5-
Gc=1/(s+5)：
第二题 第 一 步 : 在 MATLAB 的 命 令 窗 口 中 键 入 “ num=[1 3];den=[1 2 0];rlocus(num,den)” ，得图如下：
第二步： 第三步：
第三题 第一步：由已知条件 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％得
s ( s 2)
1 。作 s5
确定系统具有最大的超调量时的根轨迹增益，并作时域 仿真验证;(2)确定系统阶跃响应无超调时的根轨迹取值 范围，并作时域仿真验证 3、已知一单位反馈系统的开环传递函数为 ss 0.8试加入一 个串联超前校正控制（其中，|z|<|p|） ，使得闭环系统 的 ts(△＝2％)≤4s,超调量≤40％。
-7-
本为图标的切线与 K 的横坐标的交点所得的纵坐标再减去延迟时间。 随后按图慢慢调整数值，一定要有耐心。 第二题中，Step 的属性不能忘改，否则横轴（0，1）处恒为 1。 分母出 S 前的系数必须小于 1（阻尼比小于 1） ，之后改改分子，调整 调整 S 前的系数并保持 S^2 前的系数不变 （因为分子分母都可约分） ， 曲线即可得出。
自动控制原理第四章根轨迹法
第四章 根轨迹法
第一节 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹 系统的某个参数（如开环增益K）由0到∞变化时， 闭环特征根在S平面上运动的轨迹。
例： GK(S)= K/[S(0.5S+1)] = 2K/[S(S+2)] GB(S)= 2K/(S2+2S+2K) 特征方程：S2+2S+2K = 0
-P1)(S-P2)…(S-Pn)
单击此处可添加副标题
当n＞m时，只有m条根轨迹趋向于开环零点，还有（n-m）条？ m，S→∞，有: (S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm) -1 -1 ———————-— = —— = —— P1)(S-P2)…(S-Pn) K* AK 可写成：左边 = 1/Sn-m = 0 当K=∞时，右边 = 0 K=∞（终点）对应于S→∞（趋向无穷远）. 即：有（n-m）条根轨迹终止于无穷远。
分解为：
03
例：GK(S)= K/[S(0.05S+1)(0.05S2+0.2S+1)] 试绘制根轨迹。 解： 化成标准形式： GK(S)= 400K/[S(S+20)(S2+4S+20)] = K*/[S(S+20)(S+2+j4)(S+2-j4)] K*=400K——根迹增益 P1=0，P2=-20，P3=-2+j4，P4=-2-j4 n=4，m=0
一点σa。
σa= Zi= Pi
ΣPi-ΣZi = (n-m)σa
σa= (ΣPi-ΣZi)/(n-m)
绘制根轨迹的基本法则
K*(S-Z1)(S-Z2)…(S-Zm)
—————————— = -1 (S-P1)(S-P2)…(S-Pn)
自动控制原理第四章--根轨迹法
2.相角条件：
G(s)H(s) (2k 1)
k 0,1, 2
为了把幅值条件和相角条件写成更具体的形 式，把开环传递函数写成如下形式：
m
(s zi )
G(s)H(s) Kg
i 1 n
(s pj)
j 1
式中：K
g 称为根轨迹增益；
zi ，
p
为开环零极
j
点。
∴ 幅值条件：
m
n
pl (2k 1) ( pl z j ) ( pl pi )
j 1
i 1
m
il
( pl z j ) ——所有开环零点指向极点-pl 矢量的相角之和。
j 1
n
( pl pi )——除-pl 之外的其余开环极点指向极点-pl 矢量
i 1
il
的相角之和。
在复数零点-zl 处的入射角为：
而s2、s3点不是根轨迹上的点。
[例]设系统的开环传递函数为 试求实轴上的根轨迹。
Gk (s)
s2(s
K g (s 2) 1)(s 5)(s
10)
[解]：零极点分布如下：
10
5
2 1 0
红线所示为实轴上根轨迹，为：[-10，-5]和[-2，-1] 。
四、根轨迹的渐近线：
渐近线包括两个内容：渐近线的倾角（渐近线与实轴的夹角） 和渐近线与实轴的交点。
n
m
zl (2k 1) (zl pi ) (zl z j )
i 1
j 1
jl
n
(zl pi )
i 1
——所有开环极点指向零点-zl 矢量的相角之和。
m
(zl z j )
j 1 jl
自动控制原理根轨迹法总结
自动控制原理根轨迹法总结
【根轨迹法概述】
-根轨迹法是分析线性时不变系统稳定性和动态性能的一个重要工具。
它通过在复平面上绘制闭环极点随系统参数变化的轨迹来实现。
【根轨迹法的基本原理】
1. 定义与目的：
-根轨迹是系统开环增益变化时，闭环极点在s平面上的轨迹。
-主要用于分析系统稳定性和设计控制器参数。
2. 绘制原则：
-根据系统开环传递函数，确定轨迹的起点和终点，分支点，穿越虚轴的点等。
-利用角度判据和幅值判据确定根轨迹。
【根轨迹法的应用】
1. 系统稳定性分析：
-根据闭环极点的位置判断系统的稳定性。
-极点在左半平面表示系统稳定，右半平面表示不稳定。
2. 控制器设计：
-调整控制器参数（如比例增益、积分时间常数、微分时间常数等），使根轨迹满足性能指标要求。
-确定合适的开环增益，使闭环系统具有期望的动态性能和稳定裕度。
【根轨迹法的优势与局限性】
-优势：直观、便于分析系统特性，特别是在控制器设计中。
-局限性：仅适用于线性时不变系统，对于非线性或时变系统不适用。
【实践中的注意事项】
-在绘制根轨迹时，应仔细考虑系统所有极点和零点的影响。
-必须结合其他方法（如奈奎斯特法、波特法等）进行综合分析。
【结语】
-根轨迹法是自动控制领域中一种非常有效的工具，对于理解和设计复杂控制系统具有重要意义。
-掌握根轨迹法，能够有效地指导实际的控制系统设计和分析。
编制人：_____________________
日期：_____________________。
根轨迹法(自动控制原理)
i1
l 1
nm
规则4：实轴上的根轨迹
➢ 实轴上的开环零点和开环极点将实轴分为若干段，对其中任一段，如果其右
边实轴上的开环零、极点总数是奇数，那么该段就一定是根轨迹的一部分。
❖ 该规则用相角条件可以证明，设实轴上有一试验点s0。 ➢ 任一对共轭开环零点或共轭极点（如p2，p3），与其对应的相角（如θ2，θ3）
第四章 根轨迹法
4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制典型根轨迹 4.3 特殊根轨迹图 4.4 用MATLAB绘制根轨迹图 4.5 控制系统的根轨迹分析
内容提要
➢ 根轨迹法是一种图解法，它是根据系统的开环零 极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的 特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进 行定性分析和定量计算。
规则3：渐近线
❖ 当n>m时，根轨迹一定有n－m支趋向无穷远；当n<m时，根轨迹一定有m－n支 来自无穷远。可以证明：
➢ 当n≠m时，根轨迹存在|n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为：
所有渐近线交于k实轴上(2的k一n点1，)m1其8坐00标,为 k 0,1,2,,| n m | 1
n
m
pi zl
之和均为360°，也就是说任一对共轭开环零、极点不影响实轴上试验点s0的相 角条件。
➢ 对于在试验点s0左边实轴上的任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ4，φ3） 均为0。
➢ 而试验点s0右边实轴上任一开环零、极点，与其对应的相角（如θ1，φ1，φ2） 均为180°。
所以要满足相角条件，s0右边实轴上的开环零、极点总数必须是奇数。
❖ 1948年伊凡思(W.R.Evans)提出了根轨迹法，它不 直接求解特征方程,而用图解法来确定系统的闭环 特征根。
自动控制原理根轨迹
等效为：
D( s ) = ∏ ( s + p j ) = 0
j =1
n
得：s = − p j
说明当 Kg = 0时，根轨迹始于各开环极点。
22
根轨迹终点条件: Kg = ∞ 当 Kg =∞时，闭环系统的特征方程
等效为:
N ( s) = ∏ ( s + z i ) = 0
i =1
m
得：s = − zi
24
3. 实轴上的根轨迹
判断准则: 实轴上若有根轨迹分布的线段，则该线段右侧的 开环有限零极点个数之和必为奇数。否则不存在根轨迹。 可用相角条件证明此规则，基于以下事实：
■ 复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹
（任意试验点）的矢量辐角之和总为零。
■ 根轨迹（任意试验点）左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量
θ p = 180 − [∑ ∠( pk − p j ) − ∑ ∠( pk − zi )]
k
n
m
j =1 j≠k
i =1
= 180 − [∑ β j −∑ α i ]
j =1 i =1
36
n −1
m
终止角计算公式（第K个零点的入射角）:
θ z = 180 + [∑ ∠( z k − p j ) − ∑ ∠( z k − zi )]
整理为:
（µ为自然数）
( N z + N z − N z )π − N pπ = 2 N zπ − ( N z + N p )π = ±π (1 + 2 µ )
所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足:
N z + N p = 1 + 2µ
即实轴上根轨迹右侧的开环有限零、极点的个数之和为奇数.
根轨迹法校正课程设计
根轨迹法校正 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解根轨迹法的概念，掌握根轨迹的基本绘制方法。
2. 学生能够运用根轨迹法分析控制系统的稳定性，并识别系统的性能指标。
3. 学生能够掌握通过根轨迹法进行控制系统校正的基本原理和步骤。
技能目标：1. 学生能够独立绘制根轨迹图，并分析控制系统的稳定性。
2. 学生能够运用根轨迹法设计简单的控制系统校正方案，提高系统性能。
3. 学生能够通过实际案例，运用所学知识解决控制系统中的实际问题。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对自动控制系统的兴趣，激发他们的探究欲望。
2. 培养学生严谨的科学态度，使他们认识到理论知识在实际工程中的重要性。
3. 培养学生的团队协作意识，使他们能够在小组合作中发挥自己的专长，共同解决问题。
课程性质：本课程为自动控制系统相关内容的深化学习，旨在帮助学生掌握根轨迹法校正的基本原理和方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。
学生特点：学生已具备一定的自动控制理论知识，具有一定的数学基础和动手能力。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，通过案例分析和实际操作，使学生能够将所学知识应用于控制系统设计和分析中。
同时，注重培养学生的团队合作能力和创新意识。
在教学过程中，关注学生的学习进度，及时调整教学方法和节奏，确保课程目标的实现。
二、教学内容1. 根轨迹基本概念：根轨迹的定义、意义及其在控制系统中的应用。
- 教材章节：第三章第二节- 内容：根轨迹图的绘制方法、关键点和关键轨迹的特点。
2. 控制系统稳定性分析：利用根轨迹分析系统稳定性，判断系统性能。
- 教材章节：第三章第三节- 内容：稳定性的判定条件、稳定性分析步骤。
3. 根轨迹校正原理：介绍根轨迹法校正控制系统的基础知识。
- 教材章节：第三章第四节- 内容：校正的基本原理、常用校正方法及效果分析。
4. 校正方案设计：结合实际案例，设计控制系统校正方案。
- 教材章节：第三章第五节- 内容：校正方案的设计步骤、参数计算方法、系统性能优化。
自动控制原理第四章根轨迹法(管理PPT)
根轨迹法的优化建议
结合其他方法
将根轨迹法与其他分析方 法（如频率响应法）相结 合，以获得更全面的系统 性能分析。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ开发软件工具
开发专门用于根轨迹分析 的软件工具，以提高分析 的效率和准确性。
加强实践应用
在实际工程中加强根轨迹 法的应用，通过实践不断 优化和完善该方法。
05
CATALOGUE
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹分析的实例
假设一个开环传递函数为 G(s)H(s) = (s+1)(s+2)/(s^2+2s+5)，对其进行 根轨迹分析。
分析根轨迹图，确定系统的稳定性、 动态性能和系统参数的影响。
根据开环传递函数，绘制出根轨迹图 ，并标注出系统的极点和零点。
根据根轨迹图进行系统设计和优化， 例如调整开环传递函数的增益参数， 以改善系统的性能。
对于非线性系统，根轨迹法可能无法给出准确的描述和分析。
04
CATALOGUE
根轨迹法的改进与优化
根轨迹法的局限性与挑战
参数敏感性
根轨迹法对系统参数的微小变化非常敏感，可能导致根轨迹的剧 烈变化，影响系统的稳定性。
无法处理非线性系统
根轨迹法主要适用于线性系统，对于非线性系统的分析存在局限性 。
计算复杂度较高
和设计。
对于具有特定性能指标要求的系统，如 快速响应、低超调量等，可以根据系统 特性和性能要求选择适合的控制方法，
如状态反馈控制器等。
06
CATALOGUE
根轨迹法的实际应用案例
根轨迹法在工业控制系统中的应用
根轨迹法在工业控制系统中广泛应用于系统的分析和设计。通过绘制根轨迹图，可以直观地 了解系统性能的变化，如稳定性、响应速度和超调量等。
自动控制原理--根轨迹法
1. 参数根轨迹
以非开环增益为可变参数绘制的根轨 迹为参数根轨迹，以区别以开环增益K*为 可变参数的常规根轨迹。
绘制参数根轨迹的法则与绘制常规根 轨迹的完全相同。只要在绘制参数根轨迹 之前，引入等效单位反馈系统和等效传递 函数概念，则常规根轨迹的所有绘制法则， 均适用于参数根轨迹的绘制。
4
为此，需要对闭环特征方程 1 G(s)H(s) 0 做如下等效变换，变成下面形式：
1 s(5s 1)
C(s)
1
C(s)
5
s(5s 1)
1 Td s
10
11
例：
设单位反馈系统的开环传递函数为
G(s)
K
s(s 1)(Ta s 1)
其中开环增益 K 可自行选定。分析时间常数 Ta 对 系统性能的影响。
解：闭环特征方程
s(s 1)(Ta s 1) K 0 1 Ta s 2 (s 1) 0
s(s 1) K
[s(s 1) K ] Ta s 2 (s 1) 0
G1 (s)
Ta s 2 (s 1) s(s 1) K
12
等效开环极点:
p1,2
1 2
1 K 4
注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极 点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的 根轨迹方程为：
G(s)H(s) 5(1 Ta s) 以 Ta 为 变 量 绘 制 s(5s 1) 参数根轨迹。
解： 1 G(s)H(s) 0
(5s 1)s 5(1 Ta s) 0 5s2 s 5 5Tas 0
7
5s2 s 5 5Tas 0
同除 5s2 s 5
(完整版)第四章根轨迹法
j
8K * (1 K * )2 j
2
2
(1 K * ) K * 2 1
2
2 8K * (1 K * )2 8(2 1) 4 2 2 4 2
4
4
2 4 4 2 2
( 2)2 2
第四章 根轨迹法
自动控制原理课程的任务与体系结构
时域：微分方程 复域：传递函数 频域：频率特性
描述
控制系统
校正
时域法 复域法 频域法
评价系统的性能指标 稳定性 快速性（动态性能） 准确性（稳态性能）
分析
自动控制原理
§4 根轨迹法
§4.1 根轨迹法的基本概念 §4.2 绘制根轨迹的基本法则 §4.3 广义根轨迹 §4.4 利用根轨迹分析系统性能
• s平面上满足相角条件的点（必定满足模值条件） 一定在根轨迹上。 满足相角条件是s点位于根轨迹上的充分必要条件。
• 根轨迹上某点对应的 K* 值，应由模值条件来确定。
§4.2
m
绘制根轨迹的基本法则（1） G(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
K*
(s zi )
i 1 n
1
(s pj)
— 模值条件
j 1
m
n
G(s)H (s) (s zi ) (s p j ) (2k 1)
i 1
j1
— 相(s)H(s) =
K* s - z1 L s - zm s - p1 s - p2 L s - pn
§4 根 轨 迹 法
根轨迹法: 三大分析校正方法之一
特点： （1）图解方法，直观、形象。 （2）适合于研究当系统中某一参数变化时，系统性能的变化
自动控制原理第四章根轨迹法
根轨迹法可用于仿真和实验研究，通过模拟和实验 验证系统的性能和稳定性，为实际系统的设计和优 化提供依据。
根轨迹法的历史与发展
历史
根轨迹法最早由美国科学家威纳于1940年提出，经过多年的 发展与完善，已经成为自动控制领域中一种重要的分析和设 计方法。
发展
随着计算机技术和数值分析方法的不断发展，根轨迹法的应 用范围和精度得到了进一步拓展和提高。未来，根轨迹法有 望与其他控制理论和方法相结合，形成更加完善和高效的控 制系统分析和设计体系。
根轨迹的性能分析
根轨迹的增益敏感性和鲁棒性
通过分析根轨迹在不同增益下的变化情况，可以评估系统的性能和鲁棒性。
根轨迹与性能指标的关系
通过比较根轨迹与某些性能指标（如超调量、调节时间等），可以评估系统的 性能。
04
根轨迹法与其他控制方法的比较
根轨迹法与PID制根轨迹图，直观地分析系统的稳定性、响应速度和超调量等性
特点
根轨迹法具有直观、简便、易于掌握等优点，特别适合用于分析 开环系统的稳定性和性能。
根轨迹法的应用场景
控制系统设计
根轨迹法可用于控制系统设计，通过调整系统参数 ，优化系统的性能指标，如稳定性、快速性和准确 性等。
故障诊断与排除
根轨迹法可用于故障诊断与排除，通过观察系统根 轨迹的变化，判断系统是否出现故障，以及故障的 类型和程度。
在绘制根轨迹时，需要遵循一定 的规则，如根轨迹与虚轴的交点 、根轨迹的分离点和汇合点等。
03
根轨迹分析方法
根轨迹的形状分析
根轨迹的起点和终点
根轨迹的起点是开环极点的位置，而 终点是闭环极点的位置。通过分析起 点和终点的位置，可以判断根轨迹的 形状。
根轨迹的分支数
大学自动控制原理第四章 根轨迹法
0.4 0.707
arctan
1 2
arctan1
4
在图上过坐标原点作与负实轴 夹角为45°的射线，它与根轨 迹的交点S=-05±j0.5，这就是 所求的希望闭环极点。
可见，根轨迹图全面地描述了参数K对闭环特征 根分布的影响。 当系统中某一参数(一般以增益为变化参数)发生 变化时，系统闭环特征根在s平面上描绘的曲线 称系统的根轨迹。 它是一种用图解方式表示特征方程的根于系统某 一参数的全部数值关系的方法。 一般地，绘制系统根轨迹时选择的可变参量可以 是系统的任意参量。以系统根轨迹增益K为可变 参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。以其它参数 为变量绘制的根轨迹称为参量根轨迹。
l 1 l i 1 n i
m
1 K0
m
幅值条件
当K0→∞时，则有 K
0
lim
s z s p
l 1 l i 1 n i
lim
1 0 K 0 K 0
可见，s→∞ejυ也能满足上式，即n-m条根轨迹终 止与无穷远处。 小结：n条根轨迹起始于n个开环极点，其中m条 终止于m个开环零点，n-m条终止于无穷远处。
根的相角条件：argGs H s (2k 1) , k 0,1,2, 假设系统开环传递函数用零、极点形式表示：
K s z1 s z2 s zm G s H s ,n m s p1 s p2 s pn
K s( s 1)
C (s) K 闭环传函 2 R( S ) s s K
闭环特征方程： s2 s K 0
1 1 s 1 4K 闭环特征根：1, 2 2 2
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自动控制原理综合实验
一．实验目的
1．掌握连续系统的根轨迹法校正设计过程
2．掌握用根轨迹法设计校正装置的方法，并用实验验证校正装置的正确性
3．了解MATLAB 中根轨迹设计器的应用
4．了解零点和极点对一个系统的影响
二．实验内容
设控制系统为单位负反馈系统，开环传递函数为：
()(20)(5)
K G s s s s =++ 试用根轨迹法设计串联超前校正装置，使校正后系统满足：期望开环放大系数K ≥18，0.4s t s ≤ ,%25%σ≤。
三．实验步骤
（1）用鼠标双击MATLAB 图标，进入MATLAB 命令窗口：“Command Window ”.
(2)在“Command Window ”中键入以下程序：
clear;
num1=[1 ];
den1=conv([1 0],conv([1 20],[1 5]));
Gk=tf(num1,den1);
rltool(Gk)
得到如图1所示的开环的根轨迹图形，图1中红色正方形是k ＝1时闭环系统的极点。
图1
（3）选择Analysis—other loop repsonses点击后如图2所示
图2
图2的设置，表示要观察闭环系统的单位阶跃输入的时域响应曲线。
选择STEP后在右边的Closed-loop下面的r to y打钩，按OK.观察系统的阶跃响应，如图3所示
图3
（4）引入设计规则：添加设计条件，在根轨迹上建立期望极点区域。
在图4的菜单项中，点击Edit>>Root Locus>>Design Constrains>>New，得图5。
图4
在图4所示的界面上设置调节时间。
设置完毕，点击OK，得图5。
图5设置调节时间轨迹设计后的根轨迹
（5）Edit>>Root Locus>>Design Constrains>>New ，得图6。
图6
在图6中，设置超调量的指标为25％。
点击OK，结果如图7所示
图7设置超调量后的根轨迹设计器界面
对比图5，图7多一个边界线，该边界线是由超调量引出的，其含义是系统期望的极点必须是在边界线的左边区域，才能满足该性能指标要求。
综上所述，期望的极点位于同时满足由两个性能指标决定的边界左边区域。
校正设计的目的就是如何把红色正方形（闭环的根）移动到该区域。
由上面可知不管我们如何拉动图中红色的点（闭环的根）系统无法满足我们的要求，前面指出，添加开环零点会使得根轨迹左移，而且如果添加的零点靠近闭环的极点，可以形成偶极子对，那么该零点就可以削弱该闭环极点对系统性能的影响。
故我们可以添加校正装置来让我们的系统满足要求，在这里我们采用的串联超前的校正装置来让系统满足我们的要求，我们加一个趋近于极点的零点。
图8
图8 （6）加了零点的根轨迹如图9所示
图9 （7）我们看下系统的阶跃响应，如图10所示
图10
可知系统是满足我们的要求，我们通过在阴影线的范围内拉倒根轨迹改变K的值来得到我们想要的K值，图中的K值为1.11e+003,明显满足我们的要求。
故我们要加的串联校
正装置可以加一个,满足要求，实验成功。
四．实验总结
通过这次的实验让我掌握连续系统的根轨迹法校正设计过程；掌握用根轨迹法设计校正装置的方法，并用实验验证校正装置的正确性；了解MATLAB中根轨迹设计器的应用；了解零点和极点对一个系统的影响。
通过这次的实验让我们了解了怎样校正一个系统和怎看一个系统的一些性能，如调节时间和超调量等等，通过这次的实验，让我们对根轨迹进一步的了解和加深了我们的知识的联系。
通过这次的实验，使得我对课堂所学自动控制原理的基本理论知识加深理解和应用，熟练掌握利用计算机辅助分析的方法，进一步增强我的分析问题和解决问题的能力。
在进行对系统分析和系统校正中，我体会到使用根轨迹设计器使得分析系统的性能非常直观，同时使得进行系统校正更为方便。
从烦杂的计算转移到关注自动控制原理中系统分析和校正的概念、思想和方法中来，提高分析和解决实际问题的思维能力。
指导教师日期。